control iii primer parcial

7/25/2019 Control III Primer Parcial.

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Ejemplo 1: Sistema Mecnico en Rotacin.

Determine un modelo de espacio de estado para el sistema mostrado en la figura N 1 y

exprese el resultado como una ecuacin matricial vectorial. La salida deseada del sistema es

la deflexin angular del eje del centro y presenta dos entradas los pares T1(t)y T2(t).

Figura N 1: Sistema ec!nico en "otacin.

El sistema presenta las siguientes variables y parmetros:

T1(t): #ar $plicado al cilindro de inerciaJ1.

B1: $mortiguamiento %iscoso 1.

T2(t): #ar $plicado al cilindro de inerciaJ2.

B2: $mortiguamiento %iscoso &1(t): %elocidad angular del cilindro 1.

K1: 'onstante del resorte de torsin 1.

2(t): %elocidad angular del cilindro &.

K2: 'onstante del resorte de torsin &.

1(t): #osicin $ngular del cilindro 1.

K3: 'onstante del resorte de torsin (

2(t): #osicin $ngular del cilindro &.

Diagrama de cuerpo libre de los cilindros:


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Figura N & D.'.L 'ilindro 1 Figura N ( D.'.L 'ilindro &

Deduccin de las Ecuaciones diferenciales:

ara el cilindro 1 ) Figura N & *:

)a*

ara el cilindro ! ) Figura N ( *:

)+*

Reservorios de energ"a y definicin de los estados:

$mortiguador %iscoso 1

%aria+le $sociada

$mortiguador %iscoso & %aria+le $sociada

"esorte de torsin 1 %aria+le $sociada

"esorte de torsin & %aria+le $sociada


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Figura N ,: Diagrama de -loues del Sistema ec!nico en "otacin.

) c *

Sustituyendo los estados definidos/ en las ecuaciones ) a * y ) + *:

) d *

#ara los otros estados tenemos:) e *

) f *

$comodando las ecuaciones ) c */ ) d */ ) e * y ) f *:


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El modelo matricial de la ecuacin de estado es:

Deduccin de la ecuacin de salida:

La deflexin del eje del centro se consigue con:

por lo ue:

Ejemplo !:#ircuito R$# Serie.

'onsidere el circuito "0L0' en serie/ en dondeRes la resistencia/Lla

inductancia/ Cla capacitancia/I)t* la corriente en la red y E)t* el voltaje aplicado.

ncontrar la ecuacin de estado y la de salida para el sistema:


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Figura N 2: 'ircuito l3ctrico "0L0' serie.

Deduccin de las ecuaciones diferenciales:

) a *

) + *

Reservorios de energ"a yDefinicin de los estados:

4nductorL %aria+le $sociada I(t)

'apacitor C %aria+le $sociada Vc(t)

Figura N 5: Diagrama de -loues 'ircuito "L' Serie.

.

Sustituyendo los estados definidos en las ecuaciones ) a * y ) +*:

) c *

) d *


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$comodando las ecuaciones ) c * y ) d *:

Ecuacin de estado:

Ecuacin de salida:

De la definicin de estado:

Ejemplo %:Motor D# de E&citacin Separada con #ampo de E&citacin #onstante y

carga acoplada.

#ara el motor D' mostrado la tensin de control es aplicada en forma de voltaje Ea(t)a la

armadura/ para un anlisis lineal se considera la corriente del campo de e&citacin del

motor ctte. 'onsidere las varia+les y par!metros listados a continuacin y determine la

ecuacin de espacio de estado y la ecuacin de salida ue modelan al sistema dado.


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Figura N 6: Sistema otor D' de xcitacin Separada y 'arga $coplada.

'ariables y parmetros (ue presenta el sistema:

Ea(t): 7ensin aplicada a la armadura. F: Flujo magn3tico.

Im(t): 'orriente en la armadura. IF: 'orriente del campo de excitacin.

Rm: "esistencia de la armadura. N1: N8mero de dientes engranaje 1.

