credit derivatives: un'analisi applicata di sensitività per i "first-to-default basket...

CREDIT DERIVATIVES

Un’analisi applicata di sensitività Un’analisi applicata di sensitività per i

“First-to-Default Basket Products”“First-to-Default Basket Products”

A cura di:A cura di:Carmela D’Emilio

([email protected])Tesi di laureaTesi di laurea

Università Degli Studi Di Foggia – Facoltà di EconomiaRelatore: S. Musti

Il Rischio di CreditoIl Rischio di Credito

“la possibilità che una variazione inattesa del merito creditizio di una “la possibilità che una variazione inattesa del merito creditizio di una controparte nei confronti della quale esiste un’esposizione generi una corrispondente variazione inattesa del valore di mercato della

posizione creditoria”.posizione creditoria”.

� rischio di insolvenza o rischio di default

� rischio di downgrading o rischio di spread

17/07/2007 2Carmela D'Emilio

Le componenti del rischio di credito

• Default Probability - PD • Loss Given Default - LGD • Exposure at Default - EAD • Exposure at Default - EAD

Expected Loss, EL (la perdita che ci si aspetta mediamente di EADLGDPDEL ××=si aspetta mediamente di

conseguire a fronte di un credito):EADLGDPDEL ××=

Expected Loss Rate, ELR (indicativo della frazione di credito che verrà

persa):

ELRLGDPDEL =×=%

ELREADEL ×=


Le componenti del rischio di creditocreditoUnexpected Loss, UL (misura il grado di variabilità del tasso di perdita

intorno al proprio valore atteso):

ULREADUL ×=

Unexpected Loss Rate, ULR, dipende da:grado di dispersione dei tassi di perdita possibili intorno alla media

ULREADUL ×=

- grado di dispersione dei tassi di perdita possibili intorno alla media- probabilità che si verifichino tassi di perdita superiori a quello atteso

S.q.m.S.q.m.

PDLGDEADELPDELULR 22 )()1()0( ⋅−+−−=

LGDULR = )1( PDPD −PDLGDEADEL ⋅⋅=EAD=1


La diversificazione di portafoglioportafoglio

��==

=××=n

iii

n

iiiP ELEADLGDPDEL

11

��

�

� =

= ××=××

==n

iiiin

n

iiii

nP LGDPDwEAD

EADLGDPD

EAD

ELELR

1

1

�=

n

i

ii

EAD

EADw

�� =

==

i

ii

ii EADEAD 1

11

�=i

iEAD1

come per la singola esposizione, diventa necessario misurare la perdita inattesa di portafoglio ( ).PUL

a livello di portafoglio, però, subentra un ulteriore elemento di incertezza: la default correlation

[ ]1;1),( −∈BAcorr [ ]1;1),( −∈BAcorr17/07/2007 5Carmela D'Emilio

La diversificazione di portafoglioportafoglio

la perdita inattesa della singola esposizione per i = A,BiUL

),(222 BAcorrULULULULUL ⋅⋅⋅++=

mentre il tasso di perdita inatteso riferito all’intero portafoglio diventa:

),(222 BAcorrULULULULUL BABAi ⋅⋅⋅++=

mentre il tasso di perdita inatteso riferito all’intero portafoglio diventa:

),(22222 BAcorrULULwwULwULwUL BABABBAAP ⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=

Per un portafoglio caratterizzato da n titoli:n n

��= =

=n

i

n

jjijijiP ULULwwUL

1 1,ρ


Misurare la default correlationMisurare la default correlation

),cov(),( , BABA PDPDPDBA

BACorr =−

===σσ

ρ( )[ ] ( )[ ]11

),(21

21

BBAABA PDPDPDPD

BACorr =−−

===σσ

ρ

))(( 22

, BABA

PDPDPDPD

PDPDPD

−−

−

))(( BBAA PDPDPDPD −−

( )( ) BABBBABA PDPDPDPDPDPDBAcorrPD +−−= 22, ),(


La valutazione della PDLa valutazione della PD� approccio dicotomico o binomiale (cd. “default-mode paradigm”);

1 default

D~Ber0 non default

� approccio multistato o multinomiale ( “mark-to-market paradigm”)

� Variabile continua time until default T F(T)� Survival function S(t) = 1- F(T) t=0 S(0)=1� Funzione d’azzardo h(x) � Funzione d’azzardo h(x)

�=−

tdssh

etS 0)(

)( = etS )(


La LGDLa LGDrecuperatovaloreperdite

0<RR<1= Recovery Rate

RReesposizion

recuperatovaloreeesposizion

perditeLGD −=−== 11

0<RR<1= Recovery Rate

EADACER )( −

−= 1LGD tTITEAD

)1( +−= 1LGD

ER = expected recovery

AC = administrative costs

EAD = exposure at default

ER, TIT e t

rischio di EAD = exposure at default

TIT = tasso interno di trasferimento

rischio di recupero

t = tempo stimatot = tempo stimato17/07/2007 9Carmela D'Emilio

L’EADL’EAD� natura: - monetaria (esposizioni per cassa) - non monetaria (crediti di firma)

� a importo: - certo (es. mutuo) usuali tecniche di valutazione(valore nominale/ attuale)Creditrisk: “default mode”

VN dell’esposizione, corretto per una % di recupero (RR) conseguente al defaultcorretto per una % di recupero (RR) conseguente al default

Creditmetrics: “multistato” valore attuale,

scontando i flussi di cassa futuri dell’esposizione ad un tasso di sconto corretto per il rischio di insolvenza. In caso di default, si corregge il valore nominale dell’esposizione in base al RR.insolvenza. In caso di default, si corregge il valore nominale dell’esposizione in base al RR.

Portfolio Manager o KMV: “default mode”Option Pricing Teory (OPT),

in un contesto risk-neutral, il valore dell’esposizione si determina come somma del valore attuale della componente default-free e di quella rischiosacome somma del valore attuale della componente default-free e di quella rischiosa

� a importo: - incerto (es. apertura di credito in c/c) stima del valore futuro dell’esposizione

EAD = DP + UP*UGDEAD = DP + UP*UGDdove: DP = drawn portion = quota utilizzata

UP = undrawn portion = quota inutilizzataUGD = usage given default = % della quota inutilizzata che si ritiene venga utilizzata in caso di default


L’approccio multinomiale o mark-to-marketmark-to-market� sistema di ratingrating di controparte- rating di emissione- rating di emissione

Si assegna alle obbligazioni con un determinato rating un rispettivo tasso d’insolvenza atteso

� Rating esterno � Rating esterno � Rating interno

Moody’s: Aaa, Aa, A, Baa, Ba, B e Caa

investment grade speculative grade

• monitorare permanentemente il rating in modo da rispecchiare l’eventuale upgrade o • monitorare permanentemente il rating in modo da rispecchiare l’eventuale upgrade o downgrade del merito creditizio

• per i titoli obbligazionari con rating inferiori sono da attendersi modifiche più frequenti che non per i titoli con rating superiori che non per i titoli con rating superiori


La stima della PD in base ai rating

� {AAA, AA,….., C}�[0,1]

