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Universitá degli Studi di Napoli “Federico II”

Facoltá di IngegneriaCorso di Laurea Magistrale in Ingegneria dell’Automazione

Controllo Attivo delle Sospensioni di unAutoveicolo

Studenti:

Antonio AdaldoM58/35

Vito MagnanimoM58/37

Anno Accademico 2011-2012

Indice

1 Introduzione 11.1 Generalità sui Sistemi di Ammortizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Descrizione del Progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Modello 3

3 Sistema Non Controllato 9

4 Disaccoppiamento 14

5 Tracking Ottimo con Retroazione di Stato in Presenza di Disturbi Deterministici 20

6 Tracking Ottimo in Retroazione di Uscita 25

7 Tracking Ottimo in Presenza di un Filtro di Kalman 30

8 Controllo in Presenza di Attuatori Non Ideali 33

9 Controllo in Presenza di Sospensioni Semi-Attive 37

10 Confronto 4110.1 Primo Gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4110.2 Secondo Gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.3 Terzo Gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2

Capitolo 1

Introduzione

1.1 Generalità sui Sistemi di Ammortizzazione

Gli autoveicoli sono dotati di un sistema di sospensioni che, oltre a sorreggere lo chassis del veicolo,deve isolarlo dalle irregolarità del terreno per migliorare il comfort di marcia.

Le sospensioni tendono a limitare le accelerazioni verticali della massa sospesa quando il veicolo transitasu una sede stradale che presenta delle irregolarità.

Molti veicoli impiegano sospensioni di tipo passivo, che sono le più semplici ed economiche e perquesto sono le più usate nei veicoli commerciali. Sono composte da un ammortizzatore (molla Ks) e unosmorzatore viscoso (C) in parallelo i cui parametri sono fissi e scelti dalla casa costruttrice per ottenereun valore di compromesso tra le esigenze di comfort di marcia e quelle associate alla manovrabilità delveicolo (handling), anche in funzione dell’impronta più o meno sportiva che si vuole conferire alla guidadel mezzo.

Sospensioni troppo “morbide” migliorano il comfort in quanto si deformano molto rapidamenteassorbendo (e quindi compensando) le asperità e le brusche variazioni di quota della sede stradale,ma rischiano di ridurre la tenuta di strada a causa delle ampie oscillazioni verticali del veicolo e delleconseguenti ampie fluttuazioni della forza di contatto tra pneumatico e strada.Quando inoltre la macchinaaccelera o decelera, o percorre una curva, si generano sul veicolo delle forze che inducono movimenti di“pitch” e “roll” al quale le sospensioni offrono poca resistenza.

Viceversa una taratura troppo rigida garantisce migliore aderenza ma provoca un aumento dellesollecitazioni verticali sulla cassa del veicolo (basso comfort di marcia).

Il problema del miglioramento del comfort di marcia viene come detto valutato in termini dellaminimizzazione delle accelerazioni verticali della massa. Il problema dell’handling (talvolta indicato come“controllo dell’assetto”) viene espresso sia con riferimento alla minimizzazione delle fluttuazioni della forzadi contatto tra pneumatico e strada che con l’obiettivo di mantenere costante la quota rispetto al suolodelle masse sospese, a fronte delle forze, di varia natura (aerodinamica, trasferimenti di carico,. . . ) cheagiscono sulla carrozzeria in frenata, in accelerazione e in curva.

Si vorrebbe simultaneamente che le sospensioni fossero “morbide” verso le asperità del terreno, e“rigide” nei confronti di forze esterne e/o inerziali. Appare chiaro come siano due specifiche contrastanti.Una sintesi efficace si traduce pertanto nell’identificazione di un buon compromesso tra le due specifiche.

Le macchine sportive hanno sospensioni molto rigide, prestanti in termini di assetto e tenuta di strada,ma inutilizzabili nella vita quotidiana. E’ chiaro come nelle competizioni sportive l’aspetto delle prestazioniin termini di assetto e stabilità venga chiaramente privilegiato rispetto al comfort di marcia del pilota.

Le prestazioni ottenibili con sospensioni passive sono limitate dalla semplicità dei dispositivi diattuazione e dall’insufficiente numero di gradi di libertà progettuali. In contesti “spinti”, come i veicolisportivi o di alta gamma, le prestazioni fornite da sistemi passivi sono largamente insoddisfacenti, e in talicontesti si utilizzano difatti tipologie alternative di sospensioni: le sospensioni semi-attive e le sospensioniattive.

Le sospensioni semi-attive sono anch’esse composte da un sistema molla-smorzatore in parallelo, mac’è un attuatore e un relativo sistema di controllo in grado di variare opportunamente in linea il parametroC (costante di smorzamento) dello smorzatore.

Nelle sospensioni attive, oltre alla molla e allo smorzatore vi è in più un terzo elemento, un attuatorein grado di generare una forza interna F(t) variabile nel tempo tra la cassa del veicolo e la ruota. Talisistemi consentono, attraverso una opportuna “modulazione” di tale forza, di stabilizzare il movimento e

1

ottenere prestazioni nettamente superiori a quelle di un sistema passivo, e comunque in genere migliorianche di quelle di un sistema semi-attivo. Il problema di come “calibrare” tale forza sulla base delle misuredisponibili è un tipico problema di controllo che per le sue peculiarità si presta alla applicazione delletecniche di analisi e sintesi per sistemi lineari tempo-invarianti.

1.2 Descrizione del Progetto

Questo progetto si propone di implementare un sistema di controllo automatico atto a modulare leforze erogate da un sistema di sospensioni attive.Per portare a compimento l’implementazione si è fatto uso di alcune delle tecniche apprese nell’ambito delcorso di Sistemi di Controllo Multivariabile. Con spirito didattico, si è scelto di implementare più di unsistema di controllo, così che fosse possibile effettuare un confronto tra le prestazioni ottenute applicandole varie tecniche.

Di seguito descriviamo brevemente gli schemi di controllo inclusi nel progetto, e alla cui descrizionecritica è dedicata gran parte di questo elaborato.

• Un primo schema implementa il Disaccoppiamento all’Indietro dell’impianto, completato da regolatoriPI per il controllo delle singole FdiT.

• Un secondo schema implementa il problema del Tracking Ottimo in Retroazione Lineare di Stato,tenendo conto anche della possibile presenza di disturbi deterministici.

• Un terzo schema introduce una retroazione di Uscita utilizzando un Osservatore di Luenberger.

• Un quarto schema sostituisce l’osservatore di Luenberger con un Filtro di Kalman per il Recuperodi Robustezza in Ingresso.

• Un quinto schema introduce eventuali dinamiche e saturazioni degli attuatori.

• Un sesto schema, infine , analizza il degradarsi delle prestazioni in presenza di smorzatori semi-attivi.

Naturalmente, per realizzare ogni tipo di controllo automatico del sistema delle sospensioni è statopreventivamente necessario individuare un appropriato modello matematico del comportamento dellesospensioni stesse. A questo proposito è opportuno segnalare che per il sistema delle sospensioni automobi-listiche sono disponibili svariati modelli, più o meno complicati a seconda del grado di approssimazione concui si desidera descriverle, ma grossomodo sempre riconducibili ad un insieme di masse, molle e smorzatori.Tali modelli corrispondono dunque, per loro stessa natura, a Sistemi Dinamici Lineari Tempo-Invarianti.É praticamente superfluo precisare che la natura LTI delle sospensioni rappresenta un considerevolevantaggio per chi si accinge a sintetizzare un Sistema di Controllo Automatico da applicarvi. Il secondocapitolo di questo elaborato è interamente dedicato alla descrizione del modello adottato per descrivere ilsistema di sospensioni che si desidera controllare.

