consolidacion univariada
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Univariada
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1. Se ha observado la hora de entrada a una oficina marcadas por un
reloj control para un estudio posterior:
8,01 7,55 7,55 7,58 8,12 8,01 8,00 8,03 8,04 8,13 7,59 7,59
8,06 8,03 8,11 8,11 8,10 8,12 8,13 8,22 8,17 8,03 8,01 8,00
7,53 7,56 7,59 7,58 8,02 8,00 7,55 7,53 7,54 8,02 8,02 8,04
8,09 7,57 8,15 8,14 7,58 7,59 7,59 8,04 8,01 8,00 8,01 8,01
a) Hacer tabla de frecuencia
b) Que porcentaje de trabajadores son puntales considerando que la
entrada es a las 8:00
Hora f.absoluta f.relativa A.acumulada R.acumulada
7.53-
8.00 20 41.67% 20 41.67%
8.01-
8.08 16 33.34% 36 75.01%
8.09-
8.16 10 20.8% 46 95.81%
8.17-
8.24 2 4.19% 48 100%
El 41.67% de los trabajadores son puntuales.
2. En otra encuesta se pregunto cuantos gramos de chocolate
consumen diarios 50 personas
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Los datos son los siguientes:
10 18 24 35 12 15 18 12 22 30 50 9
9 11 22 12 13 24 24 45 20 35 33 15
12 12 46 33 23 13 43 38 29 17 43 32
21 12 50 30 29 38 47 56 31 14 42 25
23 43
a) Calcule desviación estándar
b) Calcule el coeficiente de variación
Sol:
a) Para calcular la desviación estándar primero debemos calcular la
Varianza y para ello debemos saber el promedio:
X
n
i n
Xi
1
26,62
s 2 =
n
i n
XXi
1
2
166.26
S=
n
i n
XXi
1
2
12.9
b) C.V = 48.062.26
9.12
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3. En una imprenta de un diario se observo el tiempo que se tardan en
imprimir la primera plana durante 50 días. Los datos, aproximados a
décimas de minuto:
19,7 24,2 23,8 20,7 23,8 24,3 21,1 20,9 21,6 22,7
20,8 22,8 21,9 22,0 20,7 20,9 25,0 22,2 22,8 20,1
21,3 21,5 23,1 19,9 24,2 24,1 19,8 23,9 22,8 23,9
23,7 20,3 23,6 19,0 25,1 25,0 19,5 24,1 24,2 21,8
25,3 20,7 22,5 21,2 23,8 23.3 20,9 22,9 23,5 19,5
a) Calcule el coeficiente de variación y la mediana
Sol.:
a) X
n
i n
Xi
1
22,328
s 2 =
n
i n
XXi
1
2
3,01
S=
n
i n
XXi
1
2
1,73
b) C.V = 328,22
73,10,077
Me=
122
2
1nn XX 23
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4. Arteaga y Rebolledo recopiló datos del número de entrevistas que
necesitaban sus 40 vendedores para realizar una venta. Complete los
datos faltantes:
Nº de entrevistas fi hi
1-11 2 0.05
11-21 0 0.0
21-31 2 0.05
31-41 12 0.3
41-51 6 0.15
51-61 8 0.2
61-71 5 0.125
71-81 0 0.0
81-91 5 0.125
91-101 0 0.0
Los datos en azul son los entregados.
5. El banco del estado lleva un control de la aprobación de préstamos
para el desarrollo de microempresas. A lo largo de los cinco últimos
años el préstamo mayor fue de 44 millones de pesos y el más pequeño
de 5 millones de pesos.
a) Construya una tabla de frecuencias con 10 clases considerando que
la frecuencia absoluta es el cuadrado de la marca de clase dividido en
15
b) ¿Cuál sería el intervalo de clase?
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Sol:
Millones M.
Clase f.absoluta f.relativa A.acumulada R.acumulada
5-8 7 3 0.60% 3 0.60%
9-12 11 8 1.59% 11 2.19%
13-16 15 15 2.98% 26 5.17%
17-20 19 24 4.76% 50 9.93%
21-24 23 35 6.94% 85 16.87%
25-28 27 49 9.72% 134 26.59%
29-32 31 64 12.70% 198 39.29%
33-36 35 82 16.27% 280 55.56%
37-40 39 101 20.04% 381 75.6%
41-44 43 123 24.40% 504 100%
b) El intervalo son 3 millones.
6. En la siguiente tabla se presenta el mes y día de los terremotos más
fuertes desde 1960 a 1999:
Mes 5 5 5 6 11 9 2 8 2
Día 23 28 28 13 21 17 9 18 10
Mes 3 12 3 12 6 7 8 5 11
Día 30 23 3 169 4 3 3 9 5
Mes 11 8 10 10 3 3 4 3 8
Día 8 12 30 15 30 15 3 21 30
Mes 4 7 10 1 4 8 9 11 8
Día 22 28 23 3 14 13 1 20 22
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a) Calcule la desviación estándar de los días de los terremotos más
fuertes.
b) Calcule la media armónica de los meses de los terremotos más
fuertes.
Sol:
a) Para calcular la desviación estándar primero debemos calcular la
varianza y para ésta debemos tener promedio, luego:
X
n
i n
Xi
1
15,9166667
s 2 =
n
i n
XXi
1
2
87,9642857
S=
n
i n
XXi
1
2
9,38 (aprox.)
b) Mh=
n
i Xi
n
1
1 7,5160224
7. En un colegio se pregunto la edad a los profesores para un estudio
posterior, los datos observados son los siguientes:
24 30 27 43 39 25 33 34 37 36 43 31
29 38 33 27 29 31 39 38 27
a) ¿La distribución de las edades de los profesores es simétrica?
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Sol: para que la distribución sea simétrica la media debe ser igual a la
mediana, luego
= n
xn
i
i1 = 33 y Me=
1
2
nX =33
Luego: = Me entonces es simétrica.
8. Una máquina cigarrera fabrica 7500 cigarrillos por min. Y en una
máquina empaquetadora hace 400 cajetillas por min. Y una caja
contiene 500 cajetillas.
a) En un turno de 8 horas ¿Cuál es la eficiencia máxima?
b) Si la máquina esta detenida 2 horas ¿En que % baja su
rendimiento?
Sol:
a) Primero debemos saber cuántas cajas salen por min.
Luego:
500/400= 0.8 cajas por min. Ahora 0.8 * 60 = 48 cajas en una hora
Luego la eficiencia máxima es:
48 * 8 = 384
b) ahora si la máquina se detiene 2 horas se tendrá:
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48 * 6 = 288 y 288 es el 75% de 384
Lo que implica que el rendimiento bajara en un 25%
9. Un nutricionista recibe en su consulta a 5 pacientes y obtiene el
peso en kilos de ellos:
70 60 56 83 79
Cuya media es 69.6 kilos
a) Determine la desviación estándar.
b) Calcule la media Geométrica.
Sol:
a) Primero debemos calcular la varianza:
s 2 =
n
i n
XXi
1
2
136,3
s=
n
i
i
n
XX
1
2
11,67
b) Mg = nnXXX *...** 21 = 68,80
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10. En el primer año básico se tomaron las estaturas de los alumnos
en centímetros. Los datos obtenidos son los siguientes:
104 100 98 102 106 99 110 98 93 95 96 108
107 100 97 99
a) Calcule media y varianza
b) Determine un intervalo que contenga aproximadamente el 80% de los
alumnos.
Sol:
a) = n
xn
i
i1 = 100,75
s 2 =
n
i n
XXi
1
2
24,6
b) Como son 16 alumnos debo saber cuánto es el 80% que es 13 aprox.
Luego debo construir intervalos de manera que en uno de ellos me
queden 13 datos como sigue:
Intervalos f.absoluta f.relativa
93-106 13 81,25%
107-120 3 18,75%
11. Se tienen las notas de lenguaje de los alumnos de 2º medio:
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Alumno 1º prueba 2º prueba 3º prueba
1 6,5 5,0 6,3
2 3,5 3,5 4,0
3 5,0 4,8 5,7
4 5,7 5,0 6,8
5 6,0 6,3 6,4
6 4,7 4,5 4,0
7 4,7 5,2 5,5
8 6,9 6,8 7,0
9 4,0 3,8 4,1
10 5,5 5,8 5,5
11 4,8 4,9 5,1
12 5,0 5,5 5,9
13 5,9 6,4 6,7
14 6,8 7,0 7,0
15 6,5 6,8 7,0
16 5,0 5,2 5,0
17 4,6 4,6 4,8
18 3,9 4,0 4,0
19 2,0 4,8 5,5
20 6,1 6,0 5,8
21 6,3 6,8 6,5
22 5,1 5,0 5,2
23 5,8 5,1 6,0
24 5,3 5,5 5,8
25 6,0 5,8 6,3
a) Calcule promedio de notas de las 3 pruebas por alumno y promedio
curso por prueba
b) ¿Cual es la diferencia en % entre el peor y mejor alumno en el
promedio de las 3 pruebas?
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Sol:
a) El promedio de notas de cada alumno es:
5,9 3,7 5,2 5,8 6,2
4,4 5,1 6,9 4,0 5,6
4,9 5,5 6,3 6,9 6,8
5,1 4,7 4,0 4,1 6,0
6,5 5,1 5,6 5,5 6,0
El promedio curso por prueba es:
5,264 5,364 5,676
b) la diferencia en % de los alumnos con mejor y peor rendimiento es:
45,7%.
12. En una carrera de Veleros participan 7 embarcaciones. El recorrido
a realizar es de 50km. Las embarcaciones demoraron los siguientes
tiempos:
1. 30 min.
2. 80 min.
3. 40 min.
4. 50 min.
5. 45 min.
6. 55 min.
7.- 70 min.
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a) Determine la velocidad promedio y la media
Sol:
1. (100 km/hr.)
2. (37.5 km/hr.)
3. (75 km/hr.)
