ÍNDICE

1 Los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 Los números naturales, enteros, racionales y reales . . . . . . . . 31.2 La recta real: relación de orden, desigualdades e intervalos . . . 41.3 El valor absoluto de un número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Conjuntos acotados: máximo, mínimo, supremo e ín�mo . . . . 71.5 Propiedad arquimediana, parte entera de un número real y

densidad de los racionales en los reales . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1 De�nición. Sucesiones convergentes y límite de una sucesión . . 142.2 Subsucesiones de una sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Sucesiones de Cauchy. Completitud de R . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Operaciones elementales con sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Otras operaciones con sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6 El número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7 Cálculo de límites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Límites y continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . 30

3.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Operaciones elementales con funciones, composición de fun-

ciones y función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Límite de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5 Cálculo de límites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.6 Propiedades globales de las funciones continuas . . . . . . . . . . 43

4 Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.1 De�nición de derivada de una función en un punto e inter-pretación geométrica de la derivada. Derivadas laterales . . . . 48

4.2 Continuidad y derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3 Derivadas sucesivas de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.4 Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.5 Derivada de la composición de funciones (regla de la cadena)

y derivada de la función inversa de una dada . . . . . . . . . . . . 59

5 Teoremas del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1 Extremos locales. Condición necesaria de extremo local . . . . . 635.2 Teorema de Rolle. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . 645.3 Existencia local de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4 Condiciones su�cientes de extremo local . . . . . . . . . . . . . . . 69

6 Funciones convexas. La regla de L�Hospital . . . . . 71

6.1 Funciones cóncavas y convexas: de�nición y propiedades ele-mentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2 Puntos de in�exión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.3 La regla de L�Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7 Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.1 Polinomio de Taylor de orden n: de�nición y propiedades . . . 787.2 Condición su�ciente de extremo local y de punto de in�exión . 827.3 Polinomios de Taylor de algunas funciones elementales . . . . . 847.4 Propiedades básicas de la o ((�x)�) cuando �x! 0 . . . . . . . 857.5 Operaciones elementales con polinomios de Taylor . . . . . . . . 867.6 El polinomio de Taylor con resto de Lagrange . . . . . . . . . . . 90

10Métodos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

10.1 Primitiva e integral inde�nida de una función . . . . . . . . . . . 9310.2 Integración por sustitución (cambios de variable) . . . . . . . . . 9310.3 Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9510.4 Fórmulas de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9610.5 Integración de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9810.6 Integración de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . 101

10.6.1 Integrales de la formaZR(sinx; cosx) dx . . . . . . . . . . . . 101

10.6.2 Fórmulas de reducción para integrales trigonométricas . 10410.7 Integración de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

10.7.1 Integrales de la formaZR(x; xr1 ; xr2 ; :::; xrn) dx . . . . . . . . . 105

10.7.2 Integrales de funciones con radicandos cuadráticos . . . . 106

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

2

Números reales 3

1. Los números reales

1.1. Los números naturales, enteros, racionales y reales

El conjunto de los números naturales N = f0; 1; 2; :::; n; :::g.N cumple dos principios importantes que además se puede demostrar que son equivalentes:

� Principio de inducción. Sea una propiedad P . Si un número natural n cumplela propiedad P escribiremos P (n). El principio de inducción dice que si se cumplenlas dos siguientes condiciones:

1. P (0) (es decir, el 0 cumple la propiedad P )

2. Para cualquier natural k se tiene que P (k) ) P (k + 1) (es decir, el hecho deque un número natural k cumpla la propiedad signi�ca que k + 1 también lacumple)

entonces la propiedad P se cumple para todos los números naturales, 8n 2 N; P (n).

� Principio de buena ordenación: si A � N y A es no vacío entonces A tiene unelemento mínimo. Este principio permite ordenar cualquier conjunto de númerosnaturales.

El principio de inducción se usa con mucha frecuencia en matemáticas para demostrarque determinadas a�rmaciones son ciertas para todo número natural n. Se compruebaque el resultado es cierto para un cierto número natural (normalmente el 0 o el 1), seprueba que si es cierto para n 2 N también lo es para n+ 1 2 N y aplicando el principiose obtiene que es cierto para todo n. Se dan algunos ejemplos en un apartado posterior.

El conjunto de los números enteros Z = f0;�1;�2; :::;�n; :::g.Existen problemas sencillos en los que los números naturales no son su�cientes. Losnúmeros enteros son una extensión de los números naturales que permiten, por ejemplo,dar sentido a ecuaciones del tipo a+ x = b con a; b 2 N �jos que no tienen solución en Ncuando a > b.

El conjunto de los números racionales Q = fnúmeros de la forma p=q con p; q 2 Zg.Los números racionales se pueden representar en una recta horizontal de la siguientemanera: se dibuja una recta horizontal y se eligen en ella dos puntos: el que está más ala izquierda representa el número 0 y el que está más a la derecha el número 1. Una vezque están �jadas las posiciones del 0 y del 1 para representar el número p=q se divide elsegmento (0; 1) en q partes y se lleva la longitud de una de las partes que resulta de ladivisión p veces hacia la derecha a partir del 0 (si p=q es positivo) o hacia la izquierda (sip=q es negativo). El punto que resulta es la representación grá�ca del número racionalp=q. A la derecha del 0 se representan los números positivos y a la izquierda los negativos.

Si se escriben en forma decimal es fácil ver que los números racionales tienen siempre unacifra o un conjunto de cifras decimales que se repiten inde�nidamente a partir de una cifraen adelante. Por ejemplo, 4:3424242::: que se escribe abreviadamente como 4:3 b42. Para

Números reales 4

recuperar el número pero escrito como cociente de dos enteros p=q basta tener en cuentaque 4:3 b42 = 4342: b42=1000 y que 4:3 b42 = 43: b42=10. Además 4342: b42 � 43: b42 = 4299 y sip=q = 4:3 b42 se tiene por tanto que

1000p

q� 10p

q= 990

p

q= 4299 de donde

p

q=4299

990=1433

330

Otra manera equivalente de hacer lo mismo es escribir

4:3 b42 =43: b4210

=43

10+0: b4210

=43

10+0:42

10

�1 +

1

100+

1

10000+ :::

�=

43

10+0:42

10

1

1� 1=100 =43

10+4:2

99=1433

330

teniendo en cuenta que la expresión entre paréntesis es la suma de los in�nitos términosde una progresión geométrica de razón 1=100.

El conjunto de los números reales R.Es fácil ver que hay números que no se pueden escribir en la forma p=q donde p y q sondos números naturales. Estos números se llaman irracionales y junto con los racionalesconstituyen el conjunto de los números reales. Por ejemplo,

p2, el número e base de los

logaritmos neperianos o � son números irracionales. La demostración de que, por ejemplo,p2 es irracional es sencilla y se da a continuación:

Demostración:Sip2 se pudiera escribir como un número racional entonces, simpli�cando la fracción, se

obtendría quep2 = p=q donde p y q no tienen más divisores comunes que el 1, en otras

palabras, la fracción es irreducible. Dep2 = p=q se obtiene que 2 = p2=q2 o bien que

p2 = 2q2 y por tanto que p2 es par lo que signi�ca que forzosamente p también es par.Pero entonces p se puede escribir como p = 2k con k un número natural y por tanto,como p2 = 2q2, se tiene que 4k2 = 2q2 o, lo que es lo mismo, q2 = 2k2. Pero eso signi�caque q2 es par y por tanto q también es par.Se llega entonces a la conclusión de que tanto p como q son pares, en contradicción conla hipótesis de que el único divisor común que tienen es el 1. �

1.2. La recta real: relación de orden, desigualdades e intervalos

Los números racionales no �llenan�la recta horizontal sobre la que se han representado.El procedimiento grá�co siguiente permite representar sobre dicha recta los números ir-racionales,

p2 en este caso concreto: sobre el intervalo (0; 1) se construye un cuadrado

de lado igual a 1 cuya diagonal tiene longitud igual ap2. Esta longitud se lleva con un

compás sobre la recta horizontal y el punto de intersección es la representación grá�ca dep2. A esta recta sobre la que se representan los números reales se le llama la recta real

R.En la recta real se introduce una relación de orden: dados dos puntos x e y se diceque x es menor que y (o también que y es mayor que x) y se escribe x < y (y > x) six está a la izquierda de y. Si de un punto x 2 R se sabe que es menor o igual que otropunto y se escribe x � y (o bien y � x). Esta relación de orden permite introducir dosnuevos puntos, más y menos in�nito que se representan +1 y �1 (a veces en lugar de

Números reales 5

escribir +1 se escribe solo 1) y que se de�nen de la siguiente manera: 1 es mayor quecualquier otro número real (8x 2 R; x <1) y �1 es menor que cualquier otro númeroreal (8x 2 R; x > �1). A la recta real junto con los puntos �1 se le llama la rectareal ampliada R.Se de�ne también d(a; b), distancia entre dos puntos a y b con a < b de la recta realcomo d(a; b) = b � a que obviamente es una cantidad positiva o cero (este último casocuando los dos puntos coinciden).Con mucha frecuencia para entender el tipo de razonamientos que se hacen en un cursode cálculo es necesario manejar desigualdades con soltura. Como ejemplo, equivalenciasentre desigualdades muy elementales pero que se usan constantemente son:

8x; y 2 R;�x � y , ax � ay si a 2 R+x � y , ax � ay si a 2 R� (1.1)

8x; y 2 R+; 0 < x � y , 0 < 1=y � 1=x (1.2)

y como caso particular de 1.1 cuando a = �1 se tiene que

x � y , �x � �y (1.3)

En R se de�nen 9 subconjuntos de puntos especiales llamados todos ellos intervalos. Sia; b 2 R con a < b se de�nen:

� intervalo abierto (a; b) es el conjunto de los x 2 R tales que a < x < b o, ennotación más abreviada: fx 2 R : a < x < bg. Si se representa grá�camente sobrela recta real incluye todos los puntos del segmento entre a y b excluidos los dospuntos frontera o extremos del intervalo a y b. A a se le llama extremo inferiordel intervalo y a b extremo superior.

� intervalo cerrado [a; b] es el conjunto de los x 2 R tales que a � x � b, fx 2 R : a �x � bg. Sobre la recta real son todos los puntos del segmento entre a y b incluidoslos dos extremos a y b.

� intervalo cerrado por la derecha y abierto por la izquierda (a; b] es el conjunto de losx 2 R tales que a < x � b, fx 2 R : a < x � bg. En este caso se incluye el punto bpero no el a.

� intervalo abierto por la derecha y cerrado por la izquierda [a; b) es el conjunto delos x 2 R tales que a � x < b, fx 2 R : a � x < bg. Incluye el punto a pero no el b.

� intervalo semi-in�nito abierto por la derecha (�1; b) es el conjunto de los x 2 Rtales que x < b, fx 2 R : x < bg.

� intervalo semi-in�nito cerrado por la derecha (�1; b] es el conjunto de los x 2 Rtales que x � b, fx 2 R : x � bg.

� intervalo semi-in�nito abierto por la izquierda (a;1) es el conjunto de los x 2 Rtales que x > a, fx 2 R : x > ag.

� intervalo semi-in�nito cerrado por la izquierda [a;1) es el conjunto de los x 2 Rtales que x � a, fx 2 R : x � ag.

Números reales 6

� intervalo in�nito (�1;1) es el conjunto de todos los números reales y por tantocoincide con R.

Se pueden también de�nir los intervalos degenerados (a; a) que no contiene ningún punto(y por tanto (a; a) = � donde por � se representa el conjunto vacío que no contieneningún punto) y el [a; a] que contiene un solo punto, el punto a.

A un intervalo abierto de la forma (a� �; a+ �) con a 2 R y � > 0 se le llama entorno obola de centro el punto a y radio � (o simplemente entorno de a) y se suele representarcomo B(a; �). No es más que el conjunto de números reales que están a una distancia dea menor que �. A veces resulta útil de�nir un entorno de un punto a pero excluido elpropio punto a. Se le llama entorno reducido y a partir de ahora se representa comoB�(a; �). Es obvio que x 2 B�(a; �) si se cumple que x 2 B(a; �) y x 6= a.

De un subconjunto de R cerrado y acotado se dice que es un conjunto com-pacto.

1.3. El valor absoluto de un número real

Sea x un número real cualquiera, x 2 R. Se de�ne jxj, el valor absoluto de x, como

jxj =

8<:x si x > 00 si x = 0�x si x < 0

de modo que el valor absoluto de x es siempre un número positivo o cero que coincidecon el número si éste es positivo y es el número cambiado de signo cuando es negativo.Independientemente de que a < b o de que b < a el valor absoluto permite de�nir ladistancia entre los puntos a y b como d(a; b) = ja� bj que es una cantidad positiva o ceroy solo es cero cuando ambos puntos coinciden.El valor absoluto de un número tiene una serie de propiedades elementales que hay queusar con mucha frecuencia en todo tipo de razonamientos en cálculo. Éstas son:

1. jxj = 0, x = 0 (el único número real cuyo valor absoluto es 0 es el número 0).

2. Para cualquier número real x se tiene que jxj = j�xj lo que en notación más abre-viada se escribe: 8x 2 R; jxj = j�xj. Lo anterior equivale a decir que 8x; y 2R; jx� yj = jy � xj.

3. Si x; y son dos números reales cualesquiera se tiene que jxyj = jxj jyj, o también, ennotación más abreviada, 8x; y 2 R; jxyj = jxj jyj.

4. Si x; y son dos números reales cualesquiera se tiene que jx+ yj � jxj+jyj (propiedadtriangular).

5. Si x; y son dos números reales cualesquiera se tiene que jx� yj � jjxj � jyjj.

6. Una desigualdad (que aparece con frecuencia en cálculo) del tipo jxj � a con a unnúmero real positivo es totalmente equivalente a decir que �a � x � a lo que ennotación más matemática se escribe como:

jxj � a, �a � x � a

La equivalencia sigue siendo cierta cuando se sustituyen los menores o iguales (�)por menores (<) a ambos lados de la misma.

Números reales 7

7. Como consecuencia de la equivalencia anterior se tiene que si x; a son dos númerosreales cualesquiera (x; a 2 R) y � es un número real positivo, � > 0, entonces setiene que:

jx� aj � � , a� � � x � a+ � , x 2 [a� �; a+ �]

jx� aj < � , a� � < x < a+ � , x 2 (a� �; a+ �)

o, lo que es lo mismo, si a es un punto �jado de antemano, decir de un punto xque jx� aj � � es lo mismo que decir que su distancia a a es menor o igual que �o que x está dentro del intervalo cerrado de centro el punto a y extremos inferior ysuperior a�� y a+� respectivamente. La misma interpretación tiene la desigualdadjx� aj < � sustituyendo intervalo cerrado por abierto y menor o igual por menor.Notar que el conjunto de los puntos x que cumplen que jx� aj < � coincide con elconjunto de los x tales que x 2 B(a; �).

1.4. Conjuntos acotados: máximo, mínimo, supremo e ín�mo

Sea A un subconjunto de R, A � R. Se tienen las siguientes de�niciones:

1. a 2 A es el mínimo (máximo) de A si cualquier otro elemento de A es mayor oigual (menor o igual) que a:

a = min(A), a 2 A y 8x 2 A; x � a

a = max(A), a 2 A y 8x 2 A; x � a

Es importante el hecho de que para que un elemento a sea el mínimo (máximo) deun conjunto es condición necesaria que pertenezca al conjunto.

2. Se dice que a 2 R es una cota superior de A (cota inferior) si es mayor (menoren el caso de la cota inferior) que cualquier elemento de A:

a cota superior de A , 8x 2 A; x � a

a cota inferior de A , 8x 2 A; x � a

Es claro que las cotas superior e inferior de un conjunto, caso de existir, no sonúnicas. Un conjunto se dice que está acotado superiormente cuando existe un a 2 Rque es cota superior y acotado inferiormente cuando existe un a 2 R que es cotainferior. Si está acotado superior e inferiormente se dice simplemente que estáacotado.

3. Se dice que a 2 R es el supremo de A, a = sup(A), si es la menor de las cotassuperiores de A, es decir, si a es cota superior de A y además cualquier otra cotasuperior b es mayor o igual que a. Se dice que a 2 R es el ín�mo de A, a = inf(A),si a es la mayor de las cotas inferiores de A, es decir, a es cota inferior y cualquierotra cota inferior es menor o igual que a.

Números reales 8

De las de�niciones anteriores se desprenden consecuencias que conviene tener siemprepresentes.

En primer lugar, un subconjunto de R no tiene porqué estar acotado superior o inferi-ormente. Por ejemplo, de los intervalos que se han de�nido anteriormente, los cuatroprimeros resulta obvio que están acotados tanto superior como inferiormente (para todosellos el extremo superior o cualquier número mayor que el extremo superior es una cotasuperior y el extremo inferior o cualquier número más pequeño es una cota inferior). Elquinto y el sexto están acotados superiormente pero no inferiormente, para el séptimo yel octavo ocurre lo contrario y el noveno no tiene cotas ni superiores ni inferiores.

Un conjunto que no esté acotado superiormente no puede tener máximo porque, si lotuviera, el máximo sería una cota superior y lo mismo se aplica para un conjunto que notiene cota inferior: no puede tener mínimo. Es más, si un conjunto tiene máximo entoncesforzosamente el máximo no solo es cota superior sino que además resulta evidente queno puede haber otra cota superior menor, de donde se deduce la a�rmación de que siun conjunto tiene máximo entonces está acotado superiormente y el máximocoincide con el supremo del conjunto. Por la misma razón, si A � R tiene mínimoentonces está acotado inferiormente y el mínimo coincide con el ín�mo de A.Sin embargo la a�rmación recíproca no es cierta: un conjunto acotado no tieneporqué tener ni máximo ni mínimo porque la exigencia de que el máximoo el mínimo, para serlo, tengan que pertenecer al conjunto, es muy restrictiva.Por ejemplo, el intervalo abierto (a; b) no tiene ni máximo ni mínimo porque aunque b esmayor que cualquier otro elemento del conjunto (lo que signi�ca que es cota superior) nopertenece al conjunto y por tanto no es el máximo y no es difícil probar que no hay ningúnelemento del conjunto que sea mayor o igual que todos los demás. Lo mismo ocurre cona que es cota inferior pero no es el mínimo.El intervalo [a; b) no tiene máximo pero sin embargo sí tiene mínimo que es a porquea 2 [a; b) y obviamente cualquier elemento del intervalo es mayor o igual que a.

Si se tiene un conjunto A � R y se de�ne el conjunto �A como aquel que se obtienecambiando de signo todos los elementos de A, es fácil ver que el supremo y el máximode A (caso de existir) están relacionados con el ín�mo y el mínimo de �A (que entoncestambién existen) mediante las equivalencias:

sup(A) = � inf(�A); max(A) = �min(�A) (1.4)

Estas igualdades permiten reducir muchas demostraciones de propiedades del ín�mo deun conjunto a las correspondientes del supremo y viceversa.

Si se tienen dos subconjuntos A;B � R y se de�nen la suma y el producto de ambos dela forma que parece más obvia,

A+B = f(x+ y) 2 R tales que x 2 A; y 2 BgAB = fxy 2 R tales que x 2 A; y 2 Bg

es inmediato demostrar que

sup(A+B) = sup(A) + sup(B); inf(A+B) = inf(A) + inf(B)

pero también resulta claro que no existe una regla general sencilla en el caso del producto.

Con respecto al supremo y al ín�mo de un conjunto A � R se tienen las siguientescaracterizaciones:

Números reales 9

Proposición 1.1 (Caracterización del supremo). Se dice que a 2 R es el supremode A si y solo si se cumplen las dos siguientes condiciones:

1) a es cota superior de A

2) 8" > 0 existe un x 2 A tal que se tiene que a� " < x � a

y la condición 2) signi�ca que eligiendo un número a � " más pequeño que a pero tanpróximo al punto a como se quiera, siempre existe algún elemento x del conjunto A queestá entre a � " y a. Eso es lo mismo que decir que, o bien a 2 A o bien tan próximoscomo se quiera al punto a y a su izquierda hay siempre puntos del conjunto A (o bienambas cosas).

Demostración:Hay que demostrar dos implicaciones: si a es el supremo de A entonces se cumplen lasdos condiciones (a = sup(A)) condiciones) y si se cumplen las dos condiciones entoncesa es el supremo de A (condiciones ) a = sup(A)).

(a = sup(A))) condiciones 1) y 2).Claramente de la propia de�nición de supremo se desprende que si a es el supremo de Aentonces a es una cota superior de A y por tanto (a = sup(A)) ) 1). Por otro lado, sia = sup(A) y no se cumpliera la condición 2) existiría un número a� " tal que entre él ya no hay ningún punto de A. Ello signi�caría que a� " es cota superior de A puesto queno tiene ningún punto de A a su derecha y, como a � " < a, el supremo no sería a sinoa� " que es cota superior y más pequeño que a. Esto va contra la hipótesis de que a esel supremo y por tanto (a = sup(A))) 2.

condiciones 1) y 2)) (a = sup(A)).Si se cumple la condición 1) entonces a es cota superior de A. Lo único que hace faltademostrar es que no puede haber otra cota superior más pequeña que a. Pero esto esevidente de la condición 2) que asegura que cualquier número a� " más pequeño que a,por muy cerca que esté de a, siempre tiene a su derecha algún elemento de A y por tantono puede ser cota superior de A. Luego la cota superior más pequeña es a que es lo quese quería demostrar. �

Proposición 1.2 (Caracterización del ín�mo). Se dice que a 2 R es el ín�mo de Asi y solo si se cumplen las dos siguientes condiciones:

1) a es cota inferior de A

2) 8" > 0 existe un x 2 A tal que se tiene que a � x < a+ "

y la demostración es idéntica a la que se ha hecho para el supremo o se reduce a ellausando (1.4).

Ya se ha visto que un conjunto A � R no necesariamente tiene por qué tener máximo omínimo y no necesariamente tiene porqué estar acotado. Ahora bien, ¿si un conjunto estáacotado es siempre posible a�rmar que tiene supremo e ín�mo? O, lo que es lo mismo, ¿esposible a�rmar que de entre todas sus cotas superiores existe siempre una que es menorque cualquier otra y de entre las inferiores existe una que es mayor que todas las demás?La respuesta a esta pregunta viene dada por un resultado fundamental sobre el que estáconstruido todo el cálculo:

Números reales 10

Existencia del supremoSi A � R es un conjunto de números reales no vacío y acotadosuperiormente entonces existe el sup (A)

Y de la misma manera:

Existencia del ín�moSi A � R es un conjunto de números reales no vacío y acotado inferiormente entoncesexiste el inf(A)

1.5. Propiedad arquimediana, parte entera de un número real ydensidad de los racionales en los reales

Los resultados anteriores permiten obtener otros que se usan con frecuencia en todo tipode razonamientos en cálculo. Se usan por ejemplo para demostrar un resultado, evidenteintuitivamente, pero que en un planteamiento riguroso es necesario demostrar y que seconoce con el nombre de la propiedad arquimediana de los números reales:

Proposición 1.3 (Propiedad arquimediana de los reales). Para todo número realx existe un número natural n tal que n es mayor que x.

Los resultados anteriores permiten a su vez demostrar la siguiente a�rmación:

Proposición 1.4 (Parte entera de un número real). Dado un número real x existesiempre un único número entero n tal que n � x < n+1. Al número entero n se le llamaparte entera del número real x y se representa n = [x].

También en muchas ocasiones se maneja en cálculo el conjunto A � R constituido porlos números racionales 1; 1=2; 1=3; ::::; 1=n; :::: es decir, A = f1=n con n 2 N� f0gg y elhecho de que el ín�mo de A es el 0, inf(A) = 0.Esta última a�rmación es consecuencia de que claramente A es un conjunto no vacío yacotado inferiormente y por tanto tiene ín�mo y, por otro lado, tan cerca como se quierade 0 se pueden encontrar elementos de A de donde se deduce, aplicando la caracterizaciónexpuesta más arriba, que inf(A) = 0.

Por último es posible demostrar otro resultado importante conocido como densidad de Qen R:

Proposición 1.5 (Densidad de los números racionales en los reales). En todo in-tervalo (a; b) no degenerado existen in�nitos puntos racionales (y de forma similar se puededemostrar que existen también in�nitos irracionales).

Números reales 11

1.6. Ejemplos

Ejemplo 1.1 (Desigualdad de Bernouilli). Demostrar por inducción la desigualdaddeBernouilli:

8n 2 N y 8x 2 R con x > �1 se tiene que (1 + x)n � 1 + nx (1.5)

La desigualdad resulta evidente para n = 1. Se trata de demostrar que si se cumple (1.5)para un n determinado entonces también se cumple que

(1 + x)n+1 � 1 + (n+ 1)x

Para ello se tiene, haciendo uso de (1.5), que:

(1 + x)n+1 = (1 + x)n(1 + x) � (1 + nx)(1 + x)

= 1 + (n+ 1)x+ nx2 � 1 + (n+ 1)x

teniendo en cuenta que nx2 � 0. Luego el principio de inducción permite a�rmar que(1.5) es cierto para todo n. Notar que la restricción x > �1 es necesaria para poderasegurar que (1 + x) > 0. Si (1 + x) fuera menor que 0 entonces no sería cierto que(1 + x)n(1 + x) � (1 + nx)(1 + x) (por ejemplo con x = �3; n = 5).

Ejemplo 1.2 (Fórmula del binomio). Demostrar por inducción la fórmula del binomiode Newton:

8n 2 N y 8a; b 2 R se tiene que (a+ b)n =nXj=0

�n

j

�ajbn�j (1.6)

Para ello es necesario en primer lugar demostrar la siguiente propiedad de los númeroscombinatorios: �

n

j

�+

�n

j + 1

�=

�n+ 1

j + 1

�(1.7)

(1.7) es cierta porque se tiene que�n

j

�+

�n

j + 1

�=

n!

j!(n� j)!+

n!

(j + 1)!(n� j � 1)!

=(j + 1)n!

(j + 1)!(n� j)!+

(n� j)n!

(j + 1)!(n� j)!

=(n+ 1)n!

(j + 1)!(n� j)!=

�n+ 1

j + 1

�El método de inducción consiste en comprobar que (1.6) es cierta para n = 1, lo cualresulta evidente teniendo en cuenta que para cualquier n natural (no solo para n = 1)�

n

n

�=

�n

0

�= 1 (1.8)

Números reales 12

y demostrar que si se supone cierta la fórmula para un n 2 N cualquiera entonces tambiénes cierta para el siguiente entero n+ 1. De modo que se supone que (1.6) es cierta y hayque demostrar a partir de ahí que se cumple que

(a+ b)n+1 =n+1Xj=0

�n+ 1

j

�ajbn+1�j

Para ello se escribe (a + b)n+1 = (a + b)n(a + b) y se sustituye (a + b)n por su expresiónen (1.6) de modo que se tiene:

(a+ b)n+1 = (a+ b)n(a+ b) = (a+ b)nXj=0

�n

j

�ajbn�j

=

nXj=0

�n

j

�aj+1bn�j +

nXj=0

�n

j

�ajbn+1�j

=

n+1Xq=1

�n

q � 1

�aqbn�q+1 +

nXj=0

�n

j

�ajbn+1�j (1.9)

donde la última igualdad se obtiene haciendo en el primer sumatorio el cambio de índicej + 1 = q (y por tanto cuando j vale 0 entonces q vale 1 y cuando j vale n, q vale n+ 1).En el primer sumatorio de (1.9) se escribe aparte el sumando q = n + 1 y en el segundosumatorio el sumando j = 0 de modo que resulta:

(a+ b)n+1 =

�n

n

�an+1b0 +

�n

0

�bn+1a0 +

nXq=1

�n

q � 1

�aqbn�q+1 +

nXj=1

�n

j

�ajbn+1�j

=

�n

n

�an+1b0 +

�n

0

�bn+1a0 +

nXj=1

��n

j � 1

�+

�n

j

��ajbn�j+1

=

�n

n

�an+1b0 +

�n

0

�bn+1a0 +

nXj=1

�n+ 1

j

�ajbn�j+1

donde se ha tenido en cuenta la propiedad (1.7). Como por otro lado, según (1.8):�n

n

�=

�n

0

�=

�n+ 1

n+ 1

�=

�n+ 1

0

�= 1

se llega a que

(a+ b)n+1 =

�n+ 1

n+ 1

�an+1b0 +

�n+ 1

0

�bn+1a0 +

nXj=1

�n+ 1

j

�ajbn�j+1

=

n+1Xj=0

�n+ 1

j

�ajbn�j+1

que es la fórmula que se quería demostrar. Luego el principio de inducción permite a�rmarque la fórmula del binomio es cierta para todo número natural n.

Números reales 13

Ejemplo 1.3. Expresar en forma de intervalo o unión de intervalos el conjunto de númerosreales x que cumplen la desigualdad

jx� 1j+ jx+ 1j > 2

jx� 1j es la distancia de x a 1 y jx+ 1j la de x a �1, de modo que jx� 1j+ jx+ 1j > 2es el conjunto de números x la suma de cuyas distancias a 1 y a �1 es mayor que 2.Claramente si �1 � x � 1 la suma de las distancias de x a 1 y a �1 es igual a 2 de modoque los números entre �1 y 1 no cumplen la desigualdad. En cambio, si x > 1 o x < �1es claro que la suma de las distancias es mayor que 2. De modo que el conjunto de x quecumplen la desigualdad es:

x 2 (�1;�1) [ (1;1)

Ejemplo 1.4. Expresar en forma de intervalo o unión de intervalos el conjunto de númerosreales x que cumplen la desigualdad��x2 + 12x+ 35�� � 1La desigualdad del enunciado es equivalente a las desigualdades

�1 � x2 + 12x+ 35 � 1

de modo que se trata de encontrar los números x que simultánemente cumplen las dosdesigualdades anteriores. De la primera de ellas se tiene que:

�1 � x2 + 12x+ 35, 0 � x2 + 12x+ 36 (1.10)

y la solución de la ecuación de segundo grado x2+12x+36 = 0 tiene como única solucióndoble x = �6 y por tanto x2+12x+36 se escribe como (x+6)2. Luego 0 � x2+12x+36es equivalente a (x + 6)2 � 0 que es cierto para todo x 2 R. Por tanto (1.10) no imponeninguna restricción. La segunda desigualdad

x2 + 12x+ 35 � 1 es equivalente a x2 + 12x+ 34 � 0

y la ecuación x2 + 12x + 34 = 0 tiene como soluciones x = �6 �p2 de modo que la

desigualdad es equivalente a�x+ 6�

p2��

x+ 6 +p2�� 0

que se cumple cuando uno de los dos factores es positivo o cero y el otro negativo o cero,es decir, cuando x � �6 +

p2 y al mismo tiempo x � �6�

p2. Luego��x2 + 12x+ 35�� � 1, x 2

h�6�

p2;�6 +

p2i

Sucesiones 14

2. Sucesiones

2.1. De�nición. Sucesiones convergentes y límite de una sucesión

Una sucesión (an)n2N es una aplicación de los números naturales N en los reales R:

n 2 N! a(n) = an 2 R

o, en términos intuitivos, un conjunto ordenado de in�nitos números reales a0; a1; ::::; an; ::::.Por ejemplo (an)n2N = (n=(n+ 1))n2N que es la sucesión 0; 1=2; 2=3; 3=4; :::; n=(n+ 1); :::.Otro ejemplo importante de sucesión es el de los in�nitos términos de una progresiónaritmética en la que, a partir de un número inicial, cada elemento se obtiene del anteriorsumándole un número �jo. Por ejemplo, 3; 6; 9; 12; ::::; n; n+ 3; :::.En una sucesión (an)n2N a an se le llama el término general de la sucesión.

� Una sucesión se dice que esmonótona creciente si 8n 2 N se tiene que an � an+1

� Una sucesión se dice que es estrictamente creciente si 8n 2 N se tiene quean < an+1

� Una sucesión se dice que es monótona decreciente si 8n 2 N se tiene que an �an+1

� Una sucesión se dice que es estrictamente decreciente si 8n 2 N se tiene quean > an+1

� Una sucesión se dice que es constante si 8n 2 N se tiene que an = an+1

� Una sucesión se dice que es acotada superiormente si existe un M 2 R tal que8n 2 N se tiene que an �M

� Una sucesión se dice que es acotada inferiormente si existe un M 2 R tal que8n 2 N se tiene que an �M

� Una sucesión se dice que es acotada si existe un M 2 R tal que 8n 2 N se tieneque janj �M

La siguiente de�nición es fundamental:

De�nición 2.1 (Límite de una sucesión). Una sucesión fangn2Nes convergente con límite l 2 R cuando:Dado " > 0; existe N0 2 N tal que 8n � N0 se cumple que jan � lj < "

y habitualmente se escribe que limn!1 an = l o también que an ! l cuando n!1.Intuitivamente lo que signi�ca que la sucesión tenga como límite un número real l es quecuando n se hace grande los términos de la sucesión se acercan al número l tanto comouno quiera o, en términos más precisos, elegido arbitrariamente un " > 0 tan pequeño

Sucesiones 15

como se quiera, siempre debe existir un N0 tal que a partir del término N0 en adelantetodos los términos de la sucesión están a una distancia de l menor que ". Ello signi�caque hay in�nitos términos de la sucesión a una distancia de l menor a " aunque esto nobasta para asegurar que la sucesión tenga como límite l (es una condición necesaria perono su�ciente para que limn!1 an = l).

