cours auti

23/04/2012

1

Discipline: Automatique I

ESPRIT 2010-2011

Ouvrage de Référence

Mekki KSOURIProfesseur à l'École Nationale d'Ingénieurs de Tunis

Pierre BORNEProfesseur à l'École Centrale de Lille

Logiciel de Base

http://www.mathworks.com

� Chapitre I

Introduction� Chapitre II

Représentation Fréquentielle Des Systèmes Continus Linéaires : Transformée De Laplace

� Chapitre III

Étude Temporelle Des Systèmes Continus Linéaires� Chapitre IV

Approche Harmonique Des Systèmes Linéaires� Chapitre V

Analyse Des Systèmes Asservis Linéaires Continus

Contenu du Cours

23/04/2012

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Plan du Chapitre:

1. Systèmes continus linéaires

2. Systèmes asservis

3. Applications

Introduction

S Y S T È M E S C O N T I N U S L I N É A I R E S

Les Systèmes Continus Linéaires sont dessystèmes dont l'évolution peut être décrite par unsystème d'équations différentielles à coefficientsconstants.

∑ � � ∗� ��

�� =∑ � ∗

� ��

�� avec(m<n)

Introduction1. Systèmes continus

linéaires2. Systèmes asservis3. Applications

Systèmes



Ensemble d’éléments, en interactiondynamique organisés pour satisfaireun besoin et atteindre un objectif.

Un système peut posséder plusieurs entrées (causes) etplusieurs sorties (effets). Il est représenté par un bloccontenant le nom du système.

Systèmee1(t) s(t)en(t)e(t)

Systèmes

Introduction

continus


2. Systèmes asservis3. Applications

� Un système est continu, par opposition à un systèmediscret, lorsque les variations des grandeurs physiquessont définies à chaque instant (ils sont caractérisés pardes fonctions continues).

� On parle aussi dans ce cas de système analogique.

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Systèmes

Introduction

Linéaires



Continus

Un système est dit linéaire si la fonctionqui décrit son comportement est elle-même linéaire. Cette dernière vérifie alorsles principes de proportionnalité et desuperposition.



�Proportionnalité

Systèmes LinéairesContinus



�Superposition

Systèmes LinéairesContinusInvariance dans le temps:

Un système est dit invariant si on suppose que les caractéristiques du système (masse, dimensions, résistance, impédance, ...) ne varient pas au cours du temps ("le système ne vieillit pas").



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� Régulation et asservissement

� Régulation :

On appelle régulation, un système asservi qui doit maintenir constante la sortie conformément à la consigne (constante) indépendamment des perturbations.

Ex: Régulation de température

� Asservissement :

On appelle asservissement, un système asservi dont la sortie doit suivre le plus fidèlement possible la consigne(consigne variable).

Ex: suivi de trajectoire



� Exercice d’Application (1/ 4)Si s1(t) est solution de l’équation:

∑ � � ∗� ��

�� =∑ � ∗

� ��

�� avec(m<n)

Que peut-on dire de s1(t-τ)?



� Exercice d’Application (2/ 4) (Extrait de l’ouvrage de référence)

On lui applique successivement, à conditions initiales nulles les entrées suivantes :



Calculer les sorties?

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� Exercice d’Application (3/ 4)



x3(t)

Déterminer la loi de mouvement de la sortie x3(t).

x2(t)x1(t)

� Exercice d’Application (4/ 4)

F i l t r e P a s s e B a s

Introduction

Ve(t) est un signal sinusoïdal, d’amplitude E et de fréquence F. réglable

1. Déterminer la tension capacitive pour une entrée de fréquence fixe.

2. Déterminer cette tension pour une entrée de fréquence variable.



� Possibilité d’avoir d’autres domaines de représentation d’un signal:

Temporel, Fréquentiel, etc.

