CURSUL 1CURSUL 122REZISTENTA MATERIALELOR

ELEMENTE SOLICITATE LA

UAUIMELEMENTE DE MECANICA STRUCTURILOR

ELEMENTE SOLICITATE LA INTINDERE/COMPRESIUNE CENTRICA

Conf. dr. ing. Mihaela Georgescu

c12. REZISTENTA SI RIGIDITATEAELEMENTELOR DE TIP BARA.

REZISTENTA MATERIALELOR

ELEMENTELOR DE TIP BARA.ELEMENTE SOLICITATE LA

INTINDERE SI COMPRESIUNE CENTRICA.

DEFINITIE:Intinderea/compresiunea centrică

este solicitarea simplă în prezenţa căreia, în secţiunea transversală, interacţiunea este exprimată printr-o

pereche de forţe axiale

O pereche de forţe echilibrate aplicate pe o bară dreaptă de-a lungul axului ei generează între punctele

de aplicaţii întindere/compresiune centrică.

Forţa axială N are intensitatatae P a fiecăruia din cele două forţe exterioare.

IN PRACTICĂ

• ÎNTINDEREA/COMPRESIUNEA CENTRICĂeste solicitarea caracteristică barelor grinzilorcu zăbrele (şi în general sistemelor alcătuitedin bare drepte articulate la capete, încărcatedin bare drepte articulate la capete, încărcatecu forţe în punctele de articulare),

• numai sub formă de întindere, ea este propriefirelor (drepte, poligonale sau curbe).

REZISTENTAREZISTENTA BARELORBARELOR INTINSE/COMPRIMATEINTINSE/COMPRIMATE CENTRICCENTRIC

Eforturi unitare pe sectiunea transversala

a. Studiul geometric (privind modul de deformare).

Pe suprafeţele laterale ale unei bare drepte cu

secţiune dreptunghiulară se trasează un sistem de liniisecţiune dreptunghiulară se trasează un sistem de linii

longitudinale (paralele cu axa) şi transversale

(perpendiculare pe axă).

În regim de solicitare: liniile transversale se depărtează sau se apropie (prin translaţii) rămânând drepte, paralele

între ele şi normale pe cele longitudinale.Observaţia corespunde ipotezei lui Bernoulli (secţiunile

transversale plane şi normale pe axă, rămân plane şi normale tot timpul deformării).

Cu privire la cele două tipuri de deformaţii (liniare şi Cu privire la cele două tipuri de deformaţii (liniare şi unghiulare) se constată:

- lipsa deformaţiilor unghiulare (γγγγ = 0) căci unghiurile reţelei nu se modifică

- prezenţa unor deformaţii liniare egale în toate fibrele longitudinale ale barei.

(∆∆∆∆l = const., deci εεεε = const.).

b. Studiul fizic consemnează condiţia de elasticitate liniară (legea lui

Hooke) acceptată în Rezistenţa materialelorσ = E . εττττ = G . γγγγ

Sinteza studiu geometric - studiu fizic. Sinteza studiu geometric - studiu fizic.

Dacă γγγγ = 0, rezultă ττττ = 0. • Dacă γγγγ = 0, rezultă ττττ = 0.

• Dacă εεεε = const., rezultă σ = const.

• Pe secţiunea transversală, interacţiunea punctuală este exprimată prin eforturi unitare normale σ egale (uniform distribuite).

Pe secţiunea transversală, interacţiunea punctuală este exprimată prin eforturi unitare

normale σ egale (uniform distribuite)

c. Studiul static c. Studiul static Efortul secţional N şi sistemul de eforturi unitare sunt măsura aceleaşi interacţiuni. Studiul static consemnează echivalenţa dintre cele două moduri de exprimare ale ei:

N =∫∫∫∫σσσσ dASinteza studiu geometric Sinteza studiu geometric -- studiu static studiu static

Intrucât: σσσσ = const. N = σσσσ ∫∫∫∫dA = σσσσ . AIntrucât: σσσσ = const. N = σσσσ ∫∫∫∫dA = σσσσ . ARezultă:

Nσσσσ = --------

AMărimea efortului unitar σσσσ depinde de doi parametri:- forţa axială N, parametrul global al interacţiunii din secţiune,

măsura solicitării- aria A, parametrul geometriei secţiunii transversale

PROIECTAREA DE REZISTENŢĂ A SECŢIUNII PROIECTAREA DE REZISTENŢĂ A SECŢIUNII BARELOR ÎNTINSE/COMPRIMATE CENTRICBARELOR ÎNTINSE/COMPRIMATE CENTRIC

