Convergence des suites d’integrales sur un

intervalle quelconque ∗

MP

8 fevrier 2013

Table des matieres

1 Introduction 3

2 Convergences des suites d’integrales 42.1 Convergence dominee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Un theoreme d’integration terme a terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Integrale dependant d’un parametre 123.1 Les theoremes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Exemples d’integrales de la forme

∫ xa f(x, t) dt. . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 La fonction Γ d’Euler 18

5 Integrales doubles 205.1 Integrales doubles sur des paves I × J, fonctions integrables de 2 variables . 205.2 Theoreme de type Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 A propos de la convergence en moyenne, en moyenne quadratique 256.1 Convergence en moyenne, en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . 256.2 Normes associees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7 Complements : transformees de Fourier, de Laplace... 287.1 Transformee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7.1.1 Definitions et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.1.2 Analyse du signal, transformee de Fourier discrete . . . . . . . . . . 30

7.2 Des ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327.3 Transformee de Laplace (pour justifier l’outil que vous avez parfois utilise) . 34

∗Document disponible sur univenligne.fr ou sur mpcezanne.fr sous le nomSuitesSeriesIntegrales.pdf

1

8 Resume 388.1 Suites d’integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.2 Integrale dependant d’un parametre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.3 La fonction Γ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

9 Quelques corriges 41

2

1 Introduction

On commencera par un rappel :

Theoreme 1 Si (fn)n est une suite de fonctions continues par morceaux convergeantuniformement vers f egalement continue par morceaux sur un segment I = [a, b], alors

limn

∫Ifn =

∫I(limnfn) =

∫If.

Demonstration : elle est simple, et repose sur la majoration :

|∫Ifn −

∫If | ≤

∫I|fn(t)− f(t)| dt ≤ ||fn − f |||b− a|...

lorsque I est le segment [a, b].

• Ce resultat devient evidemment faux si on oublie certaines des hypotheses : si la limiten’est plus continue par morceaux (perte du sens), la convergence n’est plus uniforme(perte de l’interversion et de l’egalite), l’intervalle n’est pas un segment...

Exercice 1 Construire des contre-exemples, si cela est possible :

1. Une fonction f, limite uniforme sur ]0, 1[, d’une suite (fn)n de fonctions continuessur ]0, 1[ telle que f ne soit pas integrable sur ]0, 1[.

2. Trouver f qui soit limite simple d’une suite (fn)n de fonctions continues par mor-ceaux sur [0, 1], integrable sur [0, 1], telle que∫

If =

∫I(limnfn) 6= lim

n

∫Ifn.

3. Trouver f qui soit limite uniforme d’une suite (fn)n de fonctions continues parmorceaux sur [0,+∞[ continue, integrable sur [0,+∞[ telle que

limn

∫Ifn 6=

∫I(limnfn) =

∫If.

Exercice 2 Deux exemples d’applications :

1. Calcul de∑

n≥1

1

n2n

2. Calcul, pour α ∈ [0, 1[, de ∫ 1

0

ln(1 + α sin2 x)

sin2 xdx.

3

2 Convergences des suites d’integrales

• Que peut on dire d’une suite d’integrales(∫Ifn

)n

,

lorsque I est un intervalle quelconque ? Lorsqu’il y a convergence simple et non plusuniforme ?Notre but est, dans ce chapitre, de donner des theoremes plus generaux se rapportant dessuites de fonctions continues par morceaux et integrables sur un intervalle I qui n’est pasnecessairement un segment.

2.1 Convergence dominee

–1

–0.5

0.5

1

–20 –10 10 20

Figure 1 – convergence dominee : la figure qui fait comprendre

• Nous allons considerer une suite (fn)n de fonctions continues par morceaux sur unintervalle I, quelconque, a valeurs dans K, et nous ferons les hypotheses suivantes :– la suite (fn)n converge simplement vers une fonction f sur l’intervalle I;– f est continue par morceaux sur I;– il existe une fonction φ, integrable sur I, telle que

∀n ∈ N, ∀t ∈ I, |fn(t)| ≤ φ(t);

• Que pouvons nous en dire ?– tout d’abord que les fn et f sont integrables sur I grace a l’hypothese de domination|fn(t)| ≤ φ(t), qui, par passage a la limite, donne |f(t)| ≤ φ(t); on peut alors donner unsens aux integrales

∫I fn et

∫I f.

4

– Peut on pour autant ecrire :

limn

∫Ifn =

∫I

limnfn =

∫If?

Le theoreme de convergence dominee (thm. 2) ci-dessous l’affirme. Nous allons faire lademonstration en ajoutant une hypothese supplementaire qui la rend plus facile sans enchanger fondamentalement le plan.• On s’inspirera de la figure 2.1 pour suivre cette demonstration : placera sur la figure lesvaleurs u, v, les graphes des differentes fonctions... 1

• But :

limn|∫Ifn

∫If | = 0.

L’idee de base est que si, φ est integrable sur I, pour tout ε > 0, il existe un SEGMENT[u, v] ⊂ I tel que ∫

Iφ−

∫[u,v]

φ =

∫]a,u[

φ+

∫]v,b[

φ ≤ ε.

A partir de la, on peut ecrire, en suivant le decoupage vertical qui apparaıt sur le figure :

|∫Ifn −

∫If | ≤

∫I|fn − f | =

∫]a,u[|fn − f |+

∫[u,v]|fn − f |+

∫]v,b[|fn − f |.

Regardons ces trois integrales, en observant que |f − fn| ≤ |f |+ |fn|, :∫]a,u[|fn − f | ≤ 2

∫]a,u[

φ (2.1)∫]v,b[|fn − f | ≤ 2

∫]v,b[

φ (2.2)∫[u,v]|fn − f | ≤

∫[u,v]

sup |fn(t)− f(t)| (2.3)

Si nous faisons l’hypothese supplementaire (fn)n converge uniformement versf sur tout segment de I, nous obtenons :Pour tout ε > 0, il existe un segment [u, v] tel que

|∫Ifn −

∫If | ≤ 2

∫]a,u[

φ+ 2

∫]v,b[

φ+

∫[u,v]

sup |fn(t)− f(t)| (2.4)

≤ 2ε+ |v − u| × ||fn − f || ∞[u,v]

(2.5)

Alors pour tout η > 0,– il existe [u, v] ⊂ I, pour lequel on a la majoration (2.4), avec 2ε < η/2,– il existe n0 (fonction de u, v, η), tel que si n ≥ n0 |v − u| × ||fn − f || ∞

[u,v]≤ η/2,

Concluons : nous avons montre quePour tout η > 0 il existe n0 tel que pour tout n ≥ n0, |

∫I fn −

∫I f | < η, CQFD.

1. quand on est bon, on fait des figures

5

Nous enoncerons toutefois un theoreme plus general, ou l’on suppose que la suite defonctions converge simplement vers f :

Theoreme 2 theoreme de convergence domineeSoit (fn)n une suite de fonctions continues par morceaux definies sur un intervalle I, a

valeurs complexes. On suppose que– la suite (fn)n converge simplement vers une fonction f qui est continue par morceaux

sur I,– il existe une fonction φ continue par morceaux et integrable sur I, telle que, pour toutn, |fn| ≤ φ (hypothese de domination).

Alors,– chaque fonction fn est integrable sur I,– la limite simple, f, est integrable sur I,– la suite des integrales

∫I fn converge et

limn

∫Ifn =

∫I

limnfn =

∫If.

Attention : pour mettre en oeuvre ce theoreme, ne pas oublier de s’assurer que f estcontinue par morceaux , ce n’est pas une consequence des autres hypotheses...

Exercice 3 au kilometreCalculer les limites suivantes

1. lim In, ou In =∫ 1

0

(sin t

t

)ndt;

2. lim In, ou In =∫∞

0

(sin t

t

)ndt;

3. lim Jn, ou Jn =∫∞

0

sin t

1 + n2t2dt;

4. Calculer les limites en +∞, en 0 de

K(α) =

∫ ∞0

tαe−αt2dt;

Indications :

(a) Etudier des suites (K(αn))n avec limαn = +∞...(b) Pour la limite en 0, justifier qu’il n’existe aucune domination possible et com-

parer K(α) avec une integrale sur [a, b].

Exercice 4

1. Calculer la serie :∑ (−1)n

na l’aide de la serie d’integrales :

(−1)n∫ 1

0xn dx,

6

2. Calculer la serie :∑ (−1)n

(3n+ 1).

Exercice 5

1. Rechercher la limite de la suite (∫ π/4

0 sinn t dt)n, comme pour l’expliquer a un elevede terminale ;

2. Rechercher la limite de la suite (∫ π/2

0 sinn t dt)n comme pour l’expliquer a un elevede sup ;

3. Rechercher la limite de la suite (∫ π/2

0 sinn t dt)n comme pour vous l’expliquer a vousmeme.

4. Soit (hn) une suite de fonctions continues par morceaux qui converge simplementvers 0 sur [a, b]. Montrer que si les fonction hn sont bornees par une meme constanteM, alors

lim

∫ b

ahn(t) dt = 0.

Exercice 6 Soient a > 0 et φa,n(x) = e−ax sinn(x).