Notar que en la de�nición de sucesión convergente se puede elegir el valor de " > 0 pero,como es lógico, el índice N0 depende del valor de " elegido. Si (an)n2N es convergente conlímite l se tiene la seguridad de que si escojo un cierto " > 0, hay un índice N0 tal quesi n � N0 entonces jan � lj < ". Si escojo un "0 más pequeño que el anterior, "0 < ",entonces seguro que existe un índice N 0

0 � N0 con la propiedad de que si n � N 00 se tiene

que jan � lj < "0. Es decir, cuanto más cerca quiera que estén los términos de la sucesióndel límite, mayor tendrá que ser el valor del índice a partir del cual se puede aseguraresta cercanía.

Notar también que son totalmente equivalentes las siguientes expresiones:

jan � lj < "() l � " < an < l + "() an 2 (l � "; l + ")

de modo que la primera de ellas se hubiera podido sustituir en la de�nición por cualquierade las otras dos.

En la de�nición anterior de sucesión convergente se exige que el límite l de la sucesión seaun número real. En las dos siguientes de�niciones se dice lo que signi�ca que una sucesióntenga como límite �1:

Se dice que una sucesión (an)n2N tiene límite 1 si se cumple que

8M > 0;9N0 2 N tal que 8n � N0 se cumple que an > M

Se dice que una sucesión (an)n2N tiene límite �1 si se cumple que

8M > 0;9N0 2 N tal que 8n � N0 se cumple que an < �M

Cuando una sucesión tiene límite 1 los elementos de la sucesión son a partir de uno enadelante mayores que un número elegido de antemano que puede ser tan grande como sequiera (menores que un número elegido arbitrariamente en el caso del límite �1).Aunque esta terminología a veces depende de los autores, se suelen llamar convergentesa las sucesiones que tienen límite l distinto de �1 y divergentes a todas las demás.Dentro de las divergentes están las que tienen límite �1 y las que no lo tienen. Porejemplo, la sucesión 1; 2; 3; :::; n; ::: es divergente y tiene límite1 mientras que la sucesión�1; 1;�1; 1; ::::; (�1)n::: no tiene límite, ni �nito, ni 1, ni �1.Una primera propiedad básica sobre el límite de una sucesión convergente:

Proposición 2.1 (Unicidad del límite). El límite de una sucesión convergente (an)n2N(o que tenga límite �1) es único.

Demostración:

La demostración es inmediata. Si la sucesión tuviera dos límites l1 y l2 con l1 6= l2 sepodría escoger un " > 0 su�cientemente pequeño como para que los intervalos [l1�"; l1+"]

Sucesiones 16

y [l2 � "; l2 + "] fueran disjuntos. Pero por la de�nición de límite, si ambos números sonlímite, a partir de un término en adelante los términos de la sucesión deberían estarsimultáneamente en ambos intervalos a la vez lo que es obviamente imposible. En el casode que uno de los dos límites fuera 1 se razonaría de la misma manera. �

Otra propiedad muy importante que se prueba a partir de la de�nición de límite y usandoel axioma del supremo (todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene supremo)es:

Teorema 2.2 (Convergencia de las sucesiones monótonas acotadas). Toda suce-sión de números reales (an)n2N acotada superiormente por una cota M y creciente tienelímite l y l �M . De hecho l = supn2N(an).De la misma manera toda sucesión (an)n2N acotada inferiormente por una cota m ydecreciente tiene límite l y l = infn2N(an).

Demostración:

En el caso de la sucesión acotada superiormente se razona de la siguiente manera: elconjunto de los números an está acotado superiormente por hipótesis y es no vacío dedonde se deduce, aplicando el axioma del supremo, que dicho conjunto tiene supremo quellamamos s. Dado un " > 0 la caracterización del supremo en el capítulo anterior a�rmaque existe algún elemento del conjunto a� entre s� " y s, es decir, s� " < a� � s. Perocomo la sucesión es creciente todos los elementos posteriores a a� son mayores o igualesque a� y además menores o iguales que s que es cota de todos ellos, y, por tanto, se cumpleque

s� " < a�; a�+1; a�+2; : : : ; a�+n; : : : � s

Esto signi�ca que dado " > 0 existe un índice � a partir del cual todos los elementos dela sucesión están a una distancia de s menor que ". En otras palabras, s es el límite de lasucesión.En el caso de que la sucesión sea decreciente y acotada inferiormente el razonamiento esel mismo. �

Otras propiedades que se prueban sin di�cultad a partir de la de�nición de límite son:

Proposición 2.3.

1. El carácter de una sucesión (an)n2N (convergente, con límite igual a �1, sin límite)no cambia si se modi�can o directamente se suprimen un número �nito de términos.En el caso de que tenga límite el valor del límite no varía después de esta operación.

2. Toda sucesión (an)n2N convergente es una sucesión acotada.

3. Si se tienen dos sucesiones (an)n2N y (bn)n2N convergentes y para todo númeronatural n mayor o igual que un cierto N0 2 N se tiene que an � bn entonces ellímite de (an)n2N es menor o igual que el de (bn)n2N.

4. Si se tienen dos sucesiones (an)n2N y (bn)n2N tales que para todo número natural nmayor o igual que un cierto N0 2 N se tiene que an � bn y limn!1 an =1, entonceslimn!1 bn = 1. De la misma manera, si 0 � an � bn y existe limn!1 bn = 0entonces existe el límite de an y vale 0.

Sucesiones 17

5. Si (an)n2N cumple que limn!1 an = l > 0 (incluido l = 1) entonces todos lostérminos de la sucesión a partir de uno en adelante son estrictamente positivos.Viceversa, si (an)n2N es convergente y si todos los términos de la sucesión a partirde uno en adelante son estrictamente positivos entonces el límite es positivo o cero.

6. Si (an)n2N y (bn)n2N son convergentes con el mismo límite l y se tiene otra sucesión(cn)n2N tal que si n � N0 se cumple que an � cn � bn, entonces (cn)n2N es tambiénconvergente con el mismo límite.

Demostración de 2:

Basta razonar de la siguiente manera: si la sucesión tiene límite l 2 R entonces hayin�nitos términos de la sucesión en un cierto intervalo [l � "; l + "] y evidentemente sepueden acotar tanto por arriba como por abajo (por ejemplo, por l+" como cota superiory l�" como cota inferior). Fuera de este intervalo solo queda un número �nito de términosy un conjunto �nito de números reales siempre tiene cota tanto superior M como inferiorm. Luego todos los elementos de la sucesión están acotados por arriba por el mayor entreM y l + " y por debajo por el menor entre m y l � ". �

Demostración de 6:

El resultado que se conoce con el nombre de teorema de la convergencia intermediaresulta intuitivamente muy lógico: si tanto los an como los bn se acercan tanto como unoquiera a l entonces los cn, que están metidos en una especie de sandwich entre los dos,tienen forzosamente que hacer lo mismo. De forma más rigurosa se tiene que, puesto quetanto (an)n2N como (bn)n2N tienen límite l, entonces

dado " > 0;9N 00 2 N tal que 8n � N 0

0; l � " < an < l + "

dado " > 0;9N 000 2 N tal que 8n � N 00

0 ; l � " < bn < l + "

Por otro lado, a partir de un N0 en adelante se sabe que an � cn � bn y por tantoescogiendo M0 = max(N0; N

00; N

000 ) es claro que para todo n �M0 se tiene que

l � " < an � cn � bn < l + "

lo que demuestra el resultado. �

2.2. Subsucesiones de una sucesión

Sea la sucesión (an)n2N. Una subsucesión (bn)n2N de la sucesión (an)n2N es una aplicaciónf de N en N estrictamente creciente de tal manera que los elementos de la subsucesiónse obtienen como bn = af(n). En términos más intuitivos, si se tienen los elementos dela sucesión a0; a1; a2:::; an; :::los bn de la subsucesión se obtienen eligiendo in�nitos an noobligatoriamente consecutivos (pero sin cambiarlos de orden ni repetir ninguno). Porejemplo, b0 = a3; b1 = a7; b2 = a16; b3 = a17; b4 = a20; ::: y así sucesivamente.

La de�nición de subsucesión permite de�nir de forma precisa lo que se entiende porsucesión oscilante:Una sucesión (an)n2N se dice que es una sucesión oscilante si es divergente y tiene almenos dos subsucesiones con límites distintos. Por ejemplo, la sucesión que se ha vistomás arriba �1; 1;�1; 1; ::::; (�1)n::: es oscilante porque no tiene límite ni �nito ni �1

Sucesiones 18

pero la subsucesión que se obtiene a partir de ella tomando solo los términos pares esla 1; 1; 1; :::; 1; :: que claramente tiene límite igual a 1 y la subsucesión que se obtienetomando los impares es la �1;�1; :::;�1::: que tiene límite igual a �1.Propiedades que tienen que ver con las subsucesiones de una sucesión dada son las que sedan a continuación. Alguna de ellas como la segunda tiene una demostración relativamentelaboriosa:

Proposición 2.4.

1. Si (an)n2N es convergente y limn!1 an = l entonces cualquier subsucesión de (an)n2Nes también convergente y tiene el mismo límite. Viceversa, si (an)n2N es convergentey tiene una subsucesión cuyo límite es l, entonces el límite de la sucesión (an)n2Ntambién es l.

2. Toda sucesión (an)n2N admite siempre una subsucesión monótona.

3. Si (an)n2N está acotada entonces tiene siempre al menos una subsucesión conver-gente.

La tercera propiedad es consecuencia directa de la segunda y del resultado, ya reseñado,de que una sucesión acotada y monótona es convergente. En efecto, (an)n2N admite unasubsucesión monótona que además está acotada puesto que (an)n2N lo está. Entonces estasubsucesión es convergente.

2.3. Sucesiones de Cauchy. Completitud de R

Se dice que una sucesión de números reales (an)n2N es una sucesión de Cauchy si secumple que

Dado " > 0;9N0 2 N tal que 8n;m � N0 se cumple que jan � amj < "

o también, de forma totalmente equivalente:

Dado " > 0;9N0 2 N tal que 8n � N0 y 8p 2 N se tiene jan+p � anj < "

y como se acaba de decir más arriba no es difícil comprobar que ambos enunciados sonequivalentes.En principio la de�nición de sucesión de Cauchy parece distinta de la de sucesión con-vergente. En términos poco precisos se puede decir que una sucesión convergente es unasucesión en la que sus términos se acercan, tomando un valor del subíndice su�ciente-mente grande, tanto como una quiera a un número real l al que se denomina límite de lasucesión. En una sucesión de Cauchy, para valores del subíndice su�cientemente grandes,los términos de la sucesión se acercan tanto como uno quiera entre sí, sin que se hagaen la de�nición mención alguna a un punto límite al que se aproximan los puntos de lasucesión. Sin embargo, en contra de lo que parece a primera vista, las de�niciones desucesión de números reales convergente y de sucesión de números reales de Cauchy sontotalmente equivalentes. De hecho se tiene el siguiente resultado que se conoce con elnombre de completitud de R:

Sucesiones 19

Teorema 2.5 (Completitud de los números reales). Toda sucesión de números realesde Cauchy es convergente y toda sucesión de números reales convergente es de Cauchy.Se dice que R es un espacio completo.

Demostración:Demostrar el teorema signi�ca demostrar que toda sucesión convergente es de Cauchy yque toda sucesión de Cauchy es convergente y por tanto tiene un cierto límite real l. Estasegunda parte es más laboriosa y se demuestra solo la primera que es más sencilla. Separte de que una sucesión es convergente con límite l y por tanto se tiene que

dado " > 0;9N0 2 N tal que 8n;m � N0 se cumple que jan � lj � " y jam � lj < "

Luego, teniendo en cuenta las propiedades del valor absoluto:

jan � amj = j(an � l) + (l � am)j � jan � lj+ jam � lj < 2"

lo que signi�ca que a partir del término aN0 en adelante dos términos cualesquiera dela sucesión están tan cerca como se quiera uno de otro puesto que 2" se puede hacerarbitrariamente pequeño.El esquema de la demostración de la segunda parte (implicación contraria) es demostrarque toda sucesión de Cauchy está acotada (fácil), utilizar el resultado ya enunciado (máslaborioso de demostrar) de que toda sucesión acotada tiene al menos una subsucesiónconvergente y por último demostrar que si una sucesión de Cauchy tiene una subsucesiónconvergente con límite l entonces la sucesión es convergente con límite l. �

Hay que hacer notar que la equivalencia entre sucesiones convergentes y sucesiones deCauchy es cierta cuando se habla de sucesiones de números reales (de ahí el nombre decompletitud de los números reales) pero no lo es cuando se habla de sucesiones de númerosracionales. Si se supone que solo se conocen los números racionales la de�nición de sucesiónconvergente tiene perfecto sentido siempre que el límite sea un número racional (porquenos estamos moviendo en Q y no tiene sentido entonces hablar de números irracionales queni siquiera se han de�nido) y tampoco ofrece ninguna di�cultad la de�nición de sucesiónde Cauchy de números racionales.El resultado de que si una sucesión es convergente entonces es de Cauchy sigue siendocierto cuando se trata de sucesiones de números racionales pero sin embargo la impli-cación contraria ahora ya no es cierta. Una sucesión de Cauchy de números racionales notiene porqué tener un límite racional, puede perfectamente tener como límite un númeroirracional, y por tanto no es cierto que en Q toda sucesión de Cauchy sea convergente.En este sentido se dice que R es completo pero Q no lo es.Por ejemplo, si uno calcula con el algoritmo habitual la raiz cuadrada de un número vaobteniendo cada vez más cifras decimales, para la

p3 son 1:73; 1:732; 1:7320; 1:73205; :::que

constituyen una sucesión de números racionales. Se puede comprobar que la sucesión esde Cauchy (sus términos se acercan cada vez más unos a otros) pero sin embargo su límiteno es un número racional, es

p3.

En R la doble implicación sucesión convergente () sucesión de Cauchy signi�ca que enla práctica a veces resulta provechoso demostrar que una sucesión es convergente com-probando que es de Cauchy, algo que en ocasiones resulta más sencillo que aplicar lade�nición de sucesión convergente directamente (básicamente porque en la de�nición desucesión de Cauchy no interviene el límite l de la sucesión para nada mientras que sí lohace en la de�nición de sucesión convergente).

Sucesiones 20

2.4. Operaciones elementales con sucesiones

Entre dos sucesiones cualesquiera (an)n2N y (bn)n2N se pueden de�nir varias operacioneselementales

1. Suma de dos sucesiones: la suma de (an)n2N y (bn)n2N es otra sucesión (cn)n2Ncuyo término general se de�ne como cn = an + bn.

2. Producto de dos sucesiones: el producto de dos sucesiones (an)n2N y (bn)n2N esotra sucesión (cn)n2N cuyo término general se de�ne como cn = anbn.

3. Cociente de dos sucesiones: el cociente de dos sucesiones (an)n2N y (bn)n2Nsiempre que 8n 2 N se cumpla que bn 6= 0, es otra sucesión (cn)n2N cuyo términogeneral se de�ne como cn = an=bn.

Notar que la operación de sumar, multiplicar o dividir una sucesión por una constante esun caso particular de lo anterior sumando, multiplicando o dividiendo la sucesión por unasucesión constante.

Una vez de�nidas las operaciones elementales de más arriba se comprueba que se com-portan bien por lo que respecta a la operación de tomar límites. En efecto se tiene que:

Proposición 2.6. Sean dos sucesiones convergentes (an)n2N y (bn)n2N con límites l1 y l2respectivamente. Entonces:

1. Existe limn!1

(an + bn) = limn!1

an + limn!1

bn = l1 + l2.

2. Existe limn!1

anbn = limn!1

an � limn!1

bn = l1l2.

3. Si 8n; bn 6= 0 y l2 6= 0, existe limn!1

anbn=limn!1

an

limn!1

bn=l1l2.

es decir, el límite de la suma, producto y cociente de dos sucesiones convergentes es lasuma, producto y cociente de los límites y la demostración de estos resultados no ofrecedemasiada di�cultad.Cuando alguna de las dos sucesiones (o las dos) tiene límite �1 también se pueden darresultados generales como por ejemplo, en el caso de la suma:

� Si limn!1

an = l1 y limn!1

bn = �1 existe limn!1

(an + bn) = �1.

� Si limn!1

an = �1 y limn!1

bn = �1 existe limn!1

(an + bn) = �1.

Una forma más sintética de escribir estos resultados y los correspondientes al producto esescribirlos en forma de tabla. Para la suma y el producto de dos sucesiones:

Sucesiones 21

bn��an �1 l1 1�1 �1 �1 ?

l2 �1 l1 + l2 11 ? 1 1

Límite de la suma an + bn

bn��an �1 0 l1 1�1 1 ? � sgn (l1) � 1 �10 ? 0 0 ?

l2 � sgn (l2) � 1 0 l1l2 sgn (l2) � 11 �1 ? sgn (l1) � 1 1

Límite del producto anbn

donde sgn (x) signi�ca el signo de x. La primera tabla corresponde a la suma y la segundaal producto. En cada una de ellas, la primera �la es el límite de la sucesión (an)n2N, laprimera columna el de (bn)n2N y el resto de los recuadros corresponden al límite de lasuma (en el caso de la primera tabla) y del producto (en el caso de la segunda) paralas distintas combinaciones posibles de los límites de (an)n2N y (bn)n2N. Notar que haycasos (por ejemplo, lim

n!1an = 1 y lim

n!1bn = �1 y en general todos aquellos de las

tablas en los que aparece el signo de interrogación) en los que no hay una regla generalpara determinar el límite de la suma que puede ser una cosa u otra dependiendo decada caso concreto. Lo mismo ocurre con el producto para determinadas combinacionescomo lim

n!1an = 1 y lim

n!1bn = 0 o viceversa. Se dice en estos casos que el límite de la

suma o del producto es indeterminado. Por ejemplo, si an = n y bn = �n entonceslimn!1

an = 1; limn!1

bn = �1 y limn!1

(an + bn) = 0. Sin embargo, si an = 2n y bn = �nentonces lim

n!1an =1; lim

n!1bn = �1 y lim

n!1(an + bn) =1.

En el caso de la suma las indeterminaciones son de la forma 1�1 y en elcaso del producto de la forma 0 � 1 y 0 � (�1).En el caso del cociente de dos sucesiones para el límite de an=bn con bn 6= 0 se puedeescribir una tabla parecida a las dos anteriores:

Sucesiones 22

bn��an �1 0 l1 1�1 ? 0 0 ?

0 o �1 o @ ? o �1 o @ o �1 o @l2 � sgn (l2) � 1 0 l1=l2 sgn (l2) � 11 ? 0 0 ?

Límite del cociente an=bn

y ahora hay casos en los que el límite del cociente puede no existir. Por ejemplo, an =n; bn = (�1)n=n; lim

n!1an = 1; lim

n!1bn = 0 y por tanto an=bn = (�1)nn2 y no existe el

límite del cociente an=bn. Si, en cambio, an = n; bn = 1=n, entonces limn!1

an=bn =1.Para el cociente las indeterminaciones son de la forma �1=1 y 0=0.

En general, en el caso en el que uno de los dos límites o los dos no existan, el de lasuma, producto y cociente puede existir o no y lo mejor es obtener el resultado razonandodirectamente en cada caso concreto. Casos frecuentes son:

1. La suma de dos sucesiones, una de las cuales tiene límite �nito y la otra no tienelímite (ni �nito ni 1), no tiene límite.

2. Si una sucesión no tiene límite pero está acotada y la otra tiene límite 1, entoncesla suma tiene límite 1.

3. Si una sucesión tiene límite cero y otra no tiene límite pero está acotada, el productotiene límite cero.

2.5. Otras operaciones con sucesiones

Dada una sucesión (an)n2N con an > 0 para todo n se puede de�nir otra sucesión (cn)n2Ncuyo término general sea el logaritmo de an, cn = ln an, de modo que an = exp(cn). Conrespecto a la relación entre los límites de ambas sucesiones es inmediato comprobar lasequivalencias:

cn = ln an

limn!1

an = l 6= 0() limn!1

cn = ln l

limn!1

an = 0() limn!1

cn = �1

limn!1

an = 1() limn!1

cn =1 (2.1)

Dada las sucesiones (an)n2N y (bn)n2N con an > 0 para todo n, se de�ne la sucesión detérmino general cn = abnn y de nuevo resulta útil calcular el límite de cn en función delos de an y bn porque aparece con frecuencia en el cálculo de límites de sucesiones (casosparticulares de esta de�nición son el de an constante y el de bn constante). En algunos

Sucesiones 23

casos la mejor manera de relacionar los límites de an; bn y cn es la de tomar logaritmos enlos dos miembros de cn = abnn con lo cual se tiene que ln cn = bn ln an. Usando entoncesesta igualdad (o bien directamente cn = abnn ), (2.1) y las tablas ya obtenidas para la suma,el producto y el cociente, se llega a una tabla para el límite de abnn :

bn��an 0 0 < l1 < 1 l1 = 1 l1 > 1 1�1 1 1 ? 0 0

l2 < 0 1 ll21 1 ll21 0

l2 = 0 ? 1 1 1 ?

l2 > 0 0 ll21 1 ll21 11 0 0 ? 1 1

Límite de abnnPor ejemplo, si lim

n!1an = 1 y lim

n!1bn = 0, entonces lim(ln cn) = lim(bn) lim(ln an) =

0 � 1 que es una indeterminación. Si limn!1

an = l1 con 0 < l1 < 1 y limn!1

bn = �1,entonces lim cn = lim(1=l

�bn1 ) = 1. Si lim

n!1an = 1 y lim

n!1bn = 1, entonces lim(ln cn) =

lim(bn) lim(ln an) =1 � ln 1 que de nuevo es indeterminado.Las indeterminaciones son en el caso de abnn de la forma 11; 1�1; 00 e 10.

2.6. El número e

Proposición 2.7. La sucesión (an)n2N�f0g de término general an =�1 +

1

n

�nes monó-

tona creciente y está acotada y, por tanto, tiene límite. A ese límite se le llama el númeroe y está comprendido entre 2 y 3.

limn!1

�1 +

1

n

�n= e

Demostración:La fórmula del binomio de Newton permite desarrollar (1 + 1=n)n:�

1 +1

n

�n=

nXj=0

�n

j

�1n�j

1

nj=

nXj=0

n!

j!(n� j)!

1

nj= 1 + 1 +

nXj=2

n!

j!(n� j)!

1

nj

= 2 +nXj=2

n(n� 1)(n� 2) � � � (n� j + 1)

j!

1

nj

= 2 +

nXj=2

1

j!

�1� 1

n

��1� 2

n

�� � ��1� j � 1

n

�(2.2)

Sucesiones 24

La misma expresión para el siguiente término en la sucesión se obtiene sin más que sustituiren la que se acaba de obtener n por n+ 1:�

1 +1

n+ 1

�n+1= 2 +

n+1Xj=2

1

j!

�1� 1

n+ 1

��1� 2

n+ 1

�� � ��1� j � 1

n+ 1

�(2.3)

y demostrar que la sucesión es creciente es demostrar que (2.2) es menor o igual que (2.3).Para ello basta tener en cuenta que todos los sumandos tanto en (2.2) como en (2.3) sonpositivos y además (2.3) tiene un sumando más, el j = n+1. Por último, para cada valorde j �jo entre 2 y n, el correspondiente sumando en (2.3) es mayor que el de (2.2):�

1� 1

n

��1� 2

n

�� � ��1� j � 1

n

�<

�1� 1

n+ 1

��1� 2

n+ 1

�� � ��1� j � 1

n+ 1

�porque ambos tienen j � 1 factores todos ellos menores que 1 pero los del miembro de laderecha están más próximos a 1 que los del miembro de la izquierda. Todo ello demuestraque la sucesión es monótona creciente.

Para demostrar que la sucesión está acotada hay que demostrar que (2.2) está acotadopara todo n. Teniendo en cuenta que los factores (1� 1=n); (1� 2=n); :::; (1� (j � 1)=n)son todos ellos menores que 1, es claro que sustituyéndolos por 1 se obtiene una expresiónmayor: �

1 +1

n

�n� 2 +

nXj=2

1

j!

y, por otro lado, con j � 2, j! = 2 � 3 � � � j > 2j�1 y por tanto se tiene que�1 +

1

n

�n� 2 +

nXj=2

1

j!� 2 +

nXj=2

1

2j�1= 2 +

(1=2)n � 1=2(�1=2) = 2 +

�1� (1=2)n�1

�donde en las últimas igualdades se ha usado la fórmula de la suma de los términosde una progresión geométrica de razón 1=2. Para cualquier valor de n se tiene que(1� (1=2)n�1) < 1 y por tanto (1 + 1=n)n está acotado inferiormente por 2 y supe-riormente por 3. Del hecho de que los términos de la sucesión sean crecientes y esténacotados superiormente se deduce el que la sucesión tiene límite (teorema 2.2) y las cotaspermiten a�rmar que el límite es mayor que 2 y menor que 3. �

Como consecuencia de la de�nición anterior se puede demostrar el siguiente corolario:

Proposición 2.8. Sea la sucesión de números reales (an)n2N. Si (an)n2N tiene límite iguala 1 entonces

limn!1

�1 +

1

an

�an= e

Demostración:

Si [an] es la parte entera de an resulta evidente que

1 +1

[an] + 1� 1 +

1

an� 1 + 1

[an]y también que�

1 +1

[an] + 1

�[an]�

�1 +

1

an

�an��1 +

1

[an]

�[an]+1(2.4)

Sucesiones 25

En (2.4) se consideran las sucesiones�1 +

1

[an] + 1

�[an]y�1 +

1

[an]

�[an]+1. Según 2 en la

proposición 2.4, de cada una de ellas se puede extraer una subsucesión monótona crecientey estas dos subsucesiones monótonas crecientes son a su vez subsucesiones respectivamente

de�1 +

1

n+ 1

�ny de

�1 +

1

n

�n+1. Es fácil ver que el límite de estas dos últimas es e

porque:

limn!1

�1 +

1

n+ 1

�n= lim

n!1

�1 +

1

n+ 1

�n+11 +

1

n+ 1

=e

1= e;

limn!1

�1 +

1

n

�n+1= lim

n!1

�1 +

1

n

�nlimn!1

�1 +

1

n

�= e � 1 = e

pero como toda subsucesión de una sucesión de límite l tiene el mismo límite (una de laspropiedades de la proposición 2.4) se deduce que las dos sucesiones en los extremos del

sandwich en (2.4) tienen límite e y por tanto la sucesión�1 +

1

an

�antambién, en virtud

de la propiedad 6 de la proposición 2.3. �

2.7. Cálculo de límites de sucesiones

Probablemente uno de los casos que se presenta con más frecuencia en el cálculo de límiteses el de límites de expresiones del tipo Pp(n)=Qq(n) donde Pp(n) y Qq(n) son polinomiosen la variable n 2 N con coe�cientes reales. A este respecto se tiene el siguiente resultado:

Proposición 2.9. Si se tiene el cociente

Pp(n)

Qq(n)=a0 + a1n+ a2n

2 + : : :+ apnp

b0 + b1n+ b2n2 + : : :+ bqnq; a0; : : : ; ap; b0; :::bq 2 R; p; q 2 N y ap; bq > 0

entonces se cumple que:

limn!1

Pp(n)

Qq(n)=

8<:ap=bp si p = q0 si p < q+1 si p > q

y el caso en el que los coe�cientes ap y bq no sean los dos positivos se reduce fácilmente aéste.

Demostración:

Para calcular el límite basta dividir numerador y denominador en el cociente por nM

donde M = max(p; q) y se tiene entonces que

limn!1

Pp(n)

Qq(n)= lim

n!1

a0=nM + a1=n

M�1 + a2=nM�2 + : : :+ ap=n

M�p

b0=nM + b1=nM�1 + b2=nM�2 + : : :+ bq=nM�q

Hay que distinguir 3 casos distintos:

Sucesiones 26

1. si p = q entoncesM = p = q y todos los sumandos del numerador y del denominadortienen límite 0 cuando n!1 salvo, ap=nM�p = ap y bq=nM�q = bq = bp. Entonceslimn!1 Pp(n)=Qq(n) = ap=bp.

2. si p > q entonces M = p y todos los sumandos del numerador y del denominadortienen límite 0 cuando n!1 salvo, ap=nM�p = ap. El límite del numerador es apy el del denominador es 0 y por tanto limn!1 Pp(n)=Qq(n) = +1.

3. si p < q entonces M = q y todos los sumandos del numerador y del denominadortienen límite 0 cuando n!1 salvo, bq=nM�q = bq. El límite del numerador es 0 yel del denominador es bq y por tanto limn!1 Pp(n)=Qq(n) = 0. �

Existen también una serie de criterios, algunos de los cuales se dan a continuación, queen ocasiones ayudan al cálculo de límites.

Proposición 2.10. Sea (an)n2N con an > 0 8n 2 N. Entonces se tiene que:

9 limn!1

an+1an

= l =) 9 limn!1

npan = l (2.5)

y están incluidos los casos l =1 y l = 0.

Proposición 2.11 (Criterio de la media aritmética). Sea (an)n2N y sea limn!1

an = l

donde l también puede ser �1. Entonces se tiene que

limn!1

a1 + a2 + :::+ ann

= l (2.6)

Proposición 2.12 (Criterio de la media geométrica). Sea (an)n2N con an � 0 8n 2N y se tiene que lim

n!1an = l donde l también puede ser 1. Entonces se tiene que

limn!1

npa1a2 � � � an = l (2.7)

Proposición 2.13. Sea (an)n2N con an > 0 8n 2 N y sea limn!1

an+1=an = l (incluidos los

casos l =1 y l = 0). Entonces se tiene que8><>:l < 1 =) lim

n!1an = 0

l > 1 =) limn!1

an =1l = 1 ?

(2.8)

Demostración:

En el caso de que limn!1

an+1=an = l 6=1 se tiene que dado " > 0;9N0 2 N tal que 8n � N0

se cumple que l � " � an+1=an � l + ".Si l > 1 siempre es posible elegir " lo su�cientemente pequeño como para que l � " > 1.Fijando este " y el correspondiente N0 e iterando en la desigualdad (l � ")an � an+1 setiene:

an+1 � (l � ")an � (l � ")2an�1 � : : : � (l � ")n�N0+1aN0

= (l � ")naN0

(l � ")N0�1= (l � ")nB

Sucesiones 27

con B un número �jo. Como l� " es mayor que 1 es claro que limn!1

(l� ")n =1 de donde

se deduce que limn!1

an = 1 usando la propiedad 4 de la proposición 2.3 (en el caso de

que l = 1 se opera de la misma manera a partir de la de�nición de límite 1 y se llegaal mismo resultado).Por último, si l < 1 siempre es posible elegir " lo su�cientemente pequeño como para quel + " < 1 y entonces �jando " y el correspondiente N0 se tiene que

an+1 � (l + ")an � (l + ")2an�1 � : : : � (l + ")n�N0+1aN0

= (l + ")naN0

(l + ")N0�1= (l + ")nB

y como l + " es menor que 1 es claro que limn!1

(l + ")n = 0 de donde se deduce que

limn!1

an = 0 volviendo a usar 4 de la proposición 2.3. �

La demostración de (2.8) falla cuando l = 1 y de hecho no es difícil encontrar ejemplosque demuestran que para l = 1 puede suceder cualquier cosa. Por ejemplo, para las3 sucesiones de términos generales an = b 2 R; an = n y an = 1=n se cumple quelimn!1

an+1=an = 1. Sin embargo en el primer caso el límite de la sucesión es b, en el

segundo es 1 y en el tercero es 0.

Los criterios de convergencia que se acaban de enunciar son todos ellos implicaciones en unsentido. Conviene tener siempre en cuenta que las implicaciones en sentido contrario engeneral no son ciertas. Por ejemplo, sea la sucesión de término general an = (�1)n para laque claramente no existe el lim

n!1an. Sin embargo sí existe el lim

n!1(a1+a2+ :::+an)=n. En

efecto, si n es par se tiene que claramente el límite anterior vale 0 porque a1+a2+:::+an =0. Si n es impar el límite también vale 0 porque a1+a2+ :::+an = �1 y lim

n!1(�1)=n = 0.

Luego existe limn!1

(a1 + a2 + :::+ an)=n = 0 pero no existe limn!1

an.

En el mismo sentido que el comentario anterior la sucesión de término general an = 1=2n

cuando n es impar y an = n=2n cuando n es par es un ejemplo de que la implicacióncontraria a (2.5) no es cierta. En efecto:

n impar : limn!1

an+1an

= limn!1

(n+ 1)2n

2n+1=1; n par : lim

n!1

an+1an

= limn!1

2n

2n+1n= 0

y por tanto no existe el límite de an+1=an. Pero en cambio:

n impar : limn!1

npan = lim

n!1

1np2n=1

2; n par : lim

n!1npan = lim

n!1

npn

np2n=1

2

y sí existe el límite de npan.

