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Control Engineering #12

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1

第 8 章：フィードバック制御系の設計法

学習目標：

8.1 設計手順と性能評価キーワード：設計手順，性能評価

一般的な制御系設計における手順と制御系の性能評価について学ぶ．ループ整形の考え方を用いて, 位相遅れ補償，位相進み補償による制御系設計を習得する．

8.2 PID 補償による制御系設計キーワード： P（比例），I（積分），D（微分）

8.3 位相進み‐遅れ補償による制御系設計キーワード：位相遅れ補償，位相進み補償

2

8. フィードバック制御系の設計法

8.1 設計手順と性能評価

制御系の設計手順

レギュレータ問題（定置制御）

：一定の値に保持（制）

サーボ問題（追従制御）

：目標値に良好に追従（御）

人工衛星の姿勢制御など

航空機の自動操縦など

http://spaceinfo.jaxa.jp/gallery/ gallery-j/movie_alflex_j.html

http://edu.jaxa.jp/materialDB/list.php? category=theme&node_id=10000000

3

［ステップ１］

制御対象の数学的モデルを求める. ［ステップ２］

制御目的から, 性能仕様を決める.

［ステップ３］

性能仕様を満たすように, コントローラを設計する.

［ステップ４］

シミュレーションにより, 設計された制御系を評価する. 必要ならば以上のステップを繰り返し設計をやり直す. ［ステップ５］

コントローラを実装し, ハードウェアを用いてテストする.

