análisis matemático iii
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Análisis Matemático III. Primera parte Funciones Segunda parte Integrales Tercera parte Ecuaciones diferenciales Cuarta parte Método para resolver una ecuación diferencial. P arte I Funciones. Funciones. Definición - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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PRIMERA PARTEFunciones
SEGUNDA PARTEIntegra les
TERCERA PARTEEcuac iones d i ferenc ia les
CUARTA PARTEMétodo para reso lver una ecuac ión d i ferenc ia l
Análisis Matemático III
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Parte I Funciones
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FUNCIONES
Definición
La función denota una regla que asigna a cada elemento de x del conjunto A, exactamente un elemento, denotados por f(x) del conjunto B.
BAf :f Función
A y B Conjuntos
x
a
f(x)
f(a)BA
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FUNCIONES
Considerando que los conjuntos A y B son conjuntos de números reales:
Dominio es el conjunto A de la función, denotado por D(f).
Rango es el conjunto de todos los valores posibles f(x) conforme varía en todo el dominio A.
El número f(x) es el valor de f en x.
RBA
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FUNCIONES
y=f(x)
Rango
Dominio
x
y
AxxffR :)()(
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FUNCIONES
Ejemplo
Encuentre el dominio y rango de cada función:1. f(x)=2x-12. g(x)=x2
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FUNCIONES
Solución1. La ecuación de la gráfica es y=2x-1, la cual es la
ecuación de una recta con pendiente y ordenada en el origen de -1. La expresión esta definida por todos los números reales, de manera que D(f)=R y su rango es también R(f)=R.
-1-1
1
1/2 1
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FUNCIONES
Solución2. La ecuación de la gráfica g(x)=x2, la cual
representa una parábola. La función g esta definida para cualquier número real, así D(g)=R y su rango es positivo.
1
2
3
4
1 2-1-2
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I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Funciones Potencia
Funciones donde la base es una variable y la potencia es una constante, tiene la siguiente forma:
Ejemplos:
xa
xf )( Ra
1
2
xxh
xxg
xxf
)(
)(
)(
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I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Función Exponencial
Función donde la base es una constante y la potencia es una variable, es la función exponencial de base a, tiene la siguiente forma:
Ejemplos:
ax
xf )(R
x
a 0
x
x
xg
xf23)(
2)(
x
xh
21
)(
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I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Propiedades de la Función Exponencial
Siendo:
1. 4.
2. 5.
3. 6.
10 a
yxyx aaa
yxy
x
aaa
xxx baab
yxyx aa
x
xx
ba
ba
0, ba Ryx,
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I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
En cálculo se decide trabajar como base el número irracional e que tiene un valor aproximado de 2.718281828.
DefiniciónLa función exponencial para cualquier x є R se define como:
Cuenta con las mismas propiedades que cualquier función exponencial de base a.
718281828.211
0
x
x
xxLime
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I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Gráfica de la Función Exponencial “base e”
2
3
4
0.5
1 1.5
-1.5
-1 -0.5
1
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I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Función LogarítmicaPara a>0 y a1 y x>0 denotamos la función logaritmo de base a por logax, y se define como:
Si x>0 entonces logax es el exponente al que debe elevarse la base a para dar x.
xabx ba log
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I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones inversas una de otra, como se puede ver en los siguientes ejemplos:
Forma Logarítmica
Forma Exponencial
log28=3 23=8
loga1=0 a0=1
log10 0.1=-1 10-1=0.1
log10 1000=3 103=1000
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I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Propiedades de la Función Logarítmica
Siendo: a, b 1 y x, y >0 se tienen las siguientes características:
1. 2.
3. 4. 5. 6.
7.
01log a1log aa
yxxy aaa logloglog yxyx
aaa logloglog
xnx an
a loglog ax
xb
ba log
loglog
ab
ba log
1log
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I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Logaritmo Natural
Es la función para un x>0 se define como la función logaritmo cuya base es el número e y se denota por:
Esta función goza de las mismas características que la función logarítmica de base a, dados x, y > 0.