1. Montrer que pour tout a > 0 et tout naturel n, la fonctionx → φa,n est integrablesur [0,+∞[.

2. On pose In(a) =∫∞

0 e−ax sinn(x) dt.

(a) etudier les suites extraites formees des termes d’indices pairs et impairs,

(b) Montrer que cette suite a pour limite 0 lorsque n tend vers +∞.3. Montrer que pour n fixe, In(a) a pour limite 0 lorsque a tend vers +∞.

Exercice 7 On pose

f(X) =

∫ ∞0

sin t

eXt − 1dt.

1. Domaine de definition de f ;

2. Montrer que f est somme d’une serie de fonctions rationnelles.

Exercice 8 Considerons

In =

∫ 1

0ln(1 + tn) dt.

Calculer la limite des suites (In)n

1. a l’aide d’une majoration explicite, comme si vous ne connaissiez pas ce chapitre,

2. a l’aide du theoreme de convergence dominee.

3. Le theoreme de cv dominee s’applique-t-il a (nIn)n?

Exercice 9 On rappelle les definitions suivantes :

Γ(x) =

∫ ∞0

tx−1e−t dt et ζ(x) =∞∑n=1

1

nx

ou les fonctions sont definies respectivement pour x > 0 et pour x > 1.

7

1. Exprimer ζ(x)Γ(x) comme somme d’une serie d’integrales lorsque x > 1.

2. Montrer la formule

ζ(x)Γ(x) =

∫ ∞0

ux−1

eu − 1dt.

8

2.2 Un theoreme d’integration terme a terme

Theoreme 3 integration terme a terme d’une serieSoit

∑fn une serie de fonctions continues par morceaux definies sur un intervalle I. On

suppose que– pour tout n, fn est integrable sur I,– la serie

∑fn converge simplement vers S qui est continue par morceaux ;

– la serie des integrales∑

(∫I |fn|) converge ;

Alors,– S est integrable sur I, et son integrale est donnee par :∫

IS =

∫I

( ∞∑k=0

fn

)=

∞∑k=0

(∫Ifn

).

– On a la majoration

||S||1 =

∫I|S| =

∫I|∞∑k=0

fn| ≤∞∑k=0

∫I|fn|

(≤∞∑k=0

||fn||1

).

Demonstration

Interpretation en termes de convergence L1, voir section 6

Exercice 10

1. Monter que ∫ +∞

0

√t

et − 1dt = C

∞∑n=1

1

n√n

;

On verra a la fin de ce chapitre que C =

√π

2.

Exercice 11

Soit f(u) =lnu

1 + u2.

1. Montrer que f est integrable sur [0, 1[...

2. Ecrire∫ 1

0 f(t) dt comme la somme d’une serie.

Exercice 12

1. Soient a et b strictement positifs. Montrer, en mettant en œuvre le theoreme deconvergence qui precede, que :∫ ∞

0

xe−ax

1− e−bxsin(ωx) dx = 2ω

∞∑k=0

a+ bn

((a+ bn)2 + ω2)2 .

9

2. Peut on en faire autant avec ∫ 1

0

( ∞∑n=0

(−t)n)dt?

Exercice 13 formule de PoissonSoit f : R → C, une fonction continue et integrable sur R. On lui associe la suite des

fonctions (φN,f )N≥1, definies par

φN,f (t) = f(t) +

N∑k=1

(f(t− 2kπ) + f(t+ 2kπ)).

1. On suppose que, de plus, la suite des sommes partielles, (φN,f )N converge sim-plement sur ]0, 2π[ vers une fonction φf continue par morceaux.

Montrer que φf est integrable sur ]0, 2π[.

(a)(b) Exprimer les coefficients de Fourier de φf en fonction de

f(s) =1

2π

∫Rf(t)e−ist dt.

2. Montrer que la suite (φN,f )N est une suite de Cauchy dans l’espace C([0, 2π],C), desfonctions continues sur [0, 2π], muni de la norme

||u||1 =

∫ 2π

0|u(s)| ds.

2.3 Exercices

Exercice 14On se propose d’etudier la suite des integrales :

In =

∫ 1

0t2n ln(1− tn) dt.

1. Justifier l’existence de In pour n ≥ 1 et calculer la limite de la suite (In)n.

2. (a) Ecrire In comme somme d’une serie numerique.

(b) On considere, pour k ∈ N∗, la fonction

fk(x) =1

k(2 + k + x).

Montrer que la serie de fonctions∑fk converge normalement sur [0, 1].

(c) En deduire un equivalent de In lorsque n tend vers +∞. Faire une verificationnumerique.

3. En faisant un changement de variable u = tα retrouver ces resultats.

corrige en 9.1

10

Exercice 15 technique de calcul d’integrales

1. On considere la fonction f(t) =e−t

1 + e−t.

(a) Justifier que f est integrable sur [0,+∞[. Calculer son integrale.

(b) Un calcul avec MAPLE donne∫ ∞0

tf(t) dt =π2

12,

∫ ∞0

t2f(t) dt =3

2ζ(3).

Quel rapport entre ces resultats ? Demontrer ces formules.

2. On definit ici la fonction logistique dont l’interet est grand en statistique :

ga,b(t) =e−

t−ab

b(

1 + e−t−ab

)2 .

(a) Justifier que ga,b est integrable sur R et calculer son integrale.

(b) De la meme facon, justifier l’existence et calculer∫ ∞0

tga,b(t) dt,

∫ ∞0

t2ga,b(t) dt.

corrige en 9.2

11

3 Integrale dependant d’un parametre

3.1 Les theoremes

On se propose ici d’etudier les fonctions de la forme

F (x) =

∫If(x, t) dt.

• Lorsque l’intervalle d’integration est quelconque, on dispose du :

Theoreme 4 continuiteSoit f : (x, t) ∈ A× I → f(x, t) ∈ K, ou A et I sont deux intervalles de R. On suppose que– t→ f(x, t) est continue par morceaux sur I, pour tout x ∈ A;– x→ f(x, t) est continue sur A, pour tout t ∈ I;– il existe une fonction φ0, continue par morceaux et integrable sur I, telle que

∀(x, t) ∈ A× I, |f(x, t)| ≤ φ0(t),

Alors,– pour tout x ∈ A, la fonction t→ f(x, t) est integrable sur I,– la fonction F definie sur A par F (x) =

∫I f(x, t) dt est continue.

Demonstration c’est une application du theoreme de convergence dominee...

• de la meme facon, on dispose d’un critere de derivabilite :

Theoreme 5 derivabiliteSoit f : (x, t) ∈ A× I → f(x, t) ∈ K, ou A et I sont deux intervalles de R. On suppose que– t→ f(x, t) est continue par morceaux sur I, pour tout x ∈ A;– x→ f(x, t) est continue sur A, pour tout t ;– il existe une fonction φ0, continue par morceaux et integrable sur I, telle que

∀(x, t) ∈ A× I, |f(x, t)| ≤ φ0(t),

Si, de plus

– f admet des derivees partielles par rapport a x :∂kf(x, t)

∂xk, pour k = 1, ...p;

– chaque derivee est continue par morceaux sur I par rapport a la variable t, continuesur A par rapport a la variable x,

– il existe des fonctions φk, continues par morceaux et integrables sur I, telles que

∀(x, t) ∈ A× I, |∂kf(x, t)

∂xk| ≤ φk(t),

Alors,

12

– pour tout x ∈ A, la fonction t→ f(x, t) est integrable sur I, de meme que les fonctions

t→ ∂kf(x, t)

∂xk,

– la fonction F definie sur A par F (x) =∫I f(x, t) dt est de classe Cp sur A et

F (k)(x) =

∫I

∂kf(x, t)

∂xkdt.

3.2 Exercices

Exercice 16On considere la fonction f definie par

f(x) =

∫ +∞

0

arctan(xt)

1 + t2dt.

1. Montrer que f est definie sur R; est-elle continue ?

2. Est elle derivable en tout point de R?

Indication pour l’etude de la derivabilite en 0 :– Soit

f(xn)− f(0)

xn − 0=

∫ +∞

0

arctan(xnt)

xn(1 + t2)dt.

Montrer que la suite de fonctions (t → arctan(xnt)

xn(1 + t2))n converge simplement vers

une fonction non integrable sur [0,+∞[.

– Calculer∫ a

0

arctan(xnt)

xn(1 + t2)dt;

– Montrer que f n’est pas derivable en 0.

3. Calculer sa limite en +∞;

Exercice 17 Soit

F (x) =

∫ ∞0

1

1 + txdt.

1. Preciser l’ensemble de definition de F.

2. Montrer que F est une fonction de classe C1 et calculer sa derivee. En deduire lesvariations de F.

3. Calculer les limites de F aux bornes de son intervalle de definition.

Exercice 18 calcul classique de l’integrale de GaussOn se propose de calculer l’integrale de Gauss :∫ ∞

0e−t

2dt.

Il faut savoir que la fonction que l’on veut integrer n’a pas de primitive que l’on puisseexprimer comme une fonction elementaire (ie : obtenue par iteration de sommes, produits,

13

quotients, composees de fonctions rationnelles, trigonometriques, log, exponentielle ouleurs inverses...). C’est un resultat qui date du XIXieme siecle.Soit donc,

f(x) =

∫ 1

0

e−x(1+t2)

1 + t2dt.