� PD real world < PD risk neutral per una data categoria di rating, perché gli investitori non basano per una data categoria di rating, perché gli investitori non basano

i loro prezzi dei titoli solo sulla PD attuariale, ma incassano un ritorno addizionale per compensare i rischi

� PD real world agenzie di rating


La stima della PD in base ai ratingrating

Rating Scadenza (anni)Rating Scadenza (anni)

1 2 3 4 5 7 10 15

AAA 0,00 0,00 0,04 0,07 0,12 0,32 0,67 0,67

AA 0,01 0,04 0,10 0,18 0,29 0,62 0,96 1,39

A 0,04 0,12 0,21 0,36 0,57 1,01 1,86 2,59

BBB 0,24 0,55 0,89 1,55 2,23 3,60 5,20 6,85BBB 0,24 0,55 0,89 1,55 2,23 3,60 5,20 6,85

BB 1,08 3,48 6,65 9,71 12,57 18,09 23,86 27,09

B 5,94 13,49 20,12 25,36 29,58 36,34 43,41 48,81

CCC 25,26 34,79 42,16 48,18 54,65 58,64 62,58 66,12

Tabella 13: Probabilità d’insolvenza, valori medi cumulati (%). Fonte: Standard & Poor’s , gennaio 2001 (J. C. Hull, 2003, tabella 26.7).


Le matrici di transizioneLe matrici di transizione� Una variazione di rating è detta “migrazione” (ratings migration)� Una variazione di rating è detta “migrazione” (ratings migration)

� Formalizzazione attraverso la matrice di transizione o di migrazione (transition matrix) dei rating, definibile come una matrice Q(t) il cui generico elemento esprime, con riferimento ad un orizzonte temporale t, la probabilità di una società o di una singola esposizione di migrare dallo

)(tpij

orizzonte temporale t, la probabilità di una società o di una singola esposizione di migrare dallo

stato i allo stato j.AAA AA … C D

11p 12p 1,1 −kp kp ,1

AAA …

AA …11 12

21p 22p 1,2 −kp kp ,2

AA …

… … … … … …

C …

1,1−kp 2,1−kp 1,1 −− kkp kkp ,1−

0

C …

D 0 … 0 1

Tabella 14: Una matrice di transizione K x KTabella 14: Una matrice di transizione K x K


Le matrici di transizioneLe matrici di transizione

� Se definiamo il processo di rating, con , la probabilità condizionata che, dato il rating iniziale di ordine i rispetto ai K possibili, dopo t periodi questo sia uguale a j, sarà:

TR Tt ,...,0=

[ ]iRjRPtp tij === 0 :)( con i,j = 1,…,K

iniziale rating0 =R finale rating=tRRating a fine anno

Aaa Aa A Baa Ba B Caa-C Default WR

Aaa 89,76 6,87 0,71 0,00 0,02 0,00 0,00 0,00 2,63

Rating

inizia

Aa 1,14 88,34 7,42 0,25 0,07 0,01 0,00 0,02 2,76

A 0,05 2,31 88,95 4,91 0,48 0,13 0,01 0,02 3,15

Baa 0,05 0,23 4,97 84,49 4,66 0,76 0,15 0,17 4,51

ziale

Ba 0,01 0,05 0,46 5,06 79,03 6,54 0,51 1,18 7,17

B 0,01 0,03 0,12 0,40 6,08 77,58 2,83 6,19 6,77

Caa-C 0,00 0,00 0,00 0,53 1,60 3,85 62,63 23,49 7,88

Tabella 15: Matrice delle transizioni di rating, probabilità a 1 anno (valori percentuali). Fonte: Moody’s (1970-2003).


La matrice di transizione “multiperiodale”.“multiperiodale”.

� Le probabilità di transizione relative a due periodi sono fornite dal prodotto� Le probabilità di transizione relative a due periodi sono fornite dal prodottomatriciale . La matrice di transizione a due periodi viene dunque costruita moltiplicando la matrice di transizione a un anno per sé stessa.

� In generale, la matrice di transizione a t anni è data dalla “matrice potenza” .

Π∗Π

tΠ� In generale, la matrice di transizione a t anni è data dalla “matrice potenza” .

Rating finale

Aaa Aa A Baa Ba B Caa-C Default WRAaa Aa A Baa Ba B Caa-C Default WR

Rating

Aaa 80,34 12,71 1,65 0,03 0,14 0,00 0,00 0,00 5,13

Aa 2,25 77,80 13,17 0,96 0,24 0,05 0,01 0,03 5,51

A 0,09 4,45 79,21 8,43 1,18 0,31 0,05 0,08 6,21

Baa 0,10 0,50 9,16 71,68 7,21 1,60 0,34 0,49 8,92g iniziale

Baa 0,10 0,50 9,16 71,68 7,21 1,60 0,34 0,49 8,92

Ba 0,03 0,06 0,89 8,80 62,49 9,91 0,87 2,93 14,03

B 0,01 0,05 0,20 0,90 9,69 61,38 3,45 11,11 13,20

Caa-C 0,00 0,00 0,03 1,31 2,44 5,91 43,76 32,05 14,50Caa-C 0,00 0,00 0,03 1,31 2,44 5,91 43,76 32,05 14,50

Tabella 16: Matrice delle transizioni di rating, probabilità a 2 anni (valori percentuali). Fonte: Moody’s (1970-2003).


La dinamica della migrazioneLa dinamica della migrazione

Rating finaleRating finale

Aaa Aa A Baa Ba B Caa-C Default WR

Aaa 57,78 23,78 5,10 0,44 0,39 0,04 0,08 0,11 12,27

Aa 4,35 53,88 23,03 3,55 0,90 0,29 0,02 0,25 13,73

Rating iniziale

A 0,24 8,10 58,10 14,14 2,93 0,82 0,15 0,43 15,09

Baa 0,23 1,52 15,71 47,13 9,61 2,60 0,45 1,69 21,06

Ba 0,08 0,26 2,97 12,46 32,38 11,03 0,96 8,20 31,67

B 0,05 0,08 0,53 2,87 12,72 29,87 2,09 20,29 31,51B 0,05 0,08 0,53 2,87 12,72 29,87 2,09 20,29 31,51

Caa-C 0,00 0,00 0,00 3,13 5,78 7,14 15,35 42,43 26,16

Tabella 17: Matrice delle transizioni di rating, probabilità a 5 anni (valori percentuali). Fonte: Moody’s (1970-2003).


La dinamica della migrazioneLa dinamica della migrazione� Le variazioni nel tempo per una società con rating A sono:

RATING A 1 anno 2 anni 5 anni

Probabilità di “stabilità” 88,95% 79,21% 58,10%

Probabilità di default 0,02% 0,08% 0,43%

Probabilità di downgrading (a Baa) 4,91% 8,43% 14,14%

� Per una società con un basso rating, ad es. B:

Tabella 18:Variazioni di una società con rating A.Fonte: Nostra elaborazione.

� Per una società con un basso rating, ad es. B:

RATING B 1 anno 2 anni 5 anni

Probabilità di “stabilità” 77,58% 61,38% 29,87%

Probabilità di default 6,19% 11,11% 20,29%

Probabilità di downgrading (a Caa-C) 2,83% 3,45% 2,09%

Tabella 19:Variazioni di una società con rating B.Fonte: Nostra elaborazione.Fonte: Nostra elaborazione.