A ciascuno dei Sistemi di Controllo è dedicato un capitolo di questo elaborato. Ad ogni capitolosono stati allegati i Listati Matlab e gli Schemi Simulink che si sono resi necessari rispettivamenteall’implementazione e alla simulazione del Sistema di Controllo cui il capitolo è dedicato.

Ogni Schema Simulink presente in questo progetto è suddiviso, per semplicità di visualizzazione, inalcuni Sottosistemi, ciascuno dei quali ricopre un ruolo ben preciso nella simulazione. La funzione diciascun sottosistema è stata spiegata all’interno del capitolo nel quale il sottosistema è stato impiegatoper la prima volta.

Per ciascuno degli Schemi Simulink presentati vengono riportati i risultati della simulazione eseguitaper quello Schema. Per esigenze di sintesi, per ciascuna simulazione si presentano gli andamenti temporalisolo delle variabili ritenute più significative ai fini della valutazione delle prestazioni. In particolare sipresenterà l’andamento:

• della quota verticale e della posizione angolare dello chassis;

• delle corrispondenti accelerazioni;

• delle variabili di controllo, ossia, nel più dei casi, le forze erogate dalle sospensioni attive.

Infatti, le grandezze posizionali sono significative ai fini della valutazione della tenuta di strada, mentrele accelerazioni sono rappresentative del comfort di guida Infine le variabili di controllo sono rappresentativedell’energia spesa e dell’usura degli attuatori.

2

Capitolo 2

Modello

In letteratura sono disponibili varie metodologie per modellare un autoveicolo.Si è scelto di utilizzareil cosiddetto ”Half-Car Model” che,come è evidente dal nome, descrive il comportamento di metà veicolo.

Attraverso l’Half-Car Model si possono descrivere agevolmente le oscillazioni verticali dell’abitacolo edil suo movimento di beccheggio.Si trascura invece il movimento di rollio.

Figura 2.1: Half-Car Model

Il modello utilizzato è schematizzato in Fig. 2.1.I parametri che lo rappresentano sono:

• M : massa dello chassis;

• mf ,mr : masse delle ruote e delle sospensioni;

• I : momento d’inerzia di pitch

• Kf ,Kr : costanti elastiche dei collegamenti chassis-ruote;

• Cf ,Cr : costanti di smorzamento passivo;

• Ktf ,Ktr : costanti elastiche dei collegamenti route-strada;

• Lf ,Lr : lunghezza a riposo del collegamento ruote-strada;

• lf ,lr : lunghezza a riposo del collegamento ruote-strada;

• z : altezza dello chassis;

• zf ,zr : altezza dell ruote anteriori e posteriori;

• zsf ,zsr : altezza del fondo stradale ;

• θ : angolo di inclinazione dello chassis;

3

• Ff ,Fr : forze esercitate dagli smorzatori attivi;

• T : coppia agente sullo chassis;

Le equazione che descrivono questo modello sono le seguenti:

Equilibrio Meccanico di M:

Mz = Ff + Kf (Lf − z′f ) + Cf (zf − z′f ) + Fr + Kr(Lr − z′r) + Cr(zr − z′r)−Mg;

Equilibrio Meccanico di I:

Iθ = −lfFf − lfKf (Lf − z′f ) +−lfCf (zf − z′f )− lrFr − lrKr(Lr − z′r)− lrCr(zr − z′r) + T ;

Equilibrio Meccanico di mf :

mf zf = −Ff −Kf (Lf − z′f )− Cf (zf − z′f ) + Ktf (Lf − (zf − zsf ))−mfg;

Equilibrio Meccanico di mr:

mr zr = −Fr −Kr(Lr − z′r)− Cr(zr − z′r) + Ktr(Lr − (zr − zsr))−mrg;

con:

z′f = z − lfθ;

z′r = z + lrθ;

L’altezza delle ruote a riposo,l’altezza e l’inclinazione dello chassis in condizioni nominali sono conside-rate nulle. Il modello quindi fa riferimento allo scostamento da questi valori,presi come zero.Si è utilizzata la seguente convenzione per le variabili di stato:

x1 = z; x5 = xf ;

x2 = z; x6 = xf ;

x3 = θ; x7 = xr;

x4 = θ; x8 = xr;

Per le uscite invece:

y1 = z; y2 = θ;

Per gli ingressi,siccome si suppone di agire attivamente sugli attuatori:

uc1 = Ff ; uc2 = Fr;

Infine l’azione di disturbo è svolta dalle irregolatità del fondo stradale (ad esempio un dosso) e da unacoppia di disturbo T (che schematizza per esempio una brusca frenata).

4

Quindi:

ud1 = zsf ; ud2 = zrf ; ud3 = T ;

Le matrici associate al sistema risulteranno quindi:

[A] =

1 0 0 0 0 0 0 0

− (Kf +Kt)M − (Cf +Cr)

M(Kf lf−Krlr)

M(Cf lf−Crlr)

MKf

MCf

MKr

MCr

M

0 0 0 1 0 0 0 0

(lf Kf−lrKr)I

(lf Cf−lrCr)I − (l2f Kf +l2rKr)

I − (l2f Cf +l2rCr)

I − lf kf

I − lf Cf

IlrKr

IlrDr

I

0 0 0 0 0 1 0 0

Kf

mf

Cf

mf−Kf lf

mf−Cf lf

mf− (Kf +Ktf )

mf− Cf

mf0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

Kr

mr

Cr

mr−Krlr

mr−Crlr

mr− (Kr+Ktr)

mr− Cr

mr0 0

[Bc] =

0 0

1M

1M

0 0

− lfI

lrI

(lf Kf−lrKr)I

(lf Cf−lrCr)I

0 0

− 1mf

0

0 − 1mr

[Bd] =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 1I

0 0 0

Ktf

mf0 0

0 0 0

0 Ktr

mr0

[C] =

− (Kf +Kt)

M − (Cf +Cr)M

(Kf lf−Krlr)M

(Cf lf−Crlr)M

Kf

MCf

MKr

MCr

M

(lf Kf−lrKr)I

(lf Cf−lrCr)I − (l2f Kf +l2rKr)

I − (l2f Cf +l2rCr)

I − lf kf

I − lf Cf

IlrKr

IlrDr

I

[Dc] =

1M

1M

− lfI

lrI

[Dd] =

0 0 0

0 0 1I

5

I parametri scelti per le simulazioni sono:

• M=1670kg;

• mf =95kg, mr=115kg;

• I=24225kg m2;

• Kf =21687.4N/m, Kr= 38337.6N/m;

• Cf =1500N s/m, Cr=1500N s/m;

• Ktf=224420N/m, Ktr=254800N/m;

• lf =1.475m, lr=1.125m;

Per completezza di trattazione sono stati allegati due listati Matlab:

• il Listato 2.1 si occupa di implementare le matrici del sistema nell’ambiente di calcolo;

• il Listato 2.2 si occupa invece di verificare la controllabilità e l’osservabilità del sistema.

