curs7 econometrie regr_neliniara 2013
TRANSCRIPT
ECONOMETRIEECONOMETRIE - CURS 7 -- CURS 7 -
TematicTematic ă C7ă C7
1.1. Modelul reciprocModelul reciproc2.2. Modele semi-logaritmice Modele semi-logaritmice 3.3. Modele polinomialeModele polinomiale
Modelul reciproc (I)Modelul reciproc (I)
este modelul care are la bază ecuaţia unei hiperbole;este modelul care are la bază ecuaţia unei hiperbole; variabila independentă apare prin inversa sau reciproca sa.variabila independentă apare prin inversa sau reciproca sa.
Estimarea parametrilor modeluluiEstimarea parametrilor modelului
Modelul reciproc este definit prin relaţia:Modelul reciproc este definit prin relaţia:
Pentru această clasă de modele se va face substituţia Pentru această clasă de modele se va face substituţia XX**=1/X=1/X. În urma . În urma substituţiei, va rezulta forma liniarizată a modelului hiperbolic:substituţiei, va rezulta forma liniarizată a modelului hiperbolic:
Modelul liniarizat va fi tratat ca un model simplu liniar pentru Modelul liniarizat va fi tratat ca un model simplu liniar pentru determinarea estimaţiilor parametrilor determinarea estimaţiilor parametrilor ββ00 şi şi ββ11..
εββ ++=X
1Y 10
εββ ++= *10 XY
Modelul reciproc (II)Modelul reciproc (II)
Interpretarea parametrilor modeluluiInterpretarea parametrilor modelului
ββ00: valoarea limită pe care o atinge variabila : valoarea limită pe care o atinge variabila
dependentă, atunci când valorile variabilei dependentă, atunci când valorile variabilei independente cresc la infinit;independente cresc la infinit;
ββ11: - variaţia medie a lui Y la o creştere cu o unitate : - variaţia medie a lui Y la o creştere cu o unitate
a lui X;a lui X;
- dacă - dacă ββ11>>0, atunci o creştere a lui X determină 0, atunci o creştere a lui X determină
o descreştere a lui Y;o descreştere a lui Y;
- dacă - dacă ββ11<0, <0, atunci o creştere a lui X determină atunci o creştere a lui X determină
o creştere a lui Y.o creştere a lui Y.
Curba lui Philips
• în teoria şi practica economică, modelul hiperbolic este folosit
pentru a explica relaţia dintre inflaţie şi şomaj;•curba reprezentată cu ajutorul celor două variabile se numeşte
curba lui Philips
unde: Y – rata inflaţiei sau indicele salariului real, exprimat în
procente;
X – rata şomajului, exprimată în procente.
Exemplu:
Modelul reciproc (II)
εββ ++=X
1Y 10
XY
1302,13029,52 +=
Modele semi-logaritmice (I)Modele semi-logaritmice (I)
Fie variabila independentă, fie variabila dependentă Fie variabila independentă, fie variabila dependentă aparapar, , în forma liniarizată a modelului, ca variabile în forma liniarizată a modelului, ca variabile logaritmatelogaritmate
Estimează variaţia relativă sau absolută a variabilei Estimează variaţia relativă sau absolută a variabilei dependente la o variaţie absolută sau relativă cu o dependente la o variaţie absolută sau relativă cu o unitate a variabilei independenteunitate a variabilei independente
Modelele cu variabila dependentă logaritmată pe Modelele cu variabila dependentă logaritmată pe care le vom studia sunt: modelul Compound care le vom studia sunt: modelul Compound (Compus), Growth (de creştere) şi Exponenţial(Compus), Growth (de creştere) şi Exponenţial
Modelul cu variabila independentă logaritmată pe Modelul cu variabila independentă logaritmată pe care îl vom studia este modelul Logarithmiccare îl vom studia este modelul Logarithmic
Modele semi-logaritmice (II)Modele semi-logaritmice (II)
Modelul CompoundModelul Compound
Forma generală a modeluluiForma generală a modelului ::
Ecuaţia se liniarizează prin logaritmare:
εββ eY X ⋅⋅= 10
εββ +⋅+= 10 lnlnln XY
Modele semi-logaritmice (III)Modele semi-logaritmice (III)
Parametrii modelului:Parametrii modelului:- ββ00 este valoarea medie a lui este valoarea medie a lui YY pentru pentru X=0X=0. .
Variabila Y are numai valori pozitive, deci Variabila Y are numai valori pozitive, deci ββ00
satisface condisatisface condiţiaţia ββ00 >0. >0.