Credit DerivativesCredit Derivatives� Strumenti OTC� Permettono di isolare e trasferire il rischio ( commodity)

relativo al reference entityrelativo al reference entity� Protection buyer� Protection seller (credit wiews)� Protection seller (credit wiews)� Finalità di trading / assicurativa

Rischio

Acquirente(protection buyer)

Venditore(protectionseller)buyer) seller)

ProtezioneProtezione


Lo sviluppo dei credit derivativesderivatives

30000

35000

15000

20000

25000

5000

10000

15000

0

rilevaz. 1996/1998 180 350 740

rilevaz. 1999/2000 586 893 1581

1996 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2006 2008

rilevaz. 2001/2002 1189 1952 4799

rilevaz.2003/2004 3548 5021 8206

rilevaz. 2006 20207 33120

Figura 5. Fonte: Nostra elaborazione basata su Chaplin G. e sui dati aggiornati della British Bankers Association.Figura 5. Fonte: Nostra elaborazione basata su Chaplin G. e sui dati aggiornati della British Bankers Association.


Credit EventCredit EventIn un credit derivatives:� Sottostante: rischio di credito relativo al reference entity

rischio di defaultrischio di defaultrischio di downgrading

� Credit event = mancato adempimento dell’obbligazione di � Credit event = mancato adempimento dell’obbligazione di pagamento del reference entity default payment

Referenceentityentity

Credit eventCredit event

Protection Protection Pagamento

buyer seller


Modalità di settlement dei credit derivativescredit derivatives1) Binary settlement (o binary payout):

Referenceentity

Credit event

Protection buyer

Protection seller

premi - icommission

buyer seller

rimborso


Modalità di settlement dei credit derivativescredit derivatives2) Cash settlement:

..Reference

entity

Credit event

premi - icommissionDelta Value = Initial Value – Final Value

Protection buyer

Protection seller

premi - icommissionDelta Value = Initial Value – Final Value

ValueDelta


Modalità di settlement dei credit derivativescredit derivatives

3) Phisical settlement:

ReferenceReferenceentity

Credit event

obligation reference

Protection buyer

Protection seller

contratto nel natopredetermi valore contratto nel natopredetermi valore


Le tipologie di credit derivativesderivatives

� credit default option � credit default swap � credit default swap � credit spread option � credit spread swap � total rate of return swap � total rate of return swap � credit–linked note

basket product� basket product


Credit Default Option (CDO)Credit Default Option (CDO)� opzione esercitabile solo nel caso di credit event

Credit Default Put:Il buyer:Il buyer:� acquista protezione dal rischio di default versando un premio; � in caso di credit event avrà la facoltà ( S<E ) di vendere un credito a una controparte;

lucrare in seguito a verifica del credit eventobiettivo

Il seller:� in caso di credit event, è tenuto a: � bynary payout /cash settlement versare il default payment stabilito

obiettivo

� bynary payout /cash settlement versare il default payment stabilito � phisical settlement acquistare il titolo del reference entity al valore stabilito

sarà obbligato ad acquistare al valore stabilitoal valore stabilito

un titolo il cui valore corrente è inferiore.


Credit Default PutCredit Default PutA = buyer; B = seller;

Payoffs:Periodicamente (o a scadenza):A paga a B:A paga a B:Un premio P;

In caso di default:B paga ad A:� bynary payout , un rimborso R ;

� cash settlement, ilessendo, al tempo i di verifica del default: [ ]+−=

=−=−=

)()( 0 iTROTRO

RVVNFVIVDVDelta Value

� phisical settlement, al verificarsi del default A paga a B:

[ ]−= 0 i

)()( 0TROTRO i <

)(TROConsegna fisica della RO (con valore )B paga ad A:Valore stabilito all’inizio del contratto: .

A

)( iTRO

)( 0TRO

[ ]+

− )()( TROTROA guadagnerà: [ ]+

− )()( 0 iTROTRO17/07/2007 27Carmela D'Emilio

Credit Default CallCredit Default CallCredit Default Call:� in caso di credit event il buyer avrà la facoltà di acquistare da una

controparte determinati titoli di emittenti primari (ad es. rating AAA) controparte determinati titoli di emittenti primari (ad es. rating AAA) ad un prezzo scontato.

compensare la perdita relativa alla RO obiettivo compensare la perdita relativa alla RO con lo sconto relativo ai titoli privi di rischio

Lo sconto sarà pari a:

obiettivo

S = VN – VC

[ ]+−− )()( 0 iTROTROSguadagno


Credit default swap (CDS)Credit default swap (CDS)� CDO : “automaticamente”

all’obbligazione di pagamento del sellermateriality clause: � min di prezzo o di spread

credit event

materiality clause: � min di prezzo o di spread

Payoff (in caso di default in t):Payoff (in caso di default in t):

[ ] [ ])(1)(1 tIRRVNtIVNRRVN +−=+⋅−

VN = valore nominale della RO RR = recovery rate I(t) = l’interesse della RO maturato al tempo tI(t) = l’interesse della RO maturato al tempo t


Credit Spread OptionCredit Spread Option� Contratto di opzione “differenziale” o “asimmetrico”� Sottostante: credit spread ( � tra il rendimento di un’obbligazione

societaria e un titolo di stato di uguale scadenza) societaria e un titolo di stato di uguale scadenza)

Speculare sui futuri credit spread (RO): - downgrading RE

obiettivo

- downgrading RE- upgrading RE

� C.S. Put:� C.S. Put:Buyer: posizione short downgrading spread wideningSeller: posizione long upgrading spread tightening

� C.S. Call:aspettative inverse


Credit Spread OptionCredit Spread OptionIl seller, in caso di

Phisical settlement:� C.S. Put

premio

Il seller, in caso di spread widening, dovrà acquistare il titolo pagando lo

strike spreadProtection buyer

Protection seller

titolo

strike spread

� C.S. Call

) di casoin (

wideningspread

SpreadStrike

� C.S. Call

Protection buyer

Protection seller

premioIl buyer, in caso

di spread tightening, potrà

esercitare la buyer seller

SpreadStrike

titolo

esercitare la facoltà di

acquisto del titolo allo strike

spread, < al valore di mercato

) di casoin (

tighteningspread

SpreadStrikevalore di mercato


Credit Spread OptionCredit Spread Optionpremio

Cash settlement:� C.S.Put:

Protection buyer

Protection seller

premio

buyer seller

) di casoin (

wideningspread

SpreadStrikeSpreadMarket −

titolo

I Payoffs di una CSO con scadenza t<T :� C.S. Put:� C.S. Call:

)0,max( KSD Tt −×

)0,max( TSKD −×

) di casoin ( wideningspread

� C.S. Call:dove:

)0,max( TtSKD −×

spreadmarketS

spreadstrikeKTt =

=

una C.S. put verrà esercitata solo se: una C.S. call solo se:

)prezzoin lo reper tradur (usata

spreaddurationD

spreadmarketSt

==

KS T <KS T

t >una C.S. call solo se: KS T

t <17/07/2007 32Carmela D'Emilio

Credit Spread SwapCredit Spread Swap� Strumenti “differenziali”, come le CSO� Strumenti “differenziali”, come le CSO

spread widening ROStrike Spread (K)

spread tightening ROspread tightening RO

Es: Es: • A detiene un titolo obbligazionario con rendimento di 200 p. b. > a quello di un titolo di stato risk-free.. • Per coprirsi da un eventuale spread widening credit spread swap

K = market spread - 200 p.b.