Listato 2.1: Implementazione delle Matrici in Matlab1 % MODELLO in SS2

3 % ques to m f i l e cont iene l ’ implementazione d e l model lo in ss %4

5

6 % caricamento de i parametri c o s t a n t i7 par_HCM8

9

10 % c o s t r u z i o n e d e l l a matrice dinamica11 A = zeros ( 8 , 8 ) ;12

13 A(1 ,2 ) = 1 ;14

15 A(2 ,1 ) = −(k f+kr )/M;16 A(2 ,2 ) = −( s f+s r )/M;17 A(2 ,3 ) = ( kf ∗ l f−kr∗ l r )/M;18 A(2 ,4 ) = ( s f ∗ l f−s r ∗ l r )/M;19 A(2 ,5 ) = kf /M;20 A(2 ,6 ) = s f /M;21 A(2 ,7 ) = kr/M;22 A(2 ,8 ) = s r /M;23

24 A(3 ,4 ) = 1 ;25

26 A(4 ,1 ) = ( l f ∗kf− l r ∗kr )/ I ;27 A(4 ,2 ) = ( l f ∗ s f− l r ∗ s r )/ I ;28 A(4 ,3 ) = −( l f ^2∗ kf+l r ^2∗ kr )/ I ;29 A(4 ,4 ) = −( l f ^2∗ s f+l r ^2∗ s r )/ I ;30 A(4 ,5 ) = − l f ∗ kf / I ;31 A(4 ,6 ) = − l f ∗ s f / I ;32 A(4 ,7 ) = l r ∗kr / I ;33 A(4 ,8 ) = l r ∗ s r / I ;34

35 A(5 ,6 ) = 1 ;36

37 A(6 ,1 ) = kf /mf ;38 A(6 ,2 ) = s f /mf ;39 A(6 ,3 ) = −kf ∗ l f /mf ;40 A(6 ,4 ) = −s f ∗ l f /mf ;41 A(6 ,5 ) = −(k f+k t f )/mf ;42 A(6 ,6 ) = −s f /mf ;43

44 A(7 ,8 ) = 1 ;45

46 A(8 ,1 ) = kr/mr ;47 A(8 ,2 ) = s r /mr ;

6

48 A(8 ,3 ) = kr∗ l r /mr ;49 A(8 ,4 ) = s r ∗ l r /mr ;50 A(8 ,7 ) = −(kr+ktr )/mr ;51 A(8 ,8 ) = −s r /mr ;52

53 % c o s t r u z i o n e d e l l a matrice c o n t r o l l o − s t a t o54 Bc = zeros ( 8 , 2 ) ;55

56 Bc (2 , 1 ) = 1/M;57 Bc (2 , 2 ) = 1/M;58

59 Bc (4 , 1 ) = − l f / I ;60 Bc (4 , 2 ) = l r / I ;61

62 Bc (6 , 1 ) = −1/mf ;63

64 Bc (8 , 2 ) = −1/mr ;65

66

67 % c o s t r u z i o n e d e l l a matrice d i s t u r b o − s t a t o68 Bd = z = ktr /mr ;69

70

71 % c o s t r u z i o n e d e l l a matrice i n g r e s s o − s t a t o72 B = [Bc Bd ] ;73

74

75 % c o s t r u z i o n e d e l l a matrice s t a t o − u s c i t a76 C = zeros ( 2 , 8 ) ;77

78 C( 1 , : ) = A( 2 , : ) ;79 C( 2 , : ) = A( 4 , : ) ;80

81

82 % c o s t r u z i o n e d e l l a matrice i n g r e s s o − u s c i t a83

84 Dc = zeros ( 2 , 2 ) ;85

86 Dc ( 1 , : ) = Bc ( 2 , : ) ;87 Dc ( 2 , : ) = Bc ( 4 , : ) ;88

89

90 Dd = zeros ( 2 , 3 ) ;91

92 Dd( 1 , : ) = Bd ( 2 , : ) ;93 Dd( 2 , : ) = Bd ( 4 , : ) ;94

95

96

97 D = zeros ( 2 , 5 ) ;98

99 D=[Dc Dd ] ;

Listato 2.2: Verifica della Controllabilità e dell’Osservabilità del Sistema1 % PROPRIETA’2

3 % ques to m f i l e serve a v e r i f i c a r e a lcune p r o p r i e t a d e l s i s tema4 % da c o n t r o l l a r e5

6

7 % carichiamo i l s i s tema8 ss_HCM;9

10

11 % a u t o v a l o r i d e l l a matrice A12 disp ( ’ g l i au t ova l o r i d i A sono ’ ) ;13 disp ( eig (A) ) ;14

15

16 % v e r i f i c h i a m o l a c o n t r o l l a b i l i t a17

18 Mc = Bc ;

7

19 for k = 1 : 720 Mc = [Mc A^k∗Bc ] ;21 end22

23 i f rank (Mc) == 824 disp ( ’ s i s tema c o n t r o l l a b i l e ’ ) ;25 else26 disp ( ’ s i s tema non c o n t r o l l a b i l e ’ ) ;27 end28

29

30 % v e r i f i c h i a m o l ’ o s s e r v a b i l i t a31

32 Mo = C’ ;33 for k = 1 : 734 Mo = [Mo (A^k ) ’∗C ’ ] ;35 end36

37 i f rank (Mo) == 838 disp ( ’ s i s tema o s s e r v a b i l e ’ ) ;39 else40 disp ( ’ s i s tema non c o n t r o l l a b i l e ’ ) ;41 end

8

Capitolo 3

Sistema Non Controllato

Obiettivo di questo capitolo è illustrare a grandi linee il comportamento del sistema modellato, ched’ora in avanti chiameremo Impianto, quando esso si trova in assenza di controllo automatico (ossia, comesi suole dire, è a Ciclo Aperto).

Cominciamo con l’osservare che, trattandosi di un aggregato di masse, molle e smorzatori, l’Impiantoa Ciclo Aperto non potrà che esibire Modi di Evoluzione Pseudoperiodici Asintoticamente Stabili. Diconseguenza, il ruolo di un eventuale Controllore consisterà semplicemente nel migliorare le prestazionidel veicolo, le quali, come precisato nel Capotolo 1, si possono misurare in termini di:

• tenuta di strada (oscillazioni verticali contenute);

• comfort di guida (accelerazioni verticali contenute).

Un modo semplice per caratterizzare il comportamento dell’Impianto a Ciclo Aperto è attraverso lesue Risposte al Gradino. Pertanto ci si propone di visualizzare gli andamenti delle variabili di Stato e diUscita in corrispondenza di un andamento a gradino per le variabili di Controllo e di Disturbo. A tal finesono stati concepiti i Listati 3.1 e 3.2.

Nel Listato 3.1 si estraggono dal modello in Spazio di Stato dell’Impianto le Funzioni di Trasferimentorelative a tutti i possibili Canali, sia del tipo Ingresso – Stato che del tipo Ingresso – Uscita.

Listato 3.1: Estrazione delle FdT1 % FdiT SISO I−>S ed I−>U2

3 % ques to m f i l e e s t r a e da l model lo SS4 % l e FdiT SISO d e l t i p o INGRESSO−STATO5 % e l e FdiT SISO d e l t i p o INGRESSO−USCITA6

7

8 % carichiamo i l neces sar io9 ss_HCM;

10

11

12 % prea l loch iamo l a MdiT13 tfx_hcm = t f ( zeros ( 8 , 5 ) ) ;14

15

16 % estraiamo l e FdiT INGRESSO−STATO SISO da l model lo SS17 for j = 1 :518 [ numx , denx ] = s s 2 t f (A,B, eye ( 8 ) , zeros ( 8 , 5 ) , j ) ;19 for i = 1 :820 tfx_hcm( i , j ) = t f (numx( i , : ) , denx ) ;21 end22 end23

24

25 % prea l loch iamo l a MdiT

9

26 tfy_hcm = t f ( zeros ( 2 , 5 ) ) ;27

28

29 % estraiamo l e FdiT INGRESSO−USCITA SISO da l model lo SS30 for j = 1 :531 [ numy , deny ] = s s 2 t f (A,B,C,D, j ) ;32 for i = 1 :233 tfy_hcm( i , j ) = t f (numy( i , : ) , deny ) ;34 end35 end

Nel Listato 3.2 si provvede a plottare la Risposta al Gradino di ciascuna delle Funzioni di Trasferimentoestratte.