- - lnlnββ 11 arată variaţia medie arată variaţia medie procentuală procentuală a lui a lui YY la o la o
variaţie variaţie absolutăabsolută a lui a lui XX cu o unitate. Reprezintă cu o unitate. Reprezintă rata de creştere sau reducere a variabilei rata de creştere sau reducere a variabilei YY în în raport cu variabila raport cu variabila XX..
dX
Ylndln 1 =β
Modele semi-logaritmice (IV)Modele semi-logaritmice (IV)
Observaţii:Observaţii:
- Dacă lnDacă lnββ11>0, adică >0, adică ββ11>1, atunci legătura dintre >1, atunci legătura dintre
cele două variabile este directă.cele două variabile este directă.
- Dacă lnDacă lnββ11<0, adică 0<<0, adică 0<ββ11<1, atunci legătura dintre <1, atunci legătura dintre
cele două variabile este incele două variabile este inversversă.ă.
Modele semi-logaritmice (V)Modele semi-logaritmice (V)
2. 2. Estimarea parametrilor modeluluiSSe face prin MCMMP: e face prin MCMMP:
Sistemul de ecuaţii normale:Sistemul de ecuaţii normale:
n1,i ,yln=xbln+blnn ii10 =∑∑
ylnx=xbln+xbln ii2i1i0 ∑∑∑
∑ = imminei2
Modele semi-logaritmice (VI)Modele semi-logaritmice (VI)
( );
xxn
ylnxylnxnbln
2i
2i
iiii1 ∑∑
∑∑∑−−
=
( )2i2i
iii2ii
0xxn
ylnxxxylnbln
∑∑∑∑∑∑
−−
=
Modele semi-logaritmice (VII)Modele semi-logaritmice (VII)
3. Testarea semnificaţiei parametrilor3. Testarea semnificaţiei parametrilor IpotezeIpoteze InterpretareInterpretare
4. Intensitatea legături i dintre variabile4. Intensitatea legături i dintre variabile- - raportul de determinaţie (raportul de determinaţie (R squareR square))
Modele semi-logaritmice (VIII)Modele semi-logaritmice (VIII)
5. Exemplu5. Exemplu
În urma analizei legăturii dintre valoarea investiţiilor (mii euro) şi valoarea producţiei (mil. euro) înregistrate pe un eşantion de 5 firme, s-au obţinut următoarele rezultate:
Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două variabile este:variabile este:
Logaritmând ecuaţia de mai sus, se obţine:Logaritmând ecuaţia de mai sus, se obţine:ll nyny ii=ln1,322=ln1,322 +x+x ii ln1,769ln1,769 =0,279=0,279 +0,570x+0,570x ii
Coefficients
1.769 .103 2.677 17.118 .000
1.322 .256 5.161 .014
xi
(Constant)
B Std. Error
UnstandardizedCoefficients
Beta
StandardizedCoefficients
t Sig.
The dependent variable is ln(yi).
i
i
xx 769,1322,1y ⋅=
Interpretare:Interpretare:
- valoarea parametrului - valoarea parametrului ββ11 arată că, la o arată că, la o creştere cu o mie de euro a valorii creştere cu o mie de euro a valorii investiţiilor, valoarea producţiei creşte, în investiţiilor, valoarea producţiei creşte, în medie, cu medie, cu o rato rată de ă de 0,0,57 sau cu 57%.57 sau cu 57%.
22 . Testarea semnificaţiei parametrilor. Testarea semnificaţiei parametrilor
3. Estimarea şi testarea intensităţii legăturii 3. Estimarea şi testarea intensităţii legăturii dintre variabiledintre variabile
Model Summary
.985 .969 .959 .185R R Square
AdjustedR Square
Std. Error ofthe Estimate
The independent variable is xi.
ANOVA
3.253 1 3.253 95.333 .002
.102 3 .034
3.356 4
Regression
Residual
Total
Sum ofSquares df Mean Square F Sig.
The independent variable is xi.
Modele semi-logaritmice (IX)Modele semi-logaritmice (IX)
Modelul Growth (de Creştere)Modelul Growth (de Creştere)
1.1. Forma generală a modeluluiForma generală a modelului ::
Ecuaţia se liniarizează prin logaritmare:
εββ ++= X10eY
εββ +⋅+= XYln 10
Modele semi-logaritmice (X)Modele semi-logaritmice (X)
Parametrii modelului:Parametrii modelului:
- eeββ00 este valoarea medie a lui este valoarea medie a lui YY pentru pentru X=0X=0. .
