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r f'fn~m!~ J!~,!!hje zt,niP.'!1e'f!!esJf ?iertO;. 'J.ta q.ue la operacio.n ~ proppslCLOn en que se funda la: que se est efectuan.do, -fe halla ei,

~t prraf~ qu~ ~jcf! rdicho nmero i. ddem~s. s~ 'pondra .la senal cuando la~ cztas .r:steT1.

-Jf'fq,~Y (~alc1ilas H~ (\-;~.~ ~ r' )t~ ~'7{ . ~. (~. ;. ~~~,..' .,. ~"'\:_ .' 1 ,' . ~ \... f,j. I ... ,.;~ . _.~, ,'1\' '

~"",:.Sb alguno . rJesea,.sfl -mas eftlfllsi(Jn solm; ,'Ca:lqu'il p'unto d "Zos cohteilidos en ' eitt

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st\!om~ti~ en, ~~. n~iffie.r~,. al. d~r la ~,e,.,Dt0~~r"a~ cion ' 'd.~ 1a t,.,.:r.SH5IYiTi'.i c\l.erc u' los Ifl 1i(h1.s;(!.f

. , Ol~ \ l' . , fu,, 'J r~" . . "tt ., d parrafo' 367 de1 ~omo -segmido; nara 'esto ha sdo .. . .. r:::-'o iiaii=:al": ': 'a aohfirir:~lt~ ~t"l.P. J. ~ ..... ~ 1) \.~BH , .. " '-iq-t., .~ ~ar ~(( .. g~ ~m~~mep,to~',Yr) 4.e!h!~ _ c~~t~~~~J!)lt yetfad,. T.~mJm:n h~ .a;5.~d.i,dD"dos n~eViQ~ c.~S!il~ ye igualdad. de. tringulos q.ue sOIill~' :corola ..

~~os -4,~ .. y . 5,~ , del , 2:,.3 del tomo pii~6FO, ~y otro5d)~N~'aso's tambien nuevos de- sem':jaMza ae trIngulos" qu'e 'son' tos 'conttmid:s"eILl-

, . 1 ,.-

5egurtda~ 'pa'f del; e~~~no 11.; y eh 'el'eSco:' lio i:~ .~~J' 3~~ t'.?!9u,~)la?ie.~.?~ ~:~%lado ..,0 1~ _,'r~05.tr~GlPn . ~ .~~ps ErOpO~lt\q~~~ cler-

pue~A~ .. l?\l.~J,waa ,Jj( 'w.lIAAr~ . edtCl~,.J~zgo ~t; l~,.:m~.y:Qr' jmp9rt.;itk(~;.y I.I,-eC~sida{l eL ql!le

~ean .. crihociQas; l de ,tofl(j)S~ lqs\ que emprtentlan el eshull1i:1 :de ,las;,lV[~temii~as"En euantG' - lo pem9.s,;, -casi no se ha. hecho ot,ra ' atteraciOll qu el haber corregido, ,las err~t~s_ de la pri- . Eera' .ecl'i:cit)ll';'l1~ 1~\ c\la.~j riiq~m~rl1:e' HeHo

~ilve~* qe , e~tand.Qc'8~ven"cid~ ~,~ h

n,E .LAS MAT~RIAS .~ONTENI,.DA~ too; :~'/~ - , .... r.n " "rp BI,] -',',' r r. ::';"';Q J~ ~' . . r. 1') . ENL Es I E > l'IO.~'O~ ,;o ;::,ve U'! ~t

, 1\ ...... :,f):".) \ !')IJ)~j ~ r~ r /," ~j:!t> 1'1.' , .~ - ' .' . Ltl1 I . '" ;;~.) O-.(':!'! .. ! ; .: .... :); rfit ~a&! .f\;RITM'JiIGA . N~c'C!fle~ ;Jf~I".mJflares ~ .fI~ln#'~ ,;.

: flon ,. ~Msion y 's,,~t1~vji~p as las. un;jJ~(Jp'f~": t",i., .' '~(" .1.Od _ to "' o . .,l 'J 4 .-,.0 o a~ ,p'eSU$ y 1neuJ lJs .......... u " ..... ." ....... ~ 1" 1. Dda :operucion de'J~mdi'ri!da 'ad'ilo. :. .~ .~'~ G 8 Pe ta perocJoh-de ,:rtar,; rde..Ji.t rsusit:a.i~.!~ .?r r~f3 D 1 ' ...... / . l' d . .' "1' o L , L e ti .",wtlp cae, n ............ ~ r ~ ~ '..i: . \\~ .. ly De 1 d' o ,. o t .,. Q J JVfston .I. ........... f~ eI ~ .~ J.'~ 2.-, De1'" J"'s'1 prUebas ... " .... !.~ ...................... ~'''~ ., ... ~,;.~ ;. 4S Conosecue-nc,ias oimportqntes-As}li,s opert;ej{~1J!'.s~ ( . O) .. plic"4QS,:'!'J .. J~: ty,!I .. t ...... : ~~ ~ ~!~! ~ , ~;) 1)e las ,quebraJos 6 rfl4~IQ~1 j i Je ~u epre~ipp" . r re?If~~i~n ti 'un 'a'omu.n .'tef0~n!~~or:/: r.iZIV:: ' ,o .

. 1'liJica~clon ..................... ~ ~ . ~ . :...~ ........ I 41 lumar ;restar, multiplicar lHividir o cJ.uebra~d$. " ') ~ De la 'lJaluacion de los q~brad.os: .... !' . :-!:.~: .. ~~~:J" sj De los qrJebrado$ fiaeci;mS. de'ciil!tdg... ... -.;.' ~ o '60 Sumar, restar, multiplicar;'y..:divrdir: 'decirmde!l 66 Sumar, restar, mul!i-pticllf! ' yo divi-d.ir . nlnerJl.S'-;" '" I denomjtHIdos ... u ... .... l jI. ': ~ .. ...... \ .. ;f~~ . 'ef' _. 11 A ". ' -. o, j ls' . LGERRA. Nociones preHminf!res.. .................... 7..? De la su~a de las cafl~iddes ,ilgebricas ....... ;,.~. 8 S De la 'op'ra~ion ele rstar ~anfidades JLgebrics. o. S1S' !Ds Ola ~~lfiplfcaeiojJ algefjric(( ....... ; ... ;; ... ~ ~~~: 8.; . De la 8iVision algebrica ................. ~ . : -t.;!:.:. 91 De los qufbracJos literales ... ... ,....... .. ......... .. ..... ' 97

'Ds la efe'VadQn potencias. y sstraccion de ~'iI-ces!; de loS" mono7nios .............. ~ ........ 'i ............ 100

De taso epresiones imajin,Qrias ............. . ~.: .. : .. lQ6 SEG-V!iDA PARTE DEL AI.GEBRA. De la- atl4li.

si" 'ulge,,~;cfJ, , .mo"cion ae lllS, wI,,!ion."

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Resoucion ... de tos tnang,ulos o,blJcua.ng"los.. ..... 34S Id~a ie~e.~ar ,le. la re:.s~iu~ion ,,4e Jos ~~~d~g~l~s'; .: .

e'si'ricos.~ ... ~ ~ . ~ . , ...... 349 'J1. ~~1_ ~ . ~.. {\ . .;\ .... ~\I o' r' I 1"'-') , G.E.o~'iiiT"itA . PRcTI,,: 'D o fa ni'Z1eJi:icin:.~;.... 3 S 3 De ta ' m'edlcion de las .lneas : ........ ~: ......... ~.:.: .... 356 De l~:me~do~ de los. ~p~t~s..:;:.:: ............ : ..... :. :35 8 Medir pl.tffras y distancJas awib,es~ inaccesi- .\

.ble;" j , ~'o~o de Jeva~!.tf!: 'J~~ p'tanos to.p~~ .. grficQ$ .IU ' ~ !., '! ............... I.' 36[

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(-b) -7c4 iJ, X-3a5d6c3 +1 sb6aZ 20a9b5cmdsf 8a4b2ocndr f20

ax1I1Z n . .,.-n , axm.'Zn.'Z-n -b'Zn.xm.x"--ll' b.'Zn. x1n.x-m

(A pago sig.) (A) P=GQF PC_QF UY UT \ sern opuestos sern el opuestG BA:,Bd - _BA:Bd' es ser BA2+BCz

'7rDG 0:-::3600 EG=EH AEFG BFI

VII 'Pg. , Ln.

~~ --313 ,; :,",' 1 r JI=PBxtL 1. ,JI-PxiL. ,'t'::' ':' 340" - 3Q ::eos.':eos. ,/:eos.:eos." , .. , 346 J Psamos l?~sems 1

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SeL:;~m: ;~erp~ --~~do 'lO ~~~S" Cpaz d;ha~ cer ' 'impresioh "en' ri'hestro's( setidas: Las: im-presiones 'que dos causl'los cueppos, ~e Ha! ti1an sensdciones. JLas sensi:H::'ib'rles 'corlslderaJ as' como r~presenfanao 1os '~ objetos, se lla:: roan ideas; y la facultd, por cuyo trJedio per , demos retener las ideas,. se llamd memori(j~ Si para dar conocer el objeto qy.e repree:n~ ta, una' idea, ,es -absolutamente neoesario 'pre. sentarle al sentido que perteneoe, come 1! blan:cltl'a, picante, etc., la idea es simple'; >Y-SlJe'1 objeto se puede hacer conocer sin esta -jrcunstanda como una mesa, caballo." etc., la idea se llama compuesta. Si ~la id~a cO'l;lviene 'Un solo objet) , como la de este libro, se llama singular iAdividual; y es abstracta Q univer-sal,' cuando conviene muthos como 'la idea de libro; de manera que para formar una idea universal 6 abstract, se obise-rllar aquello e que ponllienen muchos ol?/e!os ,y se prescindi-r {le lo -demas.' - .' - La perac;:ion -pr cuyo medio podemos

p~escind.ir de aqu'ello en q'u' se difer~nciarl ,v-arios objetos', .se llama atistrracGon; de ma-JieFa 'que abstracc!on es una'oper.acion delal~ 1~, por medio de ' la c~l

1[ ; !NT'ItODUeeION. medio de ").,a:- atem:idn; 'as la 'atencon es unt1J operacion' 'det'a,'i'ia; por 7~dM de' la cual de mnchos objetos que se nos presentan, elejimos uno para hacernos cargo, de l; Y 'haciendo ) lo mismo con todos los demas ~ se vendr eI\

copo~imientoi' {;lt~ tQ.dos ellos. .:, , " , e, 1 _, ,,' C;Erpq' c;~ ,t,~~s)qs obj~t9s son compue5-

, tqs, nO,Bq~t:fJaat~nc

J.NTRODUC10N. - n !itl~,.t~~l').e de .1a-~a:sa se ,Uawa:.::c~hjibsarf,)tro qu. , ~ntl)ando en)a:,qane~ se fQese. dercho la as.a $iPl p,r.egla.1iltl,F ! l1lad,ie, haBr' ,analiza ..

gQ. f~as.dTo2" l ,d~ ,qqe tiene de. laI1:as& se Ua~ roa: clara. Y otro que no solo supiese la casa~

.sino qu,estal'ldo,ljos .. aeella;,J'r:es.'oapaZ de d\r l. otro tales-rije1as, que , ~iD:_ preguntar

. Aadie ~e.fuese der~phQ {t ~lla, este ,habr.Rna" liza

,~II IN'!'1tDCI~ t@; ,que 'e~' la r c6sa d que -se habli:( v:i" eH'~ ' anterior la" nieve)'; pl'edit;ado, que '~s lo q:U:e se aijrma:' , niega del ' sujeto (Vi ,gP'blan'ed) ; y cpula el! verbo ,( v. g. '8;5') qu ,los fue'

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. .1~iJ,'lt'0nV,1ON:. 'Il ,J9r:imfl9rta~Dcj~, p~~? en e1l0s ,se-f}1ndaIi ca~ si todasJa~

~rv. .I:!i't'~))tret:~o. Estas pro.pbsi:cione.s s'e CQtlc,n en " ~'e!p'ici; pian por el infinitivo 'imperativo Vh1ilsc~; \y en ta -d~'els.:fti:. cionCs,haa:~ver qu~ practk'anS o 'd.icnas;regfaS\. se llegar..: ;a te.tledo~1!l~r1>edi. : ',r ':)\) ~,

~J lrBo.s~l!l'lado: es l:fTt 'i:',ol'i'a f!ntln.dadif,en paf~ ticu~m.'\(:o~o~~u"atld@ .sel q,k~~n vez de-:'jj:ii pe: 6,o.durbrU':pud'fm w;'l'Uit. 'lf'ic(Fpe~etlls. ~)~ ~ \:}

~h 11\"smM'~ -es" 'n:a.:yijjbjJ'(f'ipi'G'rl"en q?teJse 'esJ. plica)!,:'Oid'VieTV;e, rilgulza\'eils,t. (" C'

'NTRo:ecioif. 'XV' "1' '~ oh's~Ils -q.n c~rp'~~rd~r6fulera, v. g. ,n lbro,"l 'haUqiY ' .n titl'aa- 'f' t'eat/ .!f-::q 'ue' pue'de a~ mentar disminuir. ,,,'::, :)'1:30 ,:)j':) ~f'. "'~(:-C';!

