cours commande robuste multi-variables application au chaos launay frédéric 2 mars 2011

Cours Commande Robuste Multi-variables

Application au Chaos

LAUNAY Frédéric2 mars 2011

Introduction à l’étude des systèmes Non Linéaire

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Introduction

Identification :

1) Modèle mathématique réalisant un compromis entre sa fidélité de comportement qualitatif et quantitatif et sa simplicité de mise en oeuvre à des fins d’analyse et de synthèse.

2) La modélisation entraîne obligatoirement des approximations et des simplifications afin de permettre une analyse des propriétés du modèle qui ne soit pas trop complexe et une procédure de synthèse de commande efficace.

Contexte général

3

Introduction

Par hypothèses, (approximation des faibles déviations autour d’un ”mouvement” nominal), certains systèmes peuvent être décrits par un modèle mathématique linéaire,

Les méthodes fréquentielles d’analyse et de synthèse:

Réalité plus complexe : retenir dans la modélisation du système physique des éléments non linéaires difficilement modélisables par ailleurs et que l’on ne peut approximer.

Différents cas génériques se présentent pour lesquels les modélisations linéaires ne peuvent suffire:- transformation (cosinus,sinus), saturation, hystérésis…- D’importants processus physiques sont décrits par des

modèles non linéaires. Caractéristiques courant tensions des éléments électroniques, modèles chimiques…

Contexte général

Introduction

Contexte général

5

Introduction

Les méthodes temporelles :

Linéarisation du modèle non linéaire autour d’un point de fonctionnement mais la méthode de linéarisation n’est pas suffisante outils propres au non linéaire.

Deux faits limitent la portée des résultats obtenus par la méthode de linéarisation. -La méthode de linéarisation est une méthode par approximation valide localement.-Les dynamiques d’un système non linéaire sont beaucoup plus riches que celles d’un système linéaire dans le sens qu’elles reflètent des comportements et des phénomènes purement non linéaires.

Etude Non Linéaire

Introduction

Contexte général

7

Introduction

Etude des trajectoires d’un système non linéaire :

1) Méthode fréquentielle : Méthode du premier harmonique

2) Méthode temporelle : Méthode du plan de phase (Isoclines) Lyapunov (stabilité)

A la différence des systèmes linéaires qui possèdent un point d’équilibre unique, les systèmes non linéaires peuvent posséder plusieurs points d’équilibre.

Exemple:Soit le système physique régi par l’équation différentielle

suivante:

Le système linéarisé autour du point x0 est donné par:

Introduction

Contexte général

Introduction

Contexte généralLe système non linéaire, quant à lui a les caractéristiques suivantes:

Linéaire

Cycles limitesUn système linéaire invariant dans le temps, pour osciller, doit avoir une paire de pôles sur l’axe imaginaire fragile vis à vis de perturbations et/ou erreurs de modélisation

De plus, l’amplitude de l’oscillation obtenue en théorie dépend uniquement de la condition initiale.

Au contraire, les systèmes non linéaires peuvent être le siège d’oscillations, (cycles limites), caractérisées par leur amplitude et leur fréquence, indépendantes de la condition initiale et sans excitation extérieure.

Il est donc indispensable d’utiliser un système non linéaire si l’on souhaite réaliser en pratique une oscillation stable.

Introduction

Contexte général

Introduction

Contexte général Cycles limites

Exemple: équation de Van der Pol :

Introduction

Contexte général Cycles limites

Exemple: équation de Van der Pol :

Quasi harmoniquePlan de phase

Introduction

Contexte général Bifurcation :

Des changements quantitatifs des paramètres peuvent entrainer des changements qualitatifs des propriétés du système, (nombre de points d’équilibre, stabilité des points d’équilibre).

Exemple: équation non amortie de Duffing :

L’équation donnant le point d’équilibre est:

14

Introduction

Introduction Bifurcation :

Suivant que a sera négatif ou positif, le nombre de points d’équilibre sera différent. Quand a varie, le nombre de points d’équilibre varie de 1 à 3:

15

Introduction .

