cuidamos de manera responsable el medio ambiente...8 cuidamos de manera responsable el medio...

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Cuid

amos

de

man

era

resp

onsa

ble

el m

edio

am

bien

te1

Tus aprendizajes• Expresa diferentes tipos de enunciados mediante la simbolización y selecciona diversas es-

trategias para evaluar una fórmula lógica.• Establece relaciones entre potencias y raíces, y factoriza diversas expresiones algebraicas.• Identifica y comprende con dibujos y lenguaje geométrico los triángulos, líneas notables,

congruencia de triángulos, longitud de arco, sector circular y R.T. de ángulos agudos. • Representa las características de una población en estudio mediante variables cualitativas o

cuantitativas y elabora su respectiva tabla de distribución de frecuencias.

9

Observa, reflexiona y comenta1. ¿Qué observas en la imagen? Describe

cada detalle.

2. ¿Qué tan importante es sembrar árboles en lugares libres? Menciónalos

3. ¿De qué manera los árboles ayudan a mantener nuestra comunidad saludable?

4. ¿De qué manera tienes una actitud responsable con el cuidado del medio ambiente? Explica.

Autonomía TIC ResponsabilidadAmbiental

Las páginas web propuestas han sido verificadas. Es importante recordar que muchas de ellas tienen período determinado de vigencia.

Ingresa a YouTube y observa el video “El hombre destruye el medio am-biente”.

https://www.youtube.com/watch?v=xx550XgPtqE

Reflexiona y responde. ¿Qué acciones tomarías para cuidar el planeta?

Entorno virtual

Indaga

Resuelve problemas de cantidad - Aritmética

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a VLógica proposicional

� ¿Qué diferencia hay entre un enunciado y una proposición?

Activa tus saberes

Analiza la información

� ¿Qué conectivo lógico representa a la bicondicional?

Construye tus aprendizajes

Proposiciones lógicasLas proposiciones lógicas nos permiten representar y manejar aserciones sobre el mundo que nos rodea, las mismas que, a su vez, pueden ser verdaderas o falsas, generalmente pueden ser representadas con letras minúsculas (p; q; r, s; t; … ; etc.). La lógica proposicional permite el razonamiento a través de un me-canismo que primero evalúa sentencias simples y, luego, sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales.

Conectivos lógicosSon símbolos usados para combinar y enlazar proposiciones simples, produ-ciendo así otras llamadas proposiciones compuestas.

Con la finalidad de fomentar la cultura ambientalista y protección a nuestra tierra, un grupo de estudiantes salió a marchar contra la contaminación ambiental.

De los carteles mostrados, se pudieron leer las siguientes frases:

a. Si todos reciclamos, el ambiente cuidamos.

b. Ahorra energía, es un beneficio para el mañana.

c. Todos somos iguales y tenemos los mismos derechos.

Indica cuál de las frases representa una proposición compuesta.

Recuerda:

EnunciadoEs cualquier frase u oración que expresa una idea.

Proposición simpleEs aquella proposición que no se relaciona con otra, carece de conjunciones grama-ticales y del adverbio de negación.

Proposición compuestaEs aquella proposición que se forma por más de una proposición simple, unidas me-diante un conectivo lógico.

Símbolo Nombre Lenguaje común

~ Negación No, no es cierto que; no es el caso que

∧ Conjunción y; pero; sin embargo; además; aunque a la vez; también

∨ Disyunción inclusiva o; al menos

∆ Disyunción exclusiva "o ... o ..."; a menos que; salvo que

→ Condicional "si ... entonces ...","por lo tanto"; "...si..."; "...dado que ..."; "...por que ..."; etc

↔ Bicondicional "si y solo si"; "cuando y solo cuando"; "entonces y solo entonces"; " es igual a ..."

Promueve el aprendizaje autónomo.

Scribd: https://es.scribd.net/lgica-proposicional-3371398e n t o r n o VIRTUAL


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a V Simbolización lógica

Es la representación de una proposición simple o compuesta por una variable proposicional.

Esquema molecular o fórmula proposicionalEs la combinación de variables proposicionales, co-nectivos lógicos y signos de agrupación o colección.

Evaluación de esquemas molecularesConsiste en obtener los valores correspondientes al operador principal (conectivo de mayor jerar-quía) a partir de los valores de verdad que toman cada una de las variables proposicionales.

Conectivo principalEs el conectivo lógico de mayor jerarquía en un esquema molecular.

Ejemplos:Simboliza la siguiente proposición:“No escuché su voz, pero leí sus mensajes”.

Ejemplo:∼(p ∨ q) → (∼p ↔ r)

Ejemplo:En la proposición compuesta ∼{[(p Δ q) ∨ r] → (∼q ∨ r)} se observa que el co-nectivo principal es la negación.

Ejemplos:Elabora la tabla de verdad de la siguiente proposi-ción compuesta:

(~ p ↔ q) → ( p ∨ ~ q).Luego, indica los valores de la matriz principal.

Matriz principalEs el conjunto de valores que se obtiene del co-nectivo principal.

Resolución:Identifica las proposiciones simples:p: escuché su voz ~p: no escuché su vozq: leí sus mensajesLuego: No escuché su voz pero leí sus mensajes.

~p ∧ q

Elaboración de una tabla de verdadUna tabla se elabora teniendo en cuenta que para "n" proporsiciones simples se presentan 2n posibili-dades

Operaciones lógicas y tablas de verdadPara determinar la validez de una proposición compuesta, será necesario conocer los valores de verdad de las proposiciones simples que la forman y determinarla a través de la tabla de verdad.

Ejemplos:Para una proposición simple; 21 posibilidades.

Tabla de verdad

pV

V

Para dos proposiciones sim-ples: 22 posibilidades.

Tabla de verdad

p qV V

V F

F V

F F

Conjunción Disyuncióninclusiva

Disyunciónexclusiva Condicional Bicondicional Negación

p q p ∧ q p ∨ q p ∆ q p → q p ↔ q ∼qV V V V F V V F

V F F V V F F V

F V F V V V F F

F F F F F V V V

Resolución:

p q (~p ↔ q) → (p ∨ ~q)V V F F V V V V F

V F F V F V V V V

F V V V V F F F F

F F V F F V F V V

Luego, los valores de la matriz principal son V V F V.

Matriz principal


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a VClasificación de los esquemas moleculares

Según los valores que toma la matriz principal, se clasifican en:a. Tautológico: cuando los valores de verdad de la

matriz principal son todos verdaderos.b. Contradictorio: cuando los valores de verdad

de la matriz principal son todos falsos.c. Contingente: cuando no es una tautología ni

una contradicción.

Ejemplo:Evalúa el siguiente sistema molecular:

[(~p ∨ q) ∧ ~p] ↔ (q → p).

Resolución:Identifica el conectivo principal (↔) para conocer los valores de la matriz principal y, luego, determinar si es un esquema tautológico, contradictorio o contingente.

Se observa que en la matriz principal hay valores verdaderos y falsos. Luego, se deduce que el es-quema es contingente.

Principales leyes lógicas Ley de idempotencia p ∨ p ≡ pp ∧ p ≡ p

Circuitos lógicosSon esquemas formales que representan sistemas informáticos (corriente eléctrica, datos informáticos, etc.).

Circuitos en serieEs el circuito cuyo interruptor se encuentra uno a continuación del otro y se representa mediante la fórmula p ∧ q.Gráficamente:

Circuitos en paraleloSon circuitos cuyos interruptores se encuentran en otra línea opuesta y se representan mediante la fórmula p ∨ q.Gráficamente:

Ley conmutativa p ∨ q ≡ q ∨ pp ∧ q ≡ q ∧ p

Ley asociativa (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

Ley distributiva p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

Ley involutiva∼(∼p) ≡ p

Ley de Morgan∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q

Ley de absorción • p ∨ (p ∧ q) ≡ p • p ∧ (p ∨ q) ≡ p

• p ∨ (∼p ∧ q) ≡ p ∨ q • p ∧ (∼p ∨ q) ≡ p ∧ q

Ley de la condicional p → q ≡ ∼p ∨ q p → q ≡ ∼q → ∼p

Ley de la bicondicional p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) p ↔ q ≡ ∼p ↔ ∼q

p ↔ q ≡ ∼(p ∆ q)

Ley del complemento p ∨ ∼p ≡ Vp ∧ ∼p ≡ F

Ley de identidad • p ∨ V ≡ V • p ∨ F ≡ p

• p ∧ V ≡ p • p ∧ F ≡ F

p ∧ q

p ∧ q ∧ r

q p

q r p

p ∨ q

p ∨ q ∨ r

p

q

p

q

r

Matriz principal

p q [(~p ∨ q) ∧ ∼p] ↔ (q → p)V V F V V F F F V V V

V F F F F F F F F V V

F V V V V V V F V F F

F F V V F V V V F V F

L. Act. Pág. 12

� Parafrasea los valores que toma cada conectivo lógico para recordar su respectiva tabla de verdad.