1. Montrer que f est de classe C1 . Calculer f ′(x).

2. Soit g definie par g(x) = f(x2).

(a) Calculer g′(x) apres avoir justifie son existence. Montrer que g′(x) = −2F ′(x)F (x)avec F (x) =

∫ x0 e−t2dt.

(b) En deduire g(x) en fonction de F (x).

3. Calculer l’integrale de Gauss.

Exercice 19 re-l’integrale de Gauss : il s’agit d’un nouveau calcul de

G =

∫ ∞0

e−t2dt.

On observe que

Ge−x2

=

∫ ∞0

e−(x2+t2) dt =

∫ ∞0

xe−x2(1+u2) du...

1. On note φ(x) cette derniere integrale et on pose φn(x) =∫ n

0 xe−x2(1+u2) du. Montrer

que ∫ b

0φ(x) dx = lim

n→∞

∫ b

0φn(x) dx.

2. Conclure avec le theoreme de Fubini et un passage a la limite sous le signe somme.

Exercice 20

1. Soit f(x) =∫∞

0

e−t

1 + xtdt.

(a) Verifier que f est de classe C∞

(b) Donner une equation differentielle verifiee par g(x) = xf(x).

(c) Determiner la limite de g(x) en +∞.

• cas particuliers ou les fonctions f et∂f(x, t)

∂x, sont continues par rapport aux

deux variables (x, t), l’intervalle d’integration etant un segment I = [a, b].

– Pour justifier de la continuite de x →∫ ba f(x, t) dt, il suffit d’observer que sur K =

[x− α, x+ α]× [a, b] qui est compact, la fonction f est bornee, ainsi :

|f(x, t)| ≤ φ0(x) = supK|f | = cste;

14

– De meme pour justifier de la derivabilite de x→∫ ba f(x, t) dt, il suffit d’observer que sur

K, la fonction∂f

∂x, est bornee, ainsi :

|∂f∂x| ≤ φ1(x) = sup

K|∂f∂x| = cste;

Vous reprendrez cet argument dans les exemples qui suivent :

Exercice 21 On se propose de calculer∫ 1

0

1

(1 + t2)2dt.

1. Calculer pour |x| 6= 1, g(x) =∫ 1

0

1

(1 + t2)(x2 + t2)dt.

2. En deduire g(1).

Exercice 22 On se propose de calculer, pour x > 1,

φ(x) =

∫ π/2

0ln(x+ cos t) dt.

1. Montrer que φ est de classe C1. Exprimer φ′(x).

2. Developper1

x+ cos ten une serie de fonctions et en deduire une expression de φ..

Exercice 23 Etudier la continuite et la derivabilite des fonctions suivantes :

1. F definie pour |x| < 1, par

F (x) =

∫ 1

0

dt√1− xt3

;

2. G definie pour |x| < 1, par

F (x) =

∫ π

0

√x+ cos t dt.

Exercice 24 On se propose de calculer (a nouveau) l’integrale de Poisson

f(x) =

∫ π

0ln(x2 − 2x cos(t) + 1) dt.

1. Determiner avec soin l’ensemble de definition de f.

2. Montrer que f est de classe C1. Calculer f ′.

3. En deduire f(x) pour |x| < 1.

4. Que faire pour |x| > 1?

voir corrige en 9.3

15

Exercice 25 convolutionSoient f et g deux fonctions continues par morceaux et 2π−periodiques. On definit leurproduit de convolution en posant :

f ∗ g(x) =

∫ 2π

0f(x− t)g(t) dt.

1. Montrer que f ∗ g est 2π− periodique.

2. Montrer que f ∗ g = g ∗ f.3. On suppose que f est de classe Ck et g cpm, que dire de f ∗ g, de g ∗ f?

Exercice 26 Soit pour |x| > |y|,

F (x, y) =

∫ π

0

cos t

(x+ y cos t)3dt.

1. Introduire φ(x, y, t) =1

(x+ y cos t), et justifier que

f(x, y) =

∫ π

0φ(x, y, t) dt

est de classe C∞, montrer que F est une de ses derivees partielles.

2. Calculer f et en deduire F.

3.3 Exemples d’integrales de la forme∫ xaf(x, t) dt.

• Cela ressemble a∫ xa f(t) dt, mais ce n’est pas

∫ xa f(t) dt;

• Cela ressemble a∫ ba f(x, t) dt, mais ce n’est pas

∫ ba f(x, t) dt;

• Qu’est-ce donc ?

Exercice 27 Etudier la derivabilite de la fonction f definie par

f(x) =

∫ x

0ln(1 + xt) dt,

– en effectuant un judicieux changement de variables,– en ecrivant un judicieux DL1.

Exercice 28 Soit

F (x) =

∫ x

0

ln(1 + xt)

1 + t2dt,

1. Ensemble de definition de F.

2. Etude de la continuite et de la derivabilite.

3. Calcul de F (x).

16

Exercice 29 Soit f definie sur I2, a valeurs reelles. 0n pose

F (x) =

∫ x

af(x, t) dt.

1. Montrer que F est definie des que f est continue.

2. On suppose que f est continue et que que la fonction

(x, t)→ ∂

∂xf(x, t),

est aussi continue sur I2.

(a) Montrer que F (x+ h) est somme d’une fonction de classe C1 en la variable het de ∫ x+h

xf(x+ h, t) dt.

(b) Montrer que pour tous x, h, t, il existe un reel θ(x, h, t) tel que

|θ(x, h, t)| < 1

f(x+ h, t) = f(x, t) + h∂1f(x+ hθ(x, h, t), t).

(c) Montrer que F est derivable en x et calculer F ′(x).

17

4 La fonction Γ d’Euler

On appelle fonction gamma (Γ), la fonction definie sur ]0,+∞[, par

Γ(x) =

∫ ∞0

tx−1e−t dt.

Exercice 30 proprietes elementaires de la fonction ΓSoit

Γ(x) =

∫ ∞0

tx−1e−t dt.

1. Determiner l’ensemble de definition de la fonction Γ.

2. Calculer Γ(n) pour n entier naturel.

3. Montrer que Γ(x+ 1) = xΓ(x), en deduire un equivalent de Γ(x) en 0 ;

4. Montrer que la fonction Γ est de classe C1 , puis qu’elle est de classe C∞ et exprimerses derivees ;

5. On se propose d’etudier les variations de Γ

(a) Montrer que Γ est convexe ;

(b) Montrer qu’il existe α > 0 tel que Γ′(x) < 0 sur ]0, α[;

(c) Montrer que Γ′(x) > 0 au voisinage de +∞;

(d) Etudier les variations de Γ;

6. Formule de GaussMontrer que

limn→∞

∫ n

0

(1− t

n

)ntx−1 dt = Γ(x)

et en deduire que

Γ(x) = limn→∞

nxn!

x(x+ 1)...(x+ n).

• Voir aussi les sujets– Centrale PSI 1999, maths 1 : fonction ζ de Riemann, fonction Γ d’Euler,– CCP 2007, maths 1 :...

Exercice 31 le calcul de Γ(1/2)

1. Methode 1 : exprimer Γ(1/2) en fonction de l’integrale de Gauss,∫R e−t2 dt que l’on

pourra supposer connue ;

2. Methode 2 : utiliser la formule de Gauss (exercice precedent) en deduire Γ(1/2) puisl’integrale de Gauss.

18

On retiendra les proprietes suivantes de la fonction Γ :• La fonction Γ est de classe C∞ sur ]0,+∞[ et :

Γ(x) =∫ +∞

0 tx−1e−t dtdk

dxkΓ(x) =

∫ +∞0 (ln t)ktx−1e−t dt

Γ(x+ 1) = xΓ(x) ∀n ∈ N, Γ(n+ 1) = n!

Γ

(1

2

)= 2

∫ +∞0 e−t

2dt =

√π

0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5

x

Figure 2 – graphes de la fonction Γ et de x− > 1/x

19

5 Integrales doubles

On commence par definir l’integrale double d’une fonction continue sur un pave com-pact (6), on introduit ensuite la notion de fonction integrable sur un produit d’inter-valles quelconques (definition 1) ; c’est dans un chapitre ulterieur (fonctions de plusieursvariables) que nous etudierons les notions d’integrales sur une partie elementaire et surune partie simple, le changement de variables dans les integrales doubles...

5.1 Integrales doubles sur des paves I × J, fonctions integrables de 2variables

Theoreme 6Pour toute fonction f continue sur le pave compact [a, b]× [c, d], les integrales∫ b

a

(∫ d

cf(x, y) dy

)dx et

∫ d

c

(∫ b

af(x, y) dx

)dy (5.1)

sont egales. Leur valeur commune est l’integrale de f sur [a, b]× [c, d] notee :∫∫[a,b]×[c,d]

f.

Demonstration

1. Justifiez que les fonctions φ et ψ ci-dessous definies sont de classe C1 sur [a, b] :

φ(X) =

∫ X

a

(∫ d

cf(x, y)dy

)dx, ψ(X) =

∫ d

c

(∫ X

af(x, y)dx

)dy.

