controle [modo de compatibilidade] - ufsj.edu.br · sistema de controle sinal de erro sensor...
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23/09/2014
1
CONTROLE
123/09/2014
CONTROLE
1.1. DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES2.2. CONTROLADORES ELETRÔNICOSCONTROLADORES ELETRÔNICOS3.3. PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM44 PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM
223/09/2014
4.4. PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM5.5. EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL6.6. ESTABILIDADEESTABILIDADE7.7. CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕESDEFINIÇÕESDEFINIÇÕES
323/09/2014
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1Referência bibliográfica
23/09/2014 4
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• Comparar o valor real na saída com o valor desejado.
• O valor desejado é o valor de referência.
• Este valor também é chamado de Setpoint.
Controle
• O desvio é a diferença entre o valor real e o desejado.
• O sinal de controle reduz o desvio a um valor aceitável.
• A ação de controle proporciona a redução do desvio.
23/09/2014 5
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• Ótimo: Uso de índice de desempenho, minimização deerros.
• Robusto: Compensador cujos pólos se ajustam aosdistúrbios.
• Adaptativo: O sistema se acomoda mediante uma
Tipos de controle
• Adaptativo: O sistema se acomoda mediante umaalteração no sistema.
• De estrutura variável: Mudança do ponto de operação.
• Inteligente ou de aprendizado: Inteligência artificial,lógica nebulosa, redes neurais, sistemas especialistas.
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23/09/2014
2
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• Duas posições, booleano, liga-desliga.
• Proporcional (P).
• Integral (I).
Tipos de controle
• Proporcional e integral (PI).
• Proporcional e derivativo (PD).
• Proporcional, integral e derivativo (PID).
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
Amplificador
+–
Referência
Controlador automático
Sinal de Erro
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
Controlador Automático
Referência SaídaAtuador
Processo a
controlar
Sistema de controle
Sinal de Erro
Sensor
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
Amplificador
Referência SaídaAtuador
Processo a
controlar+
–
Sistema de controle
Sinal de ErroSensor
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
Amplificador
Referência SaídaPlanta+
–
Sistema de controle
Sinal de ErroSensor
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
Amplificador
ReferênciaPara o atuador+
–
Sistema de controle
Sensor Da planta
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3
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• O controlador automático detecta o erro e o amplifica a umnível útil para o atuador.
• O atuador é um dispositivo de potência que produz um
Sistema de controle
sinal para agir no processo, em função do sinal de controle.
• O sensor converte a saída em um sinal que pode ser comparado com a entrada.
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• Controle on-off.
• Controle de duas posições.
• Simples e barato.
• Não requer o uso de PWM.
• O mais usado em sistemas industriais e domésticos.
Controle liga-desliga
• O atuador é operação nas situações limite.
• Controladores proporcionais com ganho muito altopodem ser considerados controladores liga-desliga.
• No caso de motor elétrico, os dois estados podemser ligado/desligado ou horário/anti-horário.
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• Geladeira.
• A ideia é manter a temperatura interna baixa econstante.
• Se for preciso esfriar, o compressor é ligado.
• Se não for preciso esfriar, o compressor é desligado.
Controle liga-desliga – Exemplo 1
Se não for preciso esfriar, o compressor é desligado.
• Como o isolamento térmico não é prefeito, há umaquecimento natural interno, provocando a ligaçãodo compressor.
• Como a potência do compressor é grande, oresfriamento atinge o nível máximo, provocando odesligamento do compressor.
• Há uma oscilação em baixa frequência.23/09/2014 15
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• Iluminação pública.
• A ideia é manter a rua sempre iluminada.
• Se anoitecer, a lâmpada é ligada.
• Se amanhecer, a lâmpada é desligada.
Controle liga-desliga – Exemplo 2
, p g
• É preciso que haja uma histerese para diminuir asensibilidade do chaveamento, evitando, assim,que outras fontes de luz ou bloqueadores de luzvenham a efetuar um chaveamento.
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• Quanto maior for a rapidez da resposta dosistema, maior é a frequência de oscilação.
• Quanto menor for a histerese, maior é afrequência de oscilação
Controle liga-desliga – Oscilação
frequência de oscilação.
• Em sistema de controle liga-desliga, ochaveamento pode provocar estresse mecânicoe desgaste dos elementos de chaveamento.
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• u(t): Saída do controlador
• e(t): Erro (entrada do controlador)
• U1: Valor máximo
• U : Valor mínimo
Controle liga-desliga
• U2: Valor mínimo
• U1>U2
• Opção 1: U2=0
• Opção 2: U2=–U1
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1Controle liga-desliga
Erro positivoe
u
Açã
o po
sitiv
a
Erro negativoe
Açã
o n
eg
ativ
a
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
U
• e(t)>0 u(t)=U1
• e(t)<0 u(t)=U2
Controle liga-desliga
e+
–
uU1
U2
• A saída u(t) oscila entre U1 e U2.
• Se não houver perdas, a frequência de oscilação é infinita.
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
Referência SaídaPlanta+
–
Controle liga-desliga
U1
U2
Sinal de ErroSensor
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• Caracteriza uma histerese.
• Atraso na mudança da saída u(t) em função da mudança na entrada e(t).
• Pode ter origem não intencional devido a perdas internas.
• Pode ter origem intencional para evitar operação excessiva
Intervalo diferencial
• Pode ter origem intencional para evitar operação excessiva.
• Quanto menor for a frequência, menor é o desgaste.
e+
–
uU1
U2
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1Intervalo diferencial
e
u
u
• Se e(t) > E1 então u(t) = U1.
• Se e(t) < E2 então u(t) = U2.
• Se e(t) > E2 e u(t) = U1 então u(t) = U1.
• Se e(t) < E1 e u(t) = U2 então u(t) = U2.
U1
U2
E1E2
u
Banda morta
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
Erro positivo
Intervalo diferencial
Banda morta
Erro negativoErro negativo
Ação positiva
Erro positivo
Ação negativa
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5
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• Temporal
• Posicional
• Outros
Tipos de intervalo diferencial
U1
U2 t1 t2
U1
U2 x1 x2
Temporal Posicional
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1Exemplos de intervalo diferencial
• Quanto maior o intervalo diferencial, menor é a frequência.
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• u(t): Saída do controlador
• e(t): Erro (entrada do controlador)
• Kp: Constante de proporcionalidade
• Kp: Ganho proporcional
Trata se de um amplificador
Controle proporcional
• Trata-se de um amplificador.
u(t)= Kpe(t)
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• Depois do controle liga-desliga, é o mais simples.
• A ação é proporcional ao erro.
• Muito erro, pouca ação.
• Pouco erro, pouca ação.
Controle proporcional
• Sem erro, sem ação.
• Quanto maior for Kp, mais rápida é a ação.
• Quanto maior for Kp, maior é a oscilação.
• Para Kp muito alto, o sistema pode nunca estabilizar.
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
s
sps
UK
EKU
pKTF ..
Controle proporcional
t
tpt
uK
eKu
sp E
K
Kp
E(s)+
–
U(s)
tp e
K
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
Kp
Referência SaídaPlanta+
–
Controle proporcional
E(s) U(s)
Sinal de ErroSensor
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6
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
dteKu
eKdt
u
tit
tit
s
KTF i..