Lm: 4nductancia de la armadura. N2: N8mero de dientes engranaje &.

Em(t): Fuer9a contraelectromotri9. L(t): %elocidad angular de la carga.

m(t): %elocidad angular del rotor. TL(t): #ar de la carga.

Tem(t): #ar del motor. JL: 4nercia de la carga.

Jm: 4nercia del rotor. BL: 'oeficiente %iscosidad de la

carga.

Bm: 'oeficiente %iscosidad del motor. Td(t): #ar de pertur+acin.

Km: 'onstante del otor.

Deduccin de las ecuaciones diferenciales:

ara el circuito de armadura:


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) a *

) + *

Sustituyendo la ecuacin ) a * en la ecuacin ) + */ o+tenemos:

) c *

ara el ar:

) d *

) e *

donde: y

) f *

Sustituyendo las ecuaciones ) e */ ) f * en la ecuacin ) d */ o+tenemos:

)

g *

ara la carga:

) *

Sustituyendo la ecuacin ) * en la ecuacin ) g */ o+tenemos:


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) i *

Definiendo los estados:

Figura N ;: Diagrama de -loues Sistema otor D' de xcitacin Separada.

Sustituyendo los estados definidos en las ecuaciones ) c */ ) g * y ) i *:

) j *

) < *

) l *

$comodando las ecuaciones ) j */ )


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Ecuacin de estado:

ara la salida:

$ partir de la definicin de los estados:

Ejemplo ): Sistema de resin.

n este tipo de sistema al igual ue el de nivel una de las ecuaciones fundamentales

para su modelado surge del principio de conservacin de la masa. #ara la modelacin de

este sistema consideraremos ue los gases se rigen por la ecuacin de los gases ideales/ ue

el proceso es isot3rmico/ ue el flujo de salida Fo(t)se rige por la ecuacin dada y ue el

recipiente act8a como amortiguador o tanue de compensacin.

Figura N =

: Sistema de #resin.

Entradas del sistema:Fi(t)yPo(t)


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Salida del sistema:P(t)

Ecuacin del flujo del gas de salida:

) a *

Fo(t): Flujo del gas de salida. Po(t): #resin fuera del

tanue.

P(t): #resin dentro del tanue. Rv: "esistencia al flujo en la

v!lvula.

Deduccin de la ecuacin diferencial:

*plicando +alance de Masa:

) + *

m(t): asa dentro del tanue.

: Densidad del gas en condiciones Normali9adas/

1,/6 #si y 5> F )i? o?? ctte.*.

Fi(t): Flujo del gas de entrada.

De la ley de los ,ases -deales:

) c *Despejando de la ecuacin) c *:

) d *

V: %olumen del gas dentro del tanue.


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T: 7emperatura a+soluta del gas ) 7? ctte *.

: N8mero de moles.

M: #eso molecular.

R: 'onstante de los gases ideales

Sustituyendo las ecuaciones) d * y ) a * en la ecuacin) + *:

) e *

Definiendo el estado:

Figura N (.1.&>: Diagrama de -loues Sistema de #resin.

Sustituyendo el estado definido en la ecuacin ) e *:

.


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Ecuacin de estado:

ara la salida/ de la definicin de estado dada:

ambi/n puedes consultar los ejercicios (ue se encuentran en los

#ontenidos

jemplo 2 :"esolucin de un sistema mec!nico.

jemplo 5 : .%. a partir de una .D.@ de @rden Superior.

jemplo 6 :.%. a partir de Funcin de 7ransferencia.
http://www.ing.uc.edu.ve/control/tema2/tema2_1.htm#e1http://www.ing.uc.edu.ve/control/tema2/tema2_2.htm#e2http://www.ing.uc.edu.ve/control/tema2/tema2_3.htm#e3http://www.ing.uc.edu.ve/control/tema2/tema2_2.htm#e2http://www.ing.uc.edu.ve/control/tema2/tema2_3.htm#e3http://www.ing.uc.edu.ve/control/tema2/tema2_1.htm#e1

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