4. (60 km/hr.)
5. (66.6 km/hr.)
6. (54.5 km/hr.)
7. (42.8 km/hr.)
X
n
i n
Xi
1
62.34 km/ hr
Me= 60 km/ hr
13. En una empresa de celulares hay los siguientes 5 modelos para la
venta:
Celular Costo en Pesos
Nokia $40.000
Samsung $43.000
Sony Ericsson $47.500
Alcatel $37.800
Motorola $51.900
a) Calcule media geométrica del costo en dólares.($550 c/dólar)
b) ¿Cuanto se debe disponer en promedio para comprar un celular?
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Sol: Primero debemos cambiar de moneda de pesos a dólares.
Celular Costo en Dólares
Nokia $72,7
Samsung $78,1
Sony Ericsson $86,3
Alcatel $68,7
Motorola $94,3
a) Mg=
n
n
i
iX1
79,49
b) X
n
i n
Xi
1
44.040
14. Un alumno de 4º básico presenta las siguientes notas:
4,1 2,3 4,1 3,0 5,0 4,0
Obtenga:
a) Promedio de notas
b) Desviación Media
c) Varianza
Sol:
a) X
n
i n
Xi
1
3,75
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b) Dm=
n
i n
XXi
1
4,4
c) s 2 =
n
i n
XXi
1
2
0,76
15. Tres hombres A,B,C intervienen en un torneo de ajedrez organizado
por la Federación de Chile, pero intervienen también cuatro mujeres
W1, W2, W3,W4.
Si ambos quieren ganar pero cada mujer tiene el doble de Posibilidades
de ganar que un hombre, pero entre el mismo sexo, las mismas.
a) Hallar Probabilidad de que un hombre gane el torneo
Sol.:
PAP )( Entonces PCPBP )()(
Además PWPWPWPWP 2)4()3()2()1(
La suma de todos las probabilidades tanto de hombres como mujeres debe ser igual a 1 (Por axioma)
12222 PPPPPPP
11
1
111
P
P
Ahora A1) )()()(),,( CPBPAPCBAP
= 11
3
11
1
11
1
11
1
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17
11
3
11
1
11
2)()1(),1( APWPAWP
16. Sean ocho artículos escogidos al azar de un total de 27 artículos de
los cuales trece son defectuosos
Sea A= {ocho artículos defectuosos}
B= {ocho artículos no defectuosos}
Hallar )()( BPyAP
Sol.:
Q puede suceder de 22200758
27
Maneras para escoger 8 artículos
entre 27.
A puede suceder de 12878
13
Maneras que se puede escoger 8
defectuosos entre 20.
B puede suceder de 30038
14
Maneras que se puede escoger 8 no
defectuosos entre 14. Luego se tiene:
2220075
1287)( AP
2220075
3003)( BP
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17. Se escogen al azar 5 ampolletas entre 18 de las cuales 6 son
defectuosas. Hallar la probabilidad P de que:
a) Ninguna sea defectuosa
b) Dos exactamente sean defectuosas
c) Dos por lo menos sean defectuosas
Sol.:
Sabemos 85685
18
Maneras de escoger 5 ampolletas entre 18.
a) ya que 18-6=12 ampolletas no defectuosas entonces hay 7925
12
Maneras de escoger 5 ampolletas no defectuosas.
Asi que 119
11
1071
99
2142
198
8568
792P
b) Se tienen 6 ampolletas defectuosas y 2202
12
.Por consiguiente
se tiene 6 220=1320 Maneras de escoger 5 ampolletas de las
cuales 2 sean defectuosas.
8568
1320P
c) El evento que sean por lo menos 2 defectuosas es el complemento del evento de que ninguna sea defectuosa.
Por lo Tanto
Probabilidad no defectuosa es 119
11 entonces
119
108
119
111 P
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18. En el liceo Maria Luisa Bombal hay un curso que consta de 28
hombres
Y 16 mujeres, de las cuales la mitad de los hombres y mujeres tienen
los ojos verdes.
Hallar la probabilidad P de que una persona escogida al azar sea
Mujer y tenga los ojos verdes.
Sol.: A= {la persona es una mujer} B= {la persona tiene ojos verdes}
Buscamos )(AUBP
Luego 11
4
44
16)( AP ;
2
1
44
22)( BP
11
2
44
8)( BAP
Por regla aditiva
)()()()( BAPBPAPAUBPP
= 22
15
11
2
2
1
11
4
19. En el interior de un circulo se selecciona un punto al azar. Hallar la
probabilidad P de que el punto quede mas cercano al centro que a la
circunferencia.
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Sol.:
4
1
1
4
16
1
4
116
1
)2
1(
)4
1(
)(2
2
2
2
r
r
r
r
TdeArea
UdeAreaAPP
20. Una clase de cálculo diferencial esta formada por 12 estudiantes de
primero, 7 de segundo, 5 de tercero y 2 de cuarto año de Universidad.
Se escoge un estudiante al azar para representar al curso.
Hallar la probabilidad que el estudiante.
a) Sea de tercero
b) Sea de segundo o cuarto año
Sol.:
a) 26
5)( AP El alumno sea de tercer año.
b) 26
9
26
2
26
7)()()( DPBPBUDP
)()()( DPBPBUDP
Eventos Disjuntos
T ½ r
U
¼ r
11 4/1
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21. Una Universidad tiene 4 Carreras Leyes, Medicina, Ingeniería,
Pedagogía.
- El 20% de los alumnos son de Pedagogía.
- El 30% de los alumnos son de Ingeniería.
- El 40% de los alumnos son de Medicina.
- El 10% de los alumnos son de Leyes.
El % de alumnos becados son:
- 35% de los alumnos de Pedagogía.
- 30% de los alumnos de Medicina.
- 20% de los alumnos de Ingeniería.
- 15% de los alumnos de Leyes
¿Cual es la probabilidad que un alumno de esta Universidad tenga
Beca?
Sol.:
P: Alumnos de Pedagogía
I : Alumnos de Ingeniería.
L: Alumnos de Leyes
M: Alumnos de Medicina.
4,0)(1,0)(%3,0)(%2,0)( MPLPIPPP
%15,0)/(20,0)/(%3,0)(%35,0)()( LBPJBPM
BPP
BPBP
Entonces
)()/()()/()()/()()/()( LPLBPIPIBPMPMBPBPPBPBP
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= 10,015,030,020,040,030,020,035,0
= 015,006,012,007,0
= 265,0
26% de probabilidades que un alumno tenga beca
22. Una caja de lápices de Colores contiene 26 unidades de las
cuales 9 están malos. Si se selecciona al azar 3 de estos sacándose
de la caja en sucesión sin reemplazo.
¿Cual es la Probabilidad que los 3 lápices estén malos?
Sol.:
A: El primer lápiz este malo
B: El segundo lápiz este malo C: El tercer lápiz este malo.
Por Teor eventos independientes
)/()/()()( BACPABPAPCBAP
Luego
24
7)/(
25
8)/(
26
9)( BACPABPAP
Se tiene
)/()/()()( BACPABPAPCBAP
= 650
21
24
7
25
8
26
9
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23. 10 estudiantes A, B, C,D,E,F,G,H,I,J están en una clase de
inglés se escogen 3 al azar para una interrogación.
Hallar la probabilidad de que:
a) A sea interrogado por el profesor
b) B sea interrogado por el profesor.
c) A y C sean interrogados
d) A o C sean interrogados
Sol.:
a) 10
3)( AP c)
100
9
10
3
10
3)( CAP
b) 10
3)( BP d)
5
3
10
3
10
3)( AUCP
24. Dados los siguientes eventos Ay B con
6
1)(;
12
7)(;
6
5)( CAPBAPAUBP
Hallar )(),(),( CBAPBPAP
Sol.:
1)()( CAPAP (Teor)
Luego
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)(1)( CAPAP
6
5
6
11)( AP
Luego por
)()()()( BAPBPAPAUBP
12
7)(
6
5
6
5 BP
12
7)( BP
)()()( BAPAPBAP C
= 4
1
12
3
12
7
6
5
25. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la
siguiente distribución.
xi -4 -2 2 4
)(xif 4
1
3
1
2
1
1
Sol.:
42
12
3
12
4
14
2
xixi
= -1 - 413
2 =
3
10
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
25
162
14
3
14
4
116)(2 xifxi
= 3
70162
3
44
222 )( xifxi
= 9
110
9
100
3
70
496,33
110
9
110
26. Una ciudad tiene 2 diarios: “El País” y “La Cuarterola” . Un estudio
reciente a mostrado que en los hombres el 30% lee El país, el 20% La
Cuarterola y un 15% lee ambos. El mismo estudio revela que el 30% de
las mujeres lee El País y el 40% lee La Cuarterola y y el 30% ninguno.
a) Encuentre la Probabilidad que el hombre lea al menos uno de los
diarios.
b) Encuentre la probabilidad que una mujer lea solo A
Sol.:
A: Lee EL País B: Lee La Cuarterola C: Al menos un Diario
15,02,03,0)() CPa
= 0,65%
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
26
b) 30,0)( AP %
27. En un sorteo del KINO de un total de 25 bolitas, el que canta las
bolitas extrae 2 de la tómbola ¿Que probabilidad existe que la primera
bolilla sea múltiplo de 3 y la segunda múltiplo de 5?
Sol.:
Múltiplos de 3= {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}
Múltiplos de 5= {5, 10, 15, 20, 25}
La probabilidad de sacar la primera bolita múltiplo de 3 entre 25 es:
25
8)3( P
La probabilidad de sacar la segunda bolita múltiplo de 5 entre 25 es:
5
1
25
5)5( P
Luego la probabilidad de obtener un múltiplo de 3 y un múltiplo de 5 es:
P (3y5)= 125
8
5
1
25
8
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
27
28. La probabilidad de que un Hombre vivirá 20 años más es 3
1, la
probabilidad de que su esposa vivirá 20 años mas es 6
1. Hallar la
probabilidad que:
a) Ambos estarán vivos dentro de 20 años
b) Al menos uno estará vivo en 20 años.
c) ninguno estará vivo en 20 años.
