corso tecnologie dei sistemi di controllo controllo...

Corso

Tecnologie dei Sistemi di Controllo

Controllo PID

Ing. Valerio Scordamaglia

Università “Mediterranea” di Reggio Calabria,

Loc. Feo di Vito, 89060, RC, Italia

D.I.M.E.T. : Dipartimento di Informatica, Matematica, Elettronica e

Trasporti

Lezione 17 Giugno 2009 Ing.Valerio ScordamagliaTecnologie dei Sistemi di Controllo

Struttura PID ideale

Il controllo PID ha la seguente relazione ingresso-uscita:

0

( )( ) ( ) ( )

t

P I D

t

de tu t K e t K e d K

dt

KP , KI e KD sono costanti potenzialmente nulle

KP è detto coefficiente dell’azione proporzionale, KI è detto coefficiente dell’azione

integrale e KD è detto coefficiente dell’azione derivativa.

Un PID è un sistema SISO, lineare, stazionario, a tempo continuo, improprio.

Supponendo e(t0)=0 è possibile scrivere la relazione ingresso uscita nel dominio di

Laplace: 2

( ) I D P IPID P DK K s K s K

R s K K ss s

L’azione integrale garantisce errore nullo a fronte di segnali di riferimento costanti ,

mentre l’azione derivativa introduce uno zero, che a sua volta genera un anticipo di fase e

quindi una maggiore prontezza del sistema di controllo.

Ing.Valerio ScordamagliaTecnologie dei Sistemi di Controllo

Struttura PID ideale

Di seguito è riportato lo schema a blocchi di un PID ideale:

P P

II

D D

R K

KR

s

R K s

2 11( ) (1 ) I D IPID P D P

I I

T T s T sR s K T s K

T s T s

Una diversa rappresentazione dei PID è la seguente:

/I P IT K K /D D PT K Kè detto tempo integrale e è detto tempo derivativo

Lezione 17 Giugno 2009


Struttura PID reale

Il PID ideale è un sistema con due zeri a parte reale negativa ed un solo polo

nell’origine (improprio). Per questo motivo nella pratica l’azione derivativa è

ottenuta per mezzo della seguente funzione di trasferimento:

1 1

a P D DD

D D

P

K T s K sR

T Ks s

N K N

dove N è scelta in modo che il polo , aggiunto per la realizzabilità, sia

all’esterno della banda di frequenze di interesse del controllo .

Valori tipici sono da 5 a 20. Il PID in forma reale ha la seguente struttura:

/ Ds N T

1( ) (1 )

1 1

a D I DPID P P

D DI

P

T K K sR s K s K

T KT s ss s

N K N


0

10

20

30

40

50

60

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

103

-90

-45

0

45

90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

PID ideale

PID reale N=20

N=14

N=11

N=9

N=7

N=6.5

N=6

N=5


Struttura PID reale

Di seguito è riportato il diagramma di bode del PID ideale (blu) e del PID reale al

variare di N.



Casi Particolari

1( ) (1 )

1 1

a D I DPID P P

D DI

P

T K K sR s K s K

T KT s ss s

N K N

Regolatore Proporzionale. Ponendo KI=KD=0 ,il PID può essere utilizzato come un

semplice regolatore proporzionale con funzione di trasferimento RP=KP . L’impiego di

un regolatore proporzionale è normalmente limitato al controllo di processi

asintoticamente stabili nel caso in cui le prestazioni non rendano necessario

l’inserimento di azioni integrali

Regolatore Integrale. Ponendo KP=KD=0 ,il PID esercita un’azione di tipo integrale.

Questi regolatori sono utilizzati quando è necessario un’azione integrale per il

soddisfacimento dei requisiti sull’errore a transitorio esaurito, ma non si richiedono

prestazioni elevate in termini di velocità di risposta del sistema.

Regolatore PI. Ponendo KD=0 il PID assume la seguente struttura (rete ritardatrice)

…….

1( ) P I IPI P

I

K s K T sR s K

s T s



Casi Particolari

….. con un polo nell’origine e uno zero in s=-1/TI.I regolatori PI vengono impiegati quando è indispensabile l’azione integrale per le

prestazioni statiche, ma è necessaria anche la presenza di uno zero per avere una

banda passante più ampia rispetto a quella ottenibile con un semplice regolatore

integrale.

Regolatore PD. Ponendo KI=0 , il PID assume la seguente struttura (rete

anticipatrice).

( )

1 1

P P DDPD P

K K K sK sR s K

s s

= D

P

K

K Ncon

In generale l’impiego di un simile controllore è tipico in quei casi in cui non vi siano

problemi di stabilità o di prestazioni statiche, ma sia necessario ottenere la banda

passante più ampia possibile

Regolatore PID. I PID hanno un polo nell’origine del piano complesso e nella loro

forma ideale , due zeri in posizione (particolare tipo di rete a sella):

( 4 )

2

I I I D

I D

T T T Ts

T T

Se TI≥4TD gli zeri sono reali. Quando TI =4TD gli zeri sono coincidenti

s=-1/2TD . Quest’ultima scelta è spesso effettuata per semplificare la

taratura automatica



Limitazione dell’azione derivativa

Nel classico schema di controllo in retroazione,

l’azione derivativa è effettuata sull’errore e. In

questo caso, in presenza di uno un riferimento

discontinuo (es. gradino), l’uscita del derivatore

e di conseguenza la variabile di controllo

assume un andamento di tipo impulsivo.