Dos sucesiones (an)n2N y (bn)n2N se dice que son equivalentes si se tiene que

limn!1

anbn= 1 y este hecho se suele representar: an � bn

como por ejemplo ocurre con an = n2 y bn = n2 + 3n. Cuando dos sucesiones sonequivalentes se pueden sustituir una por otra para calcular el límite de expresiones más

Sucesiones 28

complicadas con solo productos y cocientes. Por ejemplo, si an � bn y se sabe que existey se quiere calcular el lim

n!1cnan=dn, multiplicando y dividiendo por bn se tiene que

limn!1

cnandn

= limn!1

cnanbndnbn

= limn!1

cnbndn

limn!1

anbn= lim

n!1

cnbndn

de modo que en lugar de calcular limn!1

cnan=dn se puede calcular limn!1

cnbn=dn que vale lo

mismo. La ventaja es que hay ocasiones en las que resulta más fácil calcular este segundolímite que el primero. Naturalmente la sustitución de an por bn no es lícita en otrasocasiones, como por ejemplo cuando se trata de calcular límites de sumas (en el ejemploanterior an � an tiene límite cero pero sin embargo bn � an tiene límite 1), ni an � bnsigni�ca que los límites de ambas sucesiones existan por separado (an = (�1)nn; bn =(�1)nn+ 5) aunque, si existen, entonces coinciden (de hecho es fácil probar que si existeuno de los dos entonces existe el otro y ambos coinciden).

Se pueden demostrar las siguientes equivalencias que resultan útiles para calcular límites:

si limn!1

an = 0 se tiene que:

8>><>>:an � senan � arcsenanan � tan an � arctgan

an � ln(1 + an)a2n=2 � 1� cos an

y otras muchas, algunas de las cuales se pueden deducir de éstas.

Sean (an)n2N y (bn)n2N dos sucesiones con limn!1 an = �1 y limn!1 bn = �1. Se diceque bn es un in�nito de orden mayor o superior al de an cuando

limn!1

anbn= 0 y este hecho se suele representar: an � bn

La idea que subyace a la de�nición es la de que, aunque ambas sucesiones tienden a 1,la sucesión bn tiende más rápidamente de modo que en el cociente an=bn el denominadorcrece con n más deprisa que el numerador y por tanto el cociente tiene límite 0.

Proposición 2.14. Se tiene la siguiente jerarquía de in�nitos:

lnn� n� � an � n!� nn con a > 1; � 2 R+

Demostración:

� n!� nn. Se tiene que

0 � n!

nn=n � (n� 1) � � � 2 � 1

n � n � � �n = 1n� 1n

n� 2n

� � � 2n

1

n� 1

n

puesto que los factores (n � 1)=n; (n � 2)=n::: son todos ellos menores que 1. Lasucesión n!=nn tiene entonces como cota inferior la sucesión constante 0 cuyo límitees 0 y como cota superior la sucesión 1=n de límite también 0. En virtud de lapropiedad 6 de la proposición 2.3 se tiene entonces que lim

n!1n!=nn = 0.

Sucesiones 29

� an � n!. Sea N0 = [a] + 1 de modo que si n � N0 entonces n > a. Siempre quen � N0 se tiene que

0 � an

n!=a

n

a

n� 1 � � �a

N0

a

N0 � 1� � � a2

a

1=a

n

a

n� 1 � � �a

N0B � a

nB

donde B es el producto de los factores a; a=2; :::; a=(N0 � 1) y es una constante �jay la última desigualdad es cierta porque los factores a=(n � 1); :::; a=N0 son todosellos menores que 1. La sucesión an=n! queda así acotada por arriba y por debajorespectivamente por aB=n y la sucesión constante 0, ambas con límite igual a 0.Luego por la propiedad 6 de la proposición 2.3 se tiene entonces que lim

n!1an=n! = 0.

� n� � an. El cociente n�=an está acotado inferiormente por 0 y además, si se escribeel término n�=an en función del anterior (n� 1)�=an�1, se tiene que:

0 � n�

an=(n� 1)�an�1

�an�1

ann�

(n� 1)�

�=(n� 1)�an�1

Bn (2.9)

donde Bn es simplemente la expresión entre paréntesis del segundo miembro. En Bnel factor an�1=an = 1=a es menor que 1 y es una cantidad �ja. El factor n�=(n�1)�es mayor que 1 pero se acerca tanto a 1 como uno quiera sin más que hacer nsu�cientemente grande y además es decreciente con n. Como consecuencia de ellose puede conseguir escogiendo n su�cientemente grande, por ejemplo n � N0, queBn sea menor que 1 para todo n � N0 (y N0 depende solo de a y de �) y ademásBN0 � BN0+1 � :::. Si n � N0 se tiene entonces que

0 � n�

an=(n� 1)�an�1

Bn =(n� 2)�an�2

BnBn�1 =(n� 3)�an�3

BnBn�1Bn�2 = � � �

=(N0 � 1)�aN0�1

BnBn�1Bn�2 � � �BN0 �(N0 � 1)�aN0�1

Bn�N0+1N0

y como BN0 < 1 la sucesión Bn�N0+1N0

tiene límite 0 cuando n tiende a1 y lo mismole ocurre a la sucesión constante de término general 0. Como en los casos anteriores,aplicando la propiedad 6 de la proposición 2.3 se tiene entonces que lim

n!1n�=an = 0.

� lnn � n�. El resultado, lnn crece con n más despacio que cualquier potenciapositiva de n, tiene una demostración más complicada que el resto y se deja paramás adelante. En cualquier caso es cierto no solo para el logaritmo neperiano sinotambién para el logaritmo en cualquier base c > 1 y resulta bastante evidente.Basta para ello considerar, por ejemplo, en el caso del logaritmo decimal y � =1, el valor del cociente log n=n para la subsucesión nk = 10k con k = 1; 2; 3; :::.Claramente log nk=nk = k=10k tiende a 0 muy rápidamente cuando k tiende a 1,1=10; 2=100; 3=1000; :::. �

Límites y continuidad de funciones 30

3. Límites y continuidad de funciones

3.1. Generalidades

� Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Una aplicación f : A ! B es una leyque a cada elementos de A le hace corresponder uno y solo un elementode B. Si x 2 A, la aplicación relaciona este elemento con un solo elemento de Bque se representa como f(x) 2 B. Notar que en una aplicación puede darse el casode que dos elementos distintos de A, x e y, pueden estar relacionados con el mismoelemento de B, es decir, puede ocurrir que f(x) = f(y). Tampoco es obligatorioque todos los elementos de B sean imagen de alguno de A, es decir, puede existirz 2 B tal que no exista ningún elemento x de A que cumpla que f(x) = z.

� Al conjunto A se le llama dominio de la aplicación. Al conjunto de los elementosy de B tales que existe algún x 2 A que cumple que f(x) = y se le llama imageno recorrido de la aplicación y se suele representar como f(A) o también comoIm f . Evidentemente se cumple que f(A) � B. Al elemento y 2 B se le llamaimagen del elemento x 2 A mediante la aplicación f .

� Una función es una aplicación f : A ! B en la que tanto A como B sonsubconjuntos de la recta real R (y se incluye el caso en que bien A bien B oambos coincidan con R).

� Una aplicación f : A ! B se dice que es inyectiva si dados dos elementoscualesquiera x; y de A se cumple que

x 6= y ) f(x) 6= f(y)

es decir, una aplicación inyectiva transforma elementos distintos de A en elementosdistintos de B.

� Una aplicación f : A ! B se dice que es suprayectiva si cualquier elementode B es imagen de alguno de A por la aplicación f . Es decir, si para todo y 2 Bexiste al menos un x 2 A tal que y = f(x) o, en otras palabras, si f(A) = B. Portanto si se tiene una aplicación f : A! B con f(A) 6= B, siempre se puede de�niruna nueva aplicación g : A ! f(A) que cumpla que g(x) = f(x) para todo x 2 A.f no es suprayectiva pero en cambio g sí lo es por de�nición y en realidad ambasaplicaciones actúan de la misma manera sobre los elementos de A y di�eren solo enel conjunto de llegada.

� Una aplicación se dice que es biyectiva cuando es inyectiva y suprayectiva.

� Si se tiene una aplicación f : A ! B y un subconjunto D del dominio de laaplicación, D � A, se puede de�nir una nueva aplicación g : D ! B que cumplag(x) = f(x) para todo x 2 D. Es decir, sobre los elementos de D las aplicaciones fy g actúan de la misma manera pero f tiene un dominio más amplio que g. Se diceque g es la restricción de la aplicación f al conjunto D o también que f esuna prolongación o extensión de g al conjunto A.

� La grá�ca de una función f : A � R ! B � R es el conjunto de puntos de laforma (x; f(x)). Es usual representarla en el plano cartesiano.

Límites y continuidad de funciones 31

Algunas de�niciones que conviene tener presentes porque se están manejando continua-mente en un curso de cálculo son las que siguen (en todas ellas A y B son subconjuntosde la recta real o la propia recta real):

� Se dice que f : A ! B está acotada superiormente si existe un M 2 R talque 8x 2 A se tiene que f(x) � M . Está acotada inferiormente si existe unM 2 R tal que 8x 2 A se tiene que f(x) � M . Está acotada si lo está inferior ysuperiormente y entonces existe unM 2 R tal que 8x 2 A se tiene que jf(x)j �M .

� f : A ! B se dice que es creciente (decreciente) si 8x; y 2 A se tiene que(x < y) ) (f(x) � f(y)) (decreciente cuando (x < y) ) (f(x) � f(y))). Si en lasde�niciones anteriores se sustituyen los � y los � por desigualdades estrictas, lasfunciones se llaman estrictamente crecientes (estrictamente decrecientes).

� Si f : (�a; a)! B cumple que 8x 2 (�a; a) se tiene que f(x) = f(�x), se dice quela función es una función par. Si por el contrario se tiene que f(x) = �f(�x) sedice que es una función impar.

� Una función f : R!B se dice que es periódica si existe un número real P 6= 0 talque 8x 2 R se tiene que f(x) = f(x+ P ). Si existe un P positivo mínimo con estapropiedad, a ese valor de P se le llama el periodo de la función. Una funciónperiódica de periodo P viene determinada especi�cando sus valores en el intervalo[0; P ) y el resto de los valores de la función se obtienen a partir de éstos.

3.2. Operaciones elementales con funciones, composición de fun-ciones y función inversa

Las operaciones elementales con funciones, suma, producto y cociente de dos funciones sonde sobra conocidas. Dadas f; g : A � R ! R se de�nen las funciones suma, productoy cociente respectivamente como las funciones de dominio A:

(f + g)(x) = f(x) + g(x); (f � g)(x) = f(x)g(x); (f=g)(x) =f(x)

g(x)

donde en el caso del cociente hay que exigir que g(x) 6= 0 para todo x 2 A.Una operación que permite construir funciones complicadas a partir de otras más sencillases la composición de funciones. Se de�ne de la siguiente manera: sean las funcionesf : A � R! R y g : D � R! R donde para que sea posible la de�nición hace falta quef(A) � D. Entonces se de�ne la función h composición de g y f (o g compuesta con f)como una función h : A! R tal que, para todo x 2 A se tiene que:

h(x) = (g � f)(x) = g(f(x))

Pese a que se escribe g � f (es decir, primero la g y después la f), en la composición dedos funciones primero actúa la función f sobre un elemento cualquiera de A y después lafunción g sobre f(x), la imagen de x mediante f . Por ello es necesario que f(A) � D,es decir, para poder de�nir la composición la función g debe saber actuar (debe estarde�nida) sobre cualquier elemento de la forma f(x) 2 f(A). De forma más grá�ca sepuede representar la función composición como:

Límites y continuidad de funciones 32

A -ff(A) -g R

? -g � f

6x -f

f(x) -gg(f(x))

? -g � f

6

Resulta obvio que la composición de dos funciones no es una operación conmutativa. Porejemplo, si f(x) = x+3 y g(x) = x2, la función (g �f)(x) = g(f(x)) = g(x+3) = (x+3)2

mientras que (f � g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = x2 + 3 que evidentemente es una funcióndistinta de la anterior. Otras veces no se pueden componer dos funciones como por ejemplof(x) = x + 3 con dominio igual a R y g(x) =

px. La función g � f no existe porque el

recorrido de f es R, f(R) = R, y el dominio de g es R+ [ f0g, de modo que no se cumplela condición de que el recorrido de f esté contenido en el dominio de g. Sin embargo síestá de�nida la función (f � g)(x) =

px + 3 que tiene como dominio R+ [ f0g y como

recorrido los reales mayores o iguales que 3.

Como ya se ha indicado la composición de funciones permite construir nuevas funciones apartir de otras ya conocidas. Se suponen conocidas las funciones elementales exp(x); lnx;senx; cosx; tan x;arctgx etc. y a partir de ellas, utilizando la composición de funciones,se pueden construir funciones como, por ejemplo, ln f(x); f(x)g(x); cos f(x); ::::.

Sea f : A! B una función biyectiva. Se puede entonces de�nir f�1, la función inversade f , como la función f�1 : B ! A que cumple que

8x 2 A se tiene que f�1(f(x)) = x y 8 y 2 B se tiene que f(f�1(y)) = y

o, dicho en otras palabras:

f � f�1 = idB y f�1 � f = idA

con idA la función identidad sobre el conjunto A e idB la función identidad sobre elconjunto B.Claramente si una función f : A! B no es inyectiva no existe su función inversa porquesi f no es inyectiva entonces existen x; y 2 A con x 6= y tales que f(x) = f(y) = z 2 B yla función inversa debería simultáneamente cumplir que f�1(z) = x y f�1(z) = y lo queva en contra de la de�nición de aplicación.Si f : A! B no es suprayectiva tampoco existe función inversa f�1 : B ! A porque f�1

debe saber actuar sobre todos los elementos de su dominio B y, si f no es suprayectiva,hay al menos un z 2 B que no es imagen de ningún x 2 A de modo que no tiene sentidohablar de f�1(z) 2 A. Ahora bien, como ya se ha visto, toda función f : A ! f(A) essuprayectiva por de�nición de modo que para que la función f : A! f(A) tenga inversaf�1 : f(A)! A solo es necesario que f sea inyectiva porque entonces es automáticamentebiyectiva.Muchas veces se consigue que una función sea inyectiva sin más que restringir adecuada-mente su dominio. Por ejemplo, f : R ! R+ [ f0g de�nida como f(x) = x2 no esinyectiva porque f(x) = f(�x) = x2. Sin embargo si se restringe el dominio de la funcióna R+ [ f0g entonces la función f : R+ [ f0g ! R+ [ f0g con f(x) = x2 es suprayectivay por tanto tiene función inversa de�nida como f�1(x) = +

px. De manera análoga, la

función f : R� [ f0g ! R+ [ f0g con f(x) = x2 tiene como función inversa la funciónf�1(x) = �

px.

Límites y continuidad de funciones 33

3.3. Límite de una función en un punto

Sea x0 2 R, una bola reducida B�(x0; R) y sea una función f : B�(x0; R) ! R (lo quesigni�ca que la función está de�nida en un entorno del punto x0 pero no necesariamenteen el propio x0). Como ya ocurría en el caso del límite de una sucesión, la de�nición quesigue de límite de una función en un punto es fundamental:

De�nición 3.1 (Límite de una función en un punto). Se dice queexiste el límite de f (x) cuando x tiende a x0 y es igual a l y se escribeque lim

x!x0f (x) = l cuando:

Dado " > 0 existe � > 0 tal que siempre que 0 < jx� x0j < � se cumpleque jf (x)� lj < "

La idea intuitiva de límite de f(x) en el punto x0 es clara: si existe el limx!x0 f(x) = l sepuede conseguir que los puntos f(x) estén sobre el eje de ordenadas tan próximos como sequiera del valor l 2 R (a una distancia menor que ") sin más que tomar en abscisas valoresde x su�cientemente próximos a x0 (a una distancia de x0 menor que �). Si para cualquier" > 0 que se elija, por pequeño que sea, se puede encontrar un valor � > 0 de modo que secumpla la propiedad anterior, se dice que existe el limx!x0 f(x) = l. Naturalmente el valorde � depende de " de modo que es frecuente escribir �(") para indicar esta dependencia.En la �gura 3.1 existe el límite de la función representada cuando x tiende a x0 y vale l.Si se elige un " como el indicado, es necesario escoger el � que aparece también allí paragarantizar que si jx� x0j < � entonces jf(x)� lj < ". Un " más pequeño implica elegirun � también más pequeño pero siempre, sea cual sea el " > 0 elegido, se puede elegir un� > 0 de tal manera que se cumpla la de�nición.Para que exista el límite anterior solo es necesario que la función f esté de�nida en unentorno del punto x0 (excluido el propio x0) tan pequeño como se quiera porque el límitees una propiedad local que tiene que ver con el comportamiento de la función en lasproximidades de x0. Ello no signi�ca que la función no pueda estar de�nida en conjuntosmás amplios pero los valores de f en puntos x alejados de x0 no in�uyen para nada en laexistencia del límite.

l

x0

ε

ε δ

l+ε

l- ε

f(x0)

Límites y continuidad de funciones 34

Figura 3.1.

No es necesario que la función esté de�nida en x0 y de hecho, en la de�niciónanterior, f(x0) no aparece para nada y la condición 0 < jx� x0j en la de�nición excluyeel caso x = x0. Si el límite existe y vale l, f(x0) puede o no estar de�nido y, caso de quelo esté, no tiene porqué ocurrir que f(x0) = l. Es lo que ocurre en la �gura 3.1 en la quela función representada toma en el punto x0 el valor indicado por el círculo y claramentef(x0) 6= l. Es un ejemplo un poco arti�cial porque se ha de�nido deliberadamente f(x0)�mal�para que no coincida con l pero hay casos en los que de forma �natural�la funciónen el punto x0 no está de�nida. Por ejemplo, en la �gura 3.2 se representa la funciónsenx=x que en x = 0 no está de�nida (de hecho el programa de dibujo con el que se harepresentado la función no la está dibujando en el 0 sino solo hasta puntos muy próximospor la derecha y por la izquierda). Sin embargo de la �gura resulta bastante evidente (yse demostrará más adelante) que al acercarse a x = 0 por la derecha y por la izquierda lafunción se acerca tanto como uno quiera a 1, es decir, se tiene que limx!0 senx=x = 1.

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

sen(x)/x

Figura 3.2.

En ocasiones lo que se trata de demostrar es la a�rmación contraria a limx!x0 f(x) = l,bien porque no exista el límite bien porque exista pero no valga l. Conviene tener encuenta que en este caso hay que demostrar que

9 " > 0 tal que 8 � > 0 9 un x con jx� x0j < � tal que jf(x)� lj � " (3.1)

y la idea es sencillamente demostrar que existe un " > 0 tal que, por mucho que nosaproximemos a x0, siempre hay puntos x tales que la distancia de f(x) a l es mayor oigual que ".

De�niciones también importantes son las de límites laterales, límite de f(x) cuando xtiende a x0 por la derecha y límite de f(x) cuando x tiende a x0 por la izquierda.

Se dice que existe el límite de f(x) cuando x tiende a x0 por la derecha y este límitevale l y se escribe limx!x+0

f(x) = l si se cumple que:

Dado " > 0;9 � > 0 tal que siempre que 0 < (x� x0) < � se tiene que jf(x)� lj < "

Se dice que existe el límite de f(x) cuando x tiende a x0 por la izquierda y estelímite vale l0 y se escribe limx!x�0

f(x) = l0 si se cumple que:

Dado " > 0;9 � > 0 tal que siempre que 0 < (x0 � x) < � se tiene que jf(x)� l0j < "

Límites y continuidad de funciones 35

Las de�niciones de límite por la derecha y por la izquierda son idénticas a las de límitesalvo por el hecho importante de que para que exista el límite por la derecha (por laizquierda) basta que cuando los valores de x se acerquen a x0 por la derecha (por laizquierda), los correspondientes valores de f(x) se acerquen a l (a l0 en el caso del límitepor la izquierda). Los límites por la derecha y por la izquierda pueden existir los dos oninguno de ellos, o existir uno y no el otro. Es inmediato comprobar de las de�nicionesanteriores que solo cuando ambos límites (por la derecha y por la izquierda)existen y coinciden, l = l0, entonces existe el límite de la función y su valor esl. En la �gura 3.3 en el punto x0 = 1 existe el límite por la derecha y vale 1:7 y tambiénexiste el límite por la izquierda y vale 1 pero no existe el límite porque no coinciden.

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

δ

ε

Figura 3.3.

En muchas ocasiones ocurre que cuando x se acerca a x0 los correspondientes valores def(x) se hacen cada vez más grandes y no se pueden acotar en un entorno de x0. Se diceentonces que la función tiende a1 cuando x tiende a x0 y si lo que ocurre es que los f(x)se hacen tan pequeños como uno quiera, que la función tiende a �1. Con más precisión,se dice que limx!x0 f(x) = +1 y que limx!x0 f(x) = �1 cuando respectivamente:

Dado M > 0;9 � > 0 tal que siempre que 0 < jx� x0j < � entonces f(x) > M

Dado M > 0;9 � > 0 tal que siempre que 0 < jx� x0j < � entonces f(x) < �M

Notar que en cualquiera de los dos casos la función no está de�nida en el punto x0 peroello no es obstáculo para que exista el límite. Por supuesto y como en las de�nicionesanteriores, el valor de � depende de M de modo que a veces se escribe �(M) para indicaresta dependencia.De la misma manera se pueden de�nir los casos en los que el límite por la derecha o porla izquierda es +1 o �1 sin más que sustituir en las de�niciones anteriores jx� x0j porx� x0 (límite por la derecha) o por x0 � x (límite por la izquierda).

Por último, en una función f(x) de�nida en toda la recta real interesa estudiar su compor-tamiento cuando x tiende a �1. Se dice que limx!1 f(x) = l y que limx!�1 f(x) = l0

cuando respectivamente:

Dado " > 0, existe M > 0 tal que siempre que x > M entonces jf(x)� lj < "

Dado " > 0, existe M > 0 tal que siempre que x < �M entonces jf(x)� l0j < "

Límites y continuidad de funciones 36

lo que signi�ca intuitivamente que, en el primer caso, para todos los valores de x mayoresque M , los valores de la función pueden ser mayores o menores que l pero di�eren de l enuna cantidad menor que ".Las de�niciones anteriores se generalizan de inmediato al caso en que l o l0 valgan �1.Por ejemplo, se dice que limx!1 f(x) = �1 cuando:

Dado N > 0, existe M > 0 tal que siempre que x > M entonces f(x) < �N

La primera propiedad importante del límite de una función en un punto es la unicidad,equivalente a la que ya se vio en el caso de límites de sucesiones.

Proposición 3.1 (Unicidad del límite de una función). Si existe el límite de f(x)cuando x tiende a x0, este límite es único.

Demostración:La demostración es por reducción al absurdo y muy similar a la que ya se hizo en elcaso de las sucesiones. Basta suponer que existen dos límites distintos l y l0 y llegar a lacontradicción de que forzosamente l = l0. En efecto, se empieza por eligir " > 0 de modoque jl � l0j > 2". Si limx!x0 f(x) = l, dado el " anterior, existe un � > 0 tal que siempreque se cumpla que jx� x0j < � con x 6= x0, se tiene que jf(x)� lj < ". Por otro lado, silimx!x0 f(x) = l0, elegido el mismo " > 0 existe un �0 > 0 tal que siempre que se cumplaque jx� x0j < �0 con x 6= x0, se tiene que jf(x)� l0j < ". Si se toma �00 = min(�; �0), paratodos los x 6= x0 tales que jx� x0j < �00 se cumple simultáneamente que jf(x)� lj < " yque jf(x)� l0j < ". Ésto entra en contradicción con el hecho de que la distancia entre ly l0 es mayor que 2" y que por tanto no pueden existir puntos f(x) que simultáneamenteestén a una distancia menor que " de l y de l0. �

Proposición 3.2 (Caracterización del límite por sucesiones). Sea una función fde�nida en un entorno reducido del punto a, f : B�(a;R) ! R. Una condición nece-saria y su�ciente para que exista el limx!a f(x) = l es:Para toda sucesión (xn)n2N con xn 2 B�(a;R) que cumpla que limn!1 xn = a debecumplirse que limn!1 f(xn) = l.

Demostración:Demostrar la condición necesaria signi�ca demostrar que, si se cumple que limx!a f(x) =l, entonces también se cumple la implicación

limn!1

xn = a) limn!1

f(xn) = l

Para ello, si limx!a f(x) = l se tiene que

8 " > 0 existe � > 0 tal que si 0 < jx� aj < � entonces jf(x)� lj < "

Por otro lado, limn!1 xn = a signi�ca que

8 � > 0 existe N 2 N tal que para todo n � N se cumple que jxn � aj < �

Tomando el mismo � en las dos de�niciones es obvio que para todo n � N , como jxn � aj <�, entonces jf(xn)� lj < ". Luego

dado " > 0 existe N 2 N tal que para todo n � N se cumple que jf(xn)� lj < "

Límites y continuidad de funciones 37

que es la de�nición de que limn!1 f(xn) = l.Demostrar la condición su�ciente signi�ca demostrar que si para todas las sucesiones(xn)n2N cuyo límite es a se cumple que limn!1 f(xn) = l, entonces se tiene que existelimx!a f(x) = l. Para ello se razona por reducción al absurdo. Supóngase que se veri�cala hipótesis pero que sin embargo limx!a f(x) 6= l. Según (3.1) eso signi�ca que existeal menos un " > 0 tal que si se escoge �1 = 1 hay un punto x1 con jx1 � aj < 1 y talque jf(x1)� lj > ", si se escoge (con el mismo ") �2 = 1=2 hay un x2 con jx2 � aj < 1=2y tal que jf(x2)� lj > ", si se escoge �3 = 1=3 hay un x3 con jx3 � aj < 1=3 y talque jf(x3)� lj > " y así sucesivamente. Se genera de esta manera una sucesión depuntos x1; x2; :::; xn; ::: que claramente cumple que limn!1 xn = a (puesto que jxn � aj <1=n) pero tal que para cualquier n jf(xn)� lj > ". Ello va contra la hipótesis de quelimn!1 xn = a implica que limn!1 f(xn) = l. �

La proposición 3.2 es útil en la práctica para demostrar que no existe el límite de unafunción f en un punto a. Para ello basta encontrar una sucesión de puntos xn conlimn!1 xn = a y tal que limn!1 f(xn) no exista o, también, dos sucesiones de puntos xny zn ambas con límite a pero tales que limn!1 f(xn) = l y limn!1 f(zn) = l0 con l 6= l0.

La proposición anterior ligeramente modi�cada también es una condición necesaria ysu�ciente para la existencia de cualquiera de los límites laterales, por la derecha o porla izquierda. Condición necesaria y su�ciente para que exista el límite por la derecha yvalga l, limx!a+ f(x) = l, es que para toda sucesión xn tal que xn > a y que cumpla quelimn!1 xn = a, debe cumplirse que limn!1 f(xn) = l. Para que exista el límite por laizquierda se sustituye xn > a por la condición xn < a.

Otras propiedades de los límites de funciones se recogen en la siguiente proposición. Susdemostraciones son parecidas a las que se hicieron para propiedades equivalentes de límitesde sucesiones.

Proposición 3.3. Sean f; g; h : B�(a;R)! R con R > 0. Se tiene que:

1. Si limx!a f(x) = l entonces existe un entorno reducido de a B�(a; �) � B�(a;R)tal que f está acotada superior e inferiormente en B�(a; �).

2. Si limx!a f(x) = l > 0 (< 0) entonces existe un entorno reducido de a B�(a; �) �B�(a;R) tal que f(x) > 0 (< 0) para todo x 2 B�(a; �).

3. Si limx!a f(x) = l y limx!a g(x) = l y la función h cumple que f(x) � h(x) � g(x)entonces existe limx!a h(x) = l.

3.4. Funciones continuas

Sea x0 2 R, sea B(x0; R) una bola o entorno del punto x0 y sea una función f : B(x0; R)!R.

De�nición 3.2 (Función continua en un punto). Se dice que f es con-tinua en el punto x0 cuando cumple la siguiente propiedad:

Dado " > 0, existe � > 0 tal que para todo x que cumpla quejx� x0j < � se tiene que jf(x)� f(x0)j < "

Límites y continuidad de funciones 38

La de�nición de continuidad en un punto x0 es similar a la de existencia de límite deuna función en x0. La diferencia entre ambas de�niciones radica en que, como ya se haindicado en el apartado anterior, para que exista el limx!x0 f(x) = l no es necesario quela función esté de�nida en el punto x0 y, si lo está, no es necesario que f(x0) = l. Encambio, para que la función sea continua en x0 hacen falta dos condiciones: primera, queexista el limx!x0 f(x) y segunda que este límite coincida con el valor de la función enx0, es decir, aparte de existir el límite, f debe estar de�nida en x0 y se debe cumplirque limx!x0 f(x) = f(x0). Una función que no es continua en un punto se dice que esdiscontinua o que tiene una discontinuidad en dicho punto.

Cuando, de las dos condiciones que se acaban de dar se cumple la primera, la existen-cia del límite, pero no la segunda, se dice que la función f tiene en el punto x0 unadiscontinuidad evitable. Es el caso de, por ejemplo, la �gura 3.1 en la que existelimx!x0 f(x) = l pero no coincide con el valor de f(x0). A este tipo de discontinuidad sele llama evitable porque basta con de�nir una nueva función g(x) que coincida con f(x)en todos los puntos excepto en x0 y tal que g(x0) = l. La función g(x) ya es continua enx0 y conserva el resto de las propiedades que tuviera la función f(x) (en realidad g(x) yf(x) son la misma función salvo por el hecho de que el valor de f(x0) estaba mal asignadoy en g(x) se ha corregido esta asignación para conseguir que la función sea continua enx0).El mismo tipo de problema se plantea en el caso de la función ya mencionada f(x) =senx=x de la �gura 3.2 que ni siquiera está de�nida en x = 0 pero para la que existe ellimx!0senx=x = 1. Si se quiere conseguir una función que esencialmente tenga sus mismaspropiedades pero que esté de�nida y sea continua en x = 0 basta de�nir la función g(x)de la siguiente manera: g(x) = senx=x para todo x 6= 0 y g(0) = 1.

La situación es distinta en el caso de la �gura 3.3. La función que se representa tiene enel punto x0 = 1 una discontinuidad que se llama discontinuidad de salto porque eneste caso el problema no radica en cómo esté de�nida la función en el punto 1 sino enque no existe el limx!1 f(x) porque, aunque existen los límites por la derecha y por laizquierda, no coinciden. De hecho la discontinuidad de salto en un punto se de�ne comola que se tiene cuando existen los dos límites laterales pero no coinciden. Ésto se traduceen el hecho de que la función tiene un salto cuando pasa de valores a la izquierda de x = 1a valores a la derecha de este punto. En este caso la discontinuidad no se puede corregirrede�niendo el valor de la función en x = 1 porque tiene que ver con que el límite noexiste.

Los ejemplos anteriores tienen que ver con discontinuidades evitables o de salto y en unsolo punto. Hay funciones que son discontinuas en todos los puntos en los que estánde�nidas y además los límites laterales en cualquier punto no existen (y por tanto ladiscontinuidad no sería ni evitable ni de salto). Un ejemplo, la función f : R! R que seconoce con el nombre de función de Dirichlet y que se de�ne como:

f(x) =

8<:1 si x es racional

0 si x es irracional

Esta función tiene discontinuidades en todos los puntos de la recta real porque, dado un acualquiera, no existe ni limx!a+ f(x) ni limx!a� f(x). Sea por ejemplo un a determinado.Según la proposición 1.5 si se elige un intervalo de la forma (a; a+ 1), en él hay in�nitos

Límites y continuidad de funciones 39

números racionales z y números irracionales y. Se elige un racional cualquiera z1 deentre ellos y un irracional cualquiera y1. Se toma ahora un intervalo (a; a + 1=2) y porla misma razón se eligen z2 racional e y2 irracional tales que z2; y2 2 (a; a + 1=2) y asísucesivamente. Procediendo de esta manera se obtiene una sucesión de números racionaleszn con zn 2 (a; a+ 1=n) y una sucesión de números irracionales yn con yn 2 (a; a+ 1=n).Ello signi�ca que limn!1 zn = a y que limn!1 yn = a. Pero, según la de�nición dela función de Dirichlet, f(zn) = 1 y f(yn) = 0 para todo n 2 N lo que signi�ca quelimn!1 f(zn) = 1 y que limn!1 f(yn) = 0. Luego, según los comentarios que se hacendespués de la proposición 3.2, no existe el limx!a+ f(x). De manera análoga se razonapara demostrar que no existe el limx!a� f(x).

En el caso de la función f(x) = sen�1

x

�, que se representa en la �gura 3.4 para valores

de x > 0 próximos a x = 0 (f es par de modo que tiene la misma representación parax < 0), la función está de�nida y es continua en toda la recta real excepto en x = 0 endonde no está de�nida.

10-1

100

-1

-0.5

0

0.5

1

sen(1/x)

Figura 3.4.