Utiliza la estrategia


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a V Analiza los ejemplos

1. Indica cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones:

Una proposición es una expresión que califica como verdadera o falsa una oración, enton-ces los enunciados I, III, IV y V son proposi-ciones, excepto la II, que es una pregunta.

Resolución:

Rpta.: Son proposiciones I; III; IV y V.5. Si la proposición “p” es verdadera, ¿cuál es el

valor de verdad de la siguiente proposición? [(p ∨ q) → (∼p ∧ ∼q)] ∆ [(q → p) ∨ ∼r].

6. Si [(p ∧ ~r) ↔ (s → w)] → (~w → s) es una proposición falsa, determina el valor de verdad de [~(p ∨ r)] → {s ∧ [w ↔ s]}.

Resolución:

Rpta.: El valor es verdadero.

2. Simboliza la siguiente expresión:“Juan cumplió con la tarea, pero no aprobó el examen, entonces no tendrá su premio”.

p: Juan cumplió con la tarea q: aprobó el examen ∼q: no aprobó el examen r: tendrá su premio ∼r: no tendrá su premioLuego, la simbolización es: (p ∧ ∼q) → ∼r

Resolución:

Rpta.: La simbolización es (p ∧ ∼q) → ∼r.

Analiza cada proposición: p ≡ F; q ≡ V; r ≡ VI. (p ∧ q) → ∼r ≡ F → F ≡ V

F V FII. (p ∆ q) ∧ (q ∨ ∼r) ≡ V ∧ V ≡ V

F V V F

Resolución:

Rpta.: I. V II. V

I. Perú es un país sudamericano.II. ¿Cómo lo hago?

III. No entiendo tu respuesta.IV. 7 y 11 son números primos.V. El ángulo central del hexágono regular mide

120°.

4. Si las proposiciones ~p ∨ q y r → q son falsas, indica cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas:

∼p ∨ q ≡ F r → q ≡ F F F V F Entonces, p ≡ V, q ≡ F, r ≡ V.

I. p ≡ V (Correcta)

II. p ∧ ∼r ≡ F (Correcta) V FIII. ∼r ≡ F (Incorrecta)

Resolución:

Rpta.: Son I y II.

3. Dadas las siguientes proposiciones: p: 8 es un número primo q: 2 es un número irracional r: Isaac Newton descubrió la ley gravitacional. determina el valor de verdad de:

I. (p ∧ q) → ~r II. (p ∆ q) ∧ (q ∨ ~r)

I. p ≡ V II. p ∧ ~r ≡ F III. ~r ≡ V

[(p ∨ q) → (∼p ∧ ∼q)] ∆ [(q → p) ∨ ∼r].

V ? V ? ? V V F V ? F V F V

→ → → → → →

Resolución:

Rpta.: El valor es verdadero.

Identifica el operador principal de la proposi-ción cuyo valor de verdad es falso. [(p ∧ ∼r) ↔ (s → w)] → (∼w → s) ≡ F V FComo ∼w → s ≡ F, se deduce que w ≡ F, s ≡ F.Luego, s → w es verdadera, entonces se con-cluye que p ∧ ∼r ≡ V. Luego, p ≡ V, r ≡ F.Reemplaza los valores de verdad en la expre-sión pedida: ∼(p ∨ r) → {s ∧ [w → s]} V F F F F V V F F V


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a V7. Elabora la tabla de verdad de la siguiente pro-

posición compuesta: (p ∨ q) ↔ (p ∨ ∼q)

11. Reduce a una proposición el siguiente circuito lógico:

8. Evalúa el siguiente esquema molecular: [∼(p ∨ q) ↔ (∼q ∧ ∼p)] ∨ p.

9. Simplifica la siguiente fórmula lógica: (q ∨ r) ∨ [((p ∧ q) ∨ r) ∧ (r ∨ ~q)].

Se observa que en la matriz principal hay 2 valores falsos.

Se observa que la matriz principal está forma-da solamente por valores verdaderos. Luego, el esquema es tautológico.

Utiliza las leyes lógicas para reducir la propo-sición:

Ley distributiva

Ley asociativa

Resolución:

Rpta.: Hay 2 valores falsos.

Resolución:

Rpta.: La proposición es ∼p ∨ q.

Resolución:

Rpta.: El esquema es tautológico.

Rpta.: La fórmula simplificada es q ∨ r.

Resolución:

Luego, señala cuántos valores falsos presenta la matriz principal.

(q ∨ r) ∨ [(r ∨ (p ∧ q)) ∧ (r ∨ ∼q)] r ∨ ((p ∧ q) ∧ ∼q)

(q ∨ r) ∨ [r ∨ (p ∧ F)] F

(q ∨ r) ∨ [r ∨ ((p ∧ q) ∧ ∼q)] p ∧ (q∧∼q) F

(q ∨ r) ∨ (r ∨ F) = (q ∨ r) ∨ r Ley de identidad

= q ∨ (r ∨ r) = q ∨ r r

En la parte superior: (∼ p) ∨ qEn la parte inferior: (∼ q) ∨ (∼ p)Luego, por circuito en paralelo:[(∼ p) ∨ q] ∨ [q ∨ (∼ p)]Por la ley de la condicional:[p → q] ∨ [p → q]∼p ∨ q

10. Determina el circuito equivalente de la propo-sición compuesta:

[(∼p ∨ q) ∧ (∼q) ∧ p].

Resolución:

Rpta.:

Representa (∼p ∨ q):

Representa (∼q) ∧ q):

Luego, [(∼p ∨ q) ∧ (∼ q) ∧ q se representa por

∼p

q

∼p ∼q

qp

El circuito es ∼p

∼q q

p

p ∼q

Matriz principal

Matriz principal

∼p

q

q

∼p

p q (p ∨ q) ↔ (p ∨ ∼q)V V V V V V F

V F V V V V V

F V V F F F F

F F F F F V V

p q [∼ (p ∨ q) ↔ (∼q ∧ ∼p)] ∨ pV V F V V F F F V V

V F F V V V F F V V

F V F V V F F V V F

F F V F V V V V V F

Ley asociativa

Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio - Álgebra

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a V Teoría de exponentes

� ¿Qué elementos presenta la potenciación? Activa tus saberes


� ¿Todo número real se puede elevar al exponente cero?


Teoría de exponentesLa teoría de exponentes, estudia todas las clases de exponentes que existen y las diferentes relaciones que hay entre ellos, mediante leyes. La operación que da origen al exponente, es la potenciación.

Cuidar nuestros espacios públicos y mantenerlos limpios es tarea de todos. Según estudios, para una población de 2 × 103 a 2,5 × 103 ha-bitantes se necesita una persona de limpieza, cuyo rendimiento es 1,3 × 103 m/día en promedio.

Si el indicador antes mencionado se ajusta a zonas urbanas, determi-na cuántos trabajadores de limpieza se necesitarán aproximadamente para una población de 104 habitantes.