Listato 3.2: Operazioni Elementari sulle FdT1 % simulaz ione2 % ques to m f i l e serve a par iare un poche t to con l e FdiT SISO3

4

5 % carichiamo i l neces sar io6 tf_HCM;7

8

9

10

11 % r i s p o s t a a l gradino ingresso−s t a t o12 close a l l13 for i = 1 :814 for j = 1 :515 figure (10∗ i+j ) ;16 s tep ( tfx_hcm( i , j ) , 0 : 0 . 0 1 : 1 0 ) , grid ;17 pause18 close a l l19 end20 end21

22

23 % r i s p o s t a a l gradino ingresso−u s c i t a24 for i = 1 :225 for j = 1 :526 figure (10∗ i+j ) ;27 s tep ( tfy_hcm( i , j ) , 0 : 0 . 0 1 : 1 0 ) , grid ;28 pause29 close a l l30 end31 end

Il lettore che sia interessato a verificare l’andamento di queste FdT può eseguire i listati.Vogliamo ora monitorare il comportamento dell’Impianto a Ciclo Aperto su uno scenario più realistico.

A tal fine è stato concepito lo Schema Simulink rappresentato in Figura 3.1. Obiettivo di questo Schema èsimulare il comportamento dell’Impianto quando il veicolo transita su un Dosso stradale. Descriviamo diseguito i sottosistemi in cui si articola lo Schema.

• Plant (Figura 3.2) rappresenta l’Impianto , e pertanto la sua architettura interna riproduce fedelmenteil formalismo ISU per un Sistema Dinamico LTI;

• Disturb (Figura 3.3) rappresenta il profilo stradale che funge da Ingresso di Disturbo per l’Impianto;pertanto la sua architettura interna serve a riprodurre in modo quanto più possibile realisticol’andamento verticale del livello stradale quando il veicolo transita sul Dosso;

• Viewer, presente in tre repliche per Stato, Uscita e Disturbo, contiene gli elementi Scope necessarialla visualizzazione dell’andamento temporale delle variabili di interesse, nonché gli elementi ToWorkspace necessari alla memorizzazione di tali andamenti.

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Figura 3.1: Schema Simulink per il Sistema Non Controllato

Figura 3.2: Schema Simulink per l’Impianto

Figura 3.3: Generatore di Profilo Stradale

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Figura 3.4: Profilo Stradale utilizzato per le simulazioni (ud1)

Le Figure 3.5 mostrano l’esito della simulazione sullo Schema in Figura 3.1. Per brevità si è scelto dirappresentare l’andamento nel tempo delle sole variabili di stato x1,x2 oltre alle uscite y1 ed y2.Di nuovo possiamo osservare Modi di Evoluzione Pseudoperiodici Asintoticamente Stabili.

(a) Andamento Temporale di x1. (b) Andamento Temporale di x3.

(c) Andamento Temporale di y1. (d) Andamento Temporale di y2.

Figura 3.5: Andamento Temporale di alcune variabili

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Uno scenario di simulazione alternativo, meno realistico, ma comunque significativo ai fini dellacaratterizzazione dell’Impianto a Ciclo Aperto, può essere quello in cui il veicolo transita su un profilostradale piano, ma in condizioni iniziali diverse da quelle di equilibrio. È praticamente superfluo osservareche questo tipo di scenario serve a monitorare le traiettorie delle variabili di Stato e di Uscita in presenzadi uno Stato Iniziale non nullo. Uno scenario del tipo descritto può essere facilmente allestito sullo Schemapresentato in Figura 3.1. Rispetto alla Simulazione precedente sarà necessario cambiare alcuni parametriinterni, ossia:

• “azzerare” il profilo stradale attraverso i Manual Switch;

• settare lo Stato Iniziale opportuno nell’Integratore di Plant.

Per brevità di trattazione si omettono i risultati grafici di questo tipo di simulazione.

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Capitolo 4

Disaccoppiamento

Obiettivo di questo capitolo è illustrare il controllo dell’Impianto con la tecnica del Disaccoppiamentoall’Indietro.

Il calcolo delle matrici dei guadagni relativi incoraggerebbe a controllare i canali (1,1) e (2,2).L’applicazione del disaccoppiamento,però, solleva il progettista dal consultare la Matrice dei GuadagniRelativi.

La sintesi dei Disaccoppiatori è ottenuta dalla nota formula:

Tij =

0 se i=j;

−Gij

Giise i 6= j;

L’ordine dei Disaccoppiatori è molto elevato,ma ciò è dovuto a cancellazioni imperfette.Pertanto èstato necessario ricorrere ad un’approssimapione ai Poli Dominanti. Tale approssimazione è realizzatanella funzione “stima” la cui implementazione è riportata nel Listato 4.2 .

Listato 4.1: Implementazione della funzione stima1 % DISACCOPPIAMENTO ALL’INDIETRO2

3 % ques to m f i l e implementa l a t e c n i c a4 % d e l disaccoppiamento a l l ’ i n d i e t r o5 % per i l c o n t r o l l o d e l s i s tema6

7

8

9 % carichiamo i l model lo10 ss_HCM;11

12

13 % prea l loch iamo l e FdiT14 dis_hcm = t f ( zeros ( 2 , 2 ) ) ;15

16

17 % estraiamo l e FdiT SISO da l model lo in SS18 % ( in ques to frangente , per i n o s t r i scopi ,19 % i l model lo s i r iduce a (A, Bc ,C, Dc) )20

21 for j = 1 :222 [ num, den ] = s s 2 t f (A, Bc ,C,Dc , j ) ;23 for i = 1 :224 dis_hcm( i , j ) = t f (num( i , : ) , den ) ;25 end26 end27

28

14

29 % v i s u a l i z z i a m o l e r i s p o s t e d e l l e FdiT e s t r a t t e30

31 close a l l ;32 t = 0 : 0 . 0 1 : 3 0 ;33 for i = 1 :234 for j = 1 :235 figure (10∗ i+j )36 s tep ( dis_hcm( i , j ) , t ) , grid ;37 close a l l ;38 end39 end40

41

42 % costruiamo l a matrice de i guadagni s t a t i c i43 G0 = zeros ( 2 , 2 ) ;44

45 for j = 1 :246 [ num, den ] = s s 2 t f (A, Bc ,C,Dc , j ) ;47 for i = 1 :248 G0( i , j ) = polyval (num( i , : ) , 0 ) / polyval ( den , 0 ) ;49 end50 end51

52

53 % v i s u a l i z z i a m o l a matrice de i guadagni s t a t i c i54 disp ( ’ l a matr ice de i guadagni s t a t i c i e ’ ) ;55 G056

57

58 % calco l iamo l a matrice de i guadagni r e l a t i v i59 disp ( ’ l a matr ice de i guadagni r e l a t i v i e ’ ) ;60 L = G0. ∗ (G0^−1) ’61

