CURS 8MECANICA CONSTRUCŢIILOR

Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu

GEOMETRIA MASELOR.CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECTIUNILOR TRANSVERSALE ALE BARELOR1. Centrul de greutate şi centrul maselor

2. Teoremele lui Guldin - Pappus

3. Momente statice. Teorema momentelor statice

4. Momente de inerţie. Raze de inerţie

5. Variaţia momentelor de inerţie la translaţia axelor

6. Variaţia momentelor de inerţie la rotirea axelor

7. Direcţii principale de inerţie. Momente de inerţie principale

A

dAA

A

zA

y ydASzdAS ;

A

GA

G zdAA

zydAA

y 1 ; 1

n

ii

n

iii

Gn

ii

n

iii

G

A

zAz

A

yAy

1

1

1

1 ;

A

zA

y dAyIdAzI 22 ;

A

yz yzdAI

zyAA

p

Ap

IIdA)yz(dArI

yzr

dArI

222

222

2

z

y

y

zyG

zG

G

dA

xO

5. Variaţia momentelor de inerţie la translaţia axelor

Fie o figura plana de arie A, raportata la un sistem de axe ortogonale Oyz, pentru care sunt cunoscute momentele de inerţie in raport cu axele Oy si Oz. Sa se determine momentele de inerţie in raport cu noile axe O1y1 si O1z1 paralele cu primele.

z1 = z + b

y1 = y + a

z1

y1

z 1

dA

O1

z

yO

y1

a y

bz

a si b sunt coordonatele originii sistemului vechi Oyz innoul sistem de coordonate O1y1z1.

momentele de inerţie axiale:

AaaSII

AbbSI

dAbzdAbdAzdA)bz(dAzI

zzz

yy

AAAAAy

21

2

222211

2

2

2

momentul de inerţie centrifugal:

1 1( )( )y z yz y z

A

I y a z b dA I aS bS abA

Sy si Sz reprezintă momentele statice ale figurii in raportcu axele Oy si Oz.

Daca axele Oy si Oz sunt centrale, atunci momentelestatice in raport cu ele sunt nule, iar momentele deinerţie in raport cu axele paralele cu cele centrale devin:

abAIIAaII

AbII

yzzy

zz

yy

11

21

21

Relaţiile se folosesc pentru calculul momentelor deinerţie ale figurilor compuse.

2 21 1

2 21

( )

( )

y z y z

o o

I I I I a b A

I I a b A

(1)+

Daca sunt cunoscute momentele de inerţie in raport cunişte axe oarecare, pentru axele ce trec prin centrul degreutate al figurii, paralele cu axele date, rezulta:

abAIIAaII

AbII

zyyz

zz

yy

11

21

21

Momentele de inerţie in raport cu axele centrale aucea mai mica valoare in comparaţie cu momentele deinerţie pentru oricare alte axe paralele cu primele.

6. Variaţia momentelor de inerţie la rotirea axelor

Cunoscând momentele de inerţie Iy, Iz, Iyz ale unei figuriplane in raport cu un sistem ortogonal de axe Oyz dinplanul ei, sa se determine momentele de inerţie in raportcu un nou sistem de axe ortogonal Oy1z1, rotit fata deprimul cu un unghi , considerat pozitiv daca este descrisin sens orar.

Coordonatele unui element de arie dA in noul sistem deaxe, funcţie de coordonatele din vechiul sistem sunt:

sinycoszzsinzcosyy

1

1

6. Variaţia momentelor de inerţie la rotirea axelor

z1

y1dA

z

yO

y

z

y1z1

sinycoszzsinzcosyy

1

1

sinycoszzsinzcosyy

1

1

AA

AAAzy

AAA

AAz

AAA

AAy

yzdAsinyzdAcos

dAydAzcossindAzyI

yzdAcossindAzsindAycos

dA)sinzcosy(dAyI

yzdAcossindAysindAzcos

dA)sinycosz(dAzI

22

221111

2222

2211

2222

2211

2

2

222

2

2

11

221

221

cosIsinII

I

sinIcosIsinII

sinIsinIcosII

yzzy

zy

yzzyz

yzzyy

Se observa ca:

zyzy IIII 11

Suma momentelor de inerţie axiale in raport cu douaaxe ortogonale, pentru aceeaşi origine, este un invariant.

+

222

2222

2222

11

1

1

cosIsinII

I

sinIcosIIII

I

sinIcosIIII

I

yzzy

zy

yzzyzy

z

yzzyzy

y

221os ;

221 22

cosccossin

Cunoscând ca:

(2)

7. Axe principale de inerţie. Momente de inerţie principale

Din relaţiile (2) rezulta ca mărimea momentului de inerţiein raport cu o axa oarecare depinde de unghiul deînclinare a acestei axe fata de o axa de referinţa.

