curso geoestadistica unsa

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN DE

AREQUIPA

CURSO TALLER GEOESTADSTICA APLICADA A LA ESTIMACIN DE

RECURSOS MINEROS Dictado por: Alfredo Marn Surez, Ph. D.

en Ciencias y Tcnicas Mineras Opcin Geoestadstica cole

Nationale Suprieure Des Mines De Paris CIP: 115062

E-mail: [email protected] http://www.geoestadistica.herobo.com

Abril del 2012
mailto:[email protected]://www.geoestadistica.herobo.com/

NDICE

1. INTRODUCCIN

2. MODELACIN PROBABILSTICA

3. CONCEPTO DE VARIABLE REGIONALIZADA

4. ANLISIS ESTADSTICO DE DATOS

5. ANLISIS ESTRUCTURAL DE DATOS MEDIANTE LA FUNCIN

VARIOGRAMA

5.1. Principales hiptesis consideradas en el dominio de la funcin

Variograma

5.2 . Distancias y ngulos del cono de tolerancia en el clculo

numrico de los variogramas experimentales

NDICE

5.3. Anlisis de la funcin variograma

5.4. Tipos principales de modelos de variogramas

6. ESTIMACIN DE RECURSOS

6.1. inferencia en trminos de proyeccin vectorial

6.2. Deduccin del Kriging de Matheron

6.3. Varianza de kriging de Matheron y confiabilidad de la estimacin

de cada bloque

7. CURVAS TONELAJE - LEY DE CORTE, LEY MEDIA - LEY DE CORTE Y

CANTIDAD DE METAL - LEY DE CORTE.

NDICE

8. INTERPRETACIN NUMRICA DE LAS HERRAMIENTAS

BSICAS

8.1. El variograma

8.1.1. Introduccin

8.1.2. Aplicacin en la diferenciacin de dos fenmenos

8.1.3. Modelos de variogramas ms comunes

8.1.4. Aplicacin del variograma cruzado en el estudio de

correlaciones

8.2. Tcnica del Kriging de Matheron.

NDICE

9. REFERENCIAS

NDICE

10. APNDICE

10.1. TEMAS DEL LABORATORIO GEOESTADSTICO DE UN YACIMIENTO

DISEMINADO DE ORO DE ALTA SULFURACIN Y BAJA LEY

10.2. TEMAS DEL LABORATORIO GEOESTADSTICO DE UN

PORFIDO DE COBRE

10.3. TEMAS DEL LABORATORIO GEOESTADSTICO DE UN

YACIMIENTO DE HIERRO

Se aplicar la Teora de las Variables Regionalizadas ms conocida con el nombre de Geoestadstica, cuya teora fue creada y desarrollada por el profesor Dr. George Matheron (1930 - 2000), plasmada en su obra monumental Trait de Gostatistique Applique, publicado en el ao 1962 y 1963 en Francia.

1. INTRODUCCIN

2. MODELACIN PROBABILSTICA

La Geoestadstica, presentada inicialmente por George Matheron como la Teora de las Variables Regionalizadas, considera que las variables regionalizadas estn modeladas en un espacio de variables aleatorias reales L2 sobre un espacio de probabilidades (Ventsel, 1973; Haaser 1978; Schwartz, 1981).

3. CONCEPTO DE VARIABLE REGIONALIZADA La variable regionalizada representa a una caracterstica de un

fenmeno determinado.

Figura 1. Representacin de la variable regionalizada en el espacio.

4. ANLISIS ESTADSTICO DE DATOS

0,0 50,0 100,0 150,0 200,0 250,0

Pot x Zn

0

100

200

300

400

500

600

700

fre

cu

en

cia

Mean = 32,13287Std. Dev. = 31,108962N = 4.164

-2 0 2 4

Ln (Pot x Zn)

0

100

200

300

frecu

en

cia

Mean = 2,962884Std. Dev. = 1,1353181N = 4.164

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0

Pb %

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

Zn

%

Correlacin Zn Vs Pb

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Observado

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Es

pe

rad

o

P-P Plots de Ln (Pot x Zn)

Figura 2. Ejemplo de una aplicacin en un manto mineralizado de Zinc.

