convergence de mesures spectrales aléatoires et applications à des principes d’invariance

Statistical Inference for Stochastic Processes3: 41–51, 2000.c© 2000Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands. 41

Convergence de mesures spectrales aleatoireset applicationsa des principes d’invariance

GABRIEL LANG1 and PHILIPPE SOULIER21Ecole Nationale du Génie Rural et des Eaux et Forêts, Laboratoire GRESE, 15 avenue du Maine,75015 Paris, France2Universite d’Evry Val-d’Essonne, Département de Mathématiques, 91025 Evry Cedex, France

Abstract. Nous presentons un cadre unificateur pour un certain nombre de résultats connus deconvergence en loi pour des processus admettant une représentation linéaire par rapport à un bruitblanc faible pour lequel il existe un principe d’invariance faible. Nous montrons que ce principed’invariance est équivalenta la convergence d’une suite de mesures aléatoires spectrales. Ceci permetd’affaiblir les hypotheses usuelles et donc d’obtenir des résultats nouveaux de convergence en loi,notamment pour des processus à longue portée.

Key words: mesure aléatoire spectrale, principe d’invariance, tableaux triangulaires.

1. Introduction

Soit (Xk)k∈Z un processus stationnaire au second ordre admettant la représentationlineaire

Xn =∑k∈Z

akξn−k,

ou (ξk)k∈Z est un bruit blanc faible, i.e.E(ξk) = 0, E(ξkξl) = δk,l et (ak)k∈Zune suite de carré sommable i.e.

∑k∈Z a

2k < ∞. Il est connu qu’un principe

d’invariance pourXt peut se déduire d’un principe d’invariance pourξt et d’unehypothese complémentaire sur le filtre(ak)k∈Z. Le theoreme 18.6.4 d’ Ibragimovet Linnik (1971) suppose que la suiten−1/2∑n

k=1 ξk verifie le theoreme de limitecentrale et que la fonctiona(x) = (2π)−1/2∑

k∈Z akeikx est continue, pour con-

clure que la suiten−1/2∑nk=1Xk verifie elle aussi un théoreme de limite centrale.

Van der Meer (1996) considère un filtre tel que la fonctiona ait une singularité al’origine, le processus filtré resultantetant alors dit à longue portée. Il generalisele resultat de Gorodetskii (1977) qui concerne une suiteXn lineaire par rapporta un bruit blanc strict, i.e. une suite de variables i.i.d.: la suite

∑[nt ]k=1Xk, conven-

ablement renormalisée converge au sens des répartitions finies vers un mouvementbrownien fractionnaire, et la suite est de plus tendue. Cette méthode a l’avantagede ne pas faire d’hypothèse de structure sur l’innovation et donc d’élargir lesresultats concernant les processus à longue mémoirea une plus grande classe de

42 GABRIEL LANG AND PHILIPPE SOULIER

processus que les processus linéaires. L’interet du travail de Van der Meer (1996)est l’utilisation du Theoreme 3 de Grinblat (1976) (Théoreme 2 ci-dessous). Enutilisant ce theoreme de Grinblat, nous montrons dans cet article que le principed’invariance faible pour l’innovation est équivalenta la convergence d’une suitede mesures spectrales (Théoreme 1, Section 2). Ce théoreme permet d’unifier lapresentation d’un grand nombre de résultats de convergence en loi sous l’hypothèseunique d’un principe d’invariance faible pour une suite de variables orthogonales.

Dans la partie 3, nous donnons quelques applications. Nous retrouvons un cer-tain nombre de résultats connus pour des tableaux triangulaires que nous étendonsa des cas où les hypothèses usuelles sur la suiteξk ne sont pas vérifiees ou passuffisantes.

2. Convergence des mesures aleatoires

Soit (ξk)k∈Z un bruit blanc au second ordre (E(ξk) = 0, E(ξk, ξp) = δk,p) verifiantl’hypothese

HYPOTHESE 1.La suiteSξn(t) = n−1/2∑[nt ]−1k=0 ξk converge en loi au sens des

repartitions finies vers un processusB mesurable.

