consigli per la risoluzione dei problemi

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Consigli per la risoluzione dei problemi

• Individuare il punto o i punti materiali di cui si vuole studiare il moto• Introdurre un sistema di riferimento inerziale• Individuare tutte le forze agenti sul punto materiale o sui punti

materiali– Ricercare i corpi dell’ambiente circostante che possono esercitare

forze• Tener presente che alcune forze agiscono a distanza• Altre agiscono per contatto

– Attenzione ai corpi a contatto

• Costruirsi il diagramma del corpo libero• Scrivere la seconda legge in forma vettoriale• Ottenere le tre equazioni scalari corrispondenti

– Attenzione alla scelta delle direzioni su cui proiettare



• Utilizzare tutte le ulteriori condizioni presenti nel problema se due corpi sono connessi da una corda ideale, di lunghezza costante,

è possibile scrivere delle relazioni tra i loro spostamenti e quindi tra le loro velocità e le loro accelerazioni.

Se un corpo è fermo (x,y e z costanti), tutte e tre le componenti dell’accelerazione sono nulle.

In alcuni casi solo alcune delle coordinate del punto materiale sono costanti, ne deriva le corrispondenti componenti dell’accelerazione sono nulle.

• Se la traiettoria percorsa è curva, cioè non rettilinea, allora la componente normale dell’accelerazione vale (v=modulo della velocità, r raggio di curvatura della traiettoria).

Alcune delle forze possono avere lo stesso modulo:– .Coppia di forze di azione e reazione, in base alla terza legge.– .Forze esercitate su oggetti diversi dallo stesso tratto di corda.

Etc.

an =v2

r



• Determinare le componenti dell’accelerazione• Dedurre dall’accelerazione trovata il moto del punto materiale.

– Accelerazione costante: moto uniformemente accelerato– Proporzionale all’opposto della velocità: moto smorzato– Proporzionale all’opposto della posizione:moto armonico

• Scrivere le leggi orarie tenendo conto delle condizioni iniziali• Determinare le eventuali forze mancanti.


Applicazione

Si consideri un corpo di massa m appoggiato su un piano inclinato rispetto al piano orizzontale con inclinazione variabile con continuità da zero a 90°. Sperimentalmente si osserva che quando l'angolo raggiunge il valore s=30° il corpo inizia a muoversi. Se, una volta che il corpo di massa m si è messo in moto, si mantiene costante l'angolo al valore s=30°, si osserva che il corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato. Se, invece, subito dopo aver messo in moto il corpo, l'inclinazione viene rapidamente diminuita e portata al valore d=25°, il moto risulta essere rettilineo uniforme. Determinare i valori dei coefficienti di attrito statico e dinamico s e d tra il piano inclinato e il corpo di massa m e l’accelerazione nel caso in cui l’inclinazione del piano viene mantenuta uguale a s=30°.

m


Applicazione

Innanzitutto introduciamo un sistema di riferimento inerziale.Conviene prendere l’asse y perpendicolare al piano inclinato e l’asse x parallelo al piano in modo che il piano xy sia verticaleFissiamo l’origine nella posizione iniziale del punto materiale.

y

x

Determiniamo le forze agenti • La forza peso• La reazione vincolare esercitata dal piano

inclinato• Componente Normale• Forza di attrito

P

N

Fas

Possiamo anche predire la direzione e il verso della forza di attrito:

• È opposta alla componente della forza peso parallela al piano

P

N

Fa

y

x

Costruiamo il diagramma del corpo libero

Scriviamo la seconda legge di Newton r P +r N +r F a =mr a


Applicazione

Si ottiene:

Per < s il corpo rimane fermo:

r P +r N +r F as =mr a Scriviamo la seconda legge di Newton

Troviamo le equazioni scalari proiettando sugli assi coordinati.

x mgsenθ−Fa =maxy N −mgcosθ =mayz 0 =maz

y

xP

N

Fas

ax =0 ay =0

θ ≅θs ⇒ ax =0Fa =Fs

max

Famax=mgsenθs N =mgcosθs

Fsmax=μsN

μs =Famax

N = mgsenθsmgcosθs

=senθscosθs

=tanθs


Applicazione

Si ottiene:

