colegio santo antonio determinantes
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Seja A uma matriz de ordem n. Chama-se determinante da matriz A, o número obtido a partir de operações entre os elementos de A.
Dada a matriz quadrada de 1° ordem M= [a11], seu
determinante é o número real a11:
Det M = a11 = a11 Por exemplo:
M = [5] det M = 5 ou 5 = 5
M = [-3] det M = - 3 ou - 3 = - 3
Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.
O determinante da matriz de 2° ordem é dado pelo
produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. Exemplo1:
𝐴 = 4 22 3
Det A = 4.3 – 2.2 = 12 – 4 = 8
DETERMINANTES
DETERMINANTES DE 1ª ORDEM
DETERMINANTES DE 2ª ORDEM
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Exemplo2: Calcule o determinante da matriz 𝐴 = 5 31 2
𝐴 = 5 31 2
detA = = 5.2 – 3.1 = 10 – 3 = 7
A regra de Sarrus é utilizada para calcular o determinante de matrizes de 3° ordem. É um processo bem simples, que possui o seguinte procedimento:
Dada uma matriz A de 3° ordem, temos:
a) Copiamos ao lado da matriz A as duas primeiras colunas.
b) Multiplicamos os elementos da diagonal principal de A. Segundo a direção da diagonal principal, multiplicamos, separadamente os elementos das outras duas “diagonais”.
c) Multiplicamos os elementos da diagonal secundária de
A, trocando o sinal do produto obtido. Segundo a direção da diagonal secundária, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras duas diagonais, também trocando o sinal dos produtos.
Somamos todos os produtos obtidos nos itens b e c.
DETERMINANTES DE 3ª ORDEM
REGRA DE SARRUS
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Ex.: Calcular o determinante da matriz A.
𝐴 = 3 1 5 2 0 −2 −1 4 −3
det 𝐴 = 3 1 5 2 0 −2 −1 4 −3
3 1 2 0−1 4
det 𝐴 = 3 ∙ 0 ∙ −2 + 1 ∙ −2 ∙ −1 + 5 ∙ 4 ∙ 2− 5 ∙ 0 ∙ −1 + −2 ∙ 4 ∙ 3 + −3 ∙ 2 ∙ 1
det 𝐴 = 0 + 2 + 20 ∙ − 0 − 24 − 6 = 22 − −30
det 𝐴 = 22 + 30 = 52
Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada M forem iguais a zero, seu determinante será nulo, ou seja, det M = 0.
Ex: Seja a matriz 𝑀 = 1 3 8 0 0 0−2 5 −3
, o seu determinante
será:
det 𝑀 = 1 3 8 0 0 0−2 5 −3
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 1 ∙ 0 ∙ −3 + 3 ∙ 0 ∙ −2 + 8 ∙ 5 ∙ 0 − [8 ∙ 0 ∙ −2 + 0∙ 5 ∙ 1 + (−3) ∙ 0 ∙ 3 = 0
PROPRIEDADES
1ª Propriedade: FILA DE ZEROS
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Se uma matriz quadrada M possui duas linhas (ou duas colunas) proporcionais, seu determinante será nulo, isto é det M=0
Seja 𝐴 = 𝑎 𝑏𝑘𝑎 𝑘𝑏
Então det 𝐴 = 𝑎 𝑏𝑘𝑎 𝑘𝑏
= 𝑘𝑎𝑏 − 𝑘𝑎𝑏 = 0
Observação: Se k=1, teremos duas linhas (ou duas colunas) iguais. Logo, filas iguais representam determinante nulo
Se trocarmos entre si a posição de duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada M, o determinante da nova matriz obtida será o oposto da determinante da matriz anterior. Ex:
Sejam as matrizes 𝐴 = 1 −𝟐 34 𝟓 67 𝟖 −9
e 𝐴 = −2 1 3 5 4 6 8 7 −9
Veja que nelas estão trocadas as posições da 1ª e 2ª
colunas.
