curs mecanica structurilor 8 2013

CURSUL 8 D E F O R M A B I L I T A T E A C O R P U R I L O R

UAUIM ELEMENTE DE MECANICA STRUCTURILOR

Conf. dr. ing. Mihaela Georgescu

DEFORMABILITATEA MATERIEI. RELATIA SOLICITARE - RASPUNS (1)

• Sistemele echilibrate de forţe şi cupluri au efect nul numai în mecanica solidului rigid (mecanica raţională); în realitate, ele produc modificarea formei şi volumului mediilor asupra cărora acţionează.

• Regimul de acţiuni mecanice sub controlul cărora materia îşi manifestă proprietăţile de deformabilitate se numeşte SOLICITARE. Ansamblul aspectelor legate de comportarea în regim de solicitare a materiei deformabile se numeşte RĂSPUNS.

• IPOTEZA MICILOR DEPLASARI: Materia este puţin deformabilă = In regim normal de solicitare, configuraţia corpului deformat este foarte apropiată de cea iniţială condiţiile de echilibru static se pot consemna raportând forţele la poziţia nedeformată, conform metodelor şi rezultatelor mecanicii corpului rigid.

DEFORMABILITATEA MATERIEI. RELATIA SOLICITARE - RASPUNS (2)

MODELAREA MATERIEI DEFORMABILE

Se acceptă

modelul fizic al unui material convenţional: continuu*), omogen**) şi izotrop***)

*) corp continuu: permite medierea la nivelul macroscopic a efectelor proceselor fizice microscopice desfăşurate la nivelul structurii discrete atomic-moleculare.

**) corp omogen: are proprietăţi identice în toate punctele sale.

***) corp izotrop: intr-un punct oarecare, proprietăţile corpului sunt identice pe toate direcţiile.

R A S P U N S U L M A T E R I E I D E F O R M A B I L E PARAMETRII STATICI AI RASPUNSULUI (1)

FORTE INTERIOARE

• CORPUL SOLID = ansamblu continuu de puncte materiale, a cărui geometrie se află sub controlul unui complex de legături interioare.

• Forţelor exterioare tind să modifice poziţia relativă a punctelor si legăturile devin suportul unor acţiuni reciproce.

• Orice secţiune imaginată prin corpul deformat este graniţa a două domenii aflate în interacţiune.

• MODELUL INTERACŢIUNII = un sistem de forţe interioare de legătură distribuite continuu în planul secţiunii.

• Forţele interioare de legătură sunt PARAMETRII STATICI ai RĂSPUNSULUI corpului solicitat.


EFORTURI UNITARE


EFORTURI UNITARE

Pe elementul de arie A izolat în vecinătatea punctului M, măsura interacţiunii este perechea forţelor elementare F egale dar cu sens contrar pe cele două feţe ale secţiunii S .

Prin definiţie, se numeşte EFORT UNITAR TOTAL:

= lim

ΔA→0

Componentele sale după două direcţii asociate secţiunii (una normală la secţiune, alta cuprinsă în planul secţiunii) poartă denumiri specifice şi sunt măsura unor interacţiuni particulare.

pΔA

PΔ


Intensitatea eforturilor unitare se măsoară în unităţi de forţă pe unităţi de suprafaţă:

p =

U.M.: daN/cm2 (sistemul SI) sau kgf/cm2 (sistemul MkfS);

1 kgf/cm2 = 1 daN/cm2.

2L

F


Componenta efortului unitar total dirijată după normală la secţiune se numeşte EFORT UNITAR NORMAL ;

În funcţie de sensul interacţiunii, se deosebesc eforturi unitare normale de întindere şi eforturi unitare normale de compresiune .

Componenta efortului unitar total cuprinsă în planul secţiunii se numeşte EFORT UNITAR TANGENŢIAL. Intre mărimile lor există relaţia:

p2 = 2 + 2


STAREA DE EFORT UNITAR

Secţiuni orientate diferit antrenează în interacţiune domenii diferite, determinând (în funcţie de punct şi de orientarea suprafeţei) parametrii diferiţi şi eforturilor unitare.