Sol.:
6
1)(
3
1)( EPHP
a) 18
1
6
1
3
1)()()( EPHPEHP
b) )()()()( EHPEPHPHUEP
= 9
4
18
8
18
1
6
1
3
1
c) )()()( CCCC EPHPEHP
= 9
5
6
5
3
2
29. En una caja hay tarjetas del mismo tipo con las letras de la palabra
MURCIELAGO luego se saca una tarjeta al azar, La probabilidad que en
esta halle una vocal es:
a) 10
1
Sol.:
b) 5
1
c)2
1
2
1
10
5)( AP
d)1
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
28
30. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa esta dada por:
42)1(
0
8
1)(
yparayyf
Determinar efectivamente que )(yf es una función de densidad de
probabilidad.
Sol.:
18
182
2
44
2
16
28
1
8
1)1(
8
1)1(
8
1 24
2
4
2
4
2
4
2
y
ydydyydyydyy
Por la tanto podemos decir que efectivamente es una función de densidad
31. Se lanza un dado hasta que salga un 6 y se registra cada vez el
número de lanzamientos necesarios y la suma de los valores obtenidos
en el dado, calcular:
a) La probabilidad de que la suma sea 10 , si se sabe que se lanza el
dado no mas de 3 veces.
Sol.:
A= {Los dados suman 10}
B= {a lo mas 3 lanzamientos}
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
29
)(
)3()2()1()/(
BP
BAPBAPBAPBAP
36
1
6
1
6
1)10,2()2( PBAP
72
1
216
13
6
13
6
1
6
1
6
1)3(
3333
BAP
)3()2()1()( BPBPBPBP
= 216
91
6
1
6
5
6
5
6
1
6
5
6
1
91
9
91
216
216
9
216
91216
3
36
10
)/(
BAP
32. Sea x una variable aleatoria continuaron distribución
50
0
23
)(
2
xsi
xk
xf
a) calcular el valor de k
b) Hallar )5()62()51( XPXPXP
Sol.: a)
35
2
75
41
4
75
2
25
2
3
22
3
2
3
23 222
22
5
0
2
5
0
2
kkkkx
kdxxkdxx
k
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
30
b1)
35
24
2
24
35
2
2
1
2
25
35
2
235
2
35
2
35
2)51(
25
1
xdxxdxxXP
b2) )62( XP
235
2 2x=
325
64
5
32
35
2
2
4
2
36
35
2
b3)3
5
2
25
35
2
235
2
35
2)5(
25
0
xdxxXP
33. Dada la siguiente función
xexf
x
025
1)( 25
Determinar
a) si la función anterior es una función de Probabilidad
Sol:
12525
1
25
1
25
145
0
4545
0
2525
0
eeeeduedxedxe
x
uu
xx
34. Dada la siguiente función de probabilidad
12,.......3,2,1
0
36
76)(
x
xxf
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
31
Evaluar para cada valor la función acumulativa de la función antes
dada
Sol.:
1)12()12(
36
35)11()11(
36
33)10()10(
36
30)9()9(
36
26)8()8(
36
21)7()7(
36
15)6()6(
36
10)5()5(
36
6)4()4(
36
3)3()3(
36
1)2()2(
0)1(
XPF
XPF
XPF
XPF
XPF
XPF
XPF
XPF
XPF
XPF
XPF
F
Calcular las siguientes probabilidades con respecto a lo antes calculado
36
26)5(1)5(1)5( FXPXP
9
1
36
6
36
10)4()5()4()5()5( FFXPXPXP
36
15
36
15
36
30)6()9()6()9()97( FFXPXPXP
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
32
35. En un test de lenguaje y comunicación un estudiante debe
responder 7 de un total de 9 preguntas.
Sol.:
a) De cuantas formas puede responder la prueba
36!7)!79(
!9
7
9
b) De cuantas formas puede responder si de las 4 primeras
preguntas debe responder 2 y de las 5 restantes 3.
161063
5
2
4
10!3)!35(
!5
3
5
6!2)!24(
!4
2
4
De 16 formas posibles se puede responder el Test.
36. En un instituto hay 1000 alumnos repartidos por cursos de
acuerdo a una tabla, calcular la probabilidad de:
1 2 3
Hombre 125 100 120 Mujer 370 180 105
Total 495 280 225
a) Ser hombre
b) Ser hombre o mujer de 1
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
33
c) Ser hombre de 2 o mujer de 3
Sol.:
a) 1000
345)( HP
b) 1000
495)( HoMP
c) 1000
205)( HoMP
37. La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x
dada por:
0
10)1(3)(
xdxxxf
Determinar esperanza y Varianza
Sol.:
a) dxxdxxdxxxXE
1
0
2
1
0
1
0
33)1(3)(
= 2
1
32333
1
0
1
0
322
xxdxxdxx
)()()var( 22 xExEx
4
1)( 2 xE
Al desarrollar la integral de )( 2xE me da como resultado ¼
Ahora puedo calcular la varianza
)()()( 22 xExExVar
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
34
= 04
1
4
1
Al ser la Varianza igual a cero, quiere decir que la varianza es una
constante.
38. Sea x una variable aleatoria que representa el numero de clients
que llega a una tienda en un periodo de una hora. Dada la siguiente
información.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
)(xp 0,05 0,10 0,10 0,10 0,20 0,25 0,10 0,05 0,05
a) encontrar esperanza.
Sol.:
05,0805,0710,0625,0520,0410,0310,0210,0105,00)( xE
=3,8
()( ExVar )() 22 xEx
05,06405,04910,03625,02520,01610,0910,0410,0105,00)( 2 xE
= 20,1
44,141,20)( xVar
= 5,66
39. Se dispone de 2 urnas en las cuales la probabilidad de ser
seleccionada son 0,2 y 0,5 respectivamente. La primera tiene 9
azules y 4 rojas y la segunda 3 azules y 6 rojos.
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
35
Si se extrae una bola y esta es de color rojo ¿Cuál es la
probabilidad que sea de la urna 1?
Sol.:
)1/()1()2/()2(
)1/()1()/1(
URPUPURPUP
URPUPRUP
(Por Bayes)
= 1840,0326,0
06,0
13
42,0
9
64,0
13
42,0
40. Si se elige al azar un número del 1-100 ¿Cuál es la probabilidad de que ese numero sea múltiplo de 3 y 5 a la vez?
Sol.:
Múltiplos de 3 y 5= {15, 30, 45, 60, 75, 90}
50
3
100
6)( AP
41. Se lanza un dado y sale 4 ¿Que probabilidad hay que al lanzarlo
nuevamente sume con el primer resultado un numero menor a 9?
a) 9
1
b) 6
5
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
36
c) 9
4
d) 3
2
42. Determinar la probabilidad que al lanzar un dado cuatro veces no
se obtenga ningún 5?
a) 625
10
b) 625
1296
c) 1296
625
d) 1296
1
Sol.:
Es la alternativa c y se resuelve por la regla multiplicativa
43. Calcular la probabilidad de ganar el loto con un solo cartón
Sol.:
000000306,0623.262.3
1
!6!)639(
!39
1
6
39
1)(
AP
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
37
Probabilidad de ganar el Loto
44. Javier fue al hipódromo y le gustaron 2 caballos, el primero tiene
una probabilidad de perder de 8
5 y el segundo una probabilidad de
ganar de 3
1
¿Qué probabilidad tiene de ganar si apuesta a los 2 caballos?
a) 24
17
b) 24
7
c) 26
35
d) 12
8
Por la regla aditiva se obtiene que la probabilidad de ganar si se apuesta
a los 2 caballos es de 24
17
45. En una casa hogar se ha realizado un estudio entre 50 mujeres,
entre 15 y 22 años, observándose el número de hijos de ellas. El
resultado ha sido:
Xi: número de hijos ni: número de mujeres
1 16
2 11
3 13
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
38
4 6
5 4
a) Realice un histograma.
b) Calcule la media geométrica de mujeres que tienen entre 3 y 5
hijos
Sol:
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1 2 3 4 5
b) Mg=
n
n
i
iX1
6.78
46. Se realizo un estudio de las micros de Valparaíso y se determino la
cantidad de kilómetros por litro de petróleo que recorría cada micro.
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
39
Kilómetros/litros Numero de micros
14-16 54
16-18 69
18-20 44
20-22 23
22-24 16
a) Realice un histograma.
b) Calcule el promedio de micros que rinden entre 14 y 20 litros
¿Que porcentaje del total representa?
Sol:
0
10
20
30
40
50
60
70
80
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24
b) X
n
i n
Xi
1
55.67 56 y representa el 27.18% del total
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
40
47. Tenemos una tabla con los Terremotos en Chile desde 1960 a1999:
Año Mes
1960 5
1960 5
1960 5
1960 6
1960 11
1961 9
1962 2
1962 8
1965 2
1965 3
1966 12
1967 3
1967 12
1971 6
1971 7
1974 8
1975 5
1976 11
1977 11
1978 8
1981 10
1983 10
1985 3
1985 3
1985 4
1987 3
1987 8
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
41
a) Realice un histograma
b) Calcule la media geométrica de los meses entre 1960 y
1962
Sol:
a)
1988 4
1995 7
1997 10
1998 1
1999 4
1999 8
1999 9
1999 11
1999 11
0
2
4
6
8
10
12
14
Serie1 5 5 5 6 11 9 2 8 2 3 12 3 12 6 7 8 5 11 11 8 10 10 3 3 4 3 8 4 7 10 1 4 8 9 11 11
1
9
6
0
1
9
6
0
1
9
6
0
1
9
6
0
1
9
6
0
1
9
6
1
1
9
6
2
1
9
6
2
1
9
6
5
1
9
6
5
1
9
6
6
1
9
6
7
1
9
6
7
1
9
7
1
1
9
7
1
1
9
7
4
1
9
7
5
1
9
7
6
1
9
7
7
1
9
7
8
1
9
8
1
1
9
8
3
1
9
8
5
1
9
8
5
1
9
8
5
1
9
8
7
1
9
8
7
1
9
8
8
1
9
9
5
1
9
9
7
1
9
9
8
1
9
9
9
1
9
9
9
1
9
9
9
1
9
9
9
1
9
9
9
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
42
b) Mg=
n
n
i
iX1
5.75
48. Los siguientes datos corresponden al número de cargas familiares
de 20 trabajadores de una pequeña empresa:
3 – 3 – 0 – 2 – 4 – 3 – 5 – 5 – 6 – 0 – 2 – 3 – 1 – 7 – 6 – 4 – 5 – 8 – 4 – 3
a) Construya un histograma.
b) ¿Qué porcentaje de trabajadores tienen entre 3 y 8 cargas?