- ββ 11 arată variaţia medie arată variaţia medie procentuală procentuală a lui a lui YY la o la o
variaţie variaţie absolutăabsolută a lui a lui XX cu o unitate. cu o unitate.
dX
Ylnd1 =β
Modele semi-logaritmice (XI)Modele semi-logaritmice (XI)
ExempluExempluSe consideră legătura dintre Se consideră legătura dintre Timpul de Timpul de accelerare de la 0 la 100 km/haccelerare de la 0 la 100 km/h (secunde) şi (secunde) şi Puterea motorului Puterea motorului (CP).(CP).
Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două variabile este:variabile este:
Logaritmând ecuaţia de mai sus, se obţine:Logaritmând ecuaţia de mai sus, se obţine:ll nY=3,092-0.004XnY=3,092-0.004X
Coefficients
-.004 .000 -.726 -21.032 .000
3.092 .019 164.791 .000
Horsepower
(Constant)
B Std. Error
UnstandardizedCoefficients
Beta
StandardizedCoefficients
t Sig.
The dependent variable is ln(Time to Accelerate from 0 to 60 mph (sec)).
XeY ⋅−= 004,0092,3
Interpretare:Interpretare: când când Puterea motorului Puterea motorului este de 0 este de 0
C.P., C.P., Timpul de accelerareTimpul de accelerare este de este de ee3,0923,092=22 secunde.=22 secunde.
La o creştere a puterii motorului cu 1 La o creştere a puterii motorului cu 1 C.P., timpul de accelerare scade, în C.P., timpul de accelerare scade, în medie, cu o rată de 0,004 sau cu medie, cu o rată de 0,004 sau cu 0,4%.0,4%.
Modele semi-logaritmice (IX)Modele semi-logaritmice (IX)
Modelul ExponentialModelul Exponential
1.1. Forma generală a modeluluiForma generală a modelului ::
Ecuaţia se liniarizează prin logaritmare:
εββ eeY X0
1 ⋅⋅=
εββ +⋅+= XlnYln 10
Modele semi-logaritmice (X)Modele semi-logaritmice (X)
Parametrii modelului:Parametrii modelului:
- ββ00 este valoarea medie a lui este valoarea medie a lui YY pentru pentru X=0X=0. .
- ββ 11 arată variaţia medie arată variaţia medie procentuală procentuală a lui a lui YY la o la o
variaţie variaţie absolutăabsolută a lui a lui XX cu o unitate. cu o unitate.
dX
Ylnd1 =β
Modele semi-logaritmice (XI)Modele semi-logaritmice (XI)
ExempluExempluSe consideră legătura dintre Se consideră legătura dintre Puterea Puterea motorului (CP)motorului (CP) şi şi Numărul de cilindri Numărul de cilindri (cilindri)(cilindri)..
Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două variabile este:variabile este:
Logaritmând ecuaţia de mai sus, se obţine:Logaritmând ecuaţia de mai sus, se obţine:ll nY=ln38,911+0,17XnY=ln38,911+0,17X
Coefficients
.170 .005 .842 31.057 .000
38.911 1.221 31.877 .000
Number of Cylinders
(Constant)
B Std. Error
UnstandardizedCoefficients
Beta
StandardizedCoefficients
t Sig.
The dependent variable is ln(Horsepower).
XeY 170,0911,38 ⋅=
Interpretare:Interpretare: când când Numărul de cilindri Numărul de cilindri este de 0, este de 0,
Puterea medie a motoruluiPuterea medie a motorului este de este de 38,911 C.P.38,911 C.P.
La o creştere a numărului de cLa o creştere a numărului de ciilindri cu lindri cu 1 cilindru, puterea motorului creşte, în 1 cilindru, puterea motorului creşte, în medie, cu 17%.medie, cu 17%.
Modele semi-logaritmice (XII)Modele semi-logaritmice (XII)
Modelul LogarithmicModelul Logarithmic1.1. Forma generală a modeluluiForma generală a modelului ::
- ββ00 este valoarea medie a lui este valoarea medie a lui YY pentru pentru X=X=11. .
- ββ 11 arată variaţia medie arată variaţia medie absolutabsolutăă a lui a lui YY la o la o
variaţie variaţie procentualăprocentuală a lui a lui XX cu o unitate. cu o unitate.
εββ +⋅+= XlnY 10
Xlnd
dY1 =β
ExempluExempluSe consideră legătura dintre Se consideră legătura dintre Puterea Puterea motorului motorului şi şi Numărul de cilindriNumărul de cilindri..