xx elogln
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I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Función de Logaritmo Natural
-2
-1
-4
0.5
1 1.5
-3
2
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I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Propiedades como Funciones Inversas
1. Si a > 0 y a 1 se tiene:
2. Si a = e se tiene:
xaxa log
Rx
xa xa log
0x
xex lnRx
xe x ln
0x
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I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Ejemplo:
Desarrolla las siguientes expresiones:
910
log5 23ln x5
log2
xy 3
2
1
2ln
xx
x
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I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Solución:
1. Aplicando la propiedad 4 de logaritmos:
9log10log910
log 555
ylogxlogyx
log aaa
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I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Solución:
2. Aplicando la propiedad 5 de logaritmo natural:
23ln21
23ln xx
xnlogxlog an
a
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I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Solución:
3. Aplicando la propiedad 3 y 4 de logaritmos:
5logloglog5
log 2222 yxxy
ylogxlogxylog aaa ylogxlogyx
log aaa
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I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Solución:
4. Aplicando la propiedad 3, 4 y 5 de logaritmo natural:
1ln31
ln3ln21ln3ln1
2ln 32
3
2
xxxxxx
xx
x
ylogxlogxylog aaa
ylogxlogyx
log aaa
xnlogxlog an
a
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I.1 EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Ejercicios de Tarea:
1. Desarrolla la siguiente expresión:
2. Despejar x de las siguientes expresión:
a) b) c)
3
3
2 1ln
x
x
1log3log 1010 xx 4ln xe 3ln xe
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I.2 DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Funciones de Base Arbitraria
Para a>0 y a1 y u=u(x) una función diferencial en x donde xєR entonces la derivada de ax es:
y para la derivada de au es:
xx aaadxd
ln
dxdu
aaadxd uu ln
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I.2 DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Ejemplo:
1. Derivar las siguientes funciones:(a)y=2x (b) y=2senx
Solución:
(a) (b) xx
dxd
y 22ln2' senx
dxd
y 2'
senxxy 22lncos'
senxdxd
y senx22ln'
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I.2 DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Funciones de Base e
Para a>0 y a1 y u=u(x) una función diferencial en x donde xєR entonces la derivada de ex es:
y para la derivada de eu es:
xx eedxd
dxdu
eedxd uu
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I.2 DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Ejercicios para Realizar en Clase:
1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=e3x+1
b) y=(ex+1)2
c) y=e3x
d) y=etan3x
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I.2 DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Ejercicios de Tarea:
1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=a5x-1
b) y=x2ex
c) y=e5x
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I.3 DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Derivación con Base e
Si a>0, a1 y u=u(x), es una función diferenciable de x, donde x>0, entonces la derivada de lnx es:
y la derivada de lnu es:
xx
dxd 1
ln
dxdu
uu
dxd 1
ln
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I.3 DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Ejemplo:
1. Derivar las siguientes funciones:(a) (b)
Solución:
(a) (b) 1ln' 3 xdxd
y
2
1ln'
x
xdxd
y
1ln 3 xy2
1ln
x
xy
11
1' 3
3
x
dxd
xy
13
'3
2
xx
y
2
1
2
11
'x
xdxd
x
xy
2125
'
xxx
y
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I.3 DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Ejercicios para Resolver en Clase:
1.Derivar las siguientes funciones: a)
b)
c)
coslnf
xaxa
xg
ln
xxxf ln
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I.3 DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Ejercicios de Tarea:
1.Derivar las siguientes funciones: a)
b)
4ln 2 xxf
xxf ln
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I.3.1 DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA
El cálculo de derivadas de funciones complicadas que comprenden productos, cocientes o potencias se puede simplificar tomando logaritmos.
Método de la Derivación Logarítmica:1. Tome logaritmos naturales en ambos miembros de una ecuación y=f(x) y aplique la propiedad de los logaritmos para simplificar.2. Derive con respecto a x.3. Resuelva la ecuación resultante para y’.
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I.3.1 DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA
Ejemplo:1. Derivar las siguiente ecuación:
Solución:
524
3
23
1
x
xxy
23ln51ln21
ln43
ln 2 xxxy
2315
1431
2
xxx
xdxdy
y
23x
151x
x4x3
23x
1xx25
243
2315
143
2 xxx
xy
dxdy
5
243
23
1lnln
x
xxy
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I.3.1 DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA
Ejercicios para Resolver en Clases:
1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de las siguientes funciones:
a) b) 324 1873 xxy senxxy
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I.3.1 DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA
Ejercicios de Tarea:
1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de las siguientes funciones:
a) b) 8
34
3
51
x
xxy xxy
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CAPÍTULO II Integrales
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II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
DefiniciónUna función F se dice que es una primitiva o antiderivada de f en un intervalo I si F’(x)=f(x) para todo x є I.
EjemploSe necesita encontrar una función F que su derivada sea f(x)=4x3, por los conocimientos en diferenciación se diría que:
Por lo tanto F es una primitiva de f.
4)( xxF 34 4xxdxd
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II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Familia de Primitivas:Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma:
EjemploSabemos que la función F(x)=x4 es una primitiva de f(x)=4x3 así que las siguientes funciones:
G1(x)=x4+5 G2(x)=x4-123
también son primitivas de f(x).
CxFxG R
C
Ix
CxxG 4 Es la familia de primitivas de f(x)
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II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Para denotar la primitiva de una función f se usa la notación:
DefiniciónEl proceso de calcular las primitivas de una función f se denomina integración, así que tenemos:
lo que significa que:
dxxf
CxFdxxf
xfxFCxFdxd
'
RC
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II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Partes de la Integración:
CxFdxxf
Variable de Integración
Integrando
Símbolo de la
Integración
Constante de
Integración
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II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Reglas de la Integración:
1.
