consolidacion bivariada
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Estadística Descriptiva
Bivariada
Nivel de Consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
2
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
1. De dos variables observadas conjuntamente, se ha obtenido la siguiente tabla de
doble entrada:
X
Y
20-40 40-60 60-80 80-100
5 ------------ 2 6 10
9 4 6 9 15
10 11 8 7 ---------
Calcular la covarianza entre las variables “X” e “Y”.
Solución:
iy ix in ii nx ii ny iii nyx
5 50 2 100 10 500
5 70 6 420 30 2100
5 90 10 900 50 4500
9 30 4 120 36 1080
9 50 6 300 54 2700
9 70 9 630 81 5670
9 90 15 1350 135 12150
10 30 11 330 110 3300
10 50 8 400 80 4000
10 70 7 490 70 4900
Total 78 5040 656 40900
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
3
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
N
ny
N
nx
N
nyxs
iiiiiii
xy
Reemplazando los valores correspondientes
07,1978
656
78
5040
78
40900xys
Por lo tanto la covarianza entre las variables X e Y es -19,7.
2. Las variables X e Y observados conjuntamente 97 veces han presentados los
siguientes valores:
iX iY in
6 21 24
13 15 14
16 5 32
9 8 18
2 13 9
97
Calcular las medias y varianzas marginales.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
4
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
iX in iY in 2
iX in 2
iY in
144 504 864 10584
182 210 2366 3150
512 160 8192 800
162 144 1458 1152
18 117 36 1521
1018 1135 12916 17207
47,402
97
1135
97
17207
2
01,232
97
1018
97
12916
2
7,1197
1135
5,1097
1018
yS
xS
Y
X
3. Sean los valores de “X” e “Y” los siguientes.
Calcular el coeficiente de correlación entre “X” e “Y”
X Y
3
9
12
6
2
5
1
15
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5
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
iX iY iX iY 2
iX 2
iY
3 2 6 9 4
9 5 45 81 25
12 1 12 144 1
6 15 90 36 225
30 23 153 270 255
26,054,535,3
875,4
54,54
23
4
255
35,34
30
4
270
875,44
23
4
30
4
153
2
2
r
S
S
S
y
x
xy
4. Dadas las siguientes series de valores de las variables X e Y .Ajustar una
recta por el método de los mínimos cuadrados
iX iY
12
24
34
8
16
43
76
55
87
28
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6
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
iX iY iX * iY iX ^2
12 43 516 144
24 76 1824 576
34 55 1870 1156
8 87 696 64
16 28 448 256
94 289 5354 2196
Formaremos el siguiente sistema de ecuación
05,0
8,56
2196945354
945289
5
1
25
1
5
1
5
1
5
1
b
a
ba
ba
XbXaYX
XbnaY
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
Por lo que la ecuación mínimo-cuadrado será: XY 05,08,56*
5. Ajustar una recta, de regresión Y= a+bX, a los siguientes datos utilizando el
método de los mínimos cuadrados.
X i Y i n i
12 23 45
15 14 32
3 7 13
8 27 18
16 16 52
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7
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
X i Y i X 2
i X ii Y X ii Y2 Y 2
i
12 23 144 276 3312 529
15 14 225 210 3150 196
3 7 9 21 63 49
8 27 64 216 91 729
16 16 256 256 4096 256
54 87 698 979 10712 1759
ii XbaNY
2
iiii XbXaYX
Reemplazando:
87 = 5 a + 54b /
979= 54 a + 698b /
a = 13,7 b = 0,34
y = 13,7+ 0,34 x
6. La variable “Y” toma para cada unidad de tiempo, los siguientes valores: 23, 27,
36, 39, 45, 56, 64. Calcular el incremento medio de la variable Y por unidad de
tiempo.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
8
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
En 7 periodos consecutivos, la variable “Y” toma distintos valores que van marcando
una tendencia. Precisamente el coeficiente de regresión de la variable Y con respecto al
tiempo nos dará el incremento medio.
Se buscara el valor de b de la expresión btay * :
it iy iy it 2
it
1 23 23 1
2 27 54 4
3 36 108 9
4 39 156 16
5 45 225 25
6 56 336 36
7 64 448 42
28 290 1350 133
37
28
7
133
14,277
290
7
28
7
1350
2
2
11
2
111
2`
``
N
t
N
t
S
N
Y
N
t
N
Yt
S
n
ii
n
i
i
t
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
yt
Por lo tanto el valor de coeficiente de regresión o incremento medio:
05,93
14,27
2`
``
t
yt
S
Sb
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
9
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
7. Calcular el coeficiente de autocorrelación de la siguiente serie temporal.
Años Y
1940 4
1941 8
1942 15
1943 12
1944 1
1945 9
Solución:
Tomando un desfase de un año obtendremos las dos series de ty y de 1ty , en base a las
cuales calcularemos el coeficiente de autocorrelación:
ty 1ty 1 tt yy 2
ty 2
1ty
(4) --- --- --- ---
8 4 32 64 16
15 8 120 225 64
12 15 180 144 225
1 12 12 1 144
9 1 9 81 1
--- (9) --- --- ---
45 40 353 515 450
221
1
1
5
40
5
450
5
45
5
515
5
40
5
45
5
353
tt
tt
ttss
sr =
1,57,4
4,1
= -0,06
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
10
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
8. Hallar el coeficiente de autocorrelación; tomando un retardo de 1 año, de la
siguiente serie cronológica:
Solución:
ty 1ty 1 tt yy 2
ty 2
1ty
(21) --- --- --- ---
34 21 714 1156 441
9 34 306 81 1156
7 9 63 49 81
2 7 14 4 49
15 2 30 225 4
19 15 285 361 225
5 19 95 25 361
--- (5) --- --- ---
91 107 1507 1901 2317
Tenemos:
23,368
107
8
91
8
15071 ttS
t Y
1 21
2 34
3 9
4 7
5 2
6 15
7 19
8 5
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
11
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
4,108
91
8
19012
ts
2
18
107
8
1507ts 3,08
13,108,34,10
23,36
1
1
1
tt
tttt
SS
Sr
9. La siguiente tabla muestra las respectivas estaturas “x” e “y” de una muestra de
10 padres y sus hijos menores.
a) Hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados de y sobre x.
b) Hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados de x sobre y
Estatura x del padre 60 62 67 65 72 63 70 66 68 61
Estatura y del hijo 66 67 72 70 68 73 65 62 60 71
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12
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
x y 2y 2x xy
60 66 4356 3600 3960
62 67 4489 3844 4154
67 72 5184 4489 4824
65 70 4900 4225 4550
72 68 4624 5184 4896
63 73 5329 3969 4599
70 65 4225 4900 4550
66 62 3844 4356 4092
68 60 3600 4624 4080
61 71 5041 3721 4331
654 674 45592 42912 44036
a) La recta de regresión de Y sobre X está dada por Y = a + bX.
xbany
2xbxaxy
Reemplazando los valores se tiene:
674 = 10 a + 654 b /
44036 = 654 a + 42912 b/
a = 47,13
b= -0,31
Así la recta es y = 47,13 – 0,31 x
b) La recta de regresión x sobre y viene dada por X = c +dY, donde c y d se obtienen
solucionando las ecuaciones normales
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13
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
ydcnx
2ydycxy
Reemplazando los valores
654 = 10 c + 674 d /
44036 = 674 c + 45592 d/
c = 47,202
d= -0,27
De esta forma la recta es X = 47,202 – 0,27 Y
10. De dos variables observadas conjuntamente, se ha obtenido la siguiente tabla de
doble entrada:
X
Y
5-15
15-25
25-35
35-45
3 1 3 1 ---------------
5 3 8 7 5
7 2 1 -------------- 6
Calcular la covarianza entre las variables X e Y.
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14
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
iy ix in ii nx ii ny iii nyx
3 10 1 10 3 30
3 20 3 60 9 180
3 30 1 30 3 90
5 10 3 30 15 150
5 20 8 160 40 800
5 30 7 210 35 1050
5 40 5 200 25 1000
7 10 2 20 14 140
7 20 1 20 7 140
7 40 6 240 42 1680
Total 37 980 193 5260
N
ny
N
nx
N
nyxs
iiiiiii
xy
Reemplazando los valores correspondientes
002,437
193
37
980
37
5260xys
Por lo tanto la covarianza entre las variables X e Y es 4,002 aproximadamente.
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15
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
11. Sea la siguiente tabla de correlación:
Y
X
3
5
9
9 2 5 0
14 4 2 1
16 0 8 4
6 1 2 0
a) Determinar la distribución de frecuencias relativas de X si Y 7
Y<5
X
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
9 7 7/24
14 6 6/24
16 8 8/24
6 3 3/24
24 1
b) Determinar el momento a 12
a 12 = ijj nXiYN
21
29/)25613649168516191425144314559239( 222222222
= 29
12363
= 426,3
El momento a 12 = 426,3
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
16
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
12. Sea la distribución bidimensional de número X de hijos y la renta mensual Y de
un conjunto de 150 familias:
Y
X
50-150 150-250 250-350
0 19 6 13
1 12 16 23
2 2 28 6
3 4 14 7
¿Cuál es el sentido de la variación conjunto?
Solución:
El sentido de variación conjunto es positivo ya que:
S 0xy
Y
X
50-150 150-250 250-350 n i
0 19 6 13 38
1 12 16 23 51
2 2 28 6 36
3 4 14 7 25
N j 37 64 49 N=150
32,1150
253362511380
X 208
150
493006420037100
Y
a 7,282150
4240011
S 014,820832,17,28211 YXaxy
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
17
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
13. Se sabe que el desarrollo de la variable Y en el tiempo, tiene una tendencia
lineal, pero de ella tan solo se conocen los siguientes valores:
Años 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970
Y 6 ------ 9 ----- 2 4 7 ----- ----- 15 -----
Estimar los valores desconocidos.
Solución:
it iy it ' ii yt 2it
1960 6 -4 -24 16
1962 9 -2 -18 4
1964 2 0 0 0
1965 4 1 4 1
1966 7 2 14 4
1969 15 5 75 25
Total 43 2 51 50
Tendencia lineal:
ii tbNay
2iiii tbtayt
Reemplazando
43= 6a + 2b /
51= 2a + 50b /
___________ /
b = 0,74 ; a = 6,9
y* = 6,9 + 0,74 t`
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
18
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
(Origen en 1964. Unidad: 1 año)
Estimaciones:
it it iy *
1961 -3 4,68
1963 -1 6,16
1967 3 9,12
1968 4 9,86
1970 6 11,34
14. Dadas las siguientes series de valores de las variables X e Y, hallar las rectas de
regresión mínima cuadrática y el coeficiente de determinación
iX iY
3 4
6 7
1 8
2 3
Solución:
iX iY 2
iX iX iY 2
iX iY 2
iY
3 4 9 12 36 16
6 7 36 42 252 49
1 8 1 8 8 64
2 3 4 6 12 9
12 22 50 68 308 138
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
19
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Recta de Y con respecto a X:
14,0
07,5
501268
12422
4
1
24
1
4
1
4
1
4
1
b
a
ba
ba
XbXaYX
XbnaY
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
De donde XY 14,007,5*
Recta de X con respecto a Y:
12,0
4,2
1382268
22412
4
1
24
1
4
1
4
1
4
1
b
a
ba
ba
YbYaYX
YbnaX
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
Donde YX 12,04,2*
15. Con los datos del problema 30, calcular el coeficiente de correlación.
iX iY
3 4
6 7
1 8
2 3
Solución:
iX iY 2
iX iX iY 2
iX iY 2
iY
3 4 9 12 36 16
6 7 36 42 252 49
1 8 1 8 8 64
2 3 4 6 12 9
12 22 50 68 308 138
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
20
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Coeficiente de correlación:
22
2
2
yx
xy
SS
SR
Primero se debe calcular 22,yxxy SySS
.
25,44
22
4
138
5,34
12
4
50
5,04
22
4
12
4
68
2
2
11
2
2
2
11
2
111
2
2
N
Y
N
Y
S
N
X
N
X
S
N
Y
N
X
N
YX
S
n
i
i
n
i
i
y
n
i
i
n
i
i
x
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
xy
Luego 017,025,45,3
25,02
R
16. Dada la siguiente serie cronológica, hallar su secuencia secular por el método de
las medias móviles y por el método analítico
it iy
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
9
12
17
19
22
25
6
18
8
11
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
21
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
Medias móviles (periodo de 3 años)
it iy 1y
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
9
12
17
19
22
25
6
18
8
11
---
12,7
16
19
22
17,7
16,3
10,7
12,3
----
Método analítico
it iy `it `it iy `it2
1990 9 -9 -81 81
1991 12 -7 -84 49
1992 17 -5 -85 25
1993 19 -3 -57 9
1994 22 -1 -22 1
1995 25 1 25 1
1996 6 3 18 9
1997 18 5 90 25
1998 8 7 56 49
1999 11 9 99 81
147 -41 330
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
22
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Se puede obtener el sistema de ecuaciones normales:
147=10a
-41=330b a=14,7 b=- 0,12
De donde `12,07,14* ty
17. Hallar el coeficiente de autocorrelación de la siguiente serie cronológica:
T y
9 2
8 1
7 6
6 3
5 5
4 3
Tomando un retardo de 2 años
Solución:
ty 2ty 2 tt yy 2
ty 2
2ty
(2) --- --- --- ---
(1) --- -- --- ---
6 2 12 36 4
3 1 3 9 1
5 6 30 25 36
3 3 9 9 9
--- (5) --- --- ---
--- (3) --- --- ---
17 12 54 79 50
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
23
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Tenemos:
75,04
12
4
17
4
542 ttS
3,14
17
4
792
ts
1,24
12
4
542
2
ts
3,01,213,1
75,0
2
2
2
tt
tttt
SS
Sr
18. El parque de diversiones en Chile se ha estimado para el periodo 1996-2008 de
la siguiente forma:
Años Juegos
1996 0,81
1997 0,86
1998 0,96
1999 1,04
2000 1,09
2001 1,12
2002 1,18
2003 1,25
2004 1,29
2005 1,26
2006 1,35
2007 1,38
2008 1,42
Estimar su tendencia secular:
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
24
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
Tendencia secular:
Por otra parte, la tendencia lineal de la población total será
it iy it ' ii yt 2it
1996 0,81 -6 -4,86 36
1997 0,86 -5 -4,3 25
1998 0,96 -4 -3,83 16
1999 1,04 -3 -3,12 9
2000 1,09 -2 -2,18 4
2001 1,12 -1 -1,12 1
2002 1,18 0 0 0
2003 1,25 1 1,25 1
2004 1,29 2 2,58 4
2005 1,26 3 3,78 9
2006 1,35 4 5,4 16
2007 1,38 5 6,9 25
2008 1,42 6 8,52 36
total 15,01 0 9,02 182
Tendencia lineal:
ii tbNay
2iiii tbtayt
Reemplazando:
15,01= 13a /
9,02 = 182 b /
_______________ /
b = 0,05 a = 1,2
y* = 1,2+ 0,05 t` (t` con origen en 2002)
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
25
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
19. Calcular el coeficiente de autocorrelación de la siguiente serie temporal.
Años Y
1950 3
1951 2
1952 4
1953 6
1954 8
Solución:
Tomando un desfase de un año obtendremos las dos series de ty y de 1ty , en base a las
cuales calcularemos el coeficiente de autocorrelación:
ty 1ty 1 tt yy 2
ty 2
1ty
(3) --- --- --- ---
2 3 6 4 9
4 2 8 16 4
6 4 24 36 16
8 6 48 64 36
--- (8) --- --- ---
20 15 86 120 65
221
11
4
15
4
65
4
20
4
120
4
15
4
20
4
86
tt
tttt
ss
sr =
48,124,2
75,2
= 0,83
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
26
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
20. Determinar la recta de regresión y su coeficiente de determinación de la variable
“número de piezas” con respecto a la variable “tipo de alquiler” de la siguiente
distribución:
Tipo de
alquiler
Nº de piezas
[0-50[
[50-100[
[100-150[
[150-200]
1 30 24 2 4
2 80 ---- 64 12
3 110 138 87 54
4 15 9 ---- ----
Solución:
Y i X i n i X i X ii n Y ii n X i Y ii n X ii n2 Y ii n2
1 0-50 30 25 750 30 750 18750 30
1 50-100 24 75 1800 24 1800 135000 24
1 100-150 2 125 250 2 250 31250 2
1 150-200 4 175 700 4 700 122500 4
2 0-50 80 25 2000 160 4000 50000 320
2 100-150 64 125 8000 128 16000 1000000 256
2 150-200 12 175 2100 24 4200 367500 48
3 0-50 110 25 2750 330 8250 68750 990
3 50-100 138 75 10350 414 31050 776250 1242
3 100-150 87 125 10875 261 32625 1359375 783
3 150-200 54 175 9450 162 28350 1653750 486
4 0-50 15 25 375 60 1500 9375 240
4 50-100 9 75 675 36 2700 50625 144
Total 629 50075 1635 132175 5643125 4569
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
27
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
6,79629
50075
N
nXX
ii 26,0
6290
1635
N
nYY
iI
S 8,2633629
50075
629
5643125222
2
N
nX
N
nX iiii
x
S 5,0629
1635
629
4569222
2
N
nY
N
nY iiii
y
S 2,3629
1635
629
50075
629
132175
N
nY
N
nX
N
nYX iiiiiii
xy
Al reemplazar, nos queda:
b= 0012,08,2633
2,3
2
x
xy
S
S
a= 6,790012,026,0 XbY
a= 0,16448
Con lo que finalmente se tiene:
Recta de regresión:
Y X0012,016448,0
Coeficiente de determinación:
R 0078,05,08,2633
24,10
22
2
2
yx
xy
SS
S
21. Determinar la ecuación de la línea de regresión para los siguientes datos
Ciudades Temperaturas
Santiago 32 – 29 – 24 - 15
Valdivia 13 – 24 – 19 - 28
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
28
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
X Y XXX i ' YYY i ' 2'X
2'Y '' YX
32 13 7 -8 49 64 -56
29 24 4 3 16 9 12
24 19 -1 -2 1 4 2
15 28 -10 7 100 49 -70
X 25 Y 21 166 126 -112
La ecuación de la línea de regresión es: )()( XXS
SrYXY
y
xe
X 25
Y 21
44,6
61,5
x
y
S
S
77,0yx
xy
SS
Cr
)25(61,5
44,677,021)( XXYe
)25(88,021)( XXYe
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
29
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
22. Sea la distribución bidimensional de número X de hijos y la renta mensual Y de
un conjunto de 50 familias
Y
X
[50-150[ [150-250[ [250-350[
0 2 4 3
1 3 12 6
2 1 5 9
3 0 1 4
a) Calcular la renta media de las familias con tres hijos
b) La más frecuente de las familias con dos hijo.
Solución:
a)
X=3
Y
[50-150[ [150-250[ [250-350]
Frecuencia absoluta 0 1 4
Media = 280410
430012000100
La media es 280.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
30
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
b)
X=2
Y
[50-150[ [150-250[ [250-350]
Frecuencia absoluta 1 5 9
Densidad 0,01 0,05 0,09
M )( 1
11
1
10
ii
ii
ii LL
dd
dL = 150 + 267)150280(
09,001,0
09,0
La más frecuente de las familias con dos hijos es 267.
23. Siendo “X” el ingreso familiar e “Y” el gasto en vestimenta, sea la siguiente
tabla de correlación.
Y
X
40 20 50 30
80 4 1 6 10
40 9 7 4 0
70 11 9 9 9
50 3 12 18 2
a) Determinar el gasto medio de las familias con renta 40.
Y j Frecuencia
absoluta
40 9
20 7
50 4
30 0
20
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
31
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
20
03045072094040
xY
3540 xY
b) Determinar la varianza de los ingresos de las familias que gastan 20.
X J Frecuencia
absoluta
80 1
40 7
70 9
50 12
29
8,5429
1590
29
125097074018020
yX
S 07,316229
1250970740180 22222
20/
yx
24. Las variables “X” e “Y” observados conjuntamente 100 veces han presentados
los siguientes valores:
iX iY in
5 2 21
8 4 14
7 6 23
15 0 34
11 1 8
100
Calcular las medias y varianzas marginales.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
32
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
iX in iY in 2
iX in 2
iY in
105 42 525 84
112 56 896 224
161 138 1127 828
510 0 7650 0
88 8 968 8
976 244 11166 1144
5,5100
244
100
1144
62,15100
976
100
11166
44,2100
244
8,9100
976
2
2
2
2
y
x
S
S
Y
X
25. La talla de ropa (X) y el peso (Y) de 20 mujeres son los siguientes:
X Y X Y
36 43 46 74
44 62 44 61
38 48 40 53
52 86 50 84
42 56 40 52
40 52 44 60
38 47 42 56
45 64 52 85
50 83 48 78
54 95 38 45
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
33
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Hallar las medidas aritméticas y las desviaciones estándar marginales.