Sol:
a)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
b) El 75% de los trabajadores
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
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43
49. Al lanzar un dado 420 veces se obtuvo la siguiente tabla
Nº 1 2 3 4 5 6
Frecuencia 65 64 81 57 75 78
a) Completa la tabla de frecuencias
b) Con que frecuencia relativa aparece 6
c) Calcule Mediana y Moda y compare con el promedio
Sol:
a)
Nº F.Absoluta A.Acumulada F. Relativa R. Acumulada
1 65 65 15.5 15.5
2 64 129 15.2 30.7
3 81 210 19.3 50
4 57 267 13.6 63.6
5 75 342 17.9 81.5
6 78 420 18.5 100
b) aparece con frecuencia relativa de 18.5
c) Me= 70 Mo= no hay
= n
xn
i
i1 = 70
Luego podemos decir que el promedio y la mediana son iguales.
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
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44
50. De que nº, 64 es el 80% y el promedio entre el 3
º
4
º ny
n es:
Sol:
64 es el 80% de 80
Luego 204
80 y 7,26
3
80
= n
xn
i
i1 = 23,35
51. En un taller mecánico de automóviles se recogen datos sobre los
días de permanencia de los vehículos a reparar en él, y se obtiene:
Días de estancia 1 2 3 4 5 8 15
Nº de automóviles 23 12 7 10 3 2 1
a) Calcula el promedio de los días de permanencia de los vehículos.
b) ¿Cuántos días como máximo permanecen en el taller el 75% de
los automóviles, que menos permanecen en el taller.
c) Calcula la mediana y la moda.
Sol:
a) = n
xn
i
i1 = 5.43 aprox. 5 días
b) 4 días permanecen como máximo
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
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45
c) Me= 7 moda = no hay
52. Los datos representan el costo de la energía eléctrica durante el
mes de julio del 2009 para una muestra aleatoria de 50 departamentos
con dos dormitorios en Valparaíso.
El estudio se hará con los valores en dólares.
a) Elabore un histograma con los datos.
b) En que cantidad se concentra el costo en pesos de energía
eléctrica.
Sol:
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
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46
b) 148 dólares que es 74.000 pesos aproximadamente
53. Se toma una muestra de estudiantes que posee automóviles y se
registró la marca de cada automóvil. Ch = Chevrolet, P = Peugeot, O
=Fiat, B = BMB, Ca = Cadillac
a) Haga una tabla de frecuencias
b) ¿Qué frecuencia relativa tiene Fiat?
Sol:
Marca F.Absoluta A.Acumulada F. Relativa R. Acumulada
Ch 19 19 38 38
P 8 27 16 54
O 9 36 18 72
B 10 46 20 92
Ca 4 50 8 100
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
47
54. El profesor de Arte por equivocación perdió la nota de uno de sus
diez alumnos. Si los otros nueve estudiantes obtuvieron 43, 66, 54,
33, 40, 52, 70, 38 y 62 y el promedio de las diez calificaciones es 51,
¿Qué nota perdió el profesor?
Sol:
Podemos plantear la situación en la siguiente ecuación
458 es la suma de las 9 notas le sumamos x que es la nota que falta lo
dividimos por 10 y lo igualamos a 51 como sigue
5110
458
x
458 +x =510
X= 510-458
X= 52 que es la nota que el profesor perdió
55. Se realiza un estudio sobre las concentraciones de alcohol en la
sangre de 15 conductores implicados en accidentes de transito.
Calcule el rango si dividimos los datos en 3 intervalos, la varianza y la
desviación estándar.
0.27 0.17 0.17 0.16 0.13 0.24 0.29 0.24 0.14 0.16 0.12 0.16 0.21 0.17
0.18
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
48
Sol:
El rango seria de 0.05 para los datos agrupados en 3 intervalos
s 2 =
n
i n
XXi
1
2
0,00262095
S=
n
i n
XXi
1
2
0,05099
56. Cuando una muestra es asimétrica, ¿Cual es el mejor estadístico de
centralización que puede ocuparse?
Sol: Cuando los datos son muy dispersos y tenemos varios valores
escapados si ocupamos el promedio esos datos escapados, harán que
nuestra media no sea tan real, y si calculamos la moda no tomaremos
en cuenta los datos escapados, luego podemos concluir que la mediana
al incluir todos los datos será la mejor opción
57. En el hospital Van Buren, se realiza un estudio a los recién nacidos
llamado “NACER” y el 80 % de ellos obtienen una puntuación de 15 en
dicho estudio. ¿Qué representa el valor 15 de esta distribución?
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
49
Sol: La moda, ya que el resto de los valores esta repartido en el 20%
que queda lo que nos dice que el valor 15 es el que más se repite.
58. Se quiere estudiar el nivel de consumo de alcohol en adolescentes
con edades entre los 12 y los 17 años.
¿Que representa la diferencia de estos dos valores?
Sol: representa la amplitud que es quien aporta una medida de la
dispersión de la distribución.
59. En la biblioteca Severin se realiza un estudio sobre cuanto leen las personas y la información se clasifica en la siguiente tabla:
a) Hacer el histograma b) ¿Cuántas personas en promedio leen 3 o mas libros al mes?
c) Calcule la media geométrica entre las personas con bachillerato y universitarios.
Niveles de lectura Nº de personas que leen 3 o
mas libros
Lee sin estudios 1
Lee solo con básica aprobada 5
Estudios medios 4
bachillerato o similar 10
universitarios 15
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
50
Sol:
a)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1 2 3 4 5
Serie1
b) = n
xn
i
i1 = 7
c) Mg= 12,24
60. Se desea estudiar las velocidades de un grupo de 10 pilotos de la
fórmula 3. Las velocidades están expresadas en km/hr.
162-168-172-168-180-176-164-168-176-170
Realizar el estudio: a) con los datos sin agrupar b) agrupar los datos en intervalos de 10 km/h. Y que características
tiene el intervalo al que pertenece el promedio.
Sol:
a) = n
xn
i
i1 = 170.4
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
51
b) Se harán 3 intervalos:
Km/hr Nº de pilotos
155 – 165 2 165 – 175 5
175 – 185 3
El promedio pertenece al segundo intervalo que es también la moda,
además podemos decir que ese intervalo contiene el 50% de los datos.
61. Los siguientes datos corresponden a los minutos que tarda cada
patrulla (scout) en realizar una prueba de nudos.
2 3 5 1 6 8 3 2 6 36 a) Calcular la varianza
b) Calcular la desviación estándar c) Calcular el coeficiente de variación.
Sol:
a) X
n
i n
Xi
1
7.2
s 2 =
n
i n
XXi
1
2
107,29
S=
n
i n
XXi
1
2
10.36
C.V = 10.358035/ 7.2= 1.44
62. En el colegio Eduardo de la Barra se realiza un estudio de las notas de matemática de todos los 1° 2° y 3° medios:
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
52
NOTA F. Absoluta A.
Acumulada
F. Relativa
%
R. Acumulada
%
1,2 1 1 0,1 0,1 1,4 2 3 0,2 0,3 1,6 3 6 0,3 0,6
1,8 8 14 0,8 1,4 2,0 14 28 1,4 2,8 2,2 18 46 1,8 4,6
2,4 19 65 1,9 6,5 2,6 22 87 2,2 8,7
2,8 25 112 2,5 11,2 3,0 26 138 2,6 13,8 3,2 27 165 2,7 16,5
3,4 31 196 3,1 19,6 3,6 35 231 3,5 23,1
3,8 38 269 3,8 26,9 4,0 45 314 4,5 31,4 4,2 46 360 4,6 36,0
4,4 48 408 4,8 40,8 4,6 52 460 5,2 46,0 4,8 58 518 5,8 51,8
5,0 60 578 6,0 57,8 5,2 56 634 5,6 63,4
5,4 54 688 5,4 68,8 5,6 51 739 5,1 73,9 5,8 50 789 5,0 78,9
6,0 46 835 4,6 83,5 6,2 44 879 4,4 87,9
6,4 40 919 4,0 91,9 6,6 32 951 3,2 95,1 6,8 31 982 3,1 98,2
7,0 18 1000 1,8 100
a) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo nota 4,0? b) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo nota 7,0?
c) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo nota inferior o igual a 4,0 y que porcentaje obtuvo nota sobre 4,0?
Sol:
a) 45 alumnos obtuvieron nota 4,0 lo que corresponde al 4,5% b) El 1,8 % de los alumnos obtuvo nota 7,0
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
53
c) El 31 % obtuvo nota 4.0 o inferior a ésta, mientras que el 69% obtuvo
una nota superior a 4,0.