2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
Cxdxx
ln1
dxxgdxxfdxxgxf
11
1
nCnx
dxxn
n
dxxfkdxxkf
Cedxe xx Ca
adxa
xx
ln
Cxsenxdx cos Csenxxdxcos
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II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Reglas de la Integración:
9. 10.
11. 12.
13. 14.
Cxxdx tansec2 Cxxdx cotcsc2
Cxxdxx sectansec Cxxdxx csccotcsc
Cxdxx
12
tan1
1
Cxsendxx
1
2 1
1
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II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Ejemplo:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1. 2.
3. 4.
5.
dxx3
1 dxx
senxdx2 dxx 2
dxxxx 24 53
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II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Solución:
C2x1
dxx1
23C
xdxx
2
23
Cx32
dxx 3 CxCx
dxx 232
3
2/1
32
23
C2cosx2senxdx Cxdxsenx cos22
1.
2.
3.
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II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Solución:
C2x2x
dx2x2
dxdxx 2
xdxdxxdxx 24 53dxx5x3x 24
Cx21
x35
x53 235
C
xxx23
55
3235
4.
5.
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II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Ejercicios para resolver en Clase:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1.
2.
3.
dxxx 24 sec210
dxxx 63
dx
xxx
13
622
3
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II.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Ejercicios de Tarea:
Encuentre las siguientes integrales indefinidas:
1.
2.
3.
dxxx 122/3
dxxsenx cos32
dxx
xx 12
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II.2 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Identidades Fundamentales:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
senxx
1csc
xx
cos1
sec
xsenx
xcos
tan xsenxx coscot
xx
tan1
cot 1cos22 xxsen
xx 22 sec1tan xx 22 csc1cot
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II.2 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Con las identidades mencionadas anteriormente se extienden las fórmulas básicas de integración:
15. 16.
17. 18.
Cxxdx coslntan Csenxxdx lncot
Cxxxdx tanseclnsec Cxxxdx cotcsclncsc
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II.2 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Ejemplo:
Calcular la siguiente integral
Solución:
dyy 1tan2
Ctany ydydyy 22 sec1tan
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II.2 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Ejercicios para Resolver en Clases:
1. Resolver las siguientes integrales
a) b)
c)
dxxsenx cos32
dxxxcotcsc1
dxsenxx2sec
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II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Entre ambas ramas existe una relación descubierta independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, que se denomina Teorema Fundamental del Cálculo, el cual afirma que la diferenciación e integración son operaciones mutuamente inversas.
Ramas del Cálculo
Cálculo Diferencial
Cálculo Integral
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Teorema Fundamental de Cálculo
Si f(x) es una función continua en [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b] entonces:
Para aplicarlo se va a utilizar la siguiente notación:
b
a
aFbFdxxf )()(
II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
b
a
ba aFbFxFdxxf )()(
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Propiedades de la Integral Definida
Sea f(x) una función integrable en [a, b], entonces:
1. Si k es cualquier constante entonces:
2. Si g(x) es una función integrable en [a, b], entonces:
dxxfkdxxkfb
a
b
a
II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
dxxgdxxfdxxgxfb
a
b
a
b
a
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Propiedades de la Integral Definida
3. Sea c є [a, b], es decir, a<c<b. Entonces f es integrable en [a, b], si solo si f es integrable en [a, c] y en [c, b]:
4. La integral definida sobre un punto es cero, esto es:
dxxfdxxfdxxfb
c
c
a
b
a
II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
0 dxxfa
a
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Propiedades de la Integral Definida
5. La integral definida de a a b de f es igual a menos la integral definida de b a a de f, es decir:
dxxfdxxfa
b
b
a
II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
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Ejemplo
Resuelva las siguientes integrales:
1.
2.
dxx 1
2
2 3
II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
dxx4
1
3
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Solución:1. Geométricamente la integración de la función (1)
en el intervalos [1, 2] es el área de la región sombreada:
II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
1
2
1
2
2 3dxdxxdx3x1
2
2
121
2
3
33
xx
6338
31
32
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Solución:2. Geométricamente la integración de la función (2)
en el intervalos [1, 4] es el área de la región sombreada:
II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
14
4
1
2/34
1
21
2/333
xdxx /dxx3
4
1
2/32/3 1242
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Ejercicios para Resolver en Clase
Resolver las siguientes integrales:
1.
2.
3.
dxx1
0
2
II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
dxx
0
1
2
dxxx
1
0 3
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Ejercicios de Tarea
Resolver las siguientes integrales:
1.
2.