Ansamblul tuturor eforturilor unitare asociate secţiunilor (planurilor) de diferite orientări duse printr-un punct constituie STAREA DE EFORTURI UNITARE sau STAREA DE TENSIUNE din punct.

Cele trei planuri sunt perpendiculare două câte două, determinând în jurul punctului orientarea unui paralelipiped elementar.



Intensităţile celor nouă eforturi unitare cu care se defineşte starea de tensiune sunt componentele TENSORUL EFORTURILOR UNITARE:

MATRICEA STĂRII DE EFORT UNITAR SAU MATRICEA STĂRII DE TENSIUNE T:

zzzyzx

yzyyyx

xyxx

xz



Pe feţele opuse ale paralelipipedului elementar eforturile unitare îşi păstrează intensitatea şi direcţia; sensurile contrare corespund caracterului reciproc al interacţiunii.


DUALITATEA EFORTURILOR TANGENTIALE

Două câte două, componentele tangenţiale ale forţelor interioare de legătură ce acţionează pe feţele opuse ale paralelipipedului de referinţă formează şase cupluri.

Echilibrul perechilor coplanre, este consemnat prin egalităţile:

xy = yx

yz = zy

zx = xz;


DUALITATEA EFORTURILOR TANGENTIALE

Două câte două, componentele tangenţiale ale forţelor interioare de legătură ce acţionează pe feţele opuse ale paralelipipedului de referinţă formează şase cupluri.

Echilibrul perechilor coplanare, este consemnat prin egalităţile:

xy = yx

yz = zy

zx = xz;

In baza acestui principiu, numai 6 din cele 9 componente ale stării de efort unitar constituie parametri independenţi.

R A S P U N S U L M A T E R I E I D E F O R M A B I L E PARAMETRII GEOMETRICI AI RASPUNSULUI (1)

(9)

DEPLASARI SI DEFORMATII

Un punct A al corpului solicitat se deplasează, prin deformarea corpului, într-un punct apropiat A’; vectorul AA’ reprezintă DEPLASAREA TOTALĂ (absolută) a punctului considerat.

Deplasarea relativă a unor puncte învecinate se numeşte DEFORMAŢIE.

Deplasările şi deformaţiile sunt PARAMETRII GEOMETRICI ai răspunsului corpului solicitat.

DEFORMATII SPECIFICE

Sub aspect geometric, intensitatea deformării e măsurată prin DEFORMAŢII SPECIFICE.

DEFORMAŢIA SPECIFICĂ LINIARĂ sau lungirea specifică într-un punct şi pe o direcţie este variaţia unităţii de lungime în acel punct, după direcţia considerată.

DEFORMAŢIA SPECIFICĂ UNGHIULARĂ sau LUNECAREA SPECIFICĂ într-un punct şi într-un plan este variaţia - în radiani a unghiului, iniţial drept, dintre cele două drepte din planul considerat, concurente în punct.


(9)

STAREA DE DEFORMARE

Starea de deformare într-un punct, în mod analog cu starea de eforturi unitare, este determinată de TENSORUL DEFORMAŢIILOR SPECIFICE din punct, T, care, în funcţie de componentele deformaţiilor specifice după trei axe ale unui sistem de referinţă ortogonal asociat punctului, se scrie:


(9)

STAREA DE DEFORMARE

In MATRICEA STĂRII DE DEFORMARE, cu xx, yy, zz s-au notat deformaţiile specifice liniare după direcţiile axelor de referinţă, iar cu xy (sau yx), yz (sau zy), zx (sau xz) deformaţiile specifice unghiulare din planurile de referinţă. Ele sunt reprezentate prin deplasări (translaţii) relative între feţele opuse ale unui cub elementar, cu latura egală cu unitatea, izolat în jurul punctului.

