Introduzione: Per Criteri di Resistenza si intende una serie di teorie elaborate sui materiali per definire quali sono le condizioni che portano al collasso tali materiali. Ogni materiale possiede un determinato comportamento meccanico. Di solito si analizzano i materiali compresi in 2 grandi categorie: 1 Classe di materiali duttili: (Acciai) Sono materiali che hanno la tendenza a deformarsi in maniera vistosa sotto lazione dei carichi e assorbono notevoli quantit denergia prima di arrivare a rottura. Le resistenze a trazione e a compressione sono allincirca uguali. Questa classe di materiali ha un diagramma tensioni-deformazioni del tipo: 2 Classe di materiali fragili: (Materiali lapidei) Sono materiali caretterizzati da grandi resistenze a compressione, ma molto piccole a trazione, con un tipo di rottura repentina e priva di fenomeni deformativi apprezzabili. Questi materiali hanno la propensione ad assorbire piccolissime quantit di energia per effetti dissipativi. Il diagramma tensioni-deformazioni sar quindi il seguente: Per poter applicare i criteri di resistenza si deve conoscere la tensionoe op limite tra comportamento elastico-lineare e comportamento plastico. Il modo migliore di determinare op mediante prove di laboratorio a trazione e compressione, ma nei casi pi complessi occorre valutare delle funzioni teoriche che vanno a caratterizzare i criteri stessi. Campo Elastico-Lineare Campo Plastico IncrudimentoStrizioneEPS'SPSS'RStrizione e formazionedelle Bande di LutersRIncrudimento S'Snervamento SLimite di Proporzionalit PRottura TERR=T Stati di Tensione Monoassiali: Per stati di tensione monoassiali possibile istituire un confronto diretto fra lo stato tensionale nel generico punto del continuo, valutato per via teorica, e i risultati sperimentali conseguibili in laboratorio mediante prove di carico. Infatti, mediante le prove sperimentali si pu individuare un intervallo entro il quale sono contenute tutte le tensioni ammissibili, che proprio il dominio di sicurezza. Assegnato uno stato di tensione o*, essendo o0T e o0C i valori limite di tensione a trazione e a compressione, si pu calcolare il coefficiente di sicurezza S, che dato dal rapporto tra la tensione limite e la tensione applicata o*. Ad esempio, il coefficiente di sicurezza a trazione sar il seguente: S = o01o 1 Stati di Tensione Biassiali: Per stati di tensione biassiali, le variabili da confrontare sono 2, e quindi per confrontare con le prove sperimentali di laboratorio occorre fissare una variabile e far variare laltra e poi ripetere il confronto utilizzando la variabiole precedentemente bloccata. Si costruisce cos un dominio nel piano a 2 variabili: La tensione limite olim combinazione lineare tra i limiti a trazione e a compressione di o1 e o2, quindi la costruzione del dominio in questo caso molto pi elaborata del caso monoassiale. Il coefficiente di sicurezza sar: S = oImo 1 0T0C0Dominio di sicurezzaP**10Dominio di sicurezza*2limStati di Tensione Triassiali: La situazione limite, stavolta, dipende da ben 3 tensioni principali, le quali si influenzano a vicenda. Il confronto con lesperienza si pu fare solo se si ricorre a prove di tipo triassiale, cimentando il provino secondo 3 direzioni mutuamente ortogonali, fissando dapprima i valori di due tensioni e facendo variare la terza, modificando le prime due, una per volta, fino a pervenire alla costruzione per punti di una superficie limite nello spazio euclideo. Questo modo di procedere per troppo laborioso e non offre sufficienti garanzie nei risultati, data lenorme complessit nelleseguire le prove. Tale complessit si supera introducendo dei Criteri di Resistenza, che trasformano lo stato di tensione pluriassiale in uno stato monoassiale ideale (o