63. La tabla muestra los intervalos de tiempo en horas que trabajan las máquinas de una cierta empresa
Intervalo Xi fi hi Fi Hi
5,5-6,5 6 3 7,70 3 7,70 6,5-7,5 7 5 12,82 8 20,52
7,5-8,5 8 9 23,07 17 43,59 8,5-9,5 9 7 17,95 24 61,54
9,5-10,5 10 4 10,25 28 71,79
10,5-11,5 11 11 28,21 39 100
a) Calcule la media geométrica de las máquinas que trabajan entre 6,5 y
9,5 horas b) Calcule el porcentaje de máquinas que trabaja menos de 8,5 horas
Sol: a) Mg= 17,74
b) 43,6% aproximadamente.
64. Los siguientes datos muestran el consumo de agua anual en millones de pesos de 18 empresas.
89.9 42.9 44.2 31.7 88.2 35.6 25.1 40.2 26.9 32.3 36.8 37.8
5.6 39.7 29.3 28.9 55.2 45.2
a) Calcule las medidas de tendencia central
b) ¿Que porcentaje de empresas aproximadamente consumen entre 12.9 y 46.8 millones?
Sol:
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
54
a) X
n
i n
Xi
1
40.86
Mo= no hay
Me= 37,3
b) 77.77%
65. Una empresa quiere contratar promotoras para que trabajen distintos horarios. Los datos obtenidos son los siguientes:
Promotoras Tiempo(hrs)
3 1.45-2.15
9 2.15-2.85 14 2.85-3.55
23 3.55-4.25 9 4.25-4.95 7 4.95-5.65
2 5.65-6.35
a) ¿Cuál es el tiempo de trabajo más común entre las promotoras?
b) ¿Son los tiempos de trabajo una medida que presenta una gran dispersión entre las promotoras?
c) ¿En que intervalo se encuentra el promedio de las promotoras?
Sol:
a) El tiempo de ejecución mas común entre los postulantes es entre 3.55 y 4.25
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
55
b)
c) = n
xn
i
i1 = 9.57 Consideraremos 9
Se encuentran entre 2 intervalos 2.15-2.85 y 4.25-4.95
66. Se quiere realizar un estudio sobre la cantidad intervenciones sociales, pero se perdieron datos, complete los datos que faltan.
¿Qué porcentaje representan entre 10 y 30 intervenciones?
Intervalos fi Fi Hi
0-10 0.2 0.2 7.4 10-20 0.4 0.6 14.81 20-30 1.3 1.9 48.15
30-100 0.1 2.0 3.71
100-200 0.7 2.7 25.93
Los datos en Violeta son los dados.
67. Se realiza un estudio sobre personas que han contestado encuestas telefónicas al menos 1 vez obteniéndose la siguiente información:
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Serie1
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
56
Años Personas
14-19 10
20-26 8
27-32 6
33-40 4
41-50 4
51-60 10
61-69 3
a) Completa el resto de la tabla de frecuencias
b) Calcular la edad mediana c) Más del 50% de las personas que contesta encuestas ¿Qué edad
tiene?
Sol:
a)
Años Personas
fi Fi hi Hi
14-19 10 10 22.2 22.2
20-26 8 18 17.8 40
27-32 6 24 13.3 53.3
33-40 4 28 8.9 62.2
41-50 4 32 8.9 71.1
51-60 10 42 22.2 93.3
61-69 3 45 6.7 100
b) La edad mediana esta entre 33 y 40 años
c) Desde los 27 años
68. En una empresa se les deposita el sueldo a los empleados y la tabla
muestra el tiempo que demora la transacción.
a) Construya una tabla de frecuencia.
2,3 3,3 4,4 5,8 2,8
4,6 7,6 2,8 1,1 2,7
7,2 2,8 9,5 0,8 7,2
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
57
b) Con los datos agrupados calcule: Media, Moda y desviación
estándar.
Sol:
a)
Intervalo F.Absoluta A.acumulada hi Hi
0.8-2.2 2 2 13.33 13.33
2.3-3.7 6 8 40 53.33
3.8-5.2 2 10 13.33 66.66
5.3-6.7 1 11 6.67 73.33
6.8-8.2 3 14 20 93.33
8.3-9.7 1 15 6.67 100
b) = n
xn
i
i1 = 4,32
Mo= entre 2.3 y 3.7
Desv. Est = 1,87082869
69. Los cuartos medios de un colegio son muy competitivos y la tabla muestra la diferencia de puntos de la última prueba de Lenguaje
a) Dibuje el grafico de barras correspondiente. b) Calcule la Media y la desviación estándar.
Sol:
Dif. De puntos 0 1 2 3 4 5
Frecuencia 3 9 7 4 10 5
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
58
a)
0
2
4
6
8
10
12
1 2 3 4 5 6
Serie1
Serie2
b) = n
xn
i
i1 = 6,3
Desv. Est.= 2,80475786
70. Al terminar el semestre se hace un estudio del rendimiento académico de los alumnos del 3° medio de cierto colegio, donde los promedios fueron los siguientes:
a) ¿Qué porcentaje de alumnos esta sobre la media?
b) Calcular promedio de las notas. c) Calcular la desviación media.
Sol: a) El 60% de los alumnos esta sobre la media
b) = n
xn
i
i1 = 4,75
c) Desv. Media= 3,66666667
Nota 2 3 4 5 6 7
alumnos 1 5 10 14 7 3
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
59
71. La tabla muestra las temperaturas registradas
Día T. Máxima °C T. Mínima °C
Lunes 13 3 Martes 18 2
Miércoles 17 2 Jueves 20 7 Viernes 15 3
Sábado 14 0 Domingo 22 4
Halla:
a) Desviación media de las máximas
b) Desviación media de las mínimas c) Media Armónica de las máximas
Sol:
a) Desv. Media Max= 2,571428571
b) Desv. Media Min= 1,428571429
c) Mh Máx.= 16,47632799
72. Los datos corresponden al número de respuestas erróneas en una
prueba de 20 preguntas que tienen los alumnos del 4° medio:
3 – 3 – 0 – 2 – 4 – 3 – 5 – 5 – 6 – 0 – 2 – 3 – 1 – 7 – 6 – 4 – 5 – 8 – 4 – 3
a) Construya una tabla de frecuencias.
b) Calcule la media. c) Que porcentaje de alumnos tienen más de 4 respuestas malas.
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
60
Sol:
a)
Intervalo Frec.
Absoluta A.
Aumulada Frec.
Relativa Rel.
Acumulada
0 – 2 5 5 25% 25% 3 – 5 11 16 55% 80%
6 – 8 4 20 20% 100%
b) = n
xn
i
i1 = 3,7
c) 35%
73. Una pequeña empresa tiene problemas de irregularidades en sus gastos, y se estudia como equipararlos:
Meses Gastos
Enero 302548
Febrero 345600 Marzo 670247 Abril 301520
Mayo 420000 Junio 648000 Julio 312000
Agosto 350000 Septiembre 680000
Octubre 325000 Noviembre 321000 Diciembre 642520
a) Calcule gasto promedio de la empresa.
b) Si le descontamos el IVA 19.26% cual sería el gasto promedio anual.
c) Calcular la varianza.
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
61
Sol:
a) = n
xn
i
i1 = 443202,9
b)
c) Varianza= 26729095456
74. Se realiza un estudio de cuantas horas escuchan música los jóvenes entre 14 y 24 años y los datos observados son los siguientes:
6 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 11 9
a) Calcule las medidas de tendencia central. b) Haga un grafico de dispersión y calcule la desviación estándar.
Sol:
a) Medidas de tendencia central:
= n
xn
i
i1 = 8.8 hrs
Mediana = 9 horas. Moda = 9 horas
Desviación estándar: s = 1,24 horas.
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
62
b)
0
2
4
6
8
10
12
0 5 10 15 20 25
Serie1
75. Se ha observado por un año, las horas de juego de un grupo de 280 niños, como sigue:
a) ¿Cual es la cantidad de horas de juego mas frecuente de cualquier niño?
b) ¿En que rango se encuentra la media, coincide con el rango de la
hora mas frecuente?
Sol:
a) Entre 1000 y 1500
b) = n
xn
i
i1 =46,6 no coincide con la hora mas frecuente
Horas de juego
Nº Niños
0 – 500 4
500 – 1000 21
1000 – 1500 109
1500 – 2000 78
2000 – 2500 44
2500 – 3000 24
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
63
76. Sumando 16 a cada número de la serie 4, 6, 7, 10, 5 se obtiene la
serie 20, 22, 33, 26, 21. ¿Tienen igual media Geométrica y distintas medias?
Sol.:
Mg Serie 1= 91,65 Mg serie 2= 1388,4
= n
xn
i
i1 = 6,4 =
n
xn
i
i1 =24,4
Luego podemos decir que tienen distintos promedios y media
geométrica.
77. Una distribuidora de lápices, hace un estudio de los lápices defectuosos que hay en 52 cajas, la cantidad de lápices defectuosos se
detalla como sigue:
10 20 40 30 20 0 90 20 0 20 0 0 40 30 0 20 0 10 60 50 20 0 0 10 0 30 20 0 70 10 40 30 0 20 10 0
40 30 0 70 10 0 0 30 20 0 10 0 50 20 0 10
a) Construya la tabla de frecuencias absolutas y relativas del resultado de la inspección
b) ¿Qué porcentaje promedio hay de productos defectuosos si consideramos que en cada caja vienen 500 lápices
Sol:
Intervalo Frec.
Absoluta A.
Acumulada Frec.
Relativa Rel.
Acumulada
0 18 18 34,6% 34,6% 10 8 26 15,4% 50%
20 10 36 19,2% 69,2% 30 6 42 11,5% 80,7%
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
64
40 4 46 7,7% 88,4%
50 2 48 3,9% 92,3% 60 1 49 1,9% 94,2%
70 2 51 3,9% 98,1% 80 0 51 0% 98,1%
90 1 52 1,9% 100%
b) En la tabla esta lo que representa en porcentaje cada intervalo de la tabla anterior
%
0 2 4
6 8
10 12 14
16
18
= n
xn
i
i1 = 9
78. Una fábrica estudia el tiempo que pierden los trabajadores en horas:
2 1 0 1 1 3 0 0 2 7 5 0 1 3 0 0 4 1 2 4 0 5 3 0 6 0 4 0 2 6 2 3 0 1 1
a) Determine promedio de horas perdidas. b) Calcule la desviación estándar
c) Si consideramos que todos los trabajadores que pierden mas de 3 horas de trabajo serán despedidos que porcentaje de trabajadores se despedirán.