Ecriture générale

étatsortie

commande

entrées exogènes

16

Introduction

Ecriture généraleSystèmes linéaires Systèmes non linéaires

Équations différentielles linéaires à coefficients constants

Équations différentiellesà coefficients variables

Équations différentiellesnon linéaires

Équations aux dérivées partielles

Systèmes chaotiques

Introduction

Ecriture généraleThéorème de Lyapunov

Le système décrit par

est stable si et seulement si il existe une fonction telle que

Introduction

Ecriture généraleCas particulier de la stabilité quadratique

On considère une fonction de Lyapunov du type

où

variation d’énergie

interne

énergie entrante

énergie sortante

énergie généréedans lesystème

énergie dépensée

dans lesystème

Interprétation

Introduction

Ecriture généraleest assimilable à une fonction d’énergie

Un système est stable s’il dépense plus d’énergie qu’il n’en reçoit

Introduction

Ecriture généraleCas d’un système linéaire

avec

d’où la condition de stabilité quadratique d’un système linéaire:

une condition nécessaire et suffisante est d’avoir

et donc que les valeurs propres de soient à parties réelles strictement négatives

• Qu’est ce que le chaos ?• Pourquoi l’utiliser ?• Objectif de ce travail de thèse.

21

Introduction Qu’est-ce que le chaos?Pourquoi l’utiliser?Objectif de ce travail de thèse.

Introduction

• Qu’est ce que le chaos ?• Pourquoi l’utiliser ?

22

Introduction Qu’est-ce que le chaos?Pourquoi l’utiliser?

Introduction

Exemple discret de la suite logistique

Eléments de construction

Pour μ= 1.6, la suite converge vers un point fixe de valeur 0,375.

23


Exemple de la suite logistique

Eléments de construction Convergence de la suiteμ

24



Pour μ= 2.8, la suite converge vers un point fixe de valeur 0,64



25



Pour μ= 3.4, la suite oscille entre 0.84 et 0.45



26



Pour μ= 3.47, la suite oscille entre les 4 valeurs 0.47, 0.86, 0.4, 0.84



27



Pour μ= 3.9, la suite est apériodique, elle ne converge pas.



28



Pour μ= 3.9, avec une autre condition initiale, la trajectoire est différente


Exemple continu avec un système dynamique de Chua:

avec

et

29


Exemple avec un système dynamique

30


Trajectoires produites en fonction des C.I

Représentation du générateur sous forme de treillis:

31


Exemple de génération de pseudo-chaos avec un circuit électronique :

Exemple de génération de séquences à 100 Mega Symboles/s sur 256 niveaux

32


Les systèmes chaotiques Le terme " chaos " vient des faits suivants:

- il ne se répète jamais (et semble erratique),- il a une dépendance sensible par rapport aux conditions initiales (effet papillon)- mais il n’en est pas moins ordonné et caractérisé par un déterminisme imprévisible.

Le déterminisme imprévisible signifie que même un modèle parfait de système chaotique (équations de mouvement identiques et mêmes conditions initiales) débouche sur des résultats imprévisibles.

Les systèmes en état de chaos sont donc légitimes, ordonnés, déterministes et imprévisibles.


Les systèmes chaotiques: introduction L’effet papillon= sensibilité aux conditions initiales:

Le météorologue Edward Lorenz indique que pour un système chaotique:

On peut considérer que le simple battement d'aile d'un papillon en Australie peut entraîner une tempête sur côte américaine. Ceci signifie qu'une perturbation en apparence mineure à l'échelle de l'atmosphère peut avoir de grandes répercutions.

Il faut comprendre que deux systèmes chaotiques de modèle identique avec des conditions initiales pourtant très proche peuvent se comporter de manière complètements différentes.


Les systèmes chaotiques: introduction L’effet papillon= sensibilité aux conditions initiales:

Exemple le même systèmes chaotiques avec des conditions initiales différentes:

« Aspect » aléatoire


Les systèmes chaotiques: introduction Exemple simple de système chaotique (naissance du chaos):

La démographie d’une population peut être approchée par l’équation suivante :

Population nouvelle= Taux de natalité * Population ancienne*(1-population ancienne)

Cas f<1


Les systèmes chaotiques: introduction Exemple simple de système chaotique:

Cas 1<f<3Stabilisation autour de 0,66

Cas f>3Doublement de période: instable et oscillation entre deux valeurs



Cas f> 3,4495

Lorsque le taux de natalité dépasse 3,4495 une seconde bifurcation (embranchement) apparaît; l'oscillation double devient quadruple (la population prend successivement quatre valeurs différentes, chacune revenant une fois tous les quatre ans). Les dédoublements se poursuivent et surviennent de plus en plus fréquemment (8 à 3,56 puis 16 à 3,596, …) et les cycles s'allongent de plus en plus à mesure que le taux de croissance augmente.



Cas f> 3,57

Lorsque le taux atteint 3,57, cette régularité disparaît pour laisser la place au chaos. Pourtant, au sein de ce chaos, l'ordre n'est pas complètement banni : des cycles totalement chaotiques sont invariablement accompagnés d'autres parfaitement réguliers. Ainsi, un modèle déterministe simple peut engendrer de « l'aléatoire ».