No es una discontinuidad evitable porque no basta con de�nir el valor de la funciónen x = 0 para transformarla en una función continua en el 0. De hecho no existe el

limx!0 sen�1

x

�porque en cualquier entorno (��; �) arbitrariamente pequeño de x = 0 la

función toma todos los valores posibles entre �1 y 1. Ello es debido a que en cualquierentorno del punto x = 0 f tiene 1 oscilaciones. Dado cualquier número l 2 R siemprese pueden encontrar puntos x arbitrariamente próximos a 0 tales que jf(x)� lj > 1=2

lo que, según (3.1), signi�ca que no existe limx!0 sen�1

x

�= l (razonando de la misma

manera se demuestra que tampoco existen los límites laterales).

3.5. Cálculo de límites de funciones

Los resultados del límite de una suma, producto y cociente de dos funciones son equiva-lentes a los que ya se vieron en el caso de sucesiones.

Límites y continuidad de funciones 40

Proposición 3.4 (Álgebra de límites). Sean dos funciones f; g : B�(a;R) ! R conR > 0 y tales que existen lim

x!af(x) = l1 y lim

x!ag(x) = l2. Entonces:

1. Existe limx!a(f + g)(x) = lim

x!af(x) + lim

x!ag(x) = l1 + l2.

2. Existe limx!a(f � g)(x) = lim

x!af(x) � lim

x!ag(x) = l1l2.

3. Si l2 6= 0, existe limx!a(f=g)(x) =

limx!a

f(x)

limx!a

g(x)=l1l2.

Es decir, el límite de una suma y de un producto de funciones es la suma y el productode los límites y el límite de un cociente es el cociente de los límites siempre que el límitedel denominador sea distinto de 0. Exactamente los mismos resultados son aplicablesen el caso de funciones continuas sin más que sustituir l1 y l2 por f(a) y g(a) y se tieneentonces que si las funciones f y g son continuas en a entonces la suma, productoy cociente de ambas es continua en a con la salvedad ya mencionada en el casodel cociente de que g(a) 6= 0.

Los resultados de la proposición 3.4 son también válidos cuando a = �1 y cuando l1 ol2 o ambos son 0 o �1 excluyendo los casos indeterminados (se llaman con frecuenciaindeterminaciones) en los que no es posible decir a priori y en general cuál va a ser elresultado del límite. Las indeterminaciones por lo que respecta a la suma, el producto yel cociente son:

� l1 + l2 con l1 = +1 y l2 = �1 (o viceversa).

� l1l2 con l1 = �1 y l2 = 0 (o viceversa).

� l1=l2 con l1 = l2 = 0.

� l1=l2 con l1 = �1 y l2 = �1 (con todas las posibles combinaciones de signos).

En estos casos no hay reglas generales para calcular el límite de la suma, producto ocociente de las dos funciones f y g y el valor del límite depende en cada caso concreto decuáles sean esas funciones f y g.La indeterminación del tipo 0=0 aparece en un caso que se da con frecuencia,.cuando secalcula el límite del cociente de dos funciones polinómicas. Se tiene el siguiente resultadoal respecto:

Proposición 3.5. Sea el cociente:

p(x)

q(x)=apx

p + ap+1xp+1 + : : :+ ap+mx

p+m

bqxq + bq+1xq+1 + : : :+ bq+nxq+n

con todos los ai 2 R; ap 6= 0; ap;bq > 0 y p; q; n;m 2 N. Entonces:

limx!0

p(x)

q(x)=

8>><>>:ap=bq si p = q+1 si p < q y q � p parno existe si p < q y q � p impar0 si p > q

y el caso en el que los coe�cientes ap y bq no sean los dos positivos se reduce fácilmente aéste.

Límites y continuidad de funciones 41

La demostración es inmediata dividiendo numerador y denominador por xmin(p;q) y tomandodespués el límite.En el caso, también frecuente, de que se quiera calcular el

limx!1

p(x)

q(x)= lim

x!1

a0 + a1x+ : : :+ apxp

b0 + b1x+ : : :+ bqxq;

el resultado es el de la proposición 2.9 sin más que sustituir la variable entera n queaparece allí por la variable real x.

También es habitual que se den las situaciones enumeradas en la siguiente proposición:

Proposición 3.6. Sean f; g : B�(a;R)! R con R > 0. Se tiene que:

� Si limx!a f(x) = l con l �nito y no existe el limx!a g(x) (ni �nito ni 1), entoncesno existe el limx!a(f + g)(x).

� Si limx!a f(x) =1 y g(x) está acotada, entonces limx!a(f + g)(x) =1.

� Si limx!a f(x) = 0 y g(x) está acotada, entonces limx!a(f � g)(x) = 0.

� Si limx!a f(x) = �1 y limx!a g(x) = 0 y en cualquier entorno del punto x = ahay puntos x tales que g(x) > 0 y puntos z con g(z) < 0, entonces no existelimx!a(f=g)(x).

Un concepto, que ya se ha estudiado en el caso de sucesiones y que se usa con frecuenciaen el cálculo de límites de productos y cocientes de funciones, es el de in�nitésimos equiva-lentes. Si limx!a f(x) = 0 se dice que f es un in�nitésimo en x = a. Si limx!a f(x) = 0y limx!a g(x) = 0 se acaba de decir que el límite del cociente de ambas funciones es unaindeterminación y depende de cuáles sean las funciones. Se dice que f y g son in�nitési-mos equivalentes en x = a y se escribe f � g en x = a cuando:

limx!a

f(x) = 0; limx!a

g(x) = 0; limx!a

f(x)

g(x)= 1

Como ya se comentó en el caso de las sucesiones, un in�nitésimo se puede sustituir porotro equivalente cuando se están calculando límites de productos y de cocientes pero node sumas. Por ejemplo, si f � g en x = a y se quiere calcular el lim

x!af(x)s(x)=h(x) (que

se sabe que existe), multiplicando y dividiendo por g(x) se tiene que

limx!a

f(x)s(x)

h(x)= lim

x!a

s(x)f(x)g(x)

h(x)g(x)= lim

x!a

s(x)g(x)

h(x)limx!a

f(x)

g(x)= lim

x!a

s(x)g(x)

h(x)

de modo que en lugar de calcular limx!a

f(x)s(x)

h(x)se puede calcular lim

x!a

g(x)s(x)

h(x)que vale lo

mismo. La ventaja es que hay ocasiones en las que resulta más fácil calcular este segundolímite que el primero. La sustitución de f por g no es lícita en otras ocasiones, comocuando se trata de calcular límites en los que aparecen sumas. Por ejemplo, f(x) = x y

g(x) = x + x2 son in�nitésimos equivalentes en x = 0 pero limx!0

�1

f(x)� 1

g(x)

�= 1 y en

cambio el límite sale 0 si se sustituye directamente f(x) por g(x).

A continuación se da una lista de cocientes de funciones cuyo límite es 1 cuando x tiende a0. Por tanto en cada cociente el numerador y el denominador son in�nitésimos equivalentesen x = 0:

Límites y continuidad de funciones 42

� limx!0

senxx

= 1

� limx!0

tan x

x= 1

� limx!0

arcsenxx

= 1

� limx!0

arctgxx

= 1

� limx!0

2� 2 cos xx2

= 1

� limx!0

ln(1 + x)

x= 1

Todos los límites excepto el último se pueden calcular a partir del primero de elloslimx!0senx=x. Éste se calcula razonando sobre la �gura 3.5.

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

tg x

sen x

x

A

B

CDO

Figura 3.5.

La circunferencia es de radio unidad de modo que los segmentos AD y BC tienen respec-tivamente longitudes senx y tan x donde x es el ángulo que se representa expresado enradianes. Las áreas de los triangulos OAD y OBC son respectivamente (cosx)(senx)=2y (tan x)=2 puesto que en el primero la base tiene longitud cosx y en el segundo longitudigual a 1. El área del sector circular OAC es igual a �R2x=(2�) = x=2 teniendo en cuentaque R = 1. Es claro de la �gura que las areas de los dos triangulos acotan inferior ysuperiormente el área del sector, es decir,

cosx senx2

� x

2� tan x

2o bien cosx � x

senx� tan x

senx=

1

cosx

y la segunda cadena de desigualdades se consigue multiplicando todos los miembrosde la primera por 2=senx. Haciendo ahora x tender a 0 por la derecha, se tiene quelimx!0+ cosx = 1 y por tanto, del tercer enunciado de la proposición 3.3, se obtiene quelimx!0+ x=senx = 1 y que limx!0+ senx=x = 1. Como la función senx=x es par, el límitepor la derecha coincide con el límite por la izquierda y por tanto limx!0 senx=x = 1.Notar que el razonamiento solo es válido cuando el ángulo se expresa en radianes (soloentonces el área del sector circular es x=2) de modo que el límite no vale 1 si el ángulo seexpresa en grados.

Límites y continuidad de funciones 43

En el caso de funciones continuas el siguiente resultado es importante y se usa con fre-cuencia para estudiar la continuidad de funciones que son composición de otras continuasya conocidas:

Proposición 3.7 (Composición de funciones continuas). Se tiene una función f :B(x0; R) ! R con R > 0 continua en x0 y una función g : B(f(x0); R0) ! R con R0 > 0continua en f(x0). Entonces se tiene que la función g � f : B(x0; R) ! R es continua enx0. Ello signi�ca que existe

limx!x0

(g � f)(x) = (g � f)(x0) = g(f(x0))

Como la continuidad de f signi�ca que limx!x0

f(x) = f(x0), el resultado anterior se puede

escribir:limx!x0

(g � f)(x) = limx!x0

g(f(x)) = g( limx!x0

f(x)) = g(f(x0))

es decir, el orden en el que actúan el límite y la función g se puede invertir.

En el caso del limx!a

f(x)g(x) con limx!a

f(x) = l1 y limx!a

g(x) = l2 se tiene que limx!a

f(x)g(x) = ll21 .

Esto incluye el que l1 o l2 o ambos valgan �1 o 0 excepto en aquellos casos en los quehay una indeterminación que son:

� l1 = 0; l2 = 0.

� l1 =1; l2 = 0:

� l1 = 1; l2 = �1:

Como ya se dijo para las sucesiones, en muchos casos en los que es necesario calcu-lar un límite de la forma lim

x!af(x)g(x) es más conveniente calcular el lim

x!aln(f(x)g(x)) =

limx!a

g(x) ln f(x) y el límite a calcular es el de un producto. Si se obtiene que limx!a

g(x) ln f(x) =

l entonces limx!a

f(x)g(x) = el.

3.6. Propiedades globales de las funciones continuas

Hasta ahora se ha estudiado la continuidad de una función f en un punto a que, como ellímite de una función, es una propiedad local que exige solo que la función esté de�nidaen un entorno de a. Cuando la función es continua en todos los puntos de un subconjuntoA de R se dice que es continua en A y tiene entonces propiedades que se estudian acontinuación, en especial cuando A es un intervalo cerrado y acotado [a; b]. En este caso,la continuidad en los puntos extremos del intervalo hay que entenderla como continuidadpor la izquierda en el caso de b y continuidad por la derecha en el de a, es decir, laexistencia de los límites:

limx!b�

f(x) = f(b); limx!a+

f(x) = f(a)

puesto que otra cosa no tendría sentido porque la f no tiene porqué estar de�nida ni a laderecha de b ni a la izquierda de a.El primero de los resultados importantes es el teorema de Bolzano:

Límites y continuidad de funciones 44

Teorema 3.8 (Teorema de Bolzano). Sea f una función continua en un intervalocompacto (cerrado y acotado) [a; b]:

f : [a; b]! R y tal que f(a)f(b) < 0

es decir, la función toma valores de signo distintos en los puntos a y b. Entonces se tieneque existe al menos un punto c 2 (a; b) en el que la función toma el valor 0, f(c) = 0.

Demostración:

El teorema tiene una demostración sencilla que responde a la idea intuitiva de que unafunción continua se puede representar sin levantar el lápiz del papel. Si en a toma unvalor negativo y en b positivo (o viceversa) entonces para pasar de a a b la grá�ca tieneforzosamente que cortar al menos una vez el eje de abscisas y en el punto de corte lafunción vale cero.

De forma más rigurosa, sean a = a0 y b = b0 y supóngase que f(a0) < 0 y f(b0) > 0. Setoma el punto medio del intervalo [a; b] (a0+ b0)=2 y se calcula el signo de f((a0+ b0)=2).Si f((a0 + b0)=2) > 0 se de�ne a1 = a0 y b1 = (a0 + b0)=2 y si f((a0 + b0)=2) < 0 entoncesse hace a1 = (a0 + b0)=2 y b1 = b0. Es claro que en el nuevo intervalo [a1; b1] que tienela mitad de la longitud de [a; b] ocurre lo mismo que en éste: f(a1) < 0 y f(b1) > 0, esdecir, la función cambia de signo en los extremos del intervalo.

Se vuelve a repetir el proceso pero ahora con el intervalo [a1; b1]: se elige su punto medio(a1+ b1)=2 y se estudia el signo de f((a1+ b1)=2). Si f((a1+ b1)=2) > 0 se hace a2 = a1 yb2 = (a1 + b1)=2 y si f((a1 + b1)=2) < 0 entonces se de�ne a2 = (a1 + b1)=2 y b2 = b1. Enel nuevo intervalo [a2; b2] de longitud [a; b]=4 se repite el proceso y así sucesivamente.

Si en algún momento la función f se anula en algún punto medio de la forma (an+ bn)=2ese punto es el que se está buscando y la demostración termina. Si no, se genera de estamanera una sucesión fang que por construcción es creciente y tal que f(an) < 0 para todon y una sucesión fbng que por construcción es decreciente y que cumple que f(bn) > 0para todo n. Como ambas sucesiones son acotadas y monótonas resulta que ambas tienenlímite y como, por otro lado, la longitud del intervalo [an; bn] es (b� a) =2n, que tiende a0 cuando n tiende a 1, forzosamente ambos límites deben coincidir:

limn!1

an = limn!1

bn = c 2 (a; b)

Además, como la función es continua en c debe cumplirse que

limn!1

f(an) = limn!1

f(bn) = f(c)

pero por otro lado, puesto que f(an) < 0, limn!1 f(an) � 0 y puesto que f(bn) > 0,limn!1 f(bn) � 0 lo que deja como única opción posible que f(c) = 0. �

Ejemplo 3.1. Demostrar que la ecuación no lineal x = cos x tiene solución en el intervalo[0; 1] y calcular aproximadamente dicha solución con un error menor que 1=10.

El teorema de Bolzano es el resultado teórico que permite a�rmar que una ecuación nolineal como, por ejemplo, x = cosx, tiene solución en el intervalo [0; 1]. En efecto elproblema es equivalente a demostrar que la función continua f(x) = x� cosx se anula enalgún punto del intervalo [0; 1] lo cual es cierto porque f(0) = �1 < 0, f(1) = 1�cos 1 > 0y por tanto según el teorema existe c 2 [0; 1] tal que c � cos c = 0. Este c es además

Límites y continuidad de funciones 45

la única solución de la ecuación porque en el intervalo en cuestión x es creciente y cosxdecreciente de modo que solo se pueden cortar una vez. Además el teorema da un métodoconstructivo para calcular aproximadamente la solución procediendo como se procede enla demostración. En 1=2, punto medio de [0; 1], f(1=2) = �0:3776. La solución estáentonces en el intervalo [1=2; 1] puesto que en este intervalo f cambia de signo y por tantoel teorema de Bolzano asegura que en este intervalo la ecuación tiene una solución. Secalcula ahora el signo de f en 3=4 punto medio de [1=2; 1] y resulta que f(3=4) = 0:0183y por tanto la solución está en el intervalo [1=2; 3=4] porque f cambia de signo entrelos extremos del intervalo. En el siguiente paso f(5=8) = �0:186 lo que signi�ca que lasolución está en [5=8; 3=4] y en el punto medio del intervalo anterior 11=16 se cumple quef(11=16) = �0:0853 y por tanto la solución de la ecuación está en [11=16; 3=4] lo quedetermina su valor aproximado con un error menor que 1=10.Es claro que procediendo de esta manera se puede acotar el valor de la solución con unaprecisión tan grande como se quiera, acotando por arriba y por abajo cada vez con másprecisión el punto c en donde f(c) = 0. Este método de ir dividiendo cada intervalo endos partes de igual longitud y quedándose con el subintervalo en donde la función cambiade signo se llama el método de la bisección.

Una generalización del teorema 3.8 es el siguiente, que responde a la misma idea intuitivaque el anterior:

Teorema 3.9 (Teorema de los valores intermedios). Sea f una función continua enun intervalo compacto (cerrado y acotado) [a; b], f : [a; b] ! R. Entonces se tiene que(suponiendo que f(a) < f(b)):

8y tal que f(a) � y � f(b) existe siempre al menos un c 2 [a; b] tal que f(c) = y:

Es decir, f toma en [a; b] todos los valores intermedios entre f(a) y f(b) (suponiendo quef(a) < f(b) y viceversa en caso contrario).

La idea que subyace a la demostración es la misma que en el caso anterior: para pasarde f(a) a f(b) de forma continua (sin dar saltos) hay que pasar por todos los valoresintermedios.

El siguiente resultado tiene que ver con los valores máximos y mínimos que toma unafunción continua en su dominio.

De�nición 3.3 (Extremos globales de una función). Se dice que una función f deA en R tiene su máximo global (mínimo global) en c 2 A cuando se cumple que

8x 2 A se tiene que f(x) � f(c) (f(x) � f(c) en el caso del mínimo) (3.2)

y f(c) es el valor máximo (mínimo) de f en A.

Cuando se habla de máximos y mínimos en general sin especi�car si son una cosa u otrase re�ere uno a ellos como los extremos globales de la función. En general f : A! Rno tiene porqué tener extremos globales. Sin embargo se tiene que:

Teorema 3.10 (Extremos globales de f(x) continua en un compacto). Sea f unafunción continua de�nida en un compacto, f : [a; b] ! R. Entonces f alcanza en [a; b]máximo y mínimo global.

Límites y continuidad de funciones 46

Demostración:

En primer lugar se demuestra que f está acotada en [a; b]. Se tiene que:

� Si no estuviera acotada superiormente existiría una sucesión de números reales f(xn)con límite 1 y con los xn todos ellos pertenecientes al intervalo [a; b].

� Por tanto la sucesión fxng está acotada y consiguientemente tiene una subsucesiónconvergente fx�(n)g con lim

n!1x�(n) = l 2 [a; b].

� Puesto que la función es continua en [a; b] se tiene que limn!1

f(x�(n)) = f(l).

� Por otro lado f(x�(n)) es una subsucesión de f(xn) y por tanto si limn!1

f(xn) = 1también debe cumplirse que lim

n!1f(x�(n)) = 1 en contra del hecho de que este

límite es f(l).

Notar que el razonamiento falla si, por ejemplo, el dominio de f fuera un abierto (a; b)porque entonces el lim

n!1x�(n) podría ser a o b en donde la función no está de�nida. Se

razona de la misma manera para demostrar que la función está acotada inferiormente.Para demostrar que f tiene máximo global se procede de la siguiente manera:

� Como el conjunto de números f(x) con x 2 [a; b] está acotado superiormente, tienesupremo � = sup(f(x)):

� Si � = sup(f(x)) entonces existe una sucesión f(xn) con los xn 2 [a; b] tal quelimn!1

f(xn) = �:

� La sucesión fxng está acotada y por tanto tiene una subsucesión fx�(n)g convergente,es decir, lim

n!1x�(n) = l 2 [a; b].

� Como f es continua en [a; b] de limn!1

x�(n) = l se deduce que limn!1

f(x�(n)) = f(l).

� Como limn!1

f(xn) = � y fx�(n)g es una subsucesión de fxng, se tiene que cumplir quelimn!1

f(x�(n)) = � y por tanto � = f (l) y la función alcanza su máximo en l 2 [a; b].Se razona de manera similar para el mínimo. �

El teorema 3.10 no es cierto si el intervalo en el que está de�nida la función no es cerrado.Por ejemplo, la función f(x) = 1=x de�nida en el intervalo abierto (0; 1) es continua endicho intervalo y sin embargo no alcanza en él valor máximo puesto que la función creceinde�nidamente cuando x se aproxima al 0.A partir del teorema 3.10 es posible demostrar otros dos resultados sobre funciones con-tinuas de�nidas sobre intervalos:

Teorema 3.11. Sea f una función continua de�nida en un compacto, f : [a; b] ! R.Entonces el recorrido de f , f([a; b]), es el intervalo compacto [m;M ] donde m y M sonrespectivamente el mínimo y el máximo de f en [a; b].

Demostración:

Según el teorema 3.10 f alcanza en un cierto punto x1 su valor máximo, f(x1) = My en otro punto x2 el mínimo, f(x2) = m. Según el teorema 3.9 alcanza todos losvalores comprendidos entre M y m y por tanto el recorrido de f es el intervalo [m;M ],f([a; b]) = [m;M ]. �

Teorema 3.12. Sea f una función continua de�nida en un intervalo I, f : I ! R.Entonces el recorrido de f , f(I), es también un intervalo.

Límites y continuidad de funciones 47

En el caso de este teorema no se exige que el dominio de la función sea compacto ni seasegura que el recorrido lo sea. Por ejemplo, la función f(x) = 1=x de�nida en el intervalo(0; 1] (que no es cerrado) tiene como recorrido el intervalo [1;1) (que no es acotado).

Resulta evidente que una función estrictamente creciente o decreciente es inyectiva. Sinembargo el resultado recíproco no es cierto en general. Por ejemplo, la función de�nidaen [0; 2] como f(x) = x si x 2 [0; 1) y f(x) = 4 � x si x 2 [1; 2] no es ni creciente nidecreciente y es inyectiva. Sin embargo el recíproco es cierto cuando se trata de funcionescontinuas. Se tiene así el siguiente resultado:

Teorema 3.13. Si f es una función continua e inyectiva de�nida en un intervalo I en-tonces f es en I estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

El último de los teoremas relacionado con las propiedades globales de las funciones con-tinuas tiene que ver con la continuidad de la inversa de una función continua.

Teorema 3.14. Sea I un intervalo de R y f : I ! R continua e inyectiva en I. Entoncesexiste f�1 que es continua e inyectiva en su dominio f(I).

En realidad la existencia de f�1 está asegurada por la inyectividad de f y la demostracióndel teorema se reduce a probar que f�1 es continua. La inyectividad de f�1 también esclara porque, por el teorema 3.13, si f es inyectiva es estrictamente monótona y por tantolo mismo le ocurre a f�1 que, al ser estrictamente monótona, es inyectiva.

Derivación 48

4.Derivación

4.1. De�nición de derivada de una función en un punto e inter-pretación geométrica de la derivada. Derivadas laterales

El cálculo diferencial es el estudio de la derivada y la derivación es el proceso de calcularderivadas. Al plantearnos la cuestión ¿qué es una derivada? nos encontramos entre otrascon tres posibles respuestas: una derivada es una tasa de variación, es la pendiente deuna recta y es el límite de un cociente incremental.Exploremos con un ejemplo la idea de tasa de variación instantánea para luego formalizarel concepto matemático de derivada.

Ejemplo 4.1 (Velocidad de un punto móvil). Considérese un objeto que se desplazacon movimiento rectilíneo no uniforme. La idea de velocidad media sería el incrementodel espacio por unidad de tiempo. Si s(t) es la posición del móvil (su distancia al origen)en cada instante t; la velocidad media vm en un intervalo de tiempo [t0; t1] se de�necomo

vm =s(t1)� s(t0)

t1 � t0

La velocidad instantánea en un instante t puede aproximarse calculando velocidades me-dias en intervalos de tiempo cada vez más cortos. La velocidad media en el intervalo[t; t+4t] viene dada por:

vm =s(t+4t)� s(t)

4tSi el intervalo de tiempo tiende a reducirse a cero, la velocidad media se aproxima a lavelocidad instantánea en t, que en términos precisos se de�ne mediante

v(t) = lim4t!0

s(t+4t)� s(t)

4tsi tal límite existe.

En este proceso se ha formado el cociente que expresa la variación de una cierta variableespacial s por unidad de variación de otra temporal t, de la cual depende, y a continuaciónse ha efectuado un paso al límite. Este valor límite de las tasas de variación conducea la idea de tasa instantánea de variación, cuya formalización matemática lleva a laidea de derivada de una función que se expone a continuación.

Sea una función f : (a� �; a+ �) ! R. Se de�ne su cociente incremental en el punto acomo el cociente

f (x)� f (a)

x� a

de�nido para 8x 2 (a� �; a+ �) con x 6= a.

Derivación 49

De�nición 4.1 (Derivada de una función). Se dice que una funciónf de�nida en un entorno de a, f : (a� �; a+ �) ! R, es derivable en a sisu cociente incremental tiene límite �nito cuando x ! a y en ese caso suderivada f 0 (a) en el punto a se de�ne como:

f 0(a) = limx!a

f(x)� f(a)

x� a(4.1)

En muchas ocasiones se usa para de�nir f 0 (a) la variable h = x � a enlugar de la propia variable x y entonces se escribe

f 0(a) = limh!0

f(a+ h)� f(a)

h(4.2)

Ejemplo 4.2. Comprobar que la función lineal f(x) = mx + n con m;n 2 R tiene porderivada 8x 2 R; f 0(x) = m.

El límite del cociente incremental de f en a es

f 0 (a) = limx!a

f(x)� f(a)

x� a= lim

x!a

(mx+ n)� (ma+ n)

x� a= m

Ejemplo 4.3. Comprobar que la función potencial f(x) = xn con n 2 N tiene porderivada para todo x número real f 0(x) = nxn�1.

En efecto, calculando el cociente de polinomios (xn � an) = (x� a) :

limx!a

f(x)� f(a)

x� a= lim

x!a

xn � an

x� a= lim

x!axn�1 + axn�2 + :::+ an�1 = nan�1 = f 0 (a)

La notación f 0 (a) que se ha usado en la de�nición para denotar la derivada de una funciónf en un punto a no es la más corriente, sobre todo en textos de física y de ingeniería.En muchas ocasiones se usa una notación que se conoce con el nombre de notación deLeibniz y que resalta aspectos importantes de la derivada, fundamentalmente el hechode que es el límite de un cociente incremental.La notación tiene en cuenta que una función y = f(x) es una relación de dependenciaentre dos variables, la variable independiente x y la variable dependiente y. A un incre-mento �x = x � a de la variable independiente alrededor del punto a le corresponde unincremento �y = f (x) � f (a) de la variable dependiente y lo que signi�ca la de�niciónde derivada es que cuando �x es pequeño se tiene que �y � f 0(a)�x:Leibnitz consideró incrementos in�nitamente pequeños de las variables, a los que denotódx y dy, de manera que se diese una igualdad

dy = f 0(a)dx

Derivación 50

y a estos incrementos in�nitesimales dx y dy los denominó diferenciales de las variablesx e y.Admitiendo su existencia, la derivada de la función se expresa entonces como un cocientede diferenciales:

f 0(a) =dy

dx

y el segundo miembro de la igualdad es la notación de Leibniz para la derivada.

Esta notación se usa por diferentes motivos. En primer lugar recuerda que la derivadady

dx;

aunque no es un cociente propiamente dicho, es un límite de cocientes�y

�x: En segundo

lugar, esta notación especi�ca la variable independiente, lo que resulta muy útil cuando seemplean otras variables además de la x. Otras ventajas se pondrán de mani�esto cuandose aborde la regla de la cadena.

Nos planteamos ahora precisar la de�nición de recta tangente a la grá�ca de una funciónen un punto y el método para calcular su pendiente.Sea y = f(x) una función continua. Si f posee recta tangente en el punto Q de coorde-nadas (a; f(a)); el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente se transformaen el de determinar la pendiente de dicha recta. Un medio de aproximarla es encontrarlas pendientes de las rectas secantes que pasan por el punto Q y cualquier otro punto Psobre la grá�ca de f .Si f es una función continua en I = (a� �; a+ �) y derivable en a 2 I, veamos que lagrá�ca de f; que es la curva Gf = f(x; y) 2 R2 tal que x 2 I; y = f(x)g ; admite tangenteen el punto (a; f(a)) y que la pendiente de la tangente es el valor f 0(a):La recta secante determinada por los puntos Q = (a; f(a)) y P = (t; f(t)) tiene porecuación

y = f(a) +f(t)� f(a)

t� a(x� a)

a

f(a)

P1P

2P

3

Figura 4.1.

Cuando P se acerca a Q; o equivalentemente t tiende hacia a, se observa que las rectassecantes se acercan cada vez más a la recta tangente y consiguientemente lo mismo sucedepara las pendientes (en la �gura 4.1 las rectas secantes que pasan por los puntos (a; f (a))

Derivación 51

y P1; P2 y P3 se van acercando a la recta tangente a la grá�ca de la función en el punto(a; f (a))).Por tanto la pendiente de la recta tangente a la grá�ca de f en (a; f(a)) es

f 0(a) = limx!a

f(x)� f(a)

x� a

y la ecuación de dicha recta tangente es

y (x) = f(a) + f 0(a)(x� a) (4.3)

a

f(a)

a+h

f(a+h)

y(a+h)

B

A

Figura 4.2.

Otra interpretación geométrica interesante se deduce de (4.3) y la de�nición de derivadade f en el punto a. (4.2) se puede escribir como:

limh!0

f(a+ h)� f(a)� f 0 (a)h

h= 0

pero según (4.3) con x = a+ h se tiene que y (a+ h) = f(a) + f 0 (a)h donde y (a+ h) esel valor de la recta tangente en el punto a+ h. Luego el límite anterior se puede escribircomo:

limh!0

f(a+ h)� y(a+ h)

h= 0 (4.4)

y lo que dice (4.4) es que la distancia entre las ordenadas de la recta tangente y la funciónen el punto a + h (la longitud del segmento AB en la �gura 4.2) tiende a 0 cuando htiende a 0 más rápidamente de lo que tiende a 0 el propio valor de h (se dice el numeradoren (4.4) es un in�nitésimo de orden superior al denominador).Cualquier recta secante que corte la grá�ca de f en el punto (a; f (a)) y otro puntocualquiera P tiene como ecuación s (x) = f(a) + c(x� a) con c una constante distinta def 0 (a). Para ella es cierto que la diferencia f(a+ h)� s(a+ h) tiende a 0 cuando h tiendea 0 pero solo en el caso de la recta tangente la diferencia tiende a 0 incluso cuando se la

Derivación 52

divide por h. En este sentido se dice que la recta tangente es la recta que mejor aproximael valor de la función f en las proximidades de x = a.

Para que exista cualquier límite deben existir los límites por la derecha y por la izquierday coincidir y lo mismo le ocurre al límite del cociente incremental que de�ne la derivadade una función en un punto. En este sentido se tiene la siguiente de�nición:

De�nición 4.2 (Derivadas laterales). La derivada lateral derecha de f en a es:

f 0+(a) = limx!a+

f(x)� f(a)

x� a= lim

h!0+f(a+ h)� f(a)

h

si tal límite existe y es �nito y la derivada lateral izquierda de f en a es:

f 0�(a) = limx!a�

f(x)� f(a)

x� a= lim

h!0�f(a+ h)� f(a)

h

si el límite existe y es �nito.

Que una función sea derivable en un punto equivale a que existan sus derivadas lateralesy coincidan en dicho punto. Por tanto, una función puede no ser derivable en un puntobien porque sus derivadas laterales existan pero no coincidan, bien porque una de ellas, oambas, no existan.

Ejemplo 4.4. Probar que la función

f(x) =

�x2 x � 0x x > 0

es derivable en R�f0g :

El cociente incremental de f en el origen es

f(x)

x=

�x x � 01 x > 0

Por tanto

f 0+(0) = limx!0+

f(x)

x= 0 y f 0�(0) = lim

x!0�f(x)

x= 1

y como las derivadas laterales existen pero son diferentes, la función no es derivable en elorigen.Notar también que en cualquier otro punto x 6= 0 la función es derivable y se tiene que

f 0(x) =

�2x x < 0

1 x > 0

Derivación 53

4.2. Continuidad y derivabilidad

Proposición 4.1 (Continuidad de las funciones derivables). Sea f una función de�nidaen un entorno del punto a. Si f es derivable en a entonces f es continua en a.

Demostración:

Por hipótesis, existe f 0(a) = limx!af(x)� f(a)

x� a:

Comprobemos la continuidad de f en a viendo que limx!a f(x) = f(a):Tomando límites en los dos miembros de la igualdad (con x 6= a)

f(x)� f(a) = (x� a)f(x)� f(a)

x� a

se tiene

limx!a(f(x)� f(a)) = lim

x!a(x� a) lim

x!a

f(x)� f(a)

x� a= 0 � f 0(a) = 0 �

Conviene señalar que un razonamiento en todo similar al que se acaba de hacer demuestraque la existencia de derivadas laterales de una funcion en un punto garantiza la continuidaden dicho punto, aún en el caso de que las derivadas laterales no coincidan y por tantola función no sea derivable. En cambio, si las derivadas laterales en un punto no existenentonces la continuidad no está asegurada automáticamente y, dependiendo del ejemplode que se trate, la función puede ser o no continua en el punto. Los dos ejemplos quesiguen ilustran todo lo dicho.