5. ANLISIS ESTRUCTURAL DE DATOS MEDIANTE LA FUNCIN VARIOGRAMA

5.1 Principales hiptesis consideradas en el dominio de la funcin variograma.

Hiptesis Estacionaria Estricta

Hiptesis Estacionaria de Orden 2

Hiptesis Intrnseca

5.2 Distancias y ngulos del cono de tolerancia en el clculo numrico de los variogramas experimentales .

Figura 3. Descripcin de la seccin del cono de tolerancia.

5.3 Anlisis de la funcin variograma.

Figura 4. Ejemplo simple de un variograma experimental y

su modelado correspondiente a una variable regionalizada.

5.4 Tipos principales de modelos de variogramas

a) Modelo Efecto de Pepita Puro

b) Modelo Esfrico o de Matheron

c) Modelo de Formery o Exponencial

d) Modelo con efecto HOLE

e) Modelo Gaussiano

Modelo Efecto de Pepita Puro

)(h

h

Figura 5. Modelo Efecto de Pepita Puro

Modelo Esfrico o de Matheron

Figura 6. Modelo Esfrico o de Matheron

Modelo de Formery o Exponencial

Figura 7. Modelo de Formery o Exponencial

Modelo con efecto HOLE

Figura 8. Modelo con efecto HOLE

Modelo Gaussiano

Figura 9. Modelo Gaussiano

6.1 Inferencia en trminos de proyeccin vectorial

Figura 10. Representacin grfica de la inferencia en trminos de proyeccin vectorial

2. ESTIMACIN DE RECURSOS

6.2 Deduccin del Kriging de Matheron

Considerando la hiptesis estacionaria de orden dos, se ha considerado un estimador insesgado que minimiza la varianza de estimacin siguiente:

6.3 Varianza de kriging de Matheron y confiabilidad de la estimacin de cada bloque.

6.3 Varianza de kriging de Matheron y confiabilidad

de la estimacin de cada bloque.

Figura 11. Confiabilidad de la estimacin del bloque en tres casos

6.3 Varianza de kriging de Matheron y confiabilidad

de la estimacin de cada bloque.

7. CURVAS TONELAJE - LEY DE CORTE, LEY MEDIA - LEY DE CORTE Y CANTIDAD DE METAL - LEY DE CORTE

Figura 12. Curvas que permiten evaluar el yacimiento econmicamente

8.1 El variograma

8. INTERPRETACIN NUMRICA DE LAS HERRAMIENTAS BSICAS

8.1 El variograma

Figura 13. Representacin de la variable regionalizada en el espacio.

8.1 El variograma

8.1.2 Aplicacin en la diferenciacin de dos fenmenos

En una lnea de muestreo de la zona A, tenemos los siguientes valores de la variable regionalizada de plomo en ppm.


Realizamos un anlisis estadstico bsico. a) Media aritmtica: b) La varianza: c) El coeficiente de variacin:

6.35

42615

x

5

6.346.326.366.316.3522222

2

44.32

52.06.3

85.1

6.3

44.3_

xMedia

tpicaDesviacincv

d) Histograma

Figura 14. Histograma de leyes de la zona A


En otra lnea de muestreo en la zona B, tenemos los mismos valores de la variable regionalizada de plomo en ppm, pero dispuesto de la siguiente forma; es decir, un fenmeno estructuralmente muy diferente, a pesar de tener los mismos valores de leyes.


Obtenemos la media aritmtica, la varianza, el coeficiente de variacin y el histograma, y vemos que da los mismos resultados que los obtenidos en la Zona A. Es decir que con esta estadstica descriptiva no logramos diferenciar dos fenmenos totalmente diferentes.


Ahora procedemos a construir los Variogramas de la Zona A y B

500.0

21

45)4(

500.422

4125)3(

000.123

462165)2(

625.724

42266115)1(

2

22

222

2222

x

x

x

x


Graficando el variograma para la zona A.

)(h

h

Figura 15. Variograma de la zona A


500.12

21

16)4(

000.822

1526)3(

667.323

142546)2(

875.024

12244556)1(

2

22

222

2222

x

x

x

x


Graficando el variograma para la zona B.

Figura 16. Variograma de la zona B

)(h

h


Como se puede observar el semi-Variograma, que ms comnmente se le denomina variograma, da cuenta de las zonas estructuralmente diferentes.