Solución:
Distribución marginal de Y:
ii LL 1 in iy ii ny ii ny 2
[36-41[ 7 38,5 269,6 10375,75
[41-46[ 6 43,5 261 11353,5
[46-51[ 4 48,5 194 9409
[51-56] 3 53,5 160,5 8586,75
Total 20 885,1 39725
255,4420
1,885y
74,2720
1,885
20
397252
2
ys
3,5ys
Distribución marginal de X:
ii LL 1 in ix ii nx ii nx 2
43-53 6 48 288 13824
53-63 6 58 348 20184
63-73 1 68 68 4624
73-83 2 78 156 12168
83-93 4 88 352 30976
93-103 1 98 98 9604
Total 20 438 1310 91380
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
34
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
5,6520
1310x
8,27820
1310
20
913802
2
xs
7,16xs
26. Sea la tabla:
Y
X
2
5
-2
3
6 3 8 1 0
2 6 3 2 3
4 2 5 4 5
3 8 1 2 2
a) Determinar la distribución marginal de Y:
Solución:
Y
X
2
5
-2
3
n i
6 3 8 1 0 12
2 6 3 2 3 14
4 2 5 4 5 16
3 8 1 2 2 13
n j 19 17 9 10 N = 55
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
35
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Y j n j
2 19
5 17
-2 9
3 10
55
b) Determinar la distribución de frecuencias relativas de “X” si Y = 5
Solución:
X/Y = 2 Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
2 8 8/17
5 3 3/17
-2 5 5/17
3 1 1/17
17 1
c) Analizar la independencia de las variables:
Solución:
Las variables X e Y no son independientes ya que:
n ijN
nn ji
Por ejemplo: 6 8,455
1419
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
36
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
27. Si “X” e “Y” son variables independientes, ¿Cuál es la varianza de 4 ?5 YX
Dado S 22x y S 62 y :
Solución:
Si Z = a YbX , es S xyYxz SbaSbSa 222222 .
En este caso a=4 y b=5, siendo S 0xy , debido a la independencia de X e Y. Por lo tanto
reemplazando:
S 05426252162 Z
S 1822z
La varianza es 182
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
37
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
28. Una fábrica de una cierta marca de helados ha tomado al azar 15 semanas del
año, observando la temperatura media correspondiente a cada una de ellas y la
cantidad de helados pedidos durante cada uno de dichos periodos. La
información obtenida es la siguiente
Temperatura
media
Cantidad
de helados
22
31
25
19
33
35
37
27
21
18
24
38
15
23
32
32
82
38
22
96
112
123
47
29
19
36
129
14
34
90
¿Puede la fábrica planificar la cantidad de producción en función de la temperatura
esperada? ¿De qué forma?
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
38
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
Sea X la temperatura e Y la cantidad de bebidas.
iX iY 2
iX iX iY 2
iY
22 32 484 704 1024
31 82 962 2542 6724
25 38 625 950 1444
19 22 361 418 484
33 96 1089 3168 9216
35 112 1225 3920 12544
37 123 1369 4551 15129
27 47 729 1269 2209
21 29 441 609 841
18 19 324 342 361
24 36 576 864 1296
38 129 1444 4902 16641
15 14 225 210 196
23 34 529 782 1156
32 90 1024 2880 8100
400 903 11406 28111 77365
%9595,06,15333,49
7,72199
6,153315
903
15
77365
3,4915
400
15
11406
7,26815
903
15
400
15
28111
22
2
2
2
2
2
2
11
2
2
2
11
2
111
yx
xy
n
i
i
n
i
i
y
n
i
i
n
i
i
x
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
xy
SS
SR
N
Y
N
Y
S
N
X
N
X
S
N
Y
N
X
N
YX
S
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
39
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Como el coeficiente de determinación es alto podría planificarse la producción en
función de la temperatura basándose en la siguiente función lineal.
8,28
34,827
1140640028111
40015903
15
1
215
1
15
1
15
1
15
1
b
a
ba
ba
XbXaYX
XbnaY
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
Función lineal XY 8,2834,827*
29. La variable “Y” toma para cada unidad de tiempo, los siguientes valores: 4 8 12
16 20 24. Calcular el incremento medio de la variable “Y” por unidad de tiempo.
Solución:
En 6 periodos consecutivos, la variable “Y” toma distintos valores que marcan
una tendencia. Precisamente el coeficiente de regresión de la variable “Y” con respecto
al tiempo nos dará el incremento medio.
Se buscara el valor de b de la expresión btay * :
it iy iy it 2
it
1 4 4 1
2 8 16 4
3 12 36 9
4 16 64 16
5 20 100 25
6 24 144 36
21 84 364 91
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
40
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
92,26
21
6
91
7,116
84
6
21
6
364
2
2
11
2
111
2`
``
N
t
N
t
S
N
Y
N
t
N
Yt
S
n
ii
n
i
i
t
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
yt
Por lo tanto el valor de coeficiente de regresión o incremento medio:
006,492,2
7,11
2`
``
t
yt
S
Sb
30. Determinar si existe una autocorrelación en la siguiente serie temporal:
T y
1935 6
1945 12
1955 16
1965 23
1975 10
1985 12
Tomando un retardo de 1 año
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
41
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
ty 1ty 1 tt yy 2
ty 2
1ty
(6) --- --- --- ---
12 6 72 144 36
16 12 192 256 144
23 16 368 529 256
10 23 230 100 529
12 10 120 144 100
--- (12) --- --- ---
73 67 982 1173 1065
Tenemos:
76,05
67
5
73
5
9821 ttS
6,45
73
5
11732
ts
1,45
67
5
9822
1
ts
%404,01,46,4
76,0
1
1
1
tt
tttt
SS
Sr
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
42
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
31. Ajustar una recta, de regresión Y= a+bx, a los siguientes datos utilizando el
método de los mínimos cuadrados.
X i Y i n i
3 1 2
6 4 4
2 2 3
1 5 4
7 3 5
Solución:
X i Y i X 2
i X ii Y X ii Y2 Y 2
i
3 1 9 3 9 1
6 4 36 24 144 16
2 2 4 4 8 4
1 5 1 5 5 25
7 3 49 21 147 9
19 15 99 57 313 55
ii XbaNY
2
iiii XbXaYX
Reemplazando:
15= 5 a + 19b /
57 = 19 a + 99 b / a = 3 b = 0
y = 3+0x
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
43
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
32. Las temperaturas simultáneas de dos ciudades se registran en cuatro días
diferentes.
a) Calcular la covarianza
b) Calcular el coeficiente de relación para los valores registrados en la
siguiente tabla
Ciudades Temperaturas
Santiago 32 – 29 – 24 - 15
Valdivia 13 – 24 – 19 - 28
Solución:
a)
X Y XXX i ' YYY i ' 2'X
2'Y '' YX
32 13 7 -8 49 64 -56
29 24 4 3 16 9 12
24 19 -1 -2 1 4 2
15 28 -10 7 100 49 -70
X 25 Y 21 166 126 -112
281
:cov
5,311
5,411
4
1
','
2'2
2'2
i
iixy
y
x
YXn
C
arianzaLa
Yn
S
Xn
S
b) El coeficiente de correlación es 77,0yx
xy
SS
Cr
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
44
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
33. Utilizando la siguiente tabla, calcular la covarianza.
iX iY in
5 2 21
8 4 14
7 6 23
15 0 34
11 1 8
Solución:
iX iY in iX in iY in
210 105 42
448 112 56
966 161 138
0 510 0
88 88 8
1712 976 244
7,6100
244
100
976
100
1712xyS
Por lo tanto la covarianza es -6,7.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
45
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
34. La tabla recoge la información relativa a la edad de los padres y la cantidad de
hijos.
Edad X Hijos Y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
18-28 6 4 3 1
28-38 6 4 2 1
38-48 5 4 2 1
48-58 1 4 7 4 2 3 1
Determine la media y la varianza de la distribución de hijos de los padres con edad
entre 28 y 38.
Solución:
Hijos 2 3 4 6
Frec. Abs. 6 4 2 1
Media = 92,213
38
1246
16244362
Varianza = 7,413
38
1246
1624436222
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
46
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
35. Dadas las siguientes series de valores de las variables “X” e “Y”. Ajustar una
recta por el método de los mínimos cuadrados
iX iY
4
8
3
7
5
90
100
150
140
110
Solución
iX iY iX * iY iX ^2
4 90 360 16
8 100 800 64
3 150 450 9
7 140 980 49
5 110 550 25
27 590 3140 163
Formaremos el siguiente sistema de ecuación
7,2
4,132
163273140
275590
5
1
25
1
5
1
5
1
5
1
b
a
ba
ba
XbXaYX
XbnaY
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
Por lo que la ecuación mínimo-cuadrado será:
XY 7,24,132*
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
47
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
36. Hallar el coeficiente de autocorrelación de la siguiente serie cronológica:
t Y
1 4
4 2
3 6
4 1
5 3
2 8
Tomando un retardo de 1 año
Solución:
ty 1ty 1 tt yy 2
ty 2
1ty
(4) --- --- --- ---
2 4 8 4 16
6 2 12 36 4
1 6 6 1 36
3 1 3 9 1
8 3 24 64 9
--- (8) --- --- ---
20 16 53 114 66
Tenemos:
2,25
16
5
20
5
531 ttS
6,25
20
5
1142
ts
6,05
16
5
532
1
ts
41,16,06,2
2,2
1
1
1
tt
tttt
SS
Sr
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
48
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
37. En la tabla aparecen las edades y las calificaciones en biología correspondientes
a sus estudiantes escogidos aleatoriamente en un curso de primer año
Edad (X) Calificación(Y)
15
16
14
17
16
15
60
30
70
50
60
40
Calcular el coeficiente de correlación.
Solución:
X Y XXX i ' YYY i ' 2'X
2'Y '' YX
15 60 -0,5 8,33333 225 3600 -4,16667
16 30 0,5 -21,6667 256 900 -10,8333
14 70 -1,5 18,33333 196 4900 -27,5
17 50 1,5 -1,66667 289 2500 -2,50001
16 60 0,5 8,33333 256 3600 4,166665
15 40 -0,5 -11,6667 225 1600 5,833335
X 15,5 Y 51,66667 1447 17100 -35
El coeficiente de correlación es
0000085,0yx
xy
SS
Cr
83,51
:cov
28501
2,2411
6
1
','
2'2
2'2
i
iixy
y
x
YXn
C
arianzaLa
Yn
S
Xn
S
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
49
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
38. Sean los valores de “X” e “Y” los siguientes.
Calcular el coeficiente de correlación entre “X” e “Y”
Solución:
iX iY iX iY 2
iX 2
iY
3 4 12 9 16
5 6 30 25 36
8 2 16 64 4
6 1 6 36 1
22 13 64 134 57
5,092,18,1
875,1
92,14
13
4
57
8.14
22
4
134
875,14
13
4
22
4
64
2
2
r
S
S
S
y
x
xy
X Y
3
5
8
6
4
6
2
1
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
50
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
39. Los parámetros correspondientes a la siguiente distribución bidimensional, son:
X Y
0 1
1 4
2 6
3 2
3 4
4 8
5 6
6 5
7 3
8 6
9 9
Dados:
4,4X 9,4Y 67,3xyS
77,2xS 31,2yS r = 0,57
Halla las ecuaciones de las dos rectas de regresión, X sobre Y e Y sobre X, y
representarlas junto con la nube de puntos.
Solución:
48,02
x
xy
yxS
Sm
Recta de regresión Y sobre X:
y = 4,9 + 0,48 (x – 4,4)
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
51
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
y = 0,48x + 2,79
69,02
y
xy
xyS
Sm
Recta de regresión X sobre Y:
x = 4,4 + 0,69 (y – 4,9)
y = 1,45x – 1,48
Representación gráfica:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 2 4 6 8 10
X
Y
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
52
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
40. Los valores de dos variables X e Y se distribuyen de acuerdo a la tabla siguiente:
Y/X 100 50 25
14 1 1 0
18 2 3 0
22 0 1 2
Obtener e interpretar el coeficiente de correlación lineal.
Solución:
Convertimos la tabla de doble entrada en una tabla simple.
xi yi fi xi · fi xi2
· fi yi · fi yi2
· fi xi · yi · fi
100 14 1 100 10 000 14 196 1 400
100 18 2 200 20 000 36 648 3 600
50 14 1 50 2 500 14 196 700
50 18 3 150 7 500 54 972 2 700
50 22 1 50 2 500 22 484 1 100
25 22 2 50 1 250 44 968 1 100
10 600 43 750 184 3 464 10 600
7756010
43750 22 xS 84,74,1810
3464 22 yS
84,27775 xS 8,284,7 yS
444,186010
10600xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
53
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
56,08,284,27
44
r El resultado nos señala, que hay una correlación negativa débil.
41. Una asociación dedicada a la protección de la infancia decide estudiar la
relación entre la mortalidad infantil en cada país y el número de camas de
hospitales por cada mil habitantes.
X 50 100 70 60 120 180 200 250 30 90
Y 5 2 2,5 3,75 4 1 1,25 0,75 7 3
Donde X es el nº de camas por mil habitantes e Y el tanto por ciento de mortalidad.
a) Calcular las rectas de regresión y el coeficiente de correlación lineal.
b) ¿Si se dispusiese de 175 camas por mil habitantes que tanto por ciento de
mortalidad cabria esperar? . ¿La estimación es fiable? Razona la respuesta.
Solución
xi yi xi2 yi
2 x i yi
50 5 2500 25 250
100 2 10000 4 200
70 2,5 4900 6,25 170
60 3,75 3600 14,0625 225
120 4 14400 16 480
180 1 32400 1 180
200 1,25 40000 1,5625 250
250 0,75 62500 0,5625 187,5
30 7 900 49 210
90 3 8100 9 270
= 1150 30,25 179300 126,4375 2422,5
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
54
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
x =115%
y = 3,025%
Sx = 1322517930 68,59
Sy = 12 64375 9 150625, , = 1,87
Sxy = 242 25 115 3 025, ( )( , ) = -105,625
Las rectas de regresión serán:
y - 3,025 = -0,022449 (x - 115)
x - 115 = -30,2053 (y - 3,025)
El coeficiente de correlación lineal:
r = 105 625
68 59 187
,
( , )( , ) = - 0,8235
Es una correlación inversa o negativa alta.
Para la estimación que se pide se utilizará la recta de regresión de Y sobre X.
y = 3,025 - 0,022449(175- 115) = 1,6783 que sería fiable por ser alto el coeficiente de
correlación.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
55
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
42. La estatura media de 100 escolares de cierto curso de E.S.O. es de 155 cm con
una desviación típica de 15,5 cm. La recta de regresión de la estatura respecto al
peso es y = 80 + 1,5x (x: peso; y: estatura).
a) ¿Cuál es el peso medio de esos escolares?
b) ¿Cuál es el signo del coeficiente de correlación entre peso y estatura?
Solución
a) La recta de regresión es:
xxxxxxmyy 5,15,1155)(5,1155)(
kgxxxxx 50805,11555,1805,1)5,1155(
b) Positivo (igual que el signo de la pendiente de la recta de regresión).
43. Se muestran los siguientes datos:
CI Horas de TV a la
semana
106 7
86 0
100 28
100 50
99 28
103 28
97 20
113 12
113 7
110 17
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
56
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Determinar el coeficiente de correlación de spearman.
Solución
CI (i) Horas de TV
a la semana (t)
orden(i) orden(t) d d2
86 0 1 1 0 0
97 20 2 6 4 16
99 28 3 8 5 25
100 50 4.5 10 5.5 30.25
100 28 4.5 8 3.5 12.25
103 28 6 8 2 4
106 7 7 2.5 4.5 20.25
110 17 8 5 3 9
113 7 9.5 2.5 7 49
113 12 9.5 4 5.5 30.25
∑196
990
11761
)110(10
19661
2
sr
sr = - 0,19
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
57
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
44. Con los datos del problema 1 hacer diagrama de dispersión, y ver el tipo de
correlación que existe entre las variables.
Solución:
La correlación que existe entre las variables es débil y negativa.
45. Se realiza un estudio para determinar la asociación entre la concentración de
nicotina en la sangre de un individuo y el contenido en nicotina de un cigarrillo.
Concentración de Nicotina
En sangre (mol/litro) (X)
Contenido de Nicotina
por cigarrillo (mg) (Y)
185.7 1.51
197.3 0.96
204.2 1.21
199.9 1.66
199.1 1.11
192.8 0.84
207.4 1.14
183.0 1.28
234.1 1.53
196.5 0.76
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
58
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Calcular el coeficiente de correlación de spearman.
Solución:
X Y Orden (X) Orden
(Y) d d
2
185.7 1.51 2 8 -6 36
197.3 0.96 5 3 2 4
204.2 1.21 8 6 2 4
199.9 1.66 7 10 -3 9
199.1 1.11 6 4 2 4
192.8 0.84 6 2 4 16
207.4 1.14 9 5 4 16
183.0 1.28 1 7 -6 36
234.1 1.53 10 9 1 1
196.5 0.76 4 1 3 9
990
8101
)110(10
13561
2
sr
sr = 0,18
46. Con los datos del problema 46 realizar el diagrama de dispersión, y ver qué tipo
de correlación hay entre las variables.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
59
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
Por el gráfico podemos señalar que existe una correlación positiva débil entre ambas
variables.
47. Se registró el potencial del vendedor y datos reales de dos años de ventas.
Calcular el coeficiente de correlación de spearman.
Vendedor Lugar en potencial Ventas en dos años
A 2 400
B 4 360
C 7 300
D 1 295
E 6 280
F 3 350
G 10 200
H 9 260
I 8 220
J 5 385
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12
X
Y
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
60
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
Vendedor Lugar
en
potencial
Ventas en
dos años
Lugar según
ventas en 2
años
di di2
A 2 400 1 1 1
B 4 360 3 1 1
C 7 300 5 2 4
D 1 295 6 -5 25
E 6 280 7 -1 1
F 3 350 4 -1 1
G 10 200 10 0 0
H 9 260 8 1 1
I 8 220 9 -1 1
J 5 385 2 3 9
44
990
2641
)110(10
4461
2
sr
Por lo tanto, el coeficiente de correlación de spearman es:
sr = 0,73
48. Con los datos del problema 48 hacer diagrama de dispersión, y ver qué tipo de
correlación hay entre las variables.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
61
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
Se ve que existe una correlación positiva entre las dos variables.
49. Calcular el Coeficiente de correlación de Pearson entre las variables talla y peso
de 20 niños varones.
Talla
(X)
Peso
(Y)
Talla
(X)
Peso
(Y)
72 9 64 7
76 10 66 7
59 6 61 6
68 8 66 8
60 10 57 5
58 5 81 11
70 8 59 5
65 7 71 9
54 4 62 6
83 11 75 10
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12
Lugar en potencial
Lugar según ventas en 2 años
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
62
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
X Y XX YY YYXX
72 9 5.65 1.4 7.91
76 10 9.65 2.4 23.16
59 6 -7.35 -1.6 11.76
68 8 1.65 0.4 0.66
60 10 -6.35 2.4 -15.24
58 5 -8.35 -2.6 21.71
70 8 3.65 0.4 1.46
65 7 -1.35 -0.6 0.81
54 4 -12.35 -3.6 44.46
83 11 16.65 3.4 56.61
64 7 -2.35 -0.6 1.41
66 7 -0.35 -0.6 0.21
61 6 -5.35 -1.6 8.56
66 8 -0.35 0.4 -0.14
57 5 -9.35 -2.6 24.31
81 11 14.65 3.4 49.81
59 5 -7.35 -2.6 19.11
71 9 4.65 1.4 6.51
62 6 -4.35 -1.6 6.96
75 10 8.65 2.4 20.76
290.8
35.66X 6.7Y
Covarianza: 30.15
19
8.290
087.8xS
137.2yS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
63
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
885.0137.2087.8
30.15cov
yx SS
arianzar
50. Con los datos del problema 50 hacer diagrama de dispersión, y ver qué tipo de
correlación hay entre las variables.
Solución:
Se puede observar que hay una correlación positiva alta entre las variables X e Y.
0
2
4
6
8
10
12
0 20 40 60 80 100
X
Y
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
64
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
51. Una empresa de manufacturas basa las predicciones de sus ventas anuales en los
resultados oficiales de la demanda total en la industria. A continuación se dan
los datos de demanda total y las ventas efectuadas por la empresa en los últimos
11 años.
Demanda total (X) Ventas (Y)
200 9
220 6
400 12
330 7
210 5
390 10
280 8
140 4
280 7
290 10
380 14
Calcular el coeficiente de correlación de Pearson.
Solución:
X Y YX 2X
2Y
200 9 1800 40000 81
220 6 1320 48400 36
400 12 4800 160000 144
330 7 2310 108900 49
210 5 1050 44100 25
390 10 3900 152100 100
280 8 2240 78400 64
140 4 560 19600 16
280 7 1960 78400 49
290 10 2900 84100 100
380 14 5320 144400 196
Total 3120 92 28160 958400 860
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
65
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
La correlación entonces es:
80,087,271,81
77,187
87,211
92
11
860
71,8111
3120
11
958400
77,18711
92
11
3120
11
28160
2
2
r
S
S
S
y
x
xy
52. Con los datos del problema 52 hacer diagrama de dispersión, y ver qué tipo de
correlación hay entre ambas variables.
Solución:
Existe una correlación positiva alta entre las variables X e Y.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 100 200 300 400 500
X
Y
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
66
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
53. Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y
de la variable Y, respectivamente.
X
Y 2 4 6 Total
10 4 3 2 9
5 1 3 1 5
3 2 2 1 5
Total 7 8 4 19
Solución:
Distribución marginal de X
ix in
iinx ii nx 2
2 7 14 28
4 8 32 128
6 4 24 144
19 70 300
68,319
70x
22,219
70
19
3002
2
xS
5,122,2 xS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
67
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Distribución marginal del Y
iy in
iiny ii ny 2
10 9 90 900
5 5 25 125
3 5 15 45
19 130 1070
84,619
130y
50,919
130
19
10702
2
yS
08,350,9 yS
Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y de la
variable Y, respectivamente.