Exponente unidadTodo número real no nulo

elevado al exponente uno es igual al mismo número.

b1 = b b ∈ Ejemplos:20201 = 2020

(e)1 = e

(an)1 = an

(b c)1 = b c

Exponente ceroTodo número real no nulo

elevado al exponente cero es igual a la unidad.

b0 = 1 b ≠ 0

Ejemplos: ( (3)5)0 = 1

–20200 = –1

( 2 + 3)0 = 1

p0 = 1

Exponente negativoSea “b” un número real no nulo y “n” entero

positivo, se definen:

b–n = 1bn

donde a,b ∈ –{0}; n ∈ +

Ejemplos:

(6)–2 = 162 = 1

36 23

–3

= 32

3

= 278

(an)1 = an – 47

–n

= – 74

n

Es la operación que consiste en multiplicar un número, llamado base, tantas veces como otro número llamado exponente. Simbólicamente:

bn = b . b . b ... b = Pn veces

exponentePotencia

base

Donde b ∧ P ∈ ; n ∈ +

POTENCIACIÓN

ab

ba

–n

= n

Importante:00 = No esta definido Ley de signos para la potenciación:(+) par o impar = (+)(–) impar = (–)(–) par = (+)


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a VPropiedades

Si a; b son números reales y m; n son enteros posi-tivos tal que am; an; bn existen, entonces:

Ecuaciones exponencialesSon ecuaciones de la forma:

RadicaciónEs la operación inversa a la potenciación.

n a = b ↔ bn = a; a ≥ 0

Donde se lee: La raíz enésima de “a” es igual a “b”; si, y solo si, “b” elevado a “n” es “a”.Además:a: Radicandon: Índiceb: Raíz enésima

Propiedad Ejemplos

n xy = n x . n y• 3 5 × 7 = 3 5 × 3 7

• 3 5 × 3 7 = 5 35

n

xy

= n xn y

• 3

43

= 3 43 3

• 63

= 63

= 2

m n x = mn x• 3 5 2 = 3 × 5 2 = 215

• m 2m 23 = m × 2m 23 = 2m2 23

nk xmk = n xm• 15 310 = 3 32

• 5 34 = 5×6 34×6 = 30 324

n xn = |x|; n es parx; n es impar

• (–3)2 = |–3| = 3

• 3 (–4)3 = –4

m xa . n xb . p xq

= mnp x(an + b)p+q

3 33 . 4 33 . 3 33 =3×4×3 3(3×4+3)3+3 = 36 348

Propiedad Ejemplos

am . an = am + n • 45 × 47 = 45 + 7 = 412

• 7–6 × 79 = 7–6 + 9 = 73

am

an = am – n

• a2023

a2020 = a2023 – 2020 = a3

• 53a–b = 53a

5b

(ab)n = anbn • (2 2)n = 2n × 2 n

• 512 × 712 = (5 × 7)12

ab

n

= an

bn

• 75

6

= ( 7)6

( 5)6

• 4n

7n = 4

7

n

(am)n = amn = (an)m • (73)–2 = 73×(–2) = 7–6

• (3 3 2)2 = (3 3)2×2 = 3 34

PropiedadesSi x, y son números reales m, n son naturales tales que n x, n y, n x existen, entonces:

Exponente fraccionario

Sea mn

una fracción irreductible y al considerar que

existe en los reales, se cumple que:

xmn = n xm = n x

m

Ejemplos:

537 = 7 53 = 7 5

3

35

23 = 3 3

5

2

= 3 35

2

Si a, b ∈ – {0} ∧ ax = bx → a = b ∨ x = 0

Si x ≠ 0 ∨ xa = xb → a = b ∨ x = 1

Ejemplos:5 32 = 2 ↔ 25 = 32 –3 = ∃ (no existe)

L. Act. Pág. 15

� Ejemplifica algunas de las propiedades de la potenciación y radicación.



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1. Se tienen las siguientes expresiones: P = (3 + 3 + 3 + ...+ 3 + 3) (25 veces)

Q = (3 × 3 × 3…× 3 × 3) (25 veces)

R = 325 + 325 + 325 + 325 + 325

Determina el valor de E = P × QR

.

2. Utiliza la teoría de exponentes para reducir la siguiente expresión:

M = 22 × 43 × 2–14 × 82 × 20 × 162. Luego, indica el exponente final.

3. Simplifica la siguiente expresión:

P = 35

27–1 + 75

73 – 92

3–4.

P = 3 + 3 + 3 + ... + 3 + 3 = 3 × 25 = 75 25 veces

Q = 3 × 3 × 3 × ... × 3 × 3 = 325

25 veces

R = 325 + 325 + 325 + 325 + 325 = 5 × 325

Reemplaza los valores en E:

E = 75 × 325

5 × 325 = 15

Resolución:

Rpta.: El valor de "E" es 15.

Escribe cada factor como una potencia de base 2.M = 22 × (22)3 × 2–14 × (23)2 × 20 × (24)2

= 22 × 26 × 2–14 × 26 × 1 × 28

= 22+6–14+6+8

= 28

Resolución:

Rpta.: El exponente final es 8.

Expresa cada número como una potencia de base 3.

P = 35

(33)–1 + 75

73 – (32)2

3–4

= 35

3–3 + 75

73 – 34

3–4

= 35–(-3) + 75–3 – 34–(–4)

= 38 + 72 – 38 = 49

Resolución:

Rpta.: La expresión simplificada es 49.

4. Reduce la siguiente expresión:

K = a(2)4 · a4 · a5 · a(–2)4

a6 · a .

Resolución:

Rpta.: La expresión reducida es a2.

K = a8 · a4 · a5 · a–8

a6 · a1

= a8 + 4 + 5 – 8

a6 + 1

= a9

a7 = a2

5. Simplifica la siguiente expresión:

N = 5 x3 · 15 x · 3 x2

6 x2 · 5 x4.

Resolución:

Rpta.: La expresión simplificada es 5 x .

N = x

35 · x

115 · x

23

x26 · x

45

= x

35 + 1

15 + 2

3

x13 + 4

5

= x

9 + 1 + 10 15

x5 + 12

15 =

x20 15

x17 15

= x2015 – 17

15 = x3

15 = x1 5 = 5 x


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a V

Definiciones previasPolinomio sobre Es aquel polinomio que posee coeficientes enteros.

Factor común polinomioCuando el factor común es un polinomio.

Factor comúnConsiste en extraer la parte que se repite en todos los términos, para lo que se extrae la expresión re-petida elevada a su menor exponente.

Por agrupaciónSe agrupan los términos del polinomio, de tal for-ma que puedan aparecer factores comunes.

Por identidadesCuando se utilizan los productos notables para factorizar.

Criterios de factorización

FactorizaciónEs el proceso inverso de la multiplicación por me-dio de la cual una expresión algebraica es presen-tada como el producto de dos o más factores.

Factor algebraico (F.A.)Sean N(x) y P(x) dos polinomios con coeficientes enteros no constantes, entonces:

Factor primo (F.P):F(x) es factor primo de P(x), si se cumple que: • F(x) es factor algebraico de P(x). • F(x) es un polinomio primo.

Ejemplo:Sea A(x) = x – 1 y B(x) = x2 – 1, entonces A(x) es

F.A. de B(x), ya que B(x)A(x)

= x + 1.

Ejemplos: • A(x;y) = 3xy + 9x2 = 3x(y + 3x) • B(x; y) = 4x3y2 – 6x2y3 – 2x2y2 = 2x2y2(2x – 3y – 1)

Ejemplo:A(a; b) = 5a(a + b) + 10b(a + b) – 5(b + a)Se observa que el factor común es 5(a + b).Luego, A(a; b) = 5(a + b)(a + 2b – 1).

Polinomio primoEs aquel polinomio que no admite descomposi-ción de factores.

Ejemplo:A(x) = x + 3, B(x) = x3 + 2, C(x) = x + m.

Ejemplo: P(x) = 5 x4 + 3 x3 – 2 x5 + 7

coeficientes enteros

N(x) es F.A. de P(x) ↔ P(x)N(x)

es exacta

Ejemplo:Si A(x; y) = (x – y)(x2 + y2 ), se observa que sus fac-tores primos son (x – y), (x2 + y2).

Ejemplos: • A(x) = x2 – 1 = (x + 1)(x – 1) • B(x) = x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

Ejemplo:A(x; y) = 3x2 + 2y + 6x + xyA(x; y) = 3x2 + 6x + 2y + xy 3x(x + 2) y(2 + x)A(x; y) = (x + 2)(3x + y)

Aspa simpleSe utiliza para factorizar polinomios de la forma:P(x; y) = Ax2n + Bxnym + Cy2m

a1xn c1y

m

a2xn c2y

m

→ P(x; y) = (a1xn + c1y

m)(a2xn + c2y

m)

A = a1 · a2

B = a1 · c2 + a2 · c1

c = c1 · c2

Ejemplo:A(x; y) = 16x2 + 40xy3 + 25y6

A(x; y) = (4x)2 + 2(4x)(5y3) + (5y3)2

(trinomio cuadrado perfecto)

A(x; y) = (4x + 5y3)2

Factorización


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a V

Teorema del factorSea P(x) un polinomio racional no constante.

Posibles raíces racionales (P.R.R.)

Sea P(x) = a0xn + a1x

n – 1 + ... + an – 1x + an, un poli-

nomio de coeficientes enteros (a0 . an ≠ 0).

Se tiene como posibles raíces:

Divisores binómicos

Polinomio sobre Es aquel polinomio que posee coeficientes racio-nales.