• Nel caso in cui la PD del RE aumenta (es. lo spread aumenta a 250 p. b.),• Nel caso in cui la PD del RE aumenta (es. lo spread aumenta a 250 p. b.),A riceve una somma da B

•Nel caso in cui la PD diminuisce (es. lo spread si riduce a 150 p. b.), B a riceve una somma da AB a riceve una somma da A


Total rate of return swapTotal rate of return swapRO

ROflowcash

ntoapprezzame )eventuale( +

Total Return Payer (protection buyer)

Total Return Receiver (protection seller)

RO ntoapprezzame )eventuale(

RO

SpreadLibor

ntodeprezzame eventuale)( +± Settlement dates

Reference Obligation

RO ntodeprezzame eventuale)(

ROflowscash ROeconomicorischio

(RO)

Payoffs Trors:Il TRP paga al TRR, ad intervalli regolari:• La cedola c relativa alla RO;• La cedola c relativa alla RO;• L’eventuale apprezzamento RO:

• Il rimborso del capitale a scadenza della RO;• Il Recovery Value della RO (in caso di default).

[ ]++ − )()( 1 ii TROTRO

In caso di default, tutti i Il TRR paga:• Un regolare importo pari a: LIBOR ± spread

• L’eventuale deprezzamento della RO: [ ]++− )()( 1ii TROTRO

In caso di default, tutti i cash flows cessano e il

TRP riceve la perdita derivante dal

deprezzamento della RO

• Il VN del titolo (in caso di default).RO

(VN – RV)


Credit linked noteCredit linked note� Obbligazione (note) + credit derivatives� No default rimborso coupon e capitale a scadenza� Default estinzione CLN investitori ricevono il )()( 0TROTRORV i <=

ni Dcoupon + DEFAULT NOSPV (rischio di default

poco significativo)

Emittente(banca A)

Investitore(B)

ni Dcoupon + DEFAULT NOpoco significativo) o un intermediario

finanziariocon un elevato rating

[ ]+− )()( 0 iTROTRO DEFAULT

premio

Buyer Seller

payementdefault


Credit linked noteCredit linked notePayoffs:

A = emittente CLN; B = investitore;

B paga ad A:� B paga ad A:D = capitale investito nel titolo obbligazionario

A paga a B:� A paga a B:� In caso di non default:dove:

cedola al tempo i-esimo

n

n

ii Dcoupon +�

=1

=coupon cedola al tempo i-esimorimborso del capitale a scadenza

� In caso di default:dove:

=icoupon=nD

)( iTRORV =dove:RV = recovery value� E, dunque, in questo caso la perdita per B sarà: [ ]+− )()( 0 iTROTRO


Basket productBasket product

A B

premio

A buyer

Bseller

payementdefault

RE1 RE2 RE3 RE4

• first-to-default effetto leva• first-to-default effetto leva• second- to default• third-to-default


Il pricing dei credit derivativesIl pricing dei credit derivatives

� Modelli “strutturali” (Merton, 1974)attività (asset) dell’impresa (approccio attività (asset) dell’impresa (approccio

endogeno)

� Modelli “in forma ridotta”valutazioni di mercato (RR e PDvalutazioni di mercato (RR e PD

esogene all’impresa)

� Modelli “ibridi”Modelli “ibridi”17/07/2007 38Carmela D'Emilio

Il modello di Merton (1974)Il modello di Merton (1974)HIP:

� Il valore degli assets, V, segua un moto Browniano geometrico:VdzVdtdV σµ +=

dove: � µ = tasso istantaneo di rendimento atteso di V,

= volatilità istantanea

VdzVdtdV Vσµ +=

σ� = volatilità istantanea� dz = processo di Wiener

Vσ

TVTVTV

TVdidensità t17/07/2007 39Carmela D'Emilio

Il modello di Merton (1974)Il modello di Merton (1974)

� 2 fonti di finanziamento:= capitale di rischio

= capitale di debito (ZCB), con maturity T>t e rimborso B),( TtBd

tE= capitale di debito (ZCB), con maturity T>t e rimborso B

Al tempo T:

),( TtBd

[ ] ),( ,0 TtBEVT dtt +=

),0max( TT BVE −=

� Formula per il pricing di uno ZCB con scadenza T:

),min(),(

),0max(

Td

TT

VBTTB

BVE

=

−=

�� 1

dove: N(.) = funzione di distribuzione di una normale standardizzata r = tasso di interesse risk-free

��

��

� += − )(1

)(),0( 21 hNd

hNeTv rtd

r = tasso di interesse risk-free

T

Tdh

V

V

σ

σ 2

121

)ln( −=

T

dh

T

Tdh

VV

V

σσ

σ )ln(22

1)ln(

1

2

2 −=+

=

0VBe

drT−

=



[ ]BVPD T <= Pr

[ ]11

lnlnPr BVT

��

<=

21

lnln21

lnlnPr

20

20

T

TrVB

T

TrVV

V

V

V

VT

��

�

�

��

�

��

�

��

�

−+−<

��

�

��

�

−+−=

σ

σ

σ

σ

2

121

(lnln

21

20

2

eT

TrVB

dzzV

V

=

��

�

��

�

−+−

∞−

−σ

σ

πVdidensità )(1)( 22 hNhN −=−= TVdidensità

PD

B0 B0



� RR = valore atteso degli assets condizionato al default:

��

��

� <= BVB

VERR T

T

dyeV y

T

TrVB

V

V

2

20

21

21

lnln

0 11 −

��

��

��

�

++−

�=σ

σ

dyehNBe

VrT

2

2

0

2

1)(

1

∞−− �−

=π


Il modello di Jarrow e Turnbull (1995)

� Spread tra attività rischiosa/risk free PD

prezzo del titolo rischioso =)1,0(v)1,0()1,0( vvd <

prezzo del titolo privo di rischio

r = tasso risk-free

=)1,0(dv)1,0()1,0( vv <

1)1()1,0( −+= rvr = tasso risk-frees = spread

1)1()1,0( −+= rv1)1()1,0( −++= srvd

� Payoffs: 1 (1-PD)

)1,0(dv1 RR<1 (PD)

)1,0(dv)1,0(v

( )[ ]RRPDPDvvd *1)1,0()1,0( +−=s

PD = *1( )[ ]RRPDPDvvd *1)1,0()1,0( +−=

srs

RRPD

++−=

1*

11


Il modello di Jarrow e Turnbull (1995)(1995)� Uno ZCB rischioso con scadenza in t:

=),0( tvd [ ] [ ]{ }tRRttv ≤⋅+> ττ PrPr),0(=),0( tv [ ] [ ]{ }tRRttv ≤⋅+> ττ PrPr),0(( )[ ]ttrt eRRee λλ −−− −+= 1

Dove: r = tasso risk-free e rtetv −=),0( è il prezzo dello ZCB non rischioso

� Un portafoglio di ZCB a diverse scadenze, che paga alle scadenze t cedole di importo c su un VN unitario:

Dove: r = tasso risk-free e etv =),0( è il prezzo dello ZCB non rischioso

cedole di importo c su un VN unitario:

( )[ ] ( )[ ]Nt

eRReeeRReec trtttN

rt λλλλ −

−⋅++−+= −−−−� 11 .),( tcvd ( )[ ] ( )[ ]NtNNiii eRReeeRReec trttt

i

rt λλλλ −

−⋅++−+= −−−

=

−� 11 .