X
Y 10 9 3 Total
4 3 6 1 10
12 9 8 4 21
21 2 3 1 6
Total 14 17 6 37
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
68
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
Distribución marginal de X
ix in
iinx ii nx 2
4 10 40 160
12 21 252 3024
21 6 126 2646
37 418 5830
297,1137
418x
94,2937
418
37
58302
2
xS
472,594,29 xS
Distribución marginal del Y
iy in
iiny ii ny 2
10 9 90 900
5 5 25 125
3 5 15 45
19 130 1070
84,619
130y
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
69
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
50,919
130
19
10702
2
yS
08,350,9 yS
54. Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y
de la variable Y, respectivamente.
X
Y 4 8 12 Total
8 9 14 3 34
10 10 12 5 37
6 8 4 9 27
Total 31 38 29 98
Solución:
Distribución marginal de X
ix in
iinx ii nx 2
4 31 124 496
8 38 304 2432
12 29 348 4176
98 776 7104
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
70
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
92,798
776x
789,998
776
98
71042
2
xS
13,3789,9 xS
Distribución marginal del Y
iy in
iiny ii ny 2
8 34 272 2176
10 37 370 3700
6 27 162 972
98 804 6848
2,898
804y
57,298
804
98
68482
2
yS
603,157,2 yS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
71
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
55. Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y
de la variable Y, respectivamente.
56.
X
Y 15 22 3 Total
11 4 24 1 40
23 8 16 7 54
6 14 9 32 61
Total 41 71 43 155
Solución
Distribución marginal de X
ix in
iinx ii nx 2
15 41 615 9225
22 71 1562 34364
3 43 129 387
155 2306 43976
877,14155
2306x
378,62155
2306
155
439762
2
xS
898,7378,62 xS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
72
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Distribución marginal del Y
iy in
iiny ii ny 2
11 40 440 4840
23 54 1242 28566
6 61 366 2196
155 2048 35602
21,13155
2048y
109,55155
2048
155
356022
2
yS
4236,7109,55 yS
Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y de la
variable Y, respectivamente.
X
Y 6 24 31 Total
18 8 42 4 72
22 11 13 12 58
21 34 8 26 89
Total 59 87 73 219
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
73
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
Distribución marginal de X
ix in
iinx ii nx 2
6 59 354 2124
24 87 2088 50112
31 73 2263 70153
219 4705 122389
484,21219
4705x
29,97219
4705
219
1223892
2
xS
86,929,97 xS
Distribución marginal del Y
iy in
iiny ii ny 2
18 72 1296 23328
22 58 1276 28072
21 89 1869 39249
219 4441 90649
28,20219
4441y
703,2219
4441
219
906492
2
yS
64408,1703,2 yS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
74
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
57. Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y
de la variable Y, respectivamente.
X
Y 5 13 19 Total
19 15 1 31 66
16 24 36 33 109
2 7 19 3 31
Total 51 69 86 206
Solución:
Distribución marginal de X
ix in
iinx ii nx 2
5 51 255 1275
13 69 897 11661
19 86 1634 31046
206 2786 43982
524,13206
2786x
599,30206
2786
206
439822
2
xS
532,5599,30 xS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
75
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Distribución marginal del Y
iy in
iiny ii ny 2
19 66 1254 23826
16 109 1744 27904
2 31 62 124
206 3060 51854
8543,14206
3060y
066,31206
3060
206
518542
2
yS
574,5066,31 yS
58. Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y
de la variable Y, respectivamente.
X
Y 32 43 58 Total
74 27 34 53 188
33 12 71 46 162
26 68 37 28 159
Total 139 185 185 509
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
76
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
Distribución marginal de X
ix in
iinx ii nx 2
32 139 4448 142336
43 185 7955 342065
58 185 10730 622340
509 23133 1106741
448,45509
23133x
83,108509
23133
509
11067412
2
xS
43,1083,108 xS
Distribución marginal del Y
iy in
iiny ii ny 2
74 188 13912 1029488
33 162 5346 176418
26 159 4134 107484
509 23392 1313390
9568,45509
23392y
309,468509
23392
509
13133902
2
yS
64,21309,468 yS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
77
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
59. Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y
de la variable Y, respectivamente.
X
Y 102 123 147 Total
165 32 85 22 304
115 45 36 37 233
92 64 78 84 318
Total 243 322 290 855
Solución:
Distribución marginal de X
ix in
iinx ii nx 2
102 243 24786 2528172
123 322 39606 4871538
147 290 42630 6266610
855 107022 13666320
172,125855
107022x
99,315855
107022
855
136663202
2
xS
776,1799,315 xS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
78
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Distribución marginal del Y
iy in
iiny ii ny 2
165 304 50160 8276400
115 233 26795 3081425
92 318 29256 2691552
855 106211 14049377
223,124855
106211y
57,1000855
106211
855
140493772
2
yS
63,3157,1000 yS
60. Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y
de la variable Y, respectivamente.
X
Y 13 44 52 Total
23 42 89 33 187
76 34 19 62 191
10 11 27 45 93
Total 100 179 192 471
Solución:
Distribución marginal de X
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
79
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
ix in
iinx ii nx 2
13 100 1300 16900
44 179 7876 346544
52 192 9984 519168
471 19160 882612
679,40471
19160x
097,219471
19160
471
8826122
2
xS
802,14097,219 xS
Distribución marginal del Y
iy in
iiny ii ny 2
23 187 4301 98923
76 191 14516 1103216
10 93 930 9300
471 19747 1211439
9257,41471
19747y
294,814471
19747
471
12114392
2
yS
536,28294,814 yS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
80
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
61. Calcula la media, varianza y desviación estándar marginales de la variable X y
de la variable Y, respectivamente.
X
Y 64 132 186 Total
202 2 12 101 317
123 67 79 32 301
57 82 34 2 175
Total 215 257 321 793
Solución:
Distribución marginal de X
ix in
iinx ii nx 2
64 215 13760 880640
132 257 33924 4477968
186 321 59706 11105316
793 107390 16463924
4224,135793
107390x
33,242793
107390
793
164639242
2
xS
22,4933,242 xS
Distribución marginal del Y
iy in
iiny ii ny 2
202 317 64034 12934868
123 301 37023 4553829
57 175 9975 568575
793 111032 18057272
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
81
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
015,140793
111032y
598,3166793
111032
793
180572722
2
yS
273,56598,3166 yS
62. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.
Y
X 10 5 3
2 20 10 6
4 40 20 12
6 60 30 18
Solución:
ix jy
ji yx
2 10 20
4 10 40
6 10 60
2 5 10
4 5 20
6 5 30
2 3 6
4 3 12
6 3 18
36 54 216
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
82
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
9
54
9
36
9
216xyS
06424 xyS
63. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.
Y
X 12 24 15
16 4 10 9
32 3 6 12
6 7 8 5
Solución:
ix jy
ji yx
16 12 192
32 12 384
6 12 72
16 24 384
32 24 768
6 24 144
16 15 240
32 15 480
6 15 90
162 153 2754
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
83
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
9
153
9
162
9
2754xyS
01718306 xyS
64. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.
Y
X 43 27 34
11 23 54 12
56 24 65 76
87 57 36 47
Solución:
ix jy
ji yx
11 43 473
56 43 2408
87 43 3741
11 27 297
56 27 1512
87 27 2349
11 34 374
56 34 1904
87 34 2958
462 312 16016
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
84
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
9
312
9
462
9
16016xyS
06667,34333,51556,1779 xyS
65. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.
Y
X 1 2 3
4 7 8 9
5 10 11 12
6 13 14 15
Solución:
ix jy
ji yx
4 1 4
5 1 5
6 1 6
4 2 8
5 2 10
6 2 12
4 3 12
5 3 15
6 3 18
45 18 90
9
18
9
45
9
90xyS
02510 xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
85
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
66. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.
Y
X 22 33 44 55
66 23 45 65 37
77 102 89 76 46
88 34 28 11 59
99 42 48 55 67
Solución:
ix jy
ji yx
66 22 1452
77 22 1694
88 22 1936
99 33 3267
66 33 2178
77 33 2541
88 44 3872
99 44 4356
66 44 2904
77 55 4235
88 55 4840
99 55 5445
990 462 38720
12
462
12
990
12
38720xyS
41667,505,385,826667,3226 xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
86
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
67. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.
Y
X 134 238 328 146
254 24 65 165 136
153 286 163 144 162
98 275 126 158 178
87 243 145 169 173
Solución:
ix jy
ji yx
254 134 34036
153 134 20502
98 134 13132
87 238 20706
254 238 60452
153 238 36414
98 328 32144
87 328 28536
254 328 83312
153 146 22338
98 146 14308
87 146 12702
1776 2538 378582
12
2538
12
1776
12
378582xyS
5,2465,2111485,31548 xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
87
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
68. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.
Y
X 21 12 54 23
22 11 18 27 43
36 25 34 38 21
33 16 24 31 16
14 19 20 29 42
Solución:
ix jy
ji yx
22 21 462
36 21 756
33 21 693
14 12 168
22 12 264
36 12 432
33 54 1782
14 54 756
22 54 1188
36 23 828
33 23 759
14 23 322
315 330 8410
12
330
12
315
12
8410xyS
042,215,2725,268333,700 xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
88
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
69. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.
Y
X 32 42 17 19
24 14 43 53 44
29 19 29 19 48
43 26 48 24 25
17 34 31 37 37
Solución:
ix jy
ji yx
24 32 768
29 32 928
43 32 1376
17 42 714
24 42 1008
29 42 1218
43 17 731
17 17 289
24 17 408
29 19 551
43 19 817
17 19 323
339 330 9131
12
330
12
339
12
9131xyS
9583,155,2725,2892,760 xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
89
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
70. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.
Y
X 47 38 52 76
16 46 27 38 63
37 44 57 28 74
26 63 37 58 37
24 25 49 53 28
Solución:
ix jy
ji yx
16 47 752
37 47 1739
26 47 1222
24 38 912
16 38 608
37 38 1406
26 52 1352
24 52 1248
16 52 832
37 76 2812
26 76 1976
24 76 1824
309 639 16683
12
639
12
309
12
16683xyS
0625,1925,5375,2525,1390 xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
90
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
71. Calcular la covarianza de la siguiente serie estadística.
Y
X 32 46 57 35
67 14 38 29 10
28 11 47 40 36
49 68 52 73 48
69 34 64 50 67
Solución
ix jy
ji yx
67 32 2144
28 32 896
49 32 1568
69 46 3174
67 46 3082
28 46 1288
49 57 2793
69 57 3933
67 57 3819
28 35 980
49 35 1715
69 35 2415
639 510 27807
12
510
12
639
12
27807xyS
125,545,4225,5325,2317 xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
91
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
72. Calcular la covarianza de los siguientes valores.
Y
X 10 5 3 in
2 4 1 2 7
4 3 3 2 8
6 2 1 1 4
jn 9 5 5 19
Solución:
ix jy
ijn ijinx
ijj ny ijji nyx
2 10 4 8 40 80
4 10 3 12 30 120
6 10 2 12 20 120
2 5 1 2 5 10
4 5 3 12 15 60
6 5 1 6 5 30
2 3 2 4 6 12
4 3 2 8 6 24
6 3 1 6 3 18
19 70 130 474
19
130
19
70
19
474xyS
26,0xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
92
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
73. Calcular la covarianza de los siguientes valores.
Y
X 6 9 10 in
4 2 4 8 14
17 12 10 9 31
8 5 6 2 13
jn 19 20 19 58
Solución:
ix jy
ijn ijinx
ijj ny ijji nyx
4 6 2 8 12 48
17 6 12 204 72 1224
8 6 5 40 30 240
4 9 4 16 36 144
17 9 10 170 90 1530
8 9 6 48 54 432
4 10 8 32 80 320
17 10 9 153 90 1530
8 10 2 16 20 160
58 687 484 5628
58
484
58
687
58
5628xyS
808,1xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
93
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
74. Calcular la covarianza de los siguientes valores.
Y
X 34 56 32 in
47 55 17 19 91
18 22 43 26 91
43 61 75 38 174
jn 138 135 83 356
Solución
ix jy
ijn ijinx
ijj ny ijji nyx
47 34 55 2585 1870 87890
18 34 22 396 748 13464
43 34 61 2623 2074 89182
47 56 17 799 952 44744
18 56 43 774 2408 43344
43 56 75 3225 4200 180600
47 32 19 893 608 28576
18 32 26 468 832 14976
43 32 38 1634 1216 52288
356 13397 14908 555064
356
14908
356
13397
356
555064xyS
7253,16xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
94
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
75. Calcular la covarianza de los siguientes valores.
Y
X 43 12 23 in
11 16 34 64 114
54 21 43 26 90
26 43 56 67 166
jn 80 133 157 370
Solución:
ix jy
ijn ijinx
ijj ny ijji nyx
11 43 16 176 688 7568
54 43 21 1134 903 48762
26 43 43 1118 1849 48074
11 12 34 374 408 4488
54 12 43 2322 516 27864
26 12 56 1456 672 17472
11 23 64 704 1472 16192
54 23 26 1404 598 32292
26 23 67 1742 1541 40066
370 10430 8647 242778
370
8647
370
10430
370
242778xyS
6322,2xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
95
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
76. Calcular la covarianza de los siguientes valores.
Y
X 37 65 47 in
11 22 35 87 144
27 65 69 22 156
19 82 65 55 202
jn 169 169 164 502
Solución:
ix jy
ijn ijinx
ijj ny ijji nyx
11 37 22 242 814 8954
27 37 65 1755 2405 64935
19 37 82 1558 3034 57646
11 65 35 385 2275 25025
27 65 69 1863 4485 121095
19 65 65 1235 4225 80275
11 47 87 957 4089 44979
27 47 22 594 1034 27918
19 47 55 1045 2585 49115
502 9634 24946 479942
502
24946
502
9634
502
479942xyS
385,2xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
96
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
77. Calcular la covarianza de los siguientes valores.
Y
X 54 64 74 in
32 21 26 35 82
79 48 58 47 153
81 43 65 87 195
jn 112 149 169 430
Solución:
ix jy
ijn ijinx
ijj ny ijji nyx
32 54 21 672 1134 36288
79 54 48 3792 2592 204768
81 54 43 3483 2322 188082
32 64 26 832 1664 53248
79 64 58 4582 3712 293248
81 64 65 5265 4160 336960
32 74 35 1120 2590 82880
79 74 47 3713 3478 274762
81 74 87 7047 6438 521478
430 30506 28090 1991714
430
28090
430
30506
430
1991714xyS
5772,2xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
97
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
78. Calcular la covarianza de los siguientes valores.
Y
X 61 24 18 in
81 53 12 24 89
95 82 58 63 203
99 8 29 55 92
jn 143 99 142 384
Solución:
ix jy
ijn ijinx
ijj ny ijji nyx
81 61 53 4293 3233 261873
95 61 82 7790 5002 475190
99 61 8 792 488 48312
81 24 12 972 288 23328
95 24 58 5510 1392 132240
99 24 29 2871 696 68904
81 18 24 1944 432 34992
95 18 63 5985 1134 107730
99 18 55 5445 990 98010
384 35602 13655 1250579
384
13655
384
35602
384
1250579xyS
1677,40xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
98
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
79. Calcular la covarianza de los siguientes valores.
Y
X 78 30 74 in
44 68 89 16 173
24 52 17 75 144
2 64 81 52 197
jn 184 187 143 514
Solución:
ix jy
ijn ijinx
ijj ny ijji nyx
44 78 68 2992 5304 233376
24 78 52 1248 4056 97344
2 78 64 128 4992 9984
44 30 89 3916 2670 117480
24 30 17 408 510 12240
2 30 81 162 2430 4860
44 74 16 704 1184 52096
24 74 75 1800 5550 133200
2 74 52 104 3848 7696
514 11462 30544 668276
514
30544
514
11462
514
668276xyS
98699,24xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
99
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Calcular la covarianza de los siguientes valores.
Y
X 10 53 88 in
41 78 37 46 161
33 23 66 85 174
13 69 83 95 247
jn 170 186 226 582
Solución:
ix jy
ijn ijinx
ijj ny ijji nyx
41 10 78 3198 780 31980
33 10 23 759 230 7590
13 10 68 884 680 8840
41 53 37 1517 1961 80401
33 53 66 2178 3498 115434
13 53 83 1079 4399 57187
41 88 46 1886 4048 165968
33 88 85 2805 7480 246840
13 88 95 1235 8360 108680
581 15541 31436 822920
581
31436
581
15541
581
822920xyS
899,30xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
100
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
80. Calcular la covarianza de los siguientes valores.
Y
X 71 17 65 in
50 50 98 94 242
16 92 97 4 193
43 98 2 21 121
jn 240 197 119 556
Solución
ix jy
ijn ijinx
ijj ny ijji nyx
50 71 50 2500 3550 177500
16 71 92 1472 6532 104512
43 71 98 4214 6958 299194
50 17 98 4900 1666 83300
16 17 97 1552 1649 26384
43 17 2 86 34 1462
50 65 94 4700 6110 305500
16 65 4 64 260 4160
43 65 21 903 1365 58695
556 20391 28124 1060707
556
28124
556
20391
556
1060707xyS
652,52xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
101
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
41.- Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de
los siguientes valores:
ix iy
2 9
4 6
6 3
Solución
ix iy
2
ix ii yx
2 9 4 18
4 6 16 24
6 3 36 18
12 18 56 60
N
i
i
N
i
i xbNay11
N
i
i
N
i
i
N
i
ii xbxaxy1
2
11
18 = 3a +12b
60 = 12a + 56b
a = 12
b = -1,5
La recta de regresión es:
y* = 12 – 1,5x
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
102
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
81. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de
los siguientes valores:
ix iy
9 13
11 5
23 18
Solución
ix iy
2
ix ii yx
9 13 81 117
11 5 121 55
23 18 529 414
43 36 731 586
N
i
i
N
i
i xbNay11
N
i
i
N
i
i
N
i
ii xbxaxy1
2
11
36 = 3a +43b
586 = 43a + 731b
a = 3,25
b = 0,61
La recta de regresión es:
y* = 3,25 – 0,61x
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
103
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
82. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de
los siguientes valores:
ix iy
24 12
87 32
88 11
43 54
Solución:
ix iy
2
ix ii yx
24 12 576 288
87 32 7569 2784
88 11 7744 968
43 54 1849 2322
242 109 17738 6362
N
i
i
N
i
i xbNay11
N
i
i
N
i
i
N
i
ii xbxaxy1
2
11
109 = 4a +242b
6362 = 242a + 17738b
a = 31,791 b = -0,075
La recta de regresión es:
y* = 31,791 – 0,075x
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
104
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
83. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de
los siguientes valores:
ix iy
17 102
67 13
45 49
98 53
Solución:
ix iy
2
ix ii yx
17 102 289 1734
67 13 4489 871
45 49 2025 2205
98 53 9604 5194
227 217 16407 10004
N
i
i
N
i
i xbNay11
N
i
i
N
i
i
N
i
ii xbxaxy1
2
11
217 = 4a +227b
10004 = 227a + 16407b
a = 91,454 b = -0,6556
La recta de regresión es:
y* = 91,454 – 0,6556x
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
105
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
84. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de
los siguientes valores:
ix iy
127 65
46 48
119 32
169 63
Solución:
ix iy
2
ix ii yx
127 65 16129 8255
46 48 2116 2208
119 32 14161 3808
169 63 28561 10647
461 208 60967 24918
N
i
i
N
i
i xbNay11
N
i
i
N
i
i
N
i
ii xbxaxy1
2
11
208 = 4a +461b
24918 = 461a + 60967b
a = 38,0878 b = 0,1207
La recta de regresión es:
y* = 38,0878 +0,1207x
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
106
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
85. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de
los siguientes valores:
ix iy
25 44
28 39
57 21
54 22
Solución:
ix iy
2
ix ii yx
25 44 625 1100
28 39 784 1092
57 21 3249 1197
54 22 2916 1188
164 126 7574 4577
N
i
i
N
i
i xbNay11
N
i
i
N
i
i
N
i
ii xbxaxy1
2
11
126 = 4a +164b
4577 = 164a + 7574b
a = 59,91 b = -0,693
La recta de regresión es:
y* = 59,91 – 0,693x
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
107
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
86. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de
los siguientes valores:
ix iy
13 11
7 10
6 9
5 8
Solución:
ix iy
2
ix ii yx
13 11 169 143
7 10 49 70
6 9 36 54
5 8 25 40
31 38 279 307
N
i
i
N
i
i xbNay11
N
i
i
N
i
i
N
i
ii xbxaxy1
2
11
38 = 4a +31b
307 = 31a + 279b
a = 7 b = 0,32
La recta de regresión es:
y* = 7 + 0,32x
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
108
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
87. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de
los siguientes valores:
ix iy
46 21
32 29
17 69
64 83
98 82
Solución:
ix iy
2
ix ii yx
46 21 2116 966
32 29 1024 928
17 69 289 1173
64 83 4096 5312
98 82 9604 8036
257 284 17129 16415
N
i
i
N
i
i xbNay11
N
i
i
N
i
i
N
i
ii xbxaxy1
2
11
284 = 5a +257b
16415 = 257a + 17129b
a = 32,96 b = 0,464
La recta de regresión es:
y* = 32,96 + 0,464x
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
109
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
88. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de
los siguientes valores:
ix iy
86 97
87 96
89 56
76 58
75 59
Solución:
ix iy
2
ix ii yx
86 97 7396 8342
87 96 7569 8352
89 56 7921 4984
76 58 5776 4408
75 59 5625 4425
413 366 34287 30511
N
i
i
N
i
i xbNay11
N
i
i
N
i
i
N
i
ii xbxaxy1
2
11
366 = 5a +413b
30511 = 413a + 34287b
a = 60,047 b = 1,613
La recta de regresión es:
y* = 60,047 +1,613x
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
110
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
89. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de
los siguientes valores:
ix iy
28 69
56 27
84 31
37 11
89 42
Solución:
ix iy
2
ix ii yx
28 69 784 1932
56 27 3136 1512
84 31 7056 2604
37 11 1369 407
89 42 7921 3738
294 180 20266 10193
N
i
i
N
i
i xbNay11
N
i
i
N
i
i
N
i
ii xbxaxy1
2
11
180= 5a +294b
10193 = 294a + 20266b
a = 43,72 b = -0,13
La recta de regresión es:
y* = 43,72 – 0,13x
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
111
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
90. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de
los siguientes valores:
ix iy
17 26
96 74
45 19
43 8
9 28
Solución:
ix iy
2
ix ii yx
17 26 289 442
96 74 9216 7104
45 19 2025 855
43 8 1849 344
9 28 81 252
210 155 13460 8997
N
i
i
N
i
i xbNay11
N
i
i
N
i
i
N
i
ii xbxaxy1
2
11
155= 5a +210b
8997 = 210a + 13460b
a = 8,488 b = 0,536
La recta de regresión es:
y* = 8,488 + 0,536x
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
112
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
91. Calcular, mediante el método de los mínimos cuadrados, la recta de regresión de
los siguientes valores:
ix iy
65 48
64 98
87 105
77 39
37 42
Solución:
ix iy
2
ix ii yx
65 48 4225 3120
64 98 4096 6272
87 105 7569 9135
77 39 5929 3003
37 42 1369 1554
330 332 23188 23084
N
i
i
N
i
i xbNay11
N
i
i
N
i
i
N
i
ii xbxaxy1
2
11
332= 5a +330b
23084 = 330a + 23188b
a = 11,4625 b = 0,832
La recta de regresión es:
y* = 11,4625 + 0,832x
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
113
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
92. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la variable
x como dependiente y la variable y como independiente.