equivalente), dotato della stessa pericolosit di quello effettivo nei confronti del raggiungimento della situazione limite. Supposto di individuare lo stato di tensione nel generico punto del continuo attraverso le 3 tensioni principali o1, o2 e o3, un criterio di resistenza pu essere definito assegnando una superficie limite convessa di equazione: f(o1, o2, o3) = 0. Tale superficie costituisce il dominio di sicurezza, entro il quale il materiale analizzato si mantiene a comportamento elastico-lineare. Attraverso la funzione f(o1, o2, o3) si pu confrontare lo stato tensionale triassiale reale con uno stato di tensione ideale monoassiale, il quale racchiude le condizioni di crisi del materiale. Analizzando i materiali duttili, come ad esempio lacciaio, la superficie limite rappresenta la frontiera oltre la quale avviene lo snervamento e quindi la crisi del materiale stesso. Si pu inoltre osservare che, se il materiale anche isotropo, la tensione ideale non dipende dai coseni direttori, quindi dipende esclusivamente dalla parte deviatorica dello stato tensionale. Per definizione di tensione deviatorica sappiamo che il primo invariante delle tensioni nullo, quindi lo stato di tensione monoassiale equivalentedipende esclusivamente dal secondo e dal terzo invariante delle tensioni. Tali considerazioni derivano dal fatto che lo snervamento del materiale non influenzato da un regime di tensioni di tipo idrostatico, e ci stato dimostrato da varie esperienze sperimentali. Si pu quindi affermare che lo snervamento del materiale un fenomeno da attribuire alle tensioni tangenziali, e da ci prendono spunto i criteri di Huber Von Mises e di Tresca, che hanno riscosso i maggiori consesni e conferme sperimentali. 10Dominio di sicurezza*3lim2f(1,2,3) = 0Criterio di Huber Von Mises: Il Criterio si basa sullosservazione sperimentale che un materiale pu sopportare senza pervenire a crisi valori molto elevati di compressione idrostatica, ma valori molto inferiori di trazione uniforme. Si pu definire come criterio energetico, nel senso che la crisi sopraggiunge per effetto dellenergia di deformazione , e pi precisamente, per effetto di unaliquota relativa alla parte deviatorica dellenergia di deformazione D (detta anche energia distorcente). Quindi, secondo tale criterio, lo snervamento avviene quando la tensione tangenziale media associata allo stato di tensione reale eguaglia la tensione tangenziale media che si ha in regime monoassiale allatto dello snervamento. In altre parole, la crisi provocata dalla parte deviatorica del tensore delle tensioni, la quale genera un contributo energetico distorcente. Le ipotesi di base per enunciare il criterio sono: Materiale duttile elastico-lineare e isotropo Validit dellipotesi dei piccoli spostamenti Applicazione quasi statica dei carichi Sia lo stato di tensione o che di deformazione sono composti dalla somma della parte idrostatica e della parte deviatorica, quindi lenergia di deformazione si pu scrivere come: = 12 |o] |e] = 12 (|om] + |o]) (|em] +|e]) = m + + m +m Quindi, lenergia di deformazione composta da 4 contributi, di cui i primi 2 riguardano solo la parte sferica e quella deviatorica rispettivamente, mentre gli ultimi 2 sono composti dai termini di scambio. Tali termini di scambio dipendono dalla traccia dei tensori deviatorici, infatti: m = 12 (|o] |em]) = 12 |o] _1S tr|e] |I]] = 16 tr|e] (|o] |I]) Il prodotto scalare tra la parte deviatorica del tensore delle tensioni e la matrice identit non altro che la traccia del tensore deviatorico stesso, infatti: |o] |I] = _o1u uu o2uu u o3_ _1 u uu 1 uu u 1_ = tr|o] Per definizione di tensore deviatorico sappiamo che: tr|o] = o1 + o2 + o3 = tr|e] = e1 +e2 + e3 = u Di conseguenza, i termini di scambio saranno anchessi