Per evitare possibili problemi, frequentemente

l’azione derivativa è esercitata sulla sola

variabile di uscita y.


-100

-50

0

50

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 51.8 deg (at 0.786 rad/sec)

Frequency (rad/sec)


Esempio (Bolzern Es. 14.1)

Si consideri la seguente f.d.t:

3

1( )

1G s

s

Siano:

221 1

1 ( ) ( ) ( ) ( )1

1

P

I PID PID

D

Ks

K R s L s R s G ss s s

K


-150

-100

-50

0

50

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Gm = 21.4 dB (at 3.53 rad/sec) , Pm = 51.4 deg (at 0.804 rad/sec)

Frequency (rad/sec)



2

1 1( ) 2 ...

1 1 0.1

5

P

I a

PID

D

K

K sR s

K s s

N

2

3

1.2 2.1 1... ( ) ( ) ( )

(1 0.1 )(1 )

a

PID

s sL s R s G s

s s s




1( ) 2

1 0.1

a

PID

sR s

s s

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

12




1( ) 2

1 0.1

a

PID

sR s

s s

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5


0

10

20

30

40

50

60

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

103

-90

-45

0

45

90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

PID ideale

PID reale N=20

N=14

N=11

N=9

N=7

N=6.5

N=6

N=5


Limitazione dell’azione derivativa

Per quanto riguarda la scelta del parametro N , si osservi che al crescere di N il PID reale

tende al comportamento del PID ideale.

Assumendo che ad alte frequenze il modulo della funzione di anello sia piccolo, è

opportuno mantenere il modulo della f.d.t del PID il più basso possibile per evitare

problemi di amplificazione di possibili disturbi.

Per queste ragioni è preferibile individuare il più piccolo N possibile compatibile con

l’esigenza di porre il polo aggiuntivo fuori dalla banda di interesse


0 5 10 15 20-2

0

2

4

N=5

0 5 10 15 20-0.5

0

0.5

1

1.5

0 5 10 15 20-10

-5

0

5

10

0 5 10 15 20-0.5

0

0.5

1

1.5

N=30




3

1( )

1G s

s

Siano:

221 1

1 ( ) ( ) ( ) ( )1

1

P

I PID PID

D

Ks

K R s L s R s G ss s s

K



Problema del Wind Up

La presenza combinata dell’azione integrale e di una saturazione dovuta all’attuatore

provoca un effetto di tipo non lineare** che può deteriorare le prestazioni del sistema di

controllo.

Sia G(s) la funzione di trasferimento del processo. Si consideri un controllore puramente

integrale interconnesso come in figura. Si supponga che l’attuatore con ingresso u e

uscita m sia descritto dalla relazione:

, ( )

( ) ( ), ( )

, ( )

M M

M

M M

u u t u

m t u t u t u

u u t u


-100

-50

0

50

100

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 38.7 deg (at 1.25 rad/sec)

Frequency (rad/sec)




1( )

1G s

s

Siano:

2 22 ( ) ( ) ( ) ( )

1I PID PIDK R s L s R s G s

s s s

1.05, ( ) 1.05

( ) ( ), ( ) 1.05

1.05, ( ) 1.05

u t

m t u t u t

u t

In assenza di saturazione


0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

uM

=

uM

=1.05

riferimento





0 5 10 15 20 25 30-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

e

u

m




Schema Anti Wind-Up

Il fenomeno del wind up può essere attenuato. La soluzione maggiormente utilizzata in

letteratura prevede di alimentare il regolatore anche con il segnale a valle della

saturazione.

Si consideri un attuatore con le seguenti saturazioni e lo schema di controllo in figura:

, ( )

( ) ( ), ( )

, ( )

M M

M

M M

u u t u

m t u t u t u

u u t u

PK

IK

K



Schema Anti Wind-Up

( ) Mu t uSe

0 Is PK

e u K es

( ) . M Mu t u es m u Se

1. Il terzo termine tende ad uM con dinamica del primo ordine

2. A transitorio esaurito se e cambia segno u rientra velocemente in zona lineare

...

...

I IP s P M

I IP M P M

K KK Ku K e e K e u u

s s s s

K KK K s Ku u K e u u K e e u

s s s s K s K s K


0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2




1( )

1G s

s

Siano:2 2

( ) 22

P

PID

I

KR s

K s

1.05, ( ) 1.05

( ) ( ), ( ) 1.05

1.05, ( ) 1.05

u t

m t u t u t

u t

u e m al varioare di K nell’intervallo [0.1:10]

Al Crescere di K, il controllore esce prima dalla

condizione di non linearità dovuta al win-up


0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4



y e r al varioare di K nell’intervallo [0.1:10]


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Tecnologie dei Sistemi di Controllo

Controllo PID

Ing. Valerio Scordamaglia

Università “Mediterranea” di Reggio Calabria,

Loc. Feo di Vito, 89060, RC, Italia

D.I.M.E.T. : Dipartimento di Informatica, Matematica, Elettronica e

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