Controle integral
s
E
UK
dte
uK
dteKu
s
si
t
ti
tit
Ki/s
E(s)+
–
U(s)
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• É um controlador proporcional e integral ao mesmo tempo.
• O resultado é a soma dos efeitos proporcional e integral.
eKu alproporcion
Controle proporcional e integral
dteKeKu
uuu
dteKu
eKu
titpt
ttt
tit
tpt
integralalproporcion
integral
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
ti
ptpt
titpt
dteT
KeKu
dteKeKu
Controle proporcional e integral
i
pi
i
pi
K
KT
T
KK
• Kp: Ganho proporcional
• Ki: Ganho integral
• Ti: Tempo integral
• 1/Ti: Taxa de restabelecimento
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
dteT
eKu
dteT
KeKu
ti
tpt
ti
ptpt
1
sT
KTFi
p
11..
Controle proporcional e integral
sTK
E
U
sTEKU
sE
TEKU
ip
s
s
isps
si
sps
11
11
11E(s)
+–
U(s)
sT
Ki
p
11
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• É um controlador proporcional e derivativo ao mesmo tempo.
• O resultado é a soma dos efeitos proporcional e derivativo.
tpt eKu alproporcion
Controle proporcional e derivativo
tdtpt
ttt
tdt
edt
dKeKu
uuu
edt
dKu
derivativoalproporcion
derivativo
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
tdptpt
tdtpt
edt
dTKeKu
edt
dKeKu
Controle proporcional e derivativo
p
dd
dpd
K
KT
TKK
• Kp: Ganho proporcional
• Kd: Ganho derivativo
• Td: Tempo derivativo23/09/2014 36
23/09/2014
7
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
edt
dTeKu
edt
dTKeKu
tdtpt
tdptpt
sTKTF dp 1..
Controle proporcional e derivativo
sTK
E
U
sTEKU
sETEKU
dt
dps
s
dsps
sdsps
1
1
E(s)+
–
U(s) sTK dp 1
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
• É um controlador proporcional, integral e derivativo ao mesmo tempo.
• Possui as vantagens dos três tipos de controladores.
tpt eKu
alproporcion
Controle proporcional, integral e derivativo
tdtitpt
tttt
tdt
tit
edt
dKdteKeKu
uuuu
edt
dKu
dteKu
derivativointegralalproporcion
derivativo
integral
23/09/2014 38
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
tdpti
ptpt
tdtitpt
edt
dTKdte
T
KeKu
edt
dKdteKeKu
Controle proporcional, integral e derivativo
p
dd
i
pidpd
i
pi K
KT
K
KTTKK
T
KK
• Kp: Ganho proporcional
• Ki: Ganho integral
• Ti: Tempo integral
• Kd: Ganho derivativo
• Td: Tempo derivativo23/09/2014 39
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
edt
dTdte
TeKu
edt
dTKdte
T
KeKu
tdti
tpt
tdpti
ptpt
1
sT
sTKTF d
ip
11..
Controle proporcional, integral e derivativo
sTsT
KE
U
sTsT
EKU
sETs
ET
EKU
di
ps
s
di
sps
sdsi
sps
11
11
11
E(s)+
–
U(s)
sT
sTK d
ip
11
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DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
sTsTsTKTF
sTsT
KTF
idi
di
p
1
11..
E(s)+
U(s)
sT
sTsTTK idi
p
12
Controle proporcional, integral e derivativo
sT
sTsTTKTF
sTKTF
i
idip
ip
1..
..
2
– sTi
23/09/2014 41
DEFINIÇÕESDEFINIÇÕES1
TKTF
s
KTF
KTF
ppi
ii
pp
11..
..
..
• Kp: Ganho proporcional
• Ki: Ganho integral
T T i t l
Controle proporcional, integral e derivativo
sTsT
KTF
sTKTF
sT
di
ppid
dppd
ippi
11..
1..
• Ti: Tempo integral
• Kd: Ganho derivativo
• Td: Tempo derivativo
p
dd
i
pidpd
i
pi K
KT
K
KTTKK
T
KK
23/09/2014 42
23/09/2014
8
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
CONTROLADORESCONTROLADORESELETRÔNICOSELETRÔNICOS
4323/09/2014
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
K: Ganho diferencial
v0=K(v2–v1)
AMP-OP
v1
v2
v0
–
+
23/09/2014 44
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
Realimentação Negativa
Feed Back
IF RF
R1IIN IB
p.217
Amplificador inversor
vOUT
vIN –
+
vA
23/09/2014 45
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
F
AOUTFAOUTRF
F
RFF
AININAINR
RIN
FINB
BFIN
R
VVIVVV
R
VI
R
VVIVVV
R
VI
AIII
III
11
1
1
00
1
..R
RTF F
IN
OUTV
R
TFV
VA ..
Amplificador inversor
OUTF
IN
F
OUTINA
F
OUTAAIN
F
AOUTAIN
VR
RV
R
V
R
VVV
R
VV
R
VV
AR
VV
R
VV
1
1
1
1
0
0
• Amplificador inversor
• RF=R1 AV=-1IN
FOUT V
R
RV
1
IN
INF
V
VR
R
TF
1..
23/09/2014 46
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
Realimentação Negativa
Feed Back
IF RF
R1I1 IB
Amplificador não-inversor
Negativa
VOUTVIN
I1 IB
–
+IIN
v1
v2
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CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
AIII
III
VV
VV
VVKV
FINB
BFIN
R
IN
OUT
: tensãodeDivisor
00
11
2
12
INF
IN
OUTV
VRR
TF
TFV
VA
1
1
..
1
1
01
1
RR
RVV
K
K
FOUTIN
Amplificador não-inversor
KRR
RVV
K
V
RR
RVV
RR
RVV
K
V
RR
RVVKV
RR
RVV
FOUTIN
OUT
FOUTIN
FOUTIN
OUT
FOUTINOUT
FOUTR
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
INF
OUT VR
RV
1
1
INVTF 1..
1
1..R
RTF F
• Amplificador não inversor
• RF=0 AV=1
• RF=R1 AV=2
1
1
1
R
RRVV F
INOUT
F
23/09/2014 48
23/09/2014
9
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
IF ZF
Z1
VIIN IB
Amplificador inversor com impedâncias
VOUT
VIN –
+
vA
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CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
F
AOUTFAOUTZF
F
ZFF
AININAINZ
ZIN
FINB
BFIN
Z
VVIVVV
R
VI
Z
VVIVVV
Z
VI
AIII
III
11
1
1
00
IN
OUTV
Z
TFV
VA ..
1
..Z
ZTF F
Amplificador inversor com impedâncias
OUTF
IN
F
OUTINA
F
OUTAAIN
F
AOUTAIN
VZ
ZV
Z
V
Z
VV
Z
VV
Z
VV
AZ
VV
Z
VV
1
1
1
1
0
0
IN
INF
V
VZ
Z
TF
1..