� Caractériser un système

Rapport Sortie-Entrée ≡ Fonction de Transfert Entrée � Sortie

� Analyser un système

Conclusions à Tirer: Chapitre II

Représentation Fréquentielle Des Systèmes Continus Linéaires : Transformée De Laplace

1. Définition

2. Propriétés de la transformée de Laplace

3. Transformées de Laplace des signaux usuels

4. Fonction de transfert

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CHAP II

REPRÉSENTATION FRÉQUENTIELLE

DES SYSTÈMES CONTINUS LINÉAIRES

TRANSFORMÉE DE LAPLACE

21

TRANSFORMÉE DE LAPLACE

Plan du Chapitre:

1. Définition

2. Propriétés de la transformée de Laplace

3. Transformées de Laplace des signaux usuels

4. Fonction de transfert

22

Transformée de Laplace

Définition:

Elle permet une représentation simplifiée des systèmes linéaires dont l'évolution est régie par une équation

différentielle.

Transformée inverse:

1. Définition2. Propriétés3. Transformées de Laplace

des signaux usuels4. Fonction de transfert

( ) ∫∞ −==

dtptv(t)ev(t)pV

0)( L

( ) ∫∞+

∞−==

j )()()(

jdpptepVpVtv 1-L

23


Propriétés:

• Linéarité:

• Dérivation:

• Intégration:



( ) )()()( pYpXy(t)tx βαβα +=+L

( ) )0()0()0()( )1()1(21)( +−+−+− −−−−= kkkkk xxpxppXp(t)x LL

p

pXdx

t )()(

0

=

∫ λλL

24

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7


Propriétés:

• Théorème de la valeur initiale:

• Théorème de la valeur finale:

• Retard T:

• Convolution:



)(lim)0( ppXxp ∞→

+ =

)(lim)(lim0

ppXtxpt →∞→

=

( ) )( pXeT)x(t pT−=−L

)()()()()()(

0

0

pYpXdtxydtyx =

−=

− ∫∫

∞∞

ττττττ LL

25


Transformées des signaux usuels:

Les signaux les plus utilisés en automatique sont

• l'impulsion de Dirac

• l'échelon de position,

• l'échelon de vitesse ou rampe

• la sinusoïde.



26


Impulsion de Dirac δδδδ(t–t0):

d(t) = 0 si t ≠ 0 ,



1)( =∫+∞

∞−

dttδ

( ) 1 =(t)δL( ) pte)t(t 0

0 −=−δL

27


Echelon:Notons Γ(t) l'échelon d'amplitude unité à l'instant

t = 0:

Γ(t) = 0 pour t < 0

Γ(t) = 1 pour t ≥ 0



( )p

p(t)1

)( =Γ=ΓL

28

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8


Echelon retardé:



( )p

e)t(t

pt0

0 −

=−ΓL

29


Réponse indicielle unitaire d'un processus:

C’est la réponse à une entrée de type échelon unité en partant de conditions initiales nulles.



SYSTÈME

30


Rampe:

v(t) = 0 pour t < 0

v(t) = a.t pour t ≥ 0



31


Signal sinusoïdal:

v(t) = 0 pour t < 0

v(t) = sin(w t) pour t > 0



( ) 22 ω

ω+

=p

(t)vL

32

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9


Considérons une équation différentielle de la forme :

a0y + a1y(1) + a2y(2) + …+ an–1y(n–1) + y(n) =

b0u + b1u(1) +…+bmu(m)



33

nnn

mm

ppapaa

pbpbb

pU

pY

+++++++

= −−

1110

10

...

...

)(

)(L


D’où:

y(t) = L–1(F(p) U(p))



34

Y(p) = F(p) U(p)

nnn

mm

ppapaa

pbpbbpF

+++++++= −−

1110

10

...

...)(




35

0...10 =+++ mm pbpbb 0... 1

110 =++++ −−

nnn ppapaa

nnn

mm

ppapaa

pbpbbpF

+++++++= −−

1110

10

...

...)(


Si u(t) = δ(t) ; U(p) = δ (p) = 1

alors Y(p) = F(p)

La fonction de transfert d'un processus est donc la transformée de Laplace de sa réponse impulsionnelle.



36

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10




37




38


Calculer la réponse indicielle à un échelon d'amplitude a du système de transmittance :

en partant de la condition initiale y(0) = y0.



39

pU

Y

1

1

τ+=


Calculer les réponses indicielles unitaires des systèmes de transmittances (MATLAB):



40

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11


On considère le système d'équations suivant :

On demande d'écrire l'équation différentielle reliant y à u en éliminant y1.



41

ESPRIT 2010-2011

Étude Temporelle Des Systèmes Continus Linéaires

Discipline : Automatique I

Chapitre III :

[AUT97] Automatique des systèmes continus, C. SUEUR, P. VANHEEGHE, P. BORNE, 1997, Editions TECHNIP, Paris.