'O'\ ~. 1Y'~l banfidatl' se f(n~iae "eB2w[s~rera.('y, 'iInti ... ..l'.1:a t il" 'l."l.nn 'T~ Ix)e< 1l '-7J:K'''-r- " " ' :h r nu . j ' 'l11scr~la" 'es' a~ uer: ti: e""J'~s' p6l:rte$ n~ tite-; nTftf 'fJ,'ii;igunti:OfFetbc&l'l en .. t~nli:u,'J.'oom@ ~ montan de pesos duros; y-continua: es aq-ue , lla cuyas partes estn unida'S entre s[. como . las partes de plata que componen un duro. , La cantidad forma el objeto de las Matemti c~s; de manera que entendemos por M~tem. bcas las ciencias que tratan de averiguar las relacio{es y propiedades de la cantidad. Co-mo esta solo es susceptible de aumento di~ minucion, las ~atemticas solo podrn espre-sar, componery descomponer las cantidades; y c~lando se ejecuta cualquiera de estas ope-xac,lones, se dic.e que se calcula. I '\

1(;VI '~MDVce~o.1it. . La5 -'M!ate,Jn.,ti9'?"S ..J S~ di:Vl:l~I1 .. ~n.:pu,{~s y JJ:Ji~J~s; se' J4tm.ui;pura~A~~ _qlfeJ~tT;ta7J: fZfj t~, .c~lJ,t#a4.' gOfk;(a, ,:"ayor .abs(1q.s.c!f21J!; J . .ffi:ltAf

~on, l(fs~ q Uf3, ,Q.{{rA~~{,l(l!,q,Tl la I cW2~~~q.1~t;,n, a(gl&!HJ ie ,las.pJ'@pil(dar).ff;! rie. ZOf .q,uefpqsl".'lJ

ARITMETICA. -Nociones preliminares , numeracion, dil'ision

J subdil'ision de las unidades . de peso$ y medidas. _ .

l ' Se llama u-nidad cualquier cantidad que' se elije 9 toma para -q ue sirva de trmino de com para-cion medida. :respecto de todas las de su es.pece. V. g. en urra cantidad de dinero es presada. en reates ;

si~ve el real de unidad; espresada en U'os , sirve el duro, &c.- I

El agregado conjunto de varias unidades forma lo que se llama -nmero. O ' d~ otro modo: cuando com paramGs una cantidad de dinero con un duro ( real, &c.) con el fin de averiguar los duros ( rea-les, &c.) q He hay', el resultado de esta comparacion se llama nlme,o. As, cuando des pues de habedos contado decimos que ha y tantos duros ( reales), la. . palabra tantos es el nmer~.

y se llama AritmticaJa ciencia que tt-ata de ave-riguar las rel;ciones y propiedades de la cantidad es- , presada por nmeros. . v 2 La Aritmtic solo pueae bacer-con fas nme-ros las tres open:i.ciones de espresa1tos, componerlos, y descomponerlos . La parte que trata de espresai- los 'nmeros, se !Jama numeracion. Esta puede ser -ha-

. btada , y puede ser escrita; la ilLuneracion hablada. consiste eL'l espresar con palabras las diferente. co-lecciones de lJ.tlidarles .

. 3 Para darla.-- cono.cer observar mas que cual-quier objeto que nos presenta la naturaleza, es en s. lo que llamarnos uno; esto supuesto, el agregade de uno y uno, se espresa con la palabra dos, y por lo tanto dos equivale W10 y u-no; para espresar el cO,n-jamo de dos y uno /, se usa de la palabra tres; tres y uno se espresa con la palabra C!Hltro; cuatro y uno

1 T. 'l.

2 ARITMTICA. con la palabra' cinco; cinco y uno con la 'palabra seis; 'seis y uno con la palabra siete; siete y uno con la pa-labr!: ocho; ocho y uno con la palabra nueve; nueve y uno con la palabra diez . ,

4 Ahora se toma esta colecciop. 'de diez unidades por una nueva unidd" que se' llama 'Unidad de de-cena, y se con,tina cont.ando por decenas y unida-des, diciendo: ~iez y uno, die'Z y dos) &c.; mas por una irregularidad dllenguaje ', en vez de diez y uno se dice once; en vez de diez j ' dos s'e dice doce; n vez de diez y tres se dice trece'; en vep de ,diez y cuatro se dice CCltot7ce; en 'vez de diez y cinco se dice quince; y des pues se continua reg~larmente die ... y seis, die.z y siete, diez y ocho, die'Z y nueve; y para esprest ds dieces decenas se ,usa de la pala:" bra veinte, y se contina diciend': veintiuno, vein-ti dos , veinti.tres, ... veintinueve; y para es?resar tres dieces decenas (y 'en general cualquier 'colccion de decenas) se modifica la palabra tres ( cuatro, cin-co, &c,) que las espresa , con la terminacion enta, y se dice treinta; despues se contina: treinta y uno, treinta y dos, t-reinta y tl"es, ... treinta y nuev,e, cuo-

~f'o dieces cuaren,ta , . cUMe~ta y tino, cuarenta y dos, ... cuarenta y nueve; cincuenta, ci-ncuenta y uno ... cincue'nta y nueve; sesenta, sesentcl y uno,.. sesenta y nue~e; setenta, setenta y uno,... setenta y nueve; ochenta , ,ochenta y uno, ... ochenta y nueve; ' novent'a, nove'nta y uno, ... novel1ta y nueve; diez dieces de-cenas, que se espresan con la palabra ciento.

S ' Esta coleccion de diez decenas se toma por una nueva unidad, que se llama cetena , y se continla contando por centenas, decenas y unidades; dicien-

- do: ciento, ciento y uno ,... ciento y diez, ... -ciento cincuenta y se~s, .. ~ doscientos, ... doscientos ochenta y cuatro, .. trescientcis, .. ~ cuatrocientos, ... quinientos., ... ,seiscientos, ... setecientos, ... ochocientos, ... novecien-tos, .... novecientos noventa y nueve. Aadiendo uno tendrmos diez cientos, que se espresa con la pala-bra mil; se tema por una nueva unidad, que se lla~

-j

, AIUTMTICA. 3 mi! milll' , y se contina contando por millares, cen .. tenas, decenas y unidades, hasta tener un mUlar de millares, que se llama mitton; este se vuelve to mar por unidad, y se contina contando por miUe-nes, centenas de millar, decenas de millar, mUla .. res, centenas , d~cenas y unidades, 'hasta tener un. miIJon de millones,' que se llama bitloll. Despues S~ contina contando hasta un millon de bmones, que se Uama trillan; y as sucesivamente cuadril/on, qui .. llon) sestilton) &c. &e.; de modo que solo con lai trece palabras uno* dos, tres) cuah'o) cinco, seis, sie .. te , ocho ; nueve, diez, ciento, mil y la millon, modi. ficadas) se pueden espresar todos los nmeros de que puede necesitar el hombre. '

6 La numeracion escrita: consiste en espresar to-dos estos nmeros con pocos signos' ) que se lla;nan cifras, guarismos caractres. La que nosotros va-mos esplicar consta de los diez guarismos siguiente

1 , 2 , 3, 4, ), ~6, 7, - 8., 9, q ; \

.21110, doJ', tru, cuatro, cinco, J'eiJ', J'ieu, ocbo, nueve, ccro; y cada uno espresa la palabra que tine debajo; ad-virtiendo que el carcter o signitica la idea que tene-mos de la nada, y solo sirve para ocupar'en los nme .. ros el lugar en donde falta alguna especie de unidades.

7 Para espresar con estas diez. cifras todos los n-meros posibles, se considerara cada una de ellas con dos valores: uno absoluto) que es el que le acabamos de fijar; y otro, relativo al Jugar que ocupa contanda de ,derecha izquierda. As, el 'guaITismo 4 v. g. siem-pre espresar cuatro cosas; pero si est en el primer il!\gar de derecha iz.quierda, sern cuatro unidades; si esta. en el segundo, cuatro decenas, &c.

8 En' general .) el primer lugar, contando de de-recha izquierda) 'est destinado para las unidades; el segundo para las decenas; el tercero para las cen-tenas; el cuarto para los millares '; el quinto para las decenas de millar; el sesto parCJ las centiYlaS de millar; el sptimo para los mWol'l~s; el O~tavo para las dece .. .' '. . . .

4 AR'lTMTI(~Ai naS" de millon ; el _noveno para las cen~ena.r de 'millon~ 'el dcimo para ios millares de mUlon; el undciml) para las decenas de millar de milton; el duodcimo para las centenas de millar de mitton; el' d9imoter-cero pqra los ,bitJones; el dcimocu~wto para las de-cenas de bitton; el dcimoquinto para las centnas d:e billon; el ,dcimosesto para los millares de' bi~ Hon; el dcimosep.timo , para las decenas de miltar de biHon; et dcimoocta'zJo pariS las centenaf d~ m~llar de biHon ; .... el dcimonono para t.os trillones; y as succesivament~ ; , el vigsimoqui!lto para los cuadri-llones, ... el trigesimoprimo para los quitto!les, &c.

~ 9 - Esto supue~to , par:a escribir los nmeros, s~ seguirn las t'egtas de una rigorosa traduccion; , esto u , se colocal'n suesiV1nente tos guaflismos que es-presen el nmero de tmid~des de 'cada nlen, los unos al /.:ado de lo. otros, p.rincipiando por la izquierda, teniendo bien present~ la mcesion de estos rdenes pat'a ~o omitir ninguno, y ocupando con ceros tos lugares de.lo.- .rdenes de unidcides qle puedan flta:r,

10 La razon de empezar 'escribir por la izquier-da" es que la unidad de es pecie superior es la que est mas la izquierda, y cuando enunciamos un,m-mero, principiamos por la especie superio!'. 11 , As, si quiero escribir el nmerc; cillcu~nta y , siete 'mil, seiscientos y tres; lo primero escribir la palabra cincue'nta, que equivale (4) cinco 'decenas; p fl'r l:0nsiguiente, ponar en primer lugar un 5, que para que sean decenas debe seg,uir (8) su derecha otro guarismo , el.cu~ ha de ser , el que esprese las

. unidades; y como despues de cincuenta sigue la pa-labra siete, infiero que des pues del 5 debo poner un 7 y tendr 57, cOn 10 que estn escritas las palabras

,cincuenta y sete. ,Ahora sigue la palabra mit, 10 que me indica que para que el S 7 es prese millares, fal-tan aun tres cifras (8); y como la, primera que debe seguir es la que esprese la.s centenas, y en el m-mero dice seiscientos' , escribir el guarismo 6 para -espresadas, y tendr 576. ,Despues debe seguir: el

.A:ii:ITMTICA. J ~ua:iismo q tie esprese las decen~s;: 'Ye cbto 'eJ"!JmeJ ro dado no las tiene '(pues no hay en l las palabras 'diez, veinte, treinta,... noventa, qlle las le~ presan), pondr y 'rendr 5760. &un faltan las unidades; M ,c'olTIo en el nmero propuesto die tres, escribir ~l guarismo 3 despues ~el y tendr 57603, que ~s: p'resa el ninero que se q ueria. ,. ~' I'2 Con fa msra facilidad se escribir cqalquier iiJt,ro mmeto , aunqlie' sea mas' complicado: V. ,gr. si lifuiero ' esli:l'ibir el mmero o,cho mil quinientos sesent[f .lol' tf'es miUQn-s, doscientos cuare11ta y ,seis , mil; lq pr,imer0 escribir por lo dicho nries 8 S6 3, con 10

6 - ; .AlI.ITM~TIe'A. observarl. el lugar que ocupa cada guar;ilmo y -la e's~ pecie de .unidades. que espresa, y ~e pronu'ncia la pg-:: labra eorrespondente cada uno. :i;sto .e~ fcil, ;i el nmero tiene p0COS guadsmos; pero si -es compli~ cado se ,dvide en porciones de seis guarismds, empe;-'Zando por_ la derecha; en la primel'a separacion .'~ pone un 1, bien sea por la parte de arriba ,bien p,Qr llif ae abajo ; e~ la segupda un 2; en la tercera un 3, 'b'c., clespues se divi&e cada pordon de seis. guarismos . ~1} dos de tres con tina coma; y se empiez;a t;y.endo 1'CY6 "d izquiet'da ,pro.ll~ciando mil d.onde se enctle.ntre un\, coma, y donde se halle un r, un ,2 , un 3 , 'b'.c.!'Ili.;,-1I0n, billon, trillon, &c., y luego al fin se pronun; ca unidades. Ejecutando esto con el nm,ero

4683257257?02154309807 "",-t.endr 468,321 5 '7~,057 002,154 :ioo,8oi ~. 3 , . . 2 1 r._,; que se lee: cuatrocientos sesenta y ocho mi~ , tl'esciento veintiu-n trillones, quinientos s.etenta y dos mil citlct!ent{J y siete billones, dos mil ciento ci'ncuenta y cuq.tro mlto;-nes , trescientas mil ocJ1.Ocientas y siete unidades.

14 Ahora, si un nu~ero cualquiera: se le pon,e un cero la derecha, se le _ hace diez veees ma'yor:; porq ue su ltimo guarislno que ntes espresaba unida-des, ahera espresa decenastlas decenas, eentepas, ~~. del primitivo, se ,habrn hech~ tambien diez v~ces mayores, luego habindose hecho cada parte diez. ve-ces mayor, lo hahr quecl bres ~ 60 hombres ~ ,_&c.; y heterojne.os los que se

A.n.JTMTJeA. 7 refieren' diferentes tmidades " cemo 20 hombres 80 manzanas, &c. r El nmero se llama djito simple, cuando se es- I clbe cen Ufo!- solo guari:smo; y compuesto, cuando se escribe con mas. , Ademas, el nmero se divi;de en entero, iJuebrado, f1iisto ,fraccionario y quebrado de quebrado. Entero es el que So compone exactamente de unidades, como todos los considerados. hasta aqu' ; quebrado 'el 'lue ,espr:e$a partes de la uilil:lad, como tres cuartos., dos quintps " b'c. ; mistQel que s compone de entero ~ quebrpdo, ' como cuatro y medio; fraccionario es aquel en que, contandQ POI" partes de la unidad, se .llega tener una unidad ,mas de una unidad, cornil) tres terc-io~, e cinco tercios.; Y, por ltimo, quebrado de queb~ado es el que espresa partes de partes de ta unidad, ame lo.s t)'es ;,uartos de dos qintos , b'c.