2. Comparez les.

Exercice 32 Calculer les integrales suivantes :

1.∫ π

0 ln

(b− cos t

a− cos t

)dt;

2.∫ a

1/a

(∫ 10

dy

y2 + x2

)dx.

Exercice 33 de la geometrie

1. Calculer ∫ b

a

∫ d

ce2iπ(x+y) dx dy.

2. En deduire que si un rectangle R admet un pavage forme de rectangles

20

0

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6

dont chacun admet un cote au moins de longueur entiere, alors R a lui meme unecote entier. Vous pourrez admettre un resultat simple non encore enonce dans cecours...

Definition 1 fonctions integrablesSoit f une fonction positive et continue sur le produit d’intervalles I × J ; on dit quef est integrable sur I × J, ssi la famille des integrales de f sur les compacts [a, b] × [c, d]inclus dans I × J est bornee. On pose alors∫∫

I×Jf = sup

[a,b]×[c,d]⊂I×J

∫∫[a,b]×[c,d]

f.

On dit par ailleurs d’une fonction continue, a valeurs reelles ou complexes, qu’elle estintegrable sur I × J ssi |f | est integrable au sens precedent.

Theoreme 7– soit f continue sur I × J, a valeur reelles, |f | (ou f) est integrable ssi les fonctionsf+ = supf, 0 et f− = sup−f, 0 le sont. On pose alors∫∫

I×Jf =

∫∫I×J

f+ −∫∫

I×Jf−.

– soit f continue sur I × J, a valeurs complexes |f | (ou f) est integrable ssi les fonctionsRe(f) et Im(f) le sont. On pose alors∫∫

I×Jf =

∫∫I×J

Re(f) + i

∫∫I×J

Im(f).

Demonstration

Comment decider si une fonction continue est integrable ?Le programme ne propose pas d’etude systematique, mais on saura demontrer sans hesitationque :

21

• si f est continue sur I ×J, si |f(x, y)| ≤ g(x, y) ou g est continue et integrable sur I ×J,alors f est integrable sur I × J ; En effet sur un produit [a, b]× [c, d] ⊂ I × J, on a∫∫

[a,b]×[c,d]|f | ≤

∫∫[a,b]×[c,d]

g ≤∫∫

I×Jg...

• si f et sont g des fonctions d’une variable, continues et integrables sur I et J respecti-vement, alors (x, y)→ f(x)g(y) est integrable sur I × J car∫∫

[a,b]×[c,d]|f(x)× g(y)| =

∫[a,b]|f | ×

∫[c,d]|g| ≤

∫I|f | ×

∫J|g|.

Exercice 34Soient f et g deux fonctions continues et integrables sur R.

1. Montrer que la fonction (x, t)→ f(x− t)g(t) est integrable sur R2;

2. On suppose f ou g bornee. L’integrale∫R f(x− t)g(t) dt a-t-elle un sens ?

3. Et sans cette hypothese ? Qu’en penser ? On fera le lien avec la formule de typeFubini (theoreme 9).

Exercice 35 le plus joli des calculs de l’integrale de GaussOn note G =

∫]0,+∞[ e

−x2 dx.

1. Montrer que la fonction (x, y)→ e−x2−y2 est integrable sur ]0,+∞[×]0,+∞[. Com-

parer G et l’integrale ∫∫]0,+∞[×]0,+∞[

e−x2−y2 dydy.

2. Calculer cette derniere integrale en coordonnees polaires (on anticipera sur la suite ducours pour admettre le passage en coordonnees polaires sur un produit d’intervallesnon bornes), en deduire la valeur de G.

Theoreme 8 linearitesi les fonctions f et g sont continues et integrables sur I × J, alors f + g, et αf sont aussiintegrables et ∫∫

I×J(f + αg) =

∫∫I×J

f + α

∫∫I×J

g.

Demonstration cas des fonctions positives (travail sur le sup), puis fonctions reelles etcomplexes.

22

5.2 Theoreme de type Fubini

On prendra garde au fait que l’egalite des integrales (5.1) est etablie pour un pave com-pact. Le theoreme ci-dessous propose, sous certaines conditions, une generalisation auxfonctions integrables.

Theoreme 9 formule de Fubini pour les fonctions integrables 2

On suppose f continue et integrable sur I × J. Si– pour tout x, la fonction y → f(x, y) est integrable sur J,– g : x→

∫J f(x, y) dy est continue par morceaux et integrable sur I,

alors, ∫∫I×J

f =

∫Ig.

Demonstration HP.

Remarque : avec les hypotheses symetriques :– pour tout y, la fonction x→ f(x, y) est integrable sur I,– h : y →

∫I f(x, y) dx est continue par morceaux et integrable sur J,

on obtient ∫∫I×J

f =

∫Ig =

∫Jh.

Exercice 36 transformation de Fourier, formule d’echangeA toute fonction numerique f, continue par morceaux et integrable sur R, on associe sa

transformee de Fourier definie par

f(ω) =

∫Rf(t)e−iωt dt.

1. Justifier que f est continue et bornee.

2. Montrer que si f et g sont integrables sur R, il en va de meme pour les fonctionsf × g et g × f .

3. On suppose f et g integrables et continues sur R. Montrer que la fonction de deuxvariables

φ(x, y) = f(x)g(y)e−ixy

est continue et integrable sur R2.

4. Sous ces hypotheses, montrer que∫Rf × g =

∫Rg × f .

Exercice 37 transformee de Fourier et convolutionOn considere ici deux fonctions numeriques fet g, continues et integrables sur R.

2. On comparera au theoreme de Fubini pour les series numeriques...

23

1. On suppose que, de plus, l’une des deux fonctions f ou g est bornee sur R. Montrerque, pour tout x ∈ R, la fonction t → f(x − t)g(t) est integrable sur R et que lafonction

h : x→∫Rf(x− t)g(t) dt

est continue sur R. On commencera par le cas le plus simple.

2. Montrer que la fonction de deux variables

(x, t)→ f(x− t)g(t)

est integrable sur R2.

3. On definit l’integrale de Fourier d’une fonction integrable θ, en posant

θω) =

∫Re−iωsθ(s) ds.

Montrer que

f(ω)× g(ω) =

∫ ∫R2

φ avec φ(x, t) = f(x− t)e−iω(x−t)g(t)e−iωt.

Peut on etablir la formule h(ω) = f(ω) × g(ω), lorsque h est la fonction definie en1, en apportant eventuellement des hypotheses supplementaires ?

24

6 A propos de la convergence en moyenne, en moyennequadratique

Quelques definitions, un seul theoreme (thm 10) ; c’est le seul resultat qui figure a notreprogramme avec le theoreme de convergence en moyenne quadratique concernant les seriesde Fourier.

6.1 Convergence en moyenne, en moyenne quadratique

Definition 2 convergence en moyenne sur un int qqueSoit (fn)n une suite de fonctions continues par morceaux et integrables sur I. On dit que(fn)n converge en moyenne vers f, elle-meme continue par morceaux et integrable sur I,ssi

lim

∫I|fn(t)− f(t)| dt = 0.

Definition 3 convergence en moyenne quadratique sur un int qqueSoit (fn)n une suite de fonctions continues par morceaux et de carres integrables sur I. Ondit que (fn)n converge en moyenne quadratique vers f, elle-meme continue par morceauxet de carre integrable sur I, ssi

lim

∫I|fn(t)− f(t)|2 dt = 0.

Exercice 38

1. Soit f une fonction continue par morceaux et integrable sur R. Montrer qu’il existeune suite de fonctions en escalier qui converge en moyenne vers f.

2. Montrer qu’il existe egalement une suite de fonctions continues et integrables sur Rqui converge en moyenne vers f.

3. Memes questions pour la convergence quadratique.

4. Les hypotheses du theoreme de convergence dominee entraınent elles la convergenceen moyenne vers la meme suite de fonctions ?

5. Et le theoreme d’integration terme a terme ?

Exercice 39 le lemme de Riemann sur ROn considere f continue par morceaux et integrable sur R.1. Montrer que pour tout ε > 0, il existe un intervalle compact [−a, a] tel que∫

]−∞,a]|f | ≤ ε,

∫[b,+∞[

|f | ≤ ε,

2. Montrer qu’il existe une fonction de classe C1 a support dans [−a, a] telle que∫[−a,a]

|f − φ| ≤ ε.

3. En deduire que

limα→∞

∫ +∞

−∞eiαt f(t) dt = 0.

25

6.2 Normes associees

• Fonctions continues sur un intervalle compactRappelons que l’on definit des normes sur C([a, b],K), espace des fonctions continues sur[a, b], a valeurs dans K, en posant

||f ||1 =

∫ b

a|f(t)| dt, ||f ||2 =

(∫ b

a|f(t)|2 dt

)1/2

,

et que la norme || ||2 est associee au produit scalaire defini sur C([a, b],K) par :

(f |g) =

∫ b

af(t)g(t) dt.

• Une suite (fn)n d’elements de C([a, b],K), espace des fonctions continues sur [a, b], avaleurs dans K converge en moyenne vers f ∈ C([a, b],K) ssi ||fn − f ||1 tend vers 0. Dememe, une suite (fn)n converge en moyenne quadratique vers f ∈ C([a, b],K) ssi ||fn−f ||2tend vers 0.