Les systèmes chaotiques: introduction Caractérisation d’un système chaotique : l’attracteur

Système chaotique Système aléatoire

Caractérisation dans le Plan de phase


-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

x1x2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

x1,x

2,x3

Plan de phase

• Imprédictibilité temporelle• très grande sensibilité aux conditions initiales• structuré dans l’espace des phases : attracteur

Les systèmes chaotiques: Définitions


• localement instable• globalement borné

du système pour une condition initialeUne solution est dite chaotique

si elle est instable au sens de Lyapunov et que toutes les solutions obtenues à partir d’un voisinage de (bassin d’attraction)sont bornées

Soit le système non-linéaire

Un système chaotique est:



Définition d’un système chaotique

• Un ensemble est un ensemble d’attraction pour le système si il existe un

ensemble ouvert tel que,

pour toute solution avec

• Un ensemble d’attraction fermé est un attracteur du système si il est minimal.

Il n’existe pas de plus petit ensemble d’attraction que

L’ensemble est appelé le bassin d’attraction

• Un attracteur est étrange ou chaotique si il est borné et que toutes les trajectoires

qu’il renferme sont chaotiques.

Un système est chaotique si il possède au moins un attracteur chaotique.



Définition d’un système chaotique

• Une fonction est récurrente si pour tout il existe

tel que pour tout il existe , tel que

Soit l’ensemble contenant

un segment de trajectoire de

est récurrente si pour tout il existe tel que

pour tout

étant le de l’ensemble

Une fonction récurrente retourne dans tout voisinage de toutes valeurs précédentes au moins une fois (et par défaut une infinité de fois)



Les systèmes chaotiques: différents attracteurs

L’attracteur de Lorenz :

C'est une simplification à l'extrême d'équations régissant les mouvements atmosphériques. Lorenz les a étudié afin de mettre en évidence sur un système simple la sensibilité aux conditions initiales qu'il avait observée.

Dans cette expérience, on considère un fluide entre deux plaques portées à deux températures légèrement différentes. Les deux plaques sont horizontales et la plaque la plus chaude est située en bas. On observe des tourbillons.


Les systèmes chaotiques: différents attracteurs L’attracteur de Lorenz :

Le comportement du fluide est très bien déterminé par les équations de la mécanique des fluides. Ces dernières aboutissent aux équations suivantes:Équation de Navier-Stokes:

Équation de l'incompressibilité du fluide:

Équation de propagation de la chaleur:

T est la température rapportée à celle du fluide sans la convection.Ra est le nombre de Rayleigh. Il dépend des propriétés du fluide, de la distance entre les plaques et de la différence de température entre les plaques.




Les équations précédentes peuvent être réduites. Elles se présentent alors sous la forme d'un système, le système de Lorenz que voici:

Pour Pr = 10, b = 8/3 et Ra = 28, on obtient un comportement chaotique.




Voici l’attracteur de Lorenz dans le plan Z,,T




Voici l’évolution de dans le temps:



L’attracteur de Rossler :

Proposé par l'Allemand Otto Rössler, le système de Rössler est lié à l'étude de l'écoulement des fluides; il découle des équations de Navier-Stokes. Les équations de ce système ont été découvertes à la suite de travaux en cinétique chimique.

Les équations de ce système sont les suivantes:

Les dérivées des premiers membres sont des dérivées partielles par rapport au temps. a, b et c sont des contantes réelles. Pour a = 0.398, b = 2 et c = 4. On est alors en présence d'un système chaotique.




Doublement de période pour la variable Z:



Le pendule de Moon :

Le pendule de Moon est un système physique. Il est constitué d'un pendule (avec une boule métallique à son extrémité) accroché à une potence légèrement flexible.De plus, le pendule est placé entre deux aimants situés à égale distance de la boule lorsque celle-ci et la potence sont au repos.La potence est ensuite excitée à l'aide d'un mouvement oscillatoire harmonique d'amplitude constante.Stimulé, le pendule se met en mouvement et les forces magnétiques dûes aux aimants. Le mouvement est alors chaotique.




L'équation de ce système est dite équation de Duffing :

X est la position du pendule. m est la masse de la boule métallique, a est l'amplitude de l'excitation et w est la pulsation de cette excitation.




Pour m = 0.15, a = 0.15 (en fait, entre 0.1 et 0.2 environ) et w = 0.81 (en fait, entre 0.8 et 0.82)


Outils

D’analyse


Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse

La section de Poincaré

Une section de Poincaré est l'intersection entre un attracteur d'un système à n degrés de liberté et un sous-ensemble de l'espace de n . Le plus souvent, une section de Poincaré est un lieu particulier par lequel le système passe régulièrement au cours du temps. Une section de Poincaré permet d'étudier certaines propriétés d'un système dans un espace de dimension inférieure.