Aspecte ale proiectarii de rezistenţă:

•Verificare;•Dimensionare,•Capacitate portantă•Capacitate portantă

Condiţia de rezistenţă impusă de metoda rezistenţeloradmisibile devine:

A

N≤≤≤≤ σa

Relaţia conţine trei parametri; ei corespund celortrei factori care apar în procesul proiectăriisecţiunii:

– SOLICITAREA, exprimată prin forţa axială N;– MATERIALUL, exprimat prin rezistenţa sa admisibilă σa;– GEOMETRIA SUPRAFEŢEI SECŢIUNII TRANSVERSALE,

exprimată prin aria A.

După felul în care aceştia intervin (ca parametriicunoscuţi sau necunoscuţi), proiectarea derezistenta îmbracă trei aspecte:– VERIFICAREA,– DIMENSIONAREA,– determinarea CAPACITĂŢII PORTANTE a secţiunii.

In problemele de DIMENSIONARE, după stabilireaariei necesare Anec, dimensiunile secţiunii (cărora leva corespunde aria efectivă Aef) se aleg astfel, încât,indiferent de forma ei,

Aef ≥≥≥≥ Anec.

CAPACITATEA PORTANTĂ a unei secţiuni se măsoarăprin forţa axială - numită forţă capabilă, N -prin forţa axială - numită forţă capabilă, Ncap -corespunzătoare unor eforturi unitare egale curezistenţa admisibilă.

Rezistenţa barei este asigurată dacă efortul axial Ncorespunzător solicitării (determinat în funcţie deîncărcări) nu depăşeşte efortul capabil:

N ≤≤≤≤ Ncap

OBSERVAŢIE PRIVIND PROIECTAREA BARELOR OBSERVAŢIE PRIVIND PROIECTAREA BARELOR COMPRIMATE.COMPRIMATE.

Barele comprimate se pot distruge mai înainteca eforturile unitare (determinate ca raport întreforţa axială şi aria secţiunii transversale) săatingă limita de rupere sau de curgere amaterialului, prin fenomenul numit flambaj.materialului, prin fenomenul numit flambaj.In principiu, pericolul flambajului este cu atâtmai mare cu cât barele sunt mai svelte.Numai barele robuste (cu lungimea redusă şisecţiuni transversale dezvoltate) pot fiproiectate la compresiune similar cu bareleintinse.

CONCENTRĂRI DE EFORTURICONCENTRĂRI DE EFORTURI

In secţiuni transversale foarte apropiate de punctul de aplicaţie a forţeiexterioare axiale ipoteza lui Bernoulli (a secţiunilor plane…) esteinfirmată de experiment.

Fibrele longitudinale din preajma axei barei, cu deformaţiilongitudinale mai mari, vor fi mai puternic solicitate;

Se prezinta distribuţia eforturilor unitare σσσσ în trei secţiuni (a, b, c)aflate la distanţe diferite de punctul de aplicaţii a forţei exterioare.

• In secţiuni transversale suficient de depărtate de punctul de aplicaţie al forţelor exterioare, distribuţia în secţiune a eforturilor unitare nu este influenţată de modul de aplicare a acestor forţe (principiului Saint-Venant).

• Neuniformităţile în distribuţia eforturilor unitare • Neuniformităţile în distribuţia eforturilor unitare pe secţiunea transversală apar şi la variaţii brusteale formei secţiunii (găuri, crestături etc.).

• Concentraţiile de eforturi din secţiunile slăbite de găuri sau crestături au consecinţe diferite la materialele casante şi ductile.

•• LaLa materialelematerialele casantecasantebara se rupe brusc când “vârful” eforturiloratinge σσσσr (deci la o valoare a efortului mediumult mai mică decât σσσσa.