Se poate determina o valoare o a unghiului, pentru caremomentul de inerţie atinge o valoare extrema. Pentruevaluarea acestui extrem se va anula prima derivata aexpresiei Iy1 si se va înlocui = o.

zy

yzo

zyoyzozy

oyzoozooyy

III

tg

IIII

IIIddI

o

22

0][22cos2sin2

-2

2cos2cossin2sincos2

11

1

(3)

(4)

Relaţia (3) arata ca derivata momentului de inerţie Iy1in raport cu unghiul reprezintă dublul momentului deinerţie centrifugal al secţiunii luat cu semn minus.

Similar se obţine:

0][211

1 ozyz I

ddI

Relaţia (4) conduce la doua valori pentru unghiul o:o’ si o’ +/2. Din relaţia (4) se observa ca unghiul o’nu poate depăși unghiul /4.

Exista doua axe normale intre ele pentru caremomentele de inerţie axiale iau valori extreme, iarmomentul de inerţie centrifugal al secţiunii este nul!

Axe principale de inerţie;

Momente de inerţie principale.

Axelor principale de inerţie le corespund doua valoripentru momentele de inerţie principale. Deoarece sumamomentelor de inerţie fata de cele doua axe normale intreele reprezintă un invariant la rotirea axelor, rezulta ca uneiaxe principale ii corespunde cel mai mare moment deinerţie Imax=I1, iar celeilalte axe – valoarea minima Imin=I2.

Din relaţia (4) nu se poate deduce pentru care din axeleo’ si o’ +/2 se obţine I1, respectiv I2, fiind necesar sase studieze semnul derivatei a doua a lui Iy1.Raţionament: Presupunem Iyz>0 si Iy>Iz, din relaţia (4)rezulta ca o’ se afla in cadranul IV.Deoarece dIy1/d=-2Iy1z1 si din relaţia (2) rezulta Iy1z1>0, sededuce ca, la o creştere negativa a unghiului ,momentul de inerţie Iy1 va creste atingând o valoareextrema pentru o’, valoare care va da momentul deinerţie maxim Imax=I1. Valoarea minima Imin=I2 se va obţinepentru axa de direcţie o’+/2.

Daca Iyz>0 si Iz>Iy, unghiul o’ va fi situat in cadranul I si cum Iy1z1>0 pentru <o’, rezulta ca la o creştere a unghiului , momentul de inerţie Iy1 va descreşte atingând o valoare extrema pentru =o’, valoare care va da momentul de inerţie minim Imin=I2. Valoarea maxima Imax=I1 se va obţine pentru axa de direcţie =o’+/2.

2

1

z

yO

o’

o’+/2

Iy>Iz

Analog, daca Iyz<0, se ajunge la concluzia ca axa 1 (de maxim) face întotdeauna cel mai mic unghi cu aceea dintre axe (y sau z) fata de care momentul de inerţie axial are cea mai mare valoare.

Relaţiile (2) sunt valabile pentru oricare sistem ortogonal de axe rotit cu un unghi fata de sistemul Oyz. Se poate presupune ca axele Oy si Oz sunt axele principale de inerţie 1 si 2, având fata de acestea momentele principale de inerţie I1 si I2. Sistemul de axa Oy’z’ rotit cu unghiul fata de sistemul O12, se notează cu Oyz.

z’=z

y’=y

2

1O

2sin2

2cos22

2cos22

21

2121

2121

III

IIIII

IIIII

yz

z

y

Prin înlocuire, din relaţiile (2) se obţin:

2cos)( 21

21

IIIIIIII

zy

zy

+(-)

2

2

2122

, yzzyzy I

IIIIII

Prin calcule matematice se obţin cele doua momente de inerţie principale I1 si I2, prin formula:

unde semnul (+) din fata termenului al doilea din membrul drept sa fie atribuit lui I1, iar semnul (-) lui I2.

!!! Când figura are cel puţin o axa de simetrie, una dinaxele centrale principale de inerţie va corespunde cu axade simetrie trecând prin centrul de greutate al figurii.

Modul de rezistentaRaportul dintre momentul de inerţie al unei secţiuni fatade o axa centrala de inerţie si distanta celui mai îndepărtatpunct din secţiune de aceasta axa se numeşte modul derezistenta.

y

z

O

zi

zs i

yyi

s

yys

z

IW

z

IW ;

Modulul de rezistenta se măsoarăin unitari de lungime la puterea atreia [L3].

Cazuri particulare:

6

hb

2/

12/hb

2/

6

bh

2/

12/bh

2/23

23

bb

IW

hh

IW

zz

yyy

z

Oh

b

y

z

O

d

322/

64/d

2/

34 d

dd

IW y

Raze de inerţieMomentul de inerţie al secţiunii in raport cu o axa sepoate reprezenta sub forma produsului dintre ariasecţiunii si pătratul unei mărimi numite raza de inerţie sauraza de giraţie:

22y

Ay iAdAzI

A

IiA

Ii z

zy

y ; [L]

A

IiA

Ii 22

11 ;