• Amplificador inversor
• ZF=Z1 AV=-1IN
FOUT V
Z
ZV
1
23/09/2014 50
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
0
00
1
11
11
1
111
VVdt
dC
R
VV
R
VV
AVVdt
dC
R
VV
R
VV
AIIII
IIII
VVdt
dCIVVV
R
VVI
R
VIVVV
R
VVI
R
VIVVV
AOUTFAOUTAIN
AOUTFF
AOUTAIN
CFRFRB
BCFRFR
AOUTFCAOUTC
F
AOUTRF
F
RFRFAOUTRF
AINR
RRAINR
IFC
R
Exemplo 1 – Parte 1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
sCRR
R
V
V
VR
sCR
R
V
R
VsCRV
R
V
VsCR
V
R
V
dt
dVC
R
V
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VV
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FFFSOUT
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SOUTF
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F
SOUTFFSOUTSIN
SOUTFF
SOUTSIN
OUTF
F
OUTIN
A
F
1
1..
1
sCRR
RTF
FF
F
VOUT
IFR1
VIN
IIN IB
–
+
vA
23/09/2014 51
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
1
//
..
11
sCZ
RZ
ZZZ
RZ
TFV
VA
CF
FRF
CFRFF
IN
OUTV
11
1
1
..
..
1..
..
RTF
RsCRR
RTF
R
sCRR
TF
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RTF
F
FF
F
FF
F
F
Exemplo 1 – Parte 2
IFC
R
1
11
1//
sCR
RZ
sCR
Z
sCRZ
sC
FF
FF
FF
F
FFF
F11
..RsCRR
TFFF
1
1..
1
sCRR
RTF
FF
F
VOUT
IFR1
VIN
IIN IB
–
+
vA
23/09/2014 52
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
IF R
C
VIIN IB
Amplificador diferenciador ou derivador
VOUT
VIN –
+
23/09/2014 53
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
R
VVIVVV
R
VI
VVdt
dCIVVV
dt
dVCI
AIII
III
AOUTFAOUTR
RF
AININAINCC
IN
FINB
BFIN 00
CR
dt
dVV IN
OUT 1
Amplificador diferenciador ou derivador
dtVCRV
dtCR
VV
R
V
dt
dVCV
R
VVVV
dt
dC
AR
VVVV
dt
dC
OUTIN
OUTIN
OUTINA
AOUTAIN
AOUTAIN
0
0
Amplificador inversor derivador
dt
dV
CRV IN
OUT
123/09/2014 54
23/09/2014
10
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
IF C
R
VIIN IB
Amplificador integrador
VOUT
VIN –
+
23/09/2014 55
CONTROLAD. ELETRÔNICOSCONTROLAD. ELETRÔNICOS2
ddVR
VVIVVV
R
VI
AIII
III
AININAINR
RIN
FINB
BFIN
00
CR
dtVV INOUT 1
Amplificador integrador
dt
dVCRV
dt
dVC
R
VV
VVdt
dC
R
VV
AVVdt
dC
R
VV
VVdt
dCIVVV
dt
dVCI
OUTIN
OUTINA
AOUTAIN
AOUTAIN
AOUTFAOUTCC
F
0
0
Amplificador inversor integrador
dtVCR
V INOUT
123/09/2014 56
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM
5723/09/2014
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
j
• Pólo:Valor de s que faz F(s) tender a infinito.
• Zero:Valor de s que faz F(s) igualar a zero.
Definição
• Pólo:
• Zero:
A localização dos pólos de uma função de transferência no plano-s afeta diretamente a resposta transiente do sistema.23/09/2014 58
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
sR s
1degrau j
0
10 s
s
Excitação degrau unitário
F.T.C (S)R(S)
• Pólo de entrada: s=0
• Zero de entrada: s=
0
01
ss
s
Pólo de entrada
23/09/2014 59
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
s
AR s
j
00 s
s
A
Excitação degrau
F.T.C (S)R(S)
• Pólo de entrada: s=0
• Zero de entrada: s=
0
0 ss
As
Pólo de entrada
23/09/2014 60
23/09/2014
11
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
sTF
j
0Bss
00
Resposta de 1ª ordem com zero na origem
F.T.C (S)R(S)
real:
..
BBs
TF
0-B
• Pólo:s=-B
• Zero:s=0
BsBs
s
sBs
00
23/09/2014 61
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
AsTF
j
ABAsAs
0
Resposta de 1ª ordem com zero fora da origem
F.T.C (S)R(S)
reais:,
..
BABs
TF
-A-B
• Pólo:s=-B
• Zero:s=-A
BsBs
As
AsBs
0
23/09/2014 62
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
j
AB 0Bs
AsTF
..
Resp. de 1ª ordem com excitação degrau unit.
F.T.C (S)R(S)
-A-B
• Pólo de entrada: s=0
• Zero de entrada: s=• Pólo da F.T: s=-B
• Zero da F.T: s=-A
0
Bss
AsC s
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
23/09/2014 63
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
Bss
AsBABsBAC
Bss
AsBBC
Bss
AsC
s
s
s
5
25352
5
255
5
2
:Exemplo
ss
ssC
ss
sC
ss
sC
s
s
s
Resp. de 1ª ordem com excitação degrau unit.
Bs
BAB
s
BAC
Bss
sBAB
Bss
BsBAC
Bss
sBABBsBAC
Bss
sBABBBAsBAC
Bss
BBAsBABsBAC
Bss
s
s
s
s
s
5
5352
5
53
5
552
5
53552
5
5355252
5
5525352
5
ssC
ss
s
ss
sC
ss
ssC
ss
ssC
ss
ssC
ss
s
s
s
s
s
23/09/2014 64
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
B
ABB
ABB
A
s
s
sss
s
C
sC
CCC
BssC
natural
forçado
naturalforçado
F.T.C (S)R(S)
Bss
AsC s
Resp. de 1ª ordem com excitação degrau unit.
Bs
BAB
s
BAC
sBs
AsC
s
s
1
5
5352
1
5
2
:Exemplo
ssC
ss
sC
s
s
B
BS
S
s
s
As
Bs
AsBs
0
23/09/2014 65
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
21
1
sC
Bs
As
sC s
BABs
BAC
CCC
Bs
BAB
s
BAC
s
sss
s
forçado
naturalforçado
53
52
5
5352
:Exemplo
forçado
naturalforçado
sC
CCC
ssC
s
sss
s
Resp. de 1ª ordem com excitação degrau unit.
F.T.C (S)R(S)
5
21
s
s
sC s
Bs
BABC s
natural
5
53natural
sC s
tB
t
ttt
tBt
t
eB
AB
B
AC
CCC
eB
ABC
B
AC
naturalforçado
natural
forçado
t
t
ttt
tBt
t
eC
CCC
eC
C
5
naturalforçado
natural
forçado
5
3
5
2
5
35
2
:Exemplo
23/09/2014 66
23/09/2014
12
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
j
-B
s s
AF
Resp. de 1ª ordem com excitação degrau unit.
• O pólo em –B gera uma resposta do tipo e–Bt.
• O pólo na F.T. gera a resposta natural.
• O pólo na função de entrada gera a resposta forçada.
t
t eAf
23/09/2014 67
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
j
-B
j
0
Resp. de 1ª ordem com excitação degrau unit.
tempode Constante:
1
B
eAf
Bs
AF
tBt
s
Afs
AF
t
s
0
23/09/2014 68
PÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 1ª ORDEM3
• Todo pólo sobre o eixo real gera uma resposta do tipo et.