16 Ea 10s pesos y medidas spaolas se observa. la . ley siguiente.

Las medidas de longitud se refieren al pie; eSte se divide en 16.dedos, y el dedo en mitad, cuarfa, ochava y die7.. y seisava parte; tambien se divide en 12 pulgadas,. y la pulgacra en r 2 \fneas. .

La va~a se compone ae tres pies, y la legua de 29000 pies. '. . '-< , . 17 ' La, .prjmera de las medid~s agrarias es el es-fadal cuaMado, que es \ln cuadro de 4 va,ras ~ 1 Z pies qe largo y otro ~anto de anche. pespues- sigue la aran7..da .,

I

a RITMTICA. cntaras; l ,.media cntara en 2 cuartillas; 1:t cua:f 4 tilla en 2 azumbres; la azumbre en 2 medi,s azum bres; la media azumbre e~l 2 cuartiUtos; ' el ' c'uartillo .en ;: medios cuartiUos; el medio cuartiNo en ' 2 co-pas; de modo que la cntara tiene 32 euar-tiFlos. El .mo::>,o se compone de 16 cntaras. ' , JI , Esceptuamos el aceite, porq ue sus medi'aas estn arr.egladas al peso; y as se usa de la 'an"obcr, media arroba, cuartilla cuarto ,de an"oba ,. libra-, 'media libra, cuarteron panitta ,'y de l-a media pnilla, - . 20 P ara las cosas que se venden al pe-so ,' la; uni. dad de especie superior es el quintal-, [ue se com -pone de 4 m-robas ; la arroba de 25 fibnJs; la libra. de 16 onzas; la onza de 16 adarmes; el 'a'drme de 3 tomines , y el tomin de 12 granos. La 110ra se di.

,vide en 2 medias libras, en 4' cuarterone-5-, f-ly en g me.d'ios' CtlCll"terones; 1a,..onza en 2 medias n.,as, en 4 cuarPas ,y;: en 8 ochavas drac'mas ; lla1 l;i'i;)ra se< di-vide cambien en 2 marcos, y el mateo ~n 8"onZ1H. ~

2 [ 'En la moneda la unidad de especie sperior es el 'dob,ton, ,que se compone de 4- pesos; el peso de 15 rel.lles, y el real de 34 maravedses. '

2~ En el tiempo se' observa la sjgu~lli~ divisio: el siglo se com.p,one de 100 aos, el ao de 1 ,2 meses; , de 365 dias y algo mas; el m,es de, z.8 ',' 30 r 31 dias; el dia de 24'horas; la 'hora de 60 'minutos; el minuto de 60 segundos, &c. . ,', l'

~ J 1 "

De la ' operacion :de sumar de ,la' adiC'ion. ~ , ,~ \

r

J3' Aunql:le es verdad que d a!d0 un mQrrr6rO soIs se' le p'odr ,hacer' mayor 6 menor, los dife,r emes mo'-, do~ [!le hay de aumentar , disminuir ~s - rJlmeros, I conducep ,seis opera'ciones , que son: s{/~ndr ', res'-J tar , multiplicar, dividir, elevar potencias 'y I%traer ' races. '

Slllnar es reunir en un solo nmero el valor d, dos mas lomojneos; la operaCion por u1edio de 1a ~ua1 se ejeC"LLta esto, se llama adicion ; 1005 nmeros

,

AlIITMET'TA. 9 'que se 'dan 'para' sumar, sumando-s ; y la que resulta 'de la 0peracion , suma, Lo!, sumandos han de :ser ho-'mojueos, porque un;aum'ero de hombres, po\r ejem--p'lo,," me puede imentar 'Ul'l0 de a'ballos, &,c.' f " Se indica esta 'operacion poni'el'li:lo entre los su-'mandos ste signo ..... , q u e' se lee 1)as. As,' la es pr'--sion 5 "t- 3 te let: : cinco lnas tres; y para indicar que de-fJjiHl

lO' A.RITl'4T.I~A.. compuesto con un djito; se aadir el dijito lar unidades det compuesto, y se p~onunciar el todo; si de la suma del djito con las unidades del COlill-puesto resulta alguna decena, se pronuncia en la su-ma la dFellq inmediatamente mayor la qt~' lleve el _compuesto. V. gr . . 25 Y 4 (dicien~o: , y 4 S0n .9) son .29; 27 y 8 (dideado 7 y 8 son 15) son 35:, &~. ;;

, 26 ~nte~dido es'to, para sumar toda das~ de m:-meros enteros resolvermos el siguiente , .

Problema.' Sumar nmeros' enteros'. . Resolucion. Colquense todos, los stlmando!" ls

,unos debajp de los otros., de m04 que se ,c,orl'espon:-,dan unidades deb,aj9 de u'nfdades ,_decenas debujo ,d.e decenas, ~c.; t~ese despues Ula raya; ,empcese . sumar por la col!Jml1;aA~ : Jgs uni]lades, y smense todas ,las _de _J os sumandos :" esta Juma se ,compondr de undaaerf61as, ~fi,~ decenas solas",_ , de aec~nas y unida~e.s; si se compo,t.e sofo de y,ni4aq"e.~, se pon.,e debaj.o . .de la ' raya el ,guarismo ,que ta{ eS'prescr, ,~e modo ,q"!e se COrl'espon~a .. con fas. unidaljes d los , su-

mand~s ;- si se co~pol1e . splo~ d decenas" se pondl1 o debajo, de las u,nidades. t}.~..tO$ s!f~landqs, .y l~s d~cimas ~f. g!,~darn pa1:a. sumarlas con . Jq~ de-la co-lWllIla siguieilte; si ,hay if"ecenas y uni4ai~s, se : c~.: locan las unidade~ debajo de t's u'nidad.e~ ". y se-gum..: dan las decenas ,p~ra sumarl.as con' las de la c01umnlS

, im;nediata. ,Despues S? suma la co~ulnnq, 1e ' las:- 4eee,-nas, teniendo, cuidado . d~ sumar lc,on el pri'me.r g~q"islno las que resultaron de la. suma de)as. , unidades: esta suma de decenas ,se compon:dr de, decenas

. . solamente, - 'solo de cen~~r:as, ~ \de c?nr~.nqs .. 'Y ~e. cenas; si solo contiene deceas ', se pon~ .debqjo de lIS columna de las decenas eL guariS1ho que las ~ espres'a; si tiene solamente centenas, ,se pone Q debajo de tas decenas, y, se guardan las c~ntenas que resulten pa-ra sumarlas con Zas de los l'UI~andos; ' si _ contiene centenas y decenas, se colocan las decenas deb.ajo . de Las decenas, y las centenas s~ guarq,an palla sumar-Las con las de ' la columna de lti ,it-quierda. Luego, se

I '.' 4-...

)

,ARITMTIC-:A~ .I t tIJ1f1, s~maf' las centenas, teniendo ' ctdclado de. aa-Jiy al primer guaris?no' las que se lte'lJab(n d~ la suma ,de la~ decenas; y si en la suma de las centenas hay wi/t'ares, se guarda"n.para surnarlor con tos de la co.-lumna inmediata 1 y as- se continua ha5~a llegar 4 la ~ttma co?umna de .l.a i''Zqtlierd(~ , de cuy.a, suma si Y'! s.utta alguna . algunas unidades de especie superior, -3e :polle.r la )'Bquierda del guarismo ltil1iamen~e puesto; y el n1'11r:.Q qtte resulta .gebpjo ,de ~a raya es la 'S.uma pedida. " , . -- Ejemplo . . Si qu,i~l,'0 sumar los, mmeros 35.72, 6~~i' '~7- Y '79, los pondr .los unos G,~p~jo de los otro~, .de modo fIue se cO.r11esPQnqan 1,lnid~desl debajo de 1l-pidades, decef!as deb,~jo de dec~lgs, ~G~; tirar des;-.pues una raya: en_ esta forma: , l' ':! o , Empiezo suma!; For .las uLJi,dades , y. 3 57~ digo: .2 unidades yJ~_ son 8, 1- 50Th 1 5, 696 I -y 9 son 24; en .24" que 501'1 . unidades, 57 : .bay _2~ decenas y 4 unidades, ,co1990qL'!s 4:. 70 9 1l gnidades debajo .~e la column !le, las uni-dades , y guardo la~ 2 deeenas ' para SUr SO 34-.marlas, con las

i 2 ARITMTIC"A. 'com ponen una de es pecie s u perior, se suman los gua;. . ris,lnos de cada columna como si slo espresasen unida-'des ,y 'despues de colocar desajo deja columna que -se suma, las unidades sencilla,s que

ARITMTICA. t

, De la operacion de restar de la sust1'accion: 28 La primera o peracion de dismin ui~ '" es la ' de

restar, que es averiguar la diferencia ,elltre dos n-meros homojnos; la (iJperacion por medio de la cual se ejecuta esto, se llama sustraccion; el nmero de que se ha de restar, 1ninuemZo; el que se resm, su~traendo; y lo que resulta de la operacion, se llama resta, es ceso diferencia. {. ) , Elqnuendo y sustraendo deben ser hom,ojneos por razones anlogas las dic~as (23)'

Se conoce el minuendo en que lleva siempre an-tepuesta la preposicioll 'de; y para indicar una ope-raioll de restar se escribe el minuendo" despu es est~ signo-, qu~ se lee mnos , y luego el sustraend.o que es el otro nm(:o; y para indicar el resultado se po- l' ne el signo=. As, la espresion 7-4=3 , quiere de-cir, que despues de quitar 4 de 7 quedan 3, Y se lee: siete mno$ cuatro igual tl'es. \

29 Entendido esto, pasemos resolver el siguiente , Problema . . Restar nmerQs enteros.

Res. Colquese el sustraend'o debajo .del mi11ue~do, de modo que se correspondan unidade~ debjo dS unidades, decenas . debajo de decenas, ~c.; trese .. des-./' . pes una raya debajo del sustraendo; vase las 1f1;1i; dades que jaltan las del mstr..aendo para que tenga las mismas que el min.end'o, y las que te falten s ponen debajo ele l.a raya en la .columna de las unida" des; ejectese lo mismo con las. decenas, centel1~S; millares, q,'c., y el nmero que 'saZga debajo de " !'aya ,ser la "esta.. ,

Ejemp. Si de 4783 S quierp restar 23512, ver que I!l nmero que lleva; la pre.posicion de es el 4783 S; ,por consiguiente este es e-l minuendo, ' y por 10 mis-mo colocar el sustraendo 23 SI 2 debajo de l, como aqu se v,e:, 478'3),

Y dcspues ~e tirada la raya, dir: de, 235 12 2,Jlllidades 5 unidades van 3, qe pon-,go debajo de la raya en la c0hlmna de las 243 2 3

14 ARITMTICA. unidades ; ~e 1 dec:ena . 3 san 2, que pongo de~ bajo de la raya en la columna de, las decenas; de S cent/mas 8 van 3, q uc pongo debajQ,,; de '3 millares 7 van 4, que pong debajo; de 2 decenas de mlar

, 4 van 2, que pongo,debajo de su colmna corres-pondiente; y tendr que la diferencia entre los p.os nmeros propuestos es 24323. ,

Dem. El colocar (}l sustraendo. debajo del minuen-do es por comodidad, y el 'tirar la raya por clari-dad; todas las aemas reglas se reduceri.. que por ellas encontramos la diferencia entre las uniddes d~ los dos nmeros propuestos, la de las decenas, la de las centenas, &c., esto es, que ' hallamos la diferen'; cia de todas las partes de los nmeros dados; y como todas estas diferencias las hemos ido colocando la unas aliado de'las airas en sus lugares correspondieo.-tes, resulta que su conjunto ,formar (intr. aX.2. 0) la diferencia total. L. Q. D. H. Y D.

30 ,Al ejecutar las restas parciares no se necesi. ta repetir si son unidades, decenas, &c. , sino hacer siempre la resta como si fuesen unidades sencillis. V. g. si quiero restar 47305 .de 5&,639, los

,.colOl;ar como aqu se presenta: 58639 Y despues de tirada la raya dir: de S 47305

9 van 4, que pongo debajo; de o 3 van / 3 ; de 3 6 van 3 ; de 7 8 va 1, Y de 4 ,11334

S' va 1; Y colocando estas diferencias en sus lugares respectivos" digo que la diferencia tta! es II334.

31 En la operaoion de restar sucede con f,fecuen. da que algunos guarismos del minuendo sean me-nores, que los correspondientes del sustraendo. Ea

- este ca~o s toma una unidad del guarismo inmediatO de la izquierda del minuendo, la cual como vale ce~ respecto del guarismo que se considera, se le aadea este, y de su suma se resta el guarismo del sus-traendo ; y cuando se pasa restar el otr0, se consi-defa el guarismo, del minuendo con una unidad mnos; pepo es Illa. anlogo con el modo de pr0cece.r en las

ARI''MTIC. 1; dems :operaciones , dejar los guarismos del ninuen- , do como lo que sean; y aadir unt unidad alcorre~~ pondiente del sustraenqo.V. g. si quiero hallar la dI-ferencia entre 58276 y 23848,. les ca-locarcomo he dicho (29) y aqll se ve: 58276

.' Y despues de tirada la raya dir: de 8 J 23848 6 no. puede ser, es decir, que al 8 no le 'faltan ningunas unidades para convertirse 34428, en 6, que no pued'o quitar-8 al que no ticHe mas de 6 ; por 10 mismo tomo un unidad del guarismo in,mediato 7, que cqmo vale lO respecto de las del 6, las sumo y tengo 16; de cuya suma ya pue-do restar el 8 diciendo: de 8 16 van 8 que pongo debajo; ahor podra considerar el7 como 6, por ha-berle quita'do una unidad, y dedr de 4 '6 van 2; pero es mejor acostumbrarse aadir dicha unidad al guarismo del sustraendo; y aS, dir ,; 4 Y I que lle-vo son 5, ,de 5 7 van2 quecolocodebajoipaso la cillumna inmediata y digo: de 8 2 no puede ser; to-

, mar una unidad del guarismo inmediato, y hallar que de 8 12 ,van 4, que poPgo debajo, y llevo 1; 3 Y 1 que llevo' son 4, de 4 ;. 8 van 4 que pongo, y no llevo nada; de 2 S vas 3 que pongo debajo, j resulta J diferencia 34428. I .