Sol:
a) = n
xn
i
i1 = 2
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
65
b) S=
n
i n
XXi
1
2
2,0436415
c) El 34,3% de los trabajadores serán despedidos
79. Un colegio hace un estudio de la permanencia en años de los
profesores en el colegio para premiarlos y hacer estudios posteriores, los datos son:
10,15,16,20,22,24,30,29,24,5,12,21,2,6,13.
a) Construir 5 intervalos b) Calcular la media y la media geométrica del tiempo de permanencia de los profesores
Sol:
a)
Intervalo Frec.
Absoluta A.
Acumulada Frec.
Relativa Rel.
Acumulada
1 – 6 3 3 20% 20% 7 – 12 2 5 13,3% 33,3%
13 – 18 3 8 20% 53,3% 19 – 24 5 13 33,4% 86,7%
25 – 30 2 15 13,3% 100%
b) = n
xn
i
i1 = 16,6
Mg=
n
n
i
iX1
13,4
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
66
80. Se realizo una encuesta a los alumnos de Pedagogía en Matemática sobre los laboratorios de computación, obteniéndose las respuestas en puntaje dado por los alumnos, con un máximo de 10.
2,1,4,7,1,4,5,3,2,9,5,3,5,1,5,8,5,3,6,3,1,5,4,8,1,5,5,3,4,3,1,1,1,2,5,8,1
a) Realiza una tabla de frecuencias de 5 intervalos. b) ¿Cuál es el puntaje medio otorgado por los alumnos?
Sol:
Intervalo Frec.
Absoluta
A.
Acumulada
Frec.
Relativa
Rel.
Acumulada
1 – 2 12 12 32,4% 32,4%
3 – 4 10 22 27% 59,4% 5 – 6 10 32 27% 86,4% 7 – 8 4 36 10,8% 97,2%
9 – 10 1 37 2,8% 100%
b) = n
xn
i
i1 = 3,78
81. La administración del colegio Carlos Cousiño lleva un registro de los días de ausencia del 1° medio para efectos de la subvención,
4,2,8,7,2,2,7,1,10,1,1,4,1,3,10,0,2,1,0,2,10,5,2,0,9,0,3,10,3,5,6,2,4,1,1,
4,0. a) Realiza una tabla de frecuencias
b) ¿Cuál es la media de ausencias del curso? c) ¿Qué porcentaje de alumnos falta a clases más de 5 días?
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
67
Sol:
Intervalo Frec.
Absoluta
A.
Acumulada
Frec.
Relativa
Rel.
Acumulada
0 – 2 19 19 51,3% 51,3%
3 – 5 9 28 24,4% 75,7% 6 – 8 4 32 10,8% 86,5%
9 – 11 5 37 13,5% 100%
b) = n
xn
i
i1 = 3,59
c) 24,3%
82. Se estudia las calificaciones de los estudiantes de Kinesiología de
la universidad de Valparaíso, para hacer un estudio sobre el posible nivel de deserción con los siguientes resultados.
2.8 3.1 4.2 4.5 4.8 3.6 3.1 2.9 3.8 4.3 3.4 3.2 4.5 3.9 4.2 4.3 2.9 3.8 3.9 4.2 3,7 4.5 3.2 4.5 3.6 2.7
a) Construya la tabla de frecuencias, usando cuatro clases de tamaños iguales.
b) Calcule la moda. c) ¿Qué frecuencia absoluta acumulada tiene el tercer intervalo?
Sol:
a)
Notas M.
Clase f.absoluta f.relativa A.acumulada R.acumulada
2,6-3,2 2,9 8 30,8% 8 30,8% 3,3-3,9 3,6 8 30,8% 16 61,6%
4,0-4,6 4,3 9 34,6% 25 96,2%
4,7-5,3 5,0 1 3,8% 26 100%
b) Mo = 4,5
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
68
c) 25
83. Se tomó una muestra aleatoria de las casas de cierta ciudad y se determino la cantidad de de luz que consumen al mes en miles de
pesos. La información obtenida se muestra en al siguiente tabla.
Cantidad en miles de
pesos Numero de casas
14-16 54
16-18 69 18-20 44
20-22 23
22-24 16
a) Calcular mediana y varianza.
Sol:
Me = X
2
1n= 44
s 2 =
n
i n
XXi
1
2
382,024
84. Se ha observado la hora de entrada de los profesores a una cierta universidad, marcadas por un reloj control para estudiar la puntualidad de ellos:
8,01 7,55 7,55 7,58 8,12 8,01 8,00 8,03 8,04 8,13 7,59 7,59
8,06 8,03 8,11 8,11 8,10 8,12 8,13 8,22 8,17 8,03 8,01 8,00 7,53 7,56 7,59 7,58 8,02 8,00 7,55 7,53 7,54 8,02 8,02 8,04 8,09 7,57 8,15 8,14 7,58 7,59 7,59 8,04 8,01 8,00 8,01 8,01
a) Hacer tabla de frecuencia b) Qué porcentaje de profesores son impuntuales considerando
que la entrada es a las 8:00
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
69
Sol:
Hora f.absoluta f.relativa A.acumulada R.acumulada
7.53-8.00 20 41.67% 20 41.67% 8.01-8.08 16 33.34% 36 75.01%
8.09-8.16 10 20.8% 46 95.81%
8.17-8.24 2 4.19% 48 100%
b) El 58,33% de los profesores son impuntuales.
85. Un profesor extravió ciertos datos sobre los alumnos del 1° medio, ¿puede ayudar al profesor a encontrar los datos que faltan?
Notas M.
Clase f.absoluta f.relativa A.acumulada R.acumulada
3,0-3,9 3,5 8 30,8% 8 30,8%
4,0-4,9 4,5 8 30,8% 16 61,6% 5,0-5,9 5,5 9 34,6% 25 96,2%
6,0-6,9 6,5 1 3,8% 26 100%
Los datos en celeste son los datos que el profesor tiene y los datos en
negro son los que se encontraron.
86. Andrea obtuvo un 6,2 en su examen de matemática ¿Es buen rendimiento? Analice según 4 intervalos
Esta son las notas del curso: 4.5 5.6 2.5 7 3.4 3.3 4.5 6.2 1.4 5.8 5.5 6.7
5.7 3.3 4.2 2.4 2.5 3.6 4.5 5.6 4.8 3.9 4.2 4.1 5.3 4.9 4.4 5.6 5.1 4.5 4.3 4.1 3.9
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
70
Sol:
1º desde 1,4 hasta 2,7 2º desde 2,8 hasta 4,2
3º desde 4,3 hasta 5,7 4º desde 5,8 hasta 7,0
Luego Andrea esta en el cuarto intervalo lo que nos indica que esta entre un 75% a 100% de rendimiento entonces es un buen rendimiento.
87. Alumnos de Psicología realizaron un estudio aleatorio de síntomas
de depresión en los alumnos de la Universidad y los datos son los siguientes:
Poca energía Despreocupación de
imagen Ansiedad
Ansiedad Poca energía Despreocupación de
imagen Despreocupación de
imagen Poca energía Ansiedad
Poca energía Ansiedad Poca energía Poca energía No querer salir No querer salir
Despreocupación de imagen
Poca energía Uso de
Antidepresivos
Ansiedad No querer salir Uso de
Antidepresivos Uso de
Antidepresivos Poca energía
Despreocupación de
imagen
Uso de
Antidepresivos No querer salir Poca energía
a) Resuma la información anterior en una tabla de distribución de frecuencias
b) Calcule la moda
Sol:
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
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71
a)
Síntomas f.absoluta f.relativa A.acumulada R.acumulada
Poca energía 9 33.4% 9 33.4% Ansiedad 5 18.5% 14 51.9%
Despreocupación de la imagen
5 18.5% 19 70.4%
Antidepresivos 4 14.8% 23 85.2%
No querer salir 4 14.8% 27 100%
b) Mo = Dieta Severa
88. En una cierta empresa se realiza un estudio a 100 trabajadores sobre cuantos minutos demoran en almorzar, la información obtenida es la siguiente:
Cantidad de minutos Numero de trabajadores
Entre 5 y 10 minutos 39
Entre 15 y 20 minutos 23 Entre 25 y 30 minutos 19 Entre 35 y 40 minutos 9
Entre 45 y 50 minutos 7
Entre 55 y 60 minutos 3
a) calcula la tabla de frecuencias b) ¿Cuánto demora en almorzar el común de los empleados?
Sol:
a)
Minutos M.
Clase f.absoluta f.relativa A.acumulada R.acumulada
5-10 8 39 39% 39 39% 15-20 18 23 23% 62 62%
25-30 28 19 19% 81 81% 35-40 38 9 9% 90 90%
45-50 48 7 7% 97 97%
55-60 58 3 3% 100 100%
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
72
b) Entre 5 y 10 minutos
89. Rentacar observó datos del número de rentas que necesitaban sus
40 empleados para realizar sus metas del mes. Se le pide al administrador que complete los datos, con el fin de estudios
estadísticos:
Nº de Rentas fi hi
1-11 2 0.05 11-21 0 0.0
21-31 2 0.05 31-41 12 0.3 41-51 6 0.15
51-61 8 0.2 61-71 5 0.125 71-81 0 0.0
81-91 5 0.125
91-101 0 0.0
Los datos en celeste son los entregados al administrador y los datos en negro son los completados.