La section de Poincaré



Application du 1er Retour :

Au cours du temps, un système décrit son attracteur (après avoir convergé vers celui-ci). On suppose définie une section de Poincaré particulière. Régulièrement, le point courant du système traverse la section de Poincaré. On repère au cours du temps ces points de la section de Poincaré, ce qui constitue une suite de points notée (Pn)n, indexée par l'ordre de passage. Une application de premier retour relative à la iième coordonnée est une fonction qui, pour tout n, à la coordonnée Pn

i associe la coordonnée Pn+1

i du point suivant.



Application du 1er Retour :On peut généraliser à l'application f de mième retour relative à la iième coordonnée que l'on peut définir comme suit:

f: Pi

n Pin+m



Les exposants de Lyapunov :On considère un système à n degrés de liberté. Soient X0 et Y0 deux conditions initiales pour ce système (valeurs initiales des n degrés de liberté).On note X et Y les fonctions du temps telles que X(t) et Y(t) représentent respectivement l'état du système (les valeurs des n degrés de liberté) à l'instant t et telles que X(0) = X0 et Y(0) = Y0.

On note d la distance euclidienne définie comme suit: d: n× n



Les exposants de Lyapunov :

S'il existe un instant tl, une constante réelle et une constante réelle a tels que, si I = [0, tl],

Alors, est appelé exposant de Lyapunov.

On comprend que l'exposant de Lyapunov caractérise la qualité chaotique ou non d'un système car il rend compte de la sensibilité aux conditions initiales.



Les exposants de Lyapunov :Exemple pour l’attracteur de Lorenz :

La différence relative dans les conditions initiales est de 10-12, =0.8



Diagramme de Bifurcation :

Le diagramme de bifurcation permet de mieux visualiser l’évolution d’un système vers le chaos par doublement de période. Imaginez un Y majuscule, puis ajoutez à chaque pointe supérieure un Y quatre fois plus petit, et ainsi de suite. A chaque bifurcation, la période du système double, autrement dit, il met deux fois plus de temps à retrouver son état initial.

A ce petit jeu, au bout de quelques bifurcations …, il ne la retrouvera jamais.



Diagramme de Bifurcation :

Application à la modélisation de la démographie :

3 3,45 3,56

DoublementDe fréquence

Chaos


Outils

De Contrôle


Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos

But du contrôle :

Lors du contrôle d'un système chaotique, on peut agir de diverses manières, selon le but recherché:

- On peut souhaiter qu'un système chaotique reste dans un domaine chaotique. En effet, il est possible que, naturellement, le système évolue jusqu'à perdre les caractéristiques chaotiques (sensibilités aux conditions initiales, ...).

- On peut vouloir le forcer à rester chaotique, auquel cas on procède à des opérations de contrôle convergeant vers ce but.De même, on peut vouloir amener un système, à l'origine non chaotique, vers un domaine chaotique. Réciproquement, on peut souhaiter voir un système chaotique évoluer de façon à perdre son caractère chaotique.



Méthode OGY proposée par Ott, Grebogi et Yorke au début des années 1990.

Principe : Point fixeOn considère un point fixe, noté X0 = X0(p), de la section de Poincaré pour la valeur du paramètre (de contrôle du chaos) p = p0. Ce point fixe vérifie h(X0) = X0 si h est une application de premier retour (la propriété doit être vérifiée pour l'application de premier retour relative à n'importe quelle coordonnée).



Méthode OGY proposée par Ott, Grebogi et Yorke au début des années 1990.

Principe : Point fixe

Supposons que la condition initiale d'un système soit très proche du point fixe. Lors de son évolution, le système ne se stabilise jamais de lui-même autour du point fixe, le point fixe étant instable. Ceci signifie qu'à chaque passage dans la section de Poincaré, le point courant est de plus en plus éloigné du point fixe. Pour contrôler le système, on se propose de lui imposer de rester autour du point fixe, en modifiant légèrement la valeur du paramètre p.



Principe : Si fi est l'application de premier retour relative à la iième coordonnée, on note

f le vecteur tel que:f = (f1, f2, ..., fn) (11).

On note A la matrice jacobienne associée à f. A dépend du point où elle est évaluée.On a alors: Xn+1 = f(Xn) (12).