La suiteξk etant un bruit blanc faible, on aE{(Sξn(t)− Sξn(s))2} = n−1|[nt ] − [ns]|et le lemme de Fatou stochastique (cf. Section 5) implique queB est a variationquadratique bornée:

E[{B(t)− B(s)}2]6 |t − s|. (1)

SoitW la mesure aléatoirea accroissements orthogonaux associéea la suiteξk, (cf.Dacunha-Castelle et Duflo, 1983, T.2 p. 25)

ξk = 1√2π

∫ π

−πeikxW(dx). (2)

La suiteξk etant un bruit blanc faible, la mesure de contrôle deW est la mesure deLebesgue sur [−π, π ]. SoitWn la mesure aléatoirea accroissements orthogonauxsur [−nπ, nπ ] definie par

Wn(A) = n1/2W(n−1A), (3)

dont la mesure de contrôle est la mesure de Lebesgue sur [−nπ, nπ ].

THEOREM 1. Sous l’hypothese 1, il existe une application lineaire W0 deL2(R,dx) dansL2(�,A,P) noteeφ → ∫

φ(x)W0(dx), verifiant les proprietessuivantes

E(∫

φ(x)W0(dx)

)2

6∫φ2(x)dx, (4)∫

1− eitx

ix√

2πW0(dx) = B(t). (5)

CONVERGENCE DE MESURES SPECTRALES ALEATOIRES 43

Si φn est une suite de fonctions qui converge dansL2(R,dx) vers φ, alors∫φn(x)Wn(dx) converge en loi vers

∫φ(x)W0(dx).

Remarques

1. Reciproquement, si la suite de mesures aléatoiresWn converge vers une mesurealeatoireW0 au sens où

∫φ(x)Wn(dx) converge en loi vers

∫φ(x)W0(dx)

pour toute fonction continueφ a support compact, et siW0 satisfait (4), alorsle bruit blanc faibleξt satisfait l’hypothese 1.

2. Cette methode ne permet pas d’obtenir un résultat de convergence des mo-ments d’ordre 2, et l’on ne peut pas conclure que la mesure aléatoire limite soita accroissements orthogonaux.

3. Comme il apparaˆıt clairement dans la preuve, la condition de bruit blanc faiblen’est pas nécessaire. Le théoreme 1 s’etend au cas d’un processus à densitespectrale bornée.

3. Applications

Soit maintenanta(x) = (2π)−1/2∑k∈Z a(k)e

ikx une fonction deL2([−π, π ],dx)et considerons le processus filtré

Xk = (a.ξ)k =∑n∈Z

a(n)ξk−n =∫ π

−πa(x)eikxW(dx). (6)

3.1. PRINCIPES D’ INVARIANCE

Considerons la suite des sommes partiellesSXn (t) := n−1/2∑[nt ]−1k=0 Xk. En posant

an(x) = a(x/n), Dn(t, x) = (eitnx − 1)/(n(eix/n − 1))I{|x|6 nπ} et tn = [nt ]/n,il vient

SXn (t) =∫ nπ

−nπan(x)Dn(t, x)Wn(dx),

Le theoreme 1 montre que sous l’hypothèse 1, la suiteSXn suit un principed’invariance des que la suite de fonctionsanDn(t, .) , eventuellement renormalisée,converge dansL2(R,dx).

Filtre continu en zero. Supposons la fonctiona bornee et continue en zéro. LasuiteSXn converge alors au sens des répartitions finies versa(0)B(t). Ce resultatest different de celui d’Ibragimov et Linnik (1971) qui suppose la continuité dufiltre en tout point, mais ne suppose qu’un théoreme de limite centrale simple pourles sommes partielles renormaliséesSXn (1). Dans la mesure où la limite ne dependque de la valeur du filtre en zéro, l’hypothese de continuité en tout point n’estpas naturelle. Nécessaire à leur preuve, elle est rendue inutile dans la nôtre parl’utilisation des mesures spectrales changées d’echelleWn.


Longue portee.Considerons maintenant le cas où la fonctiona est continue horsde l’origine et varie régulierement à l’origine:

a(x) = L(x)|x|−α/2, (7)

ou 0 < α < 1 etL varie lentement en zéro (pour la notion de fonction à vari-ation lente, cf. Resnick, 1987). On retrouve alors le résultat de Van der Meer:n−α/2L(1/n)−1/2SXn (t) converge au sens des répartitions finies vers le processusBα(t) defini par

Bα(t) =∫ ∞−∞|x|−α e

ix − 1

ixW0(dx).