Ejemplo 4.5. Demostrar que la función valor absoluto f(x) = jxj es continua en R perono es derivable en el origen.

Que la función es continua en todo R excepto quizá en el cero resulta evidente. Paracomprobar la continuidad y la no derivabilidad en el cero basta, según lo anteriormenteexpuesto, comprobar que las derivadas laterales existen pero no son iguales. Se tiene que:

f 0+(0) = limx!0+

f(x)� f(0)

x= lim

x!0+jxjx= lim

x!0+x

x= 1

f 0�(0) = limx!0�

f(x)� f(0)

x= lim

x!0�jxjx= lim

x!0��xx= �1

Ejemplo 4.6. Demostrar que la función f (x) de�nida como

f(x) =

8><>:x sen

1

xx 6= 0

0 x = 0

es continua en R pero no es derivable en el origen.

Derivación 54

De nuevo por lo que respecta a la continuidad es claro que la función es continua en todoR excepto quizá en el cero. Pero también es continua en el cero porque

limx!0

x sen1

x= 0 = f (0)

ya que la función es producto de una función que tiende a cero y una función acotada.Sin embargo en este caso no existen las derivadas laterales porque el

limx!0

x sen1

x� 0

x� 0 = limx!0

sen1

x

no existe, ni cuando x tiende a cero por la derecha ni cuando tiende a cero por la izquierda.

En ocasiones se puede calcular la derivada de una función f (x) en un punto a calculandolos límites laterales de la función derivada f 0 (x) cuando x ! a. El resultado precisoque relaciona la derivabilidad de f en a con la existencia de los límites laterales de f 0 endicho punto es la siguiente proposición (cuya demostración requiere resultados de capítulosposteriores):

Proposición 4.2. Sea f una función continua en a y derivable en todos los puntos delentorno (a� �; a+ �) salvo quizá en el propio punto a y sean los límites laterales de f 0 ena:

limx!a+

f 0 (x) = f 0�a+�; lim

x!a�f 0 (x) = f 0

�a��

Se tiene entonces que

si f 0�a+�existe se cumple que f 0

�a+�= f 0+ (a)

si f 0�a��existe se cumple que f 0

�a��= f 0� (a)

es decir, cuando los límites laterales de la derivada existen, coinciden con las derivadaslaterales. Y de lo anterior se deduce que si los dos límites laterales existen y coincidenentonces existe f 0 (a) y coincide con el valor común de los límites laterales. Y también, silos dos límites laterales de la derivada existen pero no coinciden, entonces la función noes derivable en a.

El ejemplo 4.5 ilustra la última a�rmación de la proposición 4.2. Para la función f (x) =jxj se tiene que f 0 (0+) = 1 y que f 0 (0�) = �1 de donde se deduce que la función no esderivable en el cero (como ya se había comprobado directamente en el ejemplo).La proposición no dice nada con respecto a lo que ocurre en el caso de que los límiteslaterales no existan. De hecho en este caso la derivada en a puede o no existir como sepone de mani�esto en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 4.7. En el ejemplo 4.6 la función allí de�nida no es derivable en el cero y eneste caso los límites laterales de la derivada no existen. En efecto:

limx!0+

f 0 (x) = f 0�0+�= lim

x!0+

�sen

1

x� 1

xcos

1

x

�limx!0�

f 0 (x) = f 0�0��= lim

x!0�

�sen

1

x� 1

xcos

1

x

�

Derivación 55

Estos límites laterales no existen pero de este hecho no se puede deducir que no existaf 0 (0) (aunque en este ejemplo esta última a�rmación sea cierta). Que la no existencia def 0 (0) no es una consecuencia de la no existencia de f 0 (0+) y f 0 (0�) lo prueba la siguientefunción:

g(x) =

8><>:x2 sen

1

xx 6= 0

0 x = 0

que es derivable en el origen pese a que el límite lateral de la derivada

limx!0+

g0 (x) = g0�0+�= lim

x!0+

�2x sen

1

x� cos 1

x

�obviamente no existe (y lo mismo ocurre con el otro límite lateral). Sin embargo sí existeg0 (0) porque

limx!0

x2 sen1

x� 0

x� 0 = 0 = g0 (0)

4.3. Derivadas sucesivas de una función

El objetivo de este apartado es de�nir las derivadas sucesivas (derivada segunda, terceray en general derivada de orden n) de una función f . Se tiene la siguiente de�nición porlo que respecta a la derivada segunda:

De�nición 4.3 (Derivada segunda de una función). Se tiene una función

f : (c1; c2)! R; a 2 (c1; c2)y se supone que existe � > 0 tal que para todo x 2 (a� �; a+ �) existe f 0 (x).Bajo estas condiciones se dice que f es dos veces derivable en a o, lo que es equivalente,que tiene derivada segunda en el punto a, si existe el límite siguiente:

limx!a

f 0(x)� f 0(a)

x� a= f 00(a)

y, caso de que exista, al valor del límite se le llama derivada segunda de f en a y se denotapor f 00(a).

En palabras, la derivada segunda de una función en un punto a es la derivada de sufunción derivada primera en dicho punto a. Es conveniente tener en cuenta que, lo mismoque para de�nir f 0 (a) es necesario que exista f (x) para todos los x en un entorno de a,cuando se trata de de�nir la derivada segunda f 00 (a) es necesario que exista f 0 (x) paratodos los x en un entorno de a (lo que por otra parte queda claro de la de�nición def 00 (a)).

La de�nición anterior se generaliza al caso de derivadas de orden superior de una funcióndada f . La notación que se suele usar es la de designar la derivada de orden n def en a (derivada n-ésima de f en a) con el símbolo f (n) (a), aunque en el caso de lasderivadas primera y segunda se suele en muchos casos mantener la notación f 0 (a) y f 00 (a)respectivamente. Se tiene así la de�nición:

Derivación 56

De�nición 4.4 (Derivada de orden n de una función). Se tiene una función

f : (c1; c2)! R; a 2 (c1; c2)

y se supone que existe � > 0 tal que para todo x 2 (a� �; a+ �) existe f (n�1) (x).Bajo estas condiciones se dice que f es n veces derivable en a o, lo que es equivalente,que tiene derivada n-ésima en el punto a, si existe el límite siguiente:

limx!a

f (n�1)(x)� f (n�1)(a)

x� a= f (n)(a)

y, caso de que exista, al valor del límite se le llama derivada n-ésima de f en a y se denotapor f (n)(a).

Aquí es aplicable el mismo comentario que se ha hecho en el caso de la derivada segunda:para que tenga sentido la de�nición de f (n)(a) es necesario que existan las primeras n� 1derivadas de f no solo en a, también en todos los puntos x 2 (a� �; a+ �). Como porotra parte se sabe que si una función es derivable en un punto es también continua endicho punto, se deduce que, si existe f (n)(a), entonces en un entorno (a� �; a+ �) existentodas las derivadas de f hasta el orden n � 1 y todas ellas hasta el orden n � 2 sonfunciones continuas en (a� �; a+ �). La derivada de orden n� 1 solo es derivable y portanto continua en a.

Una de�nición que exige un poco más a la función que solo la existencia de la derivadaf (n)(a) y que se usa con mucha frecuencia en los cursos de cálculo es la que sigue:

De�nición 4.5 (Funciones de clase n). Se dice que una función f es de clase p 2 Ncon p > 0 en un intervalo (a; b) y se escribe f 2 Cp ((a; b)) cuando:

8x 2 (a; b) existen las derivadas f (n) (x) con n = 0; 1; 2; : : : p

La derivada f (p) (x) es una función continua en (a; b)

Se adopta el convenio de que f (0) (x) = f (x) y también es usual extender la de�niciónanterior al caso p = 0 y decir de una función continua en (a; b) que es de clase 0 en (a; b),f 2 C0 ((a; b)).

Ejemplo 4.8. La derivada n-ésima de la función f(x) = xm depende de la relación entrelos valores de n y m; de forma que

f (n) (x) =

8<: m(m� 1):::(m� n+ 1)xm�n =m!

(m� n)!xm�n si n � m

0 si n > m

Derivación 57

4.4. Reglas de derivación

El proceso de calcular la derivada de una función puede parecer laborioso pues exige re-currir a la de�nición de derivada y calcular el correspondiente límite. Aunque en ocasionestal procedimiento es obligado, existen resultados que hacen posible calcular derivadas deforma mecánica sin ni siquiera necesidad de recurrir a la de�nición. Estos resultados sonlos que permiten calcular las derivadas de sumas, multiplicaciones, divisiones y composi-ción de funciones a partir de las derivadas de las funciones que intervienen en cada unade estas operaciones elementales.

Proposición 4.3 (Derivadas de f + g; fg; cf; 1=g y f=g en función de las de f y g).Sean f y g funciones derivables en el punto a: Entonces las funciones f + g; fg; cf; 1=g yf=g son derivables en a (siempre que g (a) 6= 0 en los casos de 1=g y f=g) y se cumple:

� (f + g)0(a) = f 0(a) + g0(a)

� (fg)0(a) = f 0(a)g(a) + f(a)g0(a)

� (cf)0(a) = cf 0(a):

��1

g

�0(a) = � g

0(a)

g2(a)

��f

g

�0(a) =

f 0(a)g(a)� f(a)g0(a)

g2(a)

Demostración:En el caso del producto el cociente incremental de fg en a es:

(fg)(x)� (fg)(a)x� a

=f(x)g(x)� f(a)g(a)

x� a

=f(x)g(x)� f(a)g(x) + f(a)g(x)� f(a)g(a)

x� a

= g(x)f(x)� f(a)

x� a+ f(a)

g(x)� g(a)

x� a

y pasando al límite:

limx!a

(fg)(x)� (fg)(a)x� a

= limx!a

g(x) limx!a

f(x)� f(a)

x� a+ f(a) lim

x!a

g(x)� g(a)

x� a

= g(a)f 0(a) + f(a)g0(a)

puesto que f y g son derivables en a.

En el caso de 1=g con g (a) 6= 0 se tiene que:

limx!a

1=g (x)� 1=g (a)x� a

= limx!a

g (a)� g (x)

g (x) g (a) (x� a)= � g

0 (x)

g2 (a)

Derivación 58

teniendo en cuenta la de�nición de derivada y la continuidad de g en a. La derivada def=g se obtiene de las dos que se acaban de demostrar teniendo en cuenta que f=g es elproducto de f y de 1=g. �

La regla de derivación del producto de dos funciones que se acaba de demostrar se puedegeneralizar con facilidad para derivar el producto de n funciones fk con k = 1; 2; :::n queson todas ellas derivables en a:

(f1f2 � � � fn)0(a) = f 01(a)f2(a) � � � fn(a) + f1(a)f02(a) � � � fn(a) + : : :+ f1(a)f2(a) � � � f 0n(a)

=nXk=1

f 0k(a)Yj 6=k

fj(a)

Las derivadas de las funciones trigonométricas directas se calculan fácilmente a partir delas del seno y del coseno.

Proposición 4.4 (Derivadas del seno y del coseno). Se tiene que:

� ( senx)0 = cos x

� (cosx)0 = � senx

Demostración:Para la función seno se tiene que:

limh!0

sen (a+ h)� sen ah

= limh!0

sen a cosh+ cos a senh� sen ah

= limh!0

sen a (cosh� 1) + cos a senhh

= limh!0

�2 sen a sen2 (h=2) + cos a senhh

= cos a

teniendo en cuenta que limh!0( senh)=h = 1. En el caso del coseno se opera de formasimilar. �

En ocasiones es necesario calcular la derivada n-ésima del producto de dos funciones.Existe una fórmula, debida a Leibniz, que facilita este cálculo.

Proposición 4.5 (Fórmula de Leibniz: derivada n-ésima del producto). Sean fy g dos funciones n veces derivables en un punto a. Entonces la derivada n-ésima de lafunción producto fg viene dada por:

(fg)(n) (a) =

nXk=0

�n

k

�f (n�k)(a)g(k)(a)

conviniendo en que la derivada de orden cero de una función es la propia función.

Derivación 59

Ejemplo 4.9. Sean las funciones f (x) =x2

2y g(x) = senx. Calcular (fg)(31) (0):

Claramente se tiene que f (0) = 0 y f (n) (0) = 0 excepto para la derivada de orden 2, encuyo caso se tiene que f (2) (0) = 1.En cuanto a la función g (x), g (0) = 0, las derivadas pares de g(x) en 0 valen todas ellas0 y las impares van alternando su valor entre 1 y �1 puesto que g(2n+1)(x) = cosx si n espar y g(2n+1)(x) = � cosx si n es impar.Aplicando la regla de Leibniz se tiene que:

(fg)(31) (0) =31Xk=0

�31

k

�f (k)(0)g(31�k)(0)

y el único sumando distinto de cero es el correspondiente a k = 2. Por tanto:

(fg)(31) (0) =

�31

2

�g(29)(0) =

31 � 302

g(29)(0) = 465g(29)(0) = 465

puesto que 29 = 2� 14 + 1 y por tanto se tiene que g(29)(0) = 1.

4.5. Derivada de la composición de funciones (regla de la cadena)y derivada de la función inversa de una dada

La fórmula de derivación para funciones compuestas se denomina regla de la cadena.Recuérdese que una función compuesta se obtiene "insertando" una función en otra y lacomposición de f y g se denota por g � f y se de�ne (g � f) (x) = g(f (x)). Utilizando lanotación de Leibniz se puede hacer una deducción heurística de la regla de la cadena dela siguiente manera:Si y = f(x) y z = g (x) son dos funciones derivables, componiéndolas obtenemos la funciónz = g(f (x)). Diferenciando las funciones f y g se tiene que

dy = f 0(x)dx dz = g0(y)dy

y si operamos algebraicamente con estos elementos diferenciales resulta

dz

dx=dz

dy

dy

dx= g0 (f (x)) f 0 (x)

que es precisamente el resultado de la regla de la cadena. De forma rigurosa se tiene elsiguiente teorema:

Teorema 4.6 (Regla de la cadena). Si f es derivable en a y g es derivable en f(a),entonces la funcion compuesta g � f es derivable en a y se cumple:

(g � f)0 (a) = g0 (f (a)) f 0 (a)

Derivación 60

Demostración:Para una función h cualquiera derivable en un punto a se puede de�nir una función dela siguiente manera:

(x) =

8<: h(x)� h(a)

x� a� h0 (a) si x 6= a

0 si x = a

que cumple queh(x)� h(a) = [h0 (a) + (x)] (x� a)

y, puesto que h es derivable en a, se deduce que es continua en x = 0 porquelimx!a (x) = 0 = (a).

Aplicando este resultado a la función g que es derivable en f(a) resulta que se puedeescribir:

g(y)� g(f(a)) = [g0(f(a)) + (y)] (y � f(a)) con función continua y nula en f(a):

Sustituyendo y por f(x) y dividiendo ambos miembros por x� a, el cociente incrementalde g � f en a es:

g(f(x))� g(f(a))

x� a= [g0(f(a)) + (f(x))]

f(x)� f(a)

x� a

Por la continuidad de f en a y en f(a) se tiene limx!a (f(x)) = 0 y por tanto:

limx!a

g(f(x))� g(f(a))

x� a= g0(f(a)) lim

x!a

f(x)� f(a)

x� a= g0 (f (a)) f 0 (a)

puesto que f es derivable en a. El primer miembro no es más que la derivada de la funcióncompuesta lo que demuestra la regla de la cadena. �

El resultado anterior permite calcular derivadas de la composición de un número n arbi-trario de funciones. Por ejemplo, si f3 es derivable en a3, f2 es derivable en a2 = f3 (a3) yf1 es derivable en a1 = f2 (a2), se tiene que f = f1 � f2 � f3 es derivable en a3 y se cumpleque:

f 0 (a3) = (f1 � f2 � f3)0 (a3) = f 01 ((f2 � f3) (a3)) (f2 � f3)0 (a3)

= f 01 ((f2 � f3) (a3)) f 02 (f3 (a3)) f 03 (a3)

= f 01 (a1) f02 (a2) f

03 (a3)

Nos preguntaremos ahora sobre las condiciones que debemos imponer a una función finyectiva sobre un intervalo I y derivable en a 2 I para que su función inversa f�1 seaderivable en el punto b = f(a):Si aceptamos que f�1 es derivable en b y aplicamos la regla de la cadena para derivar eny = b la identidad

(f � f�1 )(y) = y

se obtiene la igualdadf 0(f�1 (b))(f�1 )0(b) = 1

Derivación 61

Si f 0(a) 6= 0 se puede despejar y obtener la expresión de la derivada de la inversa

(f�1)0(b) =1

f 0(f�1(b))=

1

f 0(a)

Formalicemos estas ideas en el siguiente resultado:

Teorema 4.7 (Derivada de la función inversa). Sea f una función inyectiva y con-tinua sobre un intervalo I. Si f es derivable en un punto a 2 I y f 0(a) 6= 0 entonces lafunción inversa f�1 es derivable en el punto b = f(a): Además se cumple:

(f�1)0(b) =1

f 0(a)=

1

f 0(f�1(b))

Los dos teoremas anteriores permiten calcular derivadas de funciones más complicadasque las que se obtienen con las reglas de derivación del apartado anterior. Como ejemplose tiene la siguiente proposición:

Proposición 4.8. Se tiene la función f : R+ ! R+ de�nida como f (x) = qpxp con

q; p 2 N y q 6= 0. Entonces se cumple que f 0 (x) = p

qx(p=q)�1.

Demostración:Se calcula en primer lugar la derivada de la función g (x) = q

px = x1=q con ayuda

del teorema 4.7. La función inversa de g es la función g�1 (x) = xq cuya derivada es(g�1)

0(x) = qxq�1. Por tanto, según el teorema 4.7 se tiene que

g0 (x) =1

(g�1)0 (g (x))=

1

(g�1)0 (x1=q)=

1

q (x1=q)q�1 =

1

qx(1=q)�1

La función f del enunciado es la composición de la función g que se acaba de de�nir y lafunción s (x) = xp, f = g�s. Por tanto, teniendo en cuenta que s0 (x) = pxp�1 y aplicandola regla de la cadena:

f 0 (x) = g0 (s (x)) s0 (x) =1

q(xp)(1=q)�1 pxp�1 =

p

qx(p=q)�1 �

Ejemplo 4.10. La función h(x) =px2 + 1 puede expresarse como la composición de

f(x) = x2 + 1 con g(x) =px y las derivadas de f y g son conocidas. Aplicando la regla

de la cadena a la función h(x) = g(f(x)) se tiene que:

h0(x) = g0(f(x))f 0(x) =1

2pf(x)

2x =xpx2 + 1

Derivación 62

Ejemplo 4.11. Estudiar donde la función polinómica f(x) = x2� 2x� 3 admite inversaderivable y calcular (f�1)0 (0).

La función es inyectiva 8x 2 [1;1) al tratarse de una parábola con vértice en el punto(1;�4). Por tanto f : [1;1)! [�4;1) admite función inversa f�1 que será derivable en(�4;1) puesto que la derivada f 0(x) = 2x� 2 solo se anula en x = 1 y f (1) = �4.Para calcular el valor de (f�1)0 (0), según el teorema anterior se tiene que�

f�1�0(0) =

1

f 0(f�1(0))

y por tanto hay que calcular el valor de f�1(0) que viene dado por la única solución de laecuación x2 � 2x � 3 = 0 en [1;1). La ecuación x2 � 2x � 3 = 0 tiene como solucionesx = 3 y x = �1 y por tanto f�1(0) = 3 y:�

f�1�0(0) =

1

f 0(3)=1

4

Teoremas del valor medio 63

5. Teoremas del valor medio

5.1. Extremos locales. Condición necesaria de extremo local

De�nición 5.1 (Extremos locales de una función). Sea una función f : (a; b) ! Ry sea x0 2 (a; b).Se dice que f alcanza en x0 un máximo o un mínimo local si

9� > 0 tal que 8x 2 (x0 � �; x0 + �) se cumple que�f(x) � f(x0) máximo localf(x) � f(x0) mínimo local

(5.1)

Tanto si la función f tiene en x0 un máximo local como si tiene un mínimo local se diceque tiene en x0 un extremo local.Se dice que el máximo local es estricto cuando en la de�nición anterior se puedesustituir f(x) � f(x0) por f(x) < f(x0) excepto para x = x0 y que el mínimo local esestricto cuando se puede sustituir f(x) � f(x0) por f(x) > f(x0) excepto para x = x0.

Si la función f está también de�nida en los extremos del intervalo f : [a; b]! R se puedetambién de�nir lo que signi�ca que f alcance en a o en b un extremo local. Por ejemplo,se dice que f alcanza en a un máximo o un mínimo local si

9� > 0 tal que 8x 2 [a; a+ �) se cumple que�f(x) � f(a) máximo localf(x) � f(a) mínimo local

(5.2)

y la de�nición en el caso de b es obvia.

Las de�niciones anteriores deben compararse con las correspondientes de máximo y mín-imo global en la de�nición (3.2). Es claro que cuando, por ejemplo, se dice que f en (a; b)tiene un máximo global en x0 se exige que f(x0) sea mayor o igual que el valor de f encualquier otro punto del conjunto (a; b). En cambio para que f tenga un máximo local enx0 basta que f(x0) sea mayor o igual que el valor de f en todos los puntos de un entornode x0 que además puede ser tan pequeño como uno quiera (al radio del entorno � > 0 nose le exige ningún tamaño especial). Por tanto la de�nición de extremo local es menosrestrictiva que la de extremo global, es decir:

f tiene un extremo global en x0 ) f tiene un extremo local en x0

y la implicación contraria no es cierta en general.

En este capítulo se estudian condiciones necesarias y su�cientes para que una función ftenga un extremo local en un cierto punto x0. Como se verá a continuación todas estascondiciones pasan por estudiar el signo de las derivadas de f en el punto en cuestión x0,razón por la cual solo sirven para detectar extremos locales y nunca extremos globales. Nohay que olvidar que las propiedades de f 0(x0) dan información solo sobre lo que le ocurrea la función en un entorno de x0 que es precisamente lo que se necesita para estudiar sila función tiene o no un extremo local en x0.El primero de estos resultados es el siguiente teorema:

Teoremas del valor medio 64

Teorema 5.1 (Teorema de Fermat: condición necesaria de extremo local). Seaf : (a; b)! R con x0 2 (a; b) y f derivable en x0. Entonces se cumple que

f tiene un extremo local en x0 ) f 0(x0) = 0

Demostración:

Si la función f es derivable en x0 entonces existen las derivadas laterales por la derecha ypor la izquierda en x0 y coinciden, es decir, existen los límites:

limx!x+0

f(x)� f(x0)

x� x0= lim

x!x�0

f(x)� f(x0)

x� x0= f 0(x0)

Por otro lado, si la función tiene, por ejemplo, un máximo local en x0 debe cumplirse parapuntos x su�cientemente próximos a x0 que f(x) � f(x0). En el primero de los límites

se tiene que x > x0 y por tanto, como f(x) � f(x0), el cocientef(x)� f(x0)

x� x0� 0 para

todos los x su�cientemente próximos a x0 y a su derecha. En el segundo de los límites

x < x0 lo que, junto con f(x) � f(x0), signi�ca quef(x)� f(x0)

x� x0� 0 para todos los x

su�cientemente próximos a x0 y a su izquierda. Como ambos límites deben coincidir yel primero solo puede ser negativo o cero y el segundo positivo o cero, la única soluciónposible es que f 0(x0) = 0. En el caso de un mínimo local se razona de manera totalmenteanáloga. �

Los puntos x en los que f 0(x) = 0 se llaman puntos estacionarios de la funciónf de modo que el teorema de Fermat lo que dice es que, si una función es derivable, lospuntos en los que f puede alcanzar un extremo local son puntos estacionarios de f (lo queno signi�ca que f tenga obligatoriamente que alcanzar extremo local en todos los puntosestacionarios).Hay que tener también en cuenta la hipótesis de derivabilidad del teorema. Nada impideque la función f alcance un extremo local en un punto x0 en el que f no es derivable.

5.2. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio

El teorema de Fermat permite demostrar un resultado de importancia conocido con elnombre de teorema de Rolle, a partir del cual se demuestra una generalización que seconoce como teorema del valor medio. El teorema del valor medio es un resultado de usocasi inevitable cuando se quiere obtener información sobre el comportamiento global deuna función f a partir de propiedades de f 0(x). En capítulos posteriores se recurre a élcon mucha frecuencia.

Teorema 5.2 (Teorema de Rolle). Sea una función f : [a; b] ! R que cumple lassiguientes propiedades:

� f es continua en [a; b]

� f es derivable en (a; b)

� f(a) = f(b)

Teoremas del valor medio 65

Entonces se cumple que existe al menos un punto x0 2 (a; b) en el que f 0(x0) = 0 (en elcaso de que f(a) = f(b) = 0 el teorema a�rma que entre cada dos ceros de la función almenos hay un cero de la derivada).

Demostración:

La demostración hace uso del teorema 3.10 que a�rma que una función continua en uncompacto [a; b] alcanza en [a; b] máximo y mínimo globales. Supóngase que en nuestrocaso f alcanza el máximo M en el extremo inferior del intervalo a y el mínimo globalm en el extremo superior b (o viceversa). Como por hipótesis f(a) = f(b) resulta queM = m y si el máximo y el mínimo valen lo mismo entonces la función es constante entodo [a; b] y su derivada es nula en todos los puntos del intervalo con lo que el teoremaqueda probado.Otra posibilidad es que el máximo global o el mínimo global o ambos se alcancen enel interior del intervalo. Supongamos por ejemplo que f alcanza el máximo global enx0 2 (a; b) (el resto de posibilidades se razona igual). Entonces f alcanza también en x0un máximo local y, por aplicación del teorema de Fermat (teorema 5.1), se deduce quef 0(x0) = 0. �El siguiente teorema es una generalización del teorema de Rolle.

Teorema 5.3 (Teorema del valor medio). Sea una función f : [a; b]! R que cumplelas siguientes propiedades:

� f es continua en [a; b]

� f es derivable en (a; b)

Entonces se cumple que existe al menos un punto x0 2 (a; b) en el que

f 0(x0) =f(b)� f(a)

b� a

Demostración:

El teorema se demuestra de�niendo una función

g(x) = f(x)��f(a) + (x� a)

f(b)� f(a)

b� a

�que geométricamente es para cada valor de x �jo la distancia vertical entre la grá�ca def(x) y la recta que pasa por los puntos del plano (a; f(a)) y (b; f (b)). g(x) es obviamentecontinua en [a; b] y derivable en (a; b) porque f(x) y la función x lo son y se cumple queg(a) = g(b) = 0. El teorema de Rolle 5.2 aplicado a la función g asegura que existe almenos un punto x0 2 (a; b) tal que g0(x0) = 0, de donde se deduce que

g0(x0) = f 0(x0)�f(b)� f(a)

b� a= 0

que es el resultado que se quiere demostrar. �Geométricamente el teorema signi�ca que, como se muestra en la �gura 5.1, existe siempreun punto x0 en el que la recta tangente a la grá�ca de f(x) es paralela a la recta que pasapor los puntos (a; f(a)) y (b; f (b)) (de hecho en el caso de la �gura existen dos puntos x0con esa propiedad aunque en la �gura solo se ha representado uno de ellos).

Teoremas del valor medio 66

x0 ba

El teorema del valor medio

y0= f(x0)

Figura 5.1.

El teorema de Rolle y su generalización, el teorema del valor medio, sirven en ocasionespara dar información sobre los ceros de una función a partir de los de su derivada comose pone de mani�esto en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 5.1. Calcular el número de raices de la ecuación f (x) = cosx+x senx�x2 = 0.

Es inmediato comprobar que la ecuación tiene como mínimo dos raices porque f (0) = 1y limx!1 f (x) = �1 y limx!�1 f (x) = �1. Como f es una función continua y pasade ser positiva en x = 0 a ser negativa en +1 tiene a la derecha de x = 0 al menos uncero (teorema de Bolzano) y por la misma razón, como cambia de signo entre �1 y 0,tiene como mínimo otro cero a la izquierda de x = 0. Del teorema de Bolzano se deducepor tanto que la función tiene como mínimo dos ceros y, consiguientemente, la ecuaciónf (x) = 0 tiene como mínimo dos raices.Para comprobar que son solo dos basta calcular f 0 (x) = � senx+ senx + x cosx � 2x =x (cosx� 2) de donde se deduce que el único punto en el que se anula la derivada esx = 0. El teorema de Rolle permite entonces a�rmar que f solo se puede anular en, alo sumo, dos puntos. En efecto, supóngase que f se anulara en 3 puntos x0; x1 y x2. Elteorema de Rolle dice que entre cada dos ceros de la función hay al menos un cero de laderivada y por tanto, si f se anulara en 3 puntos, la derivada debería anularse en 2, cosaque no ocurre.Por tanto, el teorema de Bolzano a�rma que f (x) = 0 tiene como mínimo dos raices y elteorema de Rolle que tiene a lo sumo dos, de donde se deduce que hay dos raices.

Es bien conocido el resultado de que una función constante en un intervalo tiene derivadanula en todos los puntos del intervalo. El resultado contrario también es cierto pero lademostración no es tan evidente y hace uso del teorema del valor medio.

Proposición 5.4.

1. Sea una función f : [a; b] ! R continua en [a; b] y derivable en (a; b) y tal que8x 2 (a; b) se cumple que f 0(x) = 0. Entonces se tiene que f es constante en [a; b].

Teoremas del valor medio 67

2. Sean dos funciones f; g : [a; b] ! R continuas en [a; b] y derivables en (a; b) y talesque 8x 2 (a; b) se cumple que f 0(x) = g0(x). Entonces se tiene que 8x 2 [a; b] secumple que f(x) = g(x) +K donde K es una constante real.

Demostración:

El primero de los apartados se demuestra tomando dos puntos cualesquiera x0 y x1 delintervalo [a; b]. El teorema del valor medio aplicado al intervalo [x0; x1] asegura que existe

un punto z 2 (x0; x1) tal que f 0(z) =f(x1)� f(x0)

x1 � x0pero como la derivada de f se anula en

todos los puntos, se anula en particular en z y de f 0(z) = 0 se obtiene que f(x1) = f(x0).Como esto es verdad para cualquier pareja de puntos, se deduce que f es constante en[a; b].Para el segundo apartado basta aplicar el teorema del valor medio a la función f � g y sellega a la conclusión de que f(x)� g(x) es constante para todo x 2 [a; b]. �El siguiente resultado es otra consecuencia del teorema del valor medio que caracterizalas funciones monótonas crecientes y decrecientes en términos del signo de su derivadaprimera.

Proposición 5.5. Sea una función f : [a; b] ! R continua en [a; b] y derivable en (a; b).Se tiene que:

1. f monótona creciente en [a; b], 8x 2 (a; b) ; f 0(x) � 0.

2. f monótona decreciente en [a; b], 8x 2 (a; b) ; f 0(x) � 0.

Demostración:

Se demuestra la primera de las a�rmaciones porque la segunda se hace de forma totalmenteanáloga. Para demostrar la implicación de izquierda a derecha se tiene en cuenta que comola función es derivable 8x 2 (a; b) se cumple que

limh!0+

f(x+ h)� f(x)

h= f 0(x)

Como por hipótesis se tiene que f es monótona creciente en [a; b], entonces f(x+h) � f(x)para todo h > 0 y por tanto v(h) = (f(x+ h)� f(x)) =h � 0 de donde se deduce quef 0(x) � 0 8x 2 (a; b) porque el límite de la función no negativa v(h) no puede ser negativo.Para la implicación contraria (de derecha a izquierda) se toman dos puntos cualesquierax0 y x1 del intervalo [a; b] (que en particular pueden ser los puntos a y b). Sea x0 < x1.Por el teorema del valor medio aplicado al intervalo [x0; x1] se tiene que existe un punto

z 2 (x0; x1) tal que se cumple que f 0(z) =f(x1)� f(x0)

x1 � x0y como por hipótesis se tiene

que f 0(z) � 0, se deduce que f(x1) � f(x0) y por tanto la función es monótona creciente.�

Notar que en la demostración anterior solo es necesario el teorema del valor medio en elcaso de la implicación de derecha a izquierda. En la implicación de izquierda a derechasolo se usa la de�nición de derivada y el hecho de que si v(h) � 0 con h > 0 entoncesforzosamente limh!0+ v(h) � 0. Precisamente porque las demostraciones de las dos im-plicaciones son sustancialmente distintas, solo la implicación de derecha a izquierda en laparte 1 de la proposición 5.5 sigue siendo cierta cuando se cambia f monótona creciente

Teoremas del valor medio 68

por f estrictamente creciente y se sustituye f 0(x) � 0 por f 0(x) > 0 (y solo la implicaciónde derecha a izquierda sigue siendo cierta en la parte 2 cuando se cambia f monótonadecreciente por f estrictamente decreciente y se sustituye f 0(x) � 0 por f 0(x) < 0). Esdecir, se tiene el resultado:

Proposición 5.6. Sea una función f : [a; b] ! R continua en [a; b] y derivable en (a; b).Se tiene que:

1. 8x 2 (a; b) ; f 0(x) > 0) f estrictamente creciente en [a; b].