La matrice jacobienne A décrit le comportement des points de la section de Poincaré, en particulier au voisinage du point fixe. On remarque que, au voisinage de ce point fixe, deux directions régissent les passages du système dans la section de Poincaré et donc l'éloignement du point fixe. Une direction est stable: elle n'a pas besoin d'être affectée. L'autre direction est instable: il convient de s'intéresser à cette direction afin de déterminer les corrections à apporter pour compenser l'action de cette direction instable.



Section de PoincaréOn linéarise l'équation (Xn+1 = f(Xn)) au voisinage du point fixe:

Xn+1 = X0(pn) + A(X0(pn)). (Xn - X0(pn)) (13).

De plus, on considère qu'au voisinage du point fixe on a:

De plus, A est constante et vaut:

Pour simplifier la lecture, on introduit les expressions suivantes:pn=pn-p0, Xn=Xn-X0 et

A=A(X0(p0))

(1)



Alors, on peut réécrire la relation (1) sous la forme:

Xn+1= pn.g+A.(Xn- pn.g)

On souhaite désormais calculer la variation à imposer, de sorte que dXn+1 = 0

A présente deux directions propres dont l'une instable eu (valeur propre

associée strictement supérieur à 1, en valeur absolue) et l'autre stable es

(valeur propre associée strictement inférieure à 1, en valeur absolue). On note les vecteurs adjoints dans la base duale fu et fs.

En remarquant que A =lsesfs +lueufu, on a:

Xn+1-pn.g=(lsesfs +lueufu)(Xn- pn.g)



Finalement :

On a ainsi déterminé la correction à appliquer au voisinage du point fixe et à chaque passage dans la section de Poincaré. Ainsi, au passage suivant, on revient au voisinage du point fixe et on est donc de nouveau dans les conditions d'application du contrôle



Application à l’attracteur de Lorentz

La section de Poincaré considérée ici est assez simple car elle est l'ensemble des points de l'attracteur tels que Z = Zmax.

Le paramètre de contrôle est Ra




Le contrôle se fait au voisinage du point fixe, il est donc nécessaire de le déterminer.Vu la structure de l'attracteur, trouver la valeur de la troisième coordonnée du point fixe permet de déterminer le point fixe dans la section de Poincaré. On utilise donc l'application de premier retour par rapport à la troisième coordonnée.



Calcul des perturbationsLa méthode OGY nécessite de déterminer les directions et valeurs propres de la matrice jacobienne A. Ici, les sections de Poincaré sont assimilables à des courbes: on ne s'intéresse qu'à une seule direction propre et on obtient directement la correctionOn détermine pour cela l'influence du paramètre de contrôle, Ra pour le système de Lorenz, sur le point fixe. Pour plusieurs valeurs du paramètre, on recherche le point fixe, tout comme précédemment. On génère alors plusieurs applications de premier retour.

Superposition de deux applications de premier retour du système de Lorenz (Ra = 28, en bleu, et Ra = 28.5, en vert). Recherche de deux points fixes et de l'influence du paramètre.




Connaissant l'influence du paramètre sur le point fixe et, par extension, sur les points au voisinage du point fixe, on est en mesure de déterminer quelle variation du paramètre doit être appliquée pour ramener, dans la section de Poincaré et au prochain passage, le point courant au point fixe


• Qu’est ce que le chaos ?• Pourquoi l’utiliser ?• Objectif de ce travail de thèse.

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Introduction

• Non sinusoïdaux => large spectre => robustesse au fading• Non périodiques =>séquences de longueur infinies =>sécurité de la

transmission• Quasi-orthogonaux =>grand nombre de séquences possibles=> augmentation du

nombre d’utilisateurs

• Remplacer des porteuses sinusoïdales par des signaux chaotiques.• Remplacer des codes d’étalement par des codes chaotiques.

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Avantage des signaux chaotiques

2 champs de recherche

Proposer un schéma de démodulation dans le cas d’une transmission multi-utilisateurs avec porteuse chaotique.

Contraintes:

• Discriminer chaque utilisateur.• Les conditions initiales de l’ émetteur ne sont pas connues au récepteur

Implantation d’un codeur/décodeur chaotique numérique autosynchronisant en présence de bruit.

Contraintes:

• Fonctionnement en temps réel et en présence de bruit• Implantation sur système embarqué

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PlanEtat de l’art

Synchronisation de porteuse chaotiques analogiques

Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques

Etude de la consommation en ressources électroniques

Conclusion.

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Etat de l’artSynchronisation de porteuses chaotiques analogiques

Synchronisation de générateurs quasi-chaotiquesEtude de la consommation en ressources électroniques

PlanEtat de l’art




Conclusion.