LorsqueB est le mouvement brownien,Bα est le mouvement brownien fraction-naire. La suite est de plus tendue et la convergence est donc fonctionnelle. Il suffiten effet, (Billingsley, 1968), Théoreme 15.6) de montrer qu’il existe un réelη > 0,tel que pour touss et t , n−αL(1/n)−1E(Sn(t)− Sn(s))26 c|t − s|1+η.

n−αL(1/n)−1E(Sn(t)− Sn(s))2

=∫ nπ

−nπ

∣∣∣∣ 1− eiunx

n(1− eix/n)

∣∣∣∣2 |an(x)|2 dx

6 c∫ ∞−∞

∣∣∣∣1− eiunx

ix

∣∣∣∣2 |x|−α dx

6 c|un|1+α∫ ∞−∞

∣∣∣∣1− eix

ix

∣∣∣∣2 |x|−α dx,

ou l’on a poseun = tn−sn. Pour conclure, il reste à remarquer que|un|6 2|t−s|. Lefait que la tension se prouve en calculant un moment d’ordre 2 et non d’ordre pluseleve comme c’est géneralement le cas en dépendance faible est une caractéristiquebien connue de la longue portée.

3.2. DFT DU PROCESSUS FILTRE

Soit xj = 2jπ/n et soit dn(xj ) = n−1/2∑nk=1Xke

itxj . Avec les notationsprecedentes, on a

dn(xj ) =∫ nπ

−nπan(x)Dn(1, x − xj )Wn(dx).

– Sia est bornee et continue en zéro eta(0) 6= 0, dn(xj ) converge vers

d0(j) = a(0)∫ ∞−∞

[(ei(x−2jπ) − 1)

i(x − 2jπ)

]W0(dx).

Si la mesure aléatoireW0 est invariante par translation, alors les variablesd0(j)

sontequidistribuees.


– Sia verifie (7), alors les variablesn−α/2L−1/2(1/n)dn(xj ), 06 j 6 n− 1 con-vergent conjointement vers

dα(j) =∫ ∞−∞

[ |x|−α/2(ei(x−2jπ) − 1)

i(x − 2jπ)

]W0(dx).

Contrairement au cas précedent (faible dépendance), même siW0 est invari-ante par translation, on retrouve le résultat connu dans le cas gaussien (Hur-vich et Beltrao, 1993) ou linéaire (Terrin et Hurvich, 1994) que les DFT auxfrequences de Fourier ne sont pas équidistribuees. On géneralise donc cesresultats à des processus autres que les processus gaussiens ou linéaires.

3.3. TABLEAUX TRIANGULAIRES

Plus generalement, considérons un tableau triangulaire de nombres réels(bn,k)16 k6 n tel que

∑nk=1 b

2n,k = 1. On a alors

n∑k=1

bn,kXk = 1√2π

∫ nπ

−nπ

[an(x)√n

n∑k=1

bn,keikx/n

]Wn(dx),

ou l’on note comme précedemmentan(x) = a(x/n). La suite∑n

k=1 an,kXk con-verge en loi dès que l’hypothèse suivante est vérifiee.

HYPOTHESE 2. La suite de fonctionsφn(x) = n−1/2an(x)∑n

k=1 bn,keikx/n, a une

renormalisation pres, converge dansL2(R,dx) vers une fonctionφ.

Dans le casa(x) = 1, i.e.X = ξ , cette condition est beaucoup plus forte que lacondition de négligeabilite asymptotique de type Lindeberg usuelle:

limn→∞ max

16 k6 n|bn,k| = 0, (8)

qui est suffisante dans de nombreux cas, notamment si les variablesξk sont i.i.d.,pour entraˆıner la convergence en loi de

∑nk=1 bn,kXk. Cependant cette condition (8)

est insuffisante même dans un cas en apparence très simple comme celui d’une mar-tingale strictement stationnaire ergodique. Peligrad et Utev (1997) ont construit unexemple d’une martingale strictement stationnaire ergodique et d’un tableau(bn,k)

verifiant (8) mais telle que∑n

k=1 bn,kXk ne converge pas en loi. En revanche, unemartingale strictement stationnaire ergodique vérifie l’hypothese 1 et donc pourun tableau vérifiant l’hypothese 2, la suite

∑nk=1 bn,kXk converge en loi vers la loi

gaussienne centrée reduite.Compte tenu de la remarque 3, on peut considérer le cas où la suiteξt est

associee et sa covariance est sommable. Pour un tableau triangulaire(bn,k)16 k6 nde nombres positifs, les conditions de Lindeberg sont suffisantes pour assurer lanormalite asymptotique de

∑nk=1 bn,kξk (Peligrad et Utev, 1997). Si les nombres


bn,k ne sont pas positifs, les résultats sur les variables associées ne s’appliquentplus. La condition 2 en revanche reste suffisante.

