UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ODONTOLOGÍA

UEC ESTADÍSTICA

Correlación lineal simple Regresión lineal simple

Es una técnica que permite medir la fuerza o intensidad de la relación entre dos variables linealmente relacionadas, su grado de relación y su sentido Se logra a través del Coeficiente de Correlación de Pearson: r r2: es el coeficiente de determinación y se suele expresar en porcentaje, indica en qué porcentaje es explicada la variabilidad total de Y por la relación lineal entre ambas variables.

Correlación lineal simple

Es la representación gráfica de la relación entre variables cuantitativas. Es el primer indicio de la forma o naturaleza de la relación entre variables .

Diagrama de dispersión

Correlación lineal simple

r: Coeficiente de Correlación de Pearson

r = 𝑛 ( 𝑥𝑦) −( 𝑥) ( 𝑦)

𝑛 ( 𝑥2) −( 𝑥)2 𝑛( 𝑦2)−( 𝑦)2

Coeficiente de correlación lineal simple Guía para la interpretación de r

Valor de r Interpretación

0,00 Ausencia de correlación lineal

± 0,10 a ±0,19 Correlación lineal insignificante

± 0,20 a ±0,39 Correlación lineal baja-leve

± 0,40 a ±0,69 Correlación lineal moderada

± 0,70 a ±0,99 Correlación lineal alta a muy alta

± 1,00 Función lineal perfecta

Prueba de hipótesis sobre el parámetro ρ (rho)

Planteamiento ¿X e Y están correlacionadas lineal y significativamente?

Para determinar la significación estadística de r

Ho : ρ = 0 (X e Y no están ni lineal, ni significativamente correlacionadas)

H1 : ρ ≠ 0 (X e Y están lineal y significativamente correlacionadas)

Prueba de hipótesis sobre el parámetro ρ (rho)

Prueba estadística

Para determinar la significación estadística de r

t n-2 = 𝑟.𝑛−2

1 −𝑟2

Grado de libertad (gl) de la distribución t = n-2

Correlación lineal simple ejemplo

Se realizaron mediciones de la presión sanguínea sistólica (mmHg) mediante dos métodos en 25 pacientes con hipertensión arterial. Se desee saber si existe relación directa entre las medidas de presión obtenidas y los dos métodos de obtención.

Paciente Método I Método II X2 Y2 XY

1 2 3 4 .

25

132 138 144 146

220

130 134 132 140

202

17424 19044 20736 21316

48400

16900 17956 17424 19600

40804

17160 18492 19008 20440

44440

Total 4440 4172 808408 710952 757276

Resolución

r = 𝑛 ( 𝑥𝑦) −( 𝑥) ( 𝑦)

𝑛 ( 𝑥2) −( 𝑥)2 𝑛( 𝑦2)−( 𝑦)2

r = 25 757276 −(4440)(4172)

25 808408 − 4440 2 25 710952 − 4172 2

r = 0,95

Prueba de hipótesis sobre el parámetro ρ (rho)

Prueba estadística

Para determinar la significación estadística de r

t n-2 = 𝑟.𝑛−2

1 −𝑟2

Nivel de significación: 0,05

Planteamiento de hipótesis Ho : ρ = 0

H1 : ρ ≠ 0

t 25-2 = 𝑟.25−2

1 −(0,95)2

t 23= 14,41

Prueba de hipótesis sobre el parámetro ρ (rho)

Para determinar la significación estadística

de r

t 23= 14,41

Ubicamos el valor 14,41 dentro de la distribución T para determinar el valor de p

P, se halla hacia la derecha por debajo de un nivel de significancia de 0,001. O sea por encima de un N.C. de confianza de 99,95%

Se rechaza

Ho

No se rechaza

Ho

Rechazar la Ho

Conclusión:

Decisión Valor de p: para una t de 14,41 con 23 g.l.:

p˂ 0,001

Existe alta correlación lineal estadísticamente significativa entre las medidas de presión arterial obtenidas por los dos métodos (p˂ 0,001)

Correlación lineal simple

Preview Una empresa farmacéutica conduce un estudio para evaluar la relación entre tres dosis de un nuevo agente hipnótico y tiempo de sueño. Cuando la dosis del agente hipnótico se incrementa en 1mg/kg ¿cuánto se incrementará la hora de sueño inducido?

Análisis de regresión

Es una técnica que trata de predecir y/o explicar el valor de una variable (v. dependiente), dado el valor de otras variables relacionadas (v. independientes) Las variables X y Y deben ser de naturaleza cuantitativa y de preferencia continua. Son estudios de la relación funcional entre dos variables relacionadas

Análisis de regresión

En regresión lineal tenemos que ajustar una recta a los puntos observados, a fin de usarla para predecir el valor de Y (variable dependiente) para un valor dado de X (variable independiente.