[WEB10] http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/equadiff/equadiff.html

ESPRIT 43

Références Bibliographiques et Netographie

Ouvrages à consulter:

1. Régulation industrielle, Problèmes résolus, M. Ksouri, P. Borne, 1997, Editions TECHNIP, Paris.

2. Automatique de base, P. Siarry, 1989, Ellipses.

Plan du Chapitre:

1. Cas général

2. Systèmes du premier ordre

3. Systèmes du deuxième ordre

Introduction

44

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12

Mise en équation d’un système continu linéaire d’ordre quelconque

∑ � � ∗� ��

�� =∑ � ∗

� ��

�� avec(m<n)

Soit dans le domaine symbolique de Laplace

Rappel

ESPRIT 45

Systèmee(t) s(t)

f�t*u�t

g(t)=��

��

F�p=� � � !"�#�$

%

G�p=pk*F�p-∑ )* + , + 1 ∗

��,�0/0!1

2�%


1. Cas général2. Systèmes du premier ordre3. Systèmes du deuxième ordre

Résultat (� 3��

4

�� 3 =0 ∀6 ∈ 80. . �* + 1:)

H�pH�pH�pH�p====<8��:

<8��:====

=�>

? > ====

∑ @ A∗>A B

AC�

∑ D E∗>E F

EC�

But à atteindreDéterminer l’évolution temporelle de la sortie: s(t)

Principe général

« Le comportement temporel d'un système d'ordre quelconque s'étudie en décomposant sa fonction de transfert en éléments simples et en superposant les effets de l'entrée envisagée sur chacun d'entre eux. » [AUT97]

ESPRIT 46




47


Système du premier ordre?

Un système continu linéaire d’entrée xxxx et de sortie yyyy est dit du

premier ordre s’il est régi par une équation différentielle à

coefficients constants du type:

: Constante de temps du système (homogène à un temps)

K : Gain statique du système (gain en régime permanent)

τ

xKydt

dy.. =+τ

En passant au domaine de Laplace domaine de Laplace domaine de Laplace domaine de Laplace :

L’équation devient:

xKydt

dy.. =+τ

)(

)(

)0()(.

pXx

pYy

YpYpdt

dy

→→

−→

)(.)()0(.)(. pXKpYYppY =+−ττ



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Réponse du système en utilisant la transformée de Laplace :Réponse du système en utilisant la transformée de Laplace :Réponse du système en utilisant la transformée de Laplace :Réponse du système en utilisant la transformée de Laplace :

En tenant compte des CI:

D’où :

0=x

)0(1

)(1

)( Yp

pXp

KpY

ττ

τ ++

+=

)]0(.1

[)](1

[)( 11 Yp

pXp

Kty LL τ

ττ +

++

= −−

Réponse libreRéponse forcéeRéponse du Sys.

Résultat de l’action de sollicitation

)(.)()0(.)(. pXKpYYppY =+−ττ

L-1



Réponse indicielle unitaire:Réponse indicielle unitaire:Réponse indicielle unitaire:Réponse indicielle unitaire:

Entrée: Echelon unitaire

d’où :

=1

0)(tu

=p

pU 1

0

)(Si

Si

Si

Si

0≤t

0ft 0ft

0≤tL

u

t

1

).1(.

).1()().()(

p

K

p

K

pp

KpUpHpY

ττ

τ +−=

+==

)(..)(.)( tuK

tuKty et

τττ −−=



Conditions initiales nulles:

Fonction de transfert:

D’où la fonction de transfert d’un Sys. 1er ordre s’écrit :

Elle admet un pôle simple:

xKydt

dy.. =+τ )(.)()(. pXKpYppY =+τL

)()(

)(pX

pYpH =

p

KpH

.1)(

τ+=

τ1−





�On appelle réponse indicielle, la réponse temporelleà un échelon pour un système linéaire initialement aurepos. Cette réponse se compose de deux parties, lapremière correspond au régime transitoire, la secondeau régime permanent.