ix iy
2 9
4 6
6 3
Solución:
ix iy
2
iy ii yx
2 9 81 18
4 6 36 24
6 3 9 18
12 18 126 60
N
i
i
N
i
i ybNax11
''
N
i
i
N
i
i
N
i
ii ybyayx1
2
11
''
12= 3a’ +b’18
60 = a’18 + b’126
a’ = 7,96 b’ = -0,66
La recta de regresión es:
x* = 7,96 – 0,66y
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
114
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
93. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la variable
x como dependiente y la variable y como independiente.
ix iy
9 13
11 5
23 18
Solución:
ix iy
2
iy ii yx
9 13 169 117
11 5 25 55
23 18 324 414
43 36 518 586
N
i
i
N
i
i ybNax11
''
N
i
i
N
i
i
N
i
ii ybyayx1
2
11
''
3a’ +36b’ =43
36a’+ 518b’=586
a’ = 4,566 b’ = 0,814
La recta de regresión es:
x* = 4,566 + 0,814y
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
115
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
94. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la variable
x como dependiente y la variable y como independiente.
ix iy
24 12
87 32
88 11
43 54
Solución:
ix iy
2
iy ii yx
24 12 144 288
87 32 1024 2784
88 11 121 968
43 54 2916 2322
242 109 4205 6362
N
i
i
N
i
i xybNa11
''
N
i
ii
N
i
i
N
i
i yxybya11
2
1
''
4a’ +109b’ =242
109a’+ 4205b’=6362
a’ = 65,63 b’ = - 0,188
La recta de regresión es:
x* = 65,63 – 0,188y
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
116
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
95. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la variable
x como dependiente y la variable y como independiente.
ix iy
127 65
46 48
119 32
169 63
Solución:
ix iy
2
iy ii yx
127 65 4225 8255
46 48 2304 2208
119 32 1024 3808
169 63 3969 10647
461 208 11522 24918
N
i
i
N
i
i xybNa11
''
N
i
ii
N
i
i
N
i
i yxybya11
2
1
''
4a’ +208b’ =461
208a’+ 11522b’=24918
a’ = 45,573 b’ = 1,334
La recta de regresión es:
x* = 45,573 + 1,334y
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
117
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
96. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la variable
x como dependiente y la variable y como independiente.
ix iy
25 44
28 39
57 21
54 22
Solución:
ix iy
2
iy ii yx
25 44 1936 1100
28 39 1521 1092
57 21 441 1197
54 22 484 1188
164 126 4382 4577
N
i
i
N
i
i xybNa11
''
N
i
ii
N
i
i
N
i
i yxybya11
2
1
''
4a’ +126b’ =164
126a’+ 4382b’=4577
a’ = 85,92 b’ = -1,426
La recta de regresión es:
x* = 85,92 – 1,426y
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
118
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
97. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la variable
x como dependiente y la variable y como independiente.
ix iy
13 11
7 10
6 9
5 8
Solución:
ix iy
2
iy ii yx
13 11 121 143
7 10 100 70
6 9 81 54
5 8 64 40
31 38 366 307
N
i
i
N
i
i xybNa11
''
N
i
ii
N
i
i
N
i
i yxybya11
2
1
''
4a’ +38b’ =31
38a’+ 366b’=307
a’ = -16 b’ = 2,5
La recta de regresión es:
x* = - 16 + 2,5y
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
119
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
98. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la variable
x como dependiente y la variable y como independiente.
ix iy
46 21
32 29
17 69
64 83
98 82
Solución:
ix iy
2
iy ii yx
46 21 441 966
32 29 841 928
17 69 4761 1173
64 83 6889 5312
98 82 6724 8036
257 284 19656 16415
N
i
i
N
i
i xybNa11
''
N
i
ii
N
i
i
N
i
i yxybya11
2
1
''
5a’ +284b’ =257
284a’+ 19656b’=16415
a’ = 22,114 b’ = 0,516
La recta de regresión es:
x* = 22,114 +0,516y
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
120
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
99. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la variable
x como dependiente y la variable y como independiente.
ix iy
86 97
87 96
89 56
76 58
75 59
Solución:
ix iy
2
iy ii yx
86 97 9409 8342
87 96 9216 8352
89 56 3136 4984
76 58 3364 4408
75 59 3481 4425
413 366 28606 30511
N
i
i
N
i
i xybNa11
''
N
i
ii
N
i
i
N
i
i yxybya11
2
1
''
5a’ +366b’ =413
366a’+ 28606b’=30511
a’ = 71,33 b’ = 0,154
La recta de regresión es:
x* = 71,33 +0,154y
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
121
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
100. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la
variable x como dependiente y la variable y como independiente.
ix iy
28 69
56 27
84 31
37 11
89 42
Solución:
ix iy
2
iy ii yx
28 69 4761 1932
56 27 729 1512
84 31 961 2604
37 11 121 407
89 42 1764 3738
294 180 8336 10193
N
i
i
N
i
i xybNa11
''
N
i
ii
N
i
i
N
i
i yxybya11
2
1
''
5a’ +180b’ =294
180a’+ 8336b’=10193
a’ = 66,384 b’ = - 0,21
La recta de regresión es:
x* = 66,384 -0,21y
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
122
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
101. Calcular la recta de regresión de los siguientes valores, considerando la
variable x como dependiente y la variable y como independiente.
ix iy
65 48
64 98
87 105
77 39
37 42
Solución:
ix iy
2
iy ii yx
65 48 2304 3120
64 98 9604 6272
87 105 11025 9135
77 39 1521 3003
37 42 1764 1554
330 332 26218 23084
N
i
i
N
i
i xybNa11
''
N
i
ii
N
i
i
N
i
i yxybya11
2
1
''
5a’ +332b’ =330
332a’+ 26218b’=23084
a’ = 47,3522 b’ = 0,28
La recta de regresión es:
x* = 47,3522 +0,28y
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
123
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
102. Calcular la varianza residual de los siguientes valores:
ix iy
2 9
4 6
6 3
Solución:
a) Si consideramos la variable x como variable independiente, y la recta de
regresión es y* = 12 – 1,5x, con lo cual:
ix iy
2
iy ii yx
2 9 81 18
4 6 36 24
6 3 9 18
12 18 126 60
03
60)5,1(18121262
es
Nos indica que existe una dependencia perfecta entre las variables x e y.
b) si consideramos la variable x como dependiente, resultaba una línea de regresión
x* = 7,96 – 0,66y
ix iy
2
ix ii yx
2 9 4 18
4 6 16 24
6 3 36 18
12 18 56 60
0026,03
60)66,0(1296,756'2
es
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
124
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
103. Calcular la varianza residual de los siguientes valores:
ix iy
9 13
11 5
23 18
Solución:
a) si consideramos la variable x como variable independiente, y la recta de
regresión es y* = 3,25 – 0,61x , con lo cual:
ix iy
2
iy ii yx
9 13 169 117
11 5 25 55
23 18 324 414
43 36 518 586
82,2523
586)61,0(3625,35182
es
b) si consideramos la variable x como dependiente, nos quedaba una línea de
regresión x* = 4,566 + 0,814y
ix iy
2
ix ii yx
9 13 81 117
11 5 121 55
23 18 529 414
43 36 731 586
22,193
586)814,0(43566,4731'2
es
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
125
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
104. Calcular la varianza residual de los siguientes valores:
ix iy
24 12
87 32
88 11
43 54
Solución:
a) si consideramos la variable x como variable independiente, y la recta de
regresión es y* = 31,791 – 0,075x , con lo cual:
ix iy
2
iy ii yx
24 12 144 288
87 32 1024 2784
88 11 121 968
43 54 2916 2322
242 109 4205 6362
233,3044
6362)075,0(109791,3142052
es
a) si consideramos la variable x como dependiente, nos quedaba una línea de
regresión x* = 65,63 – 0,188y
ix iy
2
ix ii yx
24 12 576 288
87 32 7569 2784
88 11 7744 968
43 54 1849 2322
242 109 17738 6362
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
126
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
899,7624
6362)188,0(24263,6517738'2
es
105. Calcular la varianza residual de los siguientes valores:
ix iy
127 65
46 48
119 32
169 63
Solución:
a) si consideramos la variable x como variable independiente, y la recta de
regresión es y* = 91,454 – 0,6556x, con lo cual
ix iy
2
iy ii yx
127 65 4225 8255
46 48 2304 2208
119 32 1024 3808
169 63 3969 10647
461 208 11522 24918
9522,22084
24918)6556,0(208454,91115222
es
b) si consideramos la variable x como dependiente, nos quedaba una línea de regresión
x* = 45,573 + 1,334y
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
127
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
ix iy
2
ix ii yx
17 102 289 1734
67 13 4489 871
45 49 2025 2205
98 53 9604 5194
227 217 16407 10004
85,18204
10004)334,1(227573,4516407'2
es
106. Calcular la varianza residual de los siguientes valores:
ix iy
25 44
28 39
57 21
54 22
Solución:
a) Si consideramos la variable x como variable independiente, y la recta de
regresión es y* = 59,91 – 0,693x, con lo cual:
ix iy
2
iy ii yx
25 44 1936 1100
28 39 1521 1092
57 21 441 1197
54 22 484 1188
164 126 4382 4577
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
128
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
3,14
4577)693,0(12691,5943822
es
b) si consideramos la variable x como dependiente, nos quedaba una línea
de regresión x* = 85,92 – 1,426y
ix iy
2
ix ii yx
25 44 625 1100
28 39 784 1092
57 21 3249 1197
54 22 2916 1188
164 126 7574 4577
48,24
4577)426,1(16492,857574'2
es
107. Calcular la varianza residual de los siguientes valores:
ix iy
13 11
7 10
6 9
5 8
Solución:
a) si consideramos la variable x como variable independiente, y la recta de
regresión es y* = 7 + 0,32x, con lo cual:
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
129
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
ix iy
2
iy ii yx
13 11 121 143
7 10 100 70
6 9 81 54
5 8 64 40
31 38 366 307
44,04
307)32,0(3873662
es
b) si consideramos la variable x como dependiente, nos quedaba una línea
de regresión x* = - 16 + 2,5y
ix iy
2
ix ii yx
13 11 169 143
7 10 49 70
6 9 36 54
5 8 25 40
31 38 279 307
875,14
307)5,2(31)16(279'2
es
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
130
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
108. Calcular la varianza residual de los siguientes valores:
ix iy
46 21
32 29
17 69
64 83
98 82
Solución:
a) si consideramos la variable x como variable independiente, y la recta de
regresión es y* = 32,96 + 0,464x, con lo cual:
ix iy
2
iy ii yx
46 21 441 966
32 29 841 928
17 69 4761 1173
64 83 6889 5312
98 82 6724 8036
257 284 19656 16415
76,5355
16415)464,0(28496,32196562
es
b) si consideramos la variable x como dependiente, nos quedaba una línea
de regresión x* = 22,114 +0,516y
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
131
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
ix iy
2
ix ii yx
46 21 2116 966
32 29 1024 928
17 69 289 1173
64 83 4096 5312
98 82 9604 8036
257 284 17129 16415
1124,5955
16415516,0257114,2217129'2
es
109. Calcular la varianza residual de los siguientes valores:
ix iy
86 97
87 96
89 56
76 58
75 59
Solución:
a) si consideramos la variable x como variable independiente, y la recta de
regresión es y* = 60,047 +1,613x, con lo cual:
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
132
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
ix iy
2
iy ii yx
86 97 9409 8342
87 96 9216 8352
89 56 3136 4984
76 58 3364 4408
75 59 3481 4425
413 366 28606 30511
089,85175
30511)613,1(366047,60286062
es
b) si consideramos la variable x como dependiente, nos quedaba una línea
de regresión x* = 71,33 +0,154y
ix iy
2
ix ii yx
86 97 7396 8342
87 96 7569 8352
89 56 7921 4984
76 58 5776 4408
75 59 5625 4425
413 366 34287 30511
8032,255
30511154,041333,7134287'2
es
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
133
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
110. Calcular la varianza residual de los siguientes valores:
ix iy
28 69
56 27
84 31
37 11
89 42
Solución:
a) si consideramos la variable x como variable independiente, y la recta de
regresión es y* = 43,72 – 0,13x, con lo cual:
ix iy
2
iy ii yx
28 69 4761 1932
56 27 729 1512
84 31 961 2604
37 11 121 407
89 42 1764 3738
294 180 8336 10193
298,3585
10193)13,0(18072,4383362
es
b) si consideramos la variable x como dependiente, nos quedaba una línea
de regresión x* = 66,384 -0,21y
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
134
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
ix iy
2
ix ii yx
28 69 784 1932
56 27 3136 1512
84 31 7056 2604
37 11 1369 407
89 42 7921 3738
294 180 20266 10193
9268,5775
10193)21,0(294384,6620266'2
es
111. Las alturas (X) y los pesos (Y) de 15 hombres son los siguientes:
X Y
1,70 77
1,68 69
1,59 76
1,65 60
1,81 70
1,90 87
1,72 78
1,56 67
1,66 66
1,78 77
1,66 64
1,91 84
1,88 91
1,73 90
1,71 83
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
135
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Hallar las medidas aritméticas y las desviaciones estándar marginales.
Solución:
Distribución marginal de X:
ii LL 1 in ix
ii nx ii nx 2
1,56-1,61 2 1,585 3,17 5,02445
1,61-1,66 1 1,635 1,635 2,673225
1,66-1,71 4 1,685 6,74 11,3569
1,71-1,76 3 1,735 5,205 9,030675
1,76-1,81 1 1,785 1,785 3,186225
1,81-1,86 1 1,835 1,835 3,367225
1,86-1,91 2 1,885 3,77 7,10645
1,91-1,96 1 1,935 1,935 3,744225
Total 15 26,075 45,489375
7383,115
075,26x
01086,015
075,26
15
4899375,452
2
xs
1042,0xs
Distribución marginal de Y:
ii LL 1 in iy
ii ny ii ny 2
60-65 2 62,5 125 7812,5
65-70 3 67,5 202,5 13668,75
70-75 1 72,5 72,5 5256,25
75-80 4 77,5 310 24025
80-85 2 82,5 165 13612,5
85-90 1 87,5 87,5 7656,25
90-95 2 92,5 185 17112,5
Total 15 1147,5 89143,75
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
136
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
5,7615
5,1147y
67,9015
5,1147
15
75,891432
2
ys
ys
9,522
112. Las alturas (X) y los pesos (Y) de 15 niños son los siguientes:
X Y
1,39 40
1,32 30
1,23 27
1,26 24
1,15 17
1,40 40
1,36 35
1,27 27
1,26 25
1,11 12
1,18 20
1,26 30
1,34 32
1,19 21
1,20 20
Hallar las medidas aritméticas y las desviaciones estándar marginales.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
137
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
Distribución marginal de X:
ii LL 1 in ix
ii nx ii nx 2
1,11 – 1,16 2 1,135 2,27 2,57645
1,16 – 1,21 3 1,185 3,555 4,212675
1,21 - 1,26 1 1,235 1,235 1,525225
1,26 – 1,31 4 1,285 5,14 6,6049
1,31 – 1,36 2 1,335 2,67 3,56445
1,36 – 1,41 3 1,385 4,155 5,754675
Total 15 19,025 24,238375
2683,115
025,19x
30072222222,015
025,19
15
238375,242
2
xs
xs
0,085
Distribución marginal de Y:
ii LL 1 in iy
ii ny ii ny 2
12 – 17 1 14,5 14,5 210,25
17 – 22 4 19,5 78 1521
22 – 27 2 24,5 49 1200,5
27 – 32 4 29,5 118 3481
32 – 37 2 34,5 69 2380,5
37 - 42 2 39,5 79 3120,5
Total 15 407,5 11913,75
167,2715
5,407y
222,5615
5,407
15
75,119132
2
ys
ys
7,498
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
138
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
113. Las alturas (X) y calzado (Y) de 15 mujeres son los siguientes:
X Y
1,49 35
1,60 37
1,56 37
1,62 38
1,71 40
1,68 39
1,59 37
1,55 36
1,64 38
1,73 40
1,53 37
1,50 36
1,56 37
1,57 36
1,66 39
Hallar las medidas aritméticas y las desviaciones estándar marginales.
Solución:
Distribución marginal de X:
ii LL 1 in ix
ii nx ii nx 2
1,49 – 1,54 3 1,515 4,545 6,885675
1,54 – 1,59 4 1,565 6,26 9,7969
1,59 – 1,64 3 1,615 4,845 7,824675
1,64 – 1, 69 3 1,665 4,995 8,316675
1,69 – 1,74 2 1,715 3,43 5,88245
Total 15 24,075 38,706375
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
139
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
605,115
075,24x
0044,015
075,24
15
706375,382
2
xs
xs
0,066332495
Distribución marginal de Y:
ii LL 1 in iy
ii ny ii ny 2
35 – 37 4 36 144 5184
37 – 39 7 38 266 10108
39 - 41 4 40 160 6400
Total 15 570 21692
3815
570y
133,215
570
15
216922
2
ys
ys
1,46
114. Las alturas (X) y calzado (Y) de 15 hombres son los siguientes:
X Y X Y
1,70 41 1,90 46
1,77 43 1,64 39
1,68 40 1,71 42
1,65 39 1,73 42
1,59 38 1,87 45
1,80 44 1,79 44
1,72 43 1,69 40
1,85 45
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
140
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Hallar las medidas aritméticas y las desviaciones estándar marginales.
Solución:
Distribución marginal de X:
ii LL 1 in ix
ii nx ii nx 2
1,59 – 1,64 1 1,615 1,615 2,608225
1,64 – 1,69 3 1,665 4,995 8,316675
1,69 – 1,74 5 1,715 8,575 14,706125
1,74 – 1,79 1 1,765 1,765 3,115225
1,79 – 1,84 2 1,815 3,63 6,58845
1,84 – 1,89 2 1,865 3,73 6,95645
1,89 – 1,94 1 1,915 1,915 3,667225
Total 15 26,225 45,958375
75,115
225,26x
40072222222,015
225,26
15
958375,452
2
xs
xs
0,085
Distribución marginal de Y
ii LL 1 in iy
ii ny ii ny 2
38 – 40 3 39 117 4563
40 – 42 3 41 123 5043
42 - 44 4 43 172 7396
44 - 46 4 45 180 8100
46 - 48 1 47 47 2209
Total 15 639 27311
6,4215
639y
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
141
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
973,515
639
15
273112
2
ys
ys
2,444
115. Las alturas (X) y calzado (Y) de 15 niños son los siguientes:
X Y
X Y
1,15 23 1,41 33
1,12 22 1,37 30
1,26 27 1,18 24
1,23 25 1,22 28
1,34 30 1,10 21
1,33 29 1,26 28
1,29 26 1,30 29
1,38 32
Hallar las medidas aritméticas y las desviaciones estándar marginales.