62

63

64 % prepariamo i d i s a c c o p p i a t o r i65 T = t f ( zeros ( 2 , 2 ) ) ;66

67 for i = 1 :268 for j = 1 :269 i f i == j70 T( i , j ) = 0 ;71 else72 T( i , j ) = − dis_hcm( i , j ) / dis_hcm( i , i ) ;73 % T( i , j ) = − t f ( 1 , 1 ) ;74 end75 end76 end77

78

79 % stimiamo T80 Th = t f ( zeros ( 2 , 2 ) ) ;81

82 p12 = [1 1 .77 0 .0744 2 .01 0 . 0 4 5 5 ] ;83 Th(1 , 2 ) = stima (T(1 , 2 ) , p12 ) ;84

85 p21 = [1 5 .96 0 .134 5 .28 0 . 2 2 1 ] ;86 Th(2 , 1 ) = stima (T(2 , 1 ) , p21 ) ;87

88

89 % facciamo l ’ approssimazione90 for i = 1 :291 figure (10∗ i+3− i ) ;92 s tep (T( i ,3− i ) ,Th( i ,3− i ) ) ;93 legend ( ’ r e a l e ’ , ’ appross imaz ione ’ )94 end95

96

97 % disaccoppiamo l ’ impianto98 F = t f (eye ( 2 ) ) ;99 F = feedback (F ,Th,+1) ;

100 F = s e r i e s (F , dis_hcm ) ;101

15

102

103 % facciamo vedere che l ’ impianto104 % s i e veramente d i s a c c o p p i a t o105 for i = 1 :2106 for j = 1 :2107 figure (100+10∗ i+j ) ;108 s tep ( dis_hcm( i , j ) ,F( i , j ) , 0 : 0 . 0 1 : 3 0 ) ;109 legend ( ’ s i s tema non d i s a c copp i a to ’ , ’ s i s tema d i s a c copp i a to ’ ) ;110 end111 end

Listato 4.2: Implementazione del Disaccoppiamento all’Indietro1 % STIMA2

3 function sys_hat = stima ( sys_unknown , p0 )4

5 [ y , t ] = step ( sys_unknown , 0 : 0 . 1 : 5 ) ;6 p = fminsearch (@(p) funz i oneOb i e t t i vo (p , sys_unknown , t ) , p0 ) ;7 sys_hat = p (1)∗ t f ( [ 1 / p (2)^2 2∗p (3)/p (2 ) 1 ] , [ 1 / p (4)^2 2∗p (5)/p (4 ) 1 ] ) ;8

9 end

Come si evince dai listati, la funzione “stima” approssima i Disaccoppiatori a FdT, del secondoordine, con due poli complessi coniugati e due zeri complessi coniugati. Per fornire un punto inizialeper l’approssimazione è necessario osservare il Luogo delle Radici dei Disaccoppiatori stessi, e specificaresmorzamento e frequenza dei poli e degli zeri dominanti. I risultati dell’approssimazione sono riportatinelle Figura 4.1 .

(a) T12. (b) T22.

Figura 4.1: Risposta al Gradino dei Disaccoppiatori

L’effetto dell’applicazione dei Disaccoppiatori è evidente dalle Figura 4.2, che mostrano le risposte alGradino dell’Impianto sia in presenza che in assenza dei Disaccoppiatori.

16

(a) Canale 1-1. (b) Canale 1-2.

(c) Canale 2-1. (d) Canale 2-2.

Figura 4.2: Risposta al Gradino dei vari canali dell’Impianto

Si è scelto di progettare dei Controllori di tipo PI per l’Impianto.

R11(s) = 2092(s + 1.1)

s

R22(s) = 4264(s + 0.03)

s

17

Per la simulazione di questo schema di controllo si è fatto uso dello Schema Simulink riportato inFigura 4.3.

Figura 4.3: Schema Simulink per il controllo dell’Impianto disaccoppiato

L’unico sottosistema non noto al lettore è “regulator”;naturalmente esso corrisponde al controllore cheeffettua il controllo PI ed il disaccoppiamento. Il suo contenuto è rappresentato in Figura 4.4.

Figura 4.4: Schema Simulink per il controllo dell’Impianto disaccoppiato

18

I risultati della simulazione eseguita sullo Schema Simulink sono visibili in Figura 4.5.

(a) Andamento Temporale di x1. (b) Andamento Temporale di x3.



19

Capitolo 5

Tracking Ottimo con Retroazione diStato in Presenza di DisturbiDeterministici

Obiettivo di questo capitolo è illustrare il controllo dell’Impianto con la tecnica del Tracking Ottimo inRetroazione di Stato, comprensiva di Reiezione dei Disturbi Deterministici. Per implementare la tecnicadel Tracking Ottimo è necessario disporre preventivamente di un Controllore Ottimo LQR per l’Impianto.Per sintetizzare questo tipo di controllore si può usare il comando Matlab lqr. L’uso del comando lqr èillustrato nel Listato 5.1. A valle dell’esecuzione di questo listato si disporrà dunque del Controllore LQRoccorrente.

Listato 5.1: Determinazione del Controllore K tramite il comando lqr1 % CONTROLLO OTTIMO LQR2

3 % ques to m f i l e implementa i l4 % c o n t r o l l o ott imo LQR5

6

7 % carichiamo i l neces sar io8 ss_HCM;9

10

11 % dichiar iamo l e matr i c i d i peso12 Q = zeros ( 8 ) ;13 Q(1 ,1 ) = 1 ;14 Q(2 ,2 ) = 1 ;15 Q(3 ,3 ) = 1 ;16 Q(5 ,5 ) = 0 ;17 Q(7 ,7 ) = 0 ;18 R = 1e−8∗eye ( 2 ) ;19

20

21 % dichiar iamo l a22 % matrice hamil toniana23 H = [A −Bc∗R^−1∗Bc ’ ; −Q −A’ ] ;24

25

26 % ricaviamo i l c o n t r o l l o r e ott imo27 [K P E] = l q r (A, Bc ,Q,R) ;

Un altro requisito importante è quello di individuare la traiettoria, in termini di andamento dellevariabili di Stato, che si desidera inseguire. A questo proposito si deve rammentare che al Sistema diControllo si richiede

• di sottoporre lo chassis ad accelerazioni verticali contenute;

• di conferire al veicolo una buona tenuta di strada.

20

Di conseguenza, possiamo formalizzare il problema del Tracking affermando che le fluttuazioni verticalidello Chassis devono inseguire le armoniche a bassa frequenza del profilo stradale, mentre le armoniche adalta frequenza costituiscono un disturbo che deve essere reiettato. In altre parole la traiettoria desiderataper la posizione verticale del veicolo si può ottenere da un filtraggio della forma della strada. Per ricondurrequesto problema ad un formalismo già noto, si devono scrivere le equazioni che legano le variabili in gioco.Per scrivere queste equazioni indichiamo con

• ξ la traiettoria dello stato;

• ξ la traiettoria desiderata per lo stato, ottenuta, per quanto detto, dal filtraggio del profilo stradale;

• x la differenza tra la quota effettiva e quella desiderata;

Con queste posizioni possiamo scrivere

ξ = x + ξ

che sostituita nel modello dell’Impianto

ξ = Aξ + Bcu + Bdd

porge

(x + ˙ξ) = A(x + ξ) + Bcu + Bdd

=⇒ x = Ax + Bcu + (Bdd− ˙ξ + Aξ)

Pertanto per ottenere il Tracking desiderato, è sufficiente applicare la tecnica della Reiezione deiDisturbi Deterministici considerando come disturbo il segnale

w = Bdd− ˙ξ + Aξ

La tecnica che ci apprestiamo ad applicare prevede la presenza di un’azione di controllo in Feedforward,moltiplicativa della funzione di disturbo w. Per determinare questo contributo si è fatto uso del Listato5.2.