nulli, quindi: m = 16 tr|e] tr|o] = m= 16 tr|o] tr|e] = u Questo comporta che m e D sono energeticamente ortogonali. Come gi detto, il parametro di crisi che ci interessa dato solo da D, che in termini di componenti si pu scrivere come: = 12 ((o1 e1) +(o2 e2) +(o3 e3)) A questo punto occorre scrivere le componenti di tensione e deformazione in funzione delle componenti principali di tensione o1, o2, o3. Per le componenti di tensione avremo: |o] = |o] +|om] |o] = |o] |om] o1 = o1 o1m = o1 _o1 +o2 +o3S] = 1S (2o1 o2 o3)o2 = o2 o2m = o2 _o1 +o2 +o3S] = 1S (2o2 o1 o3)o3 = o3 o3m = o3 _o1 +o2 +o3S] = 1S (2o3 o2 o1) Per ottenere le componenti di deformazione baster applicare le equazioni di legame, per cui: e1 = 1E (o1 v (o2 + o3)) = 1 + vSE (2o1 o2 o3)e2 = 1E (o2 v (o1 + o3)) = 1 + vSE (2o2 o1 o3)e3 = 1E (o3 v (o1 + o2)) = 1 + vSE (2o3 o2 o1) Sostituendo e ordinando il tutto possiamo riscrivere lenergia distorcente come: =160 (o12 + o22 +o32 (o1o2 +o1o3 + o2o3)) Facendo le stesse considerazioni per uno stato di tensione equivalente monoassiale oo, lenergia distorcente sar: o =160 (oo2) Secondo il criterio di Huber Von Mises, affinch ci sia sicurezza deve essere sempre verificata la disequazione: o _(o12 + o22 + o32 (o1o2 +o1o3 +o2o3)) oo La superficie limite (o dominio di sicurezza) un cilindro a sezione circolare avente per asse la trisettrice dellottante positivo del sistema di riferimento principale o1, o2, o3. Proiettando sul piano ortogonale alla trisettrice il dominio assume la forma di una circonferenza. 10Dominio di sicurezzaproiettato sul piano 32Trisettrice90'3'2'1Dominio di sicurezzaPer uno stato di tensione piano (o3=0), si avr un dominio di forma ellittica che soddisfa la seguente disequazione: _o12 + o22 o1o2 oo Osservando il dominio possiamo osservare che tensioni dello stesso segno producono resistenze maggiori, mentre nei quadranti in cui ci sono tensioni discordi, ovviamente, le resistenze hanno valori pi bassi, e ci riscontrato dalle prove sperimentali. Ritornando alla disequazione relativa allo stato tensionale triassiale, la si pu scrivere anche in funzione degli invarianti della tensione, che rispetto alle direzioni principali di tensione possono essere scritti come: _I1 = o1 + o2 +o3 I2 = o1o2 +o1o3 +o2o3I3 = o1o2o3

Elevando al quadrato il primo invariante avremo: I12 = (o1 + o2 + o3)2 = o12 +o22 +o32 + 2 (o1o2 + o1o3 +o2o3) = o12 +o22 +o32 + 2 I2 Esplicitando la somma delle 3 componenti principali al quadrato avremo: o12 +o22 + o32 = I12 2 I2 Sostituendo nella disequazione: o o12 + o22 +o32 (o1o2 + o1o3 + o2o3) (oo)2 I12 2 I2 I2 (oo)2 I12 S I2 (oo)2 Scrivendo gli invarianti rispetto ad un generico sistema di riferimento x,y,z avremo: _I1 = ox +o + oz

I2 = oxo +oxoz + ooz (x2+xz2+z2) Sostituendo nella disequazione: (ox + o + oz)2 S [oxo + oxoz + ooz (x2+xz2+z2) (oo)2 10Dominio di sicurezza2ooooQuesta formula valida in generale per qualsiasi stato di tensione, ma presenta una notevole complessit di calcolo se non si dispone di strumenti automatizzati. Per semplificare i calcoli si pu ricorrere alle semplificazioni relative al solido di Saint Venant, ovvero: Per sollecitazioni di sforzo normale centrato N e flessione retta Mx, My lunica componente non nulla oz Per le sollecitazioni di taglio Tx, Ty e torsione Mz sappiamo che in generale z = zx2+z2