Theoreme 10 comparaison des normes– Dans C([a, b],K) les 3 normes || ||∞, || ||1 et || ||2, satisfont aux inegalites suivantes :

∀f ∈ C([a, b],K), ||f ||1 ≤√b− a||f ||2, ||f ||2 ≤

√b− a||f ||∞, ||f ||1 ≤ ‖b− a|||f ||∞.

– De ces relations entre les normes, on deduit que pour toute suite (fn)n de fonctionscontinues sur le segment [a, b],– si (fn)n converge uniformement vers f sur [a, b], elle converge egalement en moyenne

et en moyenne quadratique vers f,– si (fn)n converge en moyenne quadratique vers f sur [a, b], elle converge egalement

en moyenne vers f.

DemonstrationCauchy-Schwarz pour comparer les normes || ||1 et || ||2, majorations directes pour lescomparer a la norme de la convergence uniforme.

Exercice 40 relations entre les differents modes de convergenceOn se place ici sur un intervalle compact, les questions ne sont pas classees pardifficulte croissante, dessinez, reflechissez, jouez...

1. donner un exemple de suite qui converge en moyenne vers 0 mais qui n’a pas delimite simple ;

2. donner un exemple de suite qui converge en moyenne quadratique mais pas uni-formement

3. donner un exemple de suite qui converge en moyenne mais pas en moyenne quadra-tique ;

4. peut on choisir deux normes equivalentes parmi les 3 normes || ||∞, || ||1 et || ||2?

26

Exercice 41

1. Montrer que les fonctions polynomes forment une partie dense de l’espace norme desfonctions continues sur un intervalle compact I, muni de la norme de la convergenceen moyenne.

2. Meme question pour la convergence en moyenne quadratique.

• Fonctions periodiques sur RVoir cours sur les series de Fourier, deux exemples : fonctions continues de periode 2π etfonction continue par morceaux regularisees de periode 2π .

• Sur un intervalle quelconque

Theoreme 11 norme de la convergence en moyenne• Les fonctions continues sur I et integrables forment un espace vectoriel ; notons le CI1(I).• l’ application definie par ||f ||1 =

∫I |f(t)| dt, est une norme sur CI1(I).

Theoreme 12 Soit I un intervalle quelconque de R.• le produit de deux fonctions continues par morceaux de carres integrables sur I est unefonction continue par morceaux et integrable ;• les fonctions continues par morceaux de carres integrables a valeurs dans K forment unespace vectoriel sur K; notons le CI2(I).• l’application (f, g) →

∫I f(t)g(t) dt ∈ K, definit un produit scalaire (reel ou complexe)

sur CI2(I).• la norme associee a ce produit scalaire est donnee par

||f ||2 =

(∫I|f(t)|2 dt

)1/2

.

Exercice 42 comparaisons

1. Comparer les espaces CI1(I) et CI2(I) lorsque I =]0, 1], I = [1,+∞[.

2. Peut on comparer les normes || ||1 et || ||2? Cela depend il de l’intervalle ?

3. Donner un exemple de suite qui converge en moyenne quadratique et pas en moyenne,l’inverse...

Exercice 43 densite de certains sous-espaces

1. Montrer que les fonctions continues nulles en dehors d’un intervalle compact formentune partie dense de l’espace norme des fonctions continues et integrables sur R munide la norme de la convergence en moyenne ;

2. Meme question pour l’espace des fonctions de carres integrables et continues pour lanorme || ||2.

27

7 Complements : transformees de Fourier, de Laplace...

Nous presentons quelques notions hyperclassiques (quoique toutes hors programme) qui in-terviennent dans de nombreuses applications, et sont donc sources de nombreux problemes...

7.1 Transformee de Fourier

On lira les polycopies complementaires equation de diffusion, analyse du signal, disponiblessur le site mpcezanne.fr ou sur univenligne.fr, pour les applications de la transformee deFourier.

7.1.1 Definitions et proprietes

On definit la transformee de Fourier d’une fonction integrable sur R en posant 3

F(f)(ω) = f(ω) =

∫Re−iωxf(x) dx.

On pose parfois

F(f)(ω) = f(ω) =

∫Re−2πiωxf(x) dx.

Exercice 44 existence, premieres proprietesSoit f une fonction integrable sur R.

1. Montrer que sa transformee de Fourier est definie pour tout reel ω;

2. Montrer que f est continue et bornee sur R, donner une majoration de ||f ||∞R.

3. lemme de Riemann pour les fonctions integrables :

On veut montrer quelim

ω→+∞f(ω) = 0;

(a) Montrer que si f est integrable sur R, pour tout ε > 0, il existe un segment[a, b] tel que :

|∫Rf(t)dt−

∫[a,b]

f(t)dt| ≤ ε.

(b) Conclure.

4. Calculer la transformee de Fourier de la fonction caracteristique de l’intervalle [a, b] :χ(t) = 1 si a ≤ t ≤ bχ(t) = 0 sinon

Est-elle integrable ?

Exercice 45 derivation

3. la definition varie dans la litterature d’un facteur multiplicatif.

28

1. Donner une CS pour que la transformee de Fourier de f soit derivable. Donner alorsune expression de sa derivee.

2. Donner une CS pour que la transformee de Fourier de f ′ soit definie. La calculerdans ce cas.

3. Remplir le formulaire :

df(ω)

dω=

f ′(ω) =

Exercice 46 transformee de Fourier d’une GaussienneSoit f definie par f(t) = e−at

2, avec a > 0.

1. Montrer que sa transformee de Fourier est de classe C∞.

2. Montrer que f verifie une equation differentielle lineaire et la calculer.

corrige en 9.4

Exercice 47Soit b un reel positif, f une fonction continue par morceaux et integrable sur R,

1. Donner une condition suffisante pour que la fonction f definie par

f(ω) =

∫Rf(t)e−2πiωt dt,

soit de classe C∞ et preciser ses derivees.

2. On suppose que∀x ∈ R, |x| > b⇒ |f(x)| = 0.

Montrer que f est developpable en serie entiere en ω0 ∈ R.3. Montrer que f ne peut s’annuler sur aucun intervalle, sauf si elle est nulle partout..

Complements sur l’integrale de Fourier :On ajoutera a cette liste les exercices 36 et 37, qui etablissent grace au theoreme de Fubinides relations fondamentales pour la transformee de Fourier, a savoir la formule d’echangeet l’image d’un produit de convolution.

29

7.1.2 Analyse du signal, transformee de Fourier discrete

0

10

20

30

40

–3 –2 –1 1 2 3

w

Figure 3 – transformee de Fourier de f40,0.7

–15

–10

–5

0

5

10

15

–8 –6 –4 –2 2 4 6 8

w

Figure 4 – transformee de Fourier de g(100, t) : plus ca dure, plus c’est net

Exercice 48 analyse spectrale rudiments...

1. On considere λ > 0, a > 0 et la fonction a support compact

fa,λ(t) =

cos(2πλt), si t ∈ [−a, a]0 sinon .

(a) Calculer sa transformee de Fourier ; on choisira la definition

F(f)(ω) = f(ω) =

∫Re−2πiωxf(x) dx.

(b) Calculer puis representer graphiquement dans une feuille Maple ou Scilab lestransformees de Fourier de fa,λ pour λ = 0.7 et a = 10, 20, 50, par exemple.Qu’observe-t-on ? Justifier les observations.

30

(c) La fonction fa,λ est elle integrable sur R? La fonction

ω → fa,λ(ω) e2iπωx

admet elle une integrale impropre sur R? Le cas echeant, calculez la transformeede Fourier inverse de fa,λ.

2. (a) Soit H la fonction echelon (fonction de Heaviside). On definit

g := (a, t)→ (2 cos (2π λ1t) + 5 cos (2π λ2t) + cos (2π λ3t)) H (a− t) H (a+ t) .

Representer graphiquement la transformee de Fourier de g(a, t) sous MAPLEou Scilab. Qu’observe-t-on ? Que se passerait il avec l’autre definition usuellede la transformee de Fourier ?

(b) On pose φN (t) = fN,λ(t). Soit ε > 0. Montrer que la suite des transformees de

Fourier(φN

)N, est uniformement bornee sur le complementaire de ]λ− ε, λ+

ε[∪]− λ− ε,−λ+ ε[.Evaluez cette fonction en ±λ.

corrige dans le polycopie analyse du signal...

31

• Introduction a la notion de Transformee de Fourier Discrete (TFD ou DFT)

Comment calculer la transformee de Fourier d’un signal temporel represente par une fonc-tion f?– On dispose en pratique d’un echantillonnage de la fonction f, entre des instants T0 etT1. C’est dire que l’on connaıt des valeurs f(tk) pour t0 = T0, ..., tN = f(T1).

– On veut calculer

f(ω) =

∫ ∞−∞

f(t)e−iωt dt ≈∫ T1

T0

f(t)e−iωt dt.

– On obtient une valeur approchee de cette derniere integrale avec une somme de Rie-mann : ∫ T1

T0

f(t)e−iωt dt ≈N−1∑k=0

(tk+1 − tk)f(tk)e−itkω

– Comme on n’est pas trop debile la subdivision est reguliere et tk+1 − tk =T1 − T0

N.