• é a localização do pólo sobre o eixo real.
• é negativo.
• Os pólos e zeros geram as amplitudes para as duas respostas.
Localização
Quanto mais à esquerda, no eixo real negativo, estiver o pólo, mais rápido o decaimento da resposta temporal.
23/09/2014 69
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM
7023/09/2014
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
reais:,,
..2
CBACsBs
ATF
2
4
0
2
2
CBBs
CsBs
Resposta de 2ª ordem
F.T.C (S)R(S)
,,
2
4
2
4
2
2
2
1
CBBs
CBBs
21
..ssss
ATF
• Pólo:s=s1
• Pólo:s=s223/09/2014 71
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
21 sssss
AC s
Resp. de 2ª ordem com excitação degrau unit.
F.T.C (S)R(S)
sssss
AC
ssss
ATF
s
1
..
21
21
• Pólo de entrada: s=0
• Pólo da F.T.: s=s1
• Pólo da F.T.: s=s2
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
23/09/2014 72
23/09/2014
13
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
21
..ssss
ATF
• s1 real
• s2 real
• s1 s1
j
0
Resposta de 2ª ordem super amortecida
Overdamped
F.T.C (S)R(S)
21 sssss
AC s
s1 s2 0
natural2natural1forçado
23
natural2
12
natural1
10
1forçado
tttt
tst
tst
tt
cccc
eKc
eKc
KeKc
tsts
t eKeKKc 23
121
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
23/09/2014 73
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
j
0 9
99
9..
2
2
C
ssTF
2
459
2
459
2
36819
2
9499
0
1
2
2
s
s
s
s
CsBs
Exemplo
F.T.C (S)R(S)
s1 s2 0 992 sss
C s
1459,1
8541,72
459
2
1
2
s
s
s
tt
t eKeKKc 8541,73
1459,121
• Pólo de entrada: s=0
• Pólo da F.T.: s=–7,8541
• Pólo da F.T.: s=–1,1459
8541,71459,1
9
8541,71459,1
9..
sssC
ssTF
s
23/09/2014 74
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• A resposta é a soma de duas exponenciais.
• As raízes são o inverso da constante de tempo dasexponenciais.
• Como as raízes são negativas, as exponenciais são de queda.
Análise
• A exponencial de queda mais rápida é a de maior constante detempo.
• A exponencial mais rápida é a mais distante da posição zero.
• Pode-se desprezar a exponencial mais rápida.
23/09/2014 75
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
ts
t
tst
eKc
eKc
2
3natural2
12
natural1
j21 ss Pode-se desprezar s1.
Análise
s1 s2 0
Le
nta
Rá
pid
a
1
t [s]0
23/09/2014 76
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
j
s1
0 21
..ssss
ATF
• s1 complexo
• s2 complexo
• s1 e s1: conjugadosUnderdamped
Resposta de 2ª ordem sub-amortecida
F.T.C (S)R(S)
s2
0
1
natural2natural1forçado
natural2
natural1
1forçado
KC
CCCC
C
C
KC
t
tttt
t
t
t
21 sssss
AC s
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
23/09/2014 77
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
9
92
9..
2
2
C
ssTF
81
2
822
2
322
2
3642
2
9422
0
2
2
s
s
s
s
CsBs
j
s1
0j8
Exemplo
F.T.C (S)R(S)
922 sssC s
81
81
81
81
2
1
js
js
js
s
s2
0j
–j8
-1
• Pólo de entrada: s=0
• Pólo da F.T.: s=1–j8
• Pólo da F.T.: s=1+j8
8181
9
8181
9..
jsjssC
jsjsTF
s 1Kc t
23/09/2014 78
23/09/2014
14
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
j
s1
0 21
..ssss
ATF
• s1 imaginário
• s2 imaginário
• s1 e s1: conjugadosUndamped
Resposta de 2ª ordem não amortecida
F.T.C (S)R(S)
s2
0
21 sssss
AC s
1
natural2natural1forçado
natural2
natural1
1forçado
KC
CCCC
C
C
KC
t
tttt
t
t
t
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
23/09/2014 79
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
99
9..
2
sTF
j
s1
0j33
3
9
9
09
2
1
2
2
js
js
s
s
s
Exemplo
F.T.C (S)R(S)
9
92
ss
C s
s2
0j
–j3
• Pólo de entrada: s=0
• Pólo da F.T.: s=–j3• Pólo da F.T.: s=+j3
33
9
33
9..
jsjssC
jsjsTF
s
1Kc t
23/09/2014 80
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
j
0 21
..ssss
ATF
• s1 real
• s2 real
• s1 = s1
Critically damped
Resposta de 2ª ordem criticamente amortecida
F.T.C (S)R(S)
0
s1,s2 21 sssss
AC s
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
23/09/2014 81
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
996
9..
2
ssTF
j
006
2
36366
2
9466
0
2
2
s
s
s
CsBs
Exemplo
F.T.C (S)R(S)
96
92
sss
C s 0
–3
• Pólo de entrada: s=0
• Pólo da F.T.: s=3
• Pólo da F.T.: s=3
2
2
3
9
3
9..
ssC
sTF
s 1Kc t
32
62
2,1
2,1
s
s
s
23/09/2014 82
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• A parcela real provoca a atenuação.
• A parcela imaginária provoca a oscilação.
Criticamente Amortecido
Sem oscilação
Super Amortecido
Sem oscilação
j j
Pólo da função de transferência
Não Amortecido
Sem atenuação
Sub Amortecido
Com atenuação e oscilação
j
j
23/09/2014 83
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• Pólos à esquerda: Atenuação positiva.
• Pólos ao centro: Sem atenuação.
• Pólos à direita: Atenuação negativa (crescimento)
• Pólos à esquerda: Parcela real negativa.
Pól t P l l l
Pólo da função de transferência
• Pólos ao centro: Parcela real nula.
• Pólos à direita: Parcela real posivia.
A atenuação tem sinal contrário ao da parcela real do pólo.
js23/09/2014 84
23/09/2014
15
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
j
Atenuação positiva Atenuação negativa
Pólo da função de transferência
Atenuação positiva Atenuação negativa
• Pólos de primeira ordem localizam-se no eixo horizontal.
• Pólos de segunda ordem ocorrem em números conjugados.
• A localização dos pólos é simétrica.
23/09/2014 85
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• : Freqüência amortecida
• n: Freqüência natural não amortecida
Análise transitória no domínio da frequência
• : Constante de decaimento exponencial (atenuação)
• : Coeficiente de amortecimento
23/09/2014 86
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• =0: =0 n
Função de transferência
F.T.C (S)R(S)
: Freqüência amortecida
n: Freqüência natural não amortecida
: Constante de decaimento exponencial (atenuação)
: Coeficiente de amortecimento
22
2
22
2
2..
2..
n
n
nn
n
ssTF
ssTF
js
• =1: =n
n
n
4.19
23/09/2014 87
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
22
2
22
2
2..
2..
n
n
nn
n
ssTF
ssTF
R S
1degrau ss RTFC ..
