Facultatea de Nave Specializarea: Inginerie Navală şi Navigaţie Profilul: Construcţii Navale Anul III – Ingineri zi

CONSTRUCŢIA NAVEI

Titular disciplină, S.l.dr.ing. Eugen GĂVAN

CUPRINS

CAP. 1 SOLICITĂRILE STATICE GENERALE ALE CORPULUI NAVEI 2 1.1. Modul cum iau naştere sarcinile longitudinale la care este supus corpul

navei în apă calmă 2 1.2. Curba greutăţilor 3 1.3. Curba împingerilor în apă calmă 7 1.4. Curba de încărcare în apă calmă. Forţe tăietoare şi momente

încovoietoare în apă calmă 9 1.5. Sarcini suplimentare ce acţionează asupra corpului navei la aşezarea

statică a navei pe val 12 1.6. Forţe tăietoare şi momente încovoietoare verticale datorită acţiunii statice

a valului. Însumarea forţelor tăietoare şi momentelor încovoietoare 14 1.7. Corectarea forţelor tăietoare şi a momentelor încovoietoare prin

deplasarea curbei de împingeri 15 1.8. Evaluarea momentelor de încovoiere maxime şi a forţelor tăietoare maxime 17 1.9. Variaţia momentului încovoietor în cuplul maestru în cazul ambarcării sau

debarcării de mase 18 1.10. Stabilirea celui mai nefavorabil val şi a celei mai periculoase poziţii a navei la

aşezarea statică a navei pe val 20

1.11. Forţe tăietoare şi momente încovoietoare verticale şi orizontale, momente de torsiune, la aşezarea statică a navei pe val, pe un drum înclinat faţă de direcţia de propagare a valurilor 24

1.12. Liniile de influenţă ale forţelor tăietoare şi momentelor încovoietoare în apă calmă 29

CAP. 2 DISTRIBUŢIA TENSIUNILOR NORMALE ŞI TANGENŢIALE ÎN GRINDA NAVĂ 34

2.1. Clasificarea elementelor de structură ale corpului 34 2.2. Determinarea tensiunilor datorate încovoierii longitudinale totale în

prima aproximaţie. Grinda echivalentă 35

2.3. Determinarea tensiunilor tangenţiale 38 2.4. Influenţa pereţilor longitudinali şi a bordajului dublu asupra tensiunilor

tangenţiale 39

2.5. Determinarea tensiunilor normale provenite din încovoierea longitudinală totală în a doua aproximaţie

41

2.6. Stabilitatea planşeelor ortotrope 44 2.7. Determinarea momentelor de încovoiere limită pentru secţiunile transversale ale

corpului navei 55 2.8. Factorii care au influenţă asupra grinzii echivalente 56CAP. 3 LINIA ELASTICĂ A CORPULUI NAVEI 60 3.1. Linia elastică a corpului navei datorită încovoierii longitudinale 60 3.2. Influenţa forţelor tăietoare 60 3.3. Influenţa liniei elastice a corpului navei asupra solicitărilor generale în apă

calmă 62

BIBLIOGRAFIE 64

1

CAP.1 SOLICITĂRILE STATICE GENERALE ALE CORPULUI NAVEI 1.1. Modul cum iau naştere sarcinile longitudinale la care este supus corpul navei în apă calmă Corpul navei, din punct de vedere al rezistenţei generale, reprezintă o grindă complexă

liberă, adică o grindă cu mase şi arii ale secţiunilor transversale rezistente variabile pe lungimea navei, grindă situată pe patul elastic al apei în care pluteşte, fără nici un reazem independent rigid sau elastic.

Fig.1.1.1 Nava în apă calmă sub acţiunea greutăţii şi împingerii Considerăm o navă care pluteşte în apă calmă (fig.1.1.1). Asupra ei acţionează de sus în jos

toate greutăţile maselor ce compun deplasamentul, distribuite într-un anumit mod, care reprezentat grafic formează aşa numita curbă a greutăţilor.