Durante il moto il corpo rimane sempre appoggiato al piano inclinato

r P +r N +r F ad =mr a Se l’angolo viene mantenuto a s


x mgsenθ−Fad =maxy N −mgcosθ=mayz 0=maz

y

xP

N

Fas

y(t) =0 ⇒ vy =ay =0

N =mgcosθs Fad =μdN =μdmgcosθs

Fad =μdN

ax =mgsenθs −Fadm =mgsenθs −μcmgcosθs

m =g senθs −μc cosθs( )

L’accelerazione è costante: il moto sarà uniformemente accelerato

x(t) =xo +vxot+12axt2

xo =0 vxo =0x(t) =1

2g(senθ−μd cosθ)t2

Se il piano è liscio, d=0 ax =gsenθ x(t)=12gsenθt2


Applicazione

Si ottiene:

Per = c il corpo si muove lungo l’asse x a velocità costante

r P +r N +r F ad =mr a Se l’angolo viene ridotto a c


x mgsenθ−Fad =maxy N −mgcosθ=mayz 0=maz

y

xP

N

Fad

ax =0 ay =0

θ≅θc ⇒ ax =0Fa =Fad

Fad =mgsenθc N =mgcosθc

Fad =μdN

μd =FadN =mgsenθc

mgcosθc=senθc

cosθc=tanθc


Applicazione

Un punto materiale di massa m=1 kg può muoversi lungo una guida orizzontale rettilinea priva di attrito. Il corpo è attaccato ad una molla di costante elastica k=400 N/m, il secondo estremo della molla è connesso ad una parete verticale, come mostrato in figura.Inizialmente il corpo viene spostato in maniera da allungare la molla di un tratto di 10 cm e lasciato da questa posizione con velocità nulla. Determinare la legge oraria, mostrare che il moto è periodico e determinarne il periodo. rFelInnanzitutto introduciamo un sistema di riferimento inerziale.

• Conviene prendere l’asse y verticale e l’asse x orizzontale coincidente con l’asse della molla

• Scegliamo l’origine nella posizione in cui si trova il punto materiale quando la molla non è deformata

• Questo semplifica l’espressione della forza elastica

Determiniamo le forze agenti • La forza peso• La forza elastica• La reazione vincolare esercitata dal piano inclinato

• solo la Componente Normale O

asse x

x

rFelasse y

r N r N

r P

Felx =−kx


Applicazione

L’accelerazione lungo l’asse x vale:

Scriviamo la seconda legge di Newton


ax =−kmx

O

asse x

x

rFelasse y

r N r N

r P

r P +r N +r F el =mv a

xyz

Felx =maxN −mg=may0=maz

Durante il moto il corpo rimane sempre appoggiato al piano orizzontale y(t) =0 ⇒ vy =ay =0

N =mg

Felx =−kx

L’accelerazione è proporzionale all’opposto della posizione: il moto è un moto armonico.

d2xdt2 =−k

mx

x =Acos(ωpt+ϕ) ωp = km

A e vanno determinate sulla base delle condizioni iniziali.


Pulsazione angolare Legge oraria

Applicazione

La soluzione =0 è l’unica che da un’ampiezza positiva, pari a A=0.1 m.

O

asse x

x

rFelasse y

r N r N

r P

Le condizioni iniziali:xo =10cm=0.1m

vxo =0 m/s

x =Acos(ωpt+ϕ) ωp = km

A e vanno determinate sulla base delle condizioni iniziali.

vx =−Aωpsen(ωpt+ϕ)

xo =Acosϕo( )0 =−Aωpsenϕo( ) dalla secondaϕo1 =0

ϕo2 =π

ωp = km = 400

1 =20s−1 x=0.1mcos(20t)


Applicazione

Un disco di massa m sta al di sopra di un tavolo orizzontale privo di attrito ed è collegato con una massa M appesa ad una fune che passa attraverso un foro al centro del tavolo, come illustrato in figura. Si determini la velocità del disco lungo la circonferenza di raggio r in grado di mantenere fermo il cilindro. Si assuma m=0.5 kg, M=0.3 kg, r=50 cm.