2. 8x 2 (a; b) ; f 0(x) < 0) f estrictamente decreciente en [a; b].

Demostración:

La demostración es idéntica a la de la proposición anterior. En el caso de la parte 1 setoman dos puntos cualesquiera x0 y x1 del intervalo [a; b] con x0 < x1. Por el teoremadel valor medio aplicado al intervalo [x0; x1] se tiene que existe un punto z 2 (x0; x1) talque se cumple que f 0(z) =

f(x1)� f(x0)

x1 � x0y como por hipótesis se tiene que f 0(z) > 0, se

deduce que f(x1) > f(x0) y por tanto la función es estrictamente creciente. �La implicación contraria, como se acaba de decir, ahora no es cierta porque si se quisierarepetir la demostración de la proposición 5.5 con desigualdades estrictas se tendría que,con la v(h) de�nida en 5.5, si f es estrictamente creciente entonces v(h) > 0 con h > 0.Pero de ahí no se deduce que limh!0+ v(h) > 0 sino solo que limh!0+ v(h) � 0. Por tantof estrictamente creciente en [a; b] solo garantiza que f 0(x) � 0 pero no que f 0(x) > 0. Porejemplo, la función f(x) = x3 es estrictamente creciente en [0; 1] y sin embargo f 0(0) = 0.

5.3. Existencia local de la función inversa

Otro de los resultados típicos que se obtienen a partir del teorema del valor medio tieneque ver con una condición su�ciente para la existencia local de la función inversa. Enprimer lugar conviene recordar lo que ya se dijo sobre la existencia de la función inversade una función dada f . Si f es suprayectiva, lo que está automáticamente asegurado si sehace coincidir el espacio de llegada con el recorrido de la función, f tiene inversa si y solosi es inyectiva. Como también se ha comentado en el capítulo anterior, es relativamentefrecuente que una función f : A ! R no sea inyectiva sobre todo su dominio A pero sílo sea si se de�ne sobre un subconjunto B � A. Ésto lleva a de�nir lo que se entiendepor inversa local de una función f en un entorno de un punto x0: se dice que f tieneinversa local en un entorno de x0 si existe � > 0 tal que f es inyectiva en elintervalo (x0 � �; x0 + �). Es decir, la función f : (x0 � �; x0 + �) ! f (x0 � �; x0 + �)tiene inversa local de�nida como: f�1 : f (x0 � �; x0 + �)! (x0 � �; x0 + �).

La condición de que f sea inyectiva no es fácil de comprobar en muchas ocasiones. Sin em-bargo, el siguiente resultado da una condición su�ciente de inyectividad local en términosde la derivada que resulta más operativa:

Proposición 5.7 (Existencia de la función inversa local). Sea una función f : (a; b)!R derivable en (a; b) y x0 2 (a; b). Sea f 0(x0) 6= 0 y sea f 0 continua en x0.Entonces f admite inversa local en un entorno de x0.

Teoremas del valor medio 69

Demostración:

Supongamos que f 0(x0) > 0 (en el caso en que f 0(x0) < 0 se razona de la misma manera).Como f 0 es continua en x0 eso signi�ca que existe un entorno de radio � > 0 en donde lafunción f 0 es distinta de 0 y tiene el mismo signo que en x0:

Existe � > 0 tal que para todo x 2 (x0 � �; x0 + �) se tiene que f 0(x) > 0

Por aplicación del resultado 5.6 eso signi�ca que f es estrictamente creciente en (x0 � �; x0 + �)y, por tanto, inyectiva en (x0 � �; x0 + �). Luego admite inversa local en dicho intervalo.�

5.4. Condiciones su�cientes de extremo local

La condición necesaria de extremo local 5.1 permite demostrar el teorema de Rolle y elteorema del valor medio. Este último teorema se usa ahora para demostrar condicionessu�cientes de extremo local de primer orden, cuando solo se presupone la existencia de laderivada primera de la función en cuestión y de segundo orden cuando también se puedesuponer que existe la derivada segunda.

Proposición 5.8 (Condición su�ciente de extremo local de orden 1). Sea una fun-ción f : (a; b)! R derivable en (a; b) y x0 2 (a; b) con f 0(x0) = 0.

� Si existe � > 0 tal que 8x 2 (x0 � �; x0) se cumple que f 0(x) � 0 (f 0(x) > 0) y8x 2 (x0; x0 + �) se cumple que f 0(x) � 0 (f 0(x) < 0) entonces f tiene en x0 unmáximo local (máximo local estricto).

� Si existe � > 0 tal que 8x 2 (x0 � �; x0) se cumple que f 0(x) � 0 (f 0(x) < 0) y8x 2 (x0; x0 + �) se cumple que f 0(x) � 0 (f 0(x) > 0) entonces f tiene en x0 unmínimo local (mínimo local estricto).

Demostración:

En el caso del máximo (para el mínimo se opera de la misma manera) se elige arbitrari-amente un punto x 2 (x0 � �; x0) y se considera el intervalo (x; x0) en el que se puedeaplicar el teorema del valor medio que dice que existe un punto � 2 (x; x0) con la propiedadde que

f 0(�) =f(x0)� f(x)

x0 � x

y como (x0 � x) > 0 y por hipótesis f 0(�) � 0, se deduce que (f(x0)� f(x)) � 0 o bienf(x0) � f(x), lo que demuestra que el valor de f en x0 es mayor o igual que el valor def en puntos a la izquierda de x0 y su�cientemente próximos a él.Eligiendo arbitrariamente x 2 (x0; x0 + �), considerando el intervalo (x0; x) y aplicandoel teorema del valor medio, existe un punto � 2 (x0; x) con la propiedad de que

f 0(�) =f(x)� f(x0)

x� x0

y como (x� x0) > 0 y por hipótesis f 0(�) � 0, se deduce que (f(x)� f(x0)) � 0 o bienf(x0) � f(x) para cualquier punto x a la derecha de x0 y su�cientemente próximo a él(Si los menores o iguales en las desigualdades con las derivadas del enunciado se pueden

Teoremas del valor medio 70

sustituir por estrictamente menores y los mayores o iguales por estrictamente mayores seconcluye, razonando de la misma manera, que se tiene un máximo local estricto). �

Notar que la hipótesis de que f 0(x0) = 0 en el resultado anterior no se usa para nadaen la demostración y por tanto podría suponerse que no es necesaria, lo que contradiceel teorema de Fermat 5.1 en el que se demuestra que es condición necesaria para quela función f tenga en x0 un extremo local. La aparente contradicción surge del hechode que en 5.8 la hipótesis no es necesaria como tal hipótesis porque se puede demostrarque se deduce directamente de la hipótesis sobre el signo de la derivada a la izquierday a la derecha de x0. En efecto, el teorema del valor medio asegura que los cocientesincrementales

f(x)� f(x0)

x� x0� 0 8x 2 (x0 � �; x0)

f(x)� f(x0)

x� x0� 0 8x 2 (x0; x0 + �)

y los límites x! 0 de ambos cocientes son las derivadas laterales y deben coincidir y seriguales a f 0 (x0) porque f es derivable en x0. Luego la única posibilidad es que f 0 (x0) = 0.Como esta a�rmación puede no resultar evidente, se pre�ere incluir f 0(x0) = 0 entre lashipótesis de 5.8 para enfatizar el hecho de que se cumple.

Proposición 5.9 (Condición su�ciente de extremo local de orden 2). Sea una fun-ción f : (a; b)! R derivable en (a; b) ; x0 2 (a; b) con f 0(x0) = 0 y existe f 00(x0). Entonces:

� Si f 00(x0) < 0 f tiene en x0 un máximo local estricto.

� Si f 00(x0) > 0 f tiene en x0 un mínimo local estricto.

Demostración:

En el caso del máximo se tiene que

limx!x�0

f 0(x0)� f 0(x)

x0 � x= f 00(x0) < 0

Si el límite de una función g (x) es estrictamente menor que 0, limx!x�0

g(x) < 0, entonces

para valores de x su�cientemente próximos a x0 por la izquierda se cumple que g(x) < 0.Como x0 � x > 0; en nuestro caso debe ocurrir que f 0(x0) = 0 < f 0(x) para todox 2 (x0 � �; x0) y por el mismo tipo de razonamiento aplicado al otro límite lateral sellega a la conclusión de que f 0(x0) = 0 > f 0(x) para todo x 2 (x0; x0 + �). Aplicandoentonces la proposición 5.6 se llega a la conclusión de que f es estrictamente crecienteen [x0 � �; x0] y estrictamente decreciente en [x0; x0 + �] de donde se deduce que tiene unmáximo estricto en x0. �

Concavidad y convexidad 71

6. Funciones convexas. La regla de L�Hospital

6.1. Funciones cóncavas y convexas: de�nición y propiedades ele-mentales

De�nición 6.1 (Funciones cóncavas y convexas). Sea una función f : I � R ! R.Se dice que f es convexa en I si para todo intervalo [a; b] � I y 8x 2 [a; b] se cumpleque:

f(x) � f(a) +f(b)� f(a)

b� a(x� a) = f(b) +

f(b)� f(a)

b� a(x� b) (6.1)

donde la verdadera de�nición es la desigualdad y la igualdad no es más que otra manerade escribir el segundo miembro.f es cóncava en I si para todo intervalo [a; b] � I y 8x 2 [a; b] se cumple que:

f(x) � f(a) +f(b)� f(a)

b� a(x� a) (6.2)

y también se puede de�nir la concavidad diciendo que f es cóncava si �f es convexa.

En las de�niciones anteriores los valores a y b son dos puntos cualesquiera del intervalode de�nición de f y la ecuación

s(x) = f(a) +f(b)� f(a)

b� a(x� a)

es la ecuación de la recta que pasa por los puntos del plano (a; f(a)) y (b; f(b)). Lasecuaciones anteriores (6.1) y (6.2) se escriben como f(x) � s(x) y f(x) � s(x) y expresanla propiedad geométrica de que la grá�ca de la función f entre a y b queda pordebajo de la recta secante a la grá�ca en a y b en el caso de que f sea convexay por encima en el caso de que sea cóncava (�gura 6.1).

a x0

x1

x2

función convexa

ax0 x

1x

2

función cóncava

Figura 6.1.

Concavidad y convexidad 72

Otra interpretación geométrica se obtiene si se escribe (6.1) como

f(x)� f(a)

x� a� f(b)� f(a)

b� ao bien como

f(b)� f(x)

b� x� f(b)� f(a)

b� a(6.3)

y se consideran los tres puntos a < x < b. En primer lugar, teniendo en cuenta que elcociente (f(b)� f(a)) = (b� a) es el mismo en ambas desigualdades, de ellas se deduce quecualquier recta secante que pase por (a; f (a)) y por (x; f (x)) con a < x tiene pendientemenor o igual que cualquier recta secante que pase por (b; f (b)) y por (x; f (x)) con x < b.Si en la primera desigualdad en (6.3) se considera a �jo y x y b dos puntos a su derecha,la desigualdad dice que las recta secante a f en a y un punto c a su derecha tiene unapendiente que disminuye cuando c! a+.Si en la segunda desigualdad en (6.3) se considera b �jo y x y a dos puntos a su izquierda,la desigualdad dice que las recta secante a f en b y un punto c a su izquierda tiene unapendiente que aumenta cuando c! b�.De todo ello se deduce que si f es convexa y si x0 < x1 < x2 < � � �xn, las rectas quecortan la grá�ca de f en x = a �jo y x = xj tienen pendientes que aumentancuando el índice j aumenta. Si f es cóncava ocurre lo contrario (�gura 6.1).

Es muy corriente usar en lugar de la variable x en (6.1) y (6.2) la variable t de�nida como

t =x� a

b� acon t 2 [0; 1] cuando x 2 [a; b]. Entonces 1 � t =

b� x

b� ay x = a + t (b� a) =

(1� t) a+ tb y las de�niciones anteriores en función de t se transforman en:

f((1� t) a+ tb) � (1� t) f(a) + tf(b) funciones convexas (6.4)

f((1� t) a+ tb) � (1� t) f(a) + tf(b) funciones cóncavas (6.5)

con t 2 [0; 1].

Las de�niciones anteriores no exigen nada sobre la derivabilidad de la función. En el casode que f sea derivable en un punto se pueden estudiar los casos límite de (6.3). Si f esderivable en a, tomando el límite x ! a+ en la primera de las ecuaciones (6.3) se tieneque

limx!a+

f(x)� f(a)

x� a= f 0 (a) � f(b)� f(a)

b� a(6.6)

y si f es derivable en b, tomando el límite x! b� en la segunda:

limx!b�

f(b)� f(x)

b� x= f 0 (b) � f(b)� f(a)

b� a(6.7)

En el caso de que f sea cóncava basta cambiar el menor o igual por mayor o igual yviceversa. De (6.6) y (6.7) se obtiene fácilmente que si f es convexa y derivable enun punto x0 entonces la recta t(x) tangente a f en x0 está por debajo de lagrá�ca de f :

t(x) = f(x0) + f 0(x0) (x� x0) � f (x)

Lo contrario ocurre si f es cóncava.

Concavidad y convexidad 73

rectas tangentes a la gráficade una función convexa

x0

x1

Figura 6.2.

Otras propiedades útiles de las funciones cóncavas y convexas son los dos siguientes re-sultados, el segundo de los cuáles es una caracterización que permite comprobar en lapráctica si una función derivable es cóncava o convexa:

Proposición 6.1. Sea f : (a; b)! R una función convexa o cóncava en (a; b). Entoncesse tiene que 8x 2 (a; b) existen las derivadas laterales f 0� (x) y f 0+ (x) y por tanto 8x 2(a; b) ; f (x) es continua. Además, si la función es convexa f 0� (x) � f 0+ (x) y si es cóncavaocurre lo contrario.

Proposición 6.2 (Caracterización de las funciones cóncavas y convexas). Sea unafunción f : (a; b)! R derivable en (a; b). Entonces se tiene que:

f convexa en (a; b) , f 0 monótona creciente en (a; b)

f cóncava en (a; b) , f 0 monótona decreciente en (a; b)

Como consecuencia de estas dobles implicaciones, si para todo x 2 (a; b) existe f 00 (x), setiene que:

f convexa en (a; b) , 8x 2 (a; b) ; f 00 (x) � 0f cóncava en (a; b) , 8x 2 (a; b) ; f 00 (x) � 0

Demostración:

Se demuestra la doble implicación para funciones convexas y la de las funciones cóncavas estotalmente equivalente. Para la implicación de izquierda a derecha se deduce directamentede (6.6) y (6.7) que si a < b entonces f 0 (a) � f 0 (b).Para la implicación contraria, sean tres puntos a < x < b. El teorema del valor medioasegura que existen un � 2 (a; x) y un � 2 (x; b) tales que:

f(x)� f(a)

x� a= f 0 (�) ;

f(b)� f(x)

b� x= f 0 (�)

Concavidad y convexidad 74

y como la derivada primera es monótona creciente se tiene que f 0 (�) � f 0 (�) y por tanto

c1 =f(x)� f(a)

x� a� c2 =

f(b)� f(x)

b� x

lo que signi�ca que la recta que pasa por (a; f (a)) y por (x; f (x)) con a < x tienependiente c1 menor que la pendiente c2 de la que pasa por (x; f (x)) y por (b; f (b)) conx < b. Geométricamente la pendiente de la recta que pasa por (a; f (a)) y por (b; f (b))tiene que ser mayor o igual que c1 y menor o igual que c2 y por tanto se tiene que

c1 =f(x)� f(a)

x� a� f(b)� f(a)

b� a� c2 =

f(b)� f(x)

b� x

que son las desigualdades (6.3). �

6.2. Puntos de in�exión

De�nición 6.2 (Punto de in�exión de la grá�ca de una función). Sea una funciónf : (a; b) � R ! R y x0 2 (a; b). Se dice que f tiene un punto de in�exión en x0 siexiste � > 0 tal que

f(x) es cóncava en (x0 � �; x0] y f(x) es convexa en [x0; x0 + �)

o bien se cumple (como en la �gura 6.3) que

f(x) es convexa en (x0 � �; x0] y f(x) es cóncava en [x0; x0 + �)

x0

punto de inflexión en x0

Figura 6.3.

En el caso de que la función f sea derivable en el punto x0 (como ocurre en la �gura 6.3)la recta tangente a la grá�ca de la función en el punto de in�exión x0 está por debajo dela grá�ca a la derecha de x0 y por encima a la izquierda o viceversa.

Concavidad y convexidad 75

Proposición 6.3 (Condición necesaria de punto de in�exión). Se tiene una fun-ción f : (a; b) ! R, un punto x0 2 (a; b) y existe f 00 (x0). Si f tiene en x0 un punto dein�exión entonces f 00 (x0) = 0.

Ejemplo 6.1. Demostrar que la función f (x) = x3�x5+x=2 tiene un punto de in�exiónen x = 0.

Como la función es un polinomio, es derivable en todo R. Se estudia el crecimiento odecrecimiento de f 0 (x) en un entorno de x = 0. f 0 (x) = 3x2 � 5x4 + 1=2 y f 00 (x) =6x�20x3 = 2x (3� 10x2) de donde se deduce que en un entorno su�cientemente pequeñodel cero se tiene que f 00 (x) > 0 para x > 0 y f 00 (x) < 0 para x < 0. Luego en un entornodel cero se tiene que f 0 (x) es creciente para x > 0 y es decreciente para x < 0 y por tanto,según la proposición 6.2, la función pasa en cero de ser cóncava a ser convexa y tiene enel cero un punto de in�exión.

6.3. La regla de L�Hospital

La regla de L�Hospital es uno de los resultados más útiles para calcular límites indeter-minados bien de la forma 0=0 bien del tipo 1=1. La demostración es laboriosa y nose da en estas notas pero sí existe un resultado similar con hipótesis más fuertes y cuyademostración es sencilla. Es la siguiente:

Proposición 6.4. Sean f; g : (a; b) ! R y sea x0 2 (a; b). Sean f y g derivables en x0con f (x0) = g (x0) = 0 y g0 (x0) 6= 0. Entonces se tiene que:

limx!x0

f (x)

g (x)=f 0 (x0)

g0 (x0)

Demostración:En primer lugar se tiene que al ser g (x0) = 0 y g0 (x0) 6= 0, en un entorno de x0 (excluidoel propio x0) se tiene que g (x) 6= 0 y por tanto la función f (x) =g (x) está bien de�nida(excepto en x0). Por otro lado y puesto que f (x0) = g (x0) = 0 es claro que:

f (x)

g (x)=(f (x)� f (x0)) = (x� x0)

(g (x)� g (x0)) = (x� x0)

y tomando el límite en ambos miembros se llega a:

limx!x0

f (x)

g (x)= lim

x!x0

f (x)� f (x0)

x� x0g (x)� g (x0)

x� x0

=f 0 (x0)

g0 (x0)

puesto que por hipótesis tanto f como g son derivables en x0. �

El punto débil del resultado radica en que la hipótesis de derivabilidad de f y g en x0 esdemasiado fuerte en el sentido de que la utilidad de un resultado de este tipo para calcularlímites se pone de mani�esto precisamente en muchos casos en los que las funciones f yg no son derivables en x0. La generalización que permite cubrir todos estos casos es laregla de L�Hospital:

Concavidad y convexidad 76

Teorema 6.5 (La regla de L�Hospital. Caso 0=0). Sean f; g : (a; b)! R y sea x0 2(a; b). Se tienen como hipótesis que

limx!x0

f (x) = 0 y que limx!x0

g (x) = 0;

existe � > 0 tal que 8x 2 (x0 � �; x0 + �) existen f 0 (x) y g0 (x) excepto quizá en x0(6.8)

Se cumple entonces que:

Si existe limx!x0

f 0 (x)

g0 (x)= l) existe lim

x!x0

f (x)

g (x)= l (6.9)

y el resultado incluye también el caso l = �1 con las mismas hipótesis.Asimismo, cambiando la hipótesis (6.8) por la de que f y g sean derivables en un intervalode la forma (a;1), el resultado (6.9) sigue siendo cierto cuando x0 = +1 y si f y g sonderivables en un intervalo de la forma (�1; a) (6.9) es cierto con x0 = �1. (6.9) estambién cierto sustituyendo los límites por límites laterales.

La regla se puede demostrar también en el caso en el que las funciones f y g tiendan a1en lugar de tender a 0. Se tiene así el siguiente resultado cuyo enunciado es totalmenteanálogo al anterior:

Teorema 6.6 (La regla de L�Hospital. Caso 1=1). Sean f; g : (a; b) ! R y seax0 2 (a; b). Se tienen como hipótesis que:

limx!x0

f (x) =1 y que limx!x0

g (x) =1;

existe � > 0 tal que 8x 2 (x0 � �; x0 + �) existen f 0 (x) y g0 (x) excepto quizá en x0

Se cumple entonces que:

Si existe limx!x0

f 0 (x)

g0 (x)= l) existe lim

x!x0

f (x)

g (x)= l

y todo lo dicho en el teorema anterior sobre los casos l = �1 y x0 = �1 es tambiénaplicable en este teorema.

La implicación contraria a la que aparece en (6.9) no es cierta en general: el límite delcociente de las funciones puede existir y sin embargo no existir el límite del cociente delas derivadas, como pone de mani�esto el siguiente contraejemplo:

Ejemplo 6.2. Demostrar que para la función f (x) = x2 sen (1=x) si x 6= 0 y f (0) = 0 yla función g (x) = x existe el límite del cociente f (x) =g (x) cuando x! 0 pero no existeel límite de f 0 (x) =g0 (x).

Concavidad y convexidad 77

Las derivadas de ambas funciones existen en toda la recta real porque g0 (x) = 1 y f 0 (x) =2x sen (1=x) � cos (1=x) cuando x 6= 0. En x = 0 la función f es derivable y su derivadavale:

f 0 (0) = limx!0

f (x)� f (0)

x� 0 = limx!0

x2 sen (1=x)x

= 0

En cuanto al límite de los cocientes:

limx!0

f (x)

g (x)= 0; pero no existe lim

x!0

f 0 (x)

g0 (x)= lim

x!0

2x sen (1=x)� cos (1=x)1

porque el primer sumando tiende a 0 pero no existe el límite de cos (1=x) cuando x! 0.

La regla se usa con frecuencia para calcular límites indeterminados que no son de la forma0=0 o 1=1 pero se pueden reducir a uno de estos dos casos. Ocurre ésto en el siguienteejemplo:

Ejemplo 6.3. Sea f (x) = (x3 � 2x+ 3)1=x. Calcular el limx!1 f (x).

La indeterminación en este caso es del tipo 10. Sin embargo se puede calcular ellimx!1 ln f (x) en lugar del limx!1 f (x). Se tiene entonces:

limx!1

ln f (x) = limx!1

1

xln�x3 � 2x+ 3

�y la indeterminación es ahora del tipo 1=1. Aplicando L�Hospital:

limx!1

1

xln�x3 � 2x+ 3

�= lim

x!1

3x2 � 2x3 � 2x+ 3 = 0

y entonces se tiene que

limx!1

�x3 � 2x+ 3

�1=x= exp

�limx!1

ln f (x)�= 1

Fórmula de Taylor 78

7. Fórmula de Taylor

7.1. Polinomio de Taylor de orden n: de�nición y propiedades

El polinomio de Taylor surge como respuesta a la pregunta de cómo aproximar medianteun polinomio una función f en un entorno de un punto x0. Una primera respuesta a lapregunta viene ya dada por la idea de derivada. En efecto, si una función f es derivableen un punto x0, entonces existe el

limx!x0

f(x)� f(x0)

x� x0= f 0(x0)

Esta de�nición se puede escribir de manera totalmente análoga como

limx!x0

f(x)� f(x0)� f 0(x0) (x� x0)

x� x0= 0 (7.1)

o bien, si se de�ne el polinomio de primer grado

P1;x0 (x; f) = f(x0) + f 0(x0) (x� x0) (7.2)

(7.1) se escribe como

limx!x0

f(x)� P1;x0 (x; f)

x� x0= 0 (7.3)

El primer subíndice en P1;x0 (x; f) es el grado del polinomio y el segundo recuerda queel polinomio está centrado alrededor del punto x0. x es la variable independiente y la fdetrás de la coma es la función a partir de la cual se calculan los coe�cientes del polinomio.En muchas ocasiones y con objeto de aligerar la notación, se suprime la mención a la f .A P1;x0 (x; f) se le llama el polinomio de Taylor de primer orden de la funciónf en torno al punto x0.

Según lo que se ha visto en el capítulo de derivación, y = P1;x0 (x; f) no es más que laecuación de la recta tangente a f (x) en x0 y (7.3) tiene el signi�cado intuitivo que yase comentó allí: cuando x ! x0 el denominador en (7.3) tiende a 0 y el hecho de queel cociente también tienda a 0 signi�ca que el numerador tiende a 0 más rápidamenteque el denominador de modo que el límite del cociente es 0. Cuando x está en lasproximidades de x0, P1;x0 (x; f) es una buena aproximación de f (x) no solo porque ladiferencia f(x) � P1;x0 (x; f) se hace pequeña sino porque incluso cuando se divide estadiferencia por x � x0 el cociente sigue siendo pequeño (de hecho sigue tendiendo a 0cuando x ! x0). En general, para valores de x � x0 grandes el cociente en (7.3) ya notiene porqué estar próximo a 0 con lo cual para esos valores P1;x0 (x; f) dejará de ser unabuena aproximación de f (x).

En todo lo que viene a continuación conviene usar una terminología que simpli�ca muchola notación. Si se tiene una cierta variable �x y una función s (�x), la idea de cómose comporta s (�x) cuando �x tiende a 0 se expresa bien utilizando un símbolo que seconoce con el nombre de o pequeña de Landau y se de�ne de la siguiente manera:Se dice que s (�x) es o pequeña cuando �x! 0 y se escribe s (�x) = o (�x) si se cumpleque lim�!0 s(�x)=�x = 0.La de�nición anterior se generaliza de la siguiente manera:

Fórmula de Taylor 79

De�nición 7.1. Se dice que s (�x) es �o�pequeña de (�x)� con � � 0 cuando �x! 0y se escribe s (�x) = o ((�x)�) si se cumple que

lim�x!0

s(�x)

(�x)�= lim

�x!0

o((�x)�)

(�x)�= 0 con � � 0

Como caso particular, si s (�x) es o((�x)0) entonces se tiene que lim�x!0 s (�x) = 0.

La de�nición y todas las propiedades que se dan a continuación son válidas para � � 0(por ejemplo, s (�x) = o((�x)1=2) signi�ca que lim�x!0 s (�x) =

p�x = 0) pero en todo

lo relacionado con el polinomio de Taylor aparecen y se usan siempre con � un númeronatural.Cuánto mayor sea � más rápidamente tiende a 0 s (�x) cuando �x ! 0 porque, paraque el cociente s (�x) = (�x)� ! 0, s (�x) debe tender a 0 más rápidamente que (�x)�

y esta última tiende a 0 tanto más deprisa cuánto mayor sea �.

De todo lo anterior se deduce que la condición s (�x) = o ((�x)�) es tanto más fuertecuanto mayor sea el valor de �. De hecho, si � > � entonces se tiene que s ((�x)) =

o ((�x)�) ) s (�x) = o�(�x)�

�. En efecto, si � > � entonces � � � > 0 y se cumple

que:

s (�x) = o ((�x)�), lim�x!0

s(�x)

(�x)�= 0, lim

�x!0

s(�x)

(�x)� (�x)���= 0

) lim�x!0

s(�x)

(�x)�= 0) o

�(�x)�

�Con esta notación y llamando �x = x� x0 (7.3) se puede escribir como

(f(x)� P1;x0 (x; f)) = o (�x) cuando �x! 0 (7.4)

es decir, la diferencia entre la función y su polinomio de Taylor de orden 1 es o (�x).

La existencia de f 0 (x0) permite de�nir el polinomio de Taylor de primer orden (7.2). De

la misma manera, si existen f 0 (x0) ; f 00 (x0) ; : : : ; f (n) (x0), las derivadas de f en el punto

x0 hasta orden n, se de�ne el polinomio de Taylor de orden n de la función f entorno al punto x0:

De�nición 7.2 (Polinomio de Taylor de orden n).

Pn;x0 (x; f) = f(x0) + f 0(x0) (x� x0) +1

2!f 00(x0) (x� x0)

2 + : : :

+1

(n� 1)!f(n�1)(x0) (x� x0)

n�1 +1

n!f (n)(x0) (x� x0)

n

=nXk=0

1

k!f (k)(x0) (x� x0)

k (7.5)

Fórmula de Taylor 80

donde se usa la notación de que f (0)(x0) = f(x0) y efectivamente Pn;x0 (x; f) es unpolinomio de grado a lo sumo n en la variable x (podría ser de grado menor que n,por ejemplo n � 1, si f (n)(x0) se anulara). Notar que la hipótesis de que la función ftenga derivada de orden n en x0 signi�ca que en un entorno de x0 existen las funcionesf (x) ; f 0 (x) ; f 00 (x) ; : : : ; f (n�1) (x) y además f (n�1) (x) es derivable en x0.A veces, cuando el punto x0 = 0, al polinomio de Taylor se le llama de Euler-Maclaurin.

Conviene recordar en todo lo que sigue que un polinomio cualquiera Qn (x) = q0 + q1x+: : :+ qnx

n se puede siempre escribir en potencias de x� x0 = �x con x0 2 R sin más quehacer el cambio de variable x = x0 + �x y escribir Qn (x) en función de la variable �xordenado los sumandos en potencias crecientes de �x:

Qn (x0 +�x) = q0 + q1 (x0 +�x) + : : :+ qn (x0 +�x)n

= a0 + a1�x+ a2 (�x)2 + : : :+ an (�x)

n (7.6)

Notar también que, escrito de esta manera, es inmediato comprobar que aj = Q(j)n (x0) =j!

de donde se deduce que, si Qn (x) es un polinomio cualquiera de grado n, su polinomio deTaylor de orden n en torno a cualquier punto x0 coincide con él mismo: Pn;x0 (x;Qn) =Qn (x). No solo eso si no que también es cierto que Pq;x0 (x;Qn) = Qn (x) siempre queq � n.

En ocasiones se sabe que un cierto polinomio de grado n, Qn (x) = q0 + q1x+ : : :+ qnxn,

es el polinomio de Taylor de orden n de una función f alrededor de un punto x0, Qn (x) =Pn;x0 (x; f). Ello permite calcular las derivadas de la función f (x) en x0 a partir de loscoe�cientes de Qn (x). Basta operar como se ha hecho en (7.6) y escribir Qn (x) en funciónde la variable �x = x� x0:

Qn (x0 +�x) = a0 + a1�x+ a2 (�x)2 + : : :+ an (�x)

n

y de aquí se obtiene sin más que f (k) (x0) = k!ak con k = 0; 1; : : : n.

La propiedad fundamental que caracteriza al polinomio de Taylor de orden 1 es la dadaen (7.4) y ya hemos visto lo que signi�ca: P1;x0 (x; f) aproxima bien los valores de f en lasproximidades de x0. Según todo lo que se ha dicho sobre el símbolo o (�x) intuitivamenteparece que la aproximación sería mejor si, en lugar de o (�x), en el segundo miembrode (7.4) apareciera o ((�x)�) con � > 1 (aunque para justi�car de forma rigurosa estaa�rmación hará falta esperar al último apartado de este tema).El objetivo de obtener aproximaciones polinómicas o ((�x)�) con � > 1 se consigue conlos polinomios de Taylor de orden superior a 1 de�nidos en (7.5). El siguiente resultadoextiende la propiedad (7.4) y demuestra que cuánto mayor es el grado n de Pn;x0 (x; f)mejor aproxima (en el sentido de que � es mayor) Pn;x0 (x; f) los valores de la función fen un entorno del punto x0. El precio que se paga es que para conseguir aproximacionescada vez mejores hay que manejar polinomios de grados cada vez más grandes con los queresulta más engorroso operar.

Proposición 7.1 (Aproximación de orden n). Sea una función f : (a; b) ! R quetiene n derivadas en x0 2 (a; b) y sea Pn;x0 (x; f) el polinomio de Taylor de orden nde�nido en (7.5). Entonces se cumple que:

limx!x0

f(x)� Pn;x0 (x; f)

(x� x0)n = 0 (7.7)

Fórmula de Taylor 81

o, escrito de forma equivalente:

f(x) = Pn;x0 (x; f) + o ((�x)n) cuando �x = (x� x0)! 0 (7.8)

y se dice que Pn;x0 (x; f) es una aproximación de orden n de la función f (x) en un entornode x0.

