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COLLASSO DI UNA TRAVE SOGGETTA A CARICO ASSIALE

Instabilità della struttura:incapacità di sostenere i carichi

Esaurimento della resistenzadel materiale capac tà d soste e e ca c

assegnati senza incorrere in un cambiamento improvviso di configurazione per perdita di

del materiale:P0=Aσ0

g p prigidezza flessionalesforzo limite

del materialearea sezione

dell’asta

Stabilità dell’Equilibrio

Una configurazione di equilibrio è:

Stabile se dopo piccole perturbazioni la struttura ritorna nella configurazione di partenza;

Instabile se perturbazioni piccole causano l’allontanamento dalla configurazione di partenza.

Struttura con elasticità concentrata

La configurazione di partenza indotta dal solo carico assiale è di asta indeformata. Cichiediamo se esistono configurazioni di equilibrio deformate diverse da questa, taleper cui in seguito ad una causa esterna, la trave possa atteggiarsi secondo una diper cui in seguito ad una causa esterna, la trave possa atteggiarsi secondo una diqueste: se NO: configurazione stabile; Se SI: configurazione instabile.

aste rigide

molla rotazionale dimolla rotazionale di rigidezza K


Per vedere se esiste un valore critico di P, taleper cui la struttura possa trovare l’equilibrio inuna configurazione deformata, imponiamol’equilibrio in una generica configurazionedeformata (In questo caso l’operazione è

li i t il d ll d l ti itàsemplice in quanto il modello ad elasticitàconcentrata è governato dal solo grado di libertàΔθ)

022

=θΔ−θΔ KsinP2

)2( θΔ=KMDa cui, ponendo K

Pp 4≡ si ottiene:)2( θΔ=KM K4

θΔ=→=θΔ−θΔ psinp 0

θΔ=→=θΔθΔ

sinp sinp 0


Diagrammando la funzione si ottiene:

Osservazioni:• per p<1 l’unica soluzione equilibrata è quella per Δθ=0, ovvero la configurazione indeformata;• per p≥1 esiste una seconda soluzione equilibrata, corrispondente ad una valore di Δθ diverso da zero.

Conclusione: esiste un valore del carico critico pari a:

KP p critcrit41 =→=


Noi siamo interessati solo al più piccolo valore del carico per cui è possibile che lastruttura si atteggi secondo una configurazione di equilibrio deformata. Questo puòessere ottenuto :essere ottenuto :1. imponendo l’equilibrio nella configurazione deformata,2. linearizzando le relazioni geometriche.

02 =θΔθΔ KsinP

Equilibrio alla rotazione

022

=θΔ−θΔ KsinP

θΔ≈θΔsinMa da cuiθΔ≈θΔsin

K4

Ma , da cui

KPCR

4=02

202

2=−→=θΔ−θΔ KP KP

C i iti di t

Struttura con elasticità diffusa

Carico critico di aste compresse


Noi siamo interessati solo al valore del carico per cui è possibile che la struttura siatteggi secondo una configurazione di equilibrio deformata. Abbiamo visto prima chequesto può essere ottenuto:questo può essere ottenuto:

1. Imponendo l ’equilibrio nella configurazione deformata,

PvM=

2 li i d l l i i t i h E i di t i d l i i2. linearizzando le relazioni geometriche. E quindi per quanto riguarda le equazionidi congruenza queste sono le stesse già viste a proposito della teoria delle travi.Per cui:

vχ ⎫′′ EIv M

M=EI vχ

χ ⎫ ′′→ = −⎬⎭

= −


Sostituendo si ottiene:

0=+′′ PvvEI

PEIP

=α2Ponendo si ottiene:

⎧

=α+′′ 02vv

⎩⎨⎧

==

==

000

1

1

v ,xv ,x

.c.c


Soluzione:

111 xcosBxsinA)x(v α+α=

⎧ = 0B

⎪

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎨⎧ =→=

→=α

=

221 00

0

0

EIn )x(v A

sinA

B

.c.c

⎪⎪⎩

⎪⎩⎨ π

=→π=α→=α→=α

2

22

00 EInP n sin

sinA

2

1 EIPn π→ Carico Critico

21 P n E =→=Euleriano


Osservazione: il valore del carico critico dipende da:

• Proprietà del materiale (E)

• Geometria della sezione (I)

• Lunghezza dell’asta (L);g ( );

• Condizioni di vincolo (c.c.)