C
Rss
C
nS
Sn
nS
1
2
2
22
2
22
2
Função de transferência
F.T.C (S)R(S)
22
2
22
2
2
2
n
ns
nn
ns
sssC
sssC
s sss n2 22
4.20
23/09/2014 88
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
22
2
2 nn
ns sss
C
=0: Sem amortecimento2nC
Função de transferência
=1: Criticamente amortecido
22n
ns ss
C
22
ss
C ns 4.23
23/09/2014 89
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
22
:pólosouRaízes
02
:ticaCaracterís Equação
nss
:pólosouRaízes
02
:ticaCaracterís Equação22 nn ss
22
2
22
2
2..
2..
n
n
nn
n
ssTF
ssTF
Função de transferência
22
22
22
22
2
22
2
442
12
1422
:pólosou Raízes
n
n
n
n
s
s
s
s
1
2
122
2
442
12
1422
:pólosou Raízes
2
2
222
22
nn
nn
nnn
nnn
s
s
s
s
23/09/2014 90
23/09/2014
16
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
2 n
p.122
Amortecimento: Freqüência amortecida
n: Freqüência natural não amortecida
: Constante de decaimento exponencial (atenuação)
: Coeficiente de amortecimento
12 nnsSe 1, usar esta fórmula.
2
2
2
2
2
1
11
11
1
1
n
n
n
n
n
jj
j
j
j
j
js
21 nn jsSe 1, usar esta fórmula.
n
n
23/09/2014 91
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
21
22
21
1
1
ss
s
s
nn
nn
j
s1 s2 0
Amortecimento
22
21
1
1
nn
nn
js
js
j
s1
s2
0
23/09/2014 92
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
21 n
js
n
: Freqüência amortecida
n: Freqüência natural não amortecida
: Constante de decaimento exponencial (atenuação)
: Coeficiente de amortecimentop.123
Amortecimento
21 nn js
=0 0 n
0<<1 0<<n 0<<n
=1 n 0
>1 >n sem
23/09/2014 93
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
2
2
1
1
n
nn
js
js
n
n
nAmortecimento
• controla a taxa de crescimento ou decaimento da resposta ao degrau unitário.• controla o “amortecimento” do sistema• é chamado de fator de amortecimento ou constante de amortecimento.
2
2
1:1
1:1
nn
nn
js
s
• >1: Super amortecido.
• <1: Outros.
23/09/2014 94
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
21 nn js
oscilação:1
ntoamortecime:2
n
n
j
Amortecimento
01;0:amortecido sub
01:oamportecid tecriticamen
0:oamportecid não
2
2
nn
n
n
j
j
SimSim:oamportecid sub
Sim:oamportecid tecriticamen
Sim:oamportecid não
OscilaçãontoAmortecime
23/09/2014 95
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
101sub
01
1
:amortecido
não
21
2
2
2
1
nn
n
n
js
j
j
s
s
Amortecimento
11
1
:amortecido
sobre
1:amortecido
tecriticamen
101:amortecido
22
21
2
1
22
nn
nn
n
n
nn
s
s
s
sjs
23/09/2014 96
23/09/2014
17
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
j
j
12 nn
n
Criticamente AmortecidoSuper Amortecido
ntoamortecime de eCoeficient:
amortecida não natural Frequência:
n
11
Pólos de 2ª ordem
j
j
nj
nj
21 nj
21 njn
12
nn
nn
Não AmortecidoSub Amortecido010
23/09/2014 97
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• >0: Pólos no lado esquerdo do plano s.
• <0: Pólos no lado direito do plano s.
Pólos de 2ª ordem
:Coeficiente de amortecimento
• >0:Amortecimento positivo
• =0:Sem amortecimento (constante)
• <0:Amortecimento negativo (crescimento)
23/09/2014 98
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• A atenuação no lado esquerdo do planos leva o sistema à estabilidade.
• Quanto mais distante do eixo vertical,no lado esquerdo mais rapidamente o
Atenuação
no lado esquerdo, mais rapidamente osistema atinge o equilíbrio.
• A atenuação negativa no lado direito doplano s leva o sistema à instabilidade.
23/09/2014 99
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
..1
.
2..
22
2
TF
TFG
ssTF
s
n
n
G(S)+
C (S)R(S)
s
s
G
GTF
1..Função de transferência
F.T.C (S)R(S)
(S)–
ssG
ssss
ssG
ss
ssG
ns
n
nn
n
n
s
n
n
n
n
s
2
22
2
21
2
2
2
22
222
22
2
22
2
22
2
n
ns
ns
ssG
ssG
2
22
2
Fig. 4.9
23/09/2014 100
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
2Pól
0:Pólo
:ordem segunda de Zero
2
2
s
s
ssG n
s n
ns
s
s
ssG
2Pól
0:Pólo
:ordem segunda de Zero
2
2
Pólos de 2ª ordem
• =0; =0
• Não há amortecimento nem atenuação, a resposta transitória é constante.
2:Pólo s ns 2:Pólo
23/09/2014 101
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
22
2 1
:pólosou Raízes
n
nn
s
s
n
n
nPólos de 2ª ordem
simaginária Raízes0
0
complexas Raízes01
iguais reais Raízes01
distintas reais Raízes01
:quadrada raiz da Conteúdo
22
2
22
2
22
2
n
n
n
simaginária Raízes0
0
complexas Raízes0
10
iguais reais Raízes1
distintas reais Raízes1
:quadrada raiz da Conteúdo
n
n
n
23/09/2014 102
23/09/2014
18
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• =0: Sem amortecimento
• 0<<1: Sub amortecido
• =1: Criticamente amortecido
Amortecimento
• >1: Sobre amortecido
• =0: =n sem amortecimento
• 0<<1: real oscilação
• =1: =0 sem oscilação
• >1: imaginário sem oscilação
23/09/2014 103
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
22
2
2
2
1
1
1
n
n
n
10
0
n
Frequência: Freqüência amortecida
n: Freqüência natural não amortecida
: Constante de decaimento exponencial (atenuação)
: Coeficiente de amortecimento
2
22 1
n
10
• =n: =0 sem amortecimento
• m>>0 0<<1 oscilação
• =0: =1 sem oscilação
• =j|d| >1 sem oscilação2
2
1n
23/09/2014 104
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
nn
n
n
2
2
2
1
1
22
Frequência: Freqüência amortecida
n: Freqüência natural não amortecida
: Constante de decaimento exponencial (atenuação)
: Coeficiente de amortecimento
n
nn
n
nn
22
2
22
22 n
22
n
n
2n
23/09/2014 105
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• =0: =0: d= sem amortecimento
n
n
nFrequência
=0: =0: d=n sem amortecimento
• 0<<n 0<<1: dreal oscilação
• =n =1: d=0 sem oscilação
• >n >1: dimaginário sem oscilação
• Sub amortecido: Pólos de malha fechada complexos
• Criticamente amortecido: Pólos de malha fechada reais iguais
• Sobre amortecido: Pólos de malha fechada negativos distintos23/09/2014 106
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
222
22
2
2
1
1
n
n
n
nn
n
n
s
js
js
j
Frequência: Freqüência amortecida
n: Freqüência natural não amortecida
: Constante de decaimento exponencial (atenuação)
: Coeficiente de amortecimento
n
n
j
ok
1
1
1
22
2222
22222
22
22
nn
nn
nnn
nnn
23/09/2014 107
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
j
j
cosn
Frequência
n
cos
cos
cos
n
n
n
23/09/2014 108
23/09/2014
19
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
j
1n
2n
321nnn
Efeito anelar
n
3n
A região formada pelas circunferências possuem o mesmo n.