制御系の設計手順

現実の世界紙の上の世界

制御目的性能仕様

実装

モデリング数学的モデル

コントローラ

設計

コントローラ実現

制御対象

4

（広い意味では）

•  センサ・アクチュエータの選択・配置 •  制御量・操作量の決定

•  動作環境・拘束条件の分析…　など

光センサ

タッチセンサ

ＬＥＧＯ

5

制御系の性能評価

定常特性（§4.2 ）

定常位置偏差

位置偏差定数

表4.1 制御系の型と定常偏差

制御系の型

0 型

1 型

2 型図4.4 定常位置偏差

) ( t y

定常特性

過渡特性

6

過渡特性

速応性減衰特性

時間応答

周波数応答

立上り時間

オーバーシュート

遅れ時間

整定時間

行過ぎ時間

減衰比

図3.10 過渡応答と諸特性値

) ( t y


定常特性

過渡特性に基づく性能評価

時間応答に基づく性能評価（§3.4 ）


2

7

2次系 Im

Re

×

×

図3.8 2次系の極の位置

：減衰係数（2次系）

図3.7 2次系のステップ応答

) ( t y

過渡特性

時間応答

周波数応答


定常特性


時間応答に基づく性能評価（§3.3 ）


：自然角周波数

8

×

× × ×

× × × ×

× × ×

× Im

Re

図3.9 極の位置とインパルス応答

過渡特性

時間応答

周波数応答


定常特性


時間応答に基づく性能評価（続き）（§3.4 ）


9

時間応答

周波数応答


定常特性

過渡特性伝達関数に基づく性能評価

閉ループ

開ループ

閉ループ伝達関数に基づく性能評価（p.147）

感度関数　についても：

図8.1 閉ループゲイン特性

の場合

共振周波数

速応性バンド幅

倍

減衰特性

ピークゲイン

10

時間応答

周波数応答


定常特性

過渡特性伝達関数に基づく性能評価

閉ループ

開ループ

閉ループ伝達関数に基づく性能評価

感度関数ゲイン特性

共振周波数

バンド幅倍

ピークゲイン

11

時間応答周波数応答


定常特性過渡特性伝達関数に基づく性能評価

閉ループ

開ループ

開ループ伝達関数に基づく性能評価（p.148）

Re

Im

安定余裕［ゲイン余裕 / 位相余裕］

［ゲイン/位相］交差周波数

（速応性）：ゲイン交差周波数

（減衰特性）：位相余裕

経験的指針追従制御：

定置制御：

2次系の場合： 12

制御系の性能評価 LTIview

ボード線図ナイキスト線図（ベクトル軌跡）

ステップ応答閉ループゲイン特性極・零点配置


3

13

Minorsky ： P，I，D 3項動作の着想 1922年

Callender ： PIDの原型 1936年

Ziegler and Nichols ： PID制御の調整法の提案 1942年

"   PID制御の歴史

Hezebroek and Waerden 1950年

その後のPID制御の調整法

1951年 Wolfe

1967年 Lopez, Miller, Smith and Murrill

1952年 Chien, Hrones and Reswick 1953年 Cohen and Coon

高橋 1949年

荒木光彦, システム/制御/情報, Vol. 50, No. 12, pp. 441-446, 2006

14

8.2 PID補償による制御系設計

（偏差の）

比例（Proportional）

微分（Derivative）積分（Integral）

PID制御図8.2 PID 補償

比例

積分

微分

制御対象

PID 補償

P 補償コントローラ比例ゲイン（定数）

・定常位置偏差を（必ずしも） 0 にできない（積分器が必要：型）

・ゲインの増大不安定になり得る

15

PI 補償コントローラ

（積分時間）

“偏差が残っている限り, これが積分されて操作量に反映される”

定常特性の改善

低周波：ゲイン大, で

ゲイン

位相

図8.3 PI 補償のボード線図

現在未来過去

時間

偏差

16

［例 8.1 ］制御対象

P 補償

図8.4 開ループゲインとステップ応答

定常偏差＝ 0

（しかし応答は遅い）

低周波ゲインが大きい

交差周波数が低い

PI 補償 )

( t y ゲイン［ d

B ］

17

PD 補償コントローラ

（微分時間）

過渡特性の改善

“ 偏差が増加（減少）しつつあるとき, その先を見越して操作量を大きく（小さく）する ”

［注］理想的な微分器は実現困難

図8.5 PD 補償のボード線図

ゲイン

位相

現在未来過去

時間

偏差

18

PID 補償

コントローラ

定常特性と過渡特性を改善

（微分時間）

（積分時間）

ゲイン

位相

図8.6 PID 補償のボード線図

現在未来過去

時間

偏差


4

19

［例 8.2 ］制御対象

コントローラ

図8.7 開ループゲインとステップ応答

定常特性：

過渡特性（速応性）：

ゲイン交差周波数


PI 補償と比べて高い

ゲイン［ d

B ］

) ( t y

20

ゲイン［ d

B ］

位相［

° ］

［例 8.2 ］（続き）

位相余裕 PM

定常特性：




減衰特性：

を大きくする

PM を十分に確保する

21

PID チューニング（調整）

Ziegler and Nichols （1942）（1）限界感度法

限界ゲイン限界周期

表 8.1 限界感度法

コントローラ

P

PI

PID

図 7.2 （b）閉ループ系のステップ応答

限界ゲイン

) ( t y

22

（2）ステップ応答法プロセス応答曲線

“1次遅れ+むだ時間” で近似

（定位プロセス）

（無定位プロセス）

減衰比：

（ひとつの性能仕様）

システム同定, 適応制御へ

図 8.8 プロセス反応曲線

傾き

コントローラ

P

PI

PID

表 8.2 ステップ応答法

23

［例］限界感度法

Re 安定限界のとき，を通過

［step1］限界ゲインの設定

限界周期

限界ゲイン

24

表 8.1 限界感度法

コントローラ

P

PI

PID

限界周期

限界ゲイン

［step2］PIDゲインの設定


5

25

ゲイン［ d

B ］

位相［

° ］

［step3］性能評価

位相余裕 PM

定常特性：




減衰特性：

を大きくする

PM を十分に確保する

26

8.3 位相進み‐遅れ補償による制御系設計

感度関数

•  低感度特性（パラメータ変動）：

•  外乱抑制：

•  目標値追従：

相補感度関数

•  ロバスト安定性：

•  雑音除去：

•  目標値追従：

（§4.1 ）

27

拘束同時に 0 に近づけることは出来ない

を小さくする

周波数帯を分ける

低周波数帯：

高周波数帯：を小さくする

感度関数相補感度関数 28

（閉ループ伝達関数から, 開ループ伝達関数へ)