Ejemplo:Factoriza el siguiente polinomio:

A(x; y) = 20x2 + 22xy + 6y2 – 33x – 17y + 7.

Ejemplo:Si A(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 es un polinomio de co-eficientes enteros (a0 · an ≠ 0), entonces:

P.R.R = ± Divisores |–6|Divisores |1|

P.R.R = ± 1; 2; 3; 61

Aspa doble especialSe utiliza para factorizar polinomios de la forma:P(x) = Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + E a1x

2n k1xn e1

a2x2n k2x

n e2

Se debe tener (SDT): Cx2n

Se tiene (ST): (a1e2 + a2e1)x2n

Falta: (C – a1e2 – a2e1)x2n = k1k2x

2n

P(x) = (a1x2n + k1x

n + e1)(a2x2n + k2x

n + e2)

Ejemplo:

R(x) = 7 x5 – 52

x4 + 3 x – 2

coeficientes racionales

Si a es (x – a) es raíz de P(x) factor de P(x)

Raíz de un polinomioSea P(x) un polinomio no constante.

a es ráiz de P(x) ↔ P(a) = 0

Aspa dobleSe utiliza para factorizar polinomios de la forma:P(x; y) = Ax2n + Bxnym + Cy2m + Dxn + Eym + F a1x

n c1ym f1

a2xn c2y

m f2

= (a1xn + c1y

m + f1)(a2xn + c2y

m + f2)

Resolución:A(x;y) = 20x2 + 22xy + 6y2 – 33x – 17y + 7 5x 3y –7 4x 2y –1

A(x;y) = (5x + 3y – 7)(4x + 2y – 1)

Ejemplo:Factoriza:A(x) = x4 + 5x3 + 4x2 – x – 15Resolución:A(x) = x4 + 5x3 + 4x2 – x – 15 x2 3x –5 x2 2x 3

Se debe tener (SDT): 4x2

Se tiene (ST): (3 – 5)x2 = –2x2

Falta: (4 – (–2))x2 = 6x2 = (3x)(2x) Luego, A(x) = (x2 + 3x – 5)(x2 + 2x + 3).

P.R.R. = ± Divisores |an|Divisores |a0|

L. Act. Pág. 17

� Elabora un esquema gráfico donde se sintetice lo aprendido en este tema.



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a VAnaliza los ejemplos

1. Determina el número de factores primos de 2m(a2 + b) + a(m2 + 4b).

5. Factoriza cada uno de los siguientes polinomios: P(x) = ax3 + bx2 – ax – b, Q(x) = ax2 + ax + bx + b, R(x) = ax + b, y calcula el valor de la expresión A.

A = P(x)Q(x)

+ Q(x)R(x)

6. Factoriza el siguiente polinomio: Q(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6.

Luego, indica la suma de los términos inde-pendientes de los factores primos.

4. ¿Cuántos factores primos presenta la siguiente expresión?a2 + b2 – 8c2 + 2(ab + bc + ac).

Aplica la propiedad distributiva:2ma2 + 2mb + am2 + 4abAgrupa convenientemente los términos:am2 + 2ma2 + 2mb + 4abam(m + 2a) + 2b(m + 2a)(m + 2a)(am + 2b)

Resolución:

Rpta.: Hay 2 factores primos. • P(x) = ax3 + bx2 – ax – b

P(x) = x2(ax + b) – (ax + b) P(x) = (ax + b)(x2 – 1) P(x) = (ax + b)(x – 1)(x + 1) • Q(x) = ax2 + ax + bx + b

Q(x) = ax(x + 1) + b(x + 1) Q(x) = (ax + b)(x + 1)Reemplaza en E:

A = (ax + b)(x – 1)(x + 1)(ax + b)(x + 1)

+ (ax + b)(x + 1)(ax + b)

A = x – 1 + x + 1 = 2x

Resolución:

Rpta.: El valor de la expresión A es 2x.

Evalúa el polinomio para x = –1,Q(–1) = (–1)3 + 6(–1)2 + 11(–1) + 6Q(–1) = 0Entonces, x + 1 es un factor. Luego:

Q(x) = (x – 1)(x2 + 5x + 6)Q(x) = (x – 1)(x + 2)(x + 3)

Piden la suma de los términos independientes de los factores primos: –1 + 2 + 3 = 4.

Resolución:

Rpta.: La suma pedida es 4.

2. Señala el término lineal luego de factorizar: A(x; y; z) =x3z4 – y3z4 + 5y3 – 5x3.

Se agrupa para buscar los términos comunes:A(x; y; z) = x3z4 – 5x3 – y3z4 + 5y3

= x3(z4 – 5) – y3(z4 – 5) = (z4 – 5)(x3 – y3) = (z4 – 5)(x – y)(x2 + xy + y2)

Resolución:

Rpta.: El factor lineal es (x – y).

3. Calcula la suma de los factores primos de la si-guiente expresión:

a2 + b2 + 2ab + ac + bc.

Se agrupan los términos para poder factorizar:(a2 + 2ab + b2) + ac + bc= (a + b)2 + c(a + b)= (a + b)(a + b + c)Piden (a + b) + (a + b + c) = 2a + 2b + c

Resolución:

Rpta.: La suma de los factores es 2a + 2b + c.

(a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) – 9c2

(a + b + c)2

= (a + b + c)2 – (3c)2

= (a + b + c + 3c)(a + b + c – 3c)= (a + b + 4c)(a + b - 2c)

Resolución:

Rpta.: Presenta 2 factores primos.

1 6 11 6

x = –1 –1 –5 –6

1 5 6 0

Resuelve problemas de forma, movimiento y localización - Geometría

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a V Triángulos

� Menciona algunos objetos que tengan la forma de un triángulo.

Activa tus saberes


� ¿Qué características presenta un triángulo equilátero?


TriánguloEs un polígono de tres lados que da origen a tres vértices y tres ángulos internos.

Notación: ∆ ABC. Se lee: Triángulo ABC.

Cuidar el medio ambiente significa saber qué productos contaminan y qué otros productos se pueden reciclar.

Por esto, en algunas ciudades, frente al alto índice de contaminación de aquellas sustancias u objetos que su poseedor desecha o tenga la in-tención u obligación de desechar, se ha considerado el triángulo de jerar-quización que indica las acciones a realizar. ¿Qué tipo de triángulo se-gún su clasificación crees que representa?

Región

interior

Región

exterior

B

Cz

x

A b

c a

y

b

qa

Elementos: • Vértices: A, B y C • Lados: AB, BC y AC • Medida de los ángulos

internos: a; b; q • Medida de los ángulos

externos: x; y; z

I. La suma de las medidas de los ángulos internos es igual a 180°.

B

A C

b

qa

a + b + q = 180°

II. La suma de las medidas de los ángulos externos, eligiendo uno por vértice, es 360°.

z

B y

AC

x

x + y + z = 360°

III. La medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes a él.

B

Cz

xA

yb

qa

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LOS TRIÁNGULOS

x = b + qy = a + qz = a + b

Recuerda:

El perímetro de una región triángular es la suma de las longitudes de sus lados.

B

c a

bA C

2p = a + b + c


Calaméo: https://es.calameo.com/books/005453219faa18aae62a1e n t o r n o VIRTUAL


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a V

Según la longitud de sus lados

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

Según la medida de sus ángulos

Triángulo obtusángulo

A

B

ca

b Ca

En la figura: a > 90°Δ ABC: obtusángulo, obtuso en A

se cumple: a2 > b2 + c2

Triángulo equilátero

b

ac

A

B

C

b

a q

Si a = b = c, entonces elΔ ABC es equilátero.

Además, a = b = q = 60°

Triángulo isósceles

b

a c

A

B

Cqq

Si a = c y a ≠ b, c ≠ b, entonces elΔ ABC es isósceles.

Triángulo rectángulo

C

A

B

b

a

c

a

b

a y c: catetos b: hipotenusa

En la figura: m ABC = 90°Además: a + b = 90°Teorema de Pitágoras: a2 + c2 = b2

Triángulo acutángulo

B

A C

b

qa

Se cumple:a < 90° , b < 90° , q < 90°

Triángulo escalenoB

A Cb

ac

Si a ≠ b ≠ c, entonces el Δ ABC es escaleno.

Propiedades adicionales

q

a

x

y

a + q = x + y

m n

xy

m + n = x + y

x

b

q a

x = a + b + q

xn

ym

m + n = x + y

Teorema de correspondencia Teorema de existencia

Teorema de correspondencia

En el ∆ ABC,

B

A C

c

a q

a

a > c a > q↔

A C

B

c a

b

En el Δ ABC, se cumple:

a < b + c

b < a + c

c < a + b

L. Act. Pág. 20

� Establece mediante un cuadro comparativo las diferencias entre los triángulos según su clasificación.