90. Una empresa que realiza estudios estadísticos lleva un control de pérdidas (en millones de pesos) de las empresas más importantes del país. A lo largo de los cinco últimos años la pérdida mayor fue de 44
millones de pesos y la menor de 5 millones de pesos.
a) Construya una tabla de frecuencias con 10 clases considerando que la frecuencia absoluta es el cuadrado de la marca de clase dividido en 15
b) ¿Cuál sería el intervalo de clase?
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
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73
Sol:
Millones M.
Clase f.absoluta f.relativa A.acumulada R.acumulada
5-8 7 3 0.60% 3 0.60%
9-12 11 8 1.59% 11 2.19% 13-16 15 15 2.98% 26 5.17% 17-20 19 24 4.76% 50 9.93%
21-24 23 35 6.94% 85 16.87% 25-28 27 49 9.72% 134 26.59%
29-32 31 64 12.70% 198 39.29% 33-36 35 82 16.27% 280 55.56% 37-40 39 101 20.04% 381 75.6%
41-44 43 123 24.40% 504 100%
b) El intervalo son 3 millones
91. Chilquinta lleva un registro del consumo de luz anual de cierta población para un estudio posterior:
98.890 489.500 391.655 228.250 61.694 660.000 161.150 331.111 632.500 815.100 318.450 171.629
55.000 382.333 157.850 646.250 555.005 523.881 611.886 430.650
666.837 280.786 766.728 764.500 25.880 430.650 605.550 366.663 429.000 436.205 275.556 855.305
193.600 515.356 391.111 782.117 877.305 119.350 661.100 700.156
a) Construir una tabla de frecuencias con siete clases. b) ¿Cuál es el promedio de consumo anual de los clientes?
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
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74
Sol:
a)
Intervalos M. Clase
f. absoluta
f. relativa
A. acumulada
R. acumulada
25.880-147.512 86.696 5 12.5% 5 12.5% 147.513-269.145 208.329 5 12.5% 10 25%
269.146-390.778 329.962 6 15% 16 40% 390.779-512.411 451.595 7 17.5% 23 57.5%
512.412-634.044 573.228 6 15% 29 72.5% 634.045-755.677 694.861 5 12.5% 34 85%
755.678-877.310 816.494 6 15% 40 100%
b) X
n
i n
Xi
1
466.661 (aprox.)
92. En la siguiente tabla se presenta el mes y día de lluvias en el sur del país:
Mes Día
5 23
5 28
5 28
6 13
11 21
9 17
2 9
8 18
2 10
3 30
12 23
3 3
12 16
6 4
7 3
8 3
5 9
11 5
11 8
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
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75
a) Calcule la desviación estándar de los días de lluvias. b) Calcule la media armónica de los meses de lluvias.
Sol: a) Para calcular la desviación estándar primero debemos calcular la
varianza y para ésta debemos tener promedio, luego:
X
n
i n
Xi
1
15,9166667
s 2 =
n
i n
XXi
1
2
87,9642857
S=
n
i n
XXi
1
2
9,38 (aprox.)
b) Mh=
n
i Xi
n
1
1 7,5160224
8 12
10 30
10 15
3 30
3 15
4 3
3 21
8 30
4 22
7 28
10 23
1 3
4 14
8 13
9 1
11 20
8 22
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
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76
93. En 8 horas de trabajo se hicieron 72 pales en la máquina 60 de
Chiletabacos.
Hr. Nº pales
1 11
2 4
3 9
4 10
5 10
6 9
7 10
8 9
a) ¿Calcule el promedio de pales por minuto?
b) ¿Calcule la moda?
Sol: a) Debemos calcular cuántos pales están saliendo por minuto
Hr. Nº cajas X
minuto
1 0.18
2 0.06
3 0.15
4 0.16
5 0.16
6 0.15
7 0.16
8 0.15
X
n
i n
Xi
1
0.14 pales por minuto
b) Mo= 10 9 Es bimodal
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
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77
94. Se aplicó la misma prueba a los dos cuartos medios del colegio
Embajadores del rey, para comparaciones posteriores y las notas fueron las siguientes:
Nº alumnos 4º A Notas Nº alumnos 4º
B Notas
1 2.1-3.0 2 2.1-3.0
5 3.1-4.0 2 3.1-4.0 11 4.1-5.0 14 4.1-5.0
9 5.1-6.0 10 5.1-6.0
4 6.1-7.0 2 6.1-7.0
a) ¿Qué porcentaje de alumnos tiene notas inferiores a 4.1?
b) ¿Qué curso tiene mejor rendimiento, es decir mayor o igual al 59%?
Sol:
a) la cantidad de alumnos con notas inferior a 4.1 entre los 2 cuartos
medios es: 10, lo que corresponde al 16, 6 %
b) El 59% de 7.0 es 4.1 es decir consideraremos a los alumnos con nota 4.1 en adelante
En el 4º A son 24 alumnos y en el 4º B son 26 alumnos
Luego el 4º B tiene mejor rendimiento.
95. Se ha propagado una nueva peste, que infecto a 4 tipos de plantas, a las que se les aplico un pesticida especial, con los siguientes resultados:
PLANTAS INFECTADOS SANARON
Uva 45 30 Manzanas 120 70
Olivos 600 324
Nogal 1800 945
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
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78
¿Cuál es la planta con más posibilidades de sanar, si medimos en porcentajes?
Sol: en la tabla se muestra la cantidad en porcentaje de plantas que
sanan.
PLANTAS SANAN
Uva 66.6 Manzanas 58.3
Olivos 54
Nogal 52.5
Luego la planta que tiene más posibilidades de sanar es la Uva.
96. En un condominio se pretende equiparar el consumo de luz y agua entre 10 viviendas que tienen la misma cantidad de habitantes y sus cuentas son:
350000 287000 355000 364000 406050 299000
267815 350000 260500 300000
a) Determine el consumo promedio b) Determine la desviación estándar
Luego el consumo nuevo será el consumo promedio más la desviación
estándar.
Sol:
a) Consumo promedio
= n
xn
i
i1 = 323.936
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
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79
b) s=
n
i
i
n
XX
1
2
41.916
Entonces el nuevo consumo es: 365.852
97. Una casa de acogida recibe a 5 adultos mayores y obtiene la edad de
ellos:
70 60 56 83 79 cuya media es 69.6 años
a) Determine la desviación estándar. b) Calcule la media Geométrica
Sol: a) Primero debemos calcular la varianza:
s 2 =
n
i n
XXi
1
2
136,3
s=
n
i
i
n
XX
1
2
11,67
b) Mg = nnXXX *...** 21 = 68,80
98. En la empresa Costa se fabrica un nuevo producto durante 6 días,
con frecuencia como muestra la tabla:
VALORES Xi FRECUENCIAS ni
1 100
2 250 3 300 4 500
5 450
6 200
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
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80
a) Calcule media Geométrica b) Calcule promedio de frecuencias
Sol:
a) Mg =
n
n
i
iX1
720
b) = n
xn
i
i1 = 300
99. A los alumnos de 1° a 4° medio del colegio Murialdo con posibilidad
de repitencia se les aplica un examen final y se aprueba con un 4,0 y se obtienen las siguientes notas:
3.5 5.0 6.0 4.0 2.0 5.0 6.0 3.8 5.0
a) Determine moda, media y mediana
b) ¿Que porcentaje de los alumnos que reprobaron?
Sol:
a) Mo = 5.0
Me=
1
2
nX = 5.0
= n
xn
i
i1 = 44.7
b) son 3 alumnos que están bajo el 4,0 y eso corresponde al
33,3 % de alumnos que reprobaron.
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
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81
100. La tabla muestra a las personas inscritas en el registro electoral:
REGION TOTAL HOMBRES MUJERES
Tarapacá 113.621 58.252 55.369
Antofagasta 135.242 69.283 65.959 Atacama 69.720 35.964 33.759
Coquimbo 156.971 80.614 76.357
Valparaíso 411.946 210.827 201.119 Libertador B.
O'Higgins 185.739 96.795 88.944
Maule 224.602 114.528 110.074 Bío – Bío 480.607 245.863 234.744
La Araucania 223.798 114.571 109.227 Los Lagos 262.065 134.248 127.817
Aysén 22.376 11.385 10.991 Magallanes 38.409 19.841 18.568
Metropolitana 1.511.968 782.135 729.833
a) ¿En qué porcentaje promedio superan los hombres a las mujeres?
Sol:
Dif. H/M
2.53 %
2.44% 3.16% 2.72%
2.36% 4.22% 1.98%
2.32% 2.38%
2.44% 1.76% 3.32%
3.46%
Luego el promedio de la diferencia entre hombres y mujeres es
X
n
i n
Xi
1
2.70
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
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82
101. La tabla muestra lo que demoran en segundos velocistas de 50
metros planos en una competencia:
Velocista Segundos
1 5.0
2 5.2 3 6.3 4 4.1
5 6.3 6 4.0
7 5.1 8 5.9 9 6.8
10 2.5 11 3.9
12 5.6 13 4.7 14 5.9
15 6.5 16 6.1
a) Calcule los cuartiles.
b) ¿Qué porcentaje de velocistas tiene rendimiento desde 4,7 segundos?
Sol:
a)
1º cuartil desde 2,5-3,5 2º cuartil desde 3,6-4,6 3º cuartil desde 4,7-5,7
4º cuartil desde 5,8-6,8
b) Considerando que desde el 3º cuartil representa los velocistas pedidos, en el 3º y 4º cuartil son 12 velocistas, lo que corresponde a que el 75% de ellos tienen rendimiento desde el 4,7 segundos
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
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83
102. En un supermercado se venden 6 tipos de papeles higiénicos:
Papeles Precios x 6 unidades
Confort $2.500
Noble $700 Favorita $1.000 Acuenta $1.100
Líder $1.900 Elite $2.300
a) Si el día lunes vendió 12 Confort, 7 Noble; el día martes vendió 8
Acuenta, 10 Elite; el día miércoles vendió 15 favorita, 7 líder. ¿Qué día gané más y en que porcentaje? b) Si vendo 5 papel higiénico de cada uno por día y somos 5 socios
¿Cuánto ganamos cada uno?