Carico critico di un’asta compressa incastrata

Pf

v(x1)x1

x1

v(x1)

P

M=-P(f-v)

P

Carico critico di un’asta compressa incastrata

( )EIv P f v EIv Pv Pf′′ ′′= − → + =

PEIP

=α2Ponendo si ottiene:

⎪⎧ ==

α=α+′′

01

22

fv ,xfvv

⎪⎩

⎪⎨

=′=

==

00

1

1

v ,xv ,x .c.c

⎩ 1


Soluzione:

111 fxcosBxsinA)x(v +α+α=

111 xsinBxcosA)x(v αα−αα=′

00

B B f f

A f 0 0=⎧+ =⎧ ⎪⎪ ⎪ ⎧

( )

00 00 0 2 1 0

2

A , f 0 v 0Asin Bcos f Asin f

Acos Bsin Acos l n ,A , f 0α α α

πα α α α α α α

⎪⎪ ⎪ = = → =⎧+ + = → + = ⎫⎨ ⎨ ⎪→⎬ ⎨⎪ ⎪− = = = − ≠ ≠⎭⎩ ⎪⎪ ⎩⎩ 2⎪ ⎩⎩

2EIπ Carico Critico 24

1 EIP n Eπ

=→= Euleriano

Carico critico di aste compresse: formula generale

2EIπ2E

EIP( )π

=


=

2EIπ2)2(

EIPEπ

=


2EI

In genere, il valore del carico critico euleriano si può esprimere come:

20

2EIPEπ

=

Lunghezza libera di inflessione(distanza tra due successivi flessi della

0

0 (distanza tra due successivi flessi della deformata critica)

20 = 20 ==0


=

2EI2

2

)5.0(EIPE

π=

Punto di flesso(v”=0 ⇒ M=0)


LL EIPE == 02

2

,πkLE 02

0

,

Carico critico di aste compresse: Applicazione 1

•Determinare ‘a’ tale che sia verificata la stabilità dell’asta e la resistenza del materiale a

compressione

2000mm=

p

P 500kNE 13GPa (abete)

40MPa

=

=⎧⎨⎩ 0 40MPa⎨σ =⎩

kNEIPE 50020

2

=π

=EPI E2

2

π= mm

EPa E 1179.11612

42

2

≈==π0

12

4aI ==0

536 σσ <MPaPP02 5.36 σσ <=== MPa

aA

Sforzo Critico Euleriano di aste compresse

2 22E minP IE Eπ ρ

minIA

ρ =

i d’i i

2E minE 2 2

0 0

E EA A

π ρσ = = = π

raggio d’inerzia della sezione [L]

Sforzo Critico Euleriano

2π=σ

EE

0λ ≡SnellezzaEuleriano2λ

σEρ

dipende da:- condizioni di vincolo;- proprietà geometriche della sezione;proprietà geometriche della sezione;- lunghezza dell’asta.

Carico critico di aste compresse: Applicazione 2

8000mm=a 50mmb 300mmt 3mm

===

A Bx1x30

E 200GPa (acciaio)250MPa

=⎧⎨σ =⎩

x2

2A 2EI

P 148985Nπ3 3ab (a 2t)(b 2t)