1),( tcvd


La valutazione di un TrorsLa valutazione di un Trors� Determinazione dello spread da addizionare/sottrarre al Libor:

� flussi di cassa attesi della swap leg (libor � spread):0 0 ==tVANsp

� flussi di cassa attesi della swap leg (libor � spread):

dove:

)1()1()(1

,1,0

defaulti

izci

n

i

legswapiii pispfSLCF −⋅+⋅∆⋅+= −

=−�

dove:n = numero totale di scambio dei flussi di cassa delle due gambe;

tasso forward stimato all’epoca 0 per partenza al tempo (i-1) e scadenza all’epoca i;convenzione temporale della swap leg (30/360, Act/360, Act/Act);

tasso zero coupon spot con scadenza all’epoca i.

=− iif ,1,0

=∆ legswapi

=zcii tasso zero coupon spot con scadenza all’epoca i.

� La credit leg = somma dei cash flows derivanti dalla RO (cedole) e cash flowsderivanti da apprezzamenti/deprezzamenti della RO

=zcii

dove: flusso cedolare del titolo al tempo i;=coupon

)1()1(1

defaulti

izci

n

i

referenceii picouponROCF −⋅+⋅∆⋅= −

=�1° compon.:

flusso cedolare del titolo al tempo i;convenzione temporale di liquidazione degli interessi cedolari del titolo.

=icoupon=∆reference

i


La valutazione di un TrorsLa valutazione di un Trors� 2°compon.: liquidazione periodica a strike variabile:

)1()1()~~

( 1defaulti

izciii

n

piVV −⋅+⋅− −−�

� Equaz. del valore di un Trors:

)1()1()( 11

izciiii

piVV −⋅+⋅− −=�

swap leg = credit legswap leg = coupon component + price component

=⋅+⋅∆⋅+ −� defaultnoin

legswap pispf )1()( +⋅+⋅∆⋅ −� defaultnoin

reference picoupon )1(defaultno

ii

zciii

n

piVV 1 )1()

~~( ⋅+⋅− −

−�

� Lo spread di equilibrio del Trors:

=⋅+⋅∆⋅+ −

=−� defaultno

ii

zcii

legswapiii pispf

1

,1,0 )1()( +⋅+⋅∆⋅ −

=� defaultno

ii

zcii

referenceii picoupon

1

)1( izciiii

piVV 11

)1()( ⋅+⋅− −=�

� Lo spread di equilibrio del Trors:

�

��=

−=

−=

⋅⋅∆

⋅⋅∆⋅−⋅⋅−+⋅⋅∆⋅=

ndefaultnolegswap

n

i

defaultnoii

legswapii

n

i

defaultnoiiii

n

i

defaultnoii

referenceii

pdf

pdffpdfVVpdfcouponsp

1

,11,0

1

1

1

)~~

(

�=

⋅⋅∆i

defaultnoii

legswapi pdf

1


La valutazione di un CDS� pagamento “automatico” in caso di default

• Se definiamo:X = pagamento effettuato in caso di default da B ad AC = rimborso del capitale della RO

CRRX )1( −=C = rimborso del capitale della RORR = recovery rate

CRRX )1( −=

Un CDS = “garanzia” sulla solvibilità del reference entity

=gEL

gELELG −=G = valore corrente di una garanziaEL= valore corrente della perdita attesa sul titolo privo di garanzia

valore corrente dell’EL sul titolo garantitog

��

��

� +−= �=

N

tNNttt QDQcouponDCRREL

1

)1(

dove:N = numero dei periodi alla scadenza;

=tcoupon

=tQ

N = numero dei periodi alla scadenza;t = le date di pagamento;

cedola pagata dalla RO alla data t;probabilità cumulata di default del reference entity al tempo t;

=tD valore corrente di uno zero coupon bond con scadenza t;=ND

=NQ

valore a scadenza dello zero coupon bond;probabilità cumulata di default del reference entity alla scadenza.


La valutazione di un CDSLa valutazione di un CDS�� N

probabilità congiunta che il reference entity e il seller siano contemporaneamente

��

��

� +−= �=

N

tgNNgtttg QDQcouponDCRREL

1

)1(

=Q probabilità congiunta che il reference entity e il seller siano contemporaneamente insolventi al tempo t.

� Il valore di un CDS:

=gtQ

� Il valore di un CDS:

��

��

� −+−−= �=

N

tgNNNgtttt QQDQQcouponDCRRG

1

)()()1(

� NB: Nella pratica, però, per il calcolo del valore di un CDS, PD e RR vengono forniti dal mercato degli asset swap (titolo obbligazionario + IRS).dal mercato degli asset swap (titolo obbligazionario + IRS).


La valutazione di una CLNLa valutazione di una CLN

� No default cedola + rimborso a scadenza� Default perdita RO

[ ]=� Scadenza Date di pagamento

[ ]n−−�

ntT = [ ]ntttt ,...,, 21=

[ ] nzc

defaultnn

n

i

izci

CLNi

defaulti

defaultnoT ni

ipDicouponpPV −

=

− +⋅−++⋅⋅∆⋅−=� )1()1()1()1(1

�n

�=

−− +⋅−⋅=

n

i

izc

defaulti

defaulti

defaultT i

ippRVPV1

1 )1()(

valore attuale CLN :

defaultdefaultno PVPVCLN += defaultT

defaultnoTT PVPVCLN +=


La valutazione dei basket productsproducts

� First-to-default P(X)

� 2 reference entities (X e Y) P(X,Y)=

prob. congiunta di defaultP(Y) prob. congiunta di default� La probabilità di default di X o Y:

Probabilità di

),()()()( YXPYPXPYXP −+=�

0),( >YXcorr )()(),( XYPXPYXP ⋅=

Probabilità di default di Y

condizionata al default di X

1),( =YXcorr

0),( >YXcorr )()(),( XYPXPYXP ⋅=)()()()()( XYPXPYPXPYXP ⋅−+=�

21 PPP +< 21 PPP ==

0),( =YXcorr )()(),( YPXPYXP ⋅=)()()()()( YPXPYPXPYXP ⋅−+=�

21 PPP +<

P e P di grandezza dalla dipende P0),( <YXcorr )()(),( YPXPYXP ⋅< 21 PPP +=

2 1 P e P di grandezza dalla dipende P



La diversificazione riduce il rischio

Non per un first-to-default



Funzione di densità di

� corr = 0 � n = RE � h = cost

htehtf −⋅=)( con t > 0; h > 0.