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1. En el gráfico mostrado, AB = AC = CE. Determina el valor de φ.

3. En el siguiente gráfico, AB = AR y PQ = PC.

¿Cuál es el valor de la expresión M = 2a + 3b2a – 3b

?

4. En la región interior de un triángulo ABC se ubica el punto P, tal que m ABC = 7m PCB = 7q, m PAC = m PCA = 2q y AB = PC. Calcula el valor de q.

2. Juan, con una cuerda de 20 cm, construye un triángulo. Calcula la mayor longitud entera que puede tener uno de los sus lados.

CA

B

50°

50°φ

30°

30°

E

l

l

l

Como AB = AC, entonces el Δ BAC es isósce-les. Luego, m ACB = m ABC = 50°.Como AC = CE, entonces el Δ ACE es isósce-les. Luego, m CAE = m AEC = 30°.En el Δ ACE, por suma de ángulos internos:30° + 50° + φ + 30° = 180° φ = 70°

Resolución:

Rpta.: El valor de φ es 70°.

C

BA

b a

c

Del gráfico, por dato, a + b + c = 20.

Por teorema de existencia se tiene que:c < a + bSuma “c” a cada miembro de la desigualdad:c + c < a + b + c 2c < 20 c < 10Piden: cmayor = 9

Resolución:

Rpta.: La mayor longitud es 9 cm.

Del gráfico, AP = PC = a. Luego, el Δ PAB es isósce-les de base BP. Se observa que m BAP =180° – 12q, entonces se deduce que m ABP = m APB = 6q.Además, m PBC = q → PB = PC = a.Como el Δ PAB es equilátero, se cumple:6q = 60° → q = 10°

Resolución:

Rpta.: El valor de q es 10°.

B

a

a b + q

b + q

b

q

Q

P

E

A R C

PQ =PC → m PQC = m PCQ = qAB = AR → m ABR = m ARB = b + qLuego, en el Δ EQB, por ángulo externo:a + q = (b + q) + b → a = 2bReemplaza en la expresión M:

M = 2(2b) + 3b2(2b) – 3b

= 7bb

= 7

Resolución:

Rpta.: El valor de la expresión M es 7.

CA

B

50°

φ

30°

E

B

ab

Q

PA R C

q

B

6q q

6q

2q2qa

a

180°-12q

a

a

P

A C

q


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a V

Observación:

Ceviana: Es el segmento que tiene por extremos un vértice y un punto del lado opuesto o de su prolongación.

BD : Ceviana interior ; BE : Ceviana exterior

Líneas notables asociadas al triángulo

1. MedianaEs el segmento que tiene por extremos un vértice y el punto medio del lado opuesto. El punto de concurrencia de las medianas de un triángulo se llama baricentro (G).

En el ∆ ABC, AQ, BM y CP son medianas.

G: Baricentro del ∆ ABC

A C

B

M

QP

c a

aG

bb

c

4. Bisectriz interiorEs el segmento que biseca a un ángulo interno del triángulo. El punto de concurrencia de las bisectrices interiores de un triángulo se llama incentro (I).

En el ∆ ABC, AQ, BM y CP son bisectrices inte-riores.

I: Incentro del ∆ ABC

A M C

QP

B

I

b b

aa q

q

5. Bisectriz exterior Es el segmento que biseca a un ángulo exter-no del triángulo. El punto de concurrencia de las bisectrices de dos ángulos externos y bisec-triz de un ángulo interno, se llama excentro (E).

En el ∆ ABC, BE y CE son bisectrices exteriores y AE es bisectriz interior.

E: Excentro del ∆ ABC

B

A C

Ebb

qqa

a

2. AlturaEs el segmento perpendicular a un lado del triángulo, trazado desde el vértice opuesto has-ta la recta que contiene a dicho lado. El punto donde concurren las tres alturas o sus prolon-gaciones recibe el nombre de ortocentro (H).

∆ Obtusángulo

C

P

B

M A

HQ

∆ Rectángulo

H

A

C

∆ Acutángulo

A M C

PQH

B

O: Circuncentro del ∆ ABC

3. MediatrizEs la recta coplanar al triángulo que biseca de modo perpendicular a uno de sus lados. El punto donde concurren las mediatrices de un triángulo recibe el nombre de circuncentro (O).

En el ∆ ABC; L1, L2 y L3 son mediatrices de los

lados AB, BC y AC, respectivamente.

∆ Acutángulo

O

A C

L3

L2

L1

bb

c

c

a

a

B

∆ Rectángulo

L1

L2

L3

A

B

C

O

b

c

c a

a

b

∆ Obtusángulo

L2

L1

L3

b b

a

a

cc

AO


8cifras-YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=v1DFCIQsAhM&t=323se n t o r n o VIRTUAL

CDA

B

E


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a V Ángulos determinados por bisectrices

Propiedades de los puntos notables

EB

A Ca

q qa

xm

x = m2

x = m + n2

B

m

I

a bba

A

x

C

x = 90° + m2

I: Incentro

x = m – n2

Si BH es altura y BL es bisectriz, se cumple:

a.

b.

c.

m

B

x

n

A C

bba

a

e.

x = m + n2

x = 90° – n2

E: Excentro

Ex

B

A Cn

aa

q q

f.

E

nx

A

m

B

C

D

b ba a

A M C

PGQ

B

Si G es baricentro del ∆ ABC, se cumple:

AG = 2(GP)BG = 2(GM)CG = (GQ)

Si H es ortocentro del ∆ ABC, se cumple:

x + b = 180°

A C

B

Hx

b

Si O es circuncentro del ∆ ABC, se cumple:

x = 2b

A C

B

Ox

b

Si O es circuncentro del ∆ ABC, se cumple:

OA = OB = OC

d.

x

B

A Hm n

L C

bb

A C

B

O

Observación:Si se tiene un triángulo como el que se muestra, donde la medida de uno de los ángulos internos es el doble de otro ángulo.

Entonces, se sugiere trazar una ceviana con la intención de for-mar triángulos isósceles de la si-guiente forma:

2q q 2q 2q q

q

A

B

CD a

aa

L. Act. Pág. 22

� Escribe las letras que representan los puntos notables y explica con tus propias palabras cada una.



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a VAnaliza los ejemplos 3. En el gráfico mostrado, calcula el valor de “x + y”.

2. En el siguiente gráfico, BM es bisectriz y CT, ceviana. Si se sabe que m MRC = 2m RCM y m RCB = m BAC, ¿cuál es la medida del ángu-lo RCM?

4. En el gráfico mostrado, AP es bisectriz interior del triángulo ABC. Si AB // PQ, calcula el valor de “x”.

En el ∆ ABC por propiedad se cumple:

n = 90°+ 50°2

= 115°

En el ∆ MNL, por suma de ángulos internos: x + y + n = 180°x + y + 115° = 180° x + y = 65°

Resolución:

Rpta.: El valor de “x + y” es 65°.

En el ∆ MRC por ángulo externo: 2b = a + φ…(I)En el ∆ ABC por suma de ángulos internos: a + 2φ + a + b = 180° 2(φ + a) + b = 180°… (II)Reemplaza (I) en (II):2(2b) + b = 180° 5b = 180° b = 36° → m RCM = 36°

Resolución:

Rpta.: La medida del ángulo RCM es 36°.

Como AP es bisectriz interior, entoncesm BAP = m PAC = q.Por dato AB // PQ, entonces q = 28°.En el Δ ABC:2q + x = 90°2(28°) + x = 90° → x = 34°

Resolución:

Rpta.: El valor de x es 34°.

1. En la imagen se observa la llanta de una bici-cleta apoyada en tres estantes. Determina la medida del ángulo BEC.

40°A

B E

C

Sea “x” la medida del ángulo BEC.

Como E es el centro de la circunferencia exinscrita, entonces E es el excentro.Luego, por propiedad del ángulo formado por dos bisectrices exteriores se cumple:

x = 90° – 40°2

= 70°

→ m BEC = 70°

Resolución:

Rpta.: La medida del ángulo BEC es 70°.

40°A

B E

C

aa x

qq

RT

B

CA M

R2b

T

Bφ φ

aa b CA M

M

A

ny

N

B

50°

L

Ca

qq

a

x

CQ

28°

A

B

P

x

CQ

28°

A

B

P

xqq


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a V Congruencia de triángulos

� ¿En qué situaciones has escuchado la palabra congruencia?