23/09/2014 109
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
j
1n2
n3
321
321
321
nnn
321
Efeito radial
n
321 n
321
23/09/2014 110
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
321
321
321
nnnj
1
2
3
321
Efeito angular
1
2
3
• =90: Sem amortecimento
• 0<<90 : Sub amortecido
• =0: Criticamente amortecido
• =0: Sobre amortecido
321nnn
321
As funções temporais têm o mesmo
sobresinal (overshoot).
23/09/2014 111
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
321
321
321
nnn
j
1
2
3
Efeito vertical
33
22
11 nnn
321
As funções temporais têm a mesma
envoltória (envelope).
1
2
3
23/09/2014 112
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
321
321
321
321
321
nnn
j
123
Efeito horizontal
321
As funções temporais têm a mesma frequência.
123
23/09/2014 113
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• Alguns pólos possuem efeito dominante na resposta transiente do sistema, denominados pólos dominantes.
• Pólos no semiplano esquerdo próximos ao eixo imaginário possuem pequeno decaimento e atuam de forma mais lenta e duradoura, por isso são dominantes
Pólos dominantes
dominantes.• Pólos no semiplano esquerdo distantes do eixo
imaginário possuem grande decaimento e atuam de forma mais rápida e passageira, por isso são insignificantes.
• A dominância de um pólo depende, apenas, de sua parte real.
23/09/2014 114
23/09/2014
20
PÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEMPÓLOS E ZEROS DE 2ª ORDEM4
• Um pólo é insignificante quanto sua parte real é de 5 a 10 vezes a parte real dos pólos dominantes.
Pólos dominantes
• Pólos insignificantes podem ser eliminados.• Pode-se considerar, apenas, os pólos dominantes.
23/09/2014 115
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL
11623/09/2014
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
2nC
C(t)
F.T.C (S)R(S)
: Freqüência amortecida
n: Freqüência natural não amortecida
: Constante de decaimento exponencial (atenuação)
: Coeficiente de amortecimento
ttec
te
c
tt
n
t
t
n
n
sin1
cos1
arccos1sin1
1
2
2
2
22 2 nn
ns sss
C
4.21
23/09/2014 117
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
ttec t
tn
sin
1cos1
2
C(t): Freqüência amortecida
n: Freqüência natural não amortecida
: Constante de decaimento exponencial (atenuação)
: Coeficiente de amortecimento
G(S)+–
E(S)R(S) C(S)
1degrau0
t
ttt
sss
c
cre
CRE
p.123
ttee t
tn
sin
1cos
2p.123
23/09/2014 118
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
çãoEstabiliza101
inicial Instante001110
sin1
cos12
tt
tt
cct
cct
ttec n
Situações
abrupto ntoAmortecime101
ntoamortecime sem Oscilaçãocos10
sin1
cos12
tt
t
tt
cc
tc
ttec n
çãoEstabiliza101 tt cct
t = 0, = indeterminado23/09/2014 119
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
2
2
101
1arctansin
11
d
t
t
n
t
te
c
110
11
:Envoltória
2
t
t
t
ec
n
Componente Amortecida não Oscilatória
Envoltória
2
2
11
1
11
101
tmáxt
médt
tmínt
tt
n
n
ec
c
ec
cct
A
A
A
A
:Geral
:2 Envoltória
:1 Envoltória
sin
A
A
A
AB
B:Geral
B:2 Envoltória
B:1 Envoltória
sin
11
102
t
t
ct
ct
23/09/2014 120
23/09/2014
21
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
0
10
:1 Parte00
eeet
eeet
e
nn
nn
n
t
t
t
1
t [s]0
n Partes 1 e 2
01
0
1
1
1
10
1 :2 Parte
22
22
2
t
t
t
n
n
n
et
et
e
t [s]0
21
1
23/09/2014 121
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
10 11
1:
1
1 1
1 1:0
1 1:3 Parte
2
22
2
t
t
t
n
n
n
et
et
en
21
11
2
Parte 3
1 2
110
110
10
10
1
1 1
2
2
2
2
11
1 1
21
1 1
11
1
2
2
2
t [s]
1
0
21
11
23/09/2014 122
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5C(t)
23/09/2014 123
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
sTF
ssTF
n
nn
n
..
0
2..
22
2
22
2
c(t)2
1
=0: Sem amortecimento
ssC
s
n
nS
n
122
2
tc
ttec
t
tt
n
cos1
0
sin1
cos12
dt
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
23/09/2014 124
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
2..
1
2..
22
2
22
2
nn
n
nn
n
ssTF
ssTF
1c(t)
=1: Criticamente amortecido
1
00
11
1
..
2
2
2
2
t
t
nt
t
n
nS
n
n
ct
ct
tec
ssC
sTF
n
t [s]0
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
4.24
4.23
23/09/2014 125
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
1
11
11..
..
22
2
22
2
21
2
sssC
ssTF
ssssTF
nnnn
nS
nnnn
n
n
1
t [s]
c(t)
0
>1: Sobreamortecido
1121121
11
22
1
22
1 22
j
e
j
ec
ss
tjtj
t
nnnn
nnnn
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
22
21
1
1
nn
nn
js
jsp.124
n
ts
n
ts
ts
e
s
ec
22
2
12
1
12121
2
2
1
1
2 121
s
e
s
ec
tstsn
t
4.26
22
21
1
1
js
js
n
n
23/09/2014 126
23/09/2014
22
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
• A resposta é a soma de duas exponenciais.
• Pode-se desprezar a exponencial mais rápida.
• Pode-se desprezar s1.
j
2
2
1
1
2 121
s
e
s
ec
tstsn
t
>1: Sobreamortecido
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
21
22
21
1
1
ss
js
js
nn
nn
s1 s2 0
21
sss
sC
ss
sTF
S
1
..
2
2
2
2
23/09/2014 127
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
11
1
1..
2
2
2
nnS
nn
nn
C
sTF
1
t [s]
c(t)
0
>1: Sobreamortecido
1
00
1
1
1
2
2
t
t
t
t
nn
S
ct
ct
ec
ss
n
sTFC
sR
RTFC
R
CTF
S
S
SS
S
S
1..
1
..
..
degrau
p.125
23/09/2014 128
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5Casos
23/09/2014 129
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
sos
Ca
s
23/09/2014 130
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5Casos
23/09/2014 131
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
Criticamente AmortecidoNão Amortecido
=0=1 Estável
Oscilatório
Estável
Casos
Super AmortecidoSub Amortecido
0<<1 >1
Estável Estável
23/09/2014 132
23/09/2014
23
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
0>>-1
Oscilatório Instável
Duas raízes complexas
Casos
0<-1
Instável
Duas raízes reais
23/09/2014 133
EQUAÇÃO TEMPORALEQUAÇÃO TEMPORAL5
j
23
j
3
Casos
12
12
3
1
2
1
2
3
j
123
123
23/09/2014 134
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
ESTABILIDADEESTABILIDADE
13523/09/2014
ESTABILIDADEESTABILIDADE
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
• Se todos os pólos de malha fechada estão no lado esquerdo do plano s, então o sistema é estável.