densità di ciascuna

variabile Tud

� h = costtHeHtf ⋅−⋅=)( hnHH

n

ii ⋅==�

=1

con

Funzione di densità

� Default payment = 1

densità congiunta

=⋅⋅= �⋅−−T tHrt dteHeP

� Default payment = 1 =⋅⋅= � dteHeP0

)(1( HrTeHr

H +−−+

=

� Cash settlement=⋅⋅⋅−= �

⋅−−T tHrt dteHeRRLP0

)1(

H)1()1( )( HrTe

HrH

RRL +−−+

⋅−=


Un’analisi di sensitività per i “first-to-default basket products”

� output / input� output / input� analisi per scenari futuri / what if

Comportamento del first-to-default:� al variare dei � valori� al variare dei � valori� in relazione a 2 variabili


Ipotesi

Reference Entity

Ipotesi

Reference Entity (AA) Esposizione

A € 4.000,00

B € 4.000,00

C € 4.000,00

D € 4.000,00

E € 4.000,00

Valore complessivo € 20.000,00Valore complessivo € 20.000,00

Tassod'interesse

Td'interesse

risk-free

1 2,24%

2 2,26%

3 2,54%3 2,54%

4 2,80%

5 3,01%


)1()1( )( HrTeH

RRLP +−−−= )1()1( )( HrTeHr

HRRLP +−−

+−=

L € 4.000,00

RR 55%

n 5

h 0,1h 0,1

H=n*h 0,5

T 2

r 2,26%

P € 1.116,61


La sensitività rispetto agli hazard ratesLa sensitività rispetto agli hazard rates

h H PIncrementi

di hIncrementi

di P

0,01 0,05 € 167,54 100,00% 90,56%

0,02 0,1 € 319,26 100,00% 82,01%

0,04 0,2 € 581,08 25,00% 19,39%

0,05 0,25 € 693,78 20,00% 14,71%

0,06 0,3 € 795,84 33,33% 22,14%0,06 0,3 € 795,84 33,33% 22,14%

0,08 0,4 € 972,03 25,00% 14,87%

0,1 0,5 € 1.116,61 20,00% 10,63%

0,12 0,6 € 1.235,28 8,33% 4,14%

0,13 0,65 € 1.286,40 15,38% 6,86%

0,15 0,75 € 1.374,69


sensitività del valore di un first-to-default rispetto ai tassi d'azzardo

€ 1.600,00

€ 1.200,00

€ 1.400,00

€ 1.600,00

€ 600,00

€ 800,00

€ 1.000,00

P P

€ -

€ 200,00

€ 400,00

€ -

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16

h

Si può notare come il valore di P aumenta meno che proporzionalmente rispettoall’aumentare del tasso d’azzardo.all’aumentare del tasso d’azzardo.L’incremento è dovuto al fatto che l’hazard rate è espressivo della probabilità istantanea didefault, ed è chiaro che di fronte ad una maggiore possibilità reale di default, il premio chedovrà pagare il buyer per proteggersi sarà maggiore.


dovrà pagare il buyer per proteggersi sarà maggiore.

La sensitività rispetto al valore La sensitività rispetto al valore nominale per diversi tassi d’azzardo

� Diretta proporzionalità tra P e L (un aumento del VN della RO comporta un aumento del delta value L*(1 - RR) pagato dal sellerin caso di default, e, a sua volta, un aumento di P, ovvero il delta in caso di default, e, a sua volta, un aumento di P, ovvero il delta value attualizzato)

Aumento meno che proporzionale di P rispetto ad h� Aumento meno che proporzionale di P rispetto ad h

� h =0,1, h = 0,05, h = 0,15� h =0,1, h = 0,05, h = 0,15


LP

per h=0,05P

per h=0,1P

per h=0,15L per h=0,05 per h=0,1 per h=0,15

€ 100,00 € 17,34 € 27,92 € 34,37

€ 200,00 € 34,69 € 55,83 € 68,73

€ 500,00 € 86,72 € 139,58 € 171,84

€ 1.000,00 € 173,44 € 279,15 € 343,67

€ 2.000,00 € 346,89 € 558,31 € 687,35

€ 3.000,00 € 520,33 € 837,46 € 1.031,02

€ 4.000,00 € 693,78 € 1.116,61 € 1.374,69 € 4.000,00 € 693,78 € 1.116,61 € 1.374,69

€ 5.000,00 € 867,22 € 1.395,76 € 1.718,36

€ 7.000,00 € 1.214,11 € 1.954,07 € 2.405,71

€ 10.000,00 € 1.734,44 € 2.791,53 € 3.436,73

€ 15.000,00 € 2.601,66 € 4.187,29 € 5.155,09

€ 25.000,00 € 4.336,10 € 6.978,82 € 8.591,82


Incrementi di LIncrementi di P,

uguali per tutti gli h

100,00% 100,00%

150,00% 150,00%150,00% 150,00%

100,00% 100,00%

100,00% 100,00%

50,00% 50,00%

33,33% 33,33%

25,00% 25,00%

40,00% 40,00%

42,86% 42,86%42,86% 42,86%

50,00% 50,00%

66,67% 66,67%

Incremento totale di L 249

Incremento totale di P per h = 0,05 249Incremento totale di P per h = 0,05 249

Incremento totale di P per h = 0,1 249

Incremento totale di P per h = 0,15 249


sensitività del valore di un first-to-default al variare del sensitività del valore di un first-to-default al variare del

nominale per diversi tassi d'azzardo

€ 30.000,00

€ 20.000,00

€ 25.000,00

€ 30.000,00

€ 10.000,00

€ 15.000,00

€ 20.000,00L

P per h=0,05

P per h=0,1

P per h=0,15

€ 5.000,00

€ 10.000,00

€ -

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

L’aumento del tasso d’azzardo non influisce sulla diretta proporzionalità di PL’aumento del tasso d’azzardo non influisce sulla diretta proporzionalità di Prispetto ad L; l’effetto dell’aumento di h, però, è sempre quello di contribuire adun’ulteriore incremento di P.


La sensitività rispetto al tasso d’interesser P

1,20% € 1.126,48

1,50% € 1.123,681,50% € 1.123,68

1,63% € 1.122,46

1,70% € 1.121,81

1,82% € 1.120,69

1,90% € 1.119,95

2% € 1.119,02

2,17% € 1.117,44

2,26% € 1.116,612,26% € 1.116,61

2,32% € 1.116,06

2,55% € 1.113,93

2,63% € 1.113,19

2,75% € 1.112,09

2,90% € 1.110,71

3,20% € 1.107,96

4% € 1.100,674% € 1.100,67

5% € 1.091,67

6% € 1.082,76


sensitività del valore di un first-to default al variare del tasso d'interesse

€ 1.120,00

€ 1.130,00

€ 1.100,00

€ 1.110,00P P

€ 1.080,00

€ 1.090,00

0,00% 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00% 7,00%

r

In corrispondenza di maggiori tassi d’interesse risk-free, il valore del first-to-default siIn corrispondenza di maggiori tassi d’interesse risk-free, il valore del first-to-default siriduce.Il decremento è dovuto al fatto che P non è altro che il valore del payoff a scadenzaattualizzato. E’ chiaro che se aumenta il tasso di attualizzazione il valore di P è minore.