Demostración:

La demostración se hace por inducción: se comprueba que el resultado es cierto paran = 1 (a�rmación que ya está demostrada en (7.4)) y se demuestra que si el resultadoes verdad para un índice n entonces forzosamente tiene que ser verdad para el siguienten+ 1. Para no complicar demasiado la notación, aquí nos limitamos a demostrar que de(7.4) (que es el resultado con n = 1) se deduce el resultado con n = 2. Lo que hay quedemostrar es (7.7) con n = 2. Entonces se tiene, aplicando la regla de L�Hospital:

limx!x0

f(x)� P2;x0 (x; f)

(x� x0)2 = lim

x!x0

f(x)� f(x0)� f 0(x0) (x� x0)� (1=2) f 00(x0) (x� x0)2

(x� x0)2

= limx!x0

f(x)� f(x0)� f 0(x0) (x� x0)

(x� x0)2 � (1=2) f 00(x0)

= limx!x0

f 0(x)� f 0(x0)

2 (x� x0)� (1=2) f 00(x0) = 0

que demuestra que el resultado es cierto para n = 2. �No solo Pn;x0 (x; f) cumple (7.7) sino que además es el único polinomio de grado menor oigual a n que cumple la propiedad. En este sentido se tiene la siguiente proposición:

Proposición 7.2 (Unicidad del polinomio de Taylor de orden n). Sea una funciónf : (a; b)! R derivable n veces en x0 2 (a; b) y sea Pn;x0 (x; f) el polinomio de Taylor deorden n de�nido en (7.5). Entonces Pn;x0 (x; f) es el único polinomio de grado menor oigual que n que cumple (7.7).

Demostración:

Se supone que existe un polinomio Qn(x) = a0+a1 (x� x0)+: : :+an (x� x0)n que cumple

(7.7) y se demuestra que forzosamente debe coincidir con Pn;x0 (x; f). En efecto, si tantoPn;x0 (x; f) como Qn(x) cumplen (7.7), entonces también se tiene que cumplir que:

limx!x0

Qn(x)� Pn;x0 (x; f)

(x� x0)n = 0

y según hemos visto esto implica que

limx!x0

Qn(x)� Pn;x0 (x; f)

(x� x0)p = 0 para todo 0 � p � n

Escribiendo explícitamente los polinomios y haciendo p = 0 en la ecuación anterior setiene que

limx!x0

�(a0 � f(x0)) + (a1 � f 0(x0)) (x� x0) + : : :+

�an � f (n)(x0)=n!

�(x� x0)

n� = 0

Fórmula de Taylor 82

y como todos los sumandos tienden a 0 cuando x ! x0 excepto el primero, si el límiteha de ser 0 forzosamente esto implica que a0 = f (x0). Haciendo el mismo razonamientocon p = 1 y escribiendo de nuevo explícitamente los polinomios pero ya sin el sumando(a0 � f(x0)), se tiene que

limx!x0

(a1 � f 0(x0)) (x� x0) + : : :+�an � f (n)(x0)=n!

�(x� x0)

n

x� x0

= limx!x0

�(a1 � f 0(x0)) + : : :+

�an � f (n)(x0)=n!

�(x� x0)

n�1� = 0de donde se deduce por la misma razón que en el caso anterior que ahora a1 = f 0(x0).Procediendo de esta manera con valores de p cada vez mayores se va demostrando quelos coe�cientes ak del polinomio Qn(x) coinciden con los correspondientes de Pn;x0 (x; f)hasta llegar a que an =

�f (n)(x0)=n!

�. Luego ambos polinomios coinciden. �

Ejemplo 7.1. En la �gura se representa la función f (x) = e2x � 10ex y sus polinomiosde Taylor de orden 1; 2 y 3 en torno al punto x = 2. Los polinomios aproximan tantomejor la función cuánto mayor es su grado y cuánto más próximo está el valor de x delcentro del desarrollo x = 2.

1 1.5 2 2.5 3 3.5-100

-50

0

50

100

150

200

250

Pol. de Taylor de orden 1

Pol. de Taylorde orden 2

Pol. de Taylorde orden 3

f(x)=e 2x-10e x

Figura 7.1.

7.2. Condición su�ciente de extremo local y de punto de in�exión

El polinomio de Taylor de una función permite generalizar la condición su�ciente deextremo local que se ha dado en la proposición (5.9). Se tiene la siguiente proposición:

Proposición 7.3 (Condición su�ciente de extremo local de orden n). Sea una fun-ción f : (a; b)! R derivable n veces en x0 2 (a; b) con

f 0 (x0) = f 00 (x0) = f (3) (x0) = � � � = f (n�1) (x0) = 0 y con f (n) (x0) 6= 0 con n � 2

Fórmula de Taylor 83

Entonces se cumple que:

Si n es par y

8<:f (n) (x0) > 0 entonces f tiene un mínimo local estricto en x0

f (n) (x0) < 0 entonces f tiene un máximo local estricto en x0

Si n es impar f tiene un punto de in�exión en x0

En el caso del punto de in�exión ni siquiera hace falta que f 0 (x0) = 0. Es decir, sif 0 (x0) 6= 0 y la primera derivada en x0 que no se anula después de la primera tiene uníndice impar, entonces en x0 hay un punto de in�exión.

Demostración:

Para la demostración basta escribir (7.8) teniendo en cuenta que en nuestro caso lasn � 1 primeras derivadas de f en x0 son nulas y por tanto Pn;x0 (x; f) = f (x0) +f (n) (x0) (x� x0)

n:

f(x) = Pn;x0 (x; f) + o ((x� x0)n)

= f (x0) + f (n) (x0) (x� x0)n + o ((x� x0)

n)

Luego se tiene que:f(x)� f(x0)

(x� x0)n = f (n) (x0) +

o ((x� x0)n)

(x� x0)n (7.9)

Sea por ejemplo, n par y f (n) (x0) < 0. Por de�nición de o el segundo sumando delsegundo miembro tiende a 0 cuando x ! x0 lo que signi�ca que existe � > 0 tal que8x 2 (x0 � �; x0 + �) se puede conseguir que jo ((x� x0)

n) = (x� x0)nj sea menor que��f (n) (x0)�� y por tanto el segundo miembro de (7.9) sea estrictamente negativo. Luego el

primer miembro también es estrictamente negativo,

f(x)� f(x0)

(x� x0)n < 0 (7.10)

y, como n es par, el denominador (x� x0)n es siempre positivo y por tanto se llega a que

8x 2 (x0 � �; x0 + �) ; (f(x)� f(x0)) < 0. Luego f tiene en x0 un máximo local estricto.En el caso de que n sea par y f (n) (x0) > 0 se razona de manera análoga y se llega a laconclusión de que f tiene en x0 un mínimo local estricto.

Por lo que respecta al punto de in�exión supóngase ahora que f 0 (x0) puede o no anularsepero que, a partir de ella, todas las derivadas en x0 se anulan hasta la de orden n � 1y f (n) (x0) 6= 0 con n impar. Sea, por ejemplo, f (n) (x0) < 0. Haciendo exactamenteel mismo razonamiento que lleva a (7.10) pero teniendo en cuenta que ahora f 0 (x0) engeneral es distinta de cero, se tiene que:

f(x)� f(x0)� f 0 (x0) (x� x0)

(x� x0)n < 0 (7.11)

Como n es impar, (x� x0)n < 0 si x < x0 y (x� x0)

n > 0 si x > x0. Luego de (7.11) sededuce que

8x 2 (x0 � �; x0) ; f(x) > f (x0) + f 0 (x0) (x� x0)

8x 2 (x0; x0 + �) ; f(x) < f (x0) + f 0 (x0) (x� x0) (7.12)

Fórmula de Taylor 84

La recta tangente a f (x) en x0 es y = f (x0) + f 0 (x0) (x� x0) y según (7.12) la curvaf(x) queda por encima de la tangente cuando x 2 (x0 � �; x0) y por debajo cuandox 2 (x0; x0 + �). Por tanto en x0 hay un punto de in�exión. Se llega a la misma conclusióncuando n es impar y f (n) (x0) > 0 (la única diferencia es que cuando f (n) (x0) > 0, f(x)queda por debajo de la tangente a la izquierda de x0 y por encima a la derecha). �

7.3. Polinomios de Taylor de algunas funciones elementales

Las expresiones generales de los polinomios de Taylor de algunas funciones elementalesmuy usuales se obtienen fácilmente y son de mucha ayuda para el cálculo de polinomiosde Taylor de funciones más complicadas. Resulta claro que el polinomio de Taylor decualquier función f en torno a cualquier punto x0 se puede calcular sin más que calcularlas derivadas sucesivas de la función en x0 pero a veces, sobre todo si el polinomio quese quiere calcular es de orden alto, obtener las derivadas resulta pesado. En cambio enocasiones se puede obtener el polinomio que se busca a partir de algún otro conocido ysin necesidad de calcular explícitamente las derivadas, con ayuda del resultado 7.2 y delas propiedades de la o de Landau que se dan en otro apartado.

Algunos polinomios de Taylor de orden n conocidos se dan a continuación. Cuando no seespeci�ca el punto x0 alrededor del cual se desarrolla se presupone que es x = 0 y en eldesarrollo de ex �x = x� x0:

� f(x) = ex; Pn(x) =nXk=0

xk

k!= 1 + x+

x2

2!+ : : :+

xn

n!

� f(x) = ex; Pn;x0(x) =nXk=0

ex0(x� x0)

k

k!= ex0

"1 + �x+

(�x)2

2!+ : : :+

(�x)n

n!

#

� f(x) = ln (1 + x) ; Pn(x) =nXk=1

(�1)k+1 xk

k= x� x2

2+x3

3� : : :+ (�1)n+1 x

n

n

� f(x) = cosx; P2n(x) =

nXk=0

(�1)k x2k

(2k)!= 1� x2

2!+x4

4!� : : :+ (�1)n x

2n

n!

� f(x) = senx; P2n+1(x) =nXk=0

(�1)k x2k+1

(2k + 1)!= x� x

3

3!+x5

5!� : : :+(�1)n x2n+1

(2n+ 1)!

� f(x) = arctanx; P2n+1(x) =nXk=0

(�1)k x2k+1

2k + 1= x� x3

3+x5

5� : : :+(�1)n x2n+1

2n+ 1

� f(x) = (1 + x)� con � 2 R; Pn(x) =nXk=0

��

k

�xk = 1 + �x+

� (�� 1)2!

x2 + : : :

+� (�� 1) � � � (�� n+ 1)

n!xn

y donde en el polinomio de Taylor de (1 + x)� el número combinatorio generalizado sede�ne como �

�

k

�=� (�� 1) � � � (�� k + 1)

k!con

��

0

�= 1

Fórmula de Taylor 85

Todos los polinomios anteriores excepto el del arctanx se calculan sin ninguna di�cultadcalculando las derivadas de las correspondientes funciones que siguen una recurrenciasencilla de obtener: en el caso de ex todas las derivadas en x0 valen ex0 y en el 0 todasvalen 1, la derivada n-ésima de ln (1 + x) en 0 vale (�1)n+1 (n� 1)! Las derivadas deíndice par del seno en x = 0 valen todas 0 y las de índice impar (senx)(2n+1) (0) = (�1)ny con el coseno ocurre lo contrario: las derivadas de índice impar en x = 0 se anulan todasy para las de índice par (cosx)(2n) (0) = (�1)n.

Sea f (x) una función par. Para una función par las derivadas de orden impar en x = 0se anulan todas y eso se traduce en que el polinomio de Taylor de orden n en torno ax = 0 de f solo tiene las potencias pares de x y es por tanto una función par (como es elcaso de f (x) = cos x). Además, como las potencias impares se anulan, para todo n 2 NP2n+1(x; f) = P2n(x; f) (el polinomio de Taylor de orden impar 2n+ 1 coincide con el deorden par inmediatamente anterior 2n) y como según (7.8) se tiene que

f(x) = P2n+1;0 (x; f) + o�x2n+1

�cuando x! 0

también se cumple que, si f es una función par:

f(x) = P2n;0 (x; f) + o�x2n+1

�cuando x! 0

Luego para funciones pares los polinomios de Taylor P2n;0 (x; f) son una aproximación deorden 2n+ 1 de la función f(x) (en contra de lo que ocurre en el caso general (7.8) en elque el orden de la aproximación coincide con el grado del polinomio).

Con un razonamiento en todo similar, para funciones g impares P2n+2(x; g) = P2n+1(x; g)(el polinomio de Taylor de orden par 2n+2 coincide con el de orden impar inmediatamenteanterior 2n+ 1) y por tanto, si g es una función impar se cumple que:

g(x) = P2n+1;0 (x; g) + o�x2n+2

�cuando x! 0

Para funciones g impares, los polinomios de Taylor P2n+1;0 (x; g) son una aproximación deorden 2n+2 de la función g(x) (también ganando una unidad en el orden de aproximacióncon respecto al caso de una función sin paridad de�nida).

Todo lo anterior con respecto a las funciones pares e impares es cierto cuando el polinomiode Taylor es alrededor del punto x0 = 0. Si se desarrolla alrededor de un x0 6= 0 entoncesya no es verdad que, por ejemplo, las derivadas de orden par del senx en x0 6= 0 o lasderivadas de orden impar del cosx sean 0.

7.4. Propiedades básicas de la o ((�x)�) cuando �x! 0

Para el cálculo de polinomios de Taylor de funciones más complicadas a partir de los yaconocidos de funciones elementales conviene manejar con soltura unas cuantas propiedadesde o ((�x)�) con � > 0. En todas las que siguen se supone que�x! 0. Estas propiedadesson:

� f(�x) = o ((�x)�)) f(�x) = o�(�x)�

�siempre que 0 � � � �

� (�x)� = o�(�x)��

�para todo 0 < � �

Fórmula de Taylor 86

� f(�x) = o ((�x)�)) (�x) f(�x) = o�(�x) +�

�para todo 0 � ; �

� f(�x) = o ((�x)�)) f(�x)

(�x) = o

�(�x)��

�para todo 0 � � �

�f(�x) = o ((�x)�)

g(�x) = o�(�x)�

� )) h(�x) = f(�x)g(�x) = o�(�x)�+�

�con 0 � �; �

�f(�x) = o ((�x)�)

g(�x) = o�(�x)�

� )) s(�x) = f(�x) + g(�x) = o�(�x)min(�;�)

�con 0 � �; �y la demostración de todas ellas es inmediata sin más que tener en cuenta la de�nición(de hecho la primera ya se ha demostrado anteriormente). Por ejemplo, la que se re�ereal producto de las funciones f y g:

lim�x!0

h(�x)

(�x)�+�= lim

�x!0

f(�x)g(�x)

(�x)�+�= lim

�x!0

f(�x)

(�x)�lim�x!0

g(�x)

(�x)�= 0

7.5. Operaciones elementales con polinomios de Taylor

Junto con los polinomios de Taylor de algunas funciones elementales del apartado an-terior, las siguientes proposiciones facilitan el cálculo de otros polinomios de Taylor defunciones que se obtienen como suma, producto, cociente y composición de funcionescuyos polinomios de Taylor son conocidos.

Proposición 7.4 (Polinomio de Taylor de una suma). Sean funciones f; g : (a; b)!R derivables n veces en x0 2 (a; b) y cuyos polinomios de Taylor son respectivamentePn;x0 (x; f) y Pn;x0 (x; g) y sean dos constantes �; � 2 R. Entonces se tiene que el poli-nomio de Taylor de orden n de la combinación lineal �f + �g es:

Pn;x0 (x; �f + �g) = �Pn;x0 (x; f) + �Pn;x0 (x; g)

Proposición 7.5 (Polinomio de Taylor de un producto). Sean los polinomios de Tay-lor de orden n de f y g en torno a x0:

Pn;x0 (x; f) =nXk=0

ak (�x)k y Pn;x0 (x; g) =

nXk=0

bk (�x)k (7.13)

con �x = x � x0. El polinomio de Taylor de orden n del producto fg es el producto delos polinomios de orden n de f y g eliminando del producto todos los sumandos de laforma K (�x)j con j > n y K una constante.

Fórmula de Taylor 87

Proposición 7.6 (Polinomio de Taylor de un cociente). Se consideran dos funcionesf; g : (a; b) ! R derivables n veces en x0 2 (a; b) con g (x0) 6= 0 y cuyos polinomios deTaylor son los de (7.13). El polinomio de Taylor del cociente f=g se obtiene en función de

los de f y g escribiendo Pn;x0 (x; f=g) =nXk=0

ck (�x)k donde los coe�cientes ck se calculan

de la siguiente manera: como f = (f=g) g, según la proposición anterior el polinomio deTaylor de f se puede escribir como el producto de los de f=g y g:

nXk=0

ak (�x)k + o ((�x)n) =

nXk=0

ck (�x)k

! nXk=0

bk (�x)k

!(7.14)

En esta ecuación, se hace el producto del segundo miembro, se desprecian todos lossumandos de la forma K (�x)j con j > n (todos esos términos están incluidos en elsumando o ((�x)n) en (7.14)), se identi�can los coe�cientes de las potencias (�x)j conj � n en ambos miembros y se despejan los ck en función de los ak y los bk conocidos.

Ejemplo 7.2. Calcular el polinomio de Taylor de orden 4 en torno a x = 0 de la función

v(x) =1 + x3 + x5

1 + x4

El polinomio de Taylor de orden 4 del polinomio 1 + x3 + x5 es 1 + x3 y el del polinomio

1 + x4 coincide con él. Si llamamos4Xk=0

akxk al polinomio de Taylor del cociente que se

pide, según (7.14) se tiene que:

1 + x3 + o�x4�=

�a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3 + a4x

4� �1 + x4

�= a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3 + (a4 + a0)x

4 + o�x4�

donde en el sumando o (x4) están incluidas todas las potencias xj con j > 4 que se hanobtenido al operar en el segundo miembro. Identi�cando los coe�cientes de x0; x; x2; x3 yx4 en ambos miembros se tiene que:

a0 = 1; a1 = 0; a2 = 0; a3 = 1; (a4 + a0) = 0

y por tanto el polinomio de Taylor que se pide es:

P4;0 (x; v) = 1 + x3 � x4

y por tanto las derivadas de la función v (x) en x = 0 son: v0 (0) = v00 (0) = 0; v(3) (0) =6; v(4) (0) = �24. Notar que éste es un procedimiento bastante más rápido de calcular lasderivadas que el de derivar cuatro veces en la expresión de v (x).

Ejemplo 7.3. Calcular el polinomio de Taylor de orden 3 en torno a x =�

4de la función

v(x) =ex

cos (x� �=4)

Fórmula de Taylor 88

En primer lugar y puesto que se pide el desarrollo en torno a x =�

4, conviene que

aparezca la variable (x� �=4) = �x en lugar de la variable x y para ello se escribex = (x� �=4) + �=4 y por tanto ex = e�=4e(x��=4) = e�=4e�x. El polinomio de Taylor quese pide P3;�=4 (x; v) cumple, según (7.14):

P3;�=4 (x; ex) + o

�(�x)3

�= P3;�=4 (x; v)P3;�=4 (x; cos (�x))

donde P3;�=4 (x; ex) y P3;�=4 (x; cos (�x)) son conocidos a partir de la lista anterior depolinomios de Taylor de funciones elementales:

P3;�=4 (x; ex) = e�=4P3;�=4

�x; e�x

�= e�=4

1 + �x+

(�x)2

2!+(�x)3

3!

!

P3;�=4 (x; cos (�x)) = 1� (�x)2

2!

Luego el polinomio de Taylor que se pide es P3;�=4 (x; v) = c0+ c1�x+ c2 (�x)2+ c3 (�x)

3

y cumple que:

e�=4

1 + �x+

(�x)2

2!+(�x)3

3!

!+ o

�(�x)3

�=

�c0 + c1�x+ c2 (�x)

2 + c3 (�x)3� 1� (�x)2

2!

!

En el primer miembro el coe�ciente de (�x)0 es e�=4 y en el segundo c0. Luego c0 = e�=4.En el primer miembro el coe�ciente de�x es e�=4 y en el segundo c1. Luego c1 = e�=4. En elprimer miembro el coe�ciente de (�x)2 es e�=4=2 y en el segundo�c0=2!+c2 = �e�=4=2+c2.Luego, como ambos deben ser iguales, e�=4=2 = �e�=4=2 + c2 de donde se deduce quec2 = e�=4. Por último, en el primer miembro el coe�ciente de (�x)3 es e�=4=6 y en elsegundo es �c1=2 + c3 de donde se deduce que c3 = 2e�=4=3. Luego el polinomio que sepide es:

P3;�=4 (x; v) = e�=4�1 + �x+ (�x)2 +

2

3(�x)3

�de donde se deduce que las derivadas de la función v en �=4 son: v0 (�=4) = e�=4; v00 (�=4) =2e�=4 y v(3) (�=4) = 4e�=4.

Proposición 7.7 (Polinomio de Taylor de la composición de funciones). Sea unafunción f derivable n veces en x0 y una función g derivable n veces en a0 = f(x0). Seanlos polinomios de Taylor de orden n de f en torno a x0 y de g en torno a a0 = f (x0):

Pn;x0 (x; f) =nXj=0

aj (x� x0)j = a0 +

nXj=1

aj (x� x0)j

Pn;f(x0) (x; g) =

nXk=0

bk (x� y0)k

teniendo en cuenta que en el polinomio de Taylor Pn;x0 (x; f) el primer sumando es a0 =f (x0). El polinomio de Taylor de orden n de la composición g � f en torno al punto x0

Fórmula de Taylor 89

viene dado por:

Pn;x0 (x; g � f) + o ((x� x0)n) =

nXk=0

bk (Pn;x0 (x; f)� a0)k

=nXk=0

bk

nXj=1

aj (x� x0)j

!k(7.15)

donde al hacer la operación del segundo miembro aparecen potencias desde (x� x0)0

hasta (x� x0)2n y para calcular Pn;x0 (x; g � f) basta considerar las (x� x0)

p con p � n.El resto de las potencias, (x� x0)

p con p > n, no hace falta calcularlas explícitamente yse incluyen en el sumando o ((x� x0)

n) en el primer miembro de (7.15).

Una aplicación trivial de la proposición 7.7 es la obtención del polinomio de Taylor deorden n de h(x) = g(x � x0) en torno a x0, conocido el de g(x) en torno a cero. h es lacomposición de g y el polinomio x� x0 y por tanto se tiene que:

Pn;x0 (x; h) = Pn;0 (x� x0; g)

Basta con sustituir en el polinomio de Taylor de g en torno al 0 la variable x por lavariable x� x0 = �x. Por ejemplo, el polinomio de orden 2 en torno a �=4 de la funcióncos (x� �=4) es 1� (x� �=4)2 =2!

Ejemplo 7.4. Calcular el polinomio de Taylor de orden 3 en el origen de la funciónv(x) = ln (cos x)

v (x) se puede escribir como v (x) = ln (1 + (cos x� 1)) que es la composición g � f delas funciones g (x) = ln (1 + x) y f (x) = cos x � 1. En este caso la x0 de la proposición7.7 es 0 y f (x0) = y = cos 0 � 1 = 0. De la lista de polinomios de Taylor de funcioneselementales se tiene que:

P3 (x; cosx� 1) = 1� x2

2!� 1 = �x

2

2!

P3 (x; ln (1 + x)) = x� x2

2+x3

3

y por tanto, según (7.15) el polinomio de Taylor que se pide se obtiene sustituyendo la xdel segundo miembro de P3 (x; ln (1 + x)) por �x2=2! y despreciando todas las potenciasx4 y superiores. Es decir:

�x2=2!� (�x2=2!)

2

2+(�x2=2!)3

3= �x

2

2+ o

�x2�

y el polinomio de Taylor que se pide es P3 (x; v) = �x2=2.

Ejemplo 7.5. Calcular el polinomio de Taylor de orden 3 en el origen de la función

v(x) = arctan1

1� x

Fórmula de Taylor 90

v (x) es la composición de f (x) =1

1� xy la función g (x) = arctanx, v = g � f , la x0 de

la proposición 7.7 es x0 = 0 y f (x0) = 1. g (1) = �=4 y las derivadas de g (x) = arctanxen x = 1 son g0 (1) = 1=2; g00 (1) = �1=2 y g(3) (1) = 1=2. Por tanto se tiene que:

P3;1 (x; arctanx) =�

4+1

2(x� 1)� 1

4(x� 1)2 + 1

12(x� 1)3 (7.16)

1 � x es su propio polinomio de Taylor de orden 3 en el origen de modo que usando laproposición 7.6 y escribiendo

1 = (1� x)�a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3�

e identi�cando coe�cientes se obtiene que

P3;0

�x;

1

1� x

�= 1 + x+ x2 + x3

Sustituyendo en (7.16) el factor (1� x) por P3;0

�x;

1

1� x

��1 = x+x2+x3 y despreciando

todas las potencias superiores a x3 se obtiene el polinomio de Taylor de v (x) en el origenque se pide:

�

4+1

2

�x+ x2 + x3

�� 14

�x+ x2 + x3

�2+1

12

�x+ x2 + x3

�3=

�

4+1

2

�x+ x2 + x3

�� 14x2 � 1

2x3 +

1

12x3 + o

�x3�

y por tanto

P3;1 (x; v (x)) =�

4+1

2x+

1

4x2 +

1

12x3

7.6. El polinomio de Taylor con resto de Lagrange

La razón de ser fundamental del polinomio de Taylor de orden n son las ecuaciones (7.7)y (7.8) en la proposición 7.1. En (7.8) no se especi�ca la forma funcional del sumandoo ((�x)n), únicamente se dice que su dependencia con �x = x� x0 es tal que tiende a 0más deprisa que (�x)n. Sin embargo el siguiente teorema dice más sobre este sumando ypermite obtener consecuencias signi�cativas que sin el teorema no serían posibles:

Teorema 7.8 (Polinomio de Taylor de orden n con resto de Lagrange). Sea unafunción f : (a; b)! R; x0 2 (a; b) y sea f de clase Cn+1(I) donde I = (x0 � �; x0 + �) con

� > 0 es un entorno de x0. Entonces se cumple para todo x 2 I que:

f(x) = Pn;x0 (x; f) +1

(n+ 1)!f (n+1) (�) (x� x0)

n+1 (7.17)

donde � es un punto que no se conoce y del que solo se sabe que está entre x y x0, esdecir, � 2 (x; x0) si x < x0 y � 2 (x0; x) si x0 < x. Al segundo sumando del segundomiembro se le llama resto de Lagrange.

Fórmula de Taylor 91

El teorema 7.8 no se demuestra en estas notas pero conviene hacer algún comentariosobre el resultado. En primer lugar las hipótesis de partida que son un poco más fuertesque las que se requerían en la proposición 7.1. En 7.1 se requería que la función ftuviera n derivadas en x0 lo que signi�ca que en un entorno de x0 existen las funcionesf (x) ; f 0 (x) ; f 00 (x) ; : : : ; f (n�1) (x) y además existe f (n) (x0). En 7.8 la hipótesis es f 2Cn+1(I), las derivadas hasta orden n + 1 deben existir en I y ser continuas en I, lo que,en la práctica, no supone una restricción adicional muy fuerte sobre las hipótesis de 7.1porque además, en muchos casos, el teorema se aplica a funciones C1 (Una función C1

es derivable ilimitadamente).

Es relativamente frecuente en la bibliografía encontrar (7.17) escrito con una notaciónalgo distinta: en lugar de la variable x se usa la variable �x de�nida como �x = x� x0con lo cual (7.17) se escribe como:

f(x0 +�x) = Pn;x0 (x0 +�x; f) +1

(n+ 1)!f (n+1) (x0 + ��x) (�x)n+1

donde � 2 (0; 1) e �x puede ser mayor, menor o igual a 0.

Para cada valor de n �jo Pn;x0 (x; f) aproxima f(x) en un entorno de x0 y la aproximaciónes tanto mejor cuanto más pequeña sea la diferencia x � x0. Éste es el contenido de(7.8). Es cierto que, cuánto mayor sea n, más rápidamente tiende a 0 la diferenciaf(x) � Pn;x0 (x; f) cuando x ! x0 pero, para un valor de x �jo, (7.8) no permite decirqué valor de n hay que coger para que, por ejemplo, jPn;x0 (x; f)� f (x)j sea menor queuna cantidad pequeña " > 0 �jada de antemano. Saber que la diferencia es o ((x� x0)

n),para un valor de x �jo puede no dar mucha información sobre el tamaño de esa diferencia.103x4 y x4 son ambas cantidades o (x3) pero para x = 1 la primera vale 103 y la segundavale 1. En otras palabras, (7.8) contiene información sobre lo que ocurre para cada valorde n con el lim

x!x0(Pn;x0 (x; f)� f (x)) pero no sobre lo que ocurre para un x �jo con el

limn!1

(Pn;x0 (x; f)� f (x)).

La ventaja de la información adicional de (7.17) con respecto a (7.8) se pone de mani�estocuando se plantea la pregunta de, �jado un valor de x y un " > 0, a partir de quévalor de n se cumple que jPn;x0 (x; f)� f (x)j < ". O, dicho en otras palabras, permiteplantearse cuándo, �jado un valor de x, lim

n!1Pn;x0 (x; f) = f (x). La siguiente proposición

da condiciones su�cientes para que ello ocurra:

Proposición 7.9. Sea x0 2 (a; b) y sea f : (a; b)! R con f 2 C1 ((a; b)) y tal que

8n 2 N y 8x 2 (a; b) se cumple que��f (n) (x)�� �Mn con M una constante

Entonces, se tiene que:limn!1

Pn;x0 (x; f) = f (x)

Demostración:La demostración es inmediata de (7.17) y de la acotación de las derivadas en el enunciadode la proposición. Se tiene que:

limn!1

jf(x)� Pn;x0 (x; f)j = limn!1

1

(n+ 1)!

��f (n+1) (�)�� jx� x0jn+1

� limn!1

1

(n+ 1)!Mn+1 jx� x0jn+1

Fórmula de Taylor 92

Para cualquier valor de x �jo, en el segundo miembro de la desigualdad el término (n+ 1)!en el denominador crece con n más rápidamente que las potencias en el numerador y ellímite del segundo miembro cuando n!1 es 0. Por tanto lo mismo le ocurre al primermiembro. �

Métodos de integración 93

10.Métodos de integración

10.1. Primitiva e integral inde�nida de una función

Sea una función f : I ! R integrable en I. Se dice que F es una primitiva de f en Isi:

8x 2 I se tiene que F 0(x) = f(x)

Es claro que si F es una primitiva de f en I entonces F + K, donde K es cualquierconstante real, también lo es.

Dada una función f : I ! R continua en I se denomina integral inde�nida de f alconjunto de todas sus primitivas y se suele representar como:Z

f(x) dx = F (x) +K

De la propia de�nición de integral inde�nida se deduce que esta última igualdad equivalea decir que F 0(x) = f(x).

10.2. Integración por sustitución (cambios de variable)

Uno de los procedimientos habituales para calcular integrales, sean de�nidas o inde�nidas,es hacer en la integral lo que se suele llamar un cambio de variable, método que tambiénrecibe el nombre de procedimiento de sustitución. Se tiene el siguiente resultado:

Proposición 10.1 (Cambio de variable I). Sean g : I ! g(I) y f : g(I) ! R fun-ciones continuas en I y g(I) respectivamente y g derivable y con derivada continua en I.Entonces se tiene que:

8t 2 g(I);Zf(t) dt = F (t) +K ) 8x 2 I;

Zf(g(x))g0(x) dx = F (g(x)) +K 0 (10.1)

donde K yK 0 son constantes reales cualesquiera.

Demostración:Claramente las integrales en los dos miembros de la implicación existen porque los inte-

grandos son funciones continuas. Por otro lado T =Zf(t) dt = F (t) +K es equivalente

a que F 0(t) = f(t) y por tanto

f(g(x))g0(x) = F 0(g(x))g0(x) = (F � g)0(x)

luego Zf(g(x))g0(x) dx =

Z(F � g)0(x) dx = (F � g)(x) +K 0 = F (g(x)) +K 0 �

El resultado sirve para calcular las primitivas F (g(x)) de la integral a la derecha de laimplicación en (10.1) calculando las primitivas F (t) del integrando en T . Notar que enningún paso en este resultado es necesario que g sea invertible pero sin embargo en elsiguiente resultado, en el que se demuestra la implicación contraria de la que aparece en(10.1), sí se exige que 8x 2 I; g0(x) 6= 0 (lo que signi�ca que g es estrictamente monótona,por tanto inyectiva y por tanto invertible):

Métodos de integración 94

Proposición 10.2 (Cambio de variable II). Sean g : I ! g(I) y f : g(I) ! R fun-ciones continuas en I y g(I) respectivamente y g derivable, con derivada continua en I yademás 8x 2 I; g0(x) 6= 0. Entonces se tiene que:

8t 2 g(I);Zf(t) dt = F (t) +K , 8x 2 I;

Zf(g(x))g0(x) dx = F (g(x)) +K 0 (10.2)

donde K y K 0 son constantes reales cualesquiera.