Ecuaţia estimată a legături i dintre cele Ecuaţia estimată a legături i dintre cele două variabile este:două variabile este:
ε+⋅+−= Xln458,104048,68Y
Coefficients
104.458 3.632 .822 28.761 .000
-68.048 6.112 -11.134 .000
ln(Number of Cylinders)
(Constant)
B Std. Error
UnstandardizedCoefficients
Beta
StandardizedCoefficients
t Sig.
Interpretare:Interpretare: când când Numărul de cilindri Numărul de cilindri este de 1, este de 1,
Puterea medie a motoruluiPuterea medie a motorului este de este de -68,048 C.P.-68,048 C.P.
La o creştere a numărului de cLa o creştere a numărului de ciilindri cu lindri cu 1 %, puterea motorului creşte, în 1 %, puterea motorului creşte, în medie, cu 1,04458 C.P.medie, cu 1,04458 C.P. (104,458/100) (104,458/100)
Modele polinomiale (I)Modele polinomiale (I)
a. Modelul parabolic: cel mai simplu model polinomial este modelul parabolic (Quadratic).
La nivelul eşantionului:
εβββ +⋅+⋅+= 2210 XXY
2210X XbXbbY ⋅+⋅+=
Modele polinomiale (II)Modele polinomiale (II)
În economie, modelul polinomial este folosit pentru În economie, modelul polinomial este folosit pentru descrierea relaţiei dintre costul unitar şi producţia descrierea relaţiei dintre costul unitar şi producţia realizatărealizată: : costul unitar scade concomitent cu costul unitar scade concomitent cu creşterea producţiei până la un nivel optim al creşterea producţiei până la un nivel optim al producţiei, după care, dacă producţia continuă să producţiei, după care, dacă producţia continuă să crească, începe să crească şi costul unitar.crească, începe să crească şi costul unitar.
ExempluExemplu
Ecuaţia estimată este:Ecuaţia estimată este:yy ii=89,041-25,795x=89,041-25,795x ii+2,114x+2,114x ii
22
50.00
40.00
30.00
20.00
10.00
9.008.007.006.005.004.003.002.00
Productia
Quadratic
Observed
Cost unitar
Coefficients
-25.795 3.895 -5.322 -6.623 .000
2.114 .351 4.842 6.026 .001
89.041 9.231 9.646 .000
Productia
Productia ** 2
(Constant)
B Std. Error
UnstandardizedCoefficients
Beta
StandardizedCoefficients
t Sig.
Interpretare:Interpretare: ββ11<0<0,, β β22>0>0, deci legătura de tip parabolic admite un , deci legătura de tip parabolic admite un
punct de minim.punct de minim.
Coordonatele punctului de minim arată nivelul optim Coordonatele punctului de minim arată nivelul optim al al producţiei pentru care costul unitar este minim. producţiei pentru care costul unitar este minim. Abscisa acestui punct este: Abscisa acestui punct este: bb11/2b/2b22=25,79/4,22=6,11. Pentru o producţie de 611 =25,79/4,22=6,11. Pentru o producţie de 611 bucăţi din produsul A, costul este minim.bucăţi din produsul A, costul este minim.
b. b. Modelul cubicModelul cubic
În economie acest model este folosit pentru În economie acest model este folosit pentru descrierea relaţiei dintre costul total şi valoarea descrierea relaţiei dintre costul total şi valoarea producţiei.producţiei.Pentru acest tip de legătură se poate determina Pentru acest tip de legătură se poate determina punctul de inflexiune al curbei, prin anularea punctul de inflexiune al curbei, prin anularea derivatei de ordinul 2 in X. Se obţine valoarea lui X derivatei de ordinul 2 in X. Se obţine valoarea lui X de unde Y îşi modifică de unde Y îşi modifică modul de modul de variaţivariaţiee..
εββββ +⋅+⋅+⋅+= 33
2210 XXXY
100
80
60
40
20
0
2500020000150001000050000
PIB / loc
Grad de urbanizare (%)
EcuaEcua ţia estimată este:ţ ia estimată este:
Punctul de inflexiune este dat de:Punctul de inflexiune este dat de:
-b -b 22 /3b/3b 33=6,1/0,000121=25105 =6,1/0,000121=25105
31127 1021,1101,6010,0036,32 XXXY ⋅⋅+⋅⋅−⋅+= −−
Coefficients
.010 .002 2.557 4.950 .000
-6.1E-007 .000 -3.206 -2.652 .009
1.21E-011 .000 1.255 . .
32.036 3.395 9.438 .000
PIB/loc
PIB/loc ** 2
PIB/loc** 3
(Constant)
B Std. Error
UnstandardizedCoefficients
Beta
StandardizedCoefficients
t Sig.