Listato 5.2: Determinazione del Controllore in Feedforward Kff1 % REIEZIONE DISTURBI DETERMINISTICI2

3 % ques to m f i l e implementa l a4 % r e i e z i o n e de i d i s t u r b i d e t e r m i n i s t i c i5 % n e l l ’ ambito d e l c o n t r o l l o ott imo l q r6

7

8 % carichiamo i l c o n t r o l l o ott imo9 lqr_HCM

10

11

12 % costruiamo l a matrice Ac13 Ac = A − Bc∗R^−1∗Bc ’∗P;14

15

16 % dichiar iamo i l c o n t r o l l o r e in FF17 Kff = sdpvar (8 , 8 , ’ f u l l ’ ) ;18

19

21

20 % dichiar iamo i v i n c o l i21 c o s t r = [Ac ’∗ Kff + Kff ∗Ac == −P ] ;22

23

24 % calco l iamo Kff25 so lve sdp ( c o s t r ) ;26 Kff = double ( Kff ) ;27 Kff = (R^−1)∗(Bc ’ ) ∗ Kff ;28

29

30 % car ica anche l ’ occorrente per l a s imulaz ione31 filter_HCM

Occorre infine definire un filtro che estragga la traiettoria desiderata a partire dal profilo stradale. Atale scopo si è impiegato il Listato 5.3 .

Listato 5.3: Determinazione del Controllore in Feedforward Kff1 %FILTRO2

3

4 %Questo f i l e implementa i l f i l t r o per i l manto5 %s t r a d a l e6

7

8 w3db= 10 ;9

10

11 f i l t e r=t f ( 1 , [ 1 /w3db 1 ] ) ;

A valle dell’esecuzione dei Listati presentati si dispone di tutte le informazioni necessarie alla simulazionedel Tracking Ottimo. Lo Schema Simulink preposto a questa simulazione è illustrato in Figura 5.1.

Figura 5.1: Schema Simulink per l’Inseguimento di Traiettoria con Reiezione dei Disturbi Deterministici

Illustriamo i Sottosistemi che compaiono per la prima volta.

• Il blocco csit generator, in Figura 5.2, si occupa di filtrare il profilo stradale per ottenere le traiettoriedesiderate per le variabili di stato. Osserviamo che per le variabili che rappresentano una velocità latraiettoria desiderata è stata considerata nulla. A rigore questa scelta è incoerente, perché se peruna posizione si desidera una certa traiettoria, per la corrispondente velocità si dovrebbe desiderarela derivata di tale traiettoria. Anche per lo l’angolo di inclinazione si è scelto (come era facilmenteprevedibile) una traiettoria desiderata nulla. Tuttavia si può mostrare che questa scelta ha l’effetto(di intensità proporzionale al peso delle velocità nel controllo LQR) di attenuare le accelerazioni e,in generale, ammorbidire tutte le traiettorie.

22

• Il blocco w generator, in Figura 5.3 , si occupa di costruire il segnale w. Disponendo del segnale csit,questo blocco non deve fare altro che implementare l’espressione algebrica di w.

• Il blocco regulator, in Figura 5.4, questa volta è costituito dai guadagni in Feedback e in Feedforwardcalcolati nei listati presentati. Come previsto dalla teoria del Tracking, l’azione in Feedback èalimentata dallo scarto tra la traiettoria effettiva e quella desiderata.

Figura 5.2: Schema Simulink per la generazione della traiettoria ξ

Figura 5.3: Schema Simulink per la generazione della traiettoria da inseguire ξ

Figura 5.4: Schema Simulink per il Controllore

Gli esiti della Simulazione sono esibiti nella Figura 5.6.

23

Figura 5.5: Riferimento per x1 , x5 ed x7

(a) ξ1. (b) ξ3.

(c) y1. (d) v2.

Figura 5.6: Andamento nel tempo di alcune variabili

24

Capitolo 6

Tracking Ottimo in Retroazione diUscita

Obiettivo di questo capitolo è estendere il problema di Tracking affrontato nel capitolo precedente alcaso in cui si disponga di una Retroazione di Uscita e non di una Retroazione di stato. A tale scopo si èfatto uso di un Osservatore di Luenberger.

Poiché si desisìdera ricostruire lo Stato del sistema a partire da un Osservatore, è necessario stabilirel’equazione approssimante secondo la quale l’Osservatore deve effettuare, istante per istante, la sua stima.A questo proposito, ricordiamo che il nostro impianto può essere descritto dalle equazione:

ξ = Aξ + Bcu + Bdd

y = Cξ + Bcu + Bdd

Se indichiamo con ξ la traiettoria desiderata dello stato, e con

x = ξ − ξ;

lo scarto tra la traiettoria effettiva e quella desiderata possiamo riscrivere

(x + ˙ξ) = A(x + ξ) + Bcu + Bdd

y = C(x + ξ) + Bcu + Bdd

che riordinando i termini, e sostituendo

w = (Bdd− ˙ξ + Aξ)

porge

x = Ax + Bcu + w

y = Cx + Dcu + Ddd + Cξ

25

Di conseguenza, una plausibile implementazione per l’Osservatore è data da

ζ = Aζ + Bcu + w + L(y − Cζ −Dcu−Ddd)

ove con ζ si è indicata la stima dello Stato prodotta dall’Osservatore. Riodinando i termini si ottieneinfine l’equazione seguente.

ζ = (A− LC)ζ − (Bc + LDc)u− (Bd − LDd)d + w + Ly

Lo Schema Simulink preposto alla simulazione del problema è illustrato in Figura 6.1.

Figura 6.1: Schema Simulink per il Sistema di Controllo

26

L’unico nuovo Sottosistema introdotto è observer, in Figura 6.2 che rappresenta proprio l’osservatore,ed implementa l’equazione presentata. Ovviamente questa volta il Controllore riceve in ingresso lo Statostimato invece che quello effettivo.

Figura 6.2: Schema Simulink per l’Osservatore di Luenberger

Inoltre il controllore,rappresentato in Figura 6.3, risulta essere leggermente diverso rispetto a quellopresente nel precedente capitolo.

Figura 6.3: Schema Simulink per Controllore

Naturalmente per poter effettuare la simulazione è necessario scegliere un guadagno L per l’Osservatore.Come è noto, L si può determinare in base alla rapidità con cui si desidera che si esaurisca lo scartotra lo Stato stimato e quello effettivo, come soluzione di una opportuna LMI. Il Listato 6.1 implemental’impostazione e la risoluzione di questa LMI per una particolare scelta della rapidità di stima.