DEFORMAŢIILE LINIARE (de alungire sau scurtare) corespund translaţiei relative pe direcţie normală la planul forţelor (depărtării sau apropierii celor două feţe);

DEFORMAŢIILE UNGHIULARE corespund translaţiilor relative pe direcţii cuprinse în planul feţelor (lunecării relative a celor două feţe).


(9)

STAREA DE DEFORMARE

BAZELE FIZICE ALE REZISTENTEI MATERIALELOR (1)

(9)

RELATIA FIZICA EFORT UNITAR - DEFORMATIE SPECIFICA, CURBA CARACTERISTICA A UNUI MATERIAL

Aflate sub controlul aceluaşi regim de acţiuni mecanice (solicitare), cele două aspecte fundamentale ale răspunsului materiei deformabile - starea de tensiune şi starea de deformare - se condiţionează reciproc.

Fiecărei componente a stării de tensiune (de eforturi unitare) îi corespunde o componentă a stării de deformare:

– Eforturilor unitare normale le corespund deformaţii specifice liniare (lungiri specifice) ;

– Eforturilor unitare tangenţiale le corespund deformaţii specifice unghiulare (lunecări specifice) .


(9)



(9)


Aspectele cantitative ale acestei duble corespondenţe au un suport ştiinţific experimental şi constituie legi fizice cu caracter obiectiv, proprii fiecărui material. Ele se stabilesc prin încercări de laborator efectuate pe probe (numite epruvete) confecţionate din materialul studiat.

Prin încercare se crează condiţiile unui regim variabil de acţiuni mecanice simple, cărora corpul (epruveta) le răspunde prin eforturi şi deformaţii uşor de controlat.

Evoluţia răspunsului (particularităţile relaţiei efort unitar - deformaţie specifică) pe diferite trepte de solicitare se consemnează de regulă grafic sub forma CURBELOR CARACTERISTICE (DIAGRAMELOR CARACTERISTICE) - şi -.


(9)



(9)

ANALIZA RELATIEI EFORT UNITAR - DEFORMATIE SPECIFICA. COMPORTAREA MATERIALELOR SUB INCARCARI

Particularităţile relaţiei efort unitar - deformaţie specifică definesc comportarea materialului sub încărcări.

COMPORTAREA ELASTICĂ A MATERIALELOR

La solicitări moderate majoritatea materialelor au o comportare elastică. Elasticitatea materiei (corpurilor) este caracterizată prin reversibilitatea procesului de încărcare-descărcare: la creşterea şi descreşterea solicitării curbelele caracteristice coincid.

Proporţionalitatea dintre efort şi deformaţie, proprie unui număr foarte mic de materiale elastice, corespunde unei forme particulare a elasticităţii materiei, denumită elasticitate liniară. In relaţiile care definesc elasticitatea liniară (comportarea liniar - elastică a materialelor):

= E

= G

factorii de proporţionalitate E şi G reprezintă constante ale materialului;


(9)


Materialul A este mai rigid decât materialul B.

Modulul de elasticitate este o măsură a rigidităţii materialului (a capacităţii acestuia de a se opune deformării);


(9)


E = tg modul de elasticitate longitudinal (sau modulul lui Young),

G = tg modul de elasticitate transversal.

Legătura liniară dintre eforturile unitare şi deformaţiile specifice e cunoscută sub numele de legea lui Hooke:

= E

= G

Intrucât deformaţiile specifice sunt adimensionale, modulul de elasticitate are dimensiunea efortului unitar (daN/cm2, kgf/cm2 etc).


(9)


Unei alungiri specifice produsă în direcţia efortului unitar normal îi corespunde o contracţie transversală t normală pe .

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică:

t = - ;

factorul de proporţionalitate = coeficientul de contracţie transversală sau coeficientul lui Poisson.