Ainsi : ∫ T1

T0

f(t)e−iωt dt ≈ T1 − T0

Ne−iωT0

N−1∑k=0

f(tk)e−i k

Nω∆T

– Il va de soi que l’on ne peut pas calculer toutes les valeurs f(ω). Il va falloir choisir.On en calculera N. On va vite voir pourquoi ... et comment.Definition 4 Soit (αk)0≤k≤N−1 une suite de N nombres. On appelle transformee deFourier discrete de cette suite, la suite de N nombres egalement, definie par

TFD(α)(n) =1

N

N−1∑k=0

αke−2iπ

kn

N .

Exercice 49

1. Calculer la transformee de Fourier discrete de f = (f(tk))k definie comme ci-dessus.Donner une relation entre TFD(f)(n) et f(ω) pour ω bien choisi.

2. Expliciter la matrice ΩN telle que ΩN (α) = TFD(α) ∈ CN a l’aide de W = e

−2iπ

N .

3. Montrer que l’inverse de ΩN est1

NΩN .

7.2 Des ondelettes

Les ondelettes et les decompositions des fonctions en sommes d’ondelettes (les fonctionsψu,s ci-dessous), sont le fruit et la mise en forme de cogitations menees par des ingenieurs (ycompris geologues), des physiciens (1984- ) et des mathematiciens (1960-), elles prolongentles series et l’integrale de Fourier, interviennent en traitement du signal, en compressiond’image, de son (le standard JPEG2000), en reconnaissance de forme, peut-etre memebientot pour l’etude des EDP...

32

Exercice 50 Considerons une fonction ψ, (ondelette mere), continue par morceaux surR, integrable sur R de meme que ψ2. On suppose de plus que∫

Rψ = 0 et

∫Rψ2 = 1.

On lui associe la famille des fonctions (ψu,s)(u,s) definies par

ψu,s(t) =1√sψ

(t− us

).

Pour simplifier on traitera le cas des fonctions a valeurs reelles.

1. Montrer que la fonction ψu,s verifie les memes proprietes que ψ.

2. Exprimer sa transformee de Fourier en fonction de celle de ψ.

3. Montrer que si f et g sont deux fonctions continues par morceaux sur R, de carresintegrables, alors fg est integrable.

4. On pose, pour f continue par morceaux , de carre integrable, u ∈ R et s > 0 :

Wu,s(f) =

∫R

1√sψ

(t− us

)f(t) dt.

Montrer que cette expression est bien definie. Quelle est sa limite lorsque s→ +∞?

33

7.3 Transformee de Laplace (pour justifier l’outil que vous avez parfoisutilise)

I. Proprietes des transformees de Laplace.Soit f, continue par morceaux sur ]0,+∞[, on lui associe la fonction L(f) definie par

L(f)(p) =

∫ +∞

0f(t)e−pt dt (7.1)

pour p ≥ 0 tel que t→ f(t)e−pt soit integrable sur ]0,+∞[.

1. Intervalle de definition de L(f).

(a) Montrer que, si pour p = p0 > 0, la fonction t → f(t)e−pt est integrable sur]0,+∞[, alors t→ f(t)e−pt est integrable pour tout p > p0.

(b) En deduire que si l’ensemble de definition de Lf n’est pas vide, c’est un inter-valle de R+.

(c) Donner des exemples de fonctions f telles que L(f) soit definie exactement sur[0,+∞[, ]0,+∞[, [q,+∞[, ]q,+∞[, avec q > 0.

2. On considere les fonctions puissances γk(x) = xk, k entier, et on se propose d’etudier

L(γk)(p) =

∫ +∞

0e−ptγk(t) dt

lorsque p > 0..

(a) Calculer L(γk)(p).

(b) En deduire que toute fonction polynome

P (x) =n∑k=0

akxk

admet une transformee de Laplace que l’on exprimera.

(c) Ecrire une relation concise entre la transformee de Laplace d’un polynome nulen 0 et de son polynome derive. Que dire si P (0) est quelconque ?

3. On considere une fonction f definie sur R, telle que– f est de classe Ck sur ]0,+∞[ et admet des derivees successives a droite en 0,

notees f ′d(0+), f ′′d (0+), ...– f admet une transformee de Laplace p→ L(f)(p) definie dans un voisinage V de

+∞– pour tout j = 0, 1, ...k, il existe pj ∈ V tel que t→ e−pjtf (j)(t) soit integrable sur

]0,+∞[ et de limite nulle en +∞.

(a) Montrer que f ′ admet, elle aussi une transformee de Laplace definie sur V, etque

L(f ′)(p) = pL(f)(p)− f(0+).

34

(b) Montrer que les derivees d’ordre inferieur a k admettent des transformees deLaplace et verifier la formule :

L(f (k))(p) = pkL(f)(p)−k−1∑j=0

pk−1−jf (j)(0+). (7.2)

II. Regularite des transformees de Laplace.

1. On suppose f est continue. Montrer que L(f) est continue sur son intervalle ouvertde definition.

2. Donner une condition suffisante sur f pour que L(f) soit de classe Cm et montrerqu’alors :

dm

dpmL(f)(p) = (−1)mL(tmf)(p). (7.3)

III. Convergences des transformees de Laplace.

1. On considere l’ensemble F des fonctions continues par morceaux sur ]0,+∞[ pourlesquelles il existe p > 0 tel que

(t→ e−ptf(t))

soit integrable sur ]0,+∞[.

(a) Montrer que F est un espace vectoriel.

(b) On suppose que (fn) est une suite de fonctions de F qui converge uniformementvers f continue par morceaux sur ]0,+∞[.– Montrer qu’il existe q ≥ 0 tel que les transformees de Laplace des fonctionsfn et f soient definies sur ]q,+∞[.

– Que peut on dire de la convergence de la suite de fonctions L(fn) sur cetintervalle ?

2. Soit (ak)k une suite de reels et

h(t) =∑k≥0

aktk.

On suppose que le rayon de convergence de la serie entiere est R = +∞.(a) On suppose que h est bornee et qu’il existe p > 0 tel que la serie∑ akk!

pk+1

converge. Que peut on affirmer ? En deduire une expression des transformeesde Laplace de cos(

√t) et de sin(t). Pour cette derniere fonction comparer a un

calcul direct.

35

(b) On suppose que ak ≥ 0 pour tout k ∈ N. Montrer que h admet une transformeede Laplace ssi il existe p > 0 tel que la serie∑ akk!

pk+1

converge. Donner alors une expression de L(h).

IV. Usage du dictionnaire, ce que vous faites en SIUne fois la transformee de Laplace definie pour certaines fonctions, on etablit un formulaire (dutype de celui qui vous a ete donne en SI), pour des fonctions definies sur [0,∞[. Vous pouvezverifier certaines de ces relations formelles n’oubliez pas de determiner des conditions suffisantesd’existence d’une transformee ainsi que l’ensemble des valeurs de p pour lesquelles la transformeeest definie.On note H la fonction echelon (fonction de Heaviside).

L(f ′)(p) = L(f)(p)− f(0) (7.4)

L(f (k))(p) = pkL(f)(p)−k−1∑j=0

pk−1−jf (j)(0) (7.5)

dm

dpmL(f)(p) = (−1)mL(tmf)(p) (7.6)

L(tk))(p) =k!

pk+1(7.7)

L(sin(ωt))(p) =ω

p2 + ω2(7.8)

L(cos(ωt))(p) =p

p2 + ω2(7.9)

L(f(t)eαt)(p) = L(f)(p− α) (7.10)

L(f(αt))(p) =1

αL(f)(

p

α) (7.11)

L(f(t− r)H(t− r))(p) = L(f)(p)e−tp (7.12)

L(f(t)

t)(p) =

∫ ∞p

L(f)(x) dx (7.13)

Ce dictionnaire permet alors de transformer des expressions lineaires en les derivees d’une fonctionf, en des expressions algebriques de la transformee de Laplace de f. Par exemple, l’expression

a y”(t) + b y′(t) + c y(t) = h(t) (7.14)

a pour transformee de Laplace :

aLy”(t) + bLy′(t) + cLy(t) = Lh (7.15)

La resolution de cette equation donne Lf, on retrouve f par lecture du dictionnaire et en sachantque la transformation est injective. En realite la transformation de Laplace devient un outil pratique(theoremes, formules valides) en introduisant des notions (distributions) qui vont bien au dela duniveau de CPGE, dont l’existence a ete pressentie par certains physiciens (Dirac, Heaviside...)avant qu’on ne puisse les definir en mathematiques (Laurent Schwartz,...) et en developper toutesles applications.

Exercice 51 Mettre en œuvre formellement la methode decrite dans les cas suivants, justifiez laensuite :

36

1. a y”(t) + b y′(t) + c y(t) = h(t)

2. Resoudre sur [0,∞[, avec les conditions initiales : x(0) = 3, y(0) = 0.x′(t) = 3x(t) + 2y(t)

y′(t) = x(t) + 2y(t)(7.16)

37

8 Resume

8.1 Suites d’integrales

Theoreme 13 si (fn)n est une suite de fonctions continues par morceaux convergeantuniformement vers f egalement continue par morceaux sur un segment I = [a, b], alors

limn

∫Ifn =

∫I(limnfn) =

∫If.

