Crea%ng  Synthe%c  Traces  

Betsy  Cowdery  &  Alex  Cheng    

Set  a  maximum  distance  between  points  All  black  points  represent  the  original  points  in  the  KML  file.  

Since  none  of  the  red  circles  (which  represent  a  4  meter  radius  around  each  point)  intersect,  the  program  could  falsely  assume  that  the  two  paths  do  not  intersect.  

To  remedy  this  problem,  we  go  through  each  KML  file  and  for  every  two  points  that  are  more  than  4  meters  apart,  we  add  a  point  in  between  those  two  points  (new  points  shown  in  blue).    Do  this  un%l  no  two  points  are  more  than  4  meters  apart.  

Note:  all  points  are  rough  es%ma%ons!      

For  purposes  of  simplicity  of  the  diagram,  we  only  added  the  necessary  points  on  the  A  path.  Now,  there  is  a  blue  dot  on  path  A  whose  4  meters  radius  intersects  with  a  dot  on  path  B’s  4  meters  radius.    This  means  there  is  an  intersec%on  between  the  two  paths.  

We  draw  an  average  point  between  those  two  points  and  call  it  the  intersec%on.    The  averaged  intersec%on  is  in  yellow  –  the  actual  intersec%on  is  in  green.  

Given  points  A  and  B,  we  are  trying  to  figure  out  whether  there  are  any  points  lying  within  4  meters  of  the  line  AB.  This  means  we  need  to  figure  out  whether  any  points  are  lying  within  a  4  meter  radius  of  points  A  and  B,  and  whether  any  points  are  lying  within  a  4  meter  distance  of  any  point  on  line  AB.    

A   B  

4  meters  4  meters  

However,  looking  within  two  circles  and  a  square  for  every  point  is  too  complicated.    

So  we  chose  to  look  for  poten%al  intersec%on  points  within  the  circle  of  radius  3x/2    centered  around  the  midpoint  between  points  A  and  B    

The  payoff  is  that  we  will  be  looking  at  more  space  than  necessary.  

€

3x2

A   B  

A   B  

Once  points  within  the  circle  have  been  found,  we  have  to  look  for  the  points  that  come  before  and  aYer  them  in  the  path  to  see  if  either  of  these  line  segments  intersect  the  line  AB.  

For  example  point  N  is  connected  to  two  different  line  segments  that  cross  AB:    The  line  N  N+1,  and  the  line  N-­‐1  N  

N-­‐1  

N  

N+1  

Determine  if  an  Intersec%on  Exists  

A  

D  

B  C  

A  

D  

B  

C  

Pretend  that  we  are  walking  along  the  line  segment  AB:    If  the  line  CD  crosses  AB,  then  at  the  end  of  AB,  we  will  have  to  turn  leY  to  get  to  C  and  right  to  get  to  B.    However,  even  if  this  condi%on  is  sa%sfied,  it  only  ensures  that  CD  could  cross  AB.    To  prove  that  an  intersec%on  exists,  repeat  the  same  process  except  this  %me  walking  along  CD.  If  you  have  to  turn  leY  to  get  to  A  and  right  to  get  to  B,  then  we  know  that  the  two  line  segments  cross.    

A  

D  

B  C  

Now  we  know  that  an  intersec%on  exists!    But  where  is  it?  

A’  

D’  

B’  

C’  

Translate  the  system  so  that    point  A  is  on  the  origin.    

A’  

C’’  

D’’  B’’  

I’’  

Rotate  the  system  so  that  point  B  is  on  the  posi%ve  X  axis.  Discover  the  posi%on  of  the  intersec%on  point  along  line  A-­‐B.                          

(1)  

(4)  (3)  

(2)  

A’  

D’  

B’  C’   I’  

Reverse  the  algorithm  to  move  the  intersec%on  point  back  to  line  AB    

Intersec.on  

A

D

BC

Reverse  the  algorithm  to  move  the  intersec%on  point  back  to  line  AB    

Find  the  exact  coordinates  of  the  Intersec%on  

A’  

D’  

B’  C’  

Translate  the  system  so  that    point  A  is  on  the  origin.    

Find  the  exact  coordinates  of  the  Intersec%on  

A’  

C’’  

D’’  B’’  

I’’  

Rotate  the  system  so  that    point  B  is  on  the  posi%ve  X  axis.  

Discover  the  posi%on  of  the  intersec%on  point  along  line  A-­‐B.                          

Find  the  exact  coordinates  of  the  Intersec%on  

A’  

D’  

B’  C’  

I’  

Reverse  the  algorithm  to  move  the  intersec%on  point  back  to  line  AB    

Find  the  exact  coordinates  of  the  Intersec%on  

Intersec.on  

A  

D  

B  C  

Reverse  the  algorithm  to  move  the  intersec%on  point  back  to  line  AB    

Demo  #1  

Use  this  intersec%on  to  generate  two  new  paths  

Intersec%on  

New  Path  #1  

New  Path  #2  

Original  Path  #1  

New  Path  #1  

Demo  #2