Solución:
Distribución marginal de X:
ii LL 1 in ix
ii nx ii nx 2
1,10 – 1,15 2 1,125 2,25 2,53125
1,15 – 1,20 2 1,175 2,35 2,76125
1,20 – 1,25 2 1,225 2,45 3,00125
1,25 – 1,30 3 1,275 3,825 4,876875
1,30 – 1,35 3 1,325 3,975 5,266875
1,35 – 1,40 2 1,375 2,75 3,78125
1,40 -1,45 1 1,425 1,425 2,030625
Total 15 19,025 24,249375
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
142
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
2683,115
025,19x
60079555555,015
025,19
15
249375,242
2
xs
xs
0,0892
Distribución marginal de Y:
ii LL 1 in iy
ii ny ii ny 2
21 – 26 5 23,5 117,5 2761,25
26 -31 8 28,5 228 6498
31 -36 2 33,5 67 2244,5
Total 15 412,5 11503,75
5,2715
5,412y
66666667,1015
5,412
15
75,115032
2
ys
ys
3,266
116. Las alturas (X) y calzado (Y) de 13 mujeres son los siguientes:
X Y
X Y
1,71 41 1,68 39
1,62 37 1,60 37
1,63 37 1,55 36
1,54 36 1,70 39
1,49 35 1,66 38
1,75 41 1,69 38
1,67 40
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
143
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Hallar las medidas aritméticas y las desviaciones estándar marginales.
Solución:
Distribución marginal de X:
ii LL 1 in ix
ii nx ii nx 2
1,49 – 1,54 1 1,515 1,515 2,295225
1,54 – 1,59 2 1,565 3,13 4,89845
1,59 – 1,64 3 1,615 4,845 7,824675
1,64 – 1,69 3 1,665 4,995 8,316675
1,69 – 1,74 3 1,715 5,145 8,823675
1,74 – 1,79 1 1,765 1,765 3,115225
Total 13 21,395 35,273925
65,113
395,21x
0048,013
395,21
13
273925,352
2
xs
xs
0,069
Distribución marginal de Y:
ii LL 1 in iy
ii ny ii ny 2
35 – 37 3 36,5 109,5 3996,75
37 – 39 5 39,5 197,5 7801,25
39 – 41 3 42,5 127,5 5418,75
41 - 43 2 45,5 91 4140,5
Total 13 525,5 21357,25
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
144
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
423,4013
5,525y
84,813
5,525
13
25,213572
2
ys
ys
2,973
117. Las alturas (X) y calzado (Y) de 13 hombres son los siguientes:
X Y
X Y
1,84 46 1,69 42
1,74 43 1,75 44
1,64 40 1,77 45
1,68 40 1,78 44
1,72 41 1,80 46
1,60 38 1,67 43
1,59 38
Hallar las medidas aritméticas y las desviaciones estándar marginales.
Solución:
Distribución marginal de X:
ii LL 1 in ix
ii nx ii nx 2
1,59 – 1,64 2 1,615 3,23 5,21645
1,64 – 1,69 3 1,665 4,995 8,316675
1,69 – 1,74 2 1,715 3,43 5,88245
1,74 – 1,79 4 1,765 7,06 12,4609
1,79 – 1,84 1 1,815 1,815 3,294225
1,84 – 1,89 1 1,865 1,865 3,478225
Total 13 22,395 38,648925
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
145
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
723,113
395,22x
005325,013
395,22
13
648925,382
2
xs
xs
0,073
Distribución marginal de Y:
ii LL 1 in iy
ii ny ii ny 2
38 – 40 2 39 78 3042
40 – 42 3 41 123 5043
42 – 44 3 43 129 5547
44 – 46 3 45 135 6075
46 - 47 2 47 94 4418
Total 13 559 24125
4313
559y
77,613
559
13
241252
2
ys
ys
2,6
118. Las alturas (X) y calzado (Y) de 13 niños son los siguientes:
X Y
X Y
1,11 21 1,27 28
1,09 20 1,18 24
1,10 20 1,12 22
1,21 28 1,29 27
1,23 27 1,18 23
1,32 30 1,28 29
1,26 29
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
146
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Hallar las medidas aritméticas y las desviaciones estándar marginales.
Solución:
Distribución marginal de X:
ii LL 1 in ix
ii nx ii nx 2
1,09 – 1,14 4 1,115 4,46 4,9729
1,14 – 1,19 2 1,165 2,33 2,71445
1,19 – 1,24 2 1,215 2,43 2,95245
1,24 – 1,29 3 1,265 3,795 4,800675
1,29 – 1,34 2 1,315 2,63 3,45845
Total 13 15,645 18,898925
203,113
645,15x
00544,013
645,15
13
898925,182
2
xs
xs
0,073
Distribución marginal de Y:
ii LL 1 in iy
ii ny ii ny 2
20 – 22 3 21 63 1323
22 – 24 2 23 46 1058
24 - 26 1 25 25 625
26 - 28 2 27 54 1458
28 – 30 4 29 116 3364
30 - 32 1 31 31 961
Total 13 335 8789
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
147
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
769,2513
335y
024,1213
335
13
87892
2
ys
ys
3,47
119. Las alturas (X) y calzado (Y) de 13 mujeres son los siguientes:
X Y
X Y
1,67 39 1,64 36
1,59 37 1,70 39
1,55 37 1,71 40
1,56 36 1,52 36
1,54 36 1,61 37
1,68 38 1,66 38
1,63 37
Hallar las medidas aritméticas y las desviaciones estándar marginales.
Solución:
Distribución marginal de X:
ii LL 1 in ix
ii nx ii nx 2
1,52 – 1,57 4 1,545 6,18 9,5481
1,57 – 1,62 2 1,595 3,19 5,08805
1,62 – 1,67 3 1,645 4,935 8,118075
1,67 – 1,72 4 1,695 6,78 11,4921
Total 13 21,085 34,246325
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
148
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
622,113
085,21x
003698,013
085,21
13
246325,342
2
xs
xs
0,061
Distribución marginal de Y:
ii LL 1 in iy
ii ny ii ny 2
36 – 38 8 37 296 10952
38 – 40 4 39 156 6084
40 – 42 1 41 41 1681
Total 13 493 18717
923,3713
493y
61,113
493
13
187172
2
ys
ys
1,27
120. Las alturas (X) y peso (Y) de 13 hombres son los siguientes:
X Y
X Y
1,82 78 1,73 66
1,75 77 1,82 72
1,68 70 1,80 89
1,79 69 1,79 92
1,60 60 1,74 80
1,77 60 1,71 61
1,76 76
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
149
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Hallar las medidas aritméticas y las desviaciones estándar marginales.
Solución:
Distribución marginal de X:
ii LL 1 in ix
ii nx ii nx 2
1,60 – 1,65 1 1,625 1,625 2,640625
1,65 – 1,70 1 1,675 1,675 2,805625
1,70 – 1,75 3 1,725 5,175 8,926875
1,75 – 1,80 5 1,775 8,875 15,753125
1,80 – 1,85 3 1,825 5,475 9,991875
Total 13 22,825 40,118125
75577,113
825,22x
003284,013
825,22
13
118125,402
2
xs
xs
0,0573
Distribución marginal de Y:
ii LL 1 in iy
ii ny ii ny 2
60 – 65 3 62,5 187,5 11718,75
65 – 70 2 67,5 135 9112,5
70 – 75 2 72,5 145 10512,5
75 – 80 3 77,5 232,5 18018,75
80 – 85 1 82,5 82,5 6806,25
85 – 90 1 87,5 87,5 7656,25
90 – 95 1 92,5 92,5 8556,25
Total 13 962,5 72381,25
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
150
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
038,7413
5,962y
095,8613
5,962
13
25,723812
2
ys
ys
9,28
121. De dos variables observadas conjuntamente, se ha obtenido la siguiente
tabla de doble entrada:
X
Y
[0-20[
[20-40[
[40-60[
[60-80]
3 4 ------------- 3 7
5 2 7 8 ------------
7 6 3 4 8
Calcular la covarianza entre las variables X e Y.
Solución:
iy ix
in ii nx
ii ny iii nyx
3 10 4 40 12 120
3 50 3 150 9 450
3 70 7 490 21 1470
5 10 2 20 10 100
5 30 7 210 35 1050
5 50 8 400 40 2000
7 10 6 60 42 420
7 30 3 90 21 630
7 50 4 200 28 1400
7 70 8 560 56 3920
Total 52 2220 274 11560
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
151
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
N
ny
N
nx
N
nyxs
iiiiiii
xy
Reemplazando los valores correspondientes
65,252
274
52
2220
52
11560xys
Por lo tanto la covarianza entre las variables X e Y es -2,65 aproximadamente.
122. De dos variables observadas conjuntamente, se ha obtenido la siguiente
tabla de doble entrada:
X
Y [0-5[ [5-10[ [10-15[ [15-20]
2 1 2 4 1
3 4 6 8 6
4 3 5 3 2
Calcular la covarianza entre las variables X e Y.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
152
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
iy ix
in ii nx
ii ny iii nyx
2 2,5 1 2,5 2 5
2 7,5 2 15 4 30
2 12,5 4 50 8 100
2 17,5 1 17,5 2 35
3 2,5 4 10 12 30
3 7,5 6 45 18 135
3 12,5 8 100 24 300
3 17,5 6 105 18 315
4 2,5 3 7,5 12 30
4 7,5 5 37,5 20 150
4 12,5 3 37,5 12 150
4 17,5 2 35 8 140
Total 45 462,5 140 1420
N
ny
N
nx
N
nyxs
iiiiiii
xy
Reemplazando los valores correspondientes
42,045
140
45
5,462
45
1420xys
Por lo tanto la covarianza entre las variables X e Y es -0,42 aproximadamente.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
153
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
123. De dos variables observadas conjuntamente, se ha obtenido la siguiente
tabla de doble entrada:
X
Y [0 – 15[ [15 – 30[ [30 – 45[ [45 – 60]
7 4 7 1 1
8 3 4 5 8
9 8 9 2 4
Calcular la covarianza entre las variables X e Y.
Solución:
iy ix
in ii nx
ii ny iii nyx
7 7,5 4 30 28 210
7 22,5 7 157,5 49 1102,5
7 37,5 1 37,5 7 262,5
7 52,5 1 52,5 7 367,5
8 7,5 3 22,5 24 180
8 22,5 4 90 32 720
8 37,5 5 187,5 40 1500
8 52,5 8 420 64 3360
9 7,5 8 60 72 540
9 22,5 9 202,5 81 1822,5
9 37,5 2 75 18 675
9 52,5 4 210 36 1890
Total 56 1545 458 12630
N
ny
N
nx
N
nyxs
iiiiiii
xy
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
154
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Reemplazando los valores correspondientes
10523,056
458
56
1545
56
12630xys
Por lo tanto la covarianza entre las variables X e Y es -0,10523 aproximadamente.
124. De dos variables observadas conjuntamente, se ha obtenido la siguiente
tabla de doble entrada:
X
Y [0 – 10[ [10 – 20[ [20 – 30[ [30 – 40[ [40 – 50]
5 2 4 1 -----------
- 2
6 7 8 ----------- 3 6
7 9 ------------ 10 12 12
8 ---------- 7 9 6 11
Calcular la covarianza entre las variables X e Y.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
155
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
iy ix
in ii nx
ii ny iii nyx
5 5 2 10 10 50
5 15 4 60 20 300
5 25 1 25 5 125
5 45 2 90 10 450
6 5 7 35 42 210
6 15 8 120 48 720
6 35 3 105 18 630
6 45 6 270 36 1620
7 5 9 45 63 315
7 25 10 250 70 1750
7 35 12 420 84 2940
7 45 12 540 84 3780
8 15 7 105 56 840
8 25 9 225 72 1800
8 35 6 210 48 1680
8 45 11 495 88 3960
Total 109 3005 754 21170
N
ny
N
nx
N
nyxs
iiiiiii
xy
Reemplazando los valores correspondientes
5149,3109
754
109
3005
109
21170xys
Por lo tanto la covarianza entre las variables X e Y es 3,5149 aproximadamente.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
156
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
125. De dos variables observadas conjuntamente, se ha obtenido la siguiente
tabla de doble entrada:
X
Y
[0 – 15[ [15 – 30[ [30 – 45[ [45 – 60[ [60 – 75]
10 12 16 21 23 12
20 24 --------- -------- 14 25
30 --------- 6 30 5 32
40 22 11 3 --------- 9
Calcular la covarianza entre las variables X e Y.
Solución:
iy ix
in ii nx
ii ny iii nyx
10 7,5 12 90 120 900
10 22,5 16 360 160 3600
10 37,5 21 787,5 210 7875
10 52,5 23 1207,5 230 12075
10 67,5 12 810 120 8100
20 7,5 24 180 480 3600
20 52,5 14 735 280 14700
20 67,5 25 1687,5 500 33750
30 22,5 6 135 180 4050
30 37,5 30 1125 900 33750
30 52,5 5 262,5 150 7875
30 67,5 32 2160 960 64800
40 7,5 22 165 880 6600
40 22,5 11 247,5 440 9900
40 37,5 3 112,5 120 4500
40 67,5 9 607,5 360 24300
Total 265 10672,5 6090 240375
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
157
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
N
ny
N
nx
N
nyxs
iiiiiii
xy
Reemplazando los valores correspondientes
53,925265
6090
265
5,10672
265
240375xys
Por lo tanto la covarianza entre las variables X e Y es 925,53 aproximadamente.
126. De dos variables observadas conjuntamente, se ha obtenido la siguiente
tabla de doble entrada:
X
Y [0 – 20[ [20 – 40[ [40 – 60[ [60 – 80[ [80 – 100]
5 27 26 17 12 1
15 32 -------- 32 -------- 27
25 ------- 25 -------- 8 34
35 14 3 28 19 10
Calcular la covarianza entre las variables X e Y.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
158
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
iy ix
in ii nx
ii ny iii nyx
5 10 27 270 135 1350
5 30 26 780 130 3900
5 50 17 850 85 4250
5 70 12 840 60 4200
5 90 1 90 5 450
15 10 32 320 480 4800
15 50 32 1600 480 24000
15 90 27 2430 405 36450
25 30 25 750 625 18750
25 70 8 560 200 14000
25 90 34 3060 850 76500
35 10 14 140 490 4900
35 30 3 90 105 3150
35 50 28 1400 980 49000
35 70 19 1330 665 46550
35 90 10 900 350 31500
Total 315 15410 6045 323750
N
ny
N
nx
N
nyxs
iiiiiii
xy
Reemplazando los valores correspondientes
967,88315
6045
315
15410
315
323750xys
Por lo tanto la covarianza entre las variables X e Y es 88,967 aproximadamente.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
159
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
127. De dos variables observadas conjuntamente, se ha obtenido la siguiente
tabla de doble entrada:
X
Y [0 – 30[ [30 – 60[ [60 – 90[ [90 – 120[ [120 – 150]
21 --------- 41 ---------- 16 36
22 6 23 32 8 46
23 17 11 26 --------- 24
24 10 16 37 1 --------
Calcular la covarianza entre las variables X e Y.
Solución:
iy ix
in ii nx
ii ny iii nyx
21 45 41 1845 861 38745
21 105 16 1680 336 35280
21 135 36 4860 756 102060
22 15 6 90 132 1980
22 45 23 1035 506 22770
22 75 32 2400 704 52800
22 105 8 840 176 18480
22 135 46 6210 1012 136620
23 15 17 255 391 5865
23 45 11 495 253 11385
23 75 26 1950 598 44850
23 135 24 3240 552 74520
24 15 10 150 240 3600
24 45 16 720 384 17280
24 75 37 2775 888 66600
24 105 1 105 24 2520
Total 350 28650 7813 635355
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
160
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
N
ny
N
nx
N
nyxs
iiiiiii
xy
Reemplazando los valores correspondientes
9853,11350
7813
350
28650
350
635355xys
Por lo tanto la covarianza entre las variables X e Y es -11,9853 aproximadamente.
128. De dos variables observadas conjuntamente, se ha obtenido la siguiente
tabla de doble entrada:
X
Y [0-10[ [10-20[ [20-30[ [30-40]
17 26 26 -------- 27
23 ------- 27 5 43
28 11 11 32 -------
34 ------- 7 22 1
41 12 10 ------- 2
Calcular la covarianza entre las variables X e Y.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
161
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
iy ix
in ii nx
ii ny iii nyx
17 5 26 130 442 2210
17 15 26 390 442 6630
17 35 27 945 459 16065
23 15 27 405 621 9315
23 25 5 125 115 2875
23 35 43 1505 989 34615
28 5 11 55 308 1540
28 15 11 165 308 4620
28 25 32 800 896 22400
34 15 7 105 238 3570
34 25 22 550 748 18700
34 35 1 35 34 1190
41 5 12 60 492 2460
41 15 10 150 410 6150
41 35 2 70 82 2870
Total 262 5490 6584 135210
N
ny
N
nx
N
nyxs
iiiiiii
xy
Reemplazando los valores correspondientes
51,10262
6584
262
5490
262
135210xys
Por lo tanto la covarianza entre las variables X e Y es -10,51 aproximadamente.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
162
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
129. De dos variables observadas conjuntamente, se ha obtenido la siguiente
tabla de doble entrada:
X
Y [0 – 5[ [5 – 10[ [10 -15[ [15 – 20]
1 ------- 7 8 9
2 3 ------- 6 1
3 4 9 ------- 2
4 7 1 ------- --------
5 2 3 4 6
Calcular la covarianza entre las variables X e Y.
Solución:
iy ix
in ii nx
ii ny iii nyx
1 7,5 7 52,5 7 52,5
1 12,5 8 100 8 100
1 17,5 9 157,5 9 157,5
2 2,5 3 7,5 6 15
2 12,5 6 75 12 150
2 17,5 1 17,5 2 35
3 2,5 4 10 12 30
3 7,5 9 67,5 27 202,5
3 17,5 2 35 6 105
4 2,5 7 17,5 28 70
4 7,5 1 7,5 4 30
5 2,5 2 5 10 25
5 7,5 3 22,5 15 112,5
5 12,5 4 50 20 250
5 17,5 6 105 30 525
Total 72 730 196 1860
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
163
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
N
ny
N
nx
N
nyxs
iiiiiii
xy
Reemplazando los valores correspondientes
767,172
196
72
730
72
1860xys
Por lo tanto la covarianza entre las variables X e Y es -1,767 aproximadamente.
130. De dos variables observadas conjuntamente, se ha obtenido la siguiente
tabla de doble entrada:
X
Y [0 – 30[ [30 – 60[ [60 -90[ [90 – 120]
10 21 32 32 31
11 22 ------ ------- --------
12 23 ------ 19 27
13 ------ 24 10 15
14 24 8 3 5
Calcular la covarianza entre las variables X e Y.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
164
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
iy ix
in ii nx
ii ny iii nyx
10 15 21 315 210 3150
10 45 32 1440 320 14400
10 75 32 2400 320 24000
10 105 31 3255 310 32550
11 15 22 330 242 3630
12 15 23 345 276 4140
12 75 19 1425 228 17100
12 105 27 2835 324 34020
13 45 24 1080 312 14040
13 75 10 750 130 9750
13 105 15 1575 195 20475
14 15 24 360 336 5040
14 45 8 360 112 5040
14 75 3 225 42 3150
14 105 5 525 70 7350
Total 296 17220 3427 197835
N
ny
N
nx
N
nyxs
iiiiiii
xy
Reemplazando los valores correspondientes
17919,5296
3427
296
17220
296
197835xys
Por lo tanto la covarianza entre las variables X e Y es -5,17919 aproximadamente.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
165
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
131. Siendo a mayor que 0, se tiene la siguiente tabla:
Y
X 1 2
1 3 a
2 4 2
Calcule la covarianza y determine a para que X e Y sean independientes.
Solución:
YXaS xy 11
Y
X 1 2 in
1 3 a a+3
2 4 2 6
jn
7 a+2 a+9
Las variables X e Y son variables independientes si N
nnn
ji
ij
9
112
9
15
9
192
9
192
9
1
19222241221311
9
112
9
22
9
71
9
15
9
62
9
31
2
1
2
1
11
2
1
2
1
a
a
a
a
a
aS
a
anYX
aa
aanYX
a
a
a
a
aY
a
a
aa
aX
xy
i j
ijji
i j
ijji
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
166
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
23)2(6)9(2
2342)9(4
23)2()3()9(
23)3(7)9(3
aaa
aa
aaaaa
aaa
nnNn jiij
132. Siendo a mayor que 0, tenemos la siguiente tabla:
Y
X 0 2
0 6 5
2 a 3
Calcule la covarianza y determine a para que X e Y sean independientes.
Solución:
YXaS xy 11
Y
X 0 2 in
0 6 5 11
2 a 3 a+3
jn
a+6 8 a+14
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
167
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Las variables X e Y son variables independientes si N
nnn
ji
ij
518´83)14(3
518´)6(3)14(
518811)14(5
518)6(11)14(6
aaa
aaaaa
aa
aaa
nnNn jiij
133. Siendo a mayor que 0, sea la tabla:
Y
X 0 3
0 a 9
3 7 8
Calcule la covarianza y determine a para que X e Y sean independientes.
14
16
14
62
14
12
14
12
14
1
1232202520600
14
16
14
82
14
60
14
62
14
32
14
110
2
1
2
1
11
2
1
2
1
aa
a
aS
anYX
aa
anYX
aaa
aY
a
a
a
a
aX
xy
i j
ijji
i j
ijji
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
168
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
YXaS xy 11
Y
X 0 3 in
0 a 9 a+9
3 7 8 15
jn
a+7 17 a+24
Las variables X e Y son variables independientes si N
nnn
ji
ij
8631715)24(8
863)7(15)24(7
863179)24(9
863)7(9)24(
aa
aaa
aaa
aaaaa
nnNn jiij
30
2223
24
51
24
45
24
72
24
72
24
1
7283370393000
24
51
24
173
24
70
24
45
24
153
24
90
2
1
2
1
11
2
1
2
1
aaaaS
anYX
aa
anYX
aaa
aY
aaa
aX
xy
i j
ijji
i j
ijji
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
169
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
134. Siendo a mayor que 0, obtenemos la siguiente tabla:
Y
X 0 4
0 4 2
4 8 a
Calcule la covarianza y determine a para que X e Y sean independientes.