Innanzitutto poniamoci nel sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton.

Determiniamo le forze agenti su ciascuno dei corpi

Corpo di massa m• La forza peso• La tensione della fune• La reazione vincolare esercitata dal

piano• solo la Componente Normale

Corpo di massa M• La forza peso• La tensione della fune

r m

vN

P1T1

T2

P2M

Il diagramma del corpo libero


Applicazione

Scriviamo la seconda legge di Newton per i due corpi.

r P 1 +r N +r T 1 =mr a 1

r P 2 +r T 2 =Mr a 2

r m

vN

P1T1 un

jut

Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione vettoriale.Non siamo tenuti a scegliere gli assi coordinati: qualunque direzione noi scegliamo, la relazione tra le componenti lungo la direzione fissata deve essre simile all’equazione vettoriale.Nel caso del corpo di massa m conviene utilizzare le seguenti direzioni mutuamente perpendicolari:

r u nr u tr j

T1 =man =mv2

r0=mat

N −mg=ma1y

a1y =0 N =mg

y : T2 −Mg =Ma2y

Per il corpo di massa M l’unica equazione non banale è quella lungo l’asse verticale y:

a2y =0 T2 =Mg T2 =T1 Mg=mv2

rv= M

mgr = 0.3kg0.5kg9.81m

s2 0.5m= 2.93ms =1.71m

s


Applicazione

Un’automobile di massa m=1000 kg percorre una curva piana di raggio costante r=80 m con una velocità costante di 60 km/h. Determinare il minimo coefficiente di attrito statico tra asfalto e ruote dell’automobile necessario perché l’automobile si mantenga la traiettoria curva.

Determiniamo le forze agenti sull’automobile

• La forza peso• La reazione vincolare esercitata

dalla strada• La Componente Normale• La forza di attrito (statico)

• La parte di ruota a contatto con la strada è ferma rispetto alla strada.


Poniamoci nel sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton.


Applicazione

Scriviamo la seconda legge di Newton per l’automobile.

r m

vN

PFs un

jut

Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione vettoriale.Come nel caso precedente utilizziamo le seguenti direzioni mutuamente perpendicolari:

r u nr u tr j

Fsn =man =mv2

rFst =matN −mg=may

at =0 Fst =0Poiché il modulo della velocità è costante

r P +r N +Fs =mr a

Poiché l’automobile rimane attaccata alla strada ay =0 N =mg

La forza di attrito statica necessaria a mantenere l’automobile in traiettoria è: Fs =Fsn =man =mv2

rLa forza di attrito statico è limitata superiormente

Fs ≤μsN mv2

r ≤μsN =≤μsmg

Da cui ricaviamo μs ≥v2

rg =16.72m2

s2

80m×9.81ms2

=.35v =60×1000m

3600s =1006

ms =16.7m

s


Applicazione

Un’automobile di massa m=1000 kg percorre una curva di raggio costante r=80 m con una velocità di 60 km/h. Determinare l’angolo di cui deve essere sopraelevato l’esterno della curva rispetto all’interno perché l’automobile si mantenga sulla traiettoria curva senza far ricorso alla forza di attrito.



• La forza peso• La reazione vincolare esercitata

dalla strada• Solo la Componente

Normale

VN

P

un

ut


Scriviamo la seconda legge di Newton per l’automobile.

r P +r N =mr a

r m

vN

PFs un

jut

Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione vettoriale. Come nei casi precedenti utilizziamo le seguenti direzioni mutuamente perpendicolari:

r u nr u tr j

Nsenθ=man =mv2

r0=matN cosθ−mg=may


Applicazione

Nsenθ=mv2

R ⇒ mgcosθsenθ =mv2

R ⇒ tanθ =v2

gR = 16.72

9.81*80=.35

θ =arcotan0.35( ) =19.2°

N cosθ=mg ⇒ N = mgcosθ

r u nr u tr j

Nsenθ=man =mv2

r0=matN cosθ−mg=may

Poiché l’automobile si muove su una traiettoria orizzontale

ay =0

L’accelerazione tangenziale è nulla:Il moto avviene con velocità di modulo costanteDalla prima ottenaimo:


Applicazione



• La forza peso• La Tensione della fune

la seconda legge di Newton vale: r P +r T =mr a

P

T


Preliminarmente ricordiamo che in un moto circolare antiorario:

v

v =ωr at =dvdt =d ωr( )

dt =dωdtr =αr

Un corpo di massa m=1kg è appeso mediante una fune ideale di lunghezza L=3 m al soffitto del Laboratorio. Determinare il periodo del pendolo nell’ipotesi che esso venga abbandonato da fermo quando l’angolo formato dalla fune con la verticale è di 5°. Si supponga che l’ampiezza delle oscillazioni possa essere considerata piccola. Determinare inoltre il valore della tensione nella fune quando passa per la posizione verticale.

La posizione del pendolo può essere individuata specificando


Applicazione

Riscrivendo l’accelerazione tangenziale in termini di accelerazione angolare si ottiene:

Poiché az=0 è la velocità iniziale è nulla, possiamo concludere che il moto del pendolo avviene nel piano della figura.

Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione vettoriale. Utilizziamo le direzioni ut ed un mostrate in figura, ed uz perpendicolare ai primi due.

N.B.Per evitare complicazioni limitiamoci a considerare la parte di moto antiorario del pendolo.

P

T

un

ut

r u nr u tr u z

T −mgcosθ=man−mgsenθ=mat

0=maz

at =αL dove α è l'accelerazione angolareα =d2θ

dt2

Forza di richiamo, opposta a

−mgsenθ =maθ Lα =−gsenθ⇓

d2θdt2 =−g

L senθ

d2θdt2 =−g

L θse è piccolo

sen =

L’accelerazione è proporzionale all’opposto della posizione: il moto è armonico!


Applicazione

Equazione differenziale del moto armonico con pulsazione angolare p data da:

La legge oraria è del tipo:

P

T

un

ut

d2θdt2 =−g

L θ

ωp = gL

θ t( ) =Acosωpt+ϕ( )

ω(t) =dθdt =−Aωp senωpt+ϕ( )

In cui le costanti A e vanno determinati sulla base delle condizioni inizali.Miraccomando a non confondere la velocità angolare con cui si muove il pendolo con la pulsazione angolare.Pur avendo le stesse unità di misura sono completamente diverse:

• La pulsazione angolare è una costante• La velocità angolare varia sinusoidalmente. Il pendolo si ferma, =0,

agli estremi dell’oscillazione ed è massima per =0.

ωp = gL


Applicazione

Determiniamo le costanti A e Ricordiamo le condizioni iniziali:

La scelta =0, da una soluzione positiva dell’ampiezza:La legge oraria diventa dunque:

P

T

un

ut

θ t( ) =5°* π180° cos g

L t⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ =0.087cos 9.813 t⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ =0.087cos1.81×t( ) rad( )

ω(t) =−.157sen1.81×t( ) rads

⎛ ⎝

⎞ ⎠

Abbiamo già verificato che la legge oraria del moto armonico è periodica con periodo T=

θ t=0s( )=5°ω(t =0s) =0

Quindi: 5° =A cosϕ( )0=−Aωpsenϕ( ) senϕ( ) =0 ϕ =0

ϕ =π

T =2πωp

=2×3.141.81 =3.47s


Applicazione

Per il calcolo della Tensione riprendiamo l’equazione secondo un:

Dove an è uguale a:

P

T

un

ut

Confrontiamo questa tensione con quella che si ottiene quando il pendolo è fermo in condizioni di equilibrio:

T −mgcosθ=man an =v2

L =ω2L

Per = 0 la velocità angolare è massima: pari alla sua ampiezza. Pertanto

T =mgcosθ+mω2L =

perθ=01 2 3 mg+mωp

2A2L =mg+mgL A2L =mg(1+A2)

r P +r T =0 ⇒ r T =−r P

In condizioni di equilibrio T=mg ed è verticale: il filo si dispone lungo la verticale (filo a piombo).Per =0 la tensione nel caso dinamico è più grande che in quello statico perché essa oltre ad equilibrare il peso deve fornire la forza centripeta necessaria per far percorrere al pendolo una traiettoria circolare!!