32 Tambien suele ocurir en esta operacion el que el minuendo termine en ceros, que tenga c~ros entre ' sus guarismos significativos; ' en cuyo ca$O se deja l minuendo como to . que es, y se aade UJla unidad a~ gUlWmo deZ sustraendo, sIempre qu.e para restar el anterior se haya tenido que /lomar unidad ausiHar. V. g. si de 370480000 , quiero restar 3 57~ 9486, los

~01ocar corno aqll se ve: y despues de tirada la raya dir: 3704~0000

de6 10 van 4, y ,de 10 llevo 1; 35729486 8' Y 1 son 9 , 1 o val , Y de 10 lle-Vo 1; 1 Y 4 son 5 , 10 van 5, y He- 3'347505 '14 va 1 ; 1 Y 9 son 10, lO va cero, y He,vo 1 ; I Y 2 seD 3, 8 van 5, y no llevo nada; d'e 7 a, 14 van 7 ~ Y llevo -; 1~ Y- 5 son 6, ~ 1'0 van 4, y

1'6 ,ARITMfTICA.. llevo 1; lY 3son4,7van3, .Y nolIevonada;y corno del 3 que q lJeda la izq uierda no tengo nada que restar, le pongo debajo. (

33 La razan de esta prctica, contrayndoilps al primer ejernplo, es que para poder restar el 8 tuve que tomar una: .unidad .ausiliar de7; de donde se in-fiere q u_e al restar el 4 no se debe consderar aj 7 mas que como 6; per'o si dejo ah corno,]o que es, y cuan-do voy '-' restar el 4 tengo cuidado de quitarle una mas, r~slllta que cualquier prctica es igualmente segura, aunque la segunda es preferible. _ tros ejempl

.R:JTMT,IPA,~, , 17-Si iguQf:zo. OQutre con \\nt:loha frecuencia.el.hacer ofi-ciQs ,de multiplicandQ 6 de multiplicador ., . SUmS a re9tas indicadas; en ~ste eao ~~ _:'Flcie.r.ran en un pa-

r~Me~s d,e :

18 AllITMTIC:A.. - '37 . Entendido esto ~ 'Para poder ejecutar una muI~ tiplicacion ., es indis pensable saber perfectamente los produGtos q u'e resultan de multiplicar entre. si 10s n-meros djitos, que smrlos contenidos en la siguiente:

Tabla de los productos de los nmeros djitos.

1 por 1 es 1 2 por 2 son 4 3- por 3 son 9 . 1 por 2 .... 2 2 por 3 .... 6 3 por 4 ....... 12

1 pqr 3 .... 3 2 por 4 .... 8 3 por 5 ....... 15 1 por 4 .... 4 2 por 5 .... lo 3 por 6 ....... 18

1 por 5 .... 5 2 por 6 .... 12 13 por 7 ....... 21 1 pqr {j .... 6 2 por 7 .... 14 3 por 8 ....... 24 1 por 7 .... 7 2 por ~ .... 16 3 por 9 ...... 27 1 por; 8 .... 8 2 por 9 ..... 18 , 1 por. 9 ...

' 9 (

4 por 4son 1615 por 5 son2516' po'r ) ~on 36 4 por '5 ... 2Q S por 6 .... 30 6 por 7 ..... 42

, 4 por 6 .... 24 S por 7"" 35 6 por 8 48 4 por 7 .... 28\ S ~or 8 ... : 40 16 por 9 ...... '54 4 por 8 .... 32 5 por9 .... 4S . 4 por 9 .... 36 '

7 por 7 son 4918 por 8 son 64 9 por 9 son 81 7 por 8 .... 56 8 por ? .... 72 7 por 9 .. 63 .

" r

~- lo por 10 s'on ' 100

L' -~IO por;;;;;;. 100;,;;;;;;;;; ........ ~' I 000 ;;~~ 10 por 100~ .. ~.;. 10000 10 por 10000 ..... ( 100000 :: 10 por IOOOOO... 1000000 .

. 38 En la multiplicadon pueden ocurrir tres ca-sos; multiplicar un nmero cUjito por Otl"O .dijito; un compuesto por un djito , un djito P01" un comp.uesto~ y un compu,esto' ,por otro lcompues~o,. Para ~1 .i;'Fime-

, ARITMTICA. , "9 ' ro' 'basta saber de memoria la tabla anterior; ' para -el segundo resolvermos el siglliente

39 Problema; Multiplicar un nmero compuesto por un djito. -

Res. ' Colquese el ' djito debajo de las unidades del compuesto, y trese una raya por ~a p(lrte i.nfe-rior; multiplquese el guarismo de' las unidades de'

,m~ttipHcand;o , que es el compuesto, pOl: el multipli-cador que es el djiM; si en este pfo(lucte hay solo unidades, se colocan debajo de las de los factores: ,i cont,iene solo decenas, se pone o en el luga.r d'e las, uniclaaes, y se guardan las decenas para aadirlas tll' f>roducto de las decenas de la columna inmediata: 'J si' . contiene ckcenas y unidades, se ponen las uni-dades debajo de ras de los factores, y se guardan las decenas para aadidas al producto de la! decenas. Despues se ~ultipLican [,as decenas del multiplicando por el mismo mltiplicador; 'S,u producto se aa-den las que se Llevaban 'dd pr.oducto de las unidades, 'J se colocan las decenas que r.emlten debajo de las decenas, guaraando las centenas, si' las hay, para aadirlas al producto de las centenas' de la columna inmediata. Luego, se muktiplican por el mismo 17)ulti-plicador las centenas det muhiplic'l1Ido, cuyo pro-ducto se aaden las que se llevaban del producto de las decenas; y ,as se contina hasJa qte no haya mas guarismos en el multiplicando. Si en el ltimo producto hay algunas unidades ' de especie su~.erior que Hevar, se colocan , la i7..quierda; y el nlIiero que r.esulta de-bajo de la raya es et producto. " Ejemp. Si quiero multiplicar 453 por 6 , 6 p01~ 45 h colocar el 6 p.ebajo de las u~ljdades del 45 3, en esta forma; \, nl. .'

Tiro ,debajo una r:aya, y empie~ . 453 'mu1plicar diciendo; '3 por 6 ' son .18" ." 6 ; ( que. son unid~des ; y como 00 lB unida:- . J. , J , des hay 1 decena 'y '8 ,unidades ol eol !it~o , 27 r'8, :J el '8 debaj de las unidades de los facto ., ,l. res, y guardo la d'~eena, . parat,a.ladio.rlili al pxoduet'O

.' " ,

J

10 A!R1TMTrCK. 'lile las decenaSi, 'Y digo: S por 6 s.on l30, 'y 1 'queUle'! yaba son 31 , que son decenas; y,:CQrno en 31 deceo; nas hay 3 centenas Y 1 decena" CQ~OCO el 1 deqajo dc las decenas, y. guardo las 3 centenas pata aadir"{ las al pl'oduGto 'cidit o1uluna siguiente, en qU! qjgo: 4.'por 6 son ~4; 'Y 3 que llevaba s

. ARITMTICA. , 2 t ~u'alquier tin~ro " da po.r producto el mismo nme"o~ y que cero mukipUcado por cualquier nlr11ero, al con- . trario , da cero pO'r produ.cto; ,.1'

4'2 . Si. atel1dcmos ;l sisteIlfa de numeracon ,ve-rmos(!4) que unrrmero resulta mu1t1plieado por '10 1 ,5010 conaadiode un O; seJe ni.Nltipl~ca por 100, eon aadil'le 'dos ceros, &c.; yen general, para mul_ tiplicar un nmero. por la unidad s~g'uida de ceros, 'Se~ colocarn la derecha de dicho nmero. tantos ceros como acompafen. .:'ba unidad. , "1 -': 4'3 - De aqu. se,sigue que la m).lltplicac~on ge un fimefO eua~quiera j1lor otro ,de un guarismo siguifi7 fiati V0 y ceros, se .r:educe ~a de. por ~no dijito; pa\;. 1'a..lo cual se multiplica., el . . nmer.? J:omp.,esto por ef . guarismo significativo, y al producto ,se le. aaden tantos ceros col1io .le "acompaen. j' ' .

En .efecto , para.multiplicar S 3'g por 400 , i1d'~ car 1 a opel'R'eion de este medo:, S 37x400; ., -pero 400 es l,I!i1iSIl que 4C

lU ARITMTICA. los guarismos,' y pngase debajo del muJtiplicailo, 'que es el otro nmel"O, de modo que se correspondan en cObumna las unidades con las unidades, las de~ ,cenas con las decenas " b'c.; trese ,una raya; mul. tiptquese todo el multiplicando por las unidades del lIm~l tipf.icador (40), cuyo product'o se po,ndr , debajo

'-- -de la ' raya de . modo que caigan l,as unidades, de-fe'nas, b'c. debajo de l'as unidades, de'cenas, b'c. de los factores; multiplquese despues \ todo el multipli-cando -pO)" tas decenas del multipticador, y ,cotques# este producto debajo del anterior., corrindole un tu-lw ,hcia la izquierda; luego, multiplq.uese todo 4 multiplicando por et guarismo sigtliente . del multh plicador, y colquese este producto, debajo del an-t ecedente, l cor.Ilindole tambien o;ro ' lugar hcia la

i~quierda ; y continese de este modo' hasta que.-,no hay tnas guariS'17ios en el multiplicador. Despues se ti'rar debajo d'e~stos productos_parci{lles otra ray'1; se sumarn todos eltos , y la SlIma -ser e~ producto que se pide. .

Ejemp. Si quiero multiplicar '82'37 por 536, to roar por multiplicador el 536 Y le colocar debaja del l'Illlltiplicand0 , .en esta forma: . y despues de tirada la raya, mal- 8237 tiplicar el, 8237 p0r 6 , ir colocan- S36 do ~I prodl:lcto. debajo de la raya co- --,: roo en el caso dicho (40); desplies p~Scl 4942~ multi plicar todo el multiplicando 247 II 8237 po .. el segundo' g,uarismo det 4118.5 multiplicador ,qpe e~ eJ 3, Y coloc.o. su ----prggucto debajo del anterior, coin- '" 441 S3~ dole n lugar hcia la izquierda. Paso J despues muitplicar todo el IT'IumplIeando por- el tercer -guarismo del 'multiplicador , que es el S, Y col.oco ~u producto debajo del anterir, c0rrim.dole.un

. lugar hcia la izq uierda. Tiro des.pues una raya, porj q u,e ya no hay mas guarismos en el multiplicador; su-mo todos estos p~oductos parciales, y tengo en la sum~ 44 1 $032 ~l producto de los dos ,ucimeros propues~os.

,

.. AIUEMTICA." " ,lZg .rDem. : "El Atomar p0r mq-ltipliad0r eL ~e' mnos

guarjsmQs es por,que ~1. ,rd~n de los facJ:brt::s (36) no ltera' el' proucto, y, de este modo resulta,la oper3:-q on C0n mas l sencillez.; sllc ,col!caeion es p.or e0moCll-dad, y el' tirar la Fa ya por, claridad; to&s las demas reglas estn r,educidas a. 'Q1ultiplicar todo el muhipli. _ cando por las unidades del-inultiplicaf!.p,r; despues

tO~0 , ellllUJtiplicatld Jpor, ~s decenas del ~ultiFlica . dor, y hemos de colocar este producto .,debaa'o del g\l~a;" rismo, de -las deEenas del anterior, porque de m l,.llti. 'plicar por dece~as (42)' debe resultar al fin un cero, ,y Jos g,uarismos sigJ.;jficati VQS deben em pezar desde'~as decenas etl adelante, y p0r c0nsigui~nte se deben co,--locar debaj0 de la.s aecens

~~ .ARITITI~A.. . ;, S. o m prMu't~ -d S'5 9 26 F01j 47~ 6S 14!o; ~'9g~~.

6. 'Y e1 de 35796ajo del ~2 del ,prod~cto

A:ltlTM::'l'ttC'k. ~) .bf~eedenbe: ,r eSU0f es , bnindQle ~d'O'S 'Iug~nes:;h~ia fa j.ztfuieJ:da, CIDmo .des'RueS>.lvuelv.oJ. ','encflt1.'ax-'ce: ros , pa~o multiplicar por el guaris'uo~ sigFliiica~vQ

q:ue: ;tiay~spl'les 'de ellos!; q u.~' e~ 'e14f5 ;G:1!llbc,9efp.:ro-dat!to ltres, l}l.gares ma:s 'h:oiada jzqui~da,jj ilieS,peato del ~n:teGed~l1Iw" ' fl0rque i;aqll: , ha:y ,d9sJc~r0s ;;' s:um~ . -desf>ue' ~tos '-preducrosl)

d A:l!:ITMTICA:. y se 'compon de' 3 pies, multiplica,r el nmel'o7' de vara:s por 3, Y tendr en el producto 2 dos ,pies El ue hay en '7 varas. , ,..j

2.

ARITMTICA.

De la division. J',

e, 47 Pasemos la s,egunda ope]acion,de disminuir; I que es cuando se ha de restar el sustraendo del mj,.