No todos los puntos se hallarán sobre la recta, pero la recta ajustada se supone que pasa lo más cerca posible de todos los puntos

Regresión lineal simple

A la recta obtenida se le llama recta de regresión cuya ecuación es la de la regresión lineal simple Para cada valor de X prefijado, hay una subpoblación de valores Y

Regresión lineal simple

a: ordenada en el origen o intercepto, distancia entre el origen y el punto en que la recta corta al eje Y, puede ser (+, -, 0) b: Coeficiente de regresión, expresa la cantidad en la que varía Y cuando X aumenta en una unidad, puede ser (+, -, 0)

Recta de regresión

Variable dependiente

Intersección en Y

Pendiente de la línea

Variable independiente

Regresión lineal simple

Estimadores mínimo-cuadráticos

b= ( 𝑋.𝑌) − (

𝑋)( 𝑌)𝑛

( 𝑥2) − ( 𝑥)2

𝑛

a = 𝒀

𝒏 − 𝒃

𝑿

𝒏

a = 𝒚 − 𝐛𝒙

𝒚 =a+ 𝐛𝒙

Regresión lineal simple Ejemplo

Una empresa farmacéutica conduce un estudio para evaluar la relación entre tres dosis de un nuevo agente hipnótico y tiempo de sueño. Cuando la dosis del agente hipnótico se incrementa en 1mg/kg ¿cuánto se incrementará la hora de sueño inducido? Los resultados son presentados en la siguiente tabla:

Tiempo de sueño en horas:

4 6 5 9 8 7 13 11 9

Dosis (mg/kg)

3 3 3 10 10 10 15 15 15

En el diagrama de puntos se aprecia una relación lineal positiva o directa entre ambas variables

Diagrama de dispersión de puntos

Dosis

Tiem

po

de

su

eñ

o

Modelo de regresión lineal simple:

Regresión lineal simple

Cálculos previos

Prueba X Y X2 Y2 XY

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3 3 3

10 10 10 15 15 15

4 6 5 9 8 7

13 11 9

9 9 9

100 100 100 225 225 225

16 36 25 81 64 49

169 121 81

12 18 15 90 80 70

195 165 135

Total 84 72 1002 642 780

Obtención de la recta de regresión Estimadores mínimo-cuadráticos

b= ( 𝑋.𝑌) − (

𝑋)( 𝑌)𝑛

( 𝑥2) − ( 𝑥)2

𝑛

a = 𝒀

𝒏 − 𝒃

𝑿

𝒏

a = 𝒚 − 𝐛𝒙

b= 780 −

(84)(72)9

1002 − 842

9 = 0,5

a = 𝟕𝟐

𝟗 − 𝟎, 𝟓

𝟖𝟒

𝟗 = 𝟑, 𝟑𝟖

Obtención de la recta de regresión

Luego, el modelo de regresión lineal estimado es:

a = 𝒚 − 𝐛𝒙

𝒚 =a+ 𝐛𝒙

3,38 = 𝒚 − 𝟎, 𝟓𝒙

𝒚 =3,38+ 𝟎, 𝟓𝒙

Regresión lineal simple

modelo de regresión lineal

𝒚 =3,38+ 𝟎, 𝟓𝒙

Cuando la dosis del agente hipnótico se incrementa en 1mg/kg, el tiempo de sueño se incrementa en 0,5 horas

X= 1 mg

Cuando X=0 entonces y=3,38 X=1 entonces y= 3,38 + (0,5 x 1) X=2 entonces y= 3,38 + (0,5 x 2) X=3 entonces y= 3,38 + (0,5 x 3)

Respuesta

Un equipo de profesionales de salud mental de un hospital psiquiátrico desea investigar el nivel de respuesta de pacientes distraídos mediante un programa de terapia de remotivación, nueva prueba (X) y con la prueba estándar (Y) que están aplicando actualmente, Los resultados fueron:

Práctica 01

Correlación y regresión lineal simple

n = 11

𝑌 = 916

𝑋𝑌 = 71790

𝑋 = 825

𝑥2 = 64625

𝑦2 = 80076

Estime la recta de regresión lineal simple. Interprete el coeficiente de regresión Determine e interprete el coeficiente de correlación y de determinación Evalúe el coeficiente de correlación

Práctica

Correlación y regresión lineal simple

Se llevó a cabo un experimento para estudiar el efecto de cierta droga en la disminución del ritmo cardiaco en adultos. Los resultados fueron:

Práctica 02 Dosis (mg) X Reducción del ritmo

cardiaco (lat/min) Y

0,50 10

0,75 8

1,00 12

1,25 12

1,50 14

1,75 12

2,00 16

2,25 18

Correlación y regresión lineal simple

Elabore un diagrama de dispersión de puntos Estime la recta de regresión lineal simple. Interprete el coeficiente de regresión Realice valores predictivos (4) y represéntelos en la recta

Práctica

Correlación y regresión lineal simple