Applicazione

Usiamo il sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton.

Per la proprietà delle corde ideali:

I diagramma del corpo libero con le forze agenti

corpodi massaM r P +r T 5 =0 T5 −Mg =0

Una massa M è tenuta in equilibrio da una forza F applicata ad un sistema di pulegge come mostrato in figura. Considerare le pulegge di massa trascurabile e senza attrito trovare la tensione in ciascuna delle sezioni della fune T1, T2,T3,T4,T5 e il modulo di F.

T1 T3T2

T4

T5FM

MT5

MgT5

T3T2

T2

T3T1

T4

T1 =T2 =T3 =F

Carrucolapiccola r T 2 +r T 3 +r T 5 =0 T2 +T3 −T5 =0

Carrucolagrande r T 1 +r T 2 +r T 3 +r T 4 =0 −T1 −T2 −T3 +T4 =0

T5 =Mg

2F =T5 ⇒ F =Mg2


Applicazione

Per la proprietà delle corde ideali:


corpodi massaM r P +r T 5 =0 T5 −Mg =0

T1 T3T2

T4

T5FM

MT5

MgT5

T3T2

T2

T3T1

T4

T1 =T2 =T3 =F

Carrucolapiccola r T 2 +r T 3 +r T 5 =0 T2 +T3 −T5 =0

Carrucolagrande r T 1 +r T 2 +r T 3 +r T 4 =0 −T1 −T2 −T3 +T4 =0

T5 =Mg

2F =T5 ⇒ F =Mg2

T4 =3F ⇒ T4 =3Mg2


Applicazione


T1 T3T2

T4

T5FM

MT5

MgT5

T3T2

T2

T3T1

T4

N.B.: Quando si ha a che fare con carrucole e corde, la tensione della corda va pensata applicata alla carrucola nel punto di tangenza della corda alla carrucola.Infatti uno può pensare che la parte di corda a contatto della carrucola sia un tutt’uno con la carrucola stessa (la corda non scorre sulla carrucola): ne deriva che il punto di attacco della corda alla carrucola è proprio il punto di tangenza.


Applicazione

Due molle di costante elastica k1=104 N/m e k2=2x104 N/m, rispettivamente, sono collegate come in figura. Una estremità di ciascuna molla è fissato al soffitto mentre le altre sono vincolate ad un corpo di massa m=10kg. Si calcoli l’allungamento delle due molle quando il corpo è in equilibrio.

O

y

m

m

P

Fel1 Fel2


Applicazione

Due molle di costante elastica k1=104 N/m e k2=2x104 N/m, rispettivamente, sono collegate come in figura. L’estremità superiore della prima molla è fissato al soffitto mentre l’estremità inferiore è vincolata ad un corpo di massa m=10kg. Si calcoli l’allungamento di ciascuna molla e quello complessivo quando il corpo è in equilibrio.

y

m

Molla 1

Molla 2m

F1s

F12

F21

F2m

Fm2

P

Molla 1 Molla 2

F1s = forza sulla molla 1 dovuta al soffittoF12 = forza sulla molla 1 dovuta alla molla 2 (il modulo F12=k2y2) F21 = forza sulla molla 2 dovuta alla molla 1 (il modulo F21=k1y1) F2m = forza sulla molla 2 dovuta al corpo di massa mFm2 = forza sul corpo di massa m dovuta alla molla 2 F12 =- F21

F2m =- Fm2


Applicazione

Due parallelepipedi di masse m1 ed m2 sono posti uno sopra l’altro. Il coefficiente di attrito tra m1 ed il piano è 1 mentre quello tra i due corpi è 2. Studiare il moto del sistema quando ad m1 è applicata una forza orizzontale.

m1

m2F m1

Fm2

P1

NN21

Fa21P2

Fa12

N12


Applicazione

Due blocchi (m=1.0 kg e M = 10 kg) e una molla (k=200 N/m) sono sistemati come in figura su una superficie orizzontale priva di attrito. Il coefficiente di attrito statico tra i due blocchi è 0.40. Qual è la massima ampiezza del moto armonico semplice per evitare lo slittamento dei due blocchi. Se l'ampiezza del moto è più piccola di quella massima quanto vale il periodo?Scrivere infine l'espressione (in funzione del tempo) della componente verticale e di quella orizzontale della reazione vincolare esercitata dal blocco di massa M su quello di massa m.

mM

k

Vedi il problema precedente: sostituire la forza F con la forza elastica!