, mfndo tdas las veces que se pu-eda'; y como se p~ . dr quitar tantas'veces com eSte contenido; se dice que clividir es averiguar untas veces un nmero ,contiene , otro.' La operadOR se llama division; "el nmero que ha ,de contener, se llama dividendo, el que ha de estar contenido, se llama divisor; y Id que resulta cociente; e.1 dividendo i divisor juntos, seJla::. ,roan trminos de la diyision del cociente. , 48 Come dividir' es averigu~r~ las veces que el divisor est contenido en el diy,jdendo, s~ infitm: que multiplicando el divisor por .el coc,iente' ha de resultar el dividendo; luego eH la di,visien eJ -n-~ero. que, mu.lti'plicado, por el div'sor no Jde. el divi. dendo no puede ser d cociente. ' ", ~, ~ .' ',~Para indica;)1 que Un nmer.o se ha{de 'dividir por $Itro, se pone el divid~ndo, debaj0 \1ha ,raya? y lue"

.go~l divisor; cD se pone el dividendo ,. despues dos 'puntes, y laego el divisor; as., V 1 s: 5 , indjc~ la division de 1 S por S, Y se lee: 15 dividido por s; .y par,a indic;ar el resultado usa:rmos del signo _; de manera que ,Ii=3, 1 s:'s=a ,~. se lee: 1 S divi-dido pOf' S igual 3'. \ " ,. . ' ~ ""> " 49,' Tr~s .casos p,ueden ocur.rir en la Jivision, saber: dividir un nmel"O djito por otr.o djito ; di-vidir, un compuestQ por un djito; y dividir un com" puest8, pqr ot.r.o compuesto. " j" ' . ' ' ~a,ra diyidi; un .nhlmero djito p0r. ' otro d'jito ,; ~ y, a\ln u,no compuesto slo de dos guarismos por uno dljito que sea mayor que el ,guarismdde especie su ... perio!" del compuesto ., no hay mas que saber la tabla de lamuhiplkaojn' (37); pues en este~aso enave- . riguando el nmero por que se ha de multiplicar.-el divi$or para que d. el diy idende ( el producto in-

Illedi~tamente menor)) este s.er el cociente. /' /

?:S AltITMTICA. t .el' efemp. Quier saber cuantas veces e16 con-

,tiene a12, curuo. s '6 dividdo por 2; Y como haciendo varias tentativas encuehtro que el 2 se ha

',d ,mllltip'1iclli pblV'B para producir 6,uig0(qU6' b es .ek,cfJc.entet: .,, y para que se sepa los 'que se h,,~ . tomadn., se pon~-diiJ coma, 'J .se .ve cut}t

/ kRITMTICJ\~ !:9.

r..sra ~juntament con. ~ eL g!f'ariSmo. '[qye- se. "baj, est, contenido el divisor, y el nmero. tJ.J1e resulte. se pon~

ellf~el . ~qcienp.e :..ba ,drecll:a aeb g.warlsmo i hallado n-tes ,' se multiplicar este segun40 'cf!ciente por el diviJ sor., s e colocai lsl .. pr

30 ARITMTICA~ ...... ni queda 'resta, resulta que el cociente de divdir 924 por 7 es 13 2 .

Dem. La colocadon de los dos trminos .es pet: comodidad, y las rayas se tiran para claridad; ahora, para hacer ver la exactitud de 10 demas de la regla, nos contraermos al ejem plo anterior, donde ob~erva:mas que hemos dividido primeramente 9 cennenas por 7, hemos visto' 9 ceLitenas entre 7 _ cmo les toca, y hemos hallado que es 1; pero como el9 es-

p~esa centenas, este cociente es 1 centena, y por lo mismo despues del 1 debe haber en el cociente otros dos guarismos j en 9 centenas, no slo habia 10 nece-sario para Ci} ue tocase 1 centena, sifl0 que habia al-

/ go mas, y por esto hrmos multiplicado el cociente por el di visor, y le hemos restado de lo que nos ser-via de dividendo; su lado hemos bajada el guaris-mo inmediato 2, Y vemos que estas 22 son decenas, y hemos cO~ltinuad diciendo: el7 en 22 cuntas ve-~ ces est contenido? 22 decenas entre 7 cmo les

toca? hemos hallado que es 3 , que las coloco la . derecha del I que habia de espresar ~entenas; ahota, para ver si des pues de tecarles 3 .decenas quedan

_aun ~lgunas decenas, se multiplica este segundo co-ciente por el divisor, y se resta del segundo dividen-do parcial 22; la resta 1 q uc l'e~u1ta es'presa una de-cena, que.junta con las 4 unidades que s: bajan, son 14 unidades; que entre 7 les toca 2, que pongo la clerecha del 3 ,que espresaba decenas; y corno he _visto cunto cabe el divi_sor en todas las partes del -dividendo, y' tengo reunidos en un solo nmero to-dos los c0ciemes parciales, resulta intr. ax. 3,.0) que este es el cociente total. L. Q. D. H. Y D. .

51 Al ejecutar esta operacion se debe tller preto ' sente: l. o que no se puede poner de una ve~ en el cociente nada mas que 9; porque si se pudiera po-ner mas, lo menos seria 10, y" la decena no cor-responderia al cociente parcial que se hallase, sin. al anterior, 10 que daria cenocer que el lllterior era me~lOr de lo' que debioa. I '" "

AllITMTIC~. - 31 ~'.o Que cuando s~ baja' un guarismo y en el du~'

I fo con la resta si la hay,. no cabe el divisor, se debe. poner _ en el cociente, y se baj a al instante el otro Kuarismo.

3. 0 Que todo nmero cabe en si mismo una vez, lo que es ~o mismo, que si se tiene que dividir un nmero por s mismo, el. cociente es l.

4. o, Que todo nmero dividll-Jo por la undad ti" por cociente el mismo nmero. '

y ;.0 que o dividido por cualquier nmero,siem-pre d o por cociente. Todo lo cual se ve practicado en los siguienFe ejemplos. _ '

1.0

72 ,0,8,4,7 g. 72

00 08 g

7,

2.0

45'9'0'9'41' 9 45 ----- SIOI~ 09

9 ,

9 9

04

, .

52 ,Cuando se ha adquirido ya cierta destreza, se ejecuta la operaciofl con mucha brevedad, taLPa n-do del dividendo la parte que diga el divisor. V. g. si quiero dividir 4568; por 7 , .dir: la 7.a parte de 4, guarismo de especie superior, no puede ser; la7.a par te de 45 es 6 (que ser el primer guarismq del cociente), y quedan 3; que juntas con el guarismo siguiente 6 son 36, Y dir; la 7.a parte de 36 es 5, que pongo alIado del 6, Y queda 1 , que j unta con dS v.ale 18'; la 7. a parte de 18 es 2, Y quedan 4, que juntas con el guarislno siguiente S cCilmpone~ 45; la 7.a parte de 45 es 6, que pongo ' alIado del ,2, Y quedan 3 por resta; por lo que inliero que el \ ocien .. te es 6sz6t. . ",

,

g2 .A'RtIJ.'MTIC'>\; 53: \~. 3',e,. , ca:so: Pro~,,, .Divdir unnmero'l!ompms.

fo por-ot,"O eompuesto, ".' .', , . Res. ~ Colq.uese el divisorIA la derecha, det. divi~ dendo separndolos con una 'raya, y poniendo ot1"tJ debajo' det 'divi-sor .segun se ha dicho en .el cas . ~n. feri'!)): ;' .Jespue~ se sepanan corr, ~na coma , , ,pa. , i:z~ quierda det 'dvi'dendo tantos.. guarismo$. coma tiene el divIS:O':, un guar'ismo mas.si en estos no cabe. el divisor, Separados ya estos guarismos, se ve cuqntas veceS el p'nel" gWJrismo de la izquierd.a . det " .aiviso~ est . colltef}ido~en el, primero det dividendo (,6 en los dos primeros si. se tom para el .pr~mer dhridenau un

I guarismo mas de los que tenia el divisor), yJ el nf... mer de ve&s 'que est contenido se pone en el cocien. :te ; se mubtip~ica. este cociente por t.ocZo el divisor, y el -producto se coioca .debajo--det dividendo parcial, se ti'ra .urta ,raya. y se resta d! .t. AUado de a-fles-fa se baja el guarismo.,siguiente (apuntndole con la coma en el dividen~o) , y se ve cuntas veces el pri-mer gual'is/1l@ del dwisor est- contenido en el prime. ro (si tiene tantos .el uno como el otf

, " .A.ruTMtTICA.. :,33 ~hQt:a multiplicO este cQciente' ~ por todo el, divisor '4::, yeol0co el produeto ,84 debajo del-dividendo parcial 96, tiro la faya y. resto, :AUado de la festa 12 baje .el gl!arismo siguier,te 6; Y como ahora ten-go, por segundo ciividenclo un n11merO que tien un 'guarismo mas ql:le el ,div.isor, averi,guar cuntas Yle-:ces en los c:tos primeros de este dividendo est con-tenido el primero del divisQf; y as, ,dir: el 4 en le cuntas vece~ est contenido ~ veo que son 3, pongo 3' ell el cacente la derecha del 2' , multiplico todo ,el diviser pqr este 3, y coloco el, producto u6 debajo ,del dividendo lparcial 126 1 uro una raya y fe'stO'; ;y cumo no hay \nas guarismos q.ue bajar, ni queda resta, digo que el cadente de dividir 966 por 42 es ~3.

1 2. ejemp. Si quier,o averiguar cu'ntas veces cabe .-el ~ 1 2 en 44i6 3 5 , colocar los nmeros COUlO' aq ut se presenta: '-

rayas, separar cuatro gua- 4060 . :J y despues ,de tradaslas 44z6,3", I SI::

,rismos en el dvidendo , pOli' S4S~ ,110 ser. ,suficientes los tres (131)6 3 l primeros para contener a! 3248 'divisr , y dir,; 44 entre 8

~es toca {{ 5, que pongo en el. 041 S ) cociente; muttiplic'o el 81 Z 40 6 o par 5 , c'16co el producto. 4060 debajo del dividenda

-parcial> 4426, tiro una raya 009)

'y resto. ALIado de la resta 366 baja el 3; baIlo que , el 8 est contenido 4 veces .en 36 " Y pongo 4 en el

-cociente; mu,ltiplico el8I,2 poc 4', COJ0COel product~ 3248 debajo del divdendo parcial ,,6631 tiro una ,raya y restO. AlIado de la' resta 41 S- bajo el, S , ve\) que el 8 est contendo 5 ve'ces en 41 , pongo 5 en el cocieme, multiplico' el 81 ~ por 5 , coloco el pro- , ducto debajo del d,ividendo parcial, tiro la raya y resto; y cOIl 'na hay mas guarismos que bajar, lco-loco la resra 95 (fome he dicho (49) y teng que de dividir 4426.35 prSu resulta H>-(lj ,

.$ T. l.

, ,

34 . AIU'i'MTICA. D'em; La colocacion de los tl'mid6s 'y la-s rayas,

se haCe por com0dicdad y claridad (50). Despues too mamos la izquierda del dividendo tantos guarismos como s~ necesitan para que est conteqido el di visor, y, hallamos, contrayndonos al primer"'cjemplo, que se necesitan dos guarismos, y que en ellos est con. tenid el divillor 2 veces 1 que 96 tll'ltre 4:1, que es el divisor, les toca 2; pero cerno el 96 es.presaba decenas, resl}lta que estas dos sern decenas. Hago la multiplicacion y resta, para saber si ademas de

s :. 2 decenas queda aun algo que repartir, ' como sucede eh efecto, pues queda.n 12 que son de. cenas; y bajando e! guari~mo 6 de las unidades, he visto cuantas yec~s cabe el 42 en. I26, y hallo 3, q uc como son unidades l~s coloco , la derecha del :l , q uc esjncsa ba decenas. Hago la multiplicaciol'l y re~. ta para ver si quedan aun algunas unidades por. re partir., y veo que no; y COlEO todos los cocientes que han sa..lido de dividir todas las part~s

' ARITMtTrCA. 3; &0 sea menor que el dvisor, et cociente ser e~ 'lIer:~ dadero. Si la r esta fuese igual mayor que el div~-: sor, se irn aadiendo Ifnidades at cociente, hast~ 'que venga queJar unfJ resta menor que el divisor. De donde se infiere, que teniendo ,un poco de pa-ciencia para hacer dos tres operaciones que com-prL,!eben el verdadero cocie~te, y ejecutando muchos ejemplos, llegar,n ponerse tan dies tros que no ten-drn luego que :hacer ningun tanteo. Por lo mismo e ponen aqu estes dos ejeUJ plos. l. o Si quiero di vi-dir S7S72~Lpor 493) los coloca-r cemo se ,ve en (A).