Cele două module de elasticitate E şi G şi coeficientul lui Poisson alcătuiesc CONSTANTELE DE ELASTICITATE ale fiecărui material. La materialele liniar-elastice şi izotrope, între constantele de elasticitate există relaţia:

G =

μ)(2

E


(9)

COMPORTAREA ELASTO-PLASTICA A MATERIALELOR.

Dincolo de un anumit prag al solicitării, care defineşte limita de comportare elastică a materialului, traseele de încărcare (0 - 1 - 2) şi de descărcare (2 - 3) ale curbelor caracteristice nu mai coincid.

DEFORMAŢIA TOTALĂ (DT) are o COMPONENTĂ ELASTICĂ (DE), reversibilă în urma procesului de descărcare şi o COMPONENTĂ PLASTICĂ (DP), ireversibilă (remanentă).

Ireversibilitatea procesului de încărcare - descărcare caracterizează COMPORTAREA PLASTICĂ a materialelor.


(9)

O formă particulară a răspunsului plastic o constituie, pentru anumite materiale, CURGEREA (deformarea sub efort constant); efortul unitar la care se produce curgerea se numeşte LIMITĂ DE CURGERE, iar traseul curbei caracteristice paralel cu axa deformaţiilor (1 - 2) - PALIER DE CURGERE.

CURGEREA LENTA. RELAXAREA.

De regulă, relaţia efort - deformaţie se modifică în timp.

Deformaţiile unui corp, menţinut timp îndelungat la un efort constant, cresc; Păstrând timp îndelungat deformaţia unui corp constantă, efortul scade.


(9)

Creşterea deformaţiilor, în timp, sub efort constant, se numeşte CURGERE LENTĂ.

Micşorarea, în timp, a efortului, în condiţiile unor deformaţii constante, se numeşte RELAXARE.

Tipice în construcţii sunt curgerea lentă a betonului şi relaxarea oţelului.


(9)

CURBA CARACTERISTICĂ A OTELULUI. Curba caracteristică -

Determinarea experimentală a parametrilor -.

Relaţia - se stabileşte prin încercări la întindere şi compresiune centrică. Intinderea sau compresiunea se obţin cu maşini de încercat care aplică la capetele epruvetei un sistem echilibrat de forţe axiale. Parametrii încercării înregistraţi, sunt intensitatea acţiunii exterioare (forţa axială P, variabilă de la zero la rupere) şi deformaţia longitudinală (alungirea sau scurtarea 1). Prin intermediul lor, acceptând un răspuns omogen cu deformaţii şi eforturi egale atât pe secţiunea transversală cât şi în lungul epruvetei, se deduc parametrii curbei caracteristice:

deformaţia specifica:

=

efortul unitar:

=

1

1

A

P


(9)

CURBA CARACTERISTICĂ A OTELULUI. Curba caracteristică - la intindere


(9)


Pentru solicătări moderate (intervalul 0 - 1), oţelul se comportă liniar - elastic (cu modul de elasticitate liniară constant: E = 2,1 106kg/cm2).

Limita superioară a intervalului de proporţionalitate este marcată de efortul unitar p (limita de proporţionalitate).

Comportarea elastică - deşi, către sfârşit, neliniară - se extinde până în punctul 2 şi este limitată de efortul e (limită de elasticitate). Dincolo de limita de elasticitate, descărcarea se face după o dreaptă paralelă cu zona liniară 0 - 1, marcând prezenţa unor deformaţii ireversibile (pl). Scurt timp după epuizarea comportării elastice, oţelul intră în curgere; în timpul curgerii, sub efort aproximativ constant (c), se produc modificări în structura internă a materialului, în urma cărora cristalele se reorientează în direcţia efortului.

La o deformaţie de circa 5 %, structura cristalină a oţelului îşi găseşte o poziţie stabilizată, astfel că, pentru deformarea probei pe intervalul 4 - 5 este nevoie de o nouă creştere a efortului unitar.


(9)


La valoarea maximă a forţei de întindere apare, local, o gâtuire bruscă a epruvetei şi, după un traseu descendent relativ scurt, odată cu accentuarea gâtuirii, proba se rupe.

