control primer parcial

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Teoria de Control 1.

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SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO CONTINUO

PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPOEntre las propiedades de los sistemas lineales invariantes, tenemos:a) Superposiciny Desplazamiento:como los sistemas LTI son subconjuntos de los sistemas lineales, estos obedecen al principio de superposicin. Si la excitacin de un sistema lineal invariante se traslada en el tiempo, entonces la respuestase traslada en la misma cantidad.

Figura 2. El principio de superposicin y desplazamiento aplicado a un sistemaEn la figura 2, se observa el efecto de aplicar el tiempo invariante a la definicin de sistema lineal.b) Sistemas LTI en series:si dos o ms sistemas estn en serie uno con otro, el orden puede ser intercambiado sin que se vea afectada la salida del sistema, tal como se ilustra en la figura 3. Los sistemas en series tambin son llamados sistemas en cascada.

Figura 3. El orden de los sistemas LTI en cascada pueden serintercambiadosin verse afectado el resultado.c)Sistemas LTI en paralelo:si dos o mas sistemas LTI estn en paralelo con otro, un sistema equivalente es aquel que esta definido como la suma de estos sistemas individuales, en la figura 4 se detalla.

Figura4.Los sistemas de paralelo pueden ser resumidos en la suma de los sistemasRESPUESTA IMPULSIVA Y CONVOLUCINSupngase una sealx(t) de tiempo continuo, representada por una sumatoria infinita de pulsos escalados, segn se muestra en la figura 5.Donde se define un pulso unitario segn la figura 6.As un pulso escalado se muestra en la figura 7.Figura 5. Seal de tiempo contino representadaFigura 6. Funcin pulso unitarioporuna sumatoria infinita de pulsos escalados

Figura 7. Ilustracin de un pulso escaladodonde, n = -2, -1, 0, 1, 2, Con lo que:(3)Se observa que se logra una mejor aproximacin en la medida que e tiende a cero, es decir:(4)Lo que puede ser reescrito con la funcin impulso unitario como:(5)Dado que,(6)x(t) =(t)y(t) = g(t)(7)Por ser un sistema LTI, se puede establecer la relacin de comportamiento ilustrada en la tabla 1.Tabla 1. Relacin entre la entrada y la salida ante una entrada impulsivaEntrada x(t)Salida y(t)

(t)g(t)

k(t)k g(t)

Ahora para una entrada cualquiera de la forma::(8)setiene:Tabla 2. Relacin entre la entrada y la salida para cualquier entradaEntrada x(t)Salida y(t)

En t = 0,*x(0)*(t)*x(0)*g(t)

En t =n,*x(n)*(t-n)*x(n)*g(t-n)

Teniendo en cuenta el principio de superposicin, al sumar todos los pulsos de la seal de entrada, se tiene la respuesta total:(9)Ahora bien, en la medida quetiende a cero y n a infinito, el argumento n*e se asocia a una variable continua, definida como t y la sumatoria de pulsos de duracin infinitesimal tiende a una integral, entonces:(10)Esta no es ms que laconvolucinbilateral dex(t) con g(t), que se denota como:y(t) = (x*g)(t)(11)osimplemente:y(t) = x*g(12)quepermite calcular la respuesta de un sistema LTI ante cualquier entrada x(t), conocida su respuesta impulsiva g(t).Laconvolucines conmutativa:y(t) = x*g = g*x, y se lee equisconvolucing.La ecuacin (10) puede resolverse analticamente o grficamente.RESPUESTA AL ESCALON UNITARIOExiste una relacin entre la respuesta de un sistema al impulso con la respuesta a un escaln. Supngase que la respuesta al escaln esh(t), si G(.) representa la transformacin efectuada por el sistema, de la entrada aplicada, entonces:h(t) = G[(t)](13)olo que es lo mismo hacer laconvolucin:h = *g(14)esdecir:(15)yaque(t) = 0 para t < 0, queda:(16)ofinalmente,(17)concondiciones iniciales igual a cero.Esta ltima relacin establece que la respuesta al escaln unitario es igual a la integral de la respuesta al impulso unitario, en un sistemaL.T.I.Un resumen de todo lo expuesto hasta ahora se detalla en la tabla 3.Tabla 3. Relacin entre la respuesta de un sistema ante una entrada impulso unitario y escaln unitario.EntradaImpulso unitarioEscaln unitaria

Respuesta

Como respuesta a cualquier entrada:y(t) = g(t)*r(t)(18)Nota:El producto de las transformadas de dos funciones, es equivalente a laconvolucinde esas funciones en t.

ESTABILIDAD DE SISTEMASUn sistemay(t)= f[x(t)] es estable si ante una entrada acotada |x(t)|