• Se o sistema é estável, então o módulo dos resíduos determina a importância do pólo.
Pólos e zeros
• Se há um zero de malha fechada perto de um pólo, isto reduz sua importância.
• Pólos e zeros próximos anulam-se mutuamente.
• Os termos com resíduos pequenos podem ser desprezados.
23/09/2014 136
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
• A resposta de um sistema estável é formada pelasoma de exponenciais e senóides amortecidas.
• Os termos exponenciais e senoidais amortecidostendem a zero quando o tempo tende ao infinito
Pólos e zeros
tendem a zero quando o tempo tende ao infinito.
• O tipo de resposta é determinado pelos pólos demalha fechada.
• A forma é determinada pelos pólos e pelos zeros.
23/09/2014 137
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
• A dominância do pólo em malha fechada é determinadapela parte real do pólo em malha fechada e pelo resíduo.
• A magnitude do resíduo depende dos pólos e dos zerosem malha fechada
Pólos e zeros
em malha fechada.
• A estabilidade pode ser determinada pela localizaçãodos pólos em malha fechada.
• A estabilidade não depende do sinal de entrada.
23/09/2014 138
23/09/2014
24
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
• Os pólos do sinal de entrada não afetam a estabilidade.
• Pólos de malha fechada no eixo vertical implicam emoscilação não amortecida.
• O ruído pode fazer a oscilação crescer.
• Para que haja estabilidade, não devem existir pólos de
Pólos e zeros
q j , pmalha fechada sobre o eixo vertical.
• Não basta que haja estabilidade.
• É desejável, também, uma resposta rápida e bemamortecida.
• É necessário ajustar os parâmetros do sistema para oarranjo da localização dos pólos.
23/09/2014 139
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
• Permite que se saiba se há raízes instáveis sem a necessidade da resolução da equação.
• Os fatores lineares resultam em raízes reais.
• Os fatores quadráticos resultam em raízes complexas.
Critério de estabilidade de Routh
p.193
csbs 2
quadráticofator
as linearfator
23/09/2014 140
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
• Os fatores lineares resultam em raízes negativas se esomente se a é positivos.
• Os fatores quadráticos resultam em raízes complexascom parte real negativa se e somente se b e c sãoambos positivos.
Critério de estabilidade de Routh
• Para que todas as raízes tenham a parte real positiva, épreciso que a, b e c sejam positivos em todos os fatores.
• O produto de quaisquer fatores lineares e/ou quadráticosque contenham, apenas, coeficientes positivos, resultaem um polinômio com coeficientes apenas positivos.
23/09/2014 141
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
nnnn
mmmm
s
s
s
ss asasasa
bsbsbsb
A
B
R
CFTF
11
10
11
10..
p.193
:ticaCaracterís Equação
Equação característica
011
00
nnnn asasasa
• Todos os coeficientes devem ser positivos.
• Nenhum coeficiente pode ser nulo.
23/09/2014 142
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
p.194
44321
34321
27531
16420
dddd
ccccs
bbbbs
aaaas
aaaas
n
n
n
n
n
Arranjo dos coeficientes
10
11
212
43214
gs
fs
ees
ddddsn
23/09/2014 143
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
p.194
2
43214
43213
43212
75311
6420
ees
dddds
ccccs
bbbbs
aaaas
aaaas
n
n
n
n
n
Arranjo dos coeficientes
10
11
21
gs
fs
ees
1
41513
1
41713
1
70613
1
31312
1
31512
1
50412
1
21211
1
21311
1
30211
c
cbbcd
b
baabc
a
aaaab
c
cbbcd
b
baabc
a
aaaab
c
cbbcd
b
baabc
a
aaaab
23/09/2014 144
23/09/2014
25
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
• Todos pólos estão no lado esquerdo do plano s.
• Todos termos da primeira coluna do arranjo são positivos.
16420 aaaas
n
n j
Condição de estabilidade
10
11
212
43214
43213
43212
75311
gs
fs
ees
dddds
ccccs
bbbbs
aaaas
n
n
n
n
j
23/09/2014 145
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
• A quantidade de pólos à direita do eixo vertical é dadapela quantidade de mudanças de sinal dos coeficientesda primeira coluna do arranjo.
• Se todos são positivos, não há nenhuma mudança desinal, não há pólos no lado direito.
O l t d i i l ã ã l t
Condição de estabilidade
• Os valores exatos da primeira coluna não são relevantes.
10
11
12
14
13
12
11
0
gs
fs
es
ds
cs
bs
as
as
n
n
n
n
n
23/09/2014 146
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
• O critério de Routh não sugere comomelhorar a estabilidade nem comoestabilizar um sistema instável
Condição de estabilidade
estabilizar um sistema instável.
• Porém, pode-se verificar o efeito davariação de parâmetros.
23/09/2014 147
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
G(S)+–
C (S)R(S)
G
GTF
s
s
1..
KG
Exemplo – Parte 1
Kssss
KTF
ssss
Kssssssss
K
TF
ssssK
ssssK
TF
21..
21
2121
..
211
21..
2
2
2
2
2
2 212
ssss
KG s
0233
0222
02
021
E.C.
234
23234
23
2
Kssss
Kssssss
Kssss
Kssss
p.197
23/09/2014 148
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
0233 234 Kssss
4 31 K4
2
3
3
1
4
3
2
1
0
Ka
a
a
a
aExemplo – Parte 2
210
211
212
3
4
023
31
dds
ccs
bbs
s
Ks
210
211
212
5313
4204
dds
ccs
bbs
aaas
aaas05 a
23/09/2014 149
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
0
2
3
3
1
4
3
2
1
0
a
Ka
a
a
a
a
1
50412
1
30211
a
aaaab
a
aaaab
3
0133
2133
2
1
Kb
b
Kb
b
2
1 3
7
Exemplo – Parte 3
10
791372
3
4
2
023
31
ds
Ks
Ks
s
Ks
05 a
10
11
372
3
4
023
31
ds
cs
Ks
s
Ks
Kb
b
a
Ka
a
a
a
a
2
37
1
5
4
3
2
1
0
0
2
3
3
1
1
21311 b
baabc
37
37
1
32 Kc
Kc 79
1 223/09/2014 150
23/09/2014
26
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
0791372
3
4
2
023
31
d
Ks
Ks
s
Ks
1
21211 c
cbbcd
K
KKd
79
37
79
1 2
02
Exemplo – Parte 4
10 ds Kd 1
Ks
Ks
Ks
s
Ks
0791372
3
4
2
023
31
23/09/2014 151
6 CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
Todos os coeficientes da primeira coluna devem ser positivos.
9
79 02 K
Exemplo – Parte 5
Ks
Ks
s
s
s
0791372
3
4
2
3
1
9
14
97
79
2
2
K
K
K
0K
9140 K
23/09/2014 152
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
CONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETOCONTROLE DISCRETO
15323/09/2014
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
• Nos sistemas de tempo discreto, pelo menos uma dasvariáveis pode mudar, apenas, em instantes discretos detempo.
