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Coloracao de Grafos

Cıcero Quarto, Prof.

DECOMP/UEMAcicerocq.com

20 de marco de 2021

CCQUARTO (DECOMP/UEMA) MATEMATICA DISCRETA AVANCADA 20 de marco de 2021 1 / 14

Unidades de ensino

1 Introducao

2 Aplicacoes da Coloracao de Grafos

3 Exercıcios de aprendizagem

4 Referencias


Coloracao de GrafosIntroducao

Problemas relacionados a coloracao de mapas de regioes, tais como mapas departes do mundo, tem gerado muitos resultados na Teoria dos Grafos.Quando um mapa e colorido, duas regioes com uma fronteira comum saoassociadas em geral a cores diferentes;Uma maneira de garantir que duas regioes adjacentes nunca tenham a mesmacor e usar uma cor diferente para cada regiao. Entretanto, isto e ineficiente, eem mapas com muitas regioes seria difıcil distinguir entre cores parecidas;Considere o problema de determinar o menor numero de cores que pode serusado para colorir um mapa de modo que regioes adjacentes nunca tenham amesma cor. Por exemplo, para o mapa mostrado abaixo, quatro cores seriamsuficientes, mas tres nao seriam suficientes.

Figura: Dois MapasCCQUARTO (DECOMP/UEMA) MATEMATICA DISCRETA AVANCADA 20 de marco de 2021 3 / 14


Cada mapa no plano pode ser representado por um grafo. Para montar essacorrespondencia, cada regiao do mapa e representada por um vertice. Arestasconectam dois vertices se as regioes representadas por estes vertices tiveremuma fronteira em comum. Duas regioes que se toquem em apenas um pontonao sao consideradas adjacentes. O grafo resultantes e chamado de grafodual do mapa.

Figura:CCQUARTO (DECOMP/UEMA) MATEMATICA DISCRETA AVANCADA 20 de marco de 2021 4 / 14


O problema de colorir as regioes de um mapa e equivalente ao problema decolorir os vertices do grafo dual, de modo que dois vertices adjacentes naotenham a mesma cor, conforme ilustra a figura abaixo.

Figura: Coloracao dos Vertices do Grafo Dual



Definicao 1

Uma coloracao de um grafo simples e a associacao de uma cor a cada vertice dografo de modo que dois vertices adjacentes nao estejam associados a mesma cor.

Nota do autor

Um grafo pode ser colorido associando uma cor diferente a cada um de seusvertices. Entretanto, para a maioria dos grafos pode ser encontrada umacoloracao que usa menos cores que o numero de vertices do grafo. Desta forma,qual seria o numero mınimo de cores necessarias?

Definicao 2

O numero cromatico de um grafo e o menor numero de cores necessaria para acoloracao deste grafo. O numero cromatico de um grafo G e indicado por χ(G ).(Aqui, χ e a letra grega chi)



Teorema 1

O TEOREMA DAS QUATRO CORES: O numero cromatico de um grafoplanar nao e maior do que quatro.

Kenneth Appel Wolfgang Haken

Figura: Criadores do Teorema das Quatro Cores


https://pt.wikipedia.org/wiki/Kenneth_Appel

https://pt.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Haken

Coloracao de GrafosExercıcio de aprendizagem

Quais sao os numeros cromaticos dos grafos G e H mostrados na Figura abaixo?

Figura: Os Grafos Simples G e H



Encontre o χ(G ) para os grafos K5, K3,3 e K3,4

Solucao:

Figura:


Aplicacoes da Coloracao de Grafos

A coloracao de grafos tem diversas aplicacoes a problemas que envolvemplanejamento de cronogramas e distribuicoes. Veja alguns exemplos abaixo:

Horario dos Exames Finais

Como os exames finais em uma universidade podem ser marcados de modoque nenhum estudantes tenha dois exames ao mesmo tempo?

Designacao de frequencia

Os canais de televisao de 2 a 13 sao designados a estacoes na Ameerica doNorte, de modo que nenhum par de estacoes a menos de 150 milhas podeoperar no mesmo canal. Como a distribuicao de canais pode ser modeladapela coloracao de grafos?

Registros de Indices

Em compiladores eficientes, a execucao de lacos e acelerada quando variaveisusadas com frequencia sao temporariamente armazenadas em registros deındice na unidade de processamento central, em vez de na memoria regular.Para um dado laco, quantos registros de ındice sao necessarios?


Aplicacoes da Coloracao de GrafosHorario dos exames finais

O problema da modelagem dos exames finais em uma universidade,planejamento de horario, pode ser resolvido usando um modelo de grafo, comvertices representando cursos e com uma aresta entre dois vertices se existirum estudante comum nos cursos que eles representam.

Cada posicao na grade horaria para um exame final e representado por umacor diferente. Um horario dos exames corresponde a uma coloracao do grafoassociado. Por exemplo, suponha que existam sete exames finais a seremmarcados. Suponha que as disciplinas estejam numeradas de 1 a 7.

Suponha que os seguintes pares de disciplinas tenham estudantes em comum:(1,2), (1,3), (1,4), (1,7), (2,3), (2,4), (2,5), (2,7), (3,4), (3,6), (3,7), (4,5),(4,6), (5,6) e (6,7). No slide 13 e mostrado o grafo associado com esteconjunto de disciplinas.

Um horario consiste em uma coloracao deste grafo.


Aplicacoes da Coloracao de GrafosHorario dos exames finais

Figura: Uso de Uma Coloracao para Marcar os Exames Finais

Perıodo detempo

Disciplina

I 1, 6II 2III 3, 5IV 4,7


Referencia

Livro texto

Rosen, Kenneth H. Matematica Discreta e Suas Aplicacoes. Sao Paulo:McGraw-Hill, 2009.


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