8.1.3 Modelos de variogramas ms comunes

)(h

h

Modelo Efecto de Pepita Puro

Figura 17. Modelo Efecto de Pepita Puro


Modelo Esfrico o de Matheron

Figura 18. Modelo Esfrico o de Matheron


Modelo de Formery o Exponencial

Figura 19. Modelo de Formery o Exponencial


Modelo con efecto HOLE

Figura 20. Modelo con efecto HOLE


Modelo Gaussiano

Figura 21. Modelo Gaussiano

8.1.4 Aplicacin del variograma cruzado en el estudio de correlaciones

Para visualizar esta funcin, consideremos un ejemplo de una zona de terreno explorado del cual hemos obtenidos valores geoqumicos del Oro y Plata y deseamos estudiar la relacin entre los dos valores. Para este efecto aplicaremos el variograma cruzado. Siendo la formula:

3)()()()( xRhxZZhxZxZEh BBBAAB


Aplicando:

00.1

21

5745)4(

25.522

52413725)3(

33.123

584632218765)2(

25.924

5342382682612715)1(

x

x

x

x

AuAg

AuAg

AuAg

AuAg


Cuya grfica es la siguiente:

h

)(hAuAg

Figura 22. Variograma cruzado de la zona explorada con correlacin positiva alta entre las variables.


Observamos que cuando hay una correlacin positiva alta entre las variables, el variograma cruzado tiende a tomar valores positivos altos.


Ahora veamos que pasa en otra zona, donde los valores geoqumicos de la Plata toman otros valores: Aplicando la frmula:

00.0

21

1145)4(

75.622

16415125)3(

33.023

124656212165)2(

63.724

1542522626616115)1(

x

x

x

x

AuAg

AuAg

AuAg

AuAg


Con su grfica:

Figura 23. Variograma cruzado de la zona explorada con correlacin negativa alta entre las variables.

h

)(hAuAg


Observamos que cuando hay una correlacin negativa alta entre las variables el variograma cruzado tiende a tomar valores negativos altos.

8.2 Tcnica del Kriging de Matheron.

Considerando las variables Z(xi) que estn cerca de un soporte geomtrico a estimar y dentro de su aureola de influencia. Aureola definida por medio de los alcances estimados a partir de un estudio de variogramas.

Visualizaremos el procedimiento a partir de la siguiente disposicin de las muestras con respecto a un soporte geomtrico V.


)( 11 xz

)( 22 xz

)( nn xzV

Figura 24. Disposicin de muestras con respecto a un soporte geomtrico V


Y deseamos estimar la variable Z(x) del soporte geomtrico V a partir de las muestras Z(xi). Entonces necesitamos encontrar los pesos para estimar la variable Zv(x0), a partir de:

nnV xZxZxZxZ ...22110*


En el ejemplo que presentaremos a continuacin consideremos que estamos en condiciones de aplicar un Krigeage ordinario bajo la hiptesis estacionaria de orden 2, por lo que usaremos el siguiente sistema de ecuaciones.

n

Vvuvv1

,,

1 a n

n

1

1


Este sistema resulta de minimizar la varianza de estimacin sujeta a la condicin de universalidad , que hace que nuestro estimador sea insesgado.

El error cometido en este procedimiento de estimacin viene dado por la varianza de Kriging de Matheron siguiente:

n

1

1

VVuVv jjk 12 ,


Ejemplo:

A partir de los valores de la potencia de un manto de Hematita en los puntos A y B, se desea estimar la potencia en el punto C. Considerando que la potencia del manto tiene el siguiente modelo de variograma.


A continuacin se muestra la ubicacin de las potencias y su orden de magnitud.

Figura 25. Variable regionalizada Potencia en los puntos A y B de un manto de Hematita


Entonces tenderemos a partir del sistema de ecuaciones anterior, el siguiente sistema particular:

Reemplazando:


Restando (I) (II) :

Ahora tenemos el siguiente sistema:


Sumando (I) + (II) :

Reemplazando en (II) :


En la primera ecuacin inicial:

Despejamos:

Parmetro auxiliar que ser usado posteriormente en la frmula de la varianza de Kriging de Matheron.


Siendo la potencia estimada del manto igual a:

Reemplazamos:


Ahora veamos cul es el error que se comete en esta estimacin, para lo cual particularizamos la frmula de la varianza de Kriging de Matheron dada anteriormente.