(A) 575,7,2;6, 1493 493 ---;'

' - ' llt 082 7 JI, ,& c 493 69

334 2 a~ f. 41 M5"-!' 29 5,8

'--03 8 46

f. ~ 8'1 " S914!~ 345 1 --

039 S

8' '71.ll

493

(B) 37963,r,o;4, 6819 fu1'f. 34395

035681 3439 S

0128 '6 o -1'8'1"5" 8-6679

59 8 1 4 ~9 -f' '' 55 o 3 ~

Separ,o tres guarism~s en ~l dividend9 y digo: S entre 4 , 1 que pongo en el codeme; multiplico y resto. Alladl),de la (esta 8~ bajb el guarismo siguiel1~ te 7 del, divjdendo, y ,d~gj;)_: 8 ... el1tre 4 2, que pongo en el cociente y ~nq.ltiplic,e ; y C

"

3~ . " RTMiTIC' pues ; el 986 y tambien el Il, Y pongo - 1 en el c': ciente; multiplico y resto (porque el producto 493) es menlr 'que el dividendo)'. AlIado de la resta 334 bajo el guarismo siguiente 2, Y digo: . .3 3 ':entre 4 8 j que pongo en el cociente, y multiplico; y aOQ1o el producto 3944 ,es mayor qu.e el' dividendo 3342,

l~ borro y tambien el 8; pongo 7; Y como el pre: ducto 3'451 es aun mayor que el dividendo, 101l b.orro y ponge> 6; multiplico el divisor per este cociente 6, y como su pr'oducto 2958 es' ,menor que el divi-derdo, tito la raya 1 resto. ' AlIado de la resta ,38'4 bajo el 6, Y digo: 38 entre 4 9; Y como el pro-dUto del divisor por 9 es mayor que l dividendo, las bofro y pongo 8'; mul,tiplico y' sale tambi'enun produ'C:t'O mayor) le eorio y pongo" 7 ; multiplico y resto, lo q ae ,da la resta 39 S; Y reumierido ahora todos I los cocientes terrdr el :verda~ero y total en 116'],g;. ' 2;0 ' Si quiero dividir 37963104 'por 6879, ejecu-tat la operacion como se ve en ~B), y saco el co-cicnte S S 18it~~ .' -. -.

S 5 Entendido el modo de ha)lar, el verdadero co-ciente, Se Pllede ahorrar todo este trabajo,. pra-cti-caricia estaspos reglas; l.a cuando el segundo ,gua-rismo del divisor sea 8 9, s~ cQnsiderar -et pri-mero,{al tiempo ,de buscar cada codente)-.:omo co~ una unidad mas. ' . '

2.

.AnITMTICA. 37 ,sariol} para:enco.ntrar el verdade-t:0 cociente. Ade~a~ deben resolver ls siguientes !!jernplos. _

S~ q uit;ro dividir 18597 S ppr $ 9 S ~ lo~ ~olocar~ I como aq u se v.e: '; . .

Separo cuatro gU, arismos, :r8S9,7,S , 1395 -y en ver de decir 18 entre 1 S80 - .... 3, dir: .IS entre 4 4,que , .' ' 4& \ pongo. en : el co~iente; rnul- 0 2 797 . 70m tiplico todo el' dh'isor por ~a~ este 4; 'cloeo el pro4,ucto ,debajo del ,dividendo, tiro e:f.i' 1 una raya y res~o.

'38 AIUTMTIC.4.. seis veces, digo que 6 es el cociente; le pongo} nlUI. tiplicq y resto. Al lado de la resta 1698 bajo e! 7; 1- 'co!'ltilmando. e! mismo raciocinio evito los tanteos, y saco el c?eiente 648-!N . / . J

56 La operacion de ' ~ividir se puede abreviar siempre, haciendo la resta ' al mismo tiempo. que l~ 'I1Jt*plicaci.on - del divisor por el cociente parcial. v. .. .g:, ,si quiero dividir 57327 por 46, los colocar como be dicho (S 3) Y a'q u se ve:

. Separar dos guarismos en 57,3,2,7, /46 el dividendo, y dir :. 4 en 5 ' 11 3 .--,'--cabe una vez, y pongo 1 en 02 1 2 246U el cocientc, mul.tiplico ' ahora 02 87 eldivisor46poreleociente'I, OII , Y en vez de olocar e~te pro- . al:lcto debajo . d'el ,dividendo parcial 57, para restar des'pues, voy .ejecutando la resta al mismCiJ tiem po. que forp.10 e! producto en esta forma: 6 por 1 es 6, d@ 6 7 va 1, que pongo debajo de! 7, Y contino. f por 4 es 4,_ de 4 5 va '" que po?-go debajo dd 5: Al lada (ida resta '~ I bajo el guarismo sj'guiente 3, y 'J.igo: 4- en 1 1 esta c'ontenido 2 veCles, pongo 2 en el cociente, mtlltipl,ice y' resto dicind@: 2'por.6 son 12, de 12 r'13 -v': 1, y 'de 1311evo'l' ; 2 por 4 'son 8, y, 1 que llevo oori 9 de '9 I.I van 2, r : de, u~ tlevo' [ ; "de 'r 1 no v~ :' oaaa, y pongo o ~eIDfljo del

) ltimo r. Al lado de la resta 21 bajo el -gua.rismO' siguiente 2; Y digo: 46HZ r'a 3; pero CGmo slo SODra y u.nrdad, y tw, lla junto con el r guarismo' siRnie,Q.te.2, no est contenido 5 veces el. segundcr guarismo de! diyi&o[ 6. p0ndr slo , 'H mul . tiplico y resto diciendo: 4 por 6 SON 24', de 2'4 .'3z: ,van 8 , Y de 32 flevo 3; 4 por 4 son 16'; y 3 :~on r 9,. de 19 21 van 2, .yde 21 llevo 2, 2 ' no Ya Jada: Al lado de la resta 28 bajo el guarismo 'Si'gu

_ ,_ ARtTMTICAi 39.< ~7; de 27 .. 28 v~ 1-, y, de, 28 ' Hevo' 2.,rd ,2 , 2,> no va nada, y pongo o debajo, del 2; Y comO ,il0 hay: mas gy.arismos' 'que bajar, > poag.0l& resta 11 como he dic?o (46), ,y teng; el cociente~ ~2;'1S*. < "" ; Ese -Si al ~leeutar esta ?ieracign no se pu{Jiese hacer tiP' l'ti)n'aUresta, ' ef seal' de'- que el cociente e~ mayr de' lo 'que eOflresponcVe; y (si ,des.pues de hecha la res~a, . resUllt:t:esta ig,ual ' ma;yor .que,el 'di,vis,or et seal 'de 1J.t se ha puesto de 11'tn'Os::al: cocie11t.e ;:y en es,:, tos caS0S se har la eorrec-eioFl J;lecesaria. "',~ .

H aqu mas ejemplos para 'ejerd'iars~ , , '

ro I 2. 0 ~ t.. I k

'9,8)46,6~7~~'15478I " ... r; -' 43759 6 . '7~ 8 .H41~ '

'054 1.2'9'7 " ~51n > 04~2 68' 8

0444-4: 0

" 51 'Ademll.s' se a,breviala division cuando ambos t rminds ; s'lo' e~ di vsor terninan en ceros. En el r.er caso,se.rboflT.an en -los dos, iantos c.eros ,hace la divis~on c,on lo / demas qte :iJ.upl~,~ Y en e} ' 2,:o s.e separan la dergcha del divi'des USlS' de 111. di vislm:s.0ll seis: 1-. o cugnd" 'claf'amente 'se diee que se quire .bu.scar lal ' veces _que _ 'un nmero' estt ,conterido en otf'O;J ~ "o cuan4o hay que f:epartir entre varias penonas cierto nmero, de cosas.; 3) o cuanq,o se quiere dividir un ' nmero en parte.r .gtlales, tomar tina pm"te de ~ un n1nero,' como mi-lad, tercio"; b'c, .. 4. o ctlalld cOJ!Qci.endo el vatgt: d~ '1nuGhas ullidlldes, se -qtdere avel7iguar 'el- de una; S: 1) cuando se gue'ren reducir unidades de especie i-llfe7 iior unidad~$ de especie 5uperiof'; .y 6.0 cuando se

, L

4 '(1, .A.JtITMT1C'A.., ~ '1uiei"~n hll'ar todos' los. nmer~s que dividen eXG,qttS~

mente ti otro dado. ) . . , En el prmer .eas,e se, diyide d mayor. 'p.er 'el me~

-nor por el mtOdp espuest0. (56). ,J';: . _ En el .2.0 se divide en absttacto,' sL.- nmero ,fJ~Ja$

cosas por el d'e, Las' pe1:sonas. . V:. ,g., UID. pad,re ,almoj J'ir .ha dejado .8 hijos, y en hacienda ,. )a!aja~, casas,. &:e. 7'465235 reales;' dividiendo el :I1~\n:er;91'7:.491 5.2 3-';:

.p0r el ~e 10s hijos que es, .s,.el CDc~ente 9r3~[H~' es~ presar los reales que corresponden ~4.aa" !:l!lo. :;~r

En el 3 .. ~ se ,~ivide e} u(I1!exo~ t$aJo.:p0Jj ~"',que~ es-presa Jas partes. en que se ha de dividir, ' la parte que se qu.iere tbinar. V. g . .sLq uiero di vidt1; c;:n 7 panes

, iguales ,el nmerQ_ 1.673, dj"vidr 1 61.~ po!:, '7.., y ~r: e~ eoei~;te:"2 39 tendt'1i ~l valor de uni D.'eJ!st-a'g ~pares;' .: En el 4,0 caso", se diviae et -vajOl" de 'dicha.; U11i~

nades por el n~m&ro . 'de ettas, y el cocie';l.t~ ,&r. 'S valor de una, V. g. ,sabiendo que 35 varas -'ele po han costado 1505 reales; para av'eriguar'i cmo' ha. (;os'tJ.do-lfvara, diviilir: ervalrcle-IiQf.i;$lap val'as,

.A1UTMTICA.. 41 di-.idir pri~ero ppr 34., par~ ,redu~irlos reales;: lds :reales que ;esul.ten los di vider por 1 S, para redu-~lr!Qs , ,pesos; y finalrncate, estos pesos los dividir.~ P.Pf ,4 . para reduclrlos doblon~s; y tend~~ en este /.imo cociente jgntosC;~lil las restas anteriores, los

dobloIl~S, pesos, reales,. y . ~ara vedis,e?, que ha:y' enl eLnijtrero propuesto. ~a op'eracion se ~jecutar como

~qUise; ve; :.,' '. '. . ~.:.:..... t .... f (n~fravfdses 11t.,8,3,5,o,6 , 34 . , 068 : , , ,o 3 S.. ,zz,o; 1 ,o,3,rs. 1 S " " (h -~~ .1 ~ 'o 1$. 7:p ~~ ,r. ,o,il 4 J o 1 '1

~ J o 14,6J 7,.3,pe: ... oZ 6 , ., 4

.C l ' 0 ...... ",-, ; el o S 3 J_'

8 < OZ: ZL.' ----

o 3 3 ,,_ 3Q8 45. ~ .,.1 ~. ~_ Ir .. ' ;.. .. r~ L

. jb!SL. tr'J " ,I.J,.J "!. ') . :;r y. dir ,q'1.le en 7.48s~cp6 mrs. hay' .. 36~8 f doblones., ,I~ peso) '8 l'eI.1~s yl 4~mafa;~rl.sesJ, . . ' 'S9 ,Para .propeaer al sesto uso adv~ertirmos, que ~uando un mmfa t;l.~e.st. contenido el} otro un. ntmero' fxacto:de vec.es ., .. se llama al. que" ccntilm~ mttipto. del..contenido, .yi ak,c0Pteiido submltiplo. .parte at:' , C!lot'a, deLque cOIUieme;; CJlij.ndo q,n ' n~ero no e$t contenido CI,l otro: nMmere exacto ;le veces l se di,

ee , q~~ ,es 'parte aJic;uallt,a del con:tin,ent~. V" g. el 20 es mltiplo respeet.o,de!4.Y Iilel S; y,~I4. yceJ S,son sub-!l)ltbpLos partes .~lcl!ota,s lile! ;20'; Y 4- es parte al; c.uau.ta de! 21. La fia-rte a!kuota: se H~ma ta:(nbieri act i~r, ,po~q'ue muhiplicad.a: por la Qt,ra. produce el nthe~ .r.o,de.que, lo es; '!'. g. 4X,5=2:0; y eomo i dividimos el 2" por el 4 por el 'S , dar cocieI4te exae>tg, se in-:-fiere q u.e parte .alcu.otQ l ' factor divisor de un n, .mero, .~s cuatquier 0't'l(0 que te di:vide >sin dgjar re~ta,

Pero si consider:amos el S y el 4, que son facto-tes,del 20, obser,varII!0$ que e! )'.llo.se p Ll e,e ,divi,

,\ I ' I 4z .AltITMTICA. ' , / dir exaGtament por ningun otro aymero mas que por. I l mismo y por la unidad; ' por lci.que' este' nllleronl

, todos los que tienen esta misl1l~ ' pFO piedaa, 'como 2; 3, 7, 11, 13, t7, &c. se Hainan 'nwmeros primos,.

r primeros O facttJl'es simples ,";EI 4', ademas ae ser. di visible por s'inismo y por,.la .unidad, lo es 1!aml mefl por 2; por- u'ya ra'lon' este nmero, y tQ(!

re -AlITMTIC. 43

6 dos por todos los simples que hya debajo del ren-g/on .en que est el eomp,uesto de t do.; :Y as se pro-'ced~ hasta Uegar al ltimo que debe resLiltM en et

'r~nglon inferior 'igual con-' el nmero propueto. -i .e1:" ejmplo. si q u.iefo hallar lQS factores simples ,y compuestos del" nmero z 10, le co10Gar- lo mas arriba y hcia la izq uierda que pueda, y tirar la ra-'ya como aqu se ve: J ~

:' -~~~ I ; 1: . I ", l " ~ l/ SS I ~ J;.O'; 1 ~ 13.9. . ., ;.{? 1:1-; 2!1; 3>4:2; 7~; I~.~ 1210

~" ,

y como, el9Z10 termina ea cero, es' drvisible' por 2; pongo el z renfrenre ,. y hagQ la division diciendo: ,la. Initad: de 'z es 1, qU'e"p911go ' debaja de'l .z del 2 I O; contino: la mitad de 1 es O que pOBgO debajo del I del 210; Y me qued. lino, que j.unto fi Oll .. el o de arriba da:. 10; la mi,tad de' 10 es" que ' pollgo la der;echa del o. Como, el. " j o',. no es di visible ' por. 2., veo si es divisible por -3, diciendo ;.- "1 'y~ o' es 1, Y I so': 6, 'y corno 6 es 'lIllh.iplo de 3, n:fier01 que ,el !IOS se puede di.vidir. PQr~3,'Y por lo L';}isro 10010co eCJ 3' : 1;u , ti~recha, 'y Il;ag:(j) lat'divisi):j de este-modo: , la:.g,a' plll.lte,de 1 .eS 0, qUJnB pongo y SO'bra i 1, qu..e jU'nt0 ' Qor) 'el co vale IG'; la! 3.a parte de 'Io" es 3, qu~ pongQdbajo 'del 0, YU'l'\!lea.a 1), que JUHtO C'0n el ~ Ion 1 S; la 3. a ::parie Q,e 15 es 5, que -portg0 la derecha , del' 3. El 3'S no es' ya divisible- por 3, p~ ro lb es por S, CO~OC0 el. 5 ' su d.erecha y, digo: , I,a parte tH~ 3;' es ' 7'; que poago debaj0 del ' S, y eomGl .el :71-es nmerO -primo: ' le dividir por ehnis-

m~ ,_,diciendG: la ' 'Y,.~.