Solución:
YXaS xy 11
Y
X 0 4 in
0 4 2 6
4 8 a a+8
jn
12 a+2 a+14
Las variables X e Y son variables independientes si N
nnn
ji
ij
14
84
14
324
14
16
14
16
14
1
1644804240400
14
84
14
24
14
120
14
324
14
84
14
60
2
1
2
1
11
2
1
2
1
a
a
a
a
a
aS
a
anYX
aa
aanYX
a
a
a
a
aY
a
a
a
a
aX
xy
i j
ijji
i j
ijji
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
170
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
428)14(
4128)14(8
426)14(2
4126)14(4
aaaaa
aaa
aaa
aa
nnNn jiij
135. Siendo a mayor que 0, sea la tabla:
Y
X 0 1
0 a 3
1 5 1
Calcule la covarianza y determine a para que X e Y sean independientes.
Solución:
YXaS xy 11
Y
X 0 1 in
0 a 3 a+3
1 5 1 6
jn
a+5 4 a+9
9
23
9
4
9
6
9
1
9
1
9
1
111150131000
9
4
9
41
9
50
9
6
9
61
9
30
2
1
2
1
11
2
1
2
1
aaaaS
anYX
aa
anYX
aaa
aY
aaa
aX
xy
i j
ijji
i j
ijji
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
171
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Las variables X e Y son variables independientes si N
nnn
ji
ij
1546)9(1
1556)9(5
1543)9(3
15)5(3)9(
aa
aaa
aaa
aaaaa
nnNn jiij
136. Siendo a mayor que 0, obtenemos la siguiente tabla:
Y
X 2 4
2 5 2
4 a 1
Calcule la covarianza y determine a para que X e Y sean independientes.
Solución:
YXaS xy 11
Y
X 2 4 in
2 5 2 7
4 a 1 a+1
jn
a+5 3 a+8
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
172
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Las variables X e Y son variables independientes si N
nnn
ji
ij
2531)8(1
2551)8(
2537)8(2
25)5(7)8(5
aaa
aaaaa
aa
aaa
nnNn jiij
137. Siendo a mayor que 0, se tiene la siguiente tabla:
Y
X 3 5
3 3 1
5 2 a
Calcule la covarianza y determine a para que X e Y sean independientes.
8
262
8
104
8
528
8
528
8
1
52814424242522
8
262
8
44
8
52
8
104
8
14
8
72
2
1
2
1
11
2
1
2
1
a
a
a
a
a
aS
a
anYX
aa
aanYX
a
a
aa
aY
a
a
a
a
aX
xy
i j
ijji
i j
ijji
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
173
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
YXaS xy 11
Y
X 3 5 in
3 3 1 4
5 2 a a+2
jn
5 a+1 a+6
Las variables X e Y son variables independientes si N
nnn
ji
ij
3212)6(
3252)6(2
3214)6(1
3254)6(3
aaaaa
aaa
aaa
aa
nnNn jiij
6
205
6
225
6
7225
6
7225
6
1
722555235153333
6
205
6
15
6
53
6
225
6
25
6
43
2
1
2
1
11
2
1
2
1
a
a
a
a
a
aS
a
anYX
aa
aanYX
a
a
a
a
aY
a
a
a
a
aX
xy
i j
ijji
i j
ijji
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
174
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
138. Siendo a mayor que 0, tenemos la siguiente tabla:
Y
X 2 0
2 9 a
0 1 6
Calcule la covarianza y determine a para que X e Y sean independientes.
Solución:
YXaS xy 11
Y
X 2 0 in
2 9 a a+9
0 1 6 7
jn
10 a+6 a+16
Las variables X e Y son variables independientes si N
nnn
ji
ij
16
20
16
182
16
36
16
36
16
1
3660012002922
16
20
16
60
16
102
16
182
16
70
16
92
2
1
2
1
11
2
1
2
1
aa
a
aS
anYX
aa
anYX
aa
a
aY
a
a
aa
aX
xy
i j
ijji
i j
ijji
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
175
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
5467)16(6
54107)16(1
5469)16(
54109)16(9
aaa
aa
aaaaa
aaa
nnNn jiij
139. Siendo a mayor que 0, se tiene la siguiente tabla:
Y
X 1 0
1 4 3
0 1 a
Calcule la covarianza y determine a para que X e Y sean independientes.
Solución:
YXaS xy 11
Y
X 1 0 in
1 4 3 7
0 1 a a+1
jn
5 a+3 a+16
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
176
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Las variables X e Y son variables independientes si N
nnn
ji
ij
4331)8(
4351)8(1
4337)8(3
4357)8(4
aaaaa
aaa
aaa
aa
nnNn jiij
140. Siendo a mayor que 0, tenemos la siguiente tabla:
Y
X 3 0
2 7 a
0 3 9
Calcule la covarianza y determine a para que X e Y sean independientes.
8
31
8
5
8
7
8
4
8
4
8
1
400110301411
8
5
8
30
8
51
8
7
8
10
8
71
2
1
2
1
11
2
1
2
1
aaaaS
anYX
aa
anYX
aa
a
aY
aa
a
aX
xy
i j
ijji
i j
ijji
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
177
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
YXaS xy 11
Y
X 3 0 in
2 7 a a+7
0 3 9 12
jn
10 a+9 a+19
Las variables X e Y son variables independientes si N
nnn
ji
ij
21912)19(9
211012)19(3
2197)19(
21107)19(7
aaa
aa
aaaaa
aaa
nnNn jiij
19
30
19
142
19
42
19
42
19
1
4290033002732
19
30
19
90
19
103
19
142
19
120
19
72
2
1
2
1
11
2
1
2
1
aa
a
aS
anYX
aa
anYX
aa
a
aY
a
a
aa
aX
xy
i j
ijji
i j
ijji
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
178
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
141. Las variables X e Y observados conjuntamente 102 veces han
presentados los siguientes valores:
iX iY
in
2 1 14
8 10 21
12 27 11
9 18 27
4 9 29
102
Calcular las medias y varianzas marginales.
Solución:
iX in iY in
2
iX in
2
iY in
28 14 56 14
168 210 1344 2100
132 297 1584 8019
243 486 2187 8748
116 261 464 2349
687 1268 5635 21230
598,53102
1268
102
21230
881,9102
687
102
5635
431,12102
1268
74,6102
687
2
2
2
2
y
x
S
S
Y
X
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
179
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
142. Las variables X e Y observados conjuntamente 109 veces han
presentados los siguientes valores:
iX iY
in
3 31 22
10 16 15
18 29 12
32 30 34
16 42 26
109
Calcular las medias y varianzas marginales.
Solución:
iX in iY in
2
iX in
2
iY in
66 682 198 21142
150 240 1500 3840
216 348 3888 10092
1088 1020 34816 30600
416 1092 6656 45864
1936 3382 6656 45864
94,541109
3382
109
45864
41,254109
1936
109
6656
03,31109
3382
76,17109
1936
2
2
2
2
y
x
S
S
Y
X
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
180
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
143. Las variables X e Y observados conjuntamente 191 veces han
presentados los siguientes valores:
iX iY
in
45 42 37
28 6 40
18 21 45
39 26 36
32 22 33
191
Calcular las medias y varianzas marginales.
Solución:
iX in iY in
2
iX in
2
iY in
1665 1554 74925 65268
1120 240 31360 1440
810 945 14580 19845
1404 936 54756 24336
1056 726 33792 15972
6055 4401 209413 126861
265,133191
4401
191
126861
41356,91191
6055
191
209413
042,23191
4401
7,31191
6055
2
2
2
2
y
x
S
S
Y
X
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
181
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
144. Las variables X e Y observados conjuntamente 148 veces han
presentados los siguientes valores:
iX iY
in
13 7 23
7 18 34
27 44 19
36 33 30
11 12 42
148
Calcular las medias y varianzas marginales.
Solución:
iX in iY in
2
iX in
2
iY in
299 161 3887 1127
238 612 1666 11016
513 836 13851 36784
1080 990 38880 32670
462 504 5082 6048
2592 3103 63366 87645
614,152148
3103
148
87645
43,121148
2592
148
63366
967,20148
3103
51,17148
2592
2
2
2
2
y
x
S
S
Y
X
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
182
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
145. Las variables X e Y observados conjuntamente 177 veces han
presentados los siguientes valores:
iX iY
in
46 18 33
23 5 44
17 26 32
46 23 51
21 11 17
177
Calcular las medias y varianzas marginales.
Solución:
iX in iY in
2
iX in
2
iY in
1518 594 69828 10692
1012 220 23276 1100
544 832 9248 21632
2346 1173 107916 26979
357 187 7497 2057
5777 3006 217765 62460
46,64177
3006
177
62460
0444,165177
5777
177
217765
983,16177
3006
64,32177
5777
2
2
2
2
y
x
S
S
Y
X
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
183
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
146. Las variables X e Y observados conjuntamente 119 veces han
presentados los siguientes valores:
iX iY
in
43 34 16
22 33 28
12 11 39
8 27 6
10 20 30
119
Calcular las medias y varianzas marginales.
Solución:
iX in iY in
2
iX in
2
iY in
688 544 29584 18496
616 924 13552 30492
468 429 5616 4719
48 162 384 4374
300 600 3000 12000
2120 2659 52136 70081
64,89119
2659
119
70081
74,120119
2120
119
52136
345,22119
2659
82,17119
2120
2
2
2
2
y
x
S
S
Y
X
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
184
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
147. Las variables X e Y observados conjuntamente 110 veces han
presentados los siguientes valores:
iX iY
in
32 8 19
33 18 9
16 21 30
27 34 42
11 24 10
110
Calcular las medias y varianzas marginales.
Solución:
iX in iY in
2
iX in
2
iY in
608 152 19456 1216
297 162 9801 2916
480 630 7680 13230
1134 1428 30618 48552
110 240 1210 5760
2629 2612 68765 71674
74,87110
2612
110
71674
93,53110
2629
110
68765
75,23110
2612
9,23110
2629
2
2
2
2
y
x
S
S
Y
X
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
185
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
148. Las variables X e Y observados conjuntamente 205 veces han
presentados los siguientes valores:
iX iY
in
13 13 56
54 33 46
23 34 25
11 27 38
45 57 40
205
Calcular las medias y varianzas marginales.
Solución:
iX in iY in
2
iX in
2
iY in
728 728 9464 9464
2484 1518 134136 50094
575 850 13225 28900
418 1026 4598 27702
1800 2280 81000 129960
6005 6402 242423 246120
32,225205
6402
205
246120
49,324205
6005
205
242423
23,31205
6402
293,29205
6005
2
2
2
2
y
x
S
S
Y
X
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
186
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
149. Las variables X e Y observados conjuntamente 182 veces han
presentados los siguientes valores:
iX iY
in
17 4 13
43 61 22
26 59 55
52 48 63
37 11 29
182
Calcular las medias y varianzas marginales.
Solución:
iX in iY in
2
iX in
2
iY in
221 52 3757 208
946 1342 40678 81862
1430 3245 37180 191455
3276 3024 170352 145152
1073 319 39701 3509
6046 7982 291668 422186
254,396182
7982
182
422186
0176,499182
6046
182
291668
857,43182
7982
22,33182
6046
2
2
2
2
y
x
S
S
Y
X
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
187
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
150. Las variables X e Y observados conjuntamente 318 veces han
presentados los siguientes valores:
iX iY
in
62 73 78
38 32 69
31 17 38
46 54 62
43 39 71
318
Calcular las medias y varianzas marginales.
Solución:
iX in iY in
2
iX in
2
iY in
4836 5694 299832 415662
2622 2208 99636 70656
1178 646 36518 10982
2852 3348 131192 180792
3053 2769 131279 107991
14541 14665 698457 786083
24,345318
14665
318
786083
3332,77318
14541
318
691668
12,46318
14665
73,45318
14541
2
2
2
2
y
x
S
S
Y
X
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
188
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
151. Utilizando los datos del ejercicio 142, calcular la covarianza.
Solución:
iX iY in iX in
iY in
28 28 14
1680 168 210
3564 132 297
4374 243 486
1044 116 261
10690 687 1268
075,21102
1268
102
687
102
10690xyS
152. Utilizando los datos del ejercicio 143, calcular la covarianza.
Solución:
iX iY in iX in
iY in
2046 66 682
2400 150 240
6264 216 348
32640 1088 1020
17472 416 1092
60822 1936 3382
9056,6109
3382
109
1936
109
60822xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
189
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
153. Utilizando los datos del ejercicio 144, calcular la covarianza.
Solución:
iX iY in iX in
iY in
69930 1665 1554
6720 1120 240
17010 810 945
36504 1404 936
23232 1056 726
153396 6055 4401
656,72191
4401
191
6055
191
153396xyS
154. Utilizando los datos del ejercicio 145, calcular la covarianza.
Solución:
iX iY in iX in
iY in
2093 299 161
4284 238 612
22572 513 836
35640 1080 990
5544 462 504
70133 2592 3103
68,106148
3103
148
2592
148
70133xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
190
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
155. Utilizando los datos del ejercicio 146, calcular la covarianza.
Solución:
iX iY in iX in
iY in
27324 1518 594
5060 1012 220
14144 544 832
53958 2346 1173
3927 357 187
104413 5777 3006
6,35177
3006
177
5777
177
104413xyS
156. Utilizando los datos del ejercicio 147, calcular la covarianza.
Solución:
iX iY in iX in
iY in
23392 688 544
20328 616 924
5148 468 429
1296 48 162
6000 300 600
56164 2120 2659
896,73119
2659
119
2120
119
56164xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
191
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
157. Utilizando los datos del ejercicio 148, calcular la covarianza.
Solución:
iX iY in iX in
iY in
4864 608 152
5346 297 162
10080 480 630
38556 1134 1428
2640 110 240
61486 2629 2612
55,8110
2612
110
2629
110
61486xyS
158. Utilizando los datos del ejercicio 149, calcular la covarianza.
Solución:
iX iY in iX in
iY in
9464 728 728
81972 2484 1518
19550 575 850
11286 418 1026
102600 1800 2280
224872 6005 6402
15,182205
6402
205
6005
205
224872xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
192
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
159. Utilizando los datos del ejercicio 150, calcular la covarianza.
Solución:
iX iY in iX in
iY in
884 221 52
57706 946 1342
84370 1430 3245
157248 3276 3024
11803 1073 319
312011 6946 7982
55,40182
7982
182
6946
182
312011xyS
160. Utilizando los datos del ejercicio 151, calcular la covarianza.
Solución:
iX iY in iX in
iY in
353028 4836 5694
83904 2622 2208
20026 1178 646
154008 2852 3348
119067 3053 2769
730033 14541 14665
966,186318
14665
318
14541
318
730033xyS
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
193
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
161. Sean los valores de X e Y los siguientes.
Calcular el coeficiente de correlación entre X e Y
Solución:
iX iY
iX iY
2
iX
2
iY
3 5 15 9 25
7 3 21 49 9
9 8 72 81 64
1 6 6 1 36
20 22 114 140 134
175.0803,1162,3
1
803,14
22
4
134
162,34
20
4
140
14
22
4
20
4
114
2
2
r
S
S
S
y
x
xy
X Y
3
7
9
1
5
3
8
6
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
194
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
162. Sean los valores de X e Y los siguientes.
Calcular el coeficiente de correlación entre X e Y
Solución:
iX iY
iX iY
2
iX
2
iY
4 9 36 16 81
5 4 20 25 16
4 1 4 16 1
3 6 18 9 36
16 10 78 66 134
56,222,571,0
5,9
22,54
10
4
134
71,04
16
4
66
5,94
10
4
16
4
78
2
2
r
S
S
S
y
x
xy
X Y
4
5
4
3
9
4
1
6
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
195
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
163. Sean los valores de X e Y los siguientes.
Calcular el coeficiente de correlación entre X e Y
Solución:
iX iY
iX iY
2
iX
2
iY
5 2 10 25 4
8 5 40 64 25
9 2 18 81 4
1 8 8 1 64
4 6 24 16 36
27 23 100 187 133
72,033,287,2
84,4
33,25
23
5
133
87,25
27
5
187
84,45
23
5
27
5
100
2
2
r
S
S
S
y
x
xy
X Y
5
8
9
1
4
2
5
2
8
6
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
196
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
164. Sean los valores de X e Y los siguientes.
Calcular el coeficiente de correlación entre X e Y
Solución:
iX iY
iX iY
2
iX
2
iY
12 1 12 144 1
4 17 68 16 289
9 2 18 81 4
10 5 50 100 25
8 3 24 64 9
43 28 172 405 328
3,085,574,7
76,13
85,55
28
5
328
74,75
43
5
405
76,135
28
5
43
5
172
2
2
r
S
S
S
y
x
xy
X Y
12
4
9
10
8
1
17
2
5
3
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
197
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
165. Sean los valores de X e Y los siguientes.
Calcular el coeficiente de correlación entre X e Y
Solución:
iX iY
iX iY
2
iX
2
iY
2 4 8 4 16
18 15 270 324 225
20 17 340 400 289
3 22 66 9 484
10 1 10 100 1
53 59 694 837 1015
23,042,798,7
72,13
98,75
59
5
1015
42,75
53
5
837
72,135
59
5
53
5
694
2
2
r
S
S
S
y
x
xy
X Y
2
18
20
3
10
4
15
17
22
1
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
198
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
166. Sean los valores de X e Y los siguientes.
Calcular el coeficiente de correlación entre X e Y
Solución:
iX iY
iX iY
2
iX
2
iY
5 6 30 25 36
14 18 252 196 324
7 23 161 49 529
23 11 253 529 121
12 5 60 144 25
1 3 3 1 9
62 66 759 944 1044
25,028,711,7
83,12
28,76
66
6
1044
11,76
62
6
944
83,126
66
6
62
6
759
2
2
r
S
S
S
y
x
xy
X Y
5
14
7
23
12
1
6
18
23
11
5
3
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
199
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
167. Sean los valores de X e Y los siguientes.
Calcular el coeficiente de correlación entre X e Y
Solución:
iX iY
iX iY
2
iX
2
iY
4 7 28 16 49
19 17 323 361 289
32 34 1088 1024 1156
13 21 273 169 441
8 12 96 64 144
3 4 12 9 16
79 95 1820 1643 2095
95,092,902,10
86,94
92,96
95
6
2095
02,106
79
6
1643
86,946
95
6
79
6
1820
2
2
r
S
S
S
y
x
xy
X Y
4
19
32
13
8
3
7
17
34
21
12
4
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
200
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
168. Sean los valores de X e Y los siguientes.
Calcular el coeficiente de correlación entre X e Y
Solución:
iX iY
iX iY
2
iX
2
iY
32 22 704 1024 484
11 15 165 121 225
5 6 30 25 36
28 36 1008 784 1296
19 1 19 361 1
10 2 20 100 4
105 82 1946 2415 2046
6998,041,1281,9
2,85
41,126
82
6
2046
81,96
105
6
2415
2,856
82
6
105
6
1946
2
2
r
S
S
S
y
x
xy
X Y
32
11
5
28
19
10
22
15
6
36
1
2
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
201
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
169. Sean los valores de X e Y los siguientes.
Calcular el coeficiente de correlación entre X e Y
Solución:
iX iY
iX iY
2
iX
2
iY
8 44 352 64 1936
33 2 66 1089 4
17 16 272 289 256
1 32 32 1 1024
13 27 351 169 729
41 4 164 1681 16
113 125 1237 3293 3965
88,01,15933,13
2,186
1,156
125
6
3965
933,136
113
6
3293
2,1866
125
6
113
6
1237
2
2
r
S
S
S
y
x
xy
X Y
8
33
17
1
13
41
44
2
16
32
27
4
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
202
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
170. Sean los valores de X e Y los siguientes.
Calcular el coeficiente de correlación entre X e Y
Solución:
iX iY
iX iY
2
iX
2
iY
45 6 270 2025 36
2 48 96 4 2304
37 32 1184 1369 1024
22 28 616 484 784
31 12 372 961 144
8 9 72 64 81
145 135 2610 4907 4373
477,092,1429,15
75,108
92,146
135
6
4373
29,156
145
6
4907
75,1086
135
6
145
6
2610
2
2
r
S
S
S
y
x
xy
X Y
45
2
37
22
31
8
6
48
32
28
12
9
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
203
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
171. Sea la tabla:
Y
X 2 4 -3 1
7 4 7 3 8
8 5 9 9 9
3 8 3 2 3
1 2 4 3 5
a) Determinar la distribución marginal de Y:
Solución:
Y
X 2 4 -3 1
n i
7 4 7 3 8 22
8 5 9 9 9 32
3 8 3 2 3 16
1 2 4 3 5 14
n j 19 23 17 25 N = 84
Y j n j
2 19
4 23
-3 17
1 25
84
b) Determinar la distribución de frecuencias relativas de X si Y = 4
Solución:
X/Y = 4 Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
2 7 7/23
4 9 9/23
-3 3 3/23
1 4 4/23
23 1
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
204
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
172. Sea la tabla:
Y
X
0 3 -1 -9
5 7 6 10 15
-8 3 10 11 7
-3 9 23 3 2
2 2 9 5 16
a) Determinar la distribución marginal de Y:
Solución:
Y
X 0 3 -1 9
n i
5 7 6 10 15 38
-8 3 10 11 7 31
-3 9 23 3 2 37
2 2 9 5 16 32
n j 21 48 29 40 N = 138
Y j n j
0 21
3 48
-1 29
9 40
138
b) Determinar la distribución de frecuencias relativas de X si Y = -1
Solución:
X/Y = -1 Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
0 10 10/29
3 11 11/29
-1 3 3/29
9 5 5/29
29 1
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
205
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
173. Sea la tabla:
Y
X -6 -9 -1 -4
3 20 49 14 45
-2 27 42 6 38
-9 43 29 30 11
1 17 37 44 7
a) Determinar la distribución marginal de Y:
Solución:
Y
X -6 -9 -1 -4
n i
3 20 49 14 45 128
-2 27 42 6 38 113
-9 43 29 30 11 113
1 17 37 44 7 105
n j 107 157 94 101 N = 459
Y j n j
-6 107
-9 157
-1 94
-4 101
459
b) Determinar la distribución de frecuencias relativas de X si Y = -6
Solución:
X/Y = -6 Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
-6 20 20/107
-9 27 27/107
-1 43 43/107
-4 17 17/107
107 1
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
206
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
174. Sea la tabla:
Y
X 1 2 3 4
5 12 8 24 35
6 3 41 37 28
7 67 5 12 17
8 42 17 32 8
a) Determinar la distribución marginal de Y:
Solución:
Y
X 1 2 3 4
n i
5 12 8 24 35 79
6 3 41 37 28 109
7 67 5 12 17 101
8 42 17 32 8 99
n j 124 71 105 88 N = 388
Y j n j
1 124
2 71
3 105
4 88
388
b) Determinar la distribución de frecuencias relativas de X si Y = 4
Solución:
X/Y = 4 Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
1 35 35/88
2 28 28/88
3 17 17/88
4 8 8/88
88 1
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
207
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
175. Sea la tabla:
Y
X -2 -6 2 9
0 18 20 8 14
6 3 15 26 33
-4 6 32 35 16
8 17 5 16 21
a) Determinar la distribución marginal de Y:
Solución:
Y
X -2 -6 2 9
n i
0 18 20 8 14 60
6 3 15 26 33 77
-4 6 32 35 16 89
8 17 5 16 21 59
n j 44 72 85 84 N = 285
Y j n j
-2 44
-6 72
2 85
9 84
285
b) Determinar la distribución de frecuencias relativas de X si Y = 2
Solución:
X/Y = 2 Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
-2 8 8/85
-6 26 26/85
2 35 35/85
9 16 16/85
85 1
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
208
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
176. Sea la tabla:
Y
X 3 -4 -7 8
1 27 40 53 33
5 17 29 25 51
-4 42 16 33 22
7 30 3 38 47
a) Determinar la distribución marginal de Y:
Solución:
Y
X 3 -4 -7 8 n i
1 27 40 53 33 153
5 17 29 25 51 122
-4 42 16 33 22 113
7 30 3 38 47 118
n j 116 88 149 153 N = 506
Y j n j
3 116
-4 88
-7 149
8 153
506
b) Determinar la distribución de frecuencias relativas de X si Y = -4
Solución:
X/Y = -4 Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
3 40 40/88
-4 29 29/88
-7 16 16/88
8 3 3/88
88 1
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
209
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
177. Sea la tabla:
Y
X 2 -4 5 1
4 6 45 37 5
-9 26 7 16 43
1 18 32 27 27
2 35 21 21 4
a) Determinar la distribución marginal de X:
Solución:
Y
X 2 -4 5 1 n i
4 6 45 37 5 93
-9 26 7 16 43 92
1 18 32 27 27 104
2 35 21 21 4 81
n j 85 105 101 79 N = 307
X i n i
4 93
-9 92
1 104
2 81
307
b) Determinar la distribución de frecuencias relativas de Y si X = -9
Solución:
Y/X = -9 Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
4 26 26/92
-9 7 7/92
1 16 16/92
2 43 43/92
92 1
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
210
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
178. Sea la tabla:
Y
X 3 5 -2 1
7 56 36 47 40
8 27 17 29 59
-6 42 62 22 65
-9 64 32 39 49
a) Determinar la distribución marginal de X:
Solución:
Y
X 3 5 -2 1 n i
7 56 36 47 40 179
8 27 17 29 59 132
-6 42 62 22 65 191
-9 64 32 39 49 184
n j 189 147 137 213 N = 686
X i n i
7 179
8 132
-6 191
-9 184
686
b) Determinar la distribución de frecuencias relativas de Y si X = 8
Solución:
Y/X = 8 Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
7 27 27/132
8 17 17/132
-6 29 29/132
-9 59 59/132
132 1
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
211
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
179. Sea la tabla:
Y
X -5 6 -7 -9
3 54 71 32 38
5 38 3 47 50
-1 9 65 48 49
-4 46 58 26 66
a) Determinar la distribución marginal de X:
Solución:
Y
X -5 6 -7 -9 n i
3 54 71 32 38 195
5 38 3 47 50 138
-1 9 65 48 49 171
-4 46 58 26 66 196
n j 147 197 153 203 N = 700
X i n i
3 195
5 138
-1 171
-4 196
700
b) Determinar la distribución de frecuencias relativas de Y si X = -1
Solución:
Y/X = -1 Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
3 9 9/171
5 65 65/171
-1 48 48/171
-4 49 49/171
171 1
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
212
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
180. Sea la tabla:
Y
X -2 4 -6 8
3 3 12 48 14
6 6 3 32 32
-8 9 7 55 28
1 34 10 31 14
a) Determinar la distribución marginal de X:
Solución:
Y
X -2 4 -6 8 n i
3 3 12 48 14 77
6 6 3 32 32 73
-8 9 7 55 28 99
1 34 10 31 14 89
n j 52 32 166 88 N = 338
X i n i
3 77
6 73
-8 99
1 89
338
b) Determinar la distribución de frecuencias relativas de Y si X = -8
Solución:
Y/X = -8 Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
3 9 9/99
6 7 7/99
-8 55 55/99
1 28 28/99
99 1
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
213
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
181. Dadas las siguientes series de valores de las variables X e Y .Ajustar una
recta por el método de los mínimos cuadrados
iX iY
18
26
56
32
19
37
89
93
30
22
Solución:
iX iY
iX* iY
iX^2
18 37 666 324
26 89 2314 676
56 93 5208 3136
32 30 960 1024
19 22 418 361
151 271 9566 5521
Formaremos el siguiente sistema de ecuación:
438,1
767,10
55211519566
1515271
5
1
25
1
5
1
5
1
5
1
b
a
ba
ba
XbXaYX
XbnaY
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
Por lo que la ecuación mínimo-cuadrado será: XY 438,1767,10*
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
214
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
182. Dadas las siguientes series de valores de las variables X e Y .Ajustar una
recta por el método de los mínimos cuadrados
iX iY
271
528
191
290
392
713
22
282
45
245
Solución:
iX iY
iX* iY
iX^2
271 713 193223 73441
528 22 11616 278784
191 282 53862 36481
290 45 13050 84100
392 245 96040 153664
1672 1307 367791 626470
Formaremos el siguiente sistema de ecuación:
028,1
32,605
6264701672367791
167251307
5
1
25
1
5
1
5
1
5
1
b
a
ba
ba
XbXaYX
XbnaY
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
Por lo que la ecuación mínimo-cuadrado será: XY 028,132,605*
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
215
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
183. Dadas las siguientes series de valores de las variables X e Y .Ajustar una
recta por el método de los mínimos cuadrados
iX iY
372
465
326
867
398
250
198
265
498
867
709
901
Solución:
iX iY
iX* iY
iX^2
372 198 73656 138384
465 265 123225 216225
326 498 162348 106276
867 867 751689 751689
398 709 282182 158404
250 901 225250 62500
2678 3438 1618350 1433478
Formaremos el siguiente sistema de ecuación:
3624,0
25,411
143347826721618350
267863438
5
1
25
1
5
1
5
1
5
1
b
a
ba
ba
XbXaYX
XbnaY
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
Por lo que la ecuación mínimo-cuadrado será: XY 3624,025,411*
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
216
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
184. Dadas las siguientes series de valores de las variables X e Y .Ajustar una
recta por el método de los mínimos cuadrados
iX iY
28 98
29 65
54 20
39 19
17 37
65 79
11 8
Solución:
iX iY
iX* iY
iX^2
28 98 2744 784
29 65 1885 841
54 20 1080 2916
39 19 741 1521
17 37 629 289
65 79 5135 4225
11 8 88 121
243 326 12302 10697
Formaremos el siguiente sistema de ecuación:
436,0
45,31
1069724312302
2437326
5
1
25
1
5
1
5
1
5
1
b
a
ba
ba
XbXaYX
XbnaY
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
Por lo que la ecuación mínimo-cuadrado será: XY 436,045,31*
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
217
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
185. Dadas las siguientes series de valores de las variables X e Y .Ajustar una
recta por el método de los mínimos cuadrados
iX iY
438 563
982 674
738 827
109 628
282 332
942 918
931 402
Solución:
iX iY
iX* iY
iX^2
438 563 246594 191844
982 674 661868 964324
738 827 610326 544644
109 628 68452 11881
282 332 93624 79524
942 918 864756 887364
931 402 374262 866761
4422 4344 2919882 3546342
Formaremos el siguiente sistema de ecuación:
233,0
139,473
354634244222919882
442274344
5
1
25
1
5
1
5
1
5
1
b
a
ba
ba
XbXaYX
XbnaY
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
Por lo que la ecuación mínimo-cuadrado será: XY 233,0139,473*
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
218
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
186. Dadas las siguientes series de valores de las variables X e Y .Ajustar una
recta por el método de los mínimos cuadrados
iX iY
2 7
4 9
3 2
6 1
8 7
5 5
0 2
Solución:
iX iY
iX* iY
iX^2
2 7 14 4
4 9 36 16
3 2 6 9
6 1 6 36
8 7 56 64
5 5 25 25
0 2 0 0
28 33 143 154
Formaremos el siguiente sistema de ecuación:
262,0
67,3
15428143
28733
5
1
25
1
5
1
5
1
5
1
b
a
ba
ba
XbXaYX
XbnaY
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
Por lo que la ecuación mínimo-cuadrado será: XY 262,067,3*
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
219
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
187. Dadas las siguientes series de valores de las variables X e Y .Ajustar una
recta por el método de los mínimos cuadrados
iX iY
439 1117
1032 280
182 730
820 840
990 920
623 653
749 729
603 1029
Solución:
iX iY
iX* iY
iX^2
439 1117 490363 192721
1032 280 288960 1065024
182 730 132860 33124
820 840 688800 672400
990 920 910800 980100
623 653 406819 388129
749 729 546021 561001
603 1029 620487 363609
5438 6298 4085110 4256108
Formaremos el siguiente sistema de ecuación:
35,0
27,1025
425610854384085110
543886298
5
1
25
1
5
1
5
1
5
1
b
a
ba
ba
XbXaYX
XbnaY
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
220
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Por lo que la ecuación mínimo-cuadrado será: XY 35,027,1025*
188. Dadas las siguientes series de valores de las variables X e Y .Ajustar una
recta por el método de los mínimos cuadrados
iX iY
3728 1920
9220 9028
8327 7291
7382 8819
7233 3721
4763 6381
6320 4932
2188 2281
Solución:
iX iY
iX* iY
iX^2
3728 1920 7157760 13897984
9220 9028 83238160 85008400
8327 7291 60712157 69338929
7382 8819 65101858 54493924
7233 3721 26913993 52316289
4763 6381 30392703 22686169
6320 4932 31170240 39942400
2188 2281 4990828 4787344
49161 44373 309677699 342471439
Formaremos el siguiente sistema de ecuación:
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
221
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
92,0
396,85
34247143949161309677699
49161844373
5
1
25
1
5
1
5
1
5
1
b
a
ba
ba
XbXaYX
XbnaY
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
Por lo que la ecuación mínimo-cuadrado será: XY 92,0396,85*
189. Dadas las siguientes series de valores de las variables X e Y .Ajustar una
recta por el método de los mínimos cuadrados
iX iY
564 7
75 93
291 191
828 933
64 82
773 209
919 829
222 732
Solución:
iX iY
iX* iY
iX^2
564 7 3948 318096
75 93 6975 5625
291 191 55581 84681
828 933 772524 685584
64 82 5248 4096
773 209 161557 597529
919 829 761851 844561
222 732 162504 49284
3736 3076 1930188 2589456
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
222
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Formaremos el siguiente sistema de ecuación:
58,0
57,111
258945637361930188
373683076
5
1
25
1
5
1
5
1
5
1
b
a
ba
ba
XbXaYX
XbnaY
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
Por lo que la ecuación mínimo-cuadrado será: XY 58,057,111*
190. Dadas las siguientes series de valores de las variables X e Y .Ajustar una
recta por el método de los mínimos cuadrados
iX iY
332 289
920 892
121 728
421 629
728 536
992 112
110 436
221 563
Solución:
iX iY
iX* iY
iX^2
332 289 95948 110224
920 892 820640 846400
121 728 88088 14641
421 629 264809 177241
728 536 390208 529984
992 112 111104 984064
110 436 47960 12100
221 563 162504 49284
3846 4354 1981261 2723938
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
223
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Formaremos el siguiente sistema de ecuación:
13,0
75,605
272393838461981261
384684354
5
1
25
1
5
1
5
1
5
1
b
a
ba
ba
XbXaYX
XbnaY
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
Por lo que la ecuación mínimo-cuadrado será: XY 13,075,605*
191. La variable y toma para cada unidad de tiempo, los siguientes valores: 20
30 40 50 60. Calcular el incremento medio de la variable Y por unidad de
tiempo.
Solución:
En 5 periodos consecutivos, la variable Y toma distintos valores que marcan
una tendencia. Precisamente el coeficiente de regresión de la variable Y con respecto al
tiempo nos dará el incremento medio.
Se buscara el valor de b de la expresión btay * :
it iy iy it
2
it
10 20 200 100
11 30 330 121
12 40 480 144
13 50 650 169
14 60 840 196
60 200 2500 730
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
224
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
25
60
5
730
205
200
5
60
5
2500
2
2
11
2
111
2`
``
N
t
N
t
S
N
Y
N
t
N
Yt
S
n
ii
n
i
i
t
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
yt
Por lo tanto el valor de coeficiente de regresión o incremento medio:
102
20
2`
``
t
yt
S
Sb
192. La variable y toma para cada unidad de tiempo, los siguientes valores: 11
16 21 26 31. Calcular el incremento medio de la variable Y por unidad de
tiempo.
Solución:
En 5 periodos consecutivos, la variable Y toma distintos valores que marcan
una tendencia. Precisamente el coeficiente de regresión de la variable Y con respecto al
tiempo nos dará el incremento medio.
Se buscara el valor de b de la expresión btay * :
it iy iy it
2
it
5 11 55 25
6 16 96 36
7 21 147 49
8 26 208 64
9 31 279 81
35 105 785 255
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
225
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
25
35
5
255
105
105
5
35
5
785
2
2
11
2
111
2`
``
N
t
N
t
S
N
Y
N
t
N
Yt
S
n
ii
n
i
i
t
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
yt
Por lo tanto el valor de coeficiente de regresión o incremento medio:
52
10
2`
``
t
yt
S
Sb
193. La variable y toma para cada unidad de tiempo, los siguientes valores: 25
31 37 43 49 55 61. Calcular el incremento medio de la variable Y por unidad de
tiempo.
Solución:
En 7 periodos consecutivos, la variable Y toma distintos valores que marcan
una tendencia. Precisamente el coeficiente de regresión de la variable Y con respecto al
tiempo nos dará el incremento medio.
Se buscara el valor de b de la expresión btay * :
it iy iy it
2
it
20 25 500 400
21 31 651 441
22 37 814 484
23 43 989 529
24 49 1176 576
25 55 1375 625
26 61 1586 676
161 301 7091 3731
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
226
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
47
161
7
3731
247
301
7
161
7
7091
2
2
11
2
111
2`
``
N
t
N
t
S
N
Y
N
t
N
Yt
S
n
ii
n
i
i
t
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
yt
Por lo tanto el valor de coeficiente de regresión o incremento medio:
64
24
2`
``
t
yt
S
Sb
194. La variable y toma para cada unidad de tiempo, los siguientes valores: 3
12 14 23 35 43 51. Calcular el incremento medio de la variable Y por unidad de
tiempo.
Solución:
En 7 periodos consecutivos, la variable Y toma distintos valores que marcan
una tendencia. Precisamente el coeficiente de regresión de la variable Y con respecto al
tiempo nos dará el incremento medio.
Se buscara el valor de b de la expresión btay * :
it iy iy it
2
it
30 3 90 900
31 12 372 961
32 14 448 1024
33 23 759 1089
34 35 1190 1156
35 43 1505 1225
36 51 1836 1296
231 181 6200 7651
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
227
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
47
161
7
3731
43,327
181
7
231
7
6200
2
2
11
2
111
2`
``
N
t
N
t
S
N
Y
N
t
N
Yt
S
n
ii
n
i
i
t
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
yt
Por lo tanto el valor de coeficiente de regresión o incremento medio:
1075.84
43,32
2`
``
t
yt
S
Sb
195. La variable y toma para cada unidad de tiempo, los siguientes valores:
102 120 138 156 174 192 210 228. Calcular el incremento medio de la variable
Y por unidad de tiempo.
Solución:
En 8 periodos consecutivos, la variable Y toma distintas valores que marcan
una tendencia. Precisamente el coeficiente de regresión de la variable Y con respecto al
tiempo nos dará el incremento medio.
Se buscara el valor de b de la expresión btay * :
it iy iy it
2
it 1 102 102 1
2 120 240 4
3 138 414 9
4 156 624 16
5 174 870 25
6 192 1152 36
7 210 1470 49
8 228 1824 64
36 1320 6696 204
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
228
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
25,58
36
8
204
5,948
1320
8
36
8
6696
2
2
11
2
111
2`
``
N
t
N
t
S
N
Y
N
t
N
Yt
S
n
ii
n
i
i
t
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
yt
Por lo tanto el valor de coeficiente de regresión o incremento medio:
1825,5
5,94
2`
``
t
yt
S
Sb
196. La variable y toma para cada unidad de tiempo, los siguientes valores:
235 271 307 343 379 415 451 487. Calcular el incremento medio de la variable
Y por unidad de tiempo.
Solución:
En 8 periodos consecutivos, la variable Y toma distintos valores que marcan
una tendencia. Precisamente el coeficiente de regresión de la variable Y con respecto al
tiempo nos dará el incremento medio.
Se buscara el valor de b de la expresión btay * :
it iy iy it
2
it
5 235 1175 25
6 271 1626 36
7 307 2149 49
8 343 2744 64
9 379 3411 81
10 415 4150 100
11 451 4961 121
12 487 5844 144
68 2888 26060 620
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
229
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
25,58
68
8
620
1898
2888
8
68
8
26060
2
2
11
2
111
2`
``
N
t
N
t
S
N
Y
N
t
N
Yt
S
n
ii
n
i
i
t
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
yt
Por lo tanto el valor de coeficiente de regresión o incremento medio:
3625,5
189
2`
``
t
yt
S
Sb
197. La variable y toma para cada unidad de tiempo, los siguientes valores:
246 313 380 447 514 581 648 715. Calcular el incremento medio de la variable
Y por unidad de tiempo.
Solución:
En 8 periodos consecutivos, la variable Y toma distintos valores que marcan
una tendencia. Precisamente el coeficiente de regresión de la variable Y con respecto al
tiempo nos dará el incremento medio.
Se buscara el valor de b de la expresión btay * :
it iy iy it
2
it
30 246 7380 900
31 313 9703 961
32 380 12160 1024
33 447 14751 1089
34 514 17476 1156
35 581 20335 1225
36 648 23328 1296
37 715 26455 1369
268 3844 131588 9020
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
230
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
25,58
268
8
9020
75,3518
3844
8
268
8
131588
2
2
11
2
111
2`
``
N
t
N
t
S
N
Y
N
t
N
Yt
S
n
ii
n
i
i
t
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
yt
Por lo tanto el valor de coeficiente de regresión o incremento medio:
6725,5
75,351
2`
``
t
yt
S
Sb
198. La variable y toma para cada unidad de tiempo, los siguientes valores:
305 450 595 740 885 1030 1175 1320 1465. Calcular el incremento medio de la
variable Y por unidad de tiempo.
Solución:
En 9 periodos consecutivos, la variable Y toma distintos valores que marcan
una tendencia. Precisamente el coeficiente de regresión de la variable Y con respecto al
tiempo nos dará el incremento medio.
Se buscara el valor de b de la expresión btay * :
it iy iy it
2
it 25 305 7625 625
26 450 11700 676
27 595 16065 729
28 740 20720 784
29 885 25665 841
30 1030 30900 900
31 1175 36425 961
32 1320 42240 1024
33 1465 48345 1089
261 7965 239685 7629
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
231
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
666666667,69
261
9
7629
6666667,9669
7965
9
261
9
239685
2
2
11
2
111
2`
``
N
t
N
t
S
N
Y
N
t
N
Yt
S
n
ii
n
i
i
t
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
yt
Por lo tanto el valor de coeficiente de regresión o incremento medio:
145666666667,6
6666667,966
2`
``
t
yt
S
Sb
199. La variable y toma para cada unidad de tiempo, los siguientes valores:
425 771 1117 1463 1809 2155 2501 2847 3193. Calcular el incremento medio
de la variable Y por unidad de tiempo.
Solución:
En 9 periodos consecutivos, la variable Y toma distintos valores que marcan
una tendencia. Precisamente el coeficiente de regresión de la variable Y con respecto al
tiempo nos dará el incremento medio.