La sensitività rispetto al tasso d’interesse per diversi valori dell’hazard rate

rP

per h=0,05P

per h=0,1P

per h=0,15r per h=0,05 per h=0,1 per h=0,15

1,20% € 700,51 € 1.126,48 € 1.385,72

1,50% € 698,60 € 1.123,68 € 1.382,58

1,63% € 697,77 € 1.122,46 € 1.381,23

1,70% € 697,32 € 1.121,81 € 1.380,50

1,82% € 696,56 € 1.120,69 € 1.379,25

1,90% € 696,05 € 1.119,95 € 1.378,42

2% € 695,42 € 1.119,02 € 1.377,382% € 695,42 € 1.119,02 € 1.377,38

2,17% € 694,34 € 1.117,44 € 1.375,62

2,26% € 693,78 € 1.116,61 € 1.374,69

2,32% € 693,40 € 1.116,06 € 1.374,07

2,55% € 691,95 € 1.113,93 € 1.371,70

2,63% € 691,45 € 1.113,19 € 1.370,87

2,75% € 690,69 € 1.112,09 € 1.369,64

2,90% € 689,75 € 1.110,71 € 1.368,102,90% € 689,75 € 1.110,71 € 1.368,10

3,20% € 687,88 € 1.107,96 € 1.365,02

4% € 682,92 € 1.100,67 € 1.356,88

5% € 676,78 € 1.091,67 € 1.346,80

6% € 670,73 € 1.082,76 € 1.336,84


Incremento di r

Riduzione di P

per h=0,05

Riduzione di P

per h=0,1

Riduzione di P

per h=0,15

25,00% -0,27% -0,25% -0,23%25,00% -0,27% -0,25% -0,23%

8,67% -0,12% -0,11% -0,10%

4,29% -0,06% -0,06% -0,05%

7,06% -0,11% -0,10% -0,09%

4,40% -0,07% -0,07% -0,06%

5,26% -0,09% -0,08% -0,08%

8,50% -0,15% -0,14% -0,13%

4,15% -0,08% -0,07% -0,07%4,15% -0,08% -0,07% -0,07%

2,65% -0,05% -0,05% -0,05%

9,91% -0,21% -0,19% -0,17%

3,14% -0,07% -0,07% -0,06%

4,56% -0,11% -0,10% -0,09%

5,45% -0,14% -0,12% -0,11%

10,34% -0,27% -0,25% -0,22%

25,00% -0,72% -0,66% -0,60%25,00% -0,72% -0,66% -0,60%

25,00% -0,90% -0,82% -0,74%

20,00% -0,89% -0,82% -0,74%


sensitività del valore di un first-to-default al variare sensitività del valore di un first-to-default al variare

del tasso d'interesse, per diversi valori dell'hazard rate

€ 1.600,00

€ 1.000,00

€ 1.200,00

€ 1.400,00

€ 1.600,00

€ 400,00

€ 600,00

€ 800,00

€ 1.000,00

P

P per h=0,05

P per h=0,1

P per h=0,15

€ -

€ 200,00

€ 400,00

0,00% 2,00% 4,00% 6,00% 8,00%0,00% 2,00% 4,00% 6,00% 8,00%

r

La riduzione di P all’aumentare di r è via via minore quanto maggiore è il tassoLa riduzione di P all’aumentare di r è via via minore quanto maggiore è il tassod’azzardo; dunque, il tasso d’azzardo influisce in via compensativa sulle variazionidi P rispetto ad r, in quanto valori maggiori di h riducono l’ampiezza dei decrementidi P dovuti all’aumento di r


di P dovuti all’aumento di r

La sensitività rispetto al recovery rateLa sensitività rispetto al recovery rateper diversi tassi d’azzardo

� Inversa proporzionalità di P rispetto a RR

RRP

per h=0,05P

per h=1P

per h=0,15

5% € 1.464,64 € 2.357,29 € 2.902,13

15% € 1.310,47 € 2.109,15 € 2.596,64

25% € 1.156,29 € 1.861,02 € 2.291,15

35% € 1.002,12 € 1.612,88 € 1.985,67

45% € 847,95 € 1.364,75 € 1.680,18

55% € 693,78 € 1.116,61 € 1.374,6955% € 693,78 € 1.116,61 € 1.374,69

65% € 539,60 € 868,47 € 1.069,20

75% € 385,43 € 620,34 € 763,72

85% € 231,26 € 372,20 € 458,23

95% € 77,09 € 124,07 € 152,74


Riduz. Di P, Incr. di RR

Riduz. Di P, uguali per tutti gli h

200,00% -10,53%

66,67% -11,76%

40,00% -13,33%40,00% -13,33%

28,57% -15,38%

22,22% -18,18%

18,18% -22,22%18,18% -22,22%

15,38% -28,57%

13,33% -40,00%

11,76% -66,67%


sensitività del valore di un first-to-default al variare del

recovery rate, per diversi valori dell'hazard rate

€ 3.000,00

€ 3.500,00

€ 2.000,00

€ 2.500,00

€ 3.000,00

P

P per h=0,05

P per h=1

€ 500,00

€ 1.000,00

€ 1.500,00P P per h=1

P per h=0,15

€ -

0% 20% 40% 60% 80% 100%

RR

)1()(' )( HrTeHr

HLRRD +−−

+−=

D'(RR) per h=0,05 -1.541,72

D'(RR) per h=0,1 -2.481,36

D'(RR) per h=0,15 -3.054,87

L’aumento del tasso d’azzardo non influisce sulle riduzioni di P rispetto a RR;l’aumento di h ha comunque l’effetto di incrementare il valore di P.


La sensitività rispetto al numero dei reference entitiesLa sensitività rispetto al numero dei reference entities

n H P

1 0,1 € 319,26

2 0,2 € 581,08

3 0,3 € 795,84 3 0,3 € 795,84

4 0,4 € 972,03

5 0,5 € 1.116,61

6 0,6 € 1.235,28

7 0,7 € 1.332,71

8 0,8 € 1.412,74

9 0,9 € 1.478,48

10 1 € 1.532,53 10 1 € 1.532,53


sensitività del valore di un first-to-default al variare del sensitività del valore di un first-to-default al variare del

numero dei reference entities

€ 1.800,00

€ 1.200,00

€ 1.400,00

€ 1.600,00

€ 1.800,00

€ 400,00

€ 600,00

€ 800,00

€ 1.000,00P P

€ -

€ 200,00

€ 400,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n

Il valore del premio aumenta meno che proporzionalmente all’aumentare delIl valore del premio aumenta meno che proporzionalmente all’aumentare delnumero dei reference entities. L’incremento è dovuto al fatto che all’aumentare di naumenta la probabilità che una qualsiasi delle società possa subire un default.