𝑑𝑒𝑡𝐴 = −45 − 84 + 96 − 105 − 72 − 48 = −458𝑑𝑒𝑡𝐵 = 72 + 48 + 105 − 96 + 84 + 45 = 458
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠
2ª Propriedade: FILAS PARALELAS PROPORCIONAIS
3ª Propriedade: TROCA DE FILA PARALELAS
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Se todos os elementos de uma linha (ou colunas) de uma matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número real k, então seu determinante fica multiplicado por k. Ex:
Seja a Matriz 𝐴 = 1 23 −2
, se multiplicarmos a 2ª linha por
3 obteremos a matriz 𝐵 = 1 29 −6
, agora iremos calcular
os determinantes dessas matrizes.
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 1 23 −2
= −2 − 6 = −8
𝑑𝑒𝑡𝐵 1 29 −6
= −6 − 18 = −24
𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 3 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐴
Observação: Se uma matriz quadrada M de ordem n é multiplicada por um número real k, o seu determinante fica multiplicado por k
n, isto é:
det 𝑘𝑀𝑛 = 𝑘𝑛𝑑𝑒𝑡𝑀𝑛
O determinante de uma matriz quadrada M é igual ao determinante da sua transposta, isto é, detA=detA
t
Ex:Seja a matriz 𝐴 = 2 3−1 7
,
logo sua transposta será 𝐴𝑡 = 2 −13 7
4ª Propriedade: MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UMA CONSTANTE
5ª Propriedade: DETERMINANTE DA TRANSPOSTA
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𝑑𝑒𝑡𝐴 = 2 3−1 7
= 14 + 3 = 17
𝑑𝑒𝑡𝐴𝑡 = 2 −13 7
= 14 + 3 = 17
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑡
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto da diagonal principal.
Ex: Sejam as matrizes 𝐴 = −1 2 0 3
e 𝐵 = 1 0 02 2 03 −1 3
os
seus determinantes são:
𝑑𝑒𝑡𝐴 = −1 2 0 3
= −3 + 0 = −3
𝑑𝑒𝑡𝐵 = 1 0 02 2 03 −1 3
= 6 + 0 + 0 − 0 + 0 + 0 = 6
Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma
ordem e AB a matriz produto, então 𝑑𝑒𝑡 𝐴𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐵
Sendo as matrizes 𝐴 = 1 24 3
e B= 2 −11 0
temos:
𝐴 ∙ 𝐵 = 1 ∙ 2 + 2 ∙ 1 1 ∙ −1 + 2 ∙ 04 ∙ 2 + 3 ∙ 1 4 ∙ −1 + 3 ∙ 0
= 4 −1
11 −4
6ª Propriedade: DETERMINANTE DA MATRIZ TRIANGULAR
7ª Propriedade: TEOREMA DE BINET
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𝑑𝑒𝑡𝐴 = 1 24 3
= 3 − 8 = −5
𝑑𝑒𝑡𝐵 = 2 −11 0
= 0 − −1 = 1
det 𝐴𝐵 = 4 − 1
11 −4 = −16 − −11 = −5
𝑑𝑒𝑡𝐴 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐵)
−5 ∙ 1 = −5
Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os todos os elementos de uma linha (ou coluna) pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando a matriz B, então det A = det B Ex:
𝐴 = 1 54 9
⟹ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 9 − 20 = −11
Multiplicando a 1ª linha por (– 2 ) e somando os
resultados à 2ª linha obtemos:
𝐵 = 1 52 −1
⟹ 𝑑𝑒𝑡𝐵 = −1 − 10 = −11, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎
𝑑𝑒𝑡𝐴 − 𝑑𝑒𝑡𝐵
Vamos indicar assim:
∙ −2 ↳ +
1 54 9
= 1 52 −1
= −11
8ª Propriedade: TEOREMA DE JACOB
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Se A é uma matriz quadrada invertível e A
-1 sua inversa.
Então:
𝑑𝑒𝑡𝐴−1 =1
𝑑𝑒𝑡𝐴
9ª Propriedade: DETERMINANTE DA INVERSA