Reemplazando:

Este valor es el error cometido en el proceso de estimacin realizado.

9. REFERENCIAS - Matheron G. (1962, 1963) - Trait de Gostatistique Applique.

Ed. Technip, Paris VOL. 1; VOL. 2.

- Guibal D. (1972) - Simulation de Schmas Intrinsques. N-291 E.N.S.M.P.

- Journel A. (1977) - Gostatistique Miniere, tomo 1 y 2. E.N.S.M.P

- Marchal A., Deraisme J., Journel A., Matheron G. (1978) - Cours de Gostatistique non Linaire. C-74 E.N.S.M.P.

- Marchal A. et al., (1972 - 73) Boletines de Geoestadstica del Centro de Geoestadstica del Departamento de Minas de la Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas de la Universidad de Chile.

9. REFERENCIAS - Marn Surez A. (1978) - Mthodologie de L'estimation et Simulation

Multivariable des Grands Gisements Tridimensionnels. Thse prsente I'cole Nationale Suprieure des Mines de Paris

Para obtener el grado de:

Docteur Ingnieur en Sciences et Techniques Minires - Option Gostatistique

- Marn Surez A. (1986) - Modelo Geoestadstico de Filones de Almadn. Ed. Minas de Almadn S.A., Almadn (Espaa).

- Remy N., Boucher A., Wu J., Journel A. (2009) - Applied Geostatistics with SGEMS. Ed. Cambridge University Press

10. APNDICE

1. TEMAS DEL LABORATORIO GEOESTADSTICO DE UN YACIMIENTO DISEMINADO DE ORO DE ALTA SULFURACIN Y BAJA LEY

Anlisis de Datos

- Construccin de histogramas experimentales de las variables regionalizadas, leyes de mineral, RQD, entre otros.

- Anlisis e interpretacin de histogramas experimentales. Deteccin de diversas poblaciones o poblaciones errticas

- Modelado de los histogramas experimentales de las variables regionalizadas estudiadas.

- Anlisis del grado de log normalidad de la distribucin de la ley del oro.

- Uso del P-P Plot

- Anlisis de Correlacin de datos para identificar el grado de afinidad entre todas las variables.

10. APNDICE


Anlisis de Variogramas Experimentales.

- Variograma directo, que ayudar a identificar y calcular las direcciones y radios de influencia de todas las variables.

- Variograma cruzado que complementan los resultados estadsticos de correlacin de todas las variables.

- Construccin de variogramas.

Modelacin de Variogramas.

- Interpretacin y modelado de los variogramas experimentales obtenidos para el yacimiento de oro.

- Modelacin de variogramas.

10. APNDICE


Elipsoide de Infuencia.

- Construccin del elipsoide de influencia una vez hallado los parmetros de los variogramas del oro.

Tcnica del KRIGING DE MATHERON

- Eleccin de la tcnica del Kriging de acuerdo a los resultados del anlisis de los variogramas del oro en todas las direcciones del yacimiento.

10. APNDICE


Plan de estimacin del KRIGING DE MATHERON

- Deduccin de los parmetros de los variogramas que nos permitirn realizar la estimacin de recursos.

- Clculo del nmero de datos mnimo y mximo que ingresaran en la estimacin de cada bloque.

- Kriging de Matheron y determinacin de los recursos:

- Medido.

- Indicado.

- Inferido.

10. APNDICE


Construccin de tablas:

- Tonelaje Vs. Ley de corte.

- Ley media Vs. Ley de corte.

- Cantidad de metal Vs. Ley de corte.

Confiabilidad de la Estimacin.

- La confiabilidad (CM) de la estimacin del oro de cada uno de los bloques expresados en tanto por ciento.

10. APNDICE

2. TEMAS DEL LABORATORIO GEOESTADSTICO DE UN PORFIDO DE COBRE

Anlisis de Datos





- Uso del P-P Plot


10. APNDICE









10. APNDICE






- Medido.

- Indicado.

- Inferido.

10. APNDICE








10. APNDICE

3. TEMAS DEL LABORATORIO GEOESTADSTICO DE UN YACIMIENTO DE HIERRO

Anlisis de Datos





- Uso del P-P Plot


10. APNDICE









10. APNDICE






- Medido.

- Indicado.

- Inferido.

10. APNDICE








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