Determinare il carico critico Euleriano e il piano in cui l’asta sbanda

A 2E 2

EIP 148985N

(2 )π

= =

2EIπ3 3

− −= − = 4

2ab (a 2t)(b 2t)I 19322000mm12 12

B 3E 2

EIP 128057N

(0.5 )π

= =3 34

3ba (b 2t)(a 2t)I 1037990mm12 12

− −= − = PE

Curva di stabilità

πλ E=f

2π E0

0 σπλ =

Snellezza di t i i

sforzo al limite elastico del materiale

0σσ <E 20

0 λπσ E

=

transizione

σσλλ =⇒≤

Curva di stabilità teorica

Curva di stabilità reale

00 σσλλ =⇒≤ CR

collasso per rottura del materiale

ECR σσλλ =⇒> 0ll i t bilitàcollasso per instabilità

dell’equilibrio

Osservazioni:Osservazioni:

Nelle aste reali esistono sempre delle imperfezioni iniziali di tipo geometrico legate ad una non perfetta linearità e di tipo meccanico legate alla presenza di sforzi residui;ad una non perfetta linearità e di tipo meccanico legate alla presenza di sforzi residui;

Per effetto di queste imperfezioni i due fenomeni di plasticità ed instabilità si influenzano a vicenda facendo si che lo sforzo critico sia inferiore rispetto a quelloinfluenzano a vicenda facendo si che lo sforzo critico sia inferiore rispetto a quello predetto dalla curva di stabilità teorica; e tale penalizzazione è tanto più marcata quanto più siamo vicino alla snellezza di transizione;

per questo motivo esistono delle curve di stabilità reale, che tengono conto di ciò e che danno in funzione della snellezza e del tipo di sezione il valore dello sforzo critico reale.

Metodo ω

1 Si determina il valore massimo di snellezza λ1. Si determina il valore massimo di snellezza λmax2. Si determina il valore di snellezza di transizione λ0;3. In funzione del rapporto λmax\ λ0 determino dalla tabella il valore di c

4. Eseguo la verifica come:

c 0

C

N P c A≤ = ⋅σ ⋅σ

Esempio:Esempio:

Le equazioni di equilibrio possono essere ottenute per ragionamento diretto imponendo

OEquazione della linea elastica al quarto ordine con effetti del 2 ordine

p

Le equazioni di equilibrio possono essere ottenute per ragionamento diretto imponendol’equilibrio di un concio infinitesimo di trave nella configurazione deformata.

N

p

n

M M+dMdv

T

N

dx T+dT

N+dN

dx

XR 0 N-N-dN+ndx=0

R 0 T T dT d 0

dN n 0dx

dT 0

= → → − =

yR 0 T-T-dT-pdx=0

dx dvM 0 M+Tdx-pdx -M-dM+Ndv+ndx =0 2 2

d p 0dx

dM dvN T 0dx dx

= → →

= → →

+ =

− − =2 2

0dx dx

0≈ ≈

Equazioni di congruenza generalizzate

x

xx

u,v,

η =⎧⎨χ = −⎩⎩

dN n 0 dxdT

dN n 0dx

⎧ − = →⎪⎪⎪ ⎫

− =

Equazioni di equilibrio 2 2

2 2

dT p 0dx dM dvN T 0

d M d vN p 0dx dx

⎪ ⎫+ =⎨ ⎪⎪⎪ →⎬⎪ ⎪− − =⎪ ⎪

− =+N T 0

dx dx⎪=⎪ ⎪⎭⎩

N EA= − η⎧⎨Equazioni del legame costitutivoM EI⎨ = χ⎩

Equazioni del legame costitutivo

Formulazione del problema elastico

Sostituendo le equazioni di congruenza in quelle del legame costitutivo si ottieneSostituendo le equazioni di congruenza in quelle del legame costitutivo si ottiene

xN EAu= −⎧⎪⎨

,x

,xxM EIv⎪⎨ = −⎪⎩

Sostituendo ora nelle equazioni di equilibrio:

( ),x ,x

,x

EAu n 0

con condizioni al contorno su u oppure su N=-EAu

+ =

( ),xx ,xx,xx

,

EIv Nv p + =

,x ,xxcon condizioni al contorno su v oppure su M=-EIv

v oppure su T = ( ),xx ,x,xEIv Nv− −

O(EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA AL QUARTO ORDINE CON EFFETTI DEL 2 ORDINE)

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