Listato 6.1: Determinazione del Controllore in Feedforward Kff1 % LUENBERGER2

3 % ques to m f i l e implementa4 % un o s s e r v a t o r e d i Luenberger5

6 % car ica l e matr i c i n e c e s s a r i e7 ss_HCM;8

9

10 % alpha11 a = 1 ;12

13

14 % bisogna r i s o l v e r e l a LMI15 % A’∗Q + Q∗A − V∗C − V’∗C’ < 0

27

16 % n e l l e i n c o g n i t e Q>0 V=QL17

18

19 % dichiar iamo l e v a r i a b i l i n e c e s s a r i e20 Qo = sdpvar ( 8 ) ;21 V = sdpvar ( 8 , 2 ) ;22

23

24 % dichiar iamo l a LMI25 LMI = A’∗Qo+ Qo∗A − V∗C − C’∗V’+2∗a∗Qo ;26

27

28 % dichiar iamo i v i n c o l i29 c o s t r = [Qo>0] + [LMI<0] ;30

31

32 % riso l v iamo l a LMI33 so lve sdp ( c o s t r ) ;34

35

36 % salviamo l e s o l u z i o n i37 Qo = double (Qo ) ;38 V = double (V) ;39 LMI = double (LMI ) ;40

41

42 % v e r i f i c h i a m o che l a LMI s i a s t a t a r i s o l t a43 i f eig (LMI) < 044 disp ( ’ l a LMI e s t a ta r i s o l t a ’ ) ;45 else46 disp ( ’ l a LMI non e s t a ta r i s o l t a ’ ) ;47 end48

49

50 % calco l iamo l ’ e s p r e s s i o n e d e l l a matrice L51 disp ( ’ l a matr ice e : ’ ) ;52 Lo = inv (Qo)∗V53

54

55 % car ica anche l ’ occorrente per l a s imulaz ione56 dd_HCM;

A valle dell’esecuzione del Listato 6.1 e della simulazione sullo Schema in Figura 6.1 si possono osservarei risultati rappresentati nelle Figure 6.3.

28

(a) Andamento Temporale di ξ1. (b) Andamento Temporale di ξ3.



29

Capitolo 7

Tracking Ottimo in Presenza di unFiltro di Kalman

Obiettivo di questo capitolo è risolvere il problema del Tracking Ottimo in Retroazione di Uscitafacendo uso di un Filtro di Kalman, parametrizzato per il Recupero di Robustezza, invece che di unOsservatore di Luenberger generico.

Come è noto, un Filtro di Kalman differisce da un Osservatore di Luenberger esclusivamente per ilGuadagno dell’Osservatore, che nel caso del Filtro è studiato ad arte per ottenere un particolare obiettivo,come la Reiezione del Rumore o il Recupero di Robustezza. Nel nostro caso tale obiettivo è il Recupero diRobustezza in corrispondenza dell’Ingresso dell’Impianto.

Grazie a questa identità strutturale tra il Filtro di Kalman e l’Osservatore di Luenberger, la simulazionedel controllo con il Filtro di Kalman si può effettuare su uno Schema Simulink identico allo Schema inFigura 7.1, in cui però il guadagno dell’Osservatore è stato impostato al valore dettato dalla teoria delFiltro di Kalman.

Figura 7.1: Schema Simulink per il Sistema di Controllo

30

Per determinare il guadagno del Filtro di Kalman il progettista ha a disposizione il comando Matlabkalman. Il Listato 7.1 mostra l’utilizzo di questo comando per determinare il guadagno del Filtro in modopressoché immediato. Naturalmente è necessario scegliere le matrici di covarianza del rumore in modoarticificale, ai fini del recupero di robustezza, ossia

Π = BTc Bc

N = µI con µ → 0

Listato 7.1: Determinazione del Guadagno del Filtro di Kalman1 % KALMAN FILTER2

3

4 % Questo f i l e implementa i l F i l t r o d i Kalman5 % per i l recupero d i r o b u s t e z z a in corr ispondenza6 % d e l l ’ i n g r e s s o7

8

9 % carichiamo i l neces sar io per l ’ e secuz ione10 ss_HCM;11

12

13 % dichiar iamo i l s i s tema ( comprensivo d i d i s t u r b i )14 sys = s s (A,B,C,D) ;15

16

17 % dichiarmiamo l e matr i c i d i covar ianza18 TT = Bc ’∗Bc ;19 N = 0.01∗ eye ( 2 ) ;20

21

22 % calco l iamo i l F i l t r o d i Kalman23 [KEST, Lk ,P] = kalman ( sys ,TT,N) ;24

25

26 % carichiamo i l neces sar io per l a s imulaz ione27 dd_HCM;

31

A valle dell’esecuzione del Listato 7.1 è possibile eseguire la simulazione sullo Schema opportuno. I risultatidella simulazione sono esibiti nella Figura 7.2.




32

Capitolo 8

Controllo in Presenza di AttuatoriNon Ideali

Obiettivo di questo capitolo è osservare come si degradano le prestazioni esibite dalle tecniche dicontrollo implementate fino a questo momento nel caso in cui si considerino le non idealità degli attuatori.Tali non idealità sono state modellate in termini di saturazione e banda passante.

Per implementare i fenomeni di non idealità menzionati si è fatto uso del Listato 8.1

Listato 8.1: Implementazione di un attuatore1 % ACTUATOR2

3 % ques to MFile implementa un a t t u a t o r e4

5 % dichiar iamo l a f requenza d i t a g l i o6 w3 = 10 ;7 actuator = t f ( 1 , [ 1 /w3 1 ] ) ;8

9

10 %dichiar iamo l a sa turaz ione11 s a tu r a t i on = 1500 ;12

13

14 % carichiamo i l neces sar io per l a s imulaz ione15 kf_HCM;

Per simulare il controllo dell’Impianto con attuatori che esibiscano le dinamiche stabilite nel Listato8.1, si è fatto uso dello Schema Simulink in Figura 8.1 .

L’unica novità introdotta in questo Schema è costituita dal Sottosistema actuator, in Figura 8.2.Naturalmente questo sottosistema rappresenta l’insieme degli attuatori del Sistema di Controllo, esottopone le variabili di controllo ideali alle dinamiche previste.

33

Figura 8.1: Schema Simulink del Sistema di Controllo

Figura 8.2: Schema Simulink per modellare l’Attuatore

34




A valle dell’esecuzione del Listato 7.1 e della Simulazione sullo Schema 8.1 è possbile visualizzare iriisultati riportati nelle Figure 8.3.

Nella Figura 8.4 è inoltre possibile vedere la differenza tra quelle che sono le variabili di uscita delcontrollore (v) e le variabili reali di controllo (u), in uscita dagli attuatori.

35

(a) Andamento Temporale di v1. (b) Andamento Temporale di v2.

(c) Andamento Temporale di u1. (d) Andamento Temporale di u2.


36

Capitolo 9

Controllo in Presenza di SospensioniSemi-Attive

Obiettivo di questo capitolo è monitorare il degrado delle prestazioni esibite dalle tecniche di controlloimplementate, qualora si applichino sospensioni semi attive invece che attive.

Per effettuare l’analisi proposta è necessario innanzitutto trovare un modo per simulare il comporta-mento delle sospensioni semi-attive. A tale proposito ricordiamo che le sospensioni semi attive agisconomodulando opportunamente il coefficiente di attrito viscoso degli smorzatori presenti nel veicolo. Nell’am-bito dell’Half Car Model, questo significa che si possono modulare i coefficienti σf e σr. Naturalmentequesti coefficienti devono rispettare la relazione

F = −σdv

ove

• F rappresenta la forza richiesta dal Sistema di Controllo all’attuatore;

• dv rappresenta la velocità relativa delle masse legate all’attuatore.

Di conseguenza, per simulare il comportamento delle sospensioni si può pensare di calcolare

σ = − F

dv

facendo uso delle stime delle velocità prodotte dall’Osservatore, e poi ricalcolare

F = −σdv

facendo invece uso delle velocità effettive.Naturalmente è coerente sottoporre le escursioni del valore di σ alle dinamiche di filtraggio e di

saturazione proprie di un attuatore reale. In particolare, è necessario prevedere che il risultato delladivisione non può eccedere, in valore assoluto, un certo limite superiore. Per questa ragione l’operazionedi divisione viene implementata attraverso il Listato 9.1.