Sol:
a) Debemos saber cuánto se recaudó por día como sigue:
1° día $34.900 2° día $31.800
3° día $28.300 Luego podemos decir que el día lunes ganó más.
Para saber en cuánto porcentaje gane más debo considerar $34.900 como mi 100% luego:
En el 1° día gané un 9% más que el 2° día y 19% más que en el 3° día
b) Se recaudó $47.500 o sea $9500 cada uno.
103. Los siguientes datos representan las precipitaciones en una región:
Año 1 2 3 4 5 6 7 8
Precipitaciones 220 240 180 150 170 200 250 300
a) Calcule el Promedio de precipitaciones en los 8 años
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
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84
b) Realice un histograma.
Sol:
a) promedio = 213,7
104.- La siguiente tabla muestra el valor de los arriendos de
departamentos ofrecidos en los avisos económicos:
Arriendo (Miles de $)
Frecuencia
[ 30 - 50[ 2
[ 50 - 100 [ 25
[100 - 150 [ 39
[150 - 200 [ 44
[200 - 250 [ 19
[250 - 300 [ 5
[300 - 350 ] 3
a) Calcule moda y media geométrica de frecuencias.
Sol:
a) Mo. =100-150
0
50
100
150
200
250
300
350
1 2 3 4 5 6 7 8
Serie1
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
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85
Mg.= 4944,9
105.- Se toman ocho mediciones del diámetro interno de los anillos para los pistones del motor de un automóvil. Los datos (en mm.) son:
74.001, 74.003, 74.015, 74.000, 74.005, 74.002,
74.005, 74.004.
a) Calcular la media y la mediana de esos datos.
b) Calcular también la varianza, la desviación media
Sol:
a) X
n
i n
Xi
1
74004,375 Me = 74003,5
b) Varianza = 21,69643 Desv. Media =2,96875
106. Se registra la terminación de las patentes de ciertos automóviles que circulan por una cierta ciudad a una hora determinada:
Número Absoluta
0 2 1 6 2 2
3 12 4 6
5 10 6 0 7 2
8 4
9 2
a) ¿Qué frecuencia relativa tiene la patente terminada en 8? b) ¿Cuál es el promedio de automóviles con patentes terminadas en
0 – 4? c) ¿Cuál es la frecuencia acumulada de las patentes terminadas en
5?
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
86
Sol:
Datos en AZUL son los que faltaban
NÚMEROS DE PATENTE
Número Absoluta Abs. Acum. Relativa Rel.acum. 0 2 2 4.35 4.35 1 6 8 13.05 17.4
2 2 10 4.35 21.75 3 12 22 26.09 47.84
4 6 28 13.05 60.89 5 10 38 21.73 82.62 6 0 38 0 82.62
7 2 40 4.35 86.97 8 4 44 8.69 95.66
9 2 46 4.34 100
a) 8.69 es la frecuencia relativa de las patentes terminadas en 8
b) 5.6 es el promedio de las patentes terminadas en 0 – 4
c) 82.62 es la frecuencia acumulada de las patentes terminadas en 5
107. Se ha hecho una encuesta para determinar la preferencia de una
marca especial de lavalozas por parte de las dueñas de casa. Entre las 50 dueñas de casa entrevistadas, 30 dijeron que preferían esta marca.
a) ¿Qué constituye la muestra? b) ¿Qué constituye la población? c) ¿Cuál es el porcentaje, dentro de la muestra, de las dueñas de
casa que prefieren la marca del lavalozas?
Sol:
a) El conjunto de respuestas que dieron las 50 dueñas de casa.
b) El conjunto formado por las posibles respuestas de las dueñas de casa.
c) 60%.
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
87
108. Las calificaciones de un estudiante de la Universidad F. Sta María
en un curso son 71, 78, 89.
a) Cual es el promedio obtenido por el estudiante en dicha
asignatura
b) Si los pesos de cada nota son 2, 4, 5 cual seria el promedio
de la asignatura.
Sol:
a) Promedio =
n
Xn
i
i
1 79,33
b) Cada nota la multiplicamos por el peso luego sacamos promedio
(71*2 + 78*4 + 89*5) /11
Promedio =
n
Xn
i
i
1 81,72
109. La tabla siguiente muestra la distribución de puntuaciones de
los alumnos en un examen.
Puntuación Numero de
alumnos
30 – 39 1
40 – 49 3
50 – 59 11
60 – 69 21
70 – 79 43
80 – 89 32
90 – 99 9
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
88
a) Interprete el percentil 68
b) La puntuación más baja alcanzada por el 25% más alto del curso
y la más alta alcanzada por el 20% mas bajo del curso.
c) A qué porcentaje corresponde una calificación de 58 puntos.
Sol:
a) 80,81 puntos
b) 83,43 y 64,28 puntos respectivamente
c) 10,66%
110. Una fábrica hace 15 productos, de los que tiene registro. Los
registros muestran los números de cada producto fabricado por la compañía el último mes que tuvo 20 días trabajados:
9,897 10,052 10,028 9,722 9,908
10,098 10,587 9,872 9,956 9,928 10,123 10,507 9,910 9,992 10,237
a) ¿Que porcentaje de sus productos excedió el punto de equilibrio
de 10,000 unidades? b) ¿Qué nivel de producción excedió en 75 % de sus productos? c) ¿Qué nivel de producción excedió en 90% de sus productos?
Sol:
a) Siete clases exceden el punto de equilibrio esto es
aproximadamente el 50%
b) Aproximadamente 9,900 unidades
c) Aproximadamente 9,800 unidades
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
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89
111. La Empresa Chiletabacos, ha registrado el tiempo por turno que el
equipo de la célula 3 apaga sus maquinas para hacer ajustes, mantenciones y desplazamientos.(minutos)
30 72 126 110 91 115 112
80 66 101 75 93 129 105
113 121 93 87 119 111 97
102 116 114 107 113 119 100
110 99 139 108 128 84 99
a) Si Chiletabacos tiene la creencia de que lo “normal” de tiempo
muerto por turno es de los 108 minutos, ¿Cuántos turnos del
equipo de la célula 3 exceden este límite? ¿Cuantos se encuentran abajo?
b) Construya una distribución de frecuencia relativa con intervalos de 10 min.
Sol:
a) Exceden el límite 16 turnos y 18 por dejo del límite y uno exactamente en el límite.
Clase F FR
60-69 2 0.057
70-79 2 0.057
80-89 3 0.086
90-99 6 0.171
100-109 6 0.171
110-119 11 0.314
120-129 4 0.114
130-139 1 0.029
112. Gastón Moraga es supervisor de mantenimiento de barcos. Una
entrega de pernos por parte de un nuevo proveedor llamo la atención de los empleados. Moraga envió 25 de esos pernos a un laboratorio de pruebas para determinar la fuerza necesaria para romperlos. Aquí los
resultados en miles de libras de fuerza:
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
90
a) ¿Qué fracción de los pernos soporto al menos 120,0 libras? ¿Que
fracción soporto al menos 150,0? b) Si Moraga sabe que estos pernos, cuando se utilicen en un barco,
se verán sujetos a fuerzas de hasta 140,000 libras, ¿Qué debería
recomendar el supervisor a la compañía respecto al nuevo proveedor?
Sol: a) 92% soporto 120,000 libras de fuerza
4% soporto por lo menos 150,000 libras de fuerza
b) 64% no resistirían, entonces deben de cambiar de proveedor.
113. El supermercado mayorista 10 se vio afectado por el terremoto, el cual hizo que se derrumbara el edificio perdiendo con el la mayor parte
de los archivos del supermercado. Berena Fajardo acaba de ser contratada para ayudar a reconstruir la información y encontró registro de los 2 últimos meses.
Num.De Num. De Num. De
Ciudad ventas Ciudad ventas Ciudad ventas 1 3 11 3 21 1
2 1 12 7 22 1 3 1 13 1 23 1 4 8 14 1 24 7
5 3 15 5 25 3 6 5 16 6 26 1
7 4 17 6 27 1 8 9 18 2 28 5 9 5 19 2
10 1 20 1
147.8 137.4 125.2 141.1 145.7
119.9 133.3 142.3 138.7 125.7
142.0 130.8 129.8 141.2 134.9
125.0 128.9 142.0 118.6 133.0
151.1 125.7 126.3 140.9 138.2
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
91
a) Construya dos distribuciones de frecuencia relativas del número
de ventas, una con tres clases y la otra con nueve.
Clase F FR Clase F FR
1 10 0.36 1-3 17 0.607
2 3 0.11 4-6 7 0.250
3 4 0.14 7-9 4 0.143
4 1 0.04
5 4 0.14
6 2 0.07
7 2 0.07
8 1 0.04
9 1 0.04
114. Una fábrica de baldosas produjo 7,000 de ellas y tuvo una tasa de
quebraduras durante la producción del 2%. Para medir la producción diaria de baldosas y la tasa de quebraduras, la fábrica estableció clases
igualmente espaciadas para cada categoría. Las marcas de clase para la producción diaria son 4,900, 5,500, 6,100, 6,700, 7,300, 7,900. Las marcas de clase para la tasa de quebraduras son 0.70, 2.10, 3.50, 4.90,
6.30, 7.70.
a) ¿Cuáles son los límites inferiores de las clases para la producción
diaria de baldosas? b) ¿Cuáles son los límites inferior y superior de las clases para la
tasa de rompimiento?
Sol:
a) LCI b) LC
4,600-
5,199 0-1.39
5,200-5,799
1.40-2.79
5,800-6,399
2.80-4.19
6,400-6,999
4.20-5.59
7,000-
7,599
5.60-
6.99
Estadística Descriptiva Univariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
92
7,600-
8,199 7-8.39