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Réponse indicielle unitaire:Réponse indicielle unitaire:Réponse indicielle unitaire:Réponse indicielle unitaire:

Réponse: pour t>0

: constante du temps

tr: Temps de stabilisation

à 5% de la valeur finale

�Pour un échelon non unitaire de valeur E, le système se stabilise en K.E:

)()1()( tuKty et

τ−−=

K u(t)

τ t

y(t)

tr

τ

τ.3≈tr



Exercice d’application:

Soit le système mécanique présenté comme suit:

Fr

fr

Masse M

Fr

fr

:Force appliquée

:Force de frottement

1) En appliquant le PFD, déterminer

l’équation différentielle reliant la

vitessevitessevitessevitesse de déplacement de la masse M

et la force .

Quel est l’ordre de ce système?

2) Donner l’expression de la fonction de

transfert correspondante notée G(p).

3) On donne: M= 500 Kg ; f=5 ; F= 10N

Calculer la constante du temps τ et le

gain statique K de ce système.

Fr

vhfrr

.−=




55


Système de second ordre (m=0; n=2)

G � H

I H ====

�

� J∗ HJ4� K∗ H4� �

G � H

I H ====

LM �J

H J4JNM �H4M �J

Pulsation propre/ Pulsation naturelle

Coefficient d’amortissementGain statique

Mise en situation

Réponse indicielle d’un système continu linéaire de second ordre

ESPRIT 56

∑ � � ∗� ��

� � �J�� =b=b=b=b 0000 * e ( t )* e ( t )* e ( t )* e ( t )

G ( H )

I H ====

LM�J

H J4JNM�H4M

�J

Domaine Temporel

Domaine de Laplace



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Méthodologie de résolution

T(p) = p2 / 2ξω0p / ω02

∆′ = 2ξ2ω02-2ω0

2

= 2ω02(ξ2-1)

Soit Sh={p/ T(p)=0}

57



VWBDEFXYXZ Signe de ∆ Sh Régime

ξ >1 ∆ > 0 Deux solutions réelles

Apériodique

ξ =1 ∆ = 0 Racine double Critique

0 < ξ [ 1 ∆[ 0 Deux racines complexes conjuguées

Pseudopériodique

ξ =0 ∆ < 0 Deux racines imaginaires pures

conjuguées

Oscillatoire

ESPRIT 58

Tableau Récapitulatif



Régime Apériodique (ξ>1)

Sh={(p1, p2)∈ \]\}

p1=- ^_ 0 / _ ^ 2+1;p2=- ^_ 0 / _ ^ 2+1

(p1>p2)

On pose p1=-1

a1et p2=-

1

ab

ESPRIT 59

p1p2=1

a1ab

= _ 02 p1/p2= +2^_ 0 p1-p2=

a1!a

b

a1ab

= 2_0 ^ 2+1



Régime Apériodique (suite)

Décomposition de S(p) en éléments simples

S(p)=H(p)E(p)

=ef

%b

gb4bhf%g4f

%b

i%

g

=j

g/

k1

g!g1/

kb

g!gb

• Déterminons les coefficients α, β1etβ2

o=p*S(p) |p=0=qr 0

ESPRIT 60



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� s 1= (p-p1)S(p) |p = p 1=

t u%

b v%

"1("

1!"

b)

= a

1ba

bt u

%b v

%

(ab!a

1)

� s 2= (p-p2)S(p) |p = p 2=

t u%

b v%

"b("

b!"

1)

= a

bba

1t u

%b v

%

(a1!a

b)

ESPRIT 61

s 1 =w1

q r 0

(w2 + w1)

s 2 =w2

q r 0

(w1 + w2)

o = q r 0




S(p)=j

g/

k1

g ! g1

/k

b

g ! gb

s(t)=[α / β 1e!

z

{| / β 2e

!z

{} ]u(t)

ESPRIT 62

s(t)=KE0[1 /1

(�b!�

1)

[ τ 1e!

z

{| + τ 2e

!z

{} ]]u(t)

L-1

{}




Calcul des dérivées temporelles successives

� s(t)=KE0[1 /1

(�b!�

1)

[ τ 1e!

z

{| + τ 2e

!z

{} ]]u(t)

� s’(t)=KE0

(�b!�

1)

[ e!

z

{} + e

!z

{| ]u(t)

� s’’(t)=KE0

�1�

b(�

b!�

1)

[ τ 2e!

z

{| + τ 1e

!z

{} ]u(t)