Greutăţile maselor ce compun deplasamentul sunt echilibrate de presiunea apei ce acţionează asupra carenei navei. Carena navei reprezintă o suprafaţă curbă în spaţiu

A) acţiunea presiunii apei asupra corpului navei pe direcţia “x”. Separăm carena în două părţi distincte cu ajutorul planului cuplului maestru. Asupra fiecăreia din cele două părţi, pe direcţia “x”, acţionează câte o forţă hidrostatică Fx. Fx = k · ρ · g · zOx · Ax (1.1.1) unde: Fx, forţa hidrostatică după direcţia “x”; ρ, densitatea apei în care pluteşte nava; g, acceleraţia gravitaţională; k, coeficient care ţine cont de volumul dezlocuit de înveliş; Ax, aria imersă în corespondenţa cuplului maestru; zOx, ordonata centrului de greutate a ariei “Ax” în raport cu suprafaţa liberă a apei.

Întrucât, pentru cele două părţi, Ax şi zOx se confundă, rezultă că cele două forţe Fx sunt egale dar de sens contrar ce se anulează reciproc. Rezultă totuşi o comprimare a corpului navei pe direcţia “x” care se neglijează în comparaţie cu celelalte solicitări generale.

B) acţiunea presiunii apei asupra corpului navei pe direcţia “y”. Separăm carena navei în două părţi distincte cu ajutorul planului diametral. Asupra fiecăreia din cele două părţi, pe direcţia “y”, acţionează câte o forţă hidrostatică Fy . Fy = k · ρ · g · zOy · Ay (1.1.2) unde: Fy, forţa hidrostatică după direcţia “y”; Ay, proiecţia pe planul xOz (planul diametral) al suprafeţei curbe considerate; zOy, ordonata centrului de greutate al ariei “Ay” în raport cu suprafaţa liberă a apei.

Deoarece, pentru cele două părţi, Ay şi zOy se confundă (planul diametral este plan de simetrie pentru carena navei), rezultă că cele două forţe Fy sunt egale dar de sens contrar şi se anulează reciproc. Rezultă o comprimare a corpului navei pe direcţia “y” de care se ţine seama la analiza rezistenţei transversale a corpului navei.

C) Pe direcţia “z” acţionează forţa rezultantă de flotabilitate (forţa Arhimede) Fz: Fz = ρ · g · ∇ 1.1.3) unde: Fz, rezultanta presiunii apei asupra corpului navei pe direcţia “z” care echilibrează greutatea navei; ∇, volumul carenei (inclusiv grosimea învelişului).

Pe de altă parte, forţa Arhimede Fz se poate scrie sub forma:

Fz = k · ρ · g · A∫−2/L

2/Ltx dx = (1.1.4) ∫−

2/L

2/L cx dxa

2

unde: Atx, aria imersă la abscisa “x”; acx = k⋅ρ⋅g⋅Atx, împingerea raportată la unitatea de lungime la abscisa “x”. Reprezentarea grafică a împingerii “acx” pe lungimea navei poartă denumirea de curba

împingerilor. Nava ce pluteşte în apă calmă îndeplineşte următoarele două condiţii de echilibru:

1. g ⋅ ∆ = ρ⋅g⋅∇ (∆ =ρ⋅∇) 2. xG = xB (1.1.5)

Secţionăm imaginar corpul navei în fâşii de lungime unitară (fig 1.1.1). Asupra unei fâşii acţionează de sus în jos greutatea proprie “gx” şi de jos în sus forţa de împingere “acx”, forţe ce nu se echilibrează individual, ci numai însumate pe toată lungimea navei.

Dacă ne imaginăm că fiecare din aceste fâşii ar avea posibilitatea sa se deplaseze în sus sau în jos, păstrându-şi atât forma cât şi greutatea, unele dintre ele şi anume acelea a căror greutate este mai mare decât împingerea ce se exercită asupra lor se vor deplasa în jos, adică îşi vor mări imersiunea până când împingerile respective vor echilibra greutăţile “gx” corespunzătoare; deplasări în sens invers vor căpăta acele fâşii a căror greutate este mai mică decât împingerea ce le revine.

Deoarece acaste deplasări nu sunt posibile, diferenţele dintre mărimile “gx” şi “acx” luate pe toată lungimea navei formează sarcina “pcx”, care provoacă încovoierea longitudinală totală a corpului navei în apă calmă.

Cu alte cuvinte, forţele tăietoare şi momentele încovoietoare ce apar în secţiunile transversale ale corpului navei în apă calmă sunt provocate de diferenţa dintre distribuţia de greutăţi şi de împingeri pe lungimea navei.