Theoreme 14 theoreme de convergence domineeSoit (fn)n une suite de fonctions continues par morceaux definies sur un intervalle I, a

valeurs complexes. On suppose que– la suite (fn)n converge simplement vers une fonction f qui est continue par morceaux

sur I,– il existe une fonction φ continue par morceaux et integrable sur I, telle que, pour toutn, |fn| ≤ φ (hypothese de domination).

Alors,– chaque fonction fn est integrable sur I,– la limite simple, f, est integrable sur I,– la suite des integrales

∫I fn converge et

limn

∫Ifn =

∫I

limnfn =

∫If.

Theoreme 15 theoreme de convergence dominee pour les seriesSoit (fn)n une suite de fonctions continues par morceaux definies sur un intervalle I, a

valeurs complexes. On suppose que– la serie

∑n fn converge simplement vers une fonction S qui est continue par morceaux

sur I,– il existe une fonction φ continue par morceaux et integrable sur I, telle que, pour toutn, |Sn =

∑nk=0 fk| ≤ φ (hypothese de domination).

Alors,– chaque fonction Sn =

∑nk=0 fk est integrable sur I,

– la fonction S =∑∞

k=0 fk, est integrable sur I,– la serie des integrales

∑nk=0

∫I fk converge et

∞∑k=0

∫Ifk =

∫I

∞∑k=0

fk =

∫If.

38

Theoreme 16 integration terme a terme d’une serieSoit

∑fn une serie de fonctions continues par morceaux definies sur un intervalle I. On

suppose que– pour tout n, fn est integrable sur I,– la serie

∑fn converge simplement vers S qui est continue par morceaux .

– la serie des integrales∑

(∫I |fn|) converge ;

Alors,– S est integrable sur I, et son integrale est donnee par :∫

IS =

∫I

( ∞∑k=0

fn

)=∞∑k=0

(∫Ifn

).

– On a la majoration

||S||1 =

∫I|S| =

∫I|∞∑k=0

fn| ≤∞∑k=0

||fn||1.

8.2 Integrale dependant d’un parametre

Theoreme 17 continuiteSoit f : (x, t) ∈ A × I → f(x, t) ∈ K, ou A et I sont deux intervalles de R. On suppose

que– f est continue sur A× I,– il existe une fonction φ, ( continue par morceaux et) integrable, telle que

∀(x, t) ∈ A× I, |f(x, t)| ≤ φ(t),

Alors,– pour tout x ∈ A, la fonction t→ f(x, t) est integrable sur I,– la fonction F definie sur A par F (x) =

∫I f(x, t) dt est continue.

Theoreme 18 derivabiliteSoit f : (x, t) ∈ A× I → f(x, t) ∈ K, ou A et I sont deux intervalles de R. On suppose que– f est continue sur A× I,– il existe une fonction φ0, continue par morceaux et integrable sur I, telle que

∀(x, t) ∈ A× I, |f(x, t)| ≤ φ0(t),

– f admet une derivee partielle par rapport a x,∂f(x, t)

∂x, continue sur A× I,

39

– il existe une fonction φ1, continue par morceaux et integrable sur I, telle que

∀(x, t) ∈ A× I, |∂f(x, t)

∂x| ≤ φ1(t),

Alors,

– pour tout x ∈ A, la fonction t→ f(x, t) est integrable sur I, de meme que t→ ∂f(x, t)

∂x,

– la fonction F definie sur A par F (x) =∫I f(x, t) dt est de classe C1 sur A et

F ′(x) =

∫I

∂f(x, t)

∂xdt.

8.3 La fonction Γ :

• La fonction Γ est de classe C∞ sur ]0,+∞[ et :

Γ(x) =∫ +∞

0 tx−1e−t dtdk

dxkΓ(x) =

∫ +∞0 (ln t)ktx−1e−t dt

Γ(x+ 1) = xΓ(x) ∀n ∈ N, Γ(n+ 1) = n!

Γ

(1

2

)= 2

∫ +∞0 e−t

2dt =

√π

40

0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5

x

Figure 5 – graphes de la fonction Γ et de x− > 1/x

9 Quelques corriges

CO 9.1 Indication ou corrige 14

1. • La fonction gn(t) = t2n ln(1− tn) est continue sur [0, 1[. Au voisinage de 1 on a

|gn(t)| ∼t→1| ln(1− tn)| = | ln((1− t)(tn−1 + tn−2 + ...+ 1))| = ∼

t→1| ln(1− t)|.

Cette derniere fonction est integrable (on se ramene a lnu qui est integrable au voi-sinage de 0, ce que l’on verifie en regardant une primitive...)

• Calcul de la limite : on pense au theoreme de convergence dominee, mais onrencontre rapidement un obstacle : fn(t) = t2n ln(1−t)+t2n ln(tn−1+tn−1+...+t+1))et la domination du second terme n’est pas evidente a priori.

On peut alors diviser pour regner et ecrire :

In =

∫ 1

0t2n ln(1− tn) dt

= Jn +Kn =

∫ 1

0t2n ln(1− t) dt+

∫ 1

0t2n ln(tn−1 + tn−2 + ...+ t+ 1) dt.

Le sort de la premiere integrale est regle par le theoreme de convergence dominee :on note hn(t) = t2n ln(1− t),– hn converge simplement vers 0 sur ]0, 1[;– les fonctions hn et la limite sont cpm ;– |hn(t)| ≤ 1× | ln(1− t)| qui est integrable sur ]0, 1[.On a donc lim Jn =

∫]0,1[ 0 = 0.

41

Pour ce qui est de la suite Kn, on observe que

|Kn| =∣∣∣∣∫ 1

0t2n ln(tn−1 + tn−2 + ...+ t+ 1) dt

∣∣∣∣ ≤ ∫ 1

0t2n ln(n) dt =

lnn

2n+ 1.

• Autre facon de faire, en anticipant la derniere question.

On pose le changement de variable x = tn, t = x1/n avec dt =1

nx

1n−1 dx, ce qui

donne : ∫ 1

0t2n ln(1− tn) dt =

1

n

∫ 1

0x1+ 1

n ln(1− x) dx

ce qui permet d’obtenir (avec le TCD) un equivalent.

En effet– la suite des fonctions cpm x → x1+ 1

n ln(1 − x) converge simplement vers x →x ln(1− x) sur [0, 1[.

– ces fonctions sont dominees par | ln(1− x)| qui est integrable...C’est donc la methode a preferer.

2. (a) Ecrivons ln(1− t2n) comme une serie, il vient :

In = −∫ 1

0

∞∑k=1

tnk+2n

kdt.

Nous observons que la serie de terme general∫ 1

0

tnk+2n

kdt =

1

k(kn+ 2n+ 1),

converge. Le theoreme d’integration terme a terme s’applique ici (serie defonctions qui converge simplement vers une fonction cpm et dont la serie desintegrales des modules converge...)

Il vient donc

In = −∞∑k=1

∫ 1

0

tnk+2n

kdt = −

∞∑k=1

1

k(kn+ 2n+ 1)=−1

n

∞∑k=1

1

k(k + 2 + 1/n).

(b) Cela motive l’apparition des fonctions de l’enonce :

fk(x) =1

k(k + 2 + x), x ∈ [0, 1].

La convergence normale sur [0, 1] procede de ||fk|| ≤1

k(k + 2).

(c) On a In =−1

n

∑k≥1 fk(1/n).

Ces fonctions sont continues, la serie∑fk converge normalement sur [0, 1], la

somme est donc continue et

lim∑k≥1

fk(1/n) =∑k≥1

fk(0) =∑k≥0

1

k(k + 2).

42

Calculons cette somme. On a tout d’abord,∑k≥1

1

k(k + 2)=∑k≥1

(1/2

k− 1/2

k + 2

).

On peut separer les sommes partielles :

n∑k=1

1

k(k + 2)=

1

2

(n∑k=1

1

k−n+2∑k=3

1

k

)=

1

2

(1 +

1

2− 1

n+ 1− 1

n+ 2

).

La limite est evidente et In ∼−3

4n.

3. Le changement de variable donne

In =1

n

∫ 1

0

u2

u1−1/nln(1− u) du =

1

nJn.

On calcule la limite de (Jn)n avec le theoreme de convergence dominee. La majoration est

evidente

∣∣∣∣ u2

u1−1/nln(1− u)

∣∣∣∣ ≤ | ln(1−u)| sur ]0, 1[ et cette fonction est integrable ; passons

les autres formalites, on obtient limJn =∫ 1

0 u ln(1 − u) du. Avec ou sans MAPLE et uneipp entre 0 et U < 1, on a∫ 1

0u ln(1− u) du = −1/2 ln (1− U) + 1/2 ln (1− U)U2 − 1/2U − 1/4U2.

La limite est evidente pour qui regroupe les termes : −3/4.

Bilan : In ∼−3

4n, comme de bien entendu.

CO 9.2 corrige de l’exercice 15.

1. Soit f definie par f(t) =e−t

1 + e−t.