Activa tus saberes


� Menciona los diferentes casos de la congruencia de triángulos.


Tener estos símbolos del reciclaje cerca permite que no se pueda olvidar la importancia del reciclaje en nuestras vidas. También nos dejan saber rápidamente cuándo un producto es apto para reci-clar y cuándo no, o bien cuándo pasó por el proceso de reciclaje.Si se observan los cuatro tachos, se puede notar que son iguales, pero cada uno tiene diferente uso. ¿Qué características en común presentan los tachos?

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Notación: Δ ABC ≅ Δ MNQ

Lado – Ángulo – Lado (LAL)Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados de igual longitud y el ángulo comprendido entre ellos, respectivamente, tiene igual medida.

Ángulo – Lado – Ángulo (ALA)Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos ángulos con-gruentes y el lado comprendido en-tre ellos, respectivamente, tiene la misma longitud.

Lado – Lado – Lado (LLL)Dos triángulos son congruentes cuando tienen sus tres lados, res-pectivamente, de igual longitud.

Mb

ac

Q

b

a q

N

Ab

ac

C

b

a q

B

M

ac

Q

bN

A

ac

C

bB

M

ac

Qa

N

A

ac

Ca

B

M

c

Q

b

a

N

A

c

C

b

a

B

Δ ABC ≅ Δ MNQ Δ ABC ≅ Δ MNQΔ ABC ≅ Δ MNQ


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b b


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a V

Aplicaciones

c. Teorema de la base media

d. Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa

a. Teorema de la bisectriz de un ángulo

b. Teorema de la mediatriz de un segmento

APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

P

A C

B Q

PM Q

B

A

A

P

Q

C

B

Si AB = BC y AB BC, se cumple: Si AB = BC y AB BC, se cumple: Si AM = MB y AP // BQ, se cumple:

APB ≅ BQC APB ≅ BQC Δ PAM ≅ Δ QMB

A C

Nx

b

M

B

Si AM = MB y BN = NC, entonces MN es la base media del Δ ABC.Además:

Si AM = MC, se cumple:

x = c

MN // AC x = b2

BC

c

M

x

cA Nota:

acc

c

a = 90°

cc

x

x = c

m = n

Nota:

Si MN // AC y AM = MB, se cumple:

A C

NM

B

BN = NC

a = b

a = b

n

a b

n

P

L Nota:

Si AB = BC

• Altura• Mediana• Bisectriz• Porción de mediatrizA C

B

∀ P ∈ L

∀ R ∈ OPAdemás:

Nota:

q = b

a

qb

a

O

q q

P

Rb

a

nm

L. Act. Pág. 24

� Ejemplifica cada uno de los casos de la congruencia de triángulos.



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1. En el gráfico mostrado, el Δ ABC es isósceles (AB = BC). Determina el valor positivo de “x”.

2. En el siguiente gráfico, BE es mediana del trián-gulo ABC y AB = ED. Calcula el valor de q.

3. Calcula la longitud de PH en el siguiente gráfi-co, si se sabe que m ACP = 90°.

4. En el gráfico mostrado, BC = CD y AC = 9 cm. ¿Cuál es la longitud de AD?

Por dato, AB = BC. Sea m BAD = b, en el Δ ADB se observa que a + b = 90°.En el Δ BEC se cumple:a + m CBE = 90° → m CBE = b

Luego, Δ ADB ≅ Δ BEC (ALA). Entonces se cumple:DB = CEx2 – 15 = 34 x2 = 49 x = 7

Resolución:

Rpta.: El valor positivo de “x” es 7.

Como BE es mediana, entonces AE = EC. Del gráfico se observa queΔ AEB ≅ Δ ECD (LLL)

Luego, m ECD = m AEB = 5q.En el punto C:4q + 5q = 180° 9q = 180° q = 20°

Resolución:

Rpta.: El valor de q es 20°.

Prolonga AB hasta Q, de modo que PQ // BC.Para el ángulo CAQ, por teorema de la bisectriz, AQ = AC.8 + BQ = 20 → BQ = 12Traza PR BC.

Sea m RPC = q, en el Δ CRP se observa que:b + q = 90°. Luego, en el Δ CHP se deduce que m CPH = q.En el rectángulo BRPQ, se cumple: RP = BQ = 12Para el ángulo RPH, por el teorema de la bi-sectriz interior: PH = PR = 12.

Resolución:

Rpta.: La longitud de PH es 12 cm.

Prolonga BA y trazaDE // AC. Como BC = CD, entonces se cumple que BA = AE y AC es base media del Δ EBD. Luego,

9 = ED2

→ ED = 18

Del gráfico, se deduce que el Δ ADE es isósce-les, entonces AD = 18.

Resolución:

Rpta.: La longitud de AD es 18 cm.

A C

34

EB

a

aD

x2 – 15

A C

34

EB

a

ab

b

D

x2 – 15

A E5q 4q C

B

D

A E5q 4q C

B

D

5q

C

P

BA

20 cm

8 cm

b

aa

bH

C

P

BA

20

8

b

aa

bH

12

12R

Q

qq

A80°

20°

C

B

D

A

E

18

980°20°

C

B

D80°

80°

20°

Resuelve problemas de forma, movimiento y localización - Trigonometría

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a VLongitud de arco y sector circular

� ¿Cómo se puede denotar el área de un sector circular?


� ¿Qué entiendes por arco de una circunferencia?

Activa tus saberes


LONGITUD DE ARCO

Un arco de circunferencia es una parte de ella y cuya medida se le llama longitud de arco.

Si en una circunferencia se ubican los puntos A y B, de modo que m AOB = q rad (ángulo

central) y OA = OB = r (radio de la circunferencia), se observa que se determina un arco AB cuya

longitud es "l".

Para calcular "l", se utilizará la siguiente relación:

O

r r

rA

B

lq rad

LAS IMÁGENES MUESTRAN LOS PASOS PARA PLANTAR UN ÁRBOL. MENCIONA EN CUÁL DE ELLOS PODRÍAS ENCONTRAR LA FORMA DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA.


8cifras-YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=orj0bKL00VA&t=1212se n t o r n o VIRTUAL

l = q · r

Radio de la circunferencia

N.° de radianes del ángulo central


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a V Número de vueltas de una rueda sin resbalar

Una rueda en rotación, sin resbalar, recorre una lon-gitud que depende del número de vueltas que da la rueda y su respectivo radio. Además, se cumple:

Sector circularSe denomina sector circular a la porción del plano limitada por un arco de circunferencia y dos radios.Área de un sector circular (AS.C.)

Como l = q · r, entonces se obtienen las siguientes relaciones:

Trapecio circular

Área de un trapecio circular (AT.C.)

Área del trapecio circular:

Valor numérico del ángulo central:

; (0 < q < 2p)

Ejemplo:En el gráfico mostrado, determina el número de vueltas de la trayectoria que describe el centro de la rueda de radio 1 cm al recorrer la superficie AC, si AO1 // CO2.

120g = 120g × 9°10g

= 108° → m BO2C = 72°

AO1 // CO2 → m AO1B = 72° Convierte a radianes:

72° = 72° × p rad180°

= 2p5

rad

Resolución:

A

lC

r

B

r

Donde:NV: Número de vueltas que da la ruedalC: longitud descrita por el cen-tro de la ruedar: Radio de la ruedaObserva que la longitud es to-mada de centro a centro.

NV = lC

2pr

AT.C. = l1 + l2

2 · d

q = l1 – l2

d

AS.C. = l · r2

AS.C. = l2

2q

AS.C.: Área del sector circular

O

r

rlq A

S.C.

• Bases del trapecio: AB, CD • Separación de bases:

AD = BC = R – r

Para que el trapecio exista, se debe cumplir:0 < m central < m 1vuelta

0 rad q rad 2prad

0 < q < 2p→

Trapecio circular

C

O

B

q

D

rad

ARr

C

B

d

D

A

d

O q rad l2

l1

q · r2

2As.c. =

Arc

O1

A

B

120g O2

C8 cm7 cm

A'

O1

A

B 1

1

1120g O

2

CC'

8 8

77 rad

2p5

rad2p5B'

L. Act. Pág. 27

� Parafrasea las diferentes fórmulas para calcular la longitud de arco.


Del gráfico, se observa que la longitud recorrida es:lC = lA'B' + lB'C'

lC = 2p5

(7 + 1) + 2p5

(8 – 1) = 6p

Luego, NV = 6p2p(1)

= 3.