La sensitività rispetto al numero dei reference entitiesLa sensitività rispetto al numero dei reference entitiesper diversi tassi d’interesse

n HP

per r=2,26%P

per r= 3,20%P

per r=7%P

per r=15%

1 0,1 € 319,26 € 316,40 € 305,18 € 283,30

2 0,2 € 581,08 € 576,06 € 556,34 € 517,80

3 0,3 € 795,84 € 789,20 € 763,13 € 712,12

4 0,4 € 972,03 € 964,21 € 933,51 € 873,33

5 0,5 € 1.116,61 € 1.107,96 € 1.073,97 € 1.007,26

6 0,6 € 1.235,28 € 1.226,07 € 1.189,86 € 1.118,69

7 0,7 € 1.332,71 € 1.323,16 € 1.285,56 € 1.211,55

8 0,8 € 1.412,74 € 1.403,00 € 1.364,66 € 1.289,07

9 0,9 € 1.478,48 € 1.468,69 € 1.430,10 € 1.353,92

10 1 € 1.532,53 € 1.522,77 € 1.484,32 € 1.408,29


Incrementodi n

Incrementodi P

per r = 2,26%

Incrementodi P

Per r = 3,20%

Incrementodi P

per r = 7%

Incrementodi P

per r = 15%

100,00% 82,01% 82,07% 82,29% 82,78%100,00% 82,01% 82,07% 82,29% 82,78%

50,00% 36,96% 37,00% 37,17% 37,53%

33,33% 22,14% 22,18% 22,33% 22,64%

25,00% 14,87% 14,91% 15,05% 15,34%25,00% 14,87% 14,91% 15,05% 15,34%

20,00% 10,63% 10,66% 10,79% 11,06%

16,67% 7,89% 7,92% 8,04% 8,30%

14,29% 6,00% 6,03% 6,15% 6,40%14,29% 6,00% 6,03% 6,15% 6,40%

12,50% 4,65% 4,68% 4,80% 5,03%

11,11% 3,66% 3,68% 3,79% 4,02%

Variaz. tot. Incr. n -88,89%

Variaz. tot. Incr. P per r = 2,26% -95,54%

Variaz. tot. Incr. P per r = 3,20% -95,51%Variaz. tot. Incr. P per r = 3,20% -95,51%

Variaz. tot. Incr. P per r = 7% -95,39%

Variaz. tot. Incr. P per r = 15% -95,15%


sensitività del valore di un first-to-default all'aumentare dei sensitività del valore di un first-to-default all'aumentare dei reference entities, per diversi tassi d'interesse

€ 1.600,00

€ 1.800,00

€ 1.200,00

€ 1.400,00

€ 1.600,00

€ 600,00

€ 800,00

€ 1.000,00P

P per r=2,26%

P per r= 3,20%

P per r=7%

P per r=15%

€ 200,00

€ 400,00

€ 600,00

€ -

0 2 4 6 8 10 12

n

Nonostante P diminuisca all’aumentare di r, in questo caso all’aumentare di r il valoredel first-to-default subisce incrementi via via maggiori. E, però, la variazione totaledegli incrementi si riduce per valori crescenti di r.


degli incrementi si riduce per valori crescenti di r.

La sensitività rispetto alla scadenzaT P

1 € 700,96

2 € 1.116,61

sensitività del valore di un first-to-default alla scadenza

3 € 1.363,08

4 € 1.509,23

5 € 1.595,90

6 € 1.647,29 € 1.600,00€ 1.800,00€ 2.000,00

6 € 1.647,29

7 € 1.677,76

8 € 1.695,83

9 € 1.706,55 € 800,00€ 1.000,00

€ 1.200,00€ 1.400,00

P P

10 € 1.712,90

20 € 1.722,11

30 € 1.722,16

50 € 1.722,16 € -

€ 200,00€ 400,00€ 600,00

50 € 1.722,16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 50

T

Il valore del first-to-default aumenta con l’aumentare di T, ma gli incrementi, inizialmente notevoli, sono viaIl valore del first-to-default aumenta con l’aumentare di T, ma gli incrementi, inizialmente notevoli, sono viavia decrescenti, fino a che il valore diventa costante. Questo comportamento può essere spiegatoconsiderando che se nessuna società, all’interno del basket, è soggetta a default entro un tempo più o menoampio, è difficile che possa esserlo successivamente.

� Il valore del first-to-default sarà massimo in corrispondenza di un hazard rate massimo, e costante in


� Il valore del first-to-default sarà massimo in corrispondenza di un hazard rate massimo, e costante incorrispondenza di un hazard rate costante

La sensitività rispetto alla scadenzaLa sensitività rispetto alla scadenzaper diversi tassi d’interesse

TP

per r=2,26%P

per r=3,20%P

per r=7%P

per r=15%

1 € 700,96 € 697,96 € 686,01 € 661,78

2 € 1.116,61 € 1.107,96 € 1.073,97 € 1.007,262 € 1.116,61 € 1.107,96 € 1.073,97 € 1.007,26

3 € 1.363,08 € 1.348,81 € 1.293,37 € 1.187,62

4 € 1.509,23 € 1.490,29 € 1.417,45 € 1.281,78

5 € 1.595,90 € 1.573,40 € 1.487,61 € 1.330,93

6 € 1.647,29 € 1.622,22 € 1.527,30 € 1.356,59

7 € 1.677,76 € 1.650,90 € 1.549,74 € 1.369,98

8 € 1.695,83 € 1.667,74 € 1.562,43 € 1.376,98

9 € 1.706,55 € 1.677,64 € 1.569,61 € 1.380,639 € 1.706,55 € 1.677,64 € 1.569,61 € 1.380,63

10 € 1.712,90 € 1.683,45 € 1.573,66 € 1.382,53

20 € 1.722,11 € 1.691,69 € 1.578,93 € 1.384,61

30 € 1.722,16 € 1.691,73 € 1.578,95 € 1.384,62

50 € 1.722,16 € 1.691,73 € 1.578,95 € 1.384,62


Incremento di T

Incremento di P

per r=2,26%

Incremento di P

per r=3,20%

Incremento di P

per r=7%

Incremento di P

per r=15%

100,00% 59,30% 58,74% 56,55% 52,20%

50,00% 22,07% 21,74% 20,43% 17,91%50,00% 22,07% 21,74% 20,43% 17,91%

33,33% 10,72% 10,49% 9,59% 7,93%

25,00% 5,74% 5,58% 4,95% 3,83%

20,00% 3,22% 3,10% 2,67% 1,93%

16,67% 1,85% 1,77% 1,47% 0,99%

14,29% 1,08% 1,02% 0,82% 0,51%

12,50% 0,63% 0,59% 0,46% 0,27%

11,11% 0,37% 0,35% 0,26% 0,14%11,11% 0,37% 0,35% 0,26% 0,14%

100,00% 0,54% 0,49% 0,33% 0,15%

50,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

66,67% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%


sensitività del valore di un first-to-default alla scadenza

per diversi tassi d'interesse

€ 1.400,00

€ 1.600,00

€ 1.800,00

€ 2.000,00

€ 800,00

€ 1.000,00

€ 1.200,00

€ 1.400,00P per r=2,26%

P per r=3,20%

P per r=7%

€ 200,00

€ 400,00

€ 600,00

€ 800,00 P per r=15%

€ -

€ 200,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

All’aumentare di r il valore del first-to-default subisce incrementi via via minoririspetto a T, fino a divenire costante rispetto alla scadenza.


credit derivatives: un'analisi applicata di sensitività per i "first-to-default basket...

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pd b pdb

default rischio

wi pd i lgd

ro t i

pd bcorr

default correlationcov

ul b corr

pd lgd ead conseguire