3.
dxx
2
12
13
II.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
dxx
1
1
3 2
dxx
x4
1
2
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Método de SustituciónSea g una función cuyo rango es un intervalo I, y sea f una función continua en I. Si g es diferenciable en su dominio y F es una primitiva de f en I, entonces:
Si hacemos el cambio de variable u=g(x) entonces du=g’(x)dx y:
Este método es comparable a la regla de la cadena en la diferenciación.
II.4 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
CxgFdxxgxgf '
CuFduuf
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Ejemplo:
1. Resolver la integral:
Solución:
II.4 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
dxxx 13 32
duuduudxxx 2/132 13
dxxdu
xu2
3
3
1
CuCu
2/32/3
32
23
C1x32 33 cx
2/33 132
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Ejercicios para Resolver en Clases
1. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
II.4 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
dxxx 42 12
dxxx 22 1
dxxx 5cos5
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Existen dos métodos para evaluar una integral definida por sustitución.
Uno de ellos es evaluar primero la integral indefinida y en seguida aplicar el TFC, por ejemplo:
II.4.1 SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS
4
0
2/34
0
4
0 2/312
21
21221
12
xdxxdxx
326
12731
131
931
1231 2/32/3
4
0
2/3x
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El otro método suele ser el mas adecuado, en este se cambian los límites de integración cuando se cambie la variable, como se explica a continuación:
Si g’ es continua sobre el intervalo [a, b] y f lo es sobre el rango de u=g(x) entonces
II.4.1 SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS
duufdxxgxgfbg
ag
b
a
)(
)(
'
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Ejemplo
SoluciónTomando la sustitución u=2x+1 tenemos que
Hallamos los nuevos límites de integración:
II.4.1 SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS
dxx 4
0
12
dxdu 2 dudx21
110200 ux
914244 ux
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II.4.1 SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS
Por lo tanto:
duu 9
1
dx12x4
0
912/39
1
2/3
9
1
2/39
1
2/1
31
32
21
322
121
uuu
duu
326
2/32/3 1931
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II.4.1 SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS
Ejemplo:Evaluar la siguiente integral dxxx
1
0
32 1
xdxdu
xu
2
12
xdxdu
21 11000 2 ux
21111 2 ux
duuduu 2
1
32
1
3
21
21
815
44 1281 214
2
1
4
81
421
uu
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Ejercicios para Resolver en Clase
Evaluar las siguientes integrales:
1.
2.
3.
II.4.1 SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES DEFINIDAS
dxx
x
5
1 12
dxxxe
1
ln
dxx 7
3
3
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Ejercicios de Tarea
Calcular las siguientes integrales
1.
2.
3.
II.4 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
dxx
xx
732
dxxx
1
1
32 1
dxxx 292
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Sea f y g funciones diferenciables en un intervalo I, entonces:
Se puede utilizar otra notación, que es más fácil de recordar, la cual se muestra a continuación:
II.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
dxxfxgxgxfdxxgxf ''
)(
)(
xgv
xfu
dxxgdv
dxxfdu
)('
)('
vduuvudv
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Ejemplo
Solución
De manera que:
II.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
dxxsenxxudxdu
senxdvxv cos
dxxxxdxxxxdxxsenx coscoscoscos
Csenxxcosx
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II.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
SoluciónNotamos que si hubiéramos elegido u=senx y dv=xdx, entonces du=cosx y v=x2/2 por lo que:
es una integral mas difícil de calcular.
dxxsenx
dxxxsenxx
dxxsenx cos21
22
2
dxcosxx2
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Ejemplo
Solución
De manera que:
La integral obtenida es mas sencilla que la inicial pero aun no es obvia, por lo cual hay que volver a aplicar la integración por partes.
II.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
dxex x 2
2xuxdxdu 2
dxedv xxev
dxxeexdxex xxx 222
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II.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
dxxexxu dxdu dxedv x xev
Cexedxexedxxe xxxxx 2
Sustituyendo el resultado de la segunda ecuación tenemos que: Cexeexdxxeexdxex xxxxxx 22 222
1xxx2 C2e2xeex CC 21
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Ejercicios para Resolver en Clase
Resuelva las siguientes integrales:
1.
2.
3.
4.
II.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
dxxln
dxsenxexdxxx ln2
dxx 3sec
![Page 81: Análisis Matemático III](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062308/56813309550346895d99c4d8/html5/thumbnails/81.jpg)
II.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
Fórmula de Integración por Partes para Integrales Definidas
b
a
b
a
ba vduuvudv
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II.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
Ejemplo
De donde:
Por lo tanto:
dxxex1
0
dxdu
xu
x
x
ev
dxedv
101
0
1
0
1
0
1
0
xxxxx exedxexedxxe 1 10 ee
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Ejercicios de Tarea
Resuelva las siguientes integrales:
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4.
II.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
dxxe x 2
dxxx cos
dxxsen 1
dxsen cos
dxxx2
0
2cos
dxx4
1
ln
dxxx 1
0
1tan