Se buscara el valor de b de la expresión btay * :
it iy iy it
2
it
13 425 5525 169
14 771 10794 196
15 1117 16755 225
16 1463 23408 256
17 1809 30753 289
18 2155 38790 324
19 2501 47519 361
20 2847 56940 400
21 3193 67053 441
153 16281 297537 2661
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
232
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
666666667,69
153
9
2661
666667,23069
16281
9
153
9
297537
2
2
11
2
111
2`
``
N
t
N
t
S
N
Y
N
t
N
Yt
S
n
ii
n
i
i
t
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
yt
Por lo tanto el valor de coeficiente de regresión o incremento medio:
346666666667,6
666667,2306
2`
``
t
yt
S
Sb
200. La variable y toma para cada unidad de tiempo, los siguientes valores:
2318 2777 3236 3695 4154 4613 5072 5531 5990. Calcular el incremento
medio de la variable Y por unidad de tiempo.
Solución:
En 9 periodos consecutivos, la variable Y toma distintos valores que marcan
una tendencia. Precisamente el coeficiente de regresión de la variable Y con respecto al
tiempo nos dará el incremento medio.
Se buscara el valor de b de la expresión btay * :
it iy iy it
2
it 52 2318 120536 2704
53 2777 147181 2809
54 3236 174744 2916
55 3695 203225 3025
56 4154 232624 3136
57 4613 262941 3249
58 5072 294176 3364
59 5531 326329 3481
60 5990 359400 3600
504 37386 2121156 28284
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
233
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
66666667,69
504
9
28284
30609
37386
9
504
9
2121156
2
2
11
2
111
2`
``
N
t
N
t
S
N
Y
N
t
N
Yt
S
n
ii
n
i
i
t
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
yt
Por lo tanto el valor de coeficiente de regresión o incremento medio:
8458,99999966666667,6
3060
2`
``
t
yt
S
Sb
201. Sea la tabla:
Y
X [0-10[ [10-20[ [20-30]
15-25 3 0 11
25-35 0 1 5
35-45 12 23 0
Determine las medias aritmética, geométrica y armónica de "Y", y 2
yS
Solución:
La distribución marginal de Y es:
Y [0-10[ [10-20[ [20-30]
Frec. Abs. 15 24 16
Tomamos la marca de clase de cada intervalo como representativa
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
234
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
182,1555
835
162415
16252415155
Y
8975,122515555 162415 G
4962,1024,5
55
25
16
15
24
5
15
162415= H
33,56182,1555
15775182,15
162415
16252415155 22222
2
yS
202. Sea la tabla:
Y
X [0-30[ [30-60[ [60-90]
5-10 4 0 0
15-20 9 8 6
20-25 19 1 12
Determine las medias aritmética, geométrica y armónica de "Y", y 2
yS
Solución:
La distribución marginal de Y es:
Y [0-30[ [30-60[ [60-90]
Frec. Abs. 32 9 18
Tomamos la marca de clase de cada intervalo como representativa
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
235
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
88,3759
2235
18932
18759453215
Y
98,2875451559 18932 G
9275,22573,2
59
75
18
45
9
15
32
18932= H
139,71288,3759
12667588,37
18932
18759453215 22222
2
yS
203. La tabla muestra la estatura y el peso de 10 adultos:
Estatura
X (cm) 149 156 149 163 188 157 163 160 170 180
Peso Y 45 56 48 67 88 54 63 59 71 82
Encontrar los coeficientes del modelo de regresión lineal.
Solución:
xaybxV
yxadondebxay
)(
),cov(
X 163,6
Y 63,3
YXYXn
yxn
i
ii
1
1),cov(
n
i
i XXn
XV1
21)(
),cov( yx 10514,1 – 10355,88
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
236
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
),cov( yx 158,22
6,144610
1)( XV = 144,66
1,0937466,144
22,158a
b = 63,3 – 1,09374 6,163 = -115,636
204. La tabla muestra la estatura y el peso de 10 adultos:
Estatura
X (cm) 165 148 167 178 176 163 172 171 160 152
Peso Y 65 48 67 78 76 63 72 71 60 52
Encontrar los coeficientes del modelo de regresión lineal.
Solución:
xaybxV
yxadondebxay
)(
),cov(
X 165,2
Y 65,2
YXYXn
yxn
i
ii
1
1),cov(
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
237
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
n
i
i XXn
XV1
21)(
),cov( yx 10857,6 – 10771,04
),cov( yx 86,56
6,86510
1)( XV = 86,56
56,86
56,86a 1
b = 65,2 – 1 2,165 = -100
205. La tabla muestra la estatura y el peso de 10 adultos:
Estatura
X (cm) 147 154 156 173 163 166 152 159 160 171
Peso Y 45 50 57 72 68 70 50 76 68 65
Encontrar los coeficientes del modelo de regresión lineal.
Solución:
xaybxV
yxadondebxay
)(
),cov(
X 160,1
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
238
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Y 62,1
YXYXn
yxn
i
ii
1
1),cov(
n
i
i XXn
XV1
21)(
),cov( yx 10004,6 – 9942,21
),cov( yx 62,39
9,62010
1)( XV = 62,09
09,62
39,62a 1,0048
b = 62,1 – 1,0048 1,160 = -98,76848
206. La tabla muestra la estatura y el peso de 15 adultos:
Encontrar los coeficientes del modelo de regresión lineal.
Solución:
xaybxV
yxadondebxay
)(
),cov(
Estatura
X (cm)
153 15
4
155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167
Peso Y 54 52 60 56 59 62 66 72 66 67 54 50 56 71 82
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
239
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
X 160
Y 61,8
YXYXn
yxn
i
ii
1
1),cov(
n
i
i XXn
XV1
21)(
),cov( yx 9905,4 – 9888
),cov( yx 17,4
28015
1)( XV = 18,667
667,18
4,17a 0,932
b = 61,8 – 0,932 160 = -87,32
207. La tabla muestra la estatura y el peso de 15 adultos:
Encontrar los coeficientes del modelo de regresión lineal.
Solución:
xaybxV
yxadondebxay
)(
),cov(
Estatura
X (cm) 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181
Peso Y 67 69 74 76 62 72 63 64 74 77 79 89 98 86 110
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
240
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
X 174
Y 77,3333
YXYXn
yxn
i
ii
1
1),cov(
n
i
i XXn
XV1
21)(
),cov( yx 13499,13333 – 13450,2
),cov( yx 48,93333
28015
1)( XV =18,667
667,18
93333,48a 2,621
b = 77,3333 – 2,621 174 = -378,7207
208. La tabla muestra las edades y la presión sanguínea de 10 mujeres adultas:
Edad X 26 34 56 78 86 42 44 36 35 76
Presión
Sanguínea
Y
98 120 121 156 160 76 87 113 126 187
Encontrar los coeficientes del modelo de regresión lineal.
Solución:
xaybxV
yxadondebxay
)(
),cov(
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
241
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
X 51,3
Y 124,4
YXYXn
yxn
i
ii
1
1),cov(
n
i
i XXn
XV1
21)(
),cov( yx 6904,2 – 6381,72
),cov( yx 522,48
1,412810
1)( XV = 412,81
81,412
48,522a 1,265667
b = 124,4 – 1,265667 3,51 = 59,4712829
209. La tabla muestra las edades y la presión sanguínea de 10 hombres
adultos:
Edad X 23 72 71 43 48 69 32 64 69 57
Presión
Sanguínea
Y
136 176 127 98 87 162 159 82 73 167
Encontrar los coeficientes del modelo de regresión lineal.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
242
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
xaybxV
yxadondebxay
)(
),cov(
X 54,8
Y 126,7
YXYXn
yxn
i
ii
1
1),cov(
n
i
i XXn
XV1
21)(
),cov( yx 6927,7 – 6943,16
),cov( yx -15,46
6,276710
1)( XV = 276,76
76,276
46,15a -0,05586
b = 126,7 +0,05586 8,54 = 129,761128
210. La tabla muestra las edades y la presión sanguínea de 10 niños:
Edad X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Presión
Sanguínea
Y
78 86 91 82 96 79 87 94 92 98
Encontrar los coeficientes del modelo de regresión lineal.
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
243
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
xaybxV
yxadondebxay
)(
),cov(
X 6,5
Y 88,3
YXYXn
yxn
i
ii
1
1),cov(
n
i
i XXn
XV1
21)(
),cov( yx 585,7 – 573,95
),cov( yx 11,75
5,8210
1)( XV = 8,25
25,8
75,11a 1,4242
b = 88,3 – 1,4242 5,6 = 79,0427
211. La tabla muestra las edades y la presión sanguínea de 15 mujeres adultas:
Encontrar los coeficientes del modelo de regresión lineal.
Edad X 27 38 59 47 39 67 84 32 71 36 49 53 58 64 42
Presión
sanguínea
Y
132 165 143 89 93 111 123 97 72 136 128 103 99 92 80
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
244
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
xaybxV
yxadondebxay
)(
),cov(
X 51,0666667
Y 110,866667
YXYXn
yxn
i
ii
1
1),cov(
n
i
i XXn
XV1
21)(
),cov( yx 5578,866667 – 5661,591132
),cov( yx -82,72446533
93333,360615
1)( XV = 240,462222
462222,240
72446533,82a -0,34402271
b = 110,866667– 51,0666667 34402271,0 = 128,4347601
212. La tabla muestra las edades y la presión sanguínea de 15 hombres
adultos:
Encontrar los coeficientes del modelo de regresión lineal.
Edad X 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
Presión
sanguínea
Y
165 143 87 86 90 109 114 134 152 117 128 142 140 152 76
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
245
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
Solución:
xaybxV
yxadondebxay
)(
),cov(
X 37
Y 122,3333
YXYXn
yxn
i
ii
1
1),cov(
n
i
i XXn
XV1
21)(
),cov( yx 4532,2– 4526,3321
),cov( yx 5,8679
28015
1)( XV
= 18,6667
6667,18
8679,5a 0,3144
b = 122,3333– 37 3144,0 = 110,7005
213. Utilizando los datos dados en el ejercicio 204, calcular el coeficiente de
correlación.
Solución:
r = yX
XY
SS
S
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
246
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
X = 163,5 Y = 63,3
13,391,3143
5,175
9
1,1760
9
5,1446
95,1579
r
13,3r
214. Utilizando los datos dados en el ejercicio 205, calcular el coeficiente de
correlación.
Solución:
r = yX
XY
SS
S
X Y Xi - X Yi - y (Xi - X )² (Yi - Y )² (Xi - X ) (Yi - Y )
149 45 -14,5 -18,3 210,25 334,89 265,35
156 56 -7,5 -7,3 56,25 53,29 54,75
149 48 -14,5 -15,3 210,25 234,09 221,85
163 67 -0,5 3,7 0,25 13,69 -1,85
188 88 24,5 24,7 600,25 610,09 605,15
157 54 -6,5 -9,3 42,25 86,49 60,45
163 63 -0,5 -0,3 0,25 0,09 0,15
160 59 -3,5 -4,3 12,25 18,49 15,05
170 71 6,5 7,7 42,25 59,29 50,05
180 82 16,5 18,7 272,25 349,69 308,55
TOTAL 1446,5 1760,1 1579,5
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
247
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
X = 165,2 Y = 65,2
000023,1165,9250
18,96
9
6,865
9
6,865
96,865
r
000023,1r
215. Utilizando los datos dados en el ejercicio 206, calcular el coeficiente de
correlación.
Solución:
r = yX
XY
SS
S
X Y Xi - X Yi - y (Xi - X )² (Yi - Y )² (Xi - X ) (Yi - Y )
165 65 -0,2 -0,2 0,04 0,04 0,04
148 48 -17,2 -17,2 295,84 295,84 295,84
167 67 1,8 1,8 3,24 3,24 3,24
178 78 12,8 12,8 163,84 163,84 163,84
176 76 10,8 10,8 116,64 116,64 116,64
163 63 -2,2 -2,2 4,84 4,84 4,84
172 72 6,8 6,8 46,24 46,24 46,24
171 71 5,8 5,8 33,64 33,64 33,64
160 60 -5,2 -5,2 27,04 27,04 27,04
152 52 -13,2 -13,2 174,24 174,24 174,24
TOTAL 865,6 865,6 865,6
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
248
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
X = 160,1 Y = 62,1
53,7728,7994
32,69
9
9,1042
9
9,620
99,623
r
53,77r
X Y Xi - X Yi - y (Xi - X )² (Yi - Y )² (Xi - X ) (Yi - Y )
147 45 -13,1 -17,1 171,61 292,41 224,01
154 50 -6,1 -12,1 37,21 146,41 73,81
156 57 -4,1 -5,1 16,81 26,01 20,91
173 72 12,9 9,9 166,41 98,01 127,71
163 68 2,9 5,9 8,41 34,81 17,11
166 70 5,9 7,9 34,81 62,41 46,61
152 50 -8,1 -12,1 65,61 146,41 98,01
159 76 -1,1 13,9 1,21 193,21 -15,29
160 68 -0,1 5,9 0,01 34,81 -0,59
171 65 10,9 2,9 118,81 8,41 31,61
TOTAL 620,9 1042,9 623,9
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
249
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
216. Utilizando los datos dados en el ejercicio 207, calcular el coeficiente de
correlación.
Solución:
r = yX
XY
SS
S
X = 160 Y = 61,8
47,043,1563
643,18
14
4,1094
14
280
14261
r
X Y Xi - X Yi - y (Xi - X )² (Yi - Y )² (Xi - X ) (Yi - Y )
153 54 -7 -7,8 49 60,84 54,6
154 52 -6 -9,8 36 96,04 58,8
155 60 -5 -1,8 25 3,24 9
156 56 -4 -5,8 16 33,64 23,2
157 59 -3 -2,8 9 7,84 8,4
158 62 -2 0,2 4 0,04 -0,4
159 66 -1 4,2 1 17,64 -4,2
160 72 0 10,2 0 104,04 0
161 66 1 4,2 1 17,64 4,2
162 67 2 5,2 4 27,04 10,4
163 54 3 -7,8 9 60,84 -23,4
164 50 4 -11,8 16 139,24 -47,2
165 56 5 -5,8 25 33,64 -29
166 71 6 9,2 36 84,64 55,2
167 82 7 20,2 49 408,04 141,4
TOTAL 280 1094,4 261
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
250
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
47,0r
217. Utilizando los datos dados en el ejercicio 208, calcular el coeficiente de
correlación.
Solución:
r = yX
XY
SS
S
X = 174 Y = 77,333
X Y Xi - X Yi - y (Xi - X )² (Yi - Y )² (Xi - X ) (Yi - Y )
167 67 -7 -10,33 49 106,7089 72,31
168 69 -6 -8,33 36 69,3889 49,98
169 74 -5 -3,33 25 11,0889 16,65
170 76 -4 -1,33 16 1,7689 5,32
171 62 -3 -15,33 9 235,0089 45,99
172 72 -2 -5,33 4 28,4089 10,66
173 63 -1 -14,33 1 205,3489 14,33
174 64 0 -13,33 0 177,6889 0
175 74 1 -3,33 1 11,0889 -3,33
176 77 2 -0,33 4 0,1089 -0,66
177 79 3 1,67 9 2,7889 5,01
178 89 4 11,67 16 136,1889 46,68
179 98 5 20,67 25 427,2489 103,35
180 86 6 8,67 36 75,1689 52,02
181 110 7 32,67 49 1067,329 228,69
TOTAL 280 2555,334 647
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
251
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
765,048,3650
21,46
14
334,2555
14
280
14647
r
765,0r
218. Utilizando los datos dados en el ejercicio 209, calcular el coeficiente de
correlación.
Solución:
r = yX
XY
SS
S
X = 51,3 Y = 124,4
X Y Xi - X Yi - y (Xi - X )² (Yi - Y )² (Xi - X ) (Yi - Y )
26 98 -25,3 -26,4 640,09 696,96 667,92
34 120 -17,3 -4,4 299,29 19,36 76,12
56 121 4,7 -3,4 22,09 11,56 -15,98
78 156 26,7 31,6 712,89 998,56 843,72
86 160 34,7 35,6 1204,09 1267,36 1235,32
42 76 -9,3 -48,4 86,49 2342,56 450,12
44 87 -7,3 -37,4 53,29 1398,76 273,02
36 113 -15,3 -11,4 234,09 129,96 174,42
35 126 -16,3 1,6 265,69 2,56 -26,08
76 187 24,7 62,6 610,09 3918,76 1546,22
TOTAL 4128,1 10786,4 5224,8
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
252
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
783,02202,549720
35,580
9
4,10786
9
1,4128
98,5224
r
783,0r
219. Utilizando los datos dados en el ejercicio 210, calcular el coeficiente de
correlación.
Solución:
r = yX
XY
SS
S
X = 54,8 Y = 126,7
X Y Xi - X Yi - y (Xi - X )² (Yi - Y )² (Xi - X ) (Yi - Y )
23 136 -31,8 9,3 1011,24 86,49 -295,74
72 176 17,2 49,3 295,84 2430,49 847,96
71 127 16,2 0,3 262,44 0,09 4,86
43 98 -11,8 -28,7 139,24 823,69 338,66
48 87 -6,8 -39,7 46,24 1576,09 269,96
69 162 14,2 35,3 201,64 1246,09 501,26
32 159 -22,8 32,3 519,84 1043,29 -736,44
64 82 9,2 -44,7 84,64 1998,09 -411,24
69 73 14,2 -53,7 201,64 2883,69 -762,54
57 167 2,2 40,3 4,84 1624,09 88,66
TOTAL 2767,6 13712,1 -154,6
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
253
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
025,06785,468513
178,17
9
1,13712
9
6,2767
96,154
r
025,0r
220. Utilizando los datos dados en el ejercicio 211, calcular el coeficiente de
correlación.
Solución:
r = yX
XY
SS
S
X = 6,5 Y = 88,3
X Y Xi - X Yi - y (Xi - X )² (Yi - Y )² (Xi - X ) (Yi - Y )
2 78 -4,5 -10,3 20,25 106,09 46,35
3 86 -3,5 -2,3 12,25 5,29 8,05
4 91 -2,5 2,7 6,25 7,29 -6,75
5 82 -1,5 -6,3 2,25 39,69 9,45
6 96 -0,5 7,7 0,25 59,29 -3,85
7 79 0,5 -9,3 0,25 86,49 -4,65
8 87 1,5 -1,3 2,25 1,69 -1,95
9 94 2,5 5,7 6,25 32,49 14,25
10 92 3,5 3,7 12,25 13,69 12,95
11 98 4,5 9,7 20,25 94,09 43,65
TOTAL 82,5 446,1 117,5
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
254
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
613,0361,454
056,13
9
1,446
9
5,82
95,117
r
613,0r
221. Utilizando los datos dados en el ejercicio 212, calcular el coeficiente de
correlación.
Solución:
r = yX
XY
SS
S
X Y Xi - X Yi - y (Xi - X )² (Yi - Y )² (Xi - X ) (Yi - Y )
27 132 -24,06667 21,133333 579,2044 446,6178 -508,609
38 165 -13,06667 54,133333 170,7378 2930,418 -707,342
59 143 7,9333333 32,133333 62,93778 1032,551 254,9244
47 89 -4,066667 -21,866667 16,53778 478,1511 88,92445
39 93 -12,06667 -17,866667 145,6044 319,2178 215,5911
67 111 15,933333 0,133333 253,8711 0,017778 2,124439
84 123 32,933333 12,133333 1084,604 147,2178 399,5911
32 97 -19,06667 -13,866667 363,5378 192,2845 264,3911
71 72 19,933333 -38,866667 397,3378 1510,618 -774,742
36 136 -15,06667 25,133333 227,0044 631,6844 -378,676
49 128 -2,066667 17,133333 4,271111 293,5511 -35,4089
53 103 1,9333333 -7,866667 3,737778 61,88445 -15,2089
58 99 6,9333333 -11,866667 48,07111 140,8178 -82,2756
64 92 12,933333 -18,866667 167,2711 355,9511 -244,009
42 80 -9,066667 -30,866667 82,20445 952,7511 279,8578
TOTAL 3606,933 9493,733 -1240,87
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
255
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
X = 51,0666667 Y = 110,866667
212,05043,174710
634,88
14
733,9493
14
933,3606
1487,1240
r
212,0r
222. Utilizando los datos dados en el ejercicio 213, calcular el coeficiente de
correlación.
Solución:
X Y Xi - X Yi - y (Xi - X )² (Yi - Y )² (Xi - X ) (Yi - Y )
30 165 -7 42,666667 49 1820,444 -298,667
31 143 -6 20,666667 36 427,1111 -124
32 87 -5 -35,333333 25 1248,444 176,6667
33 86 -4 -36,333333 16 1320,111 145,3333
34 90 -3 -32,333333 9 1045,444 97
35 109 -2 -13,333333 4 177,7778 26,66667
36 114 -1 -8,333333 1 69,44444 8,333333
37 134 0 11,666667 0 136,1111 0
38 152 1 29,666667 1 880,1111 29,66667
39 117 2 -5,333333 4 28,44444 -10,6667
40 128 3 5,666667 9 32,11111 17
41 142 4 19,666667 16 386,7778 78,66667
42 140 5 17,666667 25 312,1111 88,33334
43 152 6 29,666667 36 880,1111 178
44 76 7 -46,333333 49 2146,778 -324,333
TOTAL 280 10911,33 88
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
256
Estadística Bivariada
Nivel de Consolidación
r = yX
XY
SS
S
X = 37 Y = 122,333333
05,061429,15587
2857,6
14
33,10911
14
280
1488
r
05,0r