Listato 9.1: Implementazione di un attuatore1 % SEMI−ACTIVE DAMPING2

3 % ques to MFile implementa un a t t u a t o r e

37

4

5 % dichiar iamo l a f requenza d i t a g l i o6 w3 = 1 ;7 sa_actuator = t f ( 1 , [ 1 /w3 1 ] ) ;8

9

10 %dichiar iamo l a sa turaz ione11 sa_saturat ion = 2000 ;12

13

14 % dichiar iamo i l nece s sar io per l a s imulaz ione15 kf_HCM;

Per formalizzare il complesso scenario di simulazione proposto come Schema Simulink, è necessariosostituire il Sottosistema actuator impiegato fino a questo momento con un blocco che implementi leoperazioni di divisione e moltiplicazione illustrate.

A tal fine è stato preparato il Sottosistema semi-active suspension rappresentato in Figura 9.1.Naturalmente il blocco sigma implementa la Matlab Function specificata nel Listato 9.1 .

Figura 9.1: Schema Simulink per modellare l’Attuatore Semi-Attivo

38

A valle della sostituzione del Sottosistema actuator è possibile effettuare la simulazione del Sistemadi Controllo su uno Schema Simulink identico a quello impiegato nel capitolo precedente. I risultati diquesta simulazione sono riportati nelle Figure 9.2




39

Nella Figura 8.4 è inoltre possibile vedere la differenza tra quelle che sono le variabili di uscita delcontrollore (v) e le variabili reali di controllo (u), in uscita dagli attuatori.

(a) Andamento Temporale di v1. (b) Andamento Temporale di v2.

(c) Andamento Temporale di u1. (d) Andamento Temporale di u2.


40

Capitolo 10

Confronto

Obiettivo di questo capitolo è confrontare le prestazioni offerte dalle varie tecniche di controlloimplementate nell’ambito di questo progetto.

Lo scenario di simulazione allestito a tale scopo consiste sempre nel passaggio del veicolo su diun generico dosso stradale. E’ desiderio dei progettisti sottolineare che tale scenario costituisce unminuscolo frammento della casistica esaminabile. Naturalmente per approfondire l’analisi comparativadelle prestazioni si possono allestire scenari differenti, adattando i Listati e gli Schemi presentati a secondadelle esigenze simulative contingenti.

I casi da confrontare saranno suddivisi in tre gruppi.

10.1 Primo Gruppo

Il primo confronto che si intende presentare è quello delle prestazioni fornite:

• dall’Impianto non controllato (dove le oscillazioni sono isolate con le sole sospensioni passive);

• dal Disaccoppiamento all’Indietro;

• dal Tracking Ottimo.

Questo confronto è esibito nelle Figure 10.1 e 10.2 10.3.Come è lecito attendersi, il comfort di guida migliora progressivamente passando dall’Impianto non

controllato, al Disaccoppiamento, fino al Tracking Ottimo.E’ interessante osservare come invece la tenuta di strada risulti peggiorata dall’applicazione del controllo

in Disaccoppiamento. Tuttavia questo risultato si giustifica osservando che il controllo in Disaccoppiamentoconsiste in una Retroazione di Uscita, mirata a regolare l’andamento delle sole uscite. Allora, tenendoconto anche della semplicità dei controllori impiegati, è più che naturale attendersi escursioni verticali piùampie ai fini del contenimento delle accelerazioni.

Per quanto riguarda le variabili di controllo, ovvero la forza che dovranno esercitare gli attuatori, ilTracking Ottimo tende ad utilizzere gli attuatori in maniera “simmetrica”, mentre il disaccoppiamento,per la sua natura, utilizza gli attuatori in maniera differente.

41

(a) Andamento Temporale dell’altezza dello Chassis.

(b) Andamento Temporale dell’inclinazione dello Chassis.

Figura 10.1: Andamento Temporale di alcune variabili di Stato

42

(a) Andamento Temporale dell’accelerazione verticale dello Chassis.

(b) Andamento Temporale dell’accelerazione angolare dello Chassis.

Figura 10.2: Andamento Temporale delle variabili di Uscita

43

(a) u1.

(b) u2.

Figura 10.3: Andamento Temporale delle varaibili di Controllo

44

10.2 Secondo Gruppo

Si desidera ora monitorare il degrado delle prestazioni apportato dall’impiego della Retroazione diUscita in luogo di quella di Stato. A tale scopo confrontiamo i risultati delle simulazioni effettuate

• con il Tracking Ottimo in Retroazione di Stato;

• con l’Osservatore di Luenberger;

• con il Filtro di Kalman.

Questo confronto è effettuato nelle Figure 10.4 10.5 10.6 .Come era lecito attendersi tutte le prestazioni peggiorano con l’introduzione di un Osservatore.

Segnaliamo che il peggioramento introdotto dall’Osservatore è tanto maggiore quanto maggiore è l’erroredi stima iniziale sullo stato del sistema. In questo particolare esperimento non si sono riscontrate differenzesignificative sostituendo l’Osservatore di Luenberger con il Filtro di Kalman. Dalla conoscenza delleproprietà del Filtro possiamo tuttavia assumere che la sostituzione sia vantaggiosa ai fini della robustezzadel sistema.




45



Figura 10.5: Andamento Temporale di alcune variabili di Uscita

46

(a) u1.

(b) u2.


47

10.3 Terzo Gruppo

Si desidera infine monitorare il degrado delle prestazioni occorrente quando si considerano gli aspettitecnologici del problema affrontato. A tale scopo confrontiamo i risultati delle simulazioni effettuate

• con il Filtro di Kalman, considerando ideali gli attuatori;

• con gli attuatori soggetti a banda passante e saturazione;

• con l’impiego di sospensioni semi - attive.

Questo confronto è effettuato nelle Figure 10.7 10.8 10.9Questa volta si può osservare che sia il comfort che la tenuta peggiorano a mano a mano che si

introducono elementi di non idealità.Al di là delle numerosissime considerazioni contingenti che si possono svolgere, il risultato più evidente

che si evince dai confronti svolti è il progressivo miglioramento delle prestazioni, su entrambi i fronti delcomfort e della tenuta, nel passaggio dalle sospensioni passive a quelle semi attive e, ancor di più, a quelleattive. Questo è ovviamente dovuto al fatto che la richiesta fatta agli attuatori è soggetta alle non idealitàdi questi ultimi. In particolare, in Figura 10.9 è possibile notare come l’andamento del segnale di controllopeggiori nel caso di sospensioni semi-attive.




48



Figura 10.8: Andamento Temporale di alcune variabili di Uscita

49

(a) u1.

(b) u2.


50

Bibliografia

[1] P. Bolzern - R. Scattolini - N. Schiavoni - Fondamenti di Controlli Automatici - McGraw-Hill, (2008) ISBN978-88-386-6434-2

[2] F. Amato - Sistemi di Controllo Multivariabile , Lucidi del Corso per l’A.A. 2011/2012 - (2011)

[3] A. Pisano - Modellistica, analisi e controllo di sospensioni ative per autoveicoli; Appunti di Controlli Automatici

[4] C. Rossi - G. Lucente - H∞ Control of Automotive Semi-Active Suspensions

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controllo attivo delle sospensioni di un autoveicolowpage.unina.it/framato/materiale...

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