Pentru determinarea sarcinii rezultante în apă calmă avem nevoie de: • curba greutăţilor gx; • curba împingerilor în apă calmă acx.

1.2 Curba greutăţilor Clasificarea greutăţilor după modul de distribuţie:

• greutăţi distribuite pe întreaga lungime a navei după o lege oarecare (învelişul navei, osatura longitudinală şi transversală etc.); • greutăţi distribuite după o lege oarecare pe porţiuni relativ mari din lungimea navei (suprastructuri, rufuri, pereţi longitudinali, punţi parţiale, linia de arbori, maşina de propulsie, tancurile de combustibil, apă şi ulei, încărcătura utilă, etc.). În general, în această categorie se includ toate acele greutăţi care sunt distribuite pe cel puţin 0,02L. • greutăţi distribuite pe porţiuni mici din lungimea navei (pereţil transversali, maşini auxiliare mici, cavaleţi-suporţi pentru arborii portelice, etc.).

Greutăţile se mai pot clasifica în: • constante (greutatea corpului, amenajărilor, instalaţiilor, echipamentului, aparatului motor); • variabile (greutatea rezervelor de combustibil, ulei şi apă, a proviziilor, a încărcăturii utile).

Determinarea curbei greutăţilor I. Dacă proiectul de execuţie este terminat şi avem la dispoziţie diagrama de greutăţi pe

coaste de construcţie, adică aşa numita “diagramă zimţată” (fig. 1.2.1). Se transformă diagrama dată într-o diagramă în trepte pe “n”cuple teoretice (de obicei n = 20) (fig.1.2.2).

Repartizarea uniformă pe compartimente teoretice a greutăţilor ce compun deplasamentul navei se face astfel ca poziţia centrelor de greutate ale tuturor greutăţilor să corespundă cu realitatea.

Exemplu: repartizarea uniformă pe compartimente teoretice 0, 1, 2 (la fel se va proceda pe oricare alte compartimente teoretice i-1, i, i+1). Notaţii:

Pj rezultanta greutăţilor aflate între cuplele teoretice 0 şi 1 (în cazul general i-1 şi i ), adică aria “diagramei zimţate” cuprinsă între cuplele menţionate;

dj distanţa de la punctul de aplicaţie al forţei Pj la cupla 1 (în cazul general la cupla i, dar se poate şi la cupla i-1).

3

Greutatea Pj se înlocuieşte prin două greutăţi aj⋅∆L şi bj⋅∆L, repartizate uniform pe toată lungimea compartimentelor teoretice 0-1 şi 1-2 (i-1 ÷ i şi i ÷ i+1) (fig.1.2.1). Necunoscutele aj şi bj rezultă din următoarele relaţii: ∆L ⋅ (aj + bj) = Pj

( )⋅

∆2L 2

(aj - bj) = Pj ⋅ dj (1.2.1)

Greutăţile situate în afara lungimii de calcul a navei se repartizează uniform pe primele două cuple prin greutăţile ac⋅∆L şi bc⋅∆L (fig. 1.2.1), ordonatele ac şi bc rezultând din relaţiile: ∆L ⋅ (ac – bc) = Pc

( )⋅

∆2L 2

(3bc - ac) = Pc ⋅ dc (1.2.2)

Însumând toate greutăţile uniform repartizate ce revin fiecărui compartiment teoretic în parte, se deduc ordonatele gx ale curbei de greutăţi, a cărei formă în trepte este arătată în (fig.1.2.2).

Curba de greutăţi sub forma finală trebuie sa îndeplinească următoarele condiţii: • aria limitată de curba ţinând cont de scara desenului trebuie să fie egală cu greutatea totală a navei; • abscisa centrului de greutate al acestei arii trebuie să coincidă cu poziţia reală a centrului de greutate al navei.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

∆L = L/n ∆L

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 1 2

Pc

Pj

dc dj

a ca j b j

b c

0 1 2

Fig.1.2.1 Diagrama zimţată

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20L

Fig.1.2.2 Diagrama în trepte

4

II. În prima fază de proiectare, când nu dispunem de calculele şi planurile necesare pentru determinarea curbei de greutăţi în modul prezentat anterior. Etape:

- se determină separat pe grupe şi subgrupe, toate greutăţile maselor ce compun deplasamentul navei, folosind metodele statistice existente în literatura de specialitate şi informaţii despre navele construite, cu caracteristici apropiate. Se stabileşte apoi porţiunea din lungimea navei pe care se repartizează diferitele greutăţi şi modul cum trebuie repartizată fiecare greutate în parte;

- greutăţile ce nu se extind pe toată lungimea navei vor fi repartizate prin realizarea echivalenţei mecanice dată de relaţiile (1.2.1) şi (1.2.2);

- greutatea corpului gol până la puntea superioară continuă la care cunoaştem poziţia centrului de greutate, se va repartiza cu suficientă aproximaţie prin una din următoarele metode.