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84



•Les modulations analogiques•Les modulations numériques•Utilisation de codes d’étalement chaotiques

Etat de l’art

L. Pecora and T. Carroll. Synchronization in chaotic systems. Physical Review Letters, 64 :821–825, 1990.

• Première synchronisation

• Masquage chaotique

• Modulation d’état et démodulation par observateur

M.Itoh and H.Murakami. New communication systems via chaotic synchronizations and modulation. IEICE Trans. Fundam. Electron., Commun. Comput. Sci., E78-A(3) :285–290, 1995.

Observateur de Luenberger ou filtre de Kalman étendu.

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Les modulations analogiquesLes modulations numériquesUtilisation de codes d’étalement chaotiques



Démodulation avec un récepteur identique.Démodulation avec un récepteur dont les paramètres varient de 1%

Généralement la précision requise au niveau des paramètres du récepteur est supérieure à celle atteinte par les composants analogiques classiques

86




87




Etat de l’art


Etat de l’art : les modulations numériques

Principe: Remplacer les fonctions de bases sinusoïdales par des fonctions de base chaotiques

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Système à démodulation non-cohérente

1997 Chaotic ON OFF switch keying G. Kolumban, M.P.Kennedy, and G.Kis. Performance improvment of chaotic communications systems. Proc. European Conference on circuit Theory and Design, Budapest, pages 284–289, 1997.

1996 Chaos Shift Keying differentiel G. Kolumban, B. Vizvari, W. Schwar, and A. Abel. Differential chaos shift keying : A robust coding for chaos communication. PROC. IEEE Workshop on Nonlinear Dynam. Electon Syst., NDES’96 :87–92, 1996.

2007 Schéma à porteuses chaotiques et démodulation par régression

A. Buscarino, L. Fortuna, and M. Frasca. Separation and synchronization of chaotic signals by optimization. Phys. Rev. E, 75 :2007, 2007.

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Etat de l’art : les modulations numériques

Principe: Pour la démodulation cohérente, la porteuse chaotique doit être connue et synchronisée.

90





Système à démodulation cohérente

1993 CSK avec synchronisation maitre esclave

H.Dedieu, M.P.Kennedy, and M.Hasler. Chaos shift keying : modulation and demodulation of a chaotic carrier usi self-synchronising chua’s circuit. IEEE Trans. Circuit & Systs. Part IIAnalog and Digital Signal Processing, 40(10) :634–642, 1993.

2000 CSK avec détection par corrélation M.P. Kennedy, R. Rovatti, and G.Setti. Chaotic electronics in telecommunication.CRC press, 2000.

91




92




Etat de l’art

L’ étalement de spectre à séquence directe

L’idée de base est de remplacer les séquences binaires pseudo-aléatoires traditionnellement utilisées dans les systèmes à étalement de spectre par des séquences binaires ou multi niveaux issues de générateurs chaotiques.

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Etat de l’art : Des codes pour le CDMASystèmes à Etalement de spectre

1997 Etalement par séquencespar corrélation : chaotiques multi-niveaux

G. Mazzini, R. Rovatti, and G. Setti. Chaotic complex spreading sequences for asynchronous ds-cdma-part i : system modelling and results. IEEE Trans. Circuits Systems-I : Fundam. Theory Appl., 10 :937–947, 1997.

2007 Etalement par séquenceschaotiques multi-niveaux combinées à des séquences pilotes classiques.

B. Jovic, C. P. Unsworth, G.-S. Sandhu, and S.-M. Berbe. A robust sequence synchronization unit for multi-user ds-cdma chaos-based communication systems. Signal Processing, 87 :1692–1708, 2007.

2008 Etalement par séquenceschaotiques multi-niveaux combinées à des séquences pilotes classiques.

G.Kaddoum, P.Charge, D.Roviras, and D.Fournier-Prunaret. Chaos aided synchronizationfor asynchronous multi-user chaos-based ds-cdma. Proceedings of the 15th IEEE International Conference on Electronics Circuits, Malta, 2008.

94




PlanEtat de l’art.

En continu: Synchronisation par estimation des conditions initiales.

En discret : Synchronisation par une méthode ensembliste puis génétique.

Générer des séquences chaotiques: ressources consommées vs efficacité.

Conclusion.

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• U générateurs chaotiques sont utilisés pour étaler U messages; .• Tous les signaux étalés sont ajoutés;• Du bruit additif gaussien est ajouté au signal r(t);

Contexte de la transmission

Contexte de la transmissionL’algorithme d’estimation des CIParamétrisation du critère en fonction des CIRésultats




Contexte de la transmission

• Chaque signal chaotique est issu de la discrétisation du système d’équation suivant:

• Les systèmes sont déterministes et les trajectoires dépendent des conditions initiales

• Le récepteur connaît les équations de l’émetteur mais pas les conditions initiales.• Grâce à l’unicité des séquences chaotiques, l’estimation des conditions initiales

garantie la synchronisation.