•• LaLa materialelematerialele ductileductile (cu curgere, sau cudeformaţii plastice mari)

•• LaLa materialelematerialele ductileductile (cu curgere, sau cudeformaţii plastice mari)ruperea este un proces îndelungat, care sesfârşeşte chiar după ce, treptat, pe măsură cecreşte solicitarea, toate eforturile unitare dinsecţiune ating rezistenţa de curgere;

DISTRIBUŢIA EFORTURILOR UNITARE ÎN CÂTEVA FAZE DISTRIBUŢIA EFORTURILOR UNITARE ÎN CÂTEVA FAZE PREMERGĂTOARE RUPERII UNEI BARE ALCĂTUITE DIN PREMERGĂTOARE RUPERII UNEI BARE ALCĂTUITE DIN

MATERIAL DUCTILMATERIAL DUCTIL

DEFORMATIILE BARELOR DEFORMATIILE BARELOR INTINSE/COMPRIMATE CENTRICINTINSE/COMPRIMATE CENTRIC

Intre deformaţii şi eforturi există legăturaliniară exprimată de legea lui Hooke:

σσσσ = Eεεεε;

de aici se deduce expresia deformaţiilorde aici se deduce expresia deformaţiilorspecifice liniare εεεε:

ε =EA

N

E

A

N

E==

σ

DeformaţiaDeformaţia specificăspecifică liniarăliniară εεεε

• este proporţională cu solicitarea (N) şi

• invers proporţională cu factorulfactorul dede rigiditaterigiditate laîntindere/compresiune (produsul EAEA);

acesta, la rândul lui, depinde de două categorii deparametri:

– modulul de elasticitate E (care exprimă rigiditateamaterialului) şimaterialului) şi

– aria suprafeţei secţiunii transversale A (care exprimărigiditatea secţiunii)

Cum εεεε reprezintă deformaţia unităţii de lungime,deformaţiadeformaţia întregiiîntregii unităţiunităţi dede lungimelungime, (alungirea sauscurtarea ∆∆∆∆∆∆∆∆ll) este proporţională cu lungimea l:

∆l = εl ∆l = EA

Nl

EFECTUL STATIC AL VARIAŢIILOR DE EFECTUL STATIC AL VARIAŢIILOR DE TEMPERATURĂ ÎN BARETEMPERATURĂ ÎN BARE

O bară liberă, cu lungimea l, supusă unei variaţii de temperatură ∆∆∆∆to se dilată/contractă (alungeşte/scurtează) cu cantitatea:

∆∆∆∆lt = ∆∆∆∆to αααα l

unde αααα este coeficientul de dilataţie termică al materialului; pentru oţel,

αααα = 1,2 . 10-5

APLICAŢIEAPLICAŢIE

La o variaţie de temperatură de 30oC, o bară de oţel de lungime I = 8 m, se alungeşte/scurtează cu:

∆∆∆∆lt = 30 . 1,2 . 10-5 . 8000 mm = 2,88 mm

Dacă dilataţia/contracţia barei este împiedicată de legăturile acesteia în sistem, în bară apar eforturi σσσσt de compresiune/întindere corespunzătoare alungirii/scurtării blocate (ca şi cum eforturi axiale de compresiune N ar blocate (ca şi cum eforturi axiale de compresiune N ar constrânge bara dilatată cu cantitatea ∆∆∆∆lt să revină la poziţia iniţială printr-o scurtare ∆∆∆∆lN egală):

∆∆∆∆lt = ∆∆∆∆l N

∆∆∆∆to . αααα . l = de unde:

σσσσt = ∆∆∆∆t . αααα . E

EA

Nl

APLICAŢIEAPLICAŢIE

Blocarea deformaţiilor de dilatare/contracţie genereazăeforturi unitare care consumă mai mult de jumătate dinrezistenţa admisibilă a materialului:

σσσσt = 30 . 1,2 . 10-5 . 2,1 . 106 = 755 kgf/cm2

în expresia eforturilor unitare nu intervine geometriabarei (nici aria secţiunii transversale, nici lungimea).

Eforturile nu pot fi moderate prin dimensionare, ciprintr-o conformare de ansamblu a structurii care săpermită deformaţii libere.

a. In sistemele static determinate (cu număr minim de legături)deformaţiile de dilatare/contracţie se produc liber, deci fărăconsecinţe asupra stării de efort din bare.

b. Legăturile suplimentare ale sistemelor static nedeterminateîngrădesc libertatea de deformare, generând în bare eforturi.

Podurile metalice sunt totdeauna structuri simplu rezemate (cuun reazem fix şi altul mobil), cu posibilitatea de dilatare saucontracţii neblocată în lungul axului podului.