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1. Un auto recorrió una distancia de 31,4 km. Si el radio de la llanta mide 40 cm, determina cuán-tas vueltas dio, si en ningún momento ha res-balado. (Utiliza p = 3,14).

2. Se tiene una plataforma circular de radio 100 m y, en su centro, se levanta un faro per-pendicular a la plataforma que ilumina un sec-tor circular de la plataforma cuyo ángulo cen-tral mide 96°. Determina la longitud del arco del sector circular.

3. Calcula la medida del arco de la circunferen-cia de 2 cm de radio que subtiende un ángulo central, tal que si se suma su complemento y su suplemento da como resultado 13 veces el valor del ángulo.

4. Calcula el perímetro de un sector circular AOB cuyo radio mide 8 cm, y su ángulo central es 0,1 rad.

5. En la figura mostrada, AOB y BDC son sectores circulares. Calcula el área de la región sombrea-da, si la línea curva ABC mide 8p cm.

31,4 km = 3 140 000 cmSea “N” el número de vueltas que dio la rueda:

N = l2pR

= 3 140 0002(3,14)(40)

= 12 500

Resolución:

Rpta.: La rueda dio 12 500 vueltas.l = (8)(0,10) → l = 0,8 El perímetro (2p) del sector circular AOB será:2p = 8 + 8 + l = 16 + 0,8 = 16,8

Resolución:

Rpta.: El perímetro del sector circular es 16,8 cm.

Resolución:

(90° – a) + (180° – a) = 13a

→ a = 18° = p10

rad

Luego:

l = p10

(2) = p5

Rpta.: La medida del arco es p5

cm.

96° = 96° × prad180°

= 8p15

rad

Se sabe que l = qr, luego:

l = 8p15

× 100 = 160p3

Resolución:

Rpta.: La longitud del arco es 160p3

m.

al

2 cm

96°l100

Sean:l1: Longitud del arco AB y radio r1 = 10 cm.l2: Longitud del arco BC y radio r2 = 2 cm.

Del gráfico:

l2 = 2 p2

= p

Por dato: lABC = lAB + lBC = 8p l1 + l2 = 8p → l1 = 7p pPiden el área del sector circular AOB:

A = l1· r1

2 = 7p × 10

2 = 35p

Resolución:

Rpta.: El área pedida es 35p cm2.

l

8

B

O 0,1 rad

8

O

8 cm 10 cm

C

B

D A

l1

l2

cuerda

O

8 10

C

B

D A

A


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a V Razones trigonométricas de ángulos agudos

� ¿Cómo se denota la razón trigonométrica tangente?


� ¿Qué nombre reciben los lados menores de un triángulo rectángulo?

Activa tus saberes


Con la intención de sensibilizar a la ciudadanía acerca del cuidado del medio ambiente, para promover una vida más saludable y en armonía, un grupo de estudiantes colocó letreros en las diversas áreas verdes de la ciudad, como parte de las acciones para mejorar la comunidad. Uno de ellos se muestra en la imagen. Si a = 90°,

BC = 0,6 m y sen b = 13

, ¿cuál es el valor de AC?

a

A

B

C

b

Razón trigonométrica de un ángulo agudoUna razón trigonométrica es el cociente que se establece entre las longitudes de dos de los lados de un triángulo rectángulo respecto de uno de sus ángulos agudos.

Elementos de un triángulo rectángulo

Teorema de PitágorasEl teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipote-nusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Para el triángulo rectángulo anterior se cumple:

En un triángulo ABC (recto en B), se establecen las siguientes relaciones de los lados llamadas razones trigo-nométricas con respecto al ángulo A.

A B

C

ab

ca

Cateto opuesto a a: BCCateto adyacente a a: ABHipotenusa: ACa: ángulo agudo (0° < a < 90°)

b2 = a2 + c2

Importante:

Una forma tradicional de repre-sentar el teorema de Pitágoras se muestra en la siguiente figura:


Scribd: https://es.scribd.com/doc/150472998/Razones-Trigonometricas-de-Angulos-Agudose n t o r n o VIRTUAL

c b

a a2 = b2 + c2


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a V

Ejemplo:

Sea "x" un real positivo, si tg(5x)° ctg (x2 – 24)° = 1, calcula el valor “x”.

Ejemplo:Determina el valor de a en la siguiente igualdad:

tg (25° + a) · sen 7a = ctg (65° – a) · cos 3a.

Se cumple:

Resolución:Por R.T. recíprocas:5x = x2 – 24x2 – 5x – 24 = 0(x – 8)(x + 3) = 0x – 8 = 0 ∨ x + 3 = 0 x = 8 ∨ x = –3 Luego, el valor de “x” es 8.

Resolución:Se observa que:(25° + a) + (65° – a) = 90°Luego, se cumple que tg (25° + a) = ctg (65° – a).Remplaza en la igualdad:tg (25° + a) · sen 7a = tg (25° + a) · cos 3a sen 7a = cos 3aPor R.T. de ángulos complementarios:7a + 3a = 90° 10a = 90° a = 10°

Razones trigonométricas recíprocasDe la definición anterior, sea el triángulo ABC (rec-to en B) como se muestra:

Razones trigonométricas de ángulos complementariosSean a y q ángulos complementatrios, es decir, a + q = 90°.

Observación:

Si a y q son ángulos agudos, se cumple que:

sen a · csc q = 1 ↔ a = qcos a · sec q = 1 ↔ a = q tg a · ctg q = 1 ↔ a = q

Observación:

Si a y q son ángulos agudos, se cumple que:

sen a = cos q ↔ a + q = 90°

tg a = ctg q ↔ a + q = 90°

sec a = csc q ↔ a + q = 90°

C

BA c

ab

q

a

C

BA c

ab

C

BA c

ab

a

sen A = cateto opuestohipotenusa

= ab

cos A = cateto adyacentehipotenusa

= cb

tg A = cateto opuestocateto adyacente

= ac

ctg A = cateto adyacentecateto opuesto

= ca

sec A = hipotenusacateto adyacente

= bc

csc A = hipotenusacateto opuesto

= ba

sen a · csc a = 1

cos a · sec a = 1

tg a · ctg a = 1

L. Act. Pág. 29

� Elabora un esquema donde sintetices lo aprendido en este tema.


sen a = cos q

tg a = ctg q

sec a = csc q

Se cumple:


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1. A cierta hora del día una persona que mide 1,5 m de altura proyecta una sombra de 200 cm de longitud. Determina la longitud que une la parte superior de su cabeza con el extremo de la sombra.

2. En un triángulo rectángulo ACB recto en C, se sabe que la suma de los catetos es igual a 0,8 veces la hipotenusa. Determina el valor de sen A + sen B.

3. Si se sabe que:sen φ · cos φ · tg φ · ctg φ · sec φ = 3

7determina el valor de la siguiente expresión:

A = cos φ · tg φ · ctg φ · sec φ · csc φ

4. Si sen (b – 20°) = cos (a – 30°), donde b y a son ángulos agudos, calcula el valor de:

H = tg b + a

4 + ctg b + a

2ctg (b + a – 85°) + tg (b + a – 120°)

Convierte 200 cm a metros:

200 cm × 1 m100 cm

= 2 m

Por el teorema de Pitágoras:d2 = (1,5)2 + (2)2 d2 = 2,25 + 4d = 2,5

Resolución:

Rpta.: La longitud pedida mide 2,5 m.

Se grafica el triángulo:

Por dato, a + b = 0,8c … (I)Piden: M = sen A + sen B

M = ac

+ bc

= a + bc

… (II)

Reemplaza (I) en (II): M = 0,8cc

= 0,8

Resolución:

Rpta.: El valor de sen A + sen B es 0,8.

B

C Ab

ac

b

a

Por R.T. recíprocas:

senφ · cos φ · tg φ · ctg φ · sec φ = 37

1→ sen φ = 3

7Piden:A = cos φ · tg φ · ctg φ · sec φ · cscφ

1

= csc φ = 1sen φ

= 137

= 73

Resolución:

Rpta.: El valor de la expresión A es 73

.

Como sen(b – 20°) = cos(a – 30°), se cumple:

(b – 20°) + (a – 30°) = 90° → b + a = 140°.

Reemplaza en H:

H = tg 140°

4 + ctg 140°

2ctg (140° – 85°) + tg (140° – 120°)

= tg 35° + ctg 70°ctg 55° + tg 20°

tg 35° ctg 70°

= tg 35° + ctg 70°tg 35° + ctg 70°

= 1

Resolución:

Rpta.: El valor de la expresión "H" es 1.