(a) f est continue sur [0,+∞[ (ferme en 0), seul son comportement en +∞ est aetudier :

f(t) ∼t→+∞

e−t

1.

Elle est donc integrable sur cet intervalle et on peut ecrire :∫ ∞0

f(t) dt =

∫ ∞0

e−t

1 + e−tdt =

[− ln

(1 + e−t

)]+∞0

= ln 2.

43

(b) Le calcul avec MAPLE qui donne∫ ∞0

tf(t) dt =π2

12,

∫ ∞0

t2f(t) dt = ζ(3).

nous fait fortement penser a la fonction ζ puisque l’on reconnaıt aussi1

2ζ(2)

c’est a dire a des sommes de series...

Ecrivons donc nos fonctions sous formes de series avec les observations suivantesou la convergence simple est realisee sur ]0,+∞[:

1

1 + e−t=∞∑n=0

(−1)ne−nt (9.1)

e−t

1 + e−t=

∞∑n=0

(−1)ne−(n+1)t (9.2)

t e−t

1 + e−t=∞∑n=0

(−1)nt e−(n+1)t (9.3)

t2 e−t

1 + e−t=∞∑n=0

(−1)nt2e−nt (9.4)

Verifions pour les deux dernieres series de fonctions que les hypotheses dutheoreme d’integration terme a terme sont verifiees.

Notons un(t) = (−1)nt e−(n+1)t et vn(t) = (−1)nt2 e−(n+1)t et traitons les deuxcas simultanement :– pour tout n, un est integrable sur I =]0,+∞[ de meme que vn; en effet, elles se

prolongent par continuite en 0 et d’autre part : t2un(t) = o(1), t2vn(t) = o(1)en +∞.

– la serie∑un converge simplement vers t → tf(t) qui est continue par

morceaux , c’est ce qu’exprime la formule (9.3) ;la serie

∑vn converge simplement vers t→ t2f(t) qui est aussi continue par

morceaux ;– la serie des integrales

∑(∫I |un|) converge : en effet,∫

I|un| =

∫ ∞0

te−(n+1)t dt =1

(n+ 1)2

de la meme facon, la serie des integrales∑

(∫I |un|) converge : en effet,∫

I|vn| =

∫ ∞0

t2e−(n+1)t dt =2

(n+ 1)3

Integrations par parties ou merci MAPLE.On sait alors que leurs sommes

– tf(t) =∑∞

n=0 un(t) et t2f(t) =∑∞

n=0 vn(t) sont integrables ;

44

– et que leurs integrales sont donnees par∫ ∞0

t e−t

1 + e−tdt =

∞∑n=0

(−1)n∫ ∞

0t e−(n+1)t dt =

∞∑n=0

(−1)n

(n+ 1)2;

De la meme facon :∫ ∞0

t2 e−t

1 + e−tdt =

∞∑n=0

(−1)n∫ ∞

0t2 e−(n+1)t dt = 2

∞∑n=0

(−1)n

(n+ 1)3;

Calculons alors les sommes de ces series de Riemann alternees.On sait que

∞∑n=0

1

(n+ 1)2=π2

6,

or∞∑n=0

1

(n+ 1)2−∞∑n=0

(−1)n

(n+ 1)2= 2

∞∑p=0

1

(2p+ 2)2=π2

12...

En ce qui concerne∑∞

n=0

1

(n+ 1)3, nous avons encore

∞∑n=0

1

(n+ 1)3−∞∑n=0

(−1)n

(n+ 1)3= 2

∞∑p=0

1

(2p+ 2)3=

1

4ζ(3)...

Dans les deux cas on deduit les sommes alternees...

2. Soit fonction logistique :

ga,b(t) =e−

t−ab

b(

1 + e−t−ab

)2 .

(a) Justifier que ga,b est integrable sur R et calculer son integrale.

(b) De la meme facon, justifier l’existence et calculer∫ ∞0

tga,b(t) dt,

∫ ∞0

t2ga,b(t) dt.

45

CO 9.3 corrige de l’exercice 24 (integtrale de Poisson)Soit

f(x) =

∫ π

0ln(x2 − 2x cos(t) + 1) dt.

1. Ensemble de definition :• On observe tout d’abord que x2 − 2x cos(t) + 1 = |x− eit|2 et que

t→ ln(x2 − 2x cos(t) + 1)

est continue sur [0, π] lorsque x ∈ R\−1, 1. Elle est donc integrable sur [0, π] pources valeurs de x (cpm sur un segment) 4.

• Elle est continue sur ]0, π] lorsque x = 1 et sur [0, π[ lorsque x = −1. Dans cesdeux derniers cas il importe de verifier qu’elle est integrable sur l’intervalle qui n’estpas ferme.

- Lorsque x = 1, on a ln(x2 − 2x cos(t) + 1) = ln(|1− eit|2

)= 4 ln sin

(t

2

).

Pour justifier que ln sin

(t

2

)est integrable au voisinage de 0, on ecrit que

∣∣∣∣ln sin

(t

2

)∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ln( t2 + o(t)

)∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ln( t2)

+ ln (1 + o(1))

∣∣∣∣ ∼ |ln(t)|

et on sait que ln t est integrable sur ]0, a]...

- Lorsque x = −1 la situation est analogue au voisinage de π...

En consequence, f est definie sur R.Des traces du graphe de f avec MAPLE permettent de conjecturer :

4. Toujours commencer par cela, ne serait ce que pour se faire la main avant d’etudier la continuite oule caractere C1..

46

2. Assurons nous que la fonction (x, t)→ ln(x2−2x cos(t)+1) satisfait aux hypothesesdu theoreme de derivation d’une integrale a parametre. Pour cela nous commeconspar evaluer la distance |x− eit| en faisant une figure :

Notons I =]0, π[ l’intervalle d’integration et A le lieu des parametres. Par com-modite, nous ferons une demonstration avec A = [0, 1], une demonstration avecA = [1, a] laissant de cote A = [−1, 0], A = [−a,−1] parce que les majorations sontanalogues par symetrie t→ −t.– la fonction t→ ln(x2 − 2x cos(t) + 1) est cpm sur I =]0, π[ pour tout x ∈ A;– la fonction x→ ln(x2 − 2x cos(t) + 1) est continue sur A pour tout t ∈ I;

47

– elle est de classe C1 et la fonction

x→ ∂

∂xln(x2 − 2x cos(t) + 1) =

2x− 2 cos (t)

1 + x2 − 2 cos (t)x

est continue sur A pour tout t ∈ I;– domination de la fonction :• cas A = [0, 1] :

|x− 1| ≤ |x− eit| ≤ 2 ln(x+ 1) ≤ 2 ln 2

|u(x, t)| = 2∣∣ln |x− eit|∣∣ ≤

A FINIR A FINIR ! ! ! !– domination de la derivee partielle :

3. En deduire f(x) pour |x| < 1.

4. Que faire pour |x| > 1?

CO 9.4 de l’exercice 46 (transformee d’une gaussienne)

1. f(ω) =∫R e−iωte−at

2dt =

∫R h(ω, t) dt.

La fonction h admet des derivees partielles par rapport a ω a tous les ordres qui sont

∂k

∂ωkh(ω, t) = (−i t)k e−iωte−at2 = hk(ω, t).

Pour tout k ≥ 0, on a– t→ hk(ω, t) integrable sur R;– t→ hk(ω, t) continue sur [−A,A];– il existe φk, integrable sur R telle que pour (ω, t) ∈ [−A,A] × R, |hk(ω, t)| =|t|ke−at2 ≤ Ake−at2 = φk(t).Ainsi, f est de classe C∞ sur tout [−A,A] et donc sur R et f ′(ω) =

∫R h1(ω, t) dt.

2. En derivant, nous avons

f ′(ω) =

∫Rh1(ω, t) dt = −i

∫R

(te−at

2)e−iωt dt

= −i

[e−at

2

−2ae−iω t

]∞−∞

+ i

∫R

e−at2

−2a(−iω)e−iωt dt

ce qui nous donne l’equation differentielle y′(ω) = − ω

−2ay(ω) assortie de la condition

initiale y(0) = f(0) =∫R e−at2 dt, d’ou, apres calcul de l’integrale de Gauss

f(ω) =

√π

ae−

ω2

4a (9.5)

48

Index

convolution, 23

derivationtransformee de Fourier, 28

fonctionΓ, 7, 18

fonction Γ, 18Formule

de Gauss, 18formule

sommatoire de Poisson, 10Fourier

transformee de, 28transformee discrete, 32

Fubinila formule de, 23

Γfonction Γ, 18

Gaussformule pour la fonction Γ, 18integrale, 14integrale de, 13

Integraledouble, 20

integralea parametre, 39de Gauss, 13, 14

Laplacetransformee de, 34

lemmede Riemann, 25

ondelette, 33

Poissonformule de, 10integrale, 15

Riemannlemme de, 25

suites

de Cauchy, 10

TFD, 32theoreme

continuite et derivabilite d’une integr. aparam., 39

convergence L1, 10convergence dominee, 38de convergence dominee, 6de Fubini, 23integration et limite uniforme, 3serie d’integrales, 39

Transformeede Laplace, 34

transformeede Fourier, 28

fct. a support compact, 29de Fourier Discrete, 32

49