3.4. REGRESSION LINEAIRE

Soit un modele de regression linéaire s’ecrivant

Yk = βT xk +Xk, 16 k6 n,ou β ∈ Rp est un paramètre inconnu,xk ∈ Rp et Xk est defini comme en (6).Dans le cas de la régression polynômiale, Deo (1997) a montré que l’estimateurdes moindres carrés deβ est asymptotiquement normal lorsqueXk est un pro-cessus linéaire au sens strict, i.e. lorsque lesξk sont i.i.d. On peut géneraliser ceresultat au cas où lesξk satisfont l’hypothese plus faible 1 et lorsque les régresseurssatisfont une hypothèse du type de l’hypothèse 2. Pour simplifier les notations,nous considérons le cas unidimensionnel. L’estimateur deβ s’ecrit alorsβn =s−2n

∑nk=1 xkXk avecs2

n =∑n

k=1 x2k . Sous l’hypothèse 1,β − β, convenablement

renormalise, converge en loi dès que la fonctionn−1/2s−1n an(x)

∑nk=1 xke

itx/n con-verge dansL2(R,dx). C’est par exemple le cas pour la régression linéaire usuellexk = k. On a alorss2

n ≈ n3/3 et doncn−1/2s−1n

∑nk=1 te

itx/n converge uniformément

sur les compacts et dansL2(R,dx) versφ(x) = √3∫ 1

0 seisx ds = √3x−2(eix −

1− ixeix). On a donc les deux cas suivants.

Filtre continu en zero. sn(β − β) converge en loi vers√

3a(0)∫ ∞−∞

eix − 1− ixeix

x2W0(dx).

Filtre de longue portee:a(x) = |x|−α/2L(x).n−α/2L−1/2(1/n)sn(β − β) converge en loi vers√

3∫ +∞−∞|x|−α/2−2(eix − 1− ixeix)W0(dx).

4. Preuve du Theoreme 1

SoitBn(t) le processus défini pour toutt ∈ R par

Bn(t) = 1√2π

∫ nπ

−nπeitx − 1

ixWn(dx). (9)

Bn(t) est bien défini car x → (eitx − 1)/ix√

2π est de carré integrable surRpuisque c’est la transformée de Fourier deI [0,t ] , et l’on a donc

E(Bn(t)− Bn(s))2 =∫ nπ

−nπ

∣∣∣∣eitx − eisx

ix√

2π

∣∣∣∣2 dx

6∫ +∞−∞

∣∣∣∣eitx − eisx

ix√

2π

∣∣∣∣2 dx = |t − s|. (10)


Le lemme 1 implique queBn converge en loi (au sens des répartitions finies) versB car l’equation (15) implique

E(Bn(t)− Sξn(t))2 = O(n−1).

Pour toute fonctionφ deL2(R,dx) on note‖φ‖22 =∫∞−∞ φ

2(s)ds, φ sa transforméede Fourier (cf. Section 6) et l’on définit l’int egrale stochastique∫ ∞

−∞φ(s)dBn(s) =

∫ nπ

−nπφ(x)Wn(dx), (11)

ou φ est la transformée de Fourier deφ (cf. Section 6 pour les conventions denormalisation) Cette intégrale stochastique est contractante:

E(∫ ∞−∞

φ(s)dBn(s)

)2

=∫ nπ

−nπ|φ(x)|2 dx6 ‖φ‖22 = ‖φ2‖22. (12)

Soit maintenantφ une fonction de classeC1 a support compact. Le théoreme deFubini stochastique permet l’interversion suivante.∫ ∞

−∞φ(s)dBn(s) =

∫ nπ

−nπφ(x)Wn(dx)

=∫ nπ

−nπ

[−∫ ∞−∞

φ′(s)eisx − 1

ix√

2πds

]Wn(dx)

= −∫ ∞−∞

φ′(s)[

1√2π

∫ nπ

−nπeisx − 1

ixWn(dx)

]ds

= −∫ ∞−∞

φ′(s)Bn(s)ds.

Nous utilisons maintenant le résultat ci-dessous, cas particulier du Théoreme 3 deGrinblat (1976).

THEOREME 2 (Grinblat, 1976).Soit une suite de processus(Yn(t))n∈N conver-geant en loi au sens des repartitions finies vers un processusY (t), pour t ∈ [0, T ].Supposons queE|Yn(t)| soit borne uniformement par rapporta n ∈ N et t ∈ [0, T ]et limn→∞ E|Yn(t)| = E|Y (t)| pour toutt ∈ [0, T ]. Alors pour toute fonctionnelleF continue surL1([0, T ]), F(Yn) converge en loi versF(Y ).