ESPRIT 63




Propriétés graphiques particulières

Valeur Initiale s(0) = 0 (s(0)=,��$

)�()))

Valeur Finale s(∞) = KE0 (s(∞)=,��%

)�()))

Tangente Horizontale ∆: � � = �� 0 � / �(0)

∆: � � = 0

ESPRIT 64



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Point d’Inflexion M(TM, SM)/ {s’’(TM)=0 et SM=s(t=TM)}

�b��

��b= 0 � w 2

!�

�| + w 1

!�

�} = 0

�

SM = s(t=TM)=KE0[1 +1

(�b!�

1)

[ τ 1e!

��

{| + τ 2e

!�

�

{} ]]

ESPRIT 65

TM = a

1a

b

ab!a

1

Ln(a

b

a1

)




Allure de la courbe traduisant les variations temporelles du signal de sortie

ESPRIT 66



Exercice Récapitulatif (1/2)

ESPRIT 67

� Présentation du système physique

F

F

C

KK

J

L/4 L/4

L/2 L/2

Ө

G

� Caractéristiques du système

J: Moment d’inertie du système

F: Effort d’excitation

C: Frottement visqueux

L: Longueur de la poutre

K: Raideur du ressort

�: Angle d’excitation


� Enoncé de l’exercice

� Appliquer le principe fondamental de la dynamique relatif aux champs des moments au centre du gravité du système, c.-à-d. au point G.

� Transformer l’équation dans le domaine symbolique de Laplace.

� Déterminer le coefficient d’amortissement ξ, la pulsation propre ω0 et le gain statique.

� Donner l’allure de l’évolution temporelle de Ө(t) pour une excitation indicielle de courte durée.

� Corrigé de l’exercice

ESPRIT 68

Exercice Récapitulatif (2/2)1. Cas général2. Systèmes du premier ordre3. Systèmes du deuxième ordre

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18

ESPRIT 69

Exemple d’un modèle électrique (cas d’un MCC)Étude Temporelle Des Systèmes Continus Linéaires

70



71

De la même façon, on montre que:

� ξ > 1

� ξ = 1

� ξ < 1

−−

−=−−

21

2

121

1)(ττττ ττ

tt

eekty

+−=−

τ

τ

t

et

kty

11)(

+

−−= − )sin(

1

11)(

2ϕω

ζωζ tekty p

tn

ζζ

ζϕ arccos

1 2

=−

= arctg



72


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19


73

Pour ξ < 1, l'instant t1 du premier dépassement D1, s'appelle temps de pic ( tp).

Pour ξ = 0.7, le temps de pic est le plus court et le système admet un seul dépassement, inférieur à 4% de la réponse finale.


21

max1 )(

)((%) ζ

ζπ

−−

=∞

∞−= ey

yyD

21

2

2

1 ζ

ζπ

−= eD

D

ppt

ωπ=

p

ttωπ2

12 =−

� Différents cas d'excitation [WEB10]

ESPRIT 74




75

Applications

Application N°1:

76

Calculer les réponses indicielles unitaires des systèmes suivants :

( ) ( )ppppH

21 1

1)(1 ++=

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20

Application N°2:

77

Calculer la réponse impulsionnelle unitaire des systèmes suivants :

( ) ( )1 5.0

1)(

21 +++=

ppppH

Application N°3: (Système à Déphasage Non Minimale)

78

On considère le système de transmittance :

Calculer et représenter sa réponse indicielle unitaire.Préciser la valeur de la dérivée à l'origine. Conclure.

( ) ( )pp

ppH

21 1

1)(

++−=

Application N°4:

79

On considère le filtre RC suivant :

Le condensateur étant initialement déchargé, on ferme l'interrupteur K à l'instant t = 0. Calculer et représenter la sortie y(t). préciser la valeur en régime permanent de l'amplitude du signal y.

Application N°5:

80

Les courbes des figures suivantes correspondent àdes réponses indicielles unitaires de systèmesd'ordre inférieur à 3. On demande d'identifier danschaque cas le système correspondant.