を大きくより, 低周波域で

小

より, 高周波域でを小さく

小

図8.9 ループ整形

29

【Key Points】

•  定常特性：

•  速応性：

•  減衰特性：

低周波ゲイン


位相余裕 PM を確保する

を大きくとる

を高くする

0 dB

位相

ゲイン

［復習］位相余裕

ゲイン

位相

30

【Key Points】（交差周波数付近）

ゲインの傾きが急（　以下）

•  ゲインと位相の関係 •  最小位相系

不安定

好ましくない位相遅れ

緩やかなゲインの傾き（）

不安定

ゲイン

位相

安定

（§5.4）


6

31

【Key Points】

（低周波域）

開ループゲインを大きく

定常偏差：小

偏差定数が大

ゲイン

位相

0 型 1 型 2 型

ステップ状 → 1型（　を含む）

ランプ状 → 2型（　を含む）

目標値

32

【Key Points】

（高周波域）

ロール・オフ特性：

以下

ゲイン

位相

33

ループ整形

•  定常特性：

•  速応性：

•  減衰特性：

低周波ゲイン


位相余裕 PM を確保する

を大きくとる

を高くする

0 dB

位相

ゲイン

［復習］位相余裕

ゲイン

位相

【Key Points】

34

位相遅れ補償

［注］位相遅れ：（安定性の劣化の原因）

折点角周波数を適切に

コントローラ

定常特性の改善

図8.10 位相遅れ補償のボード線図

ゲイン

位相

35

位相遅れ補償器

ゲイン

位相

PI補償器

ゲイン

位相

位相遅れ補償とPI補償の比較

36

ゲイン

位相


7

37

以上で設計パラメータが定められたので, 位相遅れ補償を構成する.

低周波ゲインが上がることを考慮し,

定常特性に関する仕様を満たすようにパラメータ

の値を定める.

位相遅れにより安定性が劣化しないように, 折点角周波数

  をゲイン交差周波数より 1dec 程度下になるように  選ぶ. もうひとつの折点角周波数をと定める.

［ステップ1］のを用いて開ループ伝達関数のボード線図を描き, その低周波ゲインを評価する.

位相余裕やゲイン交差周波数に着目し, 望ましい過渡応答特性が得られるようにゲイン補償を決める.

［ステップ1］

位相遅れ補償の設計手順

［ステップ2］

［ステップ3］

［ステップ4］

［ステップ5］ 38 図8.11 位相遅れ補償と開ループ特性

ゲイン［

dB］

位相［］

制御対象

［例 8.3 ］性能仕様

速度偏差定数（定常特性）

位相余裕（減衰特性）

位相余裕やゲイン交差周波数に着目し, 望ましい過渡応答特性が得られるようにゲイン補償を決める.

［ステップ1］

OK


位相余裕

を満たす

39 図8.11 位相遅れ補償と開ループ特性

ゲイン［

dB］

位相［］

［ステップ1］のを用いて開ループ伝達関数のボード線図を描き, その低周波ゲインを評価する.

［ステップ2］

開ループ伝達関数

速度偏差定数

性能仕様は

低周波ゲイン10倍以上必要 40

ゲイン

位相

低周波ゲインが上がることを考慮し,

定常特性に関する仕様を満たすようにパラメータ

の値を定める.

［ステップ3］

低周波ゲイン10倍で速度偏差定数

ゲイン［

dB］

位相［］

41

位相遅れにより安定性が劣化しないように, 折点角周波数

  をゲイン交差周波数より 1dec 程度下になるように  選ぶ. もうひとつの折点角周波数をと定める.

［ステップ4］

ゲイン

位相

と選べば，ゲイン交差周波数より十分に小さい．

折点角周波数

ゲイン［

dB］

位相［］

42

位相遅れ補償


位相余裕

以上で設計パラメータが定められたので, 位相遅れ補償を構成する.