Nous appliquons maintenant le théoreme 2a la suite de processusBn. (10) impliqueque les hypothèses du Théoreme 2 sont vérifiees:

– E(B2n(t)) est uniformement bornée sur les compacts donc pourt dans un

compact, la suiteBn(t) est uniformement integrable et uniformément bornéedansL1.


– La convergence en loi deBn(t) versB(t) et l’uniforme integrabilite impli-quent la convergenceE|Bn(t)| versE|B(t)| pour toutt .

On conclut donc que pour toute fonctionφ de classeC1 a support compact,∫∞−∞ φ

′(s)Bn(s)ds converge en loi vers∫∞−∞ φ

′(s)B(s)ds. En appliquant (12) etle lemme 2, on obtientE(

∫∞−∞ φ(s)dB(s))26 ‖φ‖22 pour les fonctionsC1 a sup-

port compact. Les fonctions de classeC1 a support compact étant dense dansL2(R, dx), on peutetendre l’integrale stochastique par rapport à B a L2(R, dx)par application du Théoreme de Hahn-Banach, et l’on a

∀φ ∈ L2(R,dx), E(∫ ∞−∞

φ(s)dB(s)

)2

6 ‖φ‖22. (13)

On peut maintenant définir surL2(R,dx) un operateur d’integrale stochastique par∫ψ(x)dW0(x) =

∫ ∞−∞

ψ(s)dB(s). (14)

Remarquons que l’on a en particulier

B(t) = 1√2π

∫ ∞−∞

eitx − 1

ixW0(dx),

et que la propriéte de contraction (4) est vérifiee:

E(∫

ψ(x)W0(dx)

)2

= E(∫

ψ(s)dB(s)

)2

6∫ψ2(x)dx =

∫ψ2(x)dx.

Si de plusψ est de classeC1 a support compact, il vient immédiatement que∫ψ(x)Wn(dx) converge en loi vers

∫ψ(x)W0(dx). Pour une fonctionψ quel-

conque deL2(R,dx), il suffit de considérer une suite de fonctionsψk dont la trans-formee de Fourier est de classeC1 a support compact, convergeant dansL2(R,dx)versψ . On a alors

– pour toutk,w − limn→∞∫ψk(x)Wn(dx) =

∫ψk(x)W0(dx),

– limk→∞ lim supn E(∫ψk(x)Wn(dx) −

∫ψ(x)Wn(dx))2 = 0

– limk→∞ E(∫ψk(x)W0(dx) −

∫ψ(x)W0(dx))2 = 0.

Le theoreme 4.2 de Billingsley (1968) permet de conclure que pour toute fonctionψ deL2(R,dx),

∫ψ(x)Wn(dx) converge en loi vers

∫ψ(x)W0(dx).

5. Lemmes

LEMME 1. Pour tout t ∈ R, la fonctionDn(t, x) converge uniformement sur lescompacts et dansL2(R,dx) versD(t, x) = (eitx − 1)/ix.


Preuve du Lemme 1.Si |x|6 nπ , on a

|Dn(t, x)−D(t, x)| =∣∣∣∣ eitnx − 1

n(eix/n − 1)− e

itx − 1

ix

∣∣∣∣6

∣∣∣∣(eitnx − 1)

(1

n(eix/n − 1)− 1

ix

)∣∣∣∣+ ∣∣∣∣eitnx − eitx

ix

∣∣∣∣6 2

∣∣∣∣ 1

n(eix/n − 1)− 1

ix

∣∣∣∣+ |tn − t| = O(n−1),

uniformement sur les compacts. On a alors∫ +∞−∞|Dn(t, x)−D(t, x)|2 dx =

∫ nπ

−nπ

∣∣∣∣eitx − 1

ix− eitnx − 1

n(eix/n − 1)

∣∣∣∣2 dx +

+∫|x|> nπ

|1− eitx|2|x|2 dx = O(n−1). (15)

COROLLAIRE 1. Si a est une fonction bornee continue en zero alors pour toutt ∈ R, anDn(t, .) converge dansL2(R,dx) versa(0)D(t, .). Si a verifie (7) alorsn−α/2L−1(n)anDn(t, .) converge dansL2(R,dx) vers|x|−α/2D(t, x).

Nous rappelons maintenant le lemme de Fatou pour la convergence en loi.