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Objectif: estimer les condition initiales

• L’objectif est de retrouver les conditions initiales en minimisant une fonction de coût quadratique entre le signal reçu et le signal estimé.

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L’algorithme

Choisir des conditions initiales pour chaque utilisateur

Jouer la trajectoire pour chaque utilisateur

Calculer la somme de toutes ces trajectoires estimées

Etablir le critère quadratique entre la trajectoire estimée et le signal reçu

Estimer de nouvelles conditions initiales

Critère>Seuil

Synchronisation

Critère<Seuil

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L’algorithme

Choisir des conditions initiales pour chaque utilisateur

Jouer la trajectoire pour chaque utilisateur

Calculer la somme de toutes ces trajectoires estimées

Etablir le critère quadratique entre la trajectoire estimée et le signal reçu

Estimer de nouvelles conditions initiales

Critère>Seuil

Synchronisation

Critère<Seuil

100





Recherche par une méthode de descente à pas fixe: itération 1

=Signal transmis=Etats internes =Etats internes estimés

101







102







103







104







105





Objectif : trouver le lien entre et .

Paramétrisation du critère par rapport aux conditions initiales

Par discrétisation du système dynamique , on obtient l’ équation de récurrence:

Si le vecteur d’état subit une légère variation , on obtient:

Et en linéarisant:

Où

106





Paramétrisation du critère par rapport aux conditions initiales

Par propagation, on peut obtenir la variation de l’état à l’instant k en fonction de la variation de l’état initial:

107





Paramétrisation du critère par rapport aux conditions initialesEn cumulant le carré de écarts sur le scalaire transmis:

on obtient

Ce critère analytique peut être dérivé pour obtenir le gradient et le Hessien:

avec

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Méthode de descente de Levenberg Marquardt

109





Résultats

110





Résultats

111





Conclusion

• Minimisation du nombre d’itération• Possibilité de démoduler un signal bruité composé de 10 porteuses

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PlanEtat de l’art




Conclusion.

113



Objectif purement pratique.Implantation d’un codeur-décodeur chaotique auto synchronisant en présence de bruit.

•Encodage et Décodage temps réel

•Débit de 10 MChips/sec

•Séquence d’étalement multi-niveaux en filaire, séquence d’étalement binaire pour une transmission sans fil

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Contexte et objectifsL’algorithme de synchronisation ensemblisteL’algorithme de synchronisation génétiqueRéalisation pratique et résultats

Principe de l’autosynchronisation.

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Hypothèse de bruit borné

Transmission sur 256 niveaux à5 MSymboles/seconde

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Hypothèse de bruit borné

•En supposant le bruit borné, le nombre d’états possibles du codeur devient fini.

•Idée: tester tous les états simultanément et éliminer les états qui produisent une séquence incompatible avec les contraintes de bruit.

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Symboles émis: 100 200 144 33 66 132 8 17

Symboles reconstitués 106 202 134 23 64 131 5 26




L’algorithme ensemblisteDétermination d’un ensemble de candidats possibles suite à la

réception du premier symbole.

Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.

Réception du symbole suivant

Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du symbole estimé et symbole reçu

Synchronisation

Nombre candidats>1 Nombre candidats = 1

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Synchronisation


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Synchronisation


122

Illustration de l’algorithme pour un système de Frey d’ordre 2

Ensemble des vecteurs possibles ayant produit le symbole y(k) représenté sur le plan de phase

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Ensemble des vecteurs possibles représenté sur le plan de phase en supposant un bruit borné

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Intersection entre l’ ensemble les vecteurs possibles estimés et les échantillons réellement reçus y(k-1) et y(k-2).

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Détermination d’un ensemble de candidats possibles suite à la réception du premier symbole.




Synchronisation



126





Intersection entre l’image de l’ ensemble les états possibles et les états ayant pu produire y(k+1)

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Synchronisation



128








Synchronisation



129





Les trajectoires sont calculées pour tous les états possibles, celles qui sortent des bornes sont éliminées.

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Avec un bruit de +-100 niveaux, pendant les 5 premières itérations, la population d’ états à traiter est supérieure à 10.000.

131




Evolution de l’algorithme ensembliste vers un algorithme génétique





Synchronisation


132





Détermination d’un ensemble fixe de candidats suite à la réception du premier symbole.



Remplacement des plus mauvais candidats par de nouveaux candidats

Synchronisation

Critère d’arrêt à itération fixé

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Remplacement des plus mauvais candidats par de nouveaux candidats

Synchronisation


134







Réception du symbole suivant.