In mod convenţional, se consideră drept rezistenţă de rupere r valoarea maximă corespunzătoare punctului 5 de pe curba caracteristică.

Traseul descendent de pe ultima parte a curbei se explică prin faptul că determinarea efortului unitar se face raportând forţa la aria iniţială a secţiunii (fără să se ţină seama de reducerea ei substanţială datorită gâtuirii epruvetei); diagrama reală, obţinută prin raportarea forţei la secţiunea redusă, este trasată punctat.

Valorile particulare ale limitelor de proporţionalitate, elasticitate, curgere şi rupere trecute pe curba caracteristică corespund oţelului OL 37 (oţel laminat cu rezistenţă de rupere de 37 kg/mm2), des întâlnit în construcţiile metalice (aşa numitul oţel moale de construcţii).


(9)

CURBA CARACTERISTICĂ A OTELULUI. Curba caracteristică - la compresiune

Oţelul are comportări asemănătoare la întindere şi compresiune. Curbele caracteristice de întindere şi compresiune sunt identice în zona elastică şi în zona de curgere, cu acelaşi valori atât pentru modul de elasticitate E cât şi pentru limitele caracteristice p, e, c. Diferenţe se constată doar la eforturi mari, când gâtuirea caracteristică solicitării de întindere este înlocuită printr-o umflare transversală care permite materialului să se turtească treptat fără să se rupă.


(9)

CURBA CARACTERISTICĂ A OTELULUI. Curba caracteristică -

Curba caracteristică - , stabilită prin încercări la răsucire, este asemănătoare curbei caracteristice - . Pentru solicitări moderate este valabilă legea lui Hooke cu un modul de elasticitate transversal G de cca 800.000 kg/cm2.

CLASIFICAREA MATERIALELOR DUPA CURBELE LOR

CARACTERISTICE (1)

(9)

a) După modul de comportare la solicitări moderate:

- materiale liniare (care ascultă de legea lui Hooke);

- materiale neliniare (care nu ascultă de legea lui Hooke).

Puţine materiale (oţelul, lemnul), şi numai la solicitări moderate, ascultă de legea lui Hooke.

Răspunsul liniar elastic, este agreat pentru simplitatea sa. In jurul lui s-a născut o concepţie de analiză care a stat vreme îndelungată la baza studiilor de rezistenţă; la începutul secolului XIX a generat o metodă specifică de calcul cunoscută sub numele de METODA REZISTENŢELOR ADMISIBILE.

b) După modul de comportare la rupere:

- materiale ductile;

- materiale casante (fragile)


CARACTERISTICE (2)

(9)

RUPEREA MATERIALELOR DUCTILE este procedată de deformaţii plastice mari.

RUPEREA MATERIALELOR CASANTE survine în urma unor deformaţii plastice nesemnificative.

Tipice pentru caracterul ductil al ruperii sunt oţelurile cu conţinut redus de carbon (oţelul moale, cu limita de elasticitate relativ redusă şi aluminiul.

Ruperi casante prezintă oţelurile superioare (cu limita de elasticitate ridicată, piatră, betonul.

Ductilitatea şi fragilitatea materialelor sunt proprietăţi de stare; caracterul ruperii poate fi în bună măsură condiţionat de starea de tensiune în prezenţa căreia se produce ruperea şi poate fi dirijat prin proiectare.


CARACTERISTICE (3)

(9)

c) După modul de comportare la întindere şi compresiune :

- materiale simetrice;

- materiale nesimetrice.

Materialele simetrice au comportări asemnătoare la întindere şi compresiune (oţelul, aluminiul).

Materialele nesimetrice au comportări diferite (pietrele naturale şi artificiale, fonta etc.); de regulă, rezistenţele la întindere ale acestor materiale sunt mai mici decât rezistenţele la compresiune (în cazul betonului, raportul celor două rezistenţe este cca 10).

curs mecanica structurilor 8 2013

Documents