Per qualsiasi sollecitazione le componenti ox, oy e zxy sono nulle. Alla luce di queste considerazioni, la disequazione pi utilizzata per le applicazioni relative alle verifiche di tresistenza alla Huber Von Mises la seguente: oz2 +Sz2 oo Criterio di Tresca: Nel criterio di Tresca si assume che lo snervamento avviene quando la massima tensione tangenziale associata allo stato di tensione reale eguaglia la massima tensione tangenziale che si ha in regime monoassiale allatto dello snervamento. Anche per il criterio di Tresca valgono le stesse ipotesi di Mises, ovvero: Materiale duttile elastico-lineare e isotropo Validit dellipotesi dei piccoli spostamenti Applicazione quasi statica dei carichi Possiamo descrivere il generico stato di tensione triassiale secondo i cerchi di Mohr, ordinando le tensioni in modo tale che o1 o2 o3: Dalla teoria dei Cerchi di Mohr sappiamo che la tensione tangenziale massima equivale al raggio del cerchio maggiore, quindi in termini analitici: mux= 12 (HAX{|o1 o2|, |o1 o3|, |o2 o3|]) 0max123Arbelo di MohrAnche in questo caso il confronto da farsi con uno stato tensionale monoassiele equivalente, del quale la rappresentazione secondo i cerchi di Mohr la seguente: o mux= 12 oo Affinch ci sia sicurezza deve essere sempre rispettata la disequazione: mux o mux HAX{|o1 o2|, |o1 o3|, |o2 o3|] oo Si tratta in realt di ben 6 disequazioni da soddisfare per la presenza del valore assoluto, e tali disequazioni ci permettono di tracciare un dominio a forma di cilindroide a sezione esagonale inclinato lungo la trisettrice dellottante positivo. Nel caso biassiale, invece il dominio assume la forma di un esagono irregolare contenuto nellellisse di Mises e avente con esso 6 punti in comune: 0maxoArbelo di Mohro/2103290Dominio di sicurezzaDominio di sicurezzaproiettato sul piano '3'2'1010Dominio di sicurezza2ooooEllisse di MisesLa disequazione rappresentativa del dominio la seguente: mux o mux HAX{|o1 o2|, |o1|, |o2|] oo Possiamo osservare che anche in questo caso se le componenti sono dello stesso segno si hanno migliori resistenze, mentre nei quadranti in cui hanno segni opposti le resistenze sono ridotte. Rappresentendo lo stato di tensione biassiale secondo i Cerchi di Mohr, e supponendo di conoscere tale stato di tensione per una generica giacitura dato dalle componenti ox, oy e zxy: Osservando la figura possiamo dire cheI = o cx+cj2 Possiamo quindi fare delle semplici considerazioni geometriche relative al triangolo rettangolo evidenziato in figura di cateti L e zxy ed ipotenusa R: R = mux= _I2 + x2= __o ox +o2]2+x2= _14 (ox2 + o2 2oxo) + x2 Riordinando e mettendo in evidenza 1/4 otteniamo: mux= 12 _(ox o)2+ 4x2 Riscrivendo la disequazione di Tresca con questo valore di tensione tangenziale ideale, e tenendo conto delle semplificazioni del solido di Saint Venant, avremo: mux o mux 12 _(ox o)2+4x2 12 oo oz2 +4z2 oo Confronto tra Mises e Tresca: I 2 criteri mensionati derivano dalle stesse considerazioni sperimentali, ovvero, dallassunto che condizioni di carico idrostatiche non provocano crisi nel materiale. Il criterio di Mises meno cautelativo di quello di Tresca, e ci lo si evince confrontando le disequazioni dei due criteri, infatti, il criterio di Mises prevede una tensione tangenziale di snervamento allincirca del 15% maggiore rispetto a quella dedotta da Tresca. Facendo un confronto grafico immediato osservare che il dominio ottenuto applicando Mises leggermente maggiore di quello ottenuto applicando Tresca, e questo significa che meno conservativo nei riguardi della sicurezza. 0max12Arbelo di MohrRxyxyx+y2L_oz2 +Sz2 oo (Eubcr Ion Hiscs)oz2 +4z2 oo (Ircsco) In conclusione possiamo dire che Tresca ha il vantaggio di essere pi conservativo, e quindi a vantaggio di sicurezza, per meno impiegato nei casi pratici di verifica per 2 motivi fondamentali; il primo sta nel fatto che non necessario il calcolo delle tensioni principali, e il secondo di natura pratica perch si ha ununica disequazione da soddisfare anche per gli stati tensionali triassiali, mentre se si applica Tresca si arriva a ben 6 disequazioni da soddisfare contemporaneamente, e ci ovviamente implica calcoli pi lunghi.