Remplacement des plus mauvais candidats par de nouveaux candidats.

Synchronisation


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Les niveaux sont codés en binaire: Le critère de sélection est basé sur la distance de hamming entre le symbole reçu et le symbole estimé.

Remarque: la distance de Hamming est cumulée au fur et à mesure des échantillons reçus. p est la durée de vie du candidatLe réel γ sert à donner du poids aux candidats âgés, c’est à dire adaptés à la sélection.

• Les nouveaux vecteurs candidats sont générés à partir du nouvel échantillon reçu et des états des meilleurs candidats.

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Resultats

Nombre de synchronisation réussie après 20 itérations en fonction du taux d’erreur binaire. La population est de 37 candidats.

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Implantation

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Avec combien de candidats peut on travailler simultanément:

Capacité de traitement: 1 candidat

Capacité de traitement: 64 candidats

Capacité de traitement: 128 candidats 139




Avec combien de candidats peut on travailler simultanément



Capacité de traitement: 1024 candidats 140




Conclusion

• Méthode viable permettant la synchronisation• Possibilité de discriminer plusieurs utilisateurs

• Il faut pouvoir lire les chips, alors que dans un récepteur à corrélateur classique, il faut connaître la séquence émise pour pouvoir aller la chercher dans le bruit.

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PlanEtat de l’art.


En discret : Synchronisation par une méthode ensembliste puis génétique.

Générer des séquences chaotiques: ressources consommées vs efficacité.

Conclusion.

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Contexte : DCS-CDMAImplantation et efficacité de l’alignement de codeConclusion

Objectif:

• Implanter différents générateurs de séquences chaotiques• Mesurer la « quantité de silicium » nécessaire à la réalisation• Mesurer l’efficacité des séquences produites dans un contexte de transmission multi-

utilisateur.

Le contexte du CDMA synchrone (de la station de base vers les terminaux)

Idée de Jovic :

• Attribuer à chaque utilisateur une séquence chaotique multiniveaux

• Utiliser une séquence binaire de Gold commune à tous les utilisateurs pour réaliser l’alignement de code et la poursuite.

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Schéma proposé par Jovic (2007) pour une liaison DCS-CDMA synchrone

Signal d’information binairede l’utilisateur 1

Générateur chaotique 1

Signal d’information binairede l’utilisateur N

Générateur chaotique N

Générateur d’une séquence pilote binaire de Gold

Vers filtrage et modulation

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Mesure de l’intercorrélation entre les séquences chaotiques et les séquences de gold

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Mesure de l’intercorrélation entre les séquences chaotiques et les séquences de gold

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Résultats

Séquence Log.8 Log.16 Log.32 Frey .8 Frey.16 Frey.32Nb cellules 69 221 849 16 32 64

Nb multiplieurs câblés 0 2 8 0 0 0

Probabilité de synchronisation en fonction du seuil de détection pour 1 utilisateur avec un SNR de -15 dB:

Les performances différent de 5%

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Conclusion:

A titre de comparaison sur un composant actuel:

Capacité d’un FPGA Stratix de chez ALTERA

• ≈1500 codeurs de Frey sur 64 bits• ≈15 codeurs basés sur la fonction logistique 32 bits

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• Dans le cadre où la porteuse est chaotique analogique:

Proposition d’un schéma de synchronisation itératif par estimation des conditions initiales avec possibilité de discriminer plusieurs utilisateurs.

Dans le cadre où la porteuse est sinusoïdale et étalée par un code binaire chaotique:Proposition et réalisation d’un schéma de synchronisation avec estimation

en temps réel de l’état du codeur

Dans le cadre où la porteuse est sinusoïdale, mais étalée par un code binaire chaotique dans contexte multi-utilisateurs existant:

Etude sur les ressources électroniques consommées en fonction de l’efficacité en terme de synchronisation

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CONCLUSION

• Dans le cadre où la porteuse est chaotique analogique:Comparer les approches estimateur/observateur en présence de bruit et dans le cas multi-utilisateurs.

Dans le cadre où la porteuse est sinusoïdale et étalée par un code binaire chaotique:Estimer les états de chacun des générateurs de séquence d’étalement en temps réel par une

approche génétique dans le cas multi-utilisateurs.

Dans le cadre où la porteuse est sinusoïdale, mais étalée par un code binaire chaotique dans contexte multi-utilisateurs existant:

Implanter une plate-forme de test de DCS-CDMA avec séquence pilote

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CONCLUSION

cours commande robuste multi-variables application au chaos launay frédéric 2 mars 2011

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