44 ,l,ITMr,ICA. diciendo: ' 2 ' por, 3 son 6) que coloco ' la, ,derecha de la 'raya) enfrente del 3, que es por el que he multiplicado, conno: 2 por 5 son 10" que pon-go enfrente ~el 5 que es por ,el qu,e he multiplica-do, y contino: 2 por 7 san 14, que, pongo por la. misma razon enfrente del 7. Paso multiplis:ar el 3 p.or todos los que tiene debaj9, diciendo: 3 por S SOlJ 15, que pongo enfrente del 5 gue es po!, el qqe he muld plicado; y para que no se confund~ con e! 1 , que teng@ en el mismo renglon , los separo P9~iendo 'entre ellos punto y coma; contino 'diciendo) r3 por ' 7 son 21 , que pongfj enfrente del 7 , al lado del 14

',separlildolos ce!! punto Y coma; despues pas mul. tiplicar el 5 por todos' los que tenga deoajo;de s di ciendo:. 5 por 7 son 35, que pongo enfrente de! 7 al lado del '2 l. Como el'] n9 "me ninguno debajo de;s{, ,no puedo ya, sa:car mas fac~Qrs. ,cle dos. I ~ " , Paso los de tres, para lo cual tiro uh::t rao/ y multiplico e! 6, primer fac..!:or de dos, por' el ~ y por eL?, que son los simpJes que hay , debajd ,d~j .renglon. donde, se halla, ~l 6.,, !!ciende: .6 por 5 'son 30, que ..pongo enfrente del'.5,~que es el sj,mple~por

'que he multipliqado; y ';luege 6, por '7 son,J4iz tIue .pongo enrerite del 7. Pa.so ahora mul.ip~i~ar ,.el ')10 ,por 7, q\le, es el sl~l'k que' tiene ~Mbajo de ~ s; diciendo ;. !:0 por 7 sn~ 70. ,. qllle pongo en~re.i;J.tt: del 7, al lado del 42; tiro' otr~ l'a;ya Y' paso , los-d!! = .cuatro; para lo cual multiplicar el 30 ~'p0r.] los qu~, ,haya en lQs simples debaj0 del rengl0n doade est; el 30; Y come slo est el 7;, dir: , S,~ Pbr 7 son 2 lO, que_es el nmero cl.do, , 'fO,mo debia. Lver~tic~ :se; pues 'j~ no hay mas fa,cto-r.es: , : ' 1

Si se repite algun factor simple taml:ikn se Fe; petirn 105 compuestos; pero se evita el:-p011let: es~ tos ejecutandO' la opercion como se v.e en el .ej,em. plo siguieflt(~: :

,1

:: ,. .. '" ~ _~: '1

360 ~I " 180 2 ,4

' 9 2'1 45 3 '\6

"1 S 3 9 I . -. S 1 S l' 10; 1 S . 1 .

ARITMTICA. , I 4>

8 . II 24 ,'8 36 7l 20; 30;' 45 40; 60; 90 120; ISO 360

De las pruebas. , .'

~o Probar una operac,ion es hacer ot1'lJ que de Q conocer si la prim~ra est bien hecha" Como e;n la operacion que sirve de prueba estamos tan espllestos equivocarnos G0mO en la primera, resulta que la mejor prueba es repetir la operaciOl.1 dos mas veces. " "Las operaciones con que se querencomprobar las de sumar y multiplicar, s?n mas complicadas que ellas; por lo que no se, acostumbran hacer, y esto ns escusar de esplieatlas, 'y slo dirmos: qe en. la operacion de restar el sustr,aendd sumado con la resta debe dar. el' minuendo, si la operacion ~stj, bien he-cha. En la division se debe m-ult.iplica el divisor por el cociente, al pro dueto se le aadir la t'esta (si la hay), y la suma deber ser igual al dividendo si l operac~?fI est bien hecha.

Consecuencias importantes de las ?peraciones . ~spli-cadas. l

, .

61 ' Las eantidades conocidas que ~ntran en los problema~, se llaman Clatos;; y lo que se halla por mediQ de cUas, se llama fJesltado. As, en la adi cion .l?s da~os spu l~~ sumaCi'dos, 'Y Jtt~ suma es ~l resultado, &c. 'Vamos, pues, ve'r las' alteraCiones que ,deben sufrir los resultados en variando lOi datos.

I. b Pues que sumar es reunir en un nmero el valor de muehes, resulta que la suma erecer men gUJr tant como crezan mengen tos sumandos; !y mOl -suma perm6fllecmJ 1" misma, sj ). un sumandQ S~

46 . ARITM;l;I'le4. te aade 11'71 nmero cualquiera y o,tro se le - quiflJ el mismo nmero. \

2. o Como en la resta se quita el .sustraendo del mim:~ao, se i'nfi;re que cuanto mayor menor sea el min]Jendo; permaneciendo el mismo sustraelldo, tan.

I to mayor menor (se en~iePlde p

,AltITMTICA. 47.: .general; pero ,si el dividendo se hace el duplo, e~ triplo, Y.:1c. (qucdmdlil uno mismo eJ divisor), e! cociente ser el . dt{plo, el triplo, b'~. de lo que en ntes;)' si el dividendo se hace la mitad, ter-cera parte, b'c. el cociente ser la mit(~d, Percera parte, b'c. de lo que era ntes. Si el divisor se hace el duplo, et tripl:o, b'c. (quedando uno mismo el dividendo), et . cociente ser' la mitad, tercera parte, b'c. de lo que era ntes ; plles para cada uni-dad que les to(;:ase ntes, habr ahora dos, tres, &c~ enn:e que repartirla; y si eX divisor se. hiciese la mi-tad " tercera parte, b'c. el cociente ser el duplo, eJ tripto) b'c. de o .que era ntes; pues para cada dos, tres, &c. unidades que les tocase ntes, no habr hora mas de uno entre que repartirlas. De donJe se infiere que un cociente, no se alte-ra aunque se mut-.tipliquen partan los dos trminos d.e la.. division por un mismo nmero. Porque lo que aumenta disllli-nuye por razon del ividendo, lo disminuye au-menta

48 AltI'PMTIC. , Espl. Si tenmos que dividir 11 manzans entre

4, dar el cociente 2, Y 3 de resta, que se han de repartir entre los mismos 4; pues vamos demos-trar que re partir estas 3 manzanas entre 4, eq ui vale tomar tres cllartas partes de una manzana sola. ~

Denl . Para esto, 10 mas nalu.ral es dividi,. , cada manzana en cuatro partes iguales, y dar cada uno

.\ una de estas cuartas partes; pero como las u~idades 1-6 manzanas son iguales, en lugar o.e dar cada lino 'una cuarta parte de la primer,a , otra de la segunda y otra de la tercera, le podrmos dar tres de la pri-mera, de cualq uiera de ellas, que era .L. Q. D. D.

Por esta razon se escriben y leen los quebrados del modo dicho (49); v. g. el quebrado anterior 's"e

"escribe i, y el quebrado H, se lee: diez y nuevl 'Veinticuatro avos. Como el numerador denota las par-

' tes que se toman de la ,unidad , y el denomifilador en . cuntas se considera dividida la misma anidad, ' cuntas com ponen una unidad, se infiere que cuan-do el numerador sea igual al qenominador , el que-brado equivaldr la unidad, y as tendrmos que

1-"2-3-"S-2.-7 - &c &c ' --'li'-'3-'S'-b-'t-

En eSte cai'O se dice que tu unidad s~ha puesta en forma de quebrada; \ Y cuando el numer1!-dor . sea mayor que el denominador, el quebrado se llama. im-pr.opio. V. g. ~, ,~, &c. &c. . '

64 Teor. Si una unidad se divide en un nmero cuatquiera 3 v. g. de partes iguates, 'J ta mism'a un-dcvl.t je divide en otro nmero ' S de partes iguates, ca-da pi irte que resulte de dividida en S) ser '/1'lenor . que ta que resulte de dividirla en 3; Y si se dividief'lS en 6 que eS' dup~o de 3) cad.a parte, que resulte de di-vidiH,j. ~n 6 7 ser ta mitad de ta que re?utt divi

: dindota ,en 3. 1, J)~. Estamia la: unidad . en el primer, cas~ divi

dida en tr'es partes, equivaldr al conju11to ;le eU

ATITMTIC:A. , 4!ol (, meras e,\!uivaldd al conjunto de las cinco 'segundas; luego si se ~~esitan S segundas para componer 3 primeras, no b'$tar~ 3 segundas, para componer 3 primeras ; luego cada segunda sera menor que cada. primera. 'L., l,Q Q. D. D. I , ,

Cuando se di vida en 6 , tendrmos, discurriendo ~el mismo modo, que las tres partes primeras equi-laldr\1 al 90njunto'p'e las 6 segllndas; lllego si se necesitan 6 segundas para componer 3 primeras, ca-da ~ s~gund~s com l" (j)ndrn 1 primera; luego cada se-gunda ser la,mitad de i1da prilIlera. L. ~.o Q. D. D . 65 .reOJ;. Si permaneciendo uno mismo et denomi-I/ado r; dg un quel;rado, g'umelJ1ia Q qisminuye su nume .. fador" ~umentar. . di3minu1" d~t mismo modo e& quebrado; y s] qumentq ilJQr via de 11'tuhiplicacion 6

ctis1lli1lt~ye' J30r vifi de division, lo har. del mism() mo-do el quegrf'dQ. , " , , . Dem: '~ ;Por no alterarse el denominador , no se al-tera ~ y.~lor .de -cada parte; luego cuand0 se tom~q mas p~.rtes, .q u;e. es ~uanci'Q erece el numerador, se tendr un quebrado mayor;.. y cuando se tomen fi-nos , que es cuando disminuy~ el numerador, se t,en-dr UlY quebrado menor. ,L. r. o Q. D. D. -

Si _el nmero; de partes que se tom6 , fue el du-plo, el tri plo , &c. el va'lqr d;;l quebrado que nos re-sulte , . ser et du plo, el tri plo r &c.;. Y s fue el sub~ duplo"

~")

~O ARITMTICA. " . quebraJe!) disminuir por via de division ; !Y si el de-nominador disminuye por via de division, el quebrada aumentar por via de muhipticacion. , . Dem. Como el numerador permanece el mismo, se toma siempre un mismo ntmero de partes; luego el valor del q u,ebrado ser mayor menor, segun lo ean las .partes q ue e~ prese ; pero mintras mayor sea el nmero de partes en que se div.ida una unidad cualquiera, ser (64) menor el valor d@ cada una; luego mintras mayor sea el denominador, ser me. nor el va'1or de cada parte, y por consiguiente el va-lor de un nmero cualquiera de eUas. L~I. o Q. D , D.

Si 'el denominador se hiciese dos tres &c: veces mayor, el valor de c~a" ' parle se haria (64)dos tres &c, veces me!lor; luego un nmero cualquiera de ellas sel'l! tambien dos tres &c. veces 'rnnor que lo que era nte? ~i el de~ominador disminuye, por va de divisi'on, entonces el valor de cad"a pa.Ete aumell-tar por, via tie multi plicacion. L. 2. o Q. D: D. : Ese. lI aqu quebrados que satisfacen , esta$ condiciones 16' -l'i' 15;' 3~' ti > y. manliestan que de quebrados que tienen un mismo numerador; es mayoret, que tiene menor denominador, y "at contrario; Y' que pana multiplicar dividir un quebrado por un ' ntln1eto cualquiera, basta chvidir

' multipl;aT su del10mi1'la;lbi' por dicho ri1J,71iero. Con ' De aqu se sigue que para mutltiptiear. un'

quebl"ado por su denominac.t'or basta suprimir este, j et p"oducto ser4 igual al numerador. . .

~s, ~x8=5 , -ffx I} -:"'6" faX 13=8, &{ &c. I ~ 67 Tecr. - Un qtlelirado no se altera, aunque sus dos trminos se muttiptiqu~n pa:tall pOf" un >mismo 1l11le,'o.

Dem. # Cuande se mlltiplicaq ambos 'trminos por, un mismo mmero , tenems que con multiplicar el num~rador, se hace al ;quebrado tantas vees mayor (65) eomo unidades ti ene el nmero porq ue se mulLi-plica i pero con multipliear el denomin:ador p'or el mismo nqlero, se le haee este mismo ftLimero de ve-

1

.. .