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21

Application N°5 (Suite):

81

Application N°5 (Suite): :

82


83


84

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22

Chapitre IV

Approche harmonique des systèmes linéaires

1. Principe

2. Systèmes du premier ordre

3. Systèmes du deuxième ordre

85

CHAP IV

ANALYSE DES SYSTÈMES ASSERVIS LINÉAIRES CONTINUS

86

ANALYSE DES SYSTÈMES ASSERVIS LINÉAIRES CONTINUS

Plan du Chapitre:

1. Définition d’un système asservi

2. Schéma fonctionnel et Fonction de transfert

3. Performances d’un système asservi

87

Analyse des SAL

Définition:

Un système asservi est un système dont une variable de sortie suit plus précisément que possible une variable d’entrée dite consigne, quelque soit l’effet des perturbations extérieures.

On parle de: Régulation

Poursuite

C’est un système qui fonctionne en boucle fermée

1. Définition d’un SAL2. Schéma fonctionnel et FT3. Performances des SAL

88

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23

Analyse des SAL1. Définition d’un SAL2. Schéma fonctionnel et FT3. Performances des SAL

89

systèmes à retour unitaire:

Fonction de transfert en Boucle fermée


90

systèmes à retour non unitaire:

Fonction de transfert en Boucle Fermée


91

Prise en compte des perturbations:

Fonction de transfert en Boucle fermée


92

Pour assurer le bon fonctionnement d’un système asservi, il faut garantir les 3 performances:

StabilitéStabilitéStabilitéStabilité

PrécisionPrécisionPrécisionPrécision

RapiditéRapiditéRapiditéRapidité

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24


93

• Définition de la STABILITE:

C’est la propriété physique selon laquelle, un système écarté de sa position d’équilibre initiale par une sollicitation extérieure, revient à sa position initiale dès que cette perturbation cesse.


94

• Stabilité des systèmes asservis:

Un système est stable si à une entrée finie correspond une sortie finie:


95

Plusieurs méthodes existent pour vérifier la stabilité des systèmes asservis et qui peuvent s’effectuer dans le domaine temporel ou fréquentiel (Bode, Nyquist,…)


96

Un système est dit stable si toutes les racines de son équation caractéristique sont à parties réelles parties réelles parties réelles parties réelles strictement négativesstrictement négativesstrictement négativesstrictement négatives

RemarqueRemarqueRemarqueRemarque: On a besoin de connaitre les pôles du : On a besoin de connaitre les pôles du : On a besoin de connaitre les pôles du : On a besoin de connaitre les pôles du système pour l’analyse de stabilité.système pour l’analyse de stabilité.système pour l’analyse de stabilité.système pour l’analyse de stabilité.

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25


97


98

On appelle critère de Routh un critère algébrique permettant d’évaluer la stabilité d’un système sans connaitre ses pôles, à partir des coefficients du dénominateur D(p) de sa fonction de transfert en boucle fermée (FTBF).


99

H(p) est la fonction de transfert du système bouclé:


100

Enoncé du critère:Enoncé du critère:Enoncé du critère:Enoncé du critère:

Le système est stable si et seulement si

tous les termes de la première colonne sont strictement positifs

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101

Exemple1 :Exemple1 :Exemple1 :Exemple1 :


102

Exemple 2:Exemple 2:Exemple 2:Exemple 2:

G(p)=

Changement de signe système instable


103

Exemple 3:Exemple 3:Exemple 3:Exemple 3:


104

• Précision des systèmes asservis:

� La précision est caractérisée par l’erreur permanentel’erreur permanentel’erreur permanentel’erreur permanente, qui est la différence entre la consigne et la sortie du système obtenue.

� Le système est d’autant précis que cet écart tend vers 0.

� Pour l’étude de la précision statique d’un système asservi, nous allons, pour une entrée bien définie, déterminer l’erreur qui en résultera.

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Erreur Statique (Erreur en régime permanent):L’écart en régime permanent est la limite quand t tend vers l’infini de e(t)-s(t).

ε ∞ = lim�→$

�� = � + ��


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• Précision des systèmes asservis:Nous supposerons pour la suite que le système est stable, donc nous pouvons utilisez le théorème de la valeur finale:

On le voit l’erreur statique dépend de la nature de l’entrée mais aussi de la fonction de transfert en boucle ouverte.Nous allons dans la suite étudier l’erreur indicielle d’un système asservi.

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Réponse indicielle: erreur indicielle:


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Réponse indicielle: erreur indicielle:


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cours auti

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