Applicazione

Due masse, connesse da una corda ideale e priva di massa, passante su di una carrucola assimilabile ad un disco, partono da ferme dalla posizione illustrata in figura. Qual è la loro velocità relativa quando passano l’una di fronte all’altra (stessa quota)? Quanto tempo impiegano i due corpi per raggiungere questa configurazione?

P1 P2

T2T1

T1= T2 =T


Applicazione

Una lampada è sospesa ad un filo nella cabina di un ascensore. Si supponga che la cabina stia salendo e, per fermarsi al piano, rallenta con una accelerazione di modulo 2.4 m/s2. Se la tensione nel filo che sostiene la lampada è di 89 N, qual è la massa della lampada?Quale sarà la tensione nel filo quando l'ascensore riparte con una accelerazione di pari modulo, 2.4 m/s2, per raggiungere un piano più in alto?

aP

T

v


Applicazione

Una palla viene lanciata contro un muro con la velocità iniziale di 25.0 m/s a un angolo di 40° rispetto al suolo orizzontale come mostrato in figura. Il muro si trova a 22 m dal punto di lancio.Trascurando la resistenza dell’aria determinare:

• quanto tempo la palla rimane in aria prima di colpire la parete.• quali sono le componenti orizzontale e verticale della velocità

all’istante in cui la palla colpisce la parete• se nel momento in cui tocca la parete ha già superato il vertice della

traiettoria.


Applicazione

Un treno di massa 5x105 Kg sta viaggiando orizzontalmente a 60 km/h e sta effettuando una curva il cui raggio di curvatura è 1 km. Allo stesso tempo sta decelerando ed il tasso di decrescita (accelerazione) del modulo della velocità è di 0.1 m/s2. La lunghezza del treno è trascurabile confrontata con le dimensioni della curva ed il treno può essere trattato come un punto. Che forza totale esercitano i binari sul treno? (dare la risposta all'inizio della curva, quando cioè la velocità può essere considerata ancora uguale a 60 km/h).

R=1 km

un

ut


Applicazione

Due blocchi, di massa m1=2.3 kg e m2=1.2 kg, sono poggiati su un piano orizzontale privo di attrito come mostrato in figura. Se al corpo di massa m1 viene applicata una forza di intensità pari a F=3.2 N, determinare l'accelerazione dei due blocchi e la forza di contatto tra i due. Determinare le stesse quantità nel caso in cui la forza F viene applicata al blocco di massa m2 e confrontarle con quelle determinate precedentemente. Spiegare le eventuali differenze. m1

m2Fm1

m2F

m1

Fm2

P1

N1

N21

P2

N12

N2


Applicazione

Nella figura A e B sono due blocchi rispettivamente di 4.4 kg e 2.6 kg. I coefficienti di attrito statico e dinamico tra il blocco A e il piano sono rispettivamente 0,18 e 0,15.

• Si determini la minima massa del corpo C che impedisce ad A di scivolare.

• Improvvisamente il blocco C viene tolto da A. Valutare l'accelerazione di A e la tensione nella corda.

A

B

C

TA

C

PA

NCA

PC

NAC

NTB

PB

B

C

A


Applicazione

I due blocchi della figura, di massa m=16 kg e M=88 kg, non sono collegati tra loro. Il coefficiente di attrito tra i blocchi è s=0,38, mentre la superficie su cui appoggia M è priva di attrito. Qual è l’intensità minima della forza orizzontale F necessaria per mantenere m contro M?

F M

m

F Pm

NmMFamM

NMm

NM

PM

FamM

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