LEMME 2 (Fatou stochastique).SoitYn une suite de variables convergeant en loivers une variableY . Alors

E(Y 2)6 lim infn

E(Y 2n ).

Preuve du Lemme 2.On peut construire une suite de v.a.Yn et une v.a.Yn tellesque pour chaquen, Yn (resp.Y ) a la meme loi queYn (resp.Y ) et Yn converge p.s.versY . Par le lemme de Fatou, on a alors

E(Y 2) = E(Y 2)6 lim infn

E(Y 2n ) = lim inf

nE(Y 2

n ).

Le lemme suivant est probablement connu mais nous le prouvons faute de réference(Van der Meer, 1996 l’énonce sous des hypothèses differentes).

LEMME 3. Soit Z une mesure aleatoire a accroissements orthogonaux surRde mesure de controle µ. Soit ν une mesure surR et soitφ(s, x) une fonctionmesurable et soitg une fonction mesurable et integrable par rapporta ν telle que∫∫

|g(s)|φ2(s, x)µ(dx)ν(ds) <∞. (16)

Le processusX(s) = ∫φ(s, x)Z(dx) et l’integrale

∫g(s)X(s)ν(ds) sont alors

bien definis et de variance finie. La fonction8g(x) =∫g(s)φ(s, x)ν(ds) est


definie µ-presque partout et de carre integrable par rapporta µ. L’integralestochastique

∫8g(x)Z(dx) est donc definie et l’on a:∫

8g(x)Z(dx) =∫g(s)X(s)ν(ds) p.s. (17)

Remarque.Siµ est une mesure finie et sig ∈ L1(ν), on peut affaiblir l’hypothèse(16) en la remplaçant par∫

|g(s)|[∫

φ2(s, x)µ(dx)

]1/2

ν(ds) <∞. (18)

Preuve du Lemme 3.Il faut tout d’abord prouver l’existence des processuset des integrales considéres. Pour simplifier les notations, on peut supposer que∫ |g(s)|ν(ds) = 1.

1. X(s) est bien défini pourν-presque touts car (16) et le théoreme de Fubinientraˆınent que

E(X2(s)) =∫φ2(s, x)µ(dx) <∞ ν − presque partout.

2. En appliquant l’inégalite de Jensen et (16), on a

E(∫

g(s)X(s)ν(ds)

)2

6∫|g(s)|E(X2(s))ν(ds)

=∫∫|g(s)|φ2(s, x)µ(dx)ν(ds) <∞.

3. De meme la fonction8g est bien définie et l’on a∫(8g(x))

2µ(dx)6∫∫|g(s)|φ2(s, x)µ(dx)ν(ds) <∞.

L’int egrale stochastique∫8g(x)Z(dx) est donc bien définie.

4. SoitFZ = σ (Z(A),A ∈ B(R)). Toute variableFZ-mesurable peut s’écrireY = ∫

ψ(x)Z(dx) pour une fonctionψ telle que∫ψ2(x)µ(dx) < ∞. On a

alors

E(Y

∫g(s)X(s)ν(ds)

)=∫g(s)E(YX(s))ν(ds)

=∫g(s)

∫ψ(x)φ(s, x)µ(dx)ν(ds)

=∫ψ(x)

∫g(s)φ(s, x)ν(ds)µ(dx)

=∫ψ(x)8g(x)µ(dx)

= E

(Y

∫8g(x)Z(dx)

).


Toutes les interversions ci-dessus sont justifiées par (16) et le théoreme deFubini.

∫g(s)X(s)µ(ds) etantFZ-mesurable, l’égalite (17) est donc prouvée.

6. Conventions pour la transformation de Fourier

Nous definissons la transformée de Fourier surL2([−π, π ],dx) et surL2(R,dx)de telle sorte qu’elle soit une isométrie. Soitg une fonction deL2([−π, π ],dx).Posons, pourk ∈ Z, g(k) = (2π)−1/2

∫ π−π g(x)e

ikx dx. On a alorsg(x) =(2π)−1/2

∑∞k=−∞ g(k)e−ikx dans L2([−π, π ],dx) et

∑∞k=−∞ |g(k)|2 =∫ π

−π g2(x)dx. La transformée de Fourier d’une fonctionφ de L2(R,dx) est

definie parφ(x) = (2π)−1/2∫ +∞−∞ φ(s)eisx ds. C’est une isométrie dont l’inverse

estψ(s) = (2π)−1/2∫ +∞−∞ ψ(x)e−isx ds.

References

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