200 cm

1,5 m

Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre - Estadística y probabilidad

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a VIntroducción a la Estadística

� ¿De qué forma se elabora una tabla de distribución de frecuencias?


� ¿Por qué crees que es importante la Estadística?

Activa tus saberes


DEFINICIONES BÁSICAS

ESTADÍSTICAEs la ciencia relacionada con los métodos científicos destinada a recopilar, organizar, clasificar y analizar los datos, tanto como para la deducción de conclusiones, como para la toma de decisiones.

Estadística descriptivaEs la que se encarga de organizar, clasificar, estudiar e

interpretar un conjunto de datos, con el apoyo de tablas, medidas numéricas o gráficas.

Estadística inferencialLlamada también inductiva o de pronóstico, proporciona la teoría necesaria para inferir o estimar la generalización o toma de decisiones sobre la base de una información

parcial mediante técnicas descriptivas.

A. Población: Es el conjunto universal formado por los objetos u observaciones que presentan una determinada característica común que será analizada y de la cual se desea obtener información.

B. Muestra: Es un subconjunto de la población y debe ser representativa.Ejemplo: Los estudiantes del 5.° año

de secundaría.

C. Variable estadística: Es una característica de la población que se quiere estudiar y puede ser:

Es importante cuidar el medio ambiente. Recordemos algu-nos sucesos en el planeta.• El año 2016 fue el más cálido registrado hasta el momento.• Si la temperatura promedio del planeta aumenta 1,5 °C,

varios países insulares desaparecerán.• Al año llegan cerca de 8 millones de toneladas de plástico

al mar.• Ha desaparecido la mitad de los animales salvajes que

habitaban en la tierra desde hace 40 años.• 90 % de las aguas residuales de países en desarrollo llegan

a los ríos y lagos sin ser tratadas.Menciona algunas variables estadísticas que observes en el texto y la imagen.

Variable cualitativa: Cuando representa una cualidad o atributo de la población.

Variable cuantitativa: Cuando los valores que asume son números, como resultado de mediciones o conteos.

¿Cuánto duran en el tiempo?

600

500

400

300

200

100

0Vaso de

polietilenoLata de aluminio

Botella de plástico

Hilo de pescar

Pañal

Tiempo estimado para biodegradarse

El tiempo exacto varía según el tipo de producto y condi-ciones ambientales.

600 años

450 años

450 años

300 años

50 años


Vitutor: http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_1.htmle n t o r n o VIRTUAL


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a V a. Variable cualitativa nominal b. Variable cualitativa ordinal

Es aquella que se obtiene cuando se define la categoría y no lleva ninguna ordenación en las posibles modalidades.Ejemplo: Estado civil (soltero, casado, viudo)

Es cuando el investigador no solo busca un nivel de clasificación, sino también ordenar sus casos en términos del grado que posee una determinada característica. Por lo general, en este tipo de variable existe un jerarquía.Ejemplo: Orden de mérito (primero, segundo, tercero)

a. Variable cuantitativa discreta b. Variable cuantitativa continua Cuando la variable solo puede tomar ciertos valores, por lo general números enteros, pues resultan casi siempre de un conteo.Ejemplo: • Número de cursos aprobados• Número de integrantes de una familia

Cuando la variable puede tomar valores reales dentro de un inter-valo pues se obtiene por el procedimiento de una medición (puede tomar valores que no necesariamente son enteros).Ejemplo: • Tiempo de vida de un foco• Niveles de temperatura• El caudal del río

Valor de la variable

Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta acumulada (Fi)

Frecuencia relativa (hi)

Frecuencia relativa porcentual (hi %)

Frecuencia relativa acumulada (Hi)

Resulta de la clasificación o categori-zación de la variable.

Es el número de ve-ces que se repite un determinado valor de la variable. Se representa por fi con i: 1; 2;...; k; donde "k" representa el número de valores distintos que toma la variable.

Resulta de acumular sucesivamente las frecuencias absolutas.Se representa por Fi con i: 1; 2; 3;....; k.Se cumple:Fi = f1 + f2 + ... + fi

Se aplica cuando la variable tiene deter-minada jerarquía u orden.

Es el cociente entre la frecuencia abso-luta y el número de datos. Es decir:

hi = fi

nSe cumple:h1 + h2 + ... + hk = 1

Es el valor que se obtiene al multiplicar por 100 % a la fre-cuencia relativa hi.

Resulta de acumular o sumar en forma su-cesiva las frecuencias relativas. Se repre-senta por Hi con i: 1; 2; 3;....; k.Se cumple:

Hi = Fi

n

Hi = h1 + h2 + ... + hi

Curso Historia Literatura Álgebra Química Física

fi 15 13 12 11 9

Fi 15 28 40 51 60

hi

1560

= 0,25 1360

= 0,22 1260

= 0,20 1160

= 0,18 960

= 0,15

hi % 25 % 22 % 20 % 18 % 15 %

Variable cuantitativaEs aquella variable que está asociada a una característica cuantitativa, es decir, que se obtiene como resulta-do de mediciones o conteos. Se clasifica en:

Dato estadísticoRepresenta el valor o respuesta que adquiere la variable de análisis.Tabla de distribución de frecuencias

Ejemplo:En una encuesta realizada a 60 estudiantes sobre el curso en el que más destacan, se obtuvo la siguiente tabla de distribución de frecuencias:

L. Act. Pág. 32

� Ejemplifica los diferentes tipos de variable estadística.



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1. En una institución educativa se preguntó a un grupo de estudiantes de 5° año sobre el núme-ro de hermanos que tienen. Los resultados se muestran en el siguiente cuadro:

a. Indica la población, la muestra, la variable estadística y qué tipo de variable representa.

b. ¿Cuántos estudiantes tienen 3 o 4 miem-bros en su familia?

c. Calcula el porcentaje que representan los estudiantes que tienen 2 o 5 personas en su familia.

a. Elabora una tabla de distribución de fre-cuencias.

b. Determina la cantidad de trabajadores que tiene menos de 7 años de servicio.

d. Calcula el porcentaje de trabajadores que tiene 6 años de servicio.

c. ¿Cuántos trabajadores tienen 5 o 9 años de servicio?

2. Una empresa que tiene 50 trabajadores se pro-pone aumentar los salarios. Para esto, se estu-dian los años de servicio de los trabajadores determinándose los siguientes resultados:

4 5 4 6 7 9 7 7 5 88 7 6 7 7 4 6 8 8 96 8 9 5 6 5 4 7 9 67 6 5 4 4 4 6 8 8 78 9 5 5 4 6 7 9 5 4

Población: Estudiantes de la institución edu-cativaMuestra: Grupo de estudiantes del 5.° añoVariable estadística: Número de personas por familia Tipo de variable: Cuantitativa discreta

Resolución:

Los que tienen 3 miembros en su familia: 11Los que tienen 4 miembros en su familia: 9Piden: 11 + 9 = 20

Resolución:

Rpta.: 20 estudiantes

N° total de estudiantes:3 + 5 + 11 + 9 + 12 = 40Los que tienen 2 personas en su familia: 5Los que tienen 5 personas en su familia: 12Piden: 5 + 12

40 × 100 % = 42,5 %

Resolución:

Rpta.: Representan el 42,5 %.

Menos de 7 años de servicio:F3 = f1 + f2 + f3 = 9 + 8 + 9 = 26

Resolución:

Rpta.: 26 trabajadores

De la tabla:% 6 años de servicio: h3 % = 18 %

Resolución:

Rpta.: 18 %

5 años de servicio: f5 = 8 trabajadores9 años de servicio: f6 = 6 trabajadoresPiden: f5 + f6 = 8 + 6 = 14

Resolución:

Rpta.: 14 trabajadores

N.° de hermanos N.° de estudiantes

1 3

2 5

3 11

4 9

5 12Resolución:

Años de servicio fi Fi hi hi %4 9 9 0,18 18 %5 8 17 0,16 16 %6 9 26 0,18 18 %7 10 36 0,20 20 %8 8 44 0,16 16 %9 6 50 0,12 12 %

Total 50

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a V

Pote

ncia

ción

Mét

odo

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acto

r co

mún

Pobl

ació

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mue

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Radi

caci

ón

Mét

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Varia

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• Cu

alita

tiva

• Cu

antit

ativ

a

Ecua

cion

es e

xpon

enci

ales

Div

isor

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