Demostración:

Solo es necesario demostrar la implicación de derecha a izquierda. Del miembro de laderecha en (10.2) se tiene que f(g(x))g0(x) = F 0(g(x))g0(x) y como 8x 2 I; g0(x) 6= 0 sepuede dividir por g0(x) en ambos miembros y se obtiene f(g(x)) = F 0(g(x)). Haciendot = g(x) se tiene que 8t 2 g(I) se cumple que f(t) = F 0(t) que es equivalente a la igualdada la izquierda de la implicación en (10.2). �

Habitualmente, en la práctica (10.2) se aplica utilizando como función f una funciónh(g�1)0 donde h es una cierta función continua de g(I) en R y g es la función que apareceen el enunciado. Puesto que g es continua e inyectiva entonces existe g�1 y es continuay como g0(x) 6= 0 entonces existe (g�1)0 para todo g(x) 2 g(I). Se tiene además que(g�1)0(g(x)) = 1=g0(x) y (g�1)0 es continua y por tanto h(g�1)0 : g(I) ! R es continua.Haciendo en (10.2) la sustitución f por h(g�1)0 se tiene que 8t 2 g(I) y 8x 2 I:Z

h(t)(g�1)0(t) dt = F (t) +K ,Zh(g(x))(g�1)0(g(x))g0(x) dx

=

Zh(g(x)) dx = F (g(x)) +K 0 (10.3)

En el caso de que se trate de una integral de�nida el resultado es el mismo teniendo soloen cuenta que el cambio de variable afecta también a los límites de integración, es decir:Z g(b)

g(a)

h(t)(g�1)0(t) dt =

Z b

a

h(g(x)) dx

Ejemplo 10.1. CalcularZ e2

e

ln(lnx)

x lnxdx

Se hace el cambio de variable lnx = t o bien x = et con lo cual se tiene que dx = etdt ypor tanto:Z e2

e

ln(lnx)

x lnxdx =

Z 2

1

ln t

ettet dt =

Z 2

1

ln t(ln t)0 dt =1

2

Z 2

1

(ln2 t)0 dt =ln2 2

2

Ejemplo 10.2. CalcularZ

x3

2 + x8dx

Métodos de integración 95

Se hace el cambio de variable x4 = t con lo cual 4x3dx = dt y se obtiene:Zx3

2 + x8dx =

1

4

Z1

2 + t2dt =

1

8

Z1

1 +�t=p2�2 dt = p

2

8arctan

tp2+K

=

p2

8arctan

p2x4

2+K

Ejemplo 10.3. CalcularZ

earcsinxp1� x2

dx

Se hace el cambio de variable arcsinx = t con lo cual se tiene que dx=p1� x2 = dt y por

tanto: Zearcsinxp1� x2

dx =

Zet dt = et +K = earcsinx +K

10.3. Integración por partes

La integración por partes es un método de integración que se obtiene directamente de lafórmula de la derivada de un producto:

(f(x)g(x))0 = f 0(x)g(x) + f(x)g0(x)

Integrando en ambos miembros y teniendo en cuenta que la integral del primer miembroes simplemente f(x)g(x) (salvo una constante arbitraria) se obtiene que:Z

f 0(x)g(x) dx = f(x)g(x)�Zf(x)g0(x) dx (10.4)

que se conoce con el nombre de fórmula de integración por partes. La fórmula seaplica igualmente a integrales de�nidas sin más que hacer:Z b

a

f 0(x)g(x) dx = f(x)g(x)jba �Z b

a

f(x)g0(x) dx (10.5)

donde en el segundo miembro f(x)g(x)jba = f(b)g(b)�f(a)g(a). La fórmula de integraciónpor partes resulta muy útil para calcular un gran número de integrales elementales siempreque en (10.4) resulte más fácil calcular la integral del segundo miembro que la del primero.Entre otras:

Ejemplo 10.4. Calcular por integración por partes las integrales siguientes:Zlnx dx;

Zarcsinx dx;

Zx cosx dx.

Métodos de integración 96

EnZlnx dx el papel de f 0(x) en (10.4) lo juega ahora la función constante 1 con f(x) = x

y el de g(x) la función lnx con g0(x) = 1=x de modo que:Zlnx dx = x lnx�

Zx1

xdx = x(lnx� 1) +K

En la integralZarcsinx dx como en el caso anterior se hace f 0(x) = 1 y g(x) = arcsinx

con lo cual:Zarcsinx dx = x arcsinx�

Zxp1� x2

dx = x arcsinx+p1� x2 +K

EnZx cosx dx se aplica la fórmula de integración por partes con f 0(x) = cosx y g(x) = x

con lo cual resulta:Zx cosx dx = x sin x�

Zsin x dx = x sin x+ cosx+K

Ejemplo 10.5. Calcular por integración por partes la integralZx2ex dx

En este caso hay que aplicar la fórmula de integración por partes dos veces consecutivas.En la primera f 0(x) = ex y g(x) = x2 con lo cual:Z

x2ex dx = x2ex � 2Zxex dx

y en la integral del segundo miembro se vuelve a aplicar la fórmula con f 0(x) = ex yg(x) = x: Z

xex dx = xex �Zex dx = xex � ex +K

Entonces:Zx2ex dx = x2ex � 2

Zxex dx = x2ex � 2(xex � ex) = ex(x2 � 2x+ 2) +K

10.4. Fórmulas de reducción

Se aplican a integrales del tipoZfn(x) dx en las que el integrando está elevado a un

número natural n. En el caso de ciertas funciones f se pueden escribir estas integralesen términos de otras iguales o similares pero en las que el índice n de la potencia def(x) es más pequeño que el de partida (normalmente integrando por partes). Se entiendepor fórmula de reducción al método que consiste en iterar el proceso anterior e irreduciendo el índice n hasta llegar a una integral que se puede calcular fácilmente.

Métodos de integración 97

Ejemplo 10.6. Calcular In =Z(ln(a+ x))n dx con n 2 N; a 2 R

Integrando por partes con f 0(x) en (10.4) la función constante 1, f(x) = x + a y cong(x) = (ln(a+ x))n se tiene que:

In = (a+x) (ln(a+ x))n�nZ(ln(a+ x))n�1 dx = (a+x) (ln(a+ x))n�nIn�1 = An�nIn�1

con An = (a + x) (ln(a+ x))n. Repitiendo la operación sobre In�1 y así sucesivamentehasta llegar a I0 = x+K:

In = An � nIn�1 = An � n [An�1 � (n� 1)In�2] = An � nAn�1 + n(n� 1)In�2= An � nAn�1 + n(n� 1) [An�2 � (n� 2)In�3]= An � nAn�1 + n(n� 1)An�2 � n(n� 1)(n� 2)In�3

= An �n!

(n� 1)!An�1 +n!

(n� 2)!An�2 �n!

(n� 3)!In�3

= � � � =n�1Xj=0

�(�1)j n!

(n� j)!An�j

�+ (�1)nn!x+K

Este mismo procedimiento se puede usar para calcular integrales del tipoZxm (lnx)n dx

con n;m 2 N.

Ejemplo 10.7. Calcular una fórmula de recurrencia para In =Zsinn x dx con n 2 N

Integrando por partes con f 0(x) = sinx en (10.4) se tiene que:

In =

Zsin x sinn�1 x dx = � cosx sinn�1 x+ (n� 1)

Zcos2 x sinn�2 x dx

= � cosx sinn�1 x+ (n� 1)Z(1� sin2 x) sinn�2 x dx

= � cosx sinn�1 x+ (n� 1)Zsinn�2 x dx� (n� 1)In

de donde se obtiene que:

In = �1

ncosx sinn�1 x+

n� 1n

Zsinn�2 x dx = � 1

ncosx sinn�1 x+

n� 1n

In�2

que es una fórmula de recurrencia que permite reducir el índice n en In hasta llegar a I0o I1 que son integrales inmediatas.

Ejemplo 10.8. Calcular una fórmula de recurrencia para la integral In =Zxn sin ax dx

con n 2 N; a 2 R

Métodos de integración 98

Integrando por partes con f 0(x) = sin ax y g(x) = xn se tiene que:

In = �1

axn cos ax+

n

a

Zxn�1 cos ax dx

y volviendo a integrar por partes en la integral del segundo miembro:

In = �1axn cos ax+

n

a

�1

axn�1 sin ax� n� 1

a

Zxn�2 sin ax dx

�= �1

axn cos ax+

n

a2xn�1 sin ax� n(n� 1)

a2In�2

que permite calcular In en función de In�2.

Ejemplo 10.9. Calcular una fórmula de recurrencia para In =Z1=(1 + x2)n dx con

n 2 N

Sumando y restando x2 en el numerador:

In =

Z1 + x2 � x2

(x2 + 1)ndx =

Z1

(x2 + 1)n�1dx�

Zx2

(x2 + 1)ndx = In�1 �

Zx2

(x2 + 1)ndx

En esta última integral se integra por partes como en (10.4) con f 0(x) = x=(x2 + 1)n y

g(x) = x con lo cual f(x) = � 1

2(n� 1)(x2 + 1)n�1 y se obtiene que:Zx2

(x2 + 1)ndx = � x

2(n� 1)(x2 + 1)n�1 +1

2(n� 1)

Z1

(x2 + 1)n�1dx

= � x

2(n� 1)(x2 + 1)n�1 +1

2(n� 1)In�1

de donde se llega a la recurrencia:

In = In�1

�1� 1

2(n� 1)

�+

x

2(n� 1)(x2 + 1)n�1 (10.6)

que se usa con frecuencia al calcular integrales con integrandos racionales.

10.5. Integración de funciones racionales

Se trata ahora de calcular integrales de la formaZP (x)

Q(x)dx (10.7)

donde P y Q son polinomios de coe�cientes reales en la variable x de grados respectiva-mente p y n y donde se puede suponer que el grado de P es menor que el de Q (p < n)porque de no ser así siempre se puede dividir el uno por el otro y se obtiene

P (x)

Q(x)= C(x) +

R(x)

Q(x)

Métodos de integración 99

con C un polinomio y R el resto que se obtiene al efectuar la división, de grado menor queel de Q. La integral del polinomio C(x) no tiene ningún problema. Se supone tambiénque en Q el coe�ciente del término de mayor grado es 1, Q(x) = xn+ an�1x

n�1+ � � �+ a0(cuando esto ocurre se dice que Q es un polinomio mónico) porque caso de no ocurrir asísiempre se pueden dividir numerador y denominador por este coe�ciente y conseguir queefectivamente el polinomio del denominador sea mónico.El procedimiento habitual para calcular (10.7) es el de descomponer el cocienteP (x)=Q(x) en suma de fracciones simples. Sean �1; �2; : : : ; �k las raices reales de Qde multiplicidades r1; r2; : : : ; rk y �1 � i�1; �2 � i�2; : : : ; �l � i�l las raices complejas conmultiplicidades s1; s2; : : : ; sl. (puesto que Q es un polinomio de coe�cientes reales, sitiene una raiz compleja �1 + i�1con una cierta multiplicidad, tiene también la complejaconjugada �1 � i�1 con la misma multiplicidad). Q(x) se puede entonces escribir como:

Q(x) = (x� �1)r1(x� �2)

r2 � � � (x� �k)rk

�(x� �1 � i�1)s1(x� �1 + i�1)

s1 � � � (x� �l � i�l)s1(x� �l + i�l)

sl

= (x� �1)r1(x� �2)

r2 � � � (x� �k)rk((x� �1)

2 + �21)s1 � � � ((x� �l)

2 + �2l )sl

que se puede también escribir, de�niendo

j = �2j + �2j ; �j = �2�j (10.8)

como:

Q(x) = (x� �1)r1(x� �2)

r2 � � � (x� �k)rk(x2 + �1x+ 1)

s1 � � � (x2 + �lx+ l)sl (10.9)

Se puede demostrar entonces que el cociente P (x)=Q(x) admite una descomposición ensuma de fracciones simples de la forma:

P (x)

Q(x)=

�A11

x� �1+

A12(x� �1)2

+ � � �+ A1r1(x� �1)r1

�+ � � �+

�Ak1

x� �k+ � � �+ Akrk

(x� �k)rk

�+

�C11x+D11

x2 + �1x+ 1+ � � �+ C1s1x+D1s1

(x2 + �1x+ 1)s1

�+ � � �

+

�Cl1x+Dl1

x2 + �lx+ l+ � � �+ Clslx+Dlsl

(x2 + �lx+ l)sl

�(10.10)

es decir, se pueden encontrar números reales Aij; Cij; Dij tales que se cumpla (10.10).Calcular entonces la integral en (10.7) se reduce a calcular la suma de las integrales decada una de las fracciones simples que aparecen en el segundo miembro de (10.10) queson más sencillas. De hecho las integrales que van multiplicadas por los factores Aij soninmediatas: Z

A

(x� �)ndx =

A

1� n(x� a)�n+1 +K; n 6= 1

y quedan las que tienen integrandos con Cijx + Dij en el numerador. En el caso mássencillo en el denominador aparece x2 + �x + que según (10.8) se puede escribir como(x� �)2 + �2 de modo que, haciendo el cambio de variable t = (x� �)=�:Z

Cx+D

x2 + �x+ dx =

ZCx+D

(x� �)2 + �2dx =

1

�2

ZCx+D

((x� �)=�)2 + 1dx

=1

�

ZC(�t+ �) +D

t2 + 1dt = C

Zt

t2 + 1dt+

C� +D

�

Z1

t2 + 1dt

=C

2ln��t2 + 1��+ C� +D

�arctan t+K

Métodos de integración 100

y deshaciendo el cambio se obtiene el valor de la integral en función de la variable x.

Un caso más complicado se tiene cuando el denominador x2 + �x + está elevado alcuadrado y entonces la integral a resolver es del tipo de la que aparece en el ejemplo10.11: Z

Cx+D

(x2 + �x+ )2dx =

ZCx+D

((x� �)2 + �2)2dx (10.11)

y, mediante cambios muy similares a los que se han hecho para calcular la integral en elcaso anterior, se llega a que resolver (10.11) se reduce a resolver las integrales:Z

t

(t2 + 1)2dt y

Z1

(t2 + 1)2dt

La primera de ellas es inmediata:Zt

(t2 + 1)2dt = �1

2

1

t2 + 1+K

y la segunda se calcula mediante la recurrencia (10.6) con n = 2:Z1

(t2 + 1)2dt =

1

2

Z1

t2 + 1dt+

t

2(t2 + 1)=1

2arctan t+

1

2

t

t2 + 1+K (10.12)

Casos más engorrosos son aquéllos en los que el denominador x2+�x+ en lugar de estarelevado a 2 como en (10.11), aparece elevado a potencias mayores que 2. El método quese ha seguido para resolver (10.11) sigue siendo aplicable solo que en el caso de potenciassuperiores a 2 hay que aplicar (10.6) varias veces consecutivamente, 2 veces si x2+�x+ está elevado al cubo, 3 si está elevado a la cuarta potencia y así sucesivamente. Porejemplo, el cálculo deZ

Cx+D

(x2 + �x+ )3dx =

ZCx+D

((x� �)2 + �2)3dx

se reduce mediante un cambio de variable sencillo al cálculo deZt

(t2 + 1)3dt y de

Z1

(t2 + 1)3dt

La primera de estas integrales es inmediata y para resolver la segunda se aplica (10.6) conn = 3 con lo cual: Z

1

(t2 + 1)3dt =

3

4

Z1

(t2 + 1)2dt+

1

4

t

(t2 + 1)2

y el cálculo deZ

1

(t2 + 1)3dt se reduce al de

Z1

(t2 + 1)2dt que se ha resuelto en (10.12).

Ejemplo 10.10. Calcular la integralZ6x2 + 10x+ 12

x3 + x2 + x+ 1dx

Métodos de integración 101

Es inmediato que x = �1 es una raiz del denominador y por tanto éste se puede factorizarcomo

x3 + x2 + x+ 1 = (x+ 1)(x2 + 1)

luego las raices son x = �1 y x = �i. Según (10.10) se escribe entonces la descomposiciónen suma de fracciones simples como

6x2 + 10x+ 12

x3 + x2 + x+ 1=

A

x+ 1+Bx+ C

x2 + 1

de donde se obtiene que A+B = 6; A+C = 12 y B +C = 10. Resolviendo este sistemase llega a que A = 4; C = 8 y B = 2 y por tanto:Z

6x2 + 10x+ 12

x3 + x2 + x+ 1dx =

Z4

x+ 1dx+

Z2x

x2 + 1dx+

Z8

x2 + 1dx

= 4 ln jx+ 1j+ ln��x2 + 1��+ 8arctanx+K

Ejemplo 10.11. Calcular la integralZ

1

(x2 + 2x+ 5)2dx

El polinomio x2+2x+5 tiene los ceros complejos conjugados x = �1� 2i y por tanto setiene que

x2 + 2x+ 5 = (x+ 1� 2i)(x+ 1 + 2i) = (x+ 1)2 + 4y la integral se puede escribir como:Z

1

(x2 + 2x+ 5)2dx =

Z1

((x+ 1)2 + 4)2dx =

1

16

Z1

[((x+ 1)=2)2 + 1]2dx

=1

8

Z1

(t2 + 1)2dt

con el cambio de variable en este último paso de t = (x+ 1)=2. Utilizando ahora (10.12)y deshaciendo el cambio de variables:Z

1

(x2 + 2x+ 5)2dx =

1

16arctan

�x+ 1

2

�+1

32

x+ 1

(x+ 1)2=4 + 1+K

10.6. Integración de funciones trigonométricas

10.6.1. Integrales de la formaZR(sinx; cosx) dx

Son integrales de la forma: ZR(sinx; cosx) dx

Métodos de integración 102

donde R es una función racional de las variables sin x; cosx como por ejemplo (sinx cosx+cos3 x)=(1 + cos x). Estas integrales se reducen a una integral racional en una nuevavariable t (que ya se han tratado con anterioridad) con el cambio de variable

t = tanx

2(10.13)

Teniendo en cuenta que

tan(x=2) =p(1� cosx)=(1 + cos x) (10.14)

sin x =p1� cos2 x;

en función de la nueva variable t el seno y el coseno de x se expresan como:

sin x =2 tan(x=2)

1 + tan2(x=2)=

2t

1 + t2; cosx =

1� tan2(x=2)1 + tan2(x=2)

=1� t2

1 + t2(10.15)

de donde resulta evidente que, en efecto, el cambio de variable transforma el integrandoen una función racional. Existen sin embargo algunos casos particulares en los que es másconveniente hacer otros cambios de variable en lugar del cambio general (10.13). Éstosson:

� Cuando la función racional R es impar en el sin x, es decir, cuando se tiene queR(� sin x; cosx) = �R(sinx; cosx) se hace el cambio

t = cos x (10.16)

� Cuando la función racional R es impar en el cosx, es decir, si R(sinx;� cosx) =�R(sinx; cosx), se hace el cambio

t = sinx (10.17)

� Cuando la función racional R es par en el sinx y el cosx, es decir, cuando se cumpleque R(� sin x;� cosx) = R(sinx; cosx) se hace el cambio

t = tanx (10.18)

Con estos cambios la integral se reduce también (como con el cambio (10.13)) a unaintegral con integrando racional pero normalmente la integral que se obtiene tras el cambioresulta más sencilla que la que se obtendría con el cambio general.

Ejemplo 10.12. Calcular la integralZ(1= sin x) dx

En este caso el integrando es impar en el seno de x de modo que el cambio de variablees (10.16) t = cosx de donde se deduce que dt = � sin x dx y por tanto se tiene quedx = �dt= sin x = �dt=

p1� t2 y que sin x =

p1� t2. Luego:Z

1

sin xdx = �

Z1

1� t2dt = �

Z1

(1 + t)(1� t)dt = �

Z �A

1 + t+

B

1� t

�dt

Métodos de integración 103

e inmediatamente se obtiene que A = 1=2 y que B = 1=2. Por tanto:Z1

sin xdx = �1

2

Z1

1 + tdt� 1

2

Z1

1� tdt

= �12ln j1 + tj+ 1

2ln j1� tj+K =

1

2lnj1� tjj1 + tj +K

y deshaciendo el cambio de variable t = cos x y teniendo en cuenta (10.14):Z1

sinxdx =

1

2lnj1� cosxjj1 + cos xj +K =

1

2ln���tan x

2

���2 +K = ln���tan x

2

���+K

Ejemplo 10.13. Calcular la integralZ �=2

0

cosx

3 + sin2 xdx

En este caso el integrando es impar en cosx de modo que se hace el cambio (10.17)t = sinx y por tanto dt = cos x dx y cuando x = 0 t vale 0 y cuando x = �=2 t = 1.Luego: Z �=2

0

cosx

3 + sin2 xdx =

Z 1

0

cosx

3 + t2dt

cosx=

Z 1

0

1

3 + t2dt

=1

3

Z 1

0

1

1 + (t=p3)2

dt =

p3

3

Z p3=3

0

1

1 + u2du

=

p3

3

arctan

p3

3� arctan 0

!=

p3

3

�

6=�p3

18

Ejemplo 10.14. Calcular la integralZ �=3

�=4

1

sin x cos3 xdx

Ahora el integrando es par en sin x y cosx de modo que el cambio es t = tanx y por tantodt = (tan x)0 dx = dx= cos2 x y sin2 x = t2=(1 + t2) y cos2 x = 1=(1 + t2). Además, cuandox = �=4 entonces t = 1 y cuando x = �=3 entonces t =

p3. Luego:Z �=3

�=4

1

sin x cos3 xdx =

Z p3

1

cos2 x

sin x cos3 xdt =

Z p3

1

1 + t2

tdt

=

�ln jtj+ 1

2t2�p31

= lnp3 +

3

2� 12= ln

p3 + 1

Ejemplo 10.15. Calcular la integralZ �=2

0

1

sin x+ cosxdx

Métodos de integración 104

Ninguno de los tres casos particulares es aplicable de modo que se hace el cambio general(10.13) t = tan(x=2) y entonces 2dt = dx= cos2(x=2) = 2dx=(1 + cos x). Cuando x =0; t = 0 y cuando x = �=2; t = 1. Se tiene entonces, utilizando (10.15):Z �=2

0

1

sin x+ cosxdx =

Z 1

0

1 + (cos x)(t)

(sinx)(t) + (cos x)(t)dt =

Z 1

0

1 + t2 + 1� t2

2t+ 1� t2dt

=

Z 1

0

2

2t+ 1� t2dt = �2

Z 1

0

1

(t� 1�p2)(t� 1 +

p2)dt

=

p2

2

Z 1

0

�1

t� 1 +p2� 1

t� 1�p2

�dt

=

p2

2

�ln���t� 1 +p2���� ln ���t� 1�p2����1

0

=

p2

2ln

�����p2p

2� 1

������p2

2ln

����� �p2

�p2� 1

�����=

p2

2ln

p2 + 1p2� 1

!=

p2

2ln(3 + 2

p2)

donde la última igualdad se obtiene multiplicando dentro del logaritmo numerador ydenominador por

p2 + 1.

10.6.2. Fórmulas de reducción para integrales trigonométricas

En el caso de integrandos que son productos de senos y cosenos de argumentos distintosmuchas integrales se pueden calcular utilizando las fórmulas bien conocidas que transfor-man productos de funciones trigonométricas en sumas, a saber:

2 sin a sin b = cos(a� b)� cos(a+ b)

2 cos a cos b = cos(a+ b) + cos(a� b)

2 sin a cos b = sin(a+ b) + sin(a� b)

y como casos particulares cos 2a = 2 cos2 a � 1 o bien cos 2a = 1 � 2 sin2 a. A título deejemplo se tiene:

Ejemplo 10.16. Calcular la integralZ(sinnx)(cos px) dx con n; p 2 N y n 6= p

Utilizando la tercera de las fórmulas anteriores:Z(sinnx)(cos px) dx =

1

2

Zsin(n+ p)x dx+

1

2

Zsin(n� p)x dx

= � 1

2(n+ p)cos(n+ p)x� 1

2(n� p)cos(n� p)x+K

Ejemplo 10.17. Calcular la integralZsin4 x dx

Métodos de integración 105

Usando las fórmulas de reducción:Zsin4 x dx =

Z �1� cos 2x

2

�2dx =

1

4

Zdx+

1

4

Zcos2 2x dx� 1

2

Zcos 2x dx

=x

4� sin 2x

4+1

4

Zcos2 2x dx =

x

4� sin 2x

4+1

4

Zcos 4x+ 1

2dx

=x

4� sin 2x

4+x

8+1

8

sin 4x

4+K =

3

8x� sin 2x

4+sin 4x

32+K

10.7. Integración de funciones irracionales

En general existen integrales de funciones irracionales que no se pueden calcular en tér-minos de funciones elementales. En los casos en los que sí es posible, el procedimento eshabitualmente hacer un cambio de variable que transforme el integrando en una funciónracional.

10.7.1. Integrales de la formaZR(x; xr1 ; xr2 ; :::; xrn) dx

Se supone que en ZR(x; xr1 ; xr2 ; :::; xrn) dx (10.19)

R(u1; u2; :::; un) es una función racional de las variables uj y los exponentes rj = aj=bjson números racionales de modo que en general las funciones xrj son irracionales. Elintegrando se transforma en uno racional calculando primero el mínimo común múltiplom de los bj de modo que m=bj = dj es un número natural y escribiendo cada rj comorj = aj=bj = ajdj=m con lo cual xrj = m

pxajdj y la raiz que afecta a todos los términos xrj

en R(x; xr1 ; xr2 ; :::; xrn) es la misma, una raiz m-ésima. Por último, se hace en la integralel cambio de variable t = m

px, dx = mtm�1dt con lo cual la integral se reduce a una de

integrando racional que se resuelve por el procedimiento dado en un apartado anterior.

Una generalización inmediata del procedimiento anterior se tiene en el caso de las inte-grales: Z

R

�x;

�a+ bx

c+ ex

�r1;

�a+ bx

c+ ex

�r2; :::;

�a+ bx

c+ ex

�rn�dx con ae� bc 6= 0

en las que basta hacer primero el cambio a una nueva variable s de�nida como

s =a+ bx

c+ ex; x =

a� sc

se� b; dx =

bc� ae

(se� b)2ds

y en esta nueva variable la integral es del tipo (10.19).

Ejemplo 10.18. Calcular la integralZ

1

2 3px+ 3

pxdx

Métodos de integración 106

El integrando se escribe como 1=(2 6px2 + 3

6px3) y con el cambio t = 6

px se tiene que:Z

1

2 3px+ 3

pxdx =

Z6t3

2 + 3tdt = 2

Z �t2 � 2

3t+

4

9� 89

1

3t+ 2

�dt

=2t3

3� 2t

2

3+8t

9� 1627ln j3t+ 2j+K

y sustituyendo t por 6px se obtiene el resultado.

10.7.2. Integrales de funciones con radicandos cuadráticos

Son integrales de la forma

I =

ZR(x;

pax2 + bx+ c) dx (10.20)

donde R es una función racional de sus argumentos. Integrales de este tipo pero cuandoel radicando es un polinomio de grado 3 o 4 en lugar de un polinomio de grado 2 como en(10.20) son las llamadas integrales elípticas que en general no son resolubles en términosde funciones elementales. Existe más de un método para resolver (10.20). Probablementeel más rápido sea el de reducir la integral a uno de los 3 siguientes tipos:

�ZR(x;

px2 + 1) dx

�ZR(x;

px2 � 1) dx

�ZR(x;

p1� x2) dx

y resolver cada una de estas integrales mediante adecuados cambios de variable. El que apartir de (10.20) se obtenga una u otra de las 3 integrales de más arriba depende de lossignos de a y de b2 � 4ac. Por ejemplo, supóngase que a < 0. Entonces se escribe:

ax2 + bx+ c = �(p�ax+ u)2 + v

y se determinan los valores de las constantes u y v para que se cumpla la igualdad de másarriba. Se tiene que:

ax2 + bx+ c = �(p�ax+ u)2 + v = ax2 � u2 � 2u

p�ax+ v

de donde se deduce que

�2up�a = b; v � u2 = c de donde

u = � b

2p�a

; u2 = � b2

4a; v = c� b2

4a=4ac� b2

4a(10.21)

Métodos de integración 107

En el caso en que 4ac� b2 < 0 se tiene que v > 0 y entonces la integral se puede escribircomo:

I =

ZR(x;

pax2 + bx+ c) dx =

ZR

�x;

q�(p�ax+ u)2 + v

�dx

=

ZR

0@x;pvs��r

�avx+

upv

�2+ 1

1A dx

=

r�va

ZR

�r�va

�t� up

v

�;pvp�t2 + 1

�dt (10.22)

con el cambio

t =

r�avx+

upv; x =

r�va

�t� up

v

�; dx =

r�vadt

y donde u; v vienen dados en función de a; b; c en (10.21). (10.22) es la integral de unafunción racional de las variables t y

p1� t2 y por tanto coincide con la tercera de las

integrales de la lista de más arriba. De manera muy similar y dependiendo de los signosde a y de b2 � 4ac se obtienen unas u otras integrales de la lista.

Se pueden utilizar dos procedimiento para resolver estas últimas, en ambos casos haciendodesaparecer la raiz mediante adecuados cambios de variable que involucran bien funcionestrigonométricas bien funciones hiperbólicas. En el caso de funciones trigonométricas sehacen los siguientes cambios dependiendo del tipo de integral de que se trate:Z

R(x;p1� x2) dx =

ZR(sin t; cos t) cos t dt con x = sin tZ

R(x;p1 + x2) dx =

ZR

�sin t

cos t;1

cos t

�1

cos2 tdt con x = tan tZ

R(x;px2 � 1) dx =

ZR

�1

cos t;sin t

cos t

��� sin t

cos2 t

�dt con x =

1

cos t(10.23)

y en la primera de ellas también es posible el cambio x = cos t. En las integrales delos segundos miembros ha desaparecido la raiz y se pueden resolver usando los cambios(10.13), (10.16)-(10.18).

En dos de las integrales en (10.23) también es posible hacer un cambio de variable distintoque en general resulta más rápido que los dados en (10.23). Estos cambios son:Z

R(x;p1 + x2) dx =

ZR (sinh t; cosh t) cosh t dt con x = sinh tZ

R(x;px2 � 1) dx =

ZR (cosh t; sinh t) sinh t dt con x = cosh t (10.24)

teniendo en cuenta que

cosh t =et + e�t

2; sinh t =

et � e�t

2y por tanto:

cosh2 t� sinh2 t = 1; (cosh t)0 = sinh t; (sinh t)0 = cosh t

t = (sinh�1)(x) = ln�x+

px2 + 1

�t = (cosh�1)(x) = ln

�x+

px2 � 1

�

Métodos de integración 108

donde las funciones inversas hacen falta para deshacer el cambio de variable (la únicasalvedad es que el cosh no es inyectivo, cosh t = cosh(�t), de modo que la función cosh�1de�nida más arriba para todo x 2 [1;1) es la inversa del cosh siempre que éste se de�naunicamente sobre R+. Si se de�ne sobre R� entonces la inversa sería ln

�x�

px2 � 1

�de�nida también para todo x 2 [1;1)).Las integrales en los segundos miembros de (10.24) son funciones racionales de et y setransforman en integrales del tipo (10.7) con el cambio de variable et = z; dt = dz=z quepermite aplicar la técnica de descomposición en fracciones simples.

Ejemplo 10.19. Calcular la integralZ

x2px2 � 1

dx

Un cambio posible es el dado en (10.24) x = cosh t con lo cual se tiene:Zx2px2 � 1

dx =

Zcosh2 t

sinh tsinh t dt =

1

4

Z(e2t + e�2t + 2) dt

=1

8e2t � 1

8e�2t +

1

2t+K

=1

8

�x+

px2 � 1

�2� 18

1�x+

px2 � 1

�2 + 12 ln�x+px2 � 1�+K

=1

8

�x+

px2 � 1

�2� 18

�x�

px2 � 1

�2+1

2ln�x+

px2 � 1

�+K

=1

2xpx2 � 1 + 1

2ln�x+

px2 � 1

�+K

sustituyendo t por el (cosh�1)(x) para deshacer el cambio de variable.

Ejemplo 10.20. Calcular la integralZ p

3=3

0

1p1 + x2

dx

Un cambio posible es el dado en (10.24) x = sinh t con lo cual se tiene, teniendo en cuentaque sinh�1 0 = 0 y que sinh�1

p3=3 = (ln 3)=2:Z p

3=3

0

1p1 + x2

dx =

Z (ln 3)=2

0

1

cosh tcosh t dt =

1

2ln 3

Ejemplo 10.21. Calcular la integral I =Z p

2

1

1

xpx2 � 1

dx

Un cambio posible es el dado en (10.24) x = cosh t con lo cual se tiene, teniendo en cuentaque cosh�1 1 = 0 y que cosh�1

p2 = ln(1 +

p2):

I =

Z p2

1

1

xpx2 � 1

dx =

Z ln(1+p2)

0

1

cosh t sinh tsinh t dt =

Z ln(1+p2)

0

1

cosh tdt

=

Z ln(1+p2)

0

2

et + e�tdt =

Z ln(1+p2)

0

2et

e2t + 1dt

Métodos de integración 109

y haciendo en esta última integral el cambio z = et; dt = dz=z:

I =

Z ln(1+p2)

0

2et

e2t + 1dt =

Z 1+p2

1

2z

1 + z21

zdz

= 2 arctan zj1+p2

1 = 2arctan(1 +p2)� �

2

Ejemplo 10.22. Calcular la integral I =Z

1

x2p1� x2

dx

Con el cambio de variable x = sin t dado en (10.23) se tiene que dx = (cos t)dt y quep1� x2 = cos t y por tanto:Z

1

x2p1� x2

dx =

Z1

sin2 tdt = � 1

tan t+K = �

p1� x2

x+K

donde la última expresión se obtiene deshaciendo el cambio: tan2 t = sin2 t= cos2 t =x2=(1� x2).

Bibliografía 110

Bibliografía

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