［ステップ5］

ゲイン［

dB］

位相［］


8

43

OK

OK

ステップ応答, ランプ応答 OK

性能仕様

速度偏差定数（定常特性）


［CHECK］

ステップ応答

ランプ応答

) ( t y

) ( t y

44

ゲイン

位相

図8.13 位相進み補償のボード線図

位相進み補償

位相が最も進む角周波数

位相進みの最大値

コントローラ

過渡特性の改善, 安定化

位相進み

［注］高周波ゲイン→大

ノイズ増幅ロバスト安定性の劣化

8章演習問題［4］

45

ベクトル軌跡で見る位相進み補償

制御対象

ゲイン補償

Im

Re

K → 大

位相進み補償

位相余裕を増加させる

位相進み補償

Im Re

ゲイン補償のみ

46

ゲイン

位相

47

与えられた位相余裕 PM とこの PM との差が, 必要な位相進み量となる.

［ステップ1］のを用いて開ループ伝達関数のボード線図を描き, その位相余裕 PM を評価する.

速応性や定常特性に対する仕様が満たされるように, ゲイン補償の値を決める.

これに適当な（例えば以上の）余裕を考慮し, 　　　　　　　　　（以上）と定める.

位相進み補償の設計手順

［ステップ1］

［ステップ2］〈〈〈

［ステップ3］から, パラメータの値を決める.

48

以上で設計パラメータが定められたので,

位相進み補償では最も位相が進む角周波数で, ゲインが倍に上がる. そこで　　　　が（）である角

周波数を, 補償後の新しいゲイン交差周波数　とおく.

から, パラメータの値を決める.

このとき位相進み補償の折点角周波数は, となる.

［ステップ4］

［ステップ5］

［ステップ6］

から, 位相進み補償を構成する.


9

49 図8.14 開ループ特性

ゲイン［

dB］

位相［］

［例 8.4 ］制御対象性能仕様

ゲイン交差周波数（速応性）


速応性や定常特性に対する仕様が満たされるように, ゲイン補償の値を決める.

［ステップ1］

ゲイン補償

開ループ伝達関数

OK


を満たす 50

性能仕様は

（必要な位相進み量）

（マージン）

与えられた位相余裕 PM とこの PM との差が, 必要な位相進み量となる.

［ステップ1］のを用いて開ループ伝達関数のボード線図を描き, その位相余裕 PM を評価する.

これに適当な（例えば以上の）余裕を考慮し, 　　　　　　　　　（以上）と定める.

［ステップ2］〈〈〈

位相余裕

図8.14 開ループ特性

ゲイン［

dB］

位相［］

51

［ステップ3］から, パラメータの値を決める.

図8.14 開ループ特性

ゲイン［

dB］

位相［］


ゲイン［

dB］

位相［］

に下がっている. （後で 0dB　に上がる. ）

位相進み補償では最も位相が進む角周波数で, ゲインが倍に上がる. そこで　　　　が（）である角周波

数を, 補償後の新しいゲイン交差周波数とおく.

［ステップ4］

ゲイン

位相


ゲイン［

dB］

位相［］

折点角周波数

から, パラメータの値を決める.

このとき位相進み補償の折点角周波数は, となる.

［ステップ5］


ゲイン［

dB］

位相［］

位相進み補償


位相余裕

以上で設計パラメータが定められたので, ［ステップ6］

から, 位相進み補償を構成する.


10

55

性能仕様

ゲイン交差周波数（速応性）


ステップ応答 OK

OK OK

［CHECK］

) ( t y

56


学習目標：

8.1 設計手順と性能評価キーワード：設計手順，性能評価

一般的な制御系設計における手順と制御系の性能評価について学ぶ．ループ整形の考え方を用いて, 位相遅れ補償，位相進み補償による制御系設計を習得する．

8.2 PID 補償による制御系設計キーワード： P（比例），I（積分），D（微分）

8.3 位相進み‐遅れ補償による制御系設計キーワード：位相遅れ補償，位相進み補償

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学習目標：ループ整形の考え方を理解する．

次回

8.3 位相進み‐遅れ補償による制御系設計

キーワード：ループ整形

control engineering #12 - control systems...

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