• O intervalo entre dois instantes discretos é muito pequenocomparado com a taxa de variação das grandezasenvolvidas
Definições
envolvidas.
• Dados para instantes intermediários podem ser obtidos porinterpolação sem que haja grande erro.
• Um sinal obtido em tempo contínuo está na forma contínua.
• Um sinal obtido em tempo discreto está na formaamostrada.
• A discretização ou amostragem pode ser usada parasimplificar um sistema contínuo.23/09/2014 154
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
Interface com computador de maior hierarquia
Controle, Proteção, Diagnóstico
Microprocessador
Comando Estados de Saída
Controle processado
Gerador de disparo de pulsos
Gerador de disparo de pulsos
Alimentação
Conversor
Máquina
Sensores
Detetor de variáveis
Detetor de variáveis
23/09/2014 155
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
• O sinal analógico pode assumir uma quantidadeinfinita de valores.
• O sinal digital, com uma quantidade finita de bits,pode assumir uma quantidade finita de valores.
• A aproximação da quantidade infinita de valores
Quantização
para a finita é chamada de quantização.
Tipos de quantização
• De amplitude – Variável vertical
• Do tempo – Variável horizontal
23/09/2014 156
23/09/2014
27
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
A conversão de sinais consiste de:
• Multiplexação
• Demultiplexação
• Amostragem e retenção (S/H Sample and Hold)
Aquisição de dados
• Amostragem e retenção (S/H – Sample and Hold)
• Quantização – 1ª etapa da Conversão Analógico-Digital (A/D)
• Codificação – 2ª etapa da Conversão Analógico-Digital (A/D)
• Decodificação – Conversão Digital-Analógico (D/A)
23/09/2014 157
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
Transdutor
Amplificador
Variável Física
Registrador
Controle
Aquisição de dados
Filtro
Mux
S/H
A/D
Controle
Demux
D/A
Atuador
23/09/2014 158
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
Tipos de conversor A/D
• Aproximação sucessiva
• Integrador
• Contador
• Paralelo
Erros de conversão
• De off-set
• De linearidade
• De ganho
Aquisição de dados
• Paralelo
• A vantagem do uso do computador usado comocontrolador em comparação ao controlador analógico éque, como o computador, uma variação na lei de controlepode ser obtida por mudança no software, enquanto noanalógico é necessário mudança no hardware.
23/09/2014 159
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
A/D Controle D/A Atuador Processo+–
SaídaEntradaComputador
Digital
Sinal de erro
Controle digital
Clock
Medição
A/De(t) e*(t)
analógico digital
Sinal de erro
23/09/2014 160
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
x(t) x(t) x(t)
Amostra e retenção (S/H)
t t t
Seguradorx(t) x*(t) xh(t)
amostrador
23/09/2014 161
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
Amostrador
• Uma chave fecha para fazer a leitura da informação.
• O período de amostragem é T.
• A duração da amostragem é muito pequena.
O t d t i l tí t d l
Amostra e retenção (S/H)
• O amostrador converte o sinal contínuo em um trem de pulso.
• Entre os instantes da amostragem, a entrada do amostradornão é lida.
• Entre os instantes da amostragem, não há sinal na saída doamostrador.
dtIC
V CC
123/09/2014 162
23/09/2014
28
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
Segurador ou Retentor
• O tem de pulso é convertido em sinal contínuo.
• Segurador de ordem zero: A saída é constante entreduas amostras.
Amostra e retenção (S/H)
• O segurador é um filtro passa-baixas.
• O capacitor atua como memória para fazer a retenção.
• O segurador integra o sinal Y*(t).
• A integral do impulso é uma constante.
dtIC
V CC
123/09/2014 163
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
Saída do amostradorx*(t)
Amostra e retenção (S/H)
s
eGTF
sT
s
1..
Segurador de ordem zero
Antes do S/H Depois do S/Hx(t) xh(t)
23/09/2014 164
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
Quantização Codificação Sinal Digital
Sinal Analógico
x(t) x*(t)
Conversor A/D
Digitalg
23/09/2014 165
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
tTTrem de pulso unitário
x(t) x*(t)
amostrador
ttTt xx *23/09/2014 166
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
• O amostrador é um modulador.
• A entrada Y(t) é o sinal modulador.
• O trem de pulsos unitário é a portadora.
T(t)
Modulador
Moduladorx(t) x*(t)
amostrador
T(t)
ktT Tkt
T de inteiro Múltiplo:
em unitário Impulso:
Tk
TkTkt
23/09/2014 167
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
Moduladorx(t) x*(t)
T(t)
Modulador
tkt
ttTt
xTktx
xx
*
*
k tt Tktxx *
23/09/2014 168
23/09/2014
29
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
T(t)
x(t)
Sinal amostrado
x(t)
x*(t)
23/09/2014 169
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
A análise de sistemas de tempo discreto pode ser feita por:
• Transformada Z
• Espaço de Estados
• Transformada de Laplace: Tempo contínuo
Métodos
• Transformada de Laplace: Tempo contínuo
• Transformada Z: Tempo discreto
23/09/2014 170
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
0*
* de T.L. :*
*
k
sTkTks
ts
k Tkt
exX
xX
Tktxx
Transformada Z
sz
sT
XX
ez
*
0k
kTkz zxX
ksTk
ksTsTk
ze
ee
X(z): Transformada z de x*(t)
X(z): Z[x*(t)]23/09/2014 171
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
• Na transformada Z, considera-se o valorapenas nos instantes de amostragem, porisso a transformada da função original e dafunção amostrada fornece o mesmo resultado
Transformada Z
ztt XxZxZ *
função amostrada fornece o mesmo resultado.
23/09/2014 172
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
TtxTtxtxx TTt 2* 20
sTT
sTTs exexXX 2
20
Transformada Z
sTez
2
20 z
x
z
xXX TT
Z
X(z): Série de potências de 1/z
23/09/2014 173
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
0S k
k
z
sTks
t
zX
eX
Tktx
Transformada Z
1
1
:0 Se
z
s
t
X
X
tx
k
T
zs
sTz
ez sT
ln
ln
23/09/2014 174
23/09/2014
30
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
4
1
3
5
2
1
0
Tt
Tt
Tt
x
x
x
x
Exemplo 1
5
4
4
3
Tt
Tt
x
x
222
54135
zzzzX Z
23/09/2014 175
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
1tx
1
2*
2*
2
20
eeX
TtTttx
TtxTtxtxx
sTsTs
t
TTt
Exemplo 2
1
111
2
z
zeZX
zzeZX
tbZ
tbZ
az
zaZ
23/09/2014 176
7 ASSOCIAÇÕESASSOCIAÇÕES
tb
t ex
Tb
T
b
TTt
ex
ex
TtxTtxtxx
0
0
20
1
2*
Exemplo 3
Tb
tbZ
TbTbtb
Z
sTTbsTTbs
TbTbbt
Tb
ez
zeZX
z
e
z
eeZX
eeeeX
TteTtetex
ex
2
2
2
22
20
22
1
1
2*
23/09/2014 177