,. . ' ARITMTICA"; . ; r c~s menor' (66); luego no se altera su valor queda conforme estaba ..L. 1. Q. D. D.:

, Si se dividen por un mismo nmero, con dividir el numerador hacemos el quebrado tantas veces memot como uniciads tiene el nmero porqe se divide (6,S)S y con dividir su denominador por el mismo m.mel'o, se le hace el,mismo amew de veces mayor E66); l'ue-go queda.'clnfomie estaba. L. 2. Q' D. D. ' { - Esc. H aq u quebrados iguales q lle satis[~cen al teorema \=H=t= &c; , . .: :,. J es digna "k ~otarse la c~nformidad de estos re'su1 ..

taos~con ls deducidos pal\a la division (61,' ..O). _ 68 En la primera parte del teorema af.ltellior "se

funda la reducci'on de ls qtiebrados un comun den~minador; yen -la' segunda susimplifi'cacion. .. Cuando dos',dlas quebx;ados tefien un mismo de~ nominador s'-dice que le tie!1en cQmun; muchas ve..: ces se necesita que le tengan, y para conseguirlo se multiptican t-ps ~os. t~mino{ de CC1da quebrado por el producto de Jos denominado1"es .de los demas. En este caso no se altera el valor de ningun quebrado, pr-que sus dos irminos se triulti p'litan por un mismo nmero; y safe el mismo denomindor, porq ue Le'sul-ta de la mult~pliadon d les der'lOmihadores de to,.. dos los quebrados. V, g. Si quiero reducir a tin ca mun denominador los quebrados i'Y t, ' los po'ndr , " { ~ s -como aqu se ve: 3; J

" .!.~ ti ' ..... J. j 2.X' 2.~ -

, Multipiiar los dos trmines del ~ por 7, que s . 'el denominado'r del otro q uebl'ado, dici\!ud: 2 pGr '7 'son 14, que pong? ' por numera(ior del nuvo

S!I , ~~UTMTr'(!A. ' , Si los queb!~do,s fuesen~, ~"t;multiplicara los, dos trm\nos del- primero i [>{lr , 10, proq,ucto ~e ~~ l)'on 5, que SOFl los .(kqominadores de los ' ,demas, y tendria que el primer q~ebrado se convertiria en ig.;

p~saria al se,guJ!!io~~ , c~u ):09 trminGs)os mutti plica) ria ,por 30 ~ producto de 6 y 5 deqom}aado.res' de. !os d.el:n~s " y se convertiri en ig; . _ " 1 Y luego.1os d'os trminos' del tetc~ro !~ !2.s multip.l~'7

~ria. p.or 12, producto de 6 PQr-2 , den,~minildores de los demas, lo que 'da t!i . ' , . ,: .co.n lo q ue tel~go los tr~s q uebr:a"dos .~&J)~, i!. que son iguales con lQ, primitivos,y /ienen un misglC~ !;l~nominador. " . : ",' J. _ , _ Como el denominador comun n~sult~ de la mul~ ti plieacion de todos lQ.s d,enomiH,!~o.re~., no se neee .sita hallar mas que et 'del pri1J1ro, y , pOll~rte 4 os nemas cuando se h~ puesta l , u~~~radol' que, le~ cOI'responde. ~; r _ 'j. ,

{ 1, 1.2'~' al

, Ejemplo. 5 ~ .' - dan lirs, -l'i'ts, x91o , ~2(J

.,. ,

69 Esta operacion coqvierte los quebrados en otl'O~ de igual-valor; pero mas complicad9'; y as, solo s~ ,ejecuta como ausiliar de otras; pero l. q u~ se deb; hacer en todos los resulta~os dOl'lqe haya quebrados, es simplificartos . .se .dice que s~ "simplifica un qU~r brado cuando, s convierte en" otro de igual vala.r, y cuyos trminos son menoj"es. " '_

Para esto, se dividen', sus dos trminos por 2 to 5ias las veces que se pueda; lu~go por '3 ~ ' y por los ,de mas nm.tros primos ', lo cual se COnoce 'p0f 10 ,di-_cho (~9). As, si quiero simplificar el quebrado xV?!; VeG1que sus ,dos terminas se pue~en dividir por 2; 10 ,hago y tengo '-~-' que ~ igual' con x7irn y que se puede aun si~prificar por 2; lo hago y tengo f~, que . aun se puede simpiificar por 2; lo hago y tengo x9S1 que po se puede sim plitica por 2, p.ero si por 3 ( 59); lo hago y tengo l, que ,es igual con el Ves que senos di. En efecto, el i ... 2" es el que provino (en el ejeu;.

\ ..

. /

ARITMTICA;. S J plo .de .antes) del h al reducir los qu;brados un n'lismo deNominador; y cemo ahora deshacemos lo que ntes hicimos, ha, de resultar 10 mism,o que habia . . Les principiant~s deben simplificar todos los puestos

anteriorme.nte, com~ se ve en el que aq u se presenta. 9900 _~9S0_247S_ 8?S _~7S_5S_ S

:; 3"j61)-o9:l0-3465-j"~ - 385'";-77 - '7' . . .

, ' Sumar,. ,restar, multiplicar y ilividir quebrados. ' 70 Los q \!lebrados taU1bi~n se suman, restan, mul-

tiplican y part!!fi'. . Para sumarlos s reducen un mismo denomina-

dar, (siao le tienen); ,despues se suman los numera-. dOl-es; esta suma se le pone por dmomil1ado.r el' aeno-

'minador comun; y si este quebrado es impropio, se di-vide el numerador. por el denominador ara sacar los enteros qtte contenga, yl se si'mplifica si sit.puede.

~ Si quiero sumar! con~, lo.s reducir uncomun denominador (68), y se convertirn en i-~, fo; des~ pues sumar los numeradores I5 Y 8, Y la surna ,23 le pondr pGl1 denominador el 20, que es el comu'n, y la suma ser %~; que sacando lus en,te,ros ser I-lcr. ~

La 'operacion. se' indica as: ~. !+~=~+'~=H=I.Jcr .

Aplicande la regla estos ejemplos se ll'allar 1. ~+j+~=f~;+37ros.+H~-.i~-[1~1;

- l 2 ' 0 2+4+"5_60+72+ 75-'07_227..L2 9 -2 :J

3 S 6-91) 90" 90- 90 - "90- 30'- xcr Dem. Se l'educen un comun denominador ;' pot'- '

que no s'on pemojneos si no le tienen; despues se . suman 1.os nUll}eradores, p01'que en elles est el valor de l,9s quebrados; y est suma se le p

A1UTMTICA. y sumat nmeros mistos con nmeros , mistos .

, La cuestlon ! ue

Al\lTMTlcA. ! 38!, ptimero reducir los q uebrad~ denominador, y ejecutar la operacion como aqu se ve: y saco la suma 19St& . '

73 Para restar quebrados se redu-

u'n comun (1

, cen Ul1 comun denominador (si 'no le tienen); despues se restan l'os nmera-dores; y la r.esta s.e le pone por deno- 195 s minador el itenominador comun, y se 29 simplifica si se puede. 615"

I.er 'ej. Si quiero restar t de !' los reducir un comUll denQminador (68), y se convertirn en -!cr y H;

r~stando el 8 numerador del quebrado 10 correspon-diente a'l sustraendo t, del 1 S numerador del ~ correspondiente al minuendo!, y poniendo la di-ferencia 7 el denominador comua 20, tendr la res-ta -l6' que no se puede simplificar.

La operac'ion se indica as: i-%=U-ftF=-lt). 2 o 13_5_II7~_ 42 -ti

. i5 9"-!TI" I3s-i3S-;s' Dem. S~ reducen un comun denominador, po!:-

que en la re.!'ta los datos deben ser homojneos ; des-pues se han de restar los numerado?es, poruue en ellos est el v,alor de los quebrados; y finalmente se . ba tie poner la resta el denominador comun, por-q!le es el que da nombre al quebrado. L. Q. D. D.

74 . Al restar quebrados pueden ocurrir tres ca- ' sos: restar un quebrado de otro, que es lo que se acaba de ha\:er; restar un quebrado de un entel'O; y re!tar un nm~ro misto de otro nmer 11listo~ .

Pa restar un quebrado de,un entero, se le quita al entero una unidad; al lado de este entero, despues -de rebajada la unidad, se, pone un guebrdo cuyo nu-merador es igual la diferencia que hay entre el de-,ominador y el numerado- del quebrado dado, y el de-11ominador es eZ mis?]10 que el -del queb'rado que se .da; con ,lo que est hcha la ,'esta. : ,

Aplicando esta regla los ejemplos siguientes, se e,llcontrarn los 'l\sultado que ellos mani fi esta-no

l o 8 3- 72. 2 0 lA' 2-1 37 , 3 o 29 14-2 8 9 - . --- 5' ....-:-:9- 9" '. -fi- n'

56 . AIUTMTICA. porque haciendo en todos una descomposici6n ,Sem"-jante esta 8-~=7+-- i=7+%=7%, nos resulta L.:Q. D. D. . . - .

15 Para restar un nmer0 misto de otro se res-'fa el quebrado - del quebrado', y el entero del entero. Sf- despues de reducidos un mismo denominador., si no le tienen, el quebrado del sustraendo.es' mayor qlJ,e el del minuendo par~ poder restar se toma una unidad del mil1uendo, Ja cual se reduce la. especie del q,ebrado que le llcompaa (lo que se consigl,re su-mando el numeraQor del quebrado coq el denomina-

~or, 'y .esto poniendo por denominador el cOlDun); ... de este quebrado que. w " impropio, se resta el del

sustraendo, y luego al ejeeutar la t"esta con los enteros, se debe advertir que al minuendo se le ha quitado una unidad.

v r ejemp. Si quiero restar 18t de 33~, los co~ Iocar como aqu se ve: . reducir un comun denominador los 33~ ..... ~~ q uebrdados; y como .sl' a

dle

1 el del sdus- 1 8t .... ti

traen o. menor q uc e e minuen o, ___ _ paso restar el quebrado del quebrado I 5 Yo I y' el eI-ltero q~l entero, y saco r sH. 6:3

2. o ej. Si quisiera, restar 24t de'.4Sx\, los colo-~aria como aqu se ve: reduciendo . los quebr.'ldos Utl 45r\ .... t-f ... :r.;. comun denominador, sale me- 24 ..... H .... -}f ~ Dar el del minuendo , tomo una unidad dd entero, que en este 20 S'I . ~ caso vale H--, y sumada con los , 1l1r-

~~ me da 183.6 ; paso depl1es- la resta considerando al 5 del 45 como 4, Y tengo por ltimo 2.0j%. '1 '

76 Para multiplicar un quebrado por otro se mut-'tiptica numerador por 11umerador ,y denominador por denominador, y se simplifica. V. g. si q niero mufti" plicar ~ por V dir: 2 por 4 son 8; S por 7 SON 35; pOnieJldo. por numerador eJ producteJ de los I1umera-dores., y por uenominador el de los denomina&0res., l~~dr en 385 ell'roducto pedido. -

_ ARITMT'!CA:. ,. S1 Dem. Porgu si tuv:ra que multiplicar 'el ~!' por 4,

esta:ba reducida la operacion (6 S) multi pDcar su ,umeraCilor por 4 ; Y en este caso ell producto seria~; pero de mlllriplicar el % PQr un nulero siete veces menor que 4, esto es por t, ha de resulta.r un P/o-ducto(6r, 3. Q ) siete veces menor que t; y 'corno esto se consigue (66) ;nultiplicando su deno': minac.:lor p'ol' '7, resulta ejec'utndolo, que :ls es el proc1ucto verdadero. L. Q'. D. D.

Del 'm'sIDO modo 7 X 3-2T.- 7.8 X $-1-20_4 1 9 S-4S-IS}IS '6-90-45-9' 77 Al multiplicar quebr,das puede,u ocurrir tres

casos: multiplcar un queb;ado por otro, que es lo que acabamos de esplical'; multiplicar un entero por un quebrado un quebrado por un entero; y multiplicar un nmero mfst"o por otro misto. ,

Para multiplicar un entero por un quebrado un quebrado por un entero, se multiplica el ente,I"Q por el numerad'Or del quebrado, 'J al producto se ,le pone por denominador el , denominador 'del quebrado, y se simplifica si se puede, , / (

Ler ej. , S quiero multiplicar 4 pr t , multi pli-car ,el 4 por 5 , al producto 20 le pondr por deno-minado'r el denominador 7 del quebrado, y tendr que el producto sera ~o; que sacando lqs enter0S se convierte en 2,~' , La operacion se indica as: 4Xt='f= 2~.

Del mismo modo 7xL-U-1-r!. , I4-I4-:- ?'

Dem. Esta regla est fundada en!o dicho (65 ese.). y tambien se deduce ,del caso anterior, poniendo al entero ~idad por denominador. ' .18 Para multiplicar un nmero misto por otro mIsto, se ,'educe" el entero la especie del qevrado ~u.e le acompaa en cada factor, y despues se qnulti-. pltca ~umeradol" por nmnerador , y denominador por aenommador. v. g. Si quiero multiplicar 32 plr -24~ reducir en ambos factores el eoten;) la eipecie d~l' quebrad/9 qlle le acompaa, y tendr que multipli-car y por V; y ejeutando -Iaoperacion (76) tendl'

32xz4-r:!xI8-30"'-8?'; - 5 7- 5 7-'3?- 3S'

'SS ARrTMTIC'A. 'Del mismo m'odo' 28~X24i=2'~oxcj;== ~Sl40-I~7o-64..3 S_H_4S-7I 5

36 - 18 - 9 - 3 - \ 79 Para dividir un quebrado por otro, se multi-

plica el numeraadl" del dividendo P01" el denominador J.~ divisor, y este ser el numerador del cociente: y el denominador del dividendo por el numerador del di'visor, y este prodf:'cto ser et denominaac)f' del co-eiel'lte 1 y se simpiifica. V. g. Si quiero dividir i por % ,multiplicar el numerador 3 del dividendo por el denominador 7 del divisor, y el producto 21 ser el numerador del cociente; despues multiplicar el

den~mrnador 4 del dividendo por el numerador 2 del divisor, y el producto 8 ser el denominador del co-cieate ~ el cua,l ser 'q 2t. _