A. Diagrama în trepte a greutăţilor corpului gol, utilizată la navele cu partea cilindrică

extinsă pe 0,3L (fig.1.2.4) şi 0,4L (fig.1.2.3). Notaţii: g = (m⋅Pcg)/L, ordonata diagramei de greutăţi a corpului gol pe porţiunea cilindrică; g0 = (m0⋅Pcg)/L, ordonata diagramei la extremitatea prova; g1 = (m1⋅Pcg)/L, ordonata diagramei la extremitatea pupa; Pcg, greutatea corpului gol până la puntea superioară continuă; m, m0 şi m1, coeficienţi; t0 şi t1, înălţimile treptelor prova şi pupa.

Fig.1.2.3 Porţiune cilindrică pe 0,4L Fig.1.2.4 Porţiune cilindrică pe 0,3L

Coeficientul “m” pentru porţiunea cilindrică se admite statistic, m = 1.174÷1.195.

Coeficienţii “m0” şi “mi” se determină din condiţiile: • aria închisă de diagramă ţinând cont de scara desenului trebuie să fie egală cu greutatea Pcg a corpului gol; • abscisa centrului de greutate al acestei arii trebuie să coincidă cu poziţia centrului de greutate al corpului gol.

Condiţiile de mai sus se pot scrie sub forma:

∆L ⋅ = P∑=

20

1jjg c

( )j

20

1jj

2

gk2L

⋅⋅∆ ∑

=

= Pcg ⋅ xcg (1.2.3)

unde: xcg , abscisa centrului de greutate a corpului gol faţă de cupla teoretică 10 (mijlocul lungimii de calcul); gj, ordonatele curbei de greutăţi; kj = 2j –21, coeficient de multiplicare j ∈[1,20].

5

B. Diagrama trapezoidală, este utilizată în special când se verifică rezistenţa generală în timpul lansării longitudinale şi când porţiunea cilindrică a navei este egală cu aproximativ 0,33L (fig.1.2.5).

Pe baze statistice, pentru ordonatele a, b şi c, literatura de specialitate recomandă următoarele relaţii: a = (Pcg⋅k1)/L; b = (Pcg⋅k2)/L; c = (Pcg⋅k3)/L (1.2.4) unde coeficienţii ki:

Tip navă k1 k2 k3 Pentru nave cu forme fine 0,653 1,195 0,566 Pentru nave cu fineţe medie 0,680 1,185 0,580 Pentru nave cu forme pline 0,706 1,174 0,596

Dacă poziţia reală a centrului de greutate pentru corpul gol diferă de al diagramei din

(fig.1.2.5), se admite corecţia ordonatelor extreme “a” şi “c” cu mărimea “y” determinată din condiţia:

2cgcg

cgcg LxP

754yxPL

97

3Ly

21 ∆⋅

⋅=⇒∆⋅=⋅⋅⋅⋅

unde: ∆xcg, diferenţa între abscisa reală a centrului de greutate a corpului gol şi abscisa diagramei trapezoidale în raport cu mijlocul lungimii de calcul a navei.

C. Diagrama parabolică, este utilizată în cazul navelor fără parte cilindrică (fig.1.2.6). Se compune dintr-un dreptunghi şi un sector de parabolă a căror arii sunt egale între ele şi

egale cu Pcg/2. Poziţia centrului de greutate al întregii arii se află la (L/2). Pentru a ţine cont de poziţia reală a centrului de greutate se face corecţia ordonatelor

extreme cu mărimea “y” determinată din condiţia:

2cgcg

cgcg LxP

6yxPL32

2Ly

21 ∆⋅

⋅=⇒∆⋅=⋅⋅⋅⋅

Fig.1.2.5 Distribuţia trapezoidală Fig.1.2.6 Distribuţia parabolică Diagramele care reprezintă modul de distribuţie al greutăţii corpului gol, determinate prin a

doua şi a treia metodă, se transformă de obicei în curbe echivalente în trepte. După însumarea ordonatelor curbei de greutăţi a corpului gol cu a celorlalte grupe de greutăţi, se verifică dacă la scara desenului, aria limitată de curba de greutăţi este egală cu greutatea navei şi dacă centrul de greutate al acestei arii se află pe aceeaşi verticală cu centrul de greutate al navei. Curba de greutăţi se determină pentru cele mai defavorabile cazuri de încărcare prescrise de normele de rezistenţă în vigoare.

6

1.3. Curba împingerilor în apă calmă Pentru determinarea distribuţiei împingerilor în apă calmă avem nevoie de curbele de

carene drepte (fig.1.3.1) şi de diagrama Bonjean (fig.1.3.2). Notaţii: V, volumul carenei în exteriorul osaturii, deci interiorul învelişului; ∆, deplasamentul navei; AWL, ariile plutirilor; At, ariile imerse; xB, abscisa centrului de carenă; xF, abscisa centrului de greutate a plutirilor; R, raza metacentrică longitudinală; dm, pescajul mediu pentru situaţia de încărcare dată; dpv, pescajul prova; dpp, pescajul pupa. Cu deplasamentul navei corespunzător situaţiei de încărcare date se obţin din (fig.1.3.1)

mărimile dm, xB, xF, AWL, V, R, cu care se calculează pescajele prova şi pupa în prima aproximaţie.

Fig.1.3.1 Curbele de carene drepte

Rxx

x2Ldd BG

Fm'pv

−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

Rxx

x2Ldd BG

Fm'pp

−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= (1.3.1)

Având pescajele la extremităţile navei în prima aproximaţie, se trasează linia de plutire pe diagrama Bonjean, din care se extrag ariile imerse în prima aproximaţie (A'ti), aşa cum rezultă din (fig. 1.3.2).

Fig.1.3.2 Diagrama Bonjean

7

Se calculează în continuare volumul carenei şi abscisa centrului de carenă.

V' = (1.3.2) ∑=

⋅∆n

0i

'tic AL

unde: ∆L = L/n, intervalul dintre două cuple teoretice;

( 2/AAAA 'tn

'0t

n

0i

'ti

n

0i

'tic +−=∑∑

==

) , suma corectată;

∑

∑

=

=

⋅⋅∆= n

0i

'tic

n

0i

'tiic

'B

A

AkLx (1.3.3)

unde ki = i – (n/2), i ∈ [1,20] factor de multiplicare. Dacă V ≠ V′ şi xG ≠ xB′, astfel încât:

'VV− > 0,004⋅V şi 'BG xx − > 0,001⋅L, (1.3.4)

atunci se determină pescajele prova şi pupa în a doua aproximaţie:

Rxx

x2L

AVVdd

'BG

FWL

''pv

''pv

−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

−+=

Rxx

x2L

AVVdd

'BG

FWL

''pp

''pp

−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−+= (1.3.5)

Se trasează pe diagrama Bonjean noua plutire şi se extrag ariile imerse în a doua aproximaţie (Ati″ , i = n,0 ), cu ajutorul cărora se recalculează volumul carenei şi abscisa centrului de carenă.

V″ = (1.3.6) ∑=

⋅∆n

0i

''tic AL

∑

∑

=

=

⋅⋅∆= n

0i

''tic

n

0i

''tiic

''B

A

AkLx (1.3.7)

Dacă ''VV− < 0,004V şi ''BG xx − < 0,001L atunci Ati″ sunt ariile imerse

corespunzătoare situaţiei de încărcare date. Ordonatele curbei de împingeri se calculează cu relaţia:

aci = k ⋅ρ⋅g⋅Ati″ , i = n,0 . (1.3.8) În final curba împingerilor trebuie transformată în trepte (fig.1.3.3) folosind relaţia:

2aa

a 1cicicj

−+= , i = n,1 . (1.3.9)

Fig.1.3.3 Curba împingerilor în trepte

8

1.4. Curba de încărcare în apă calmă. Forţe tăietoare şi momente încovoietoare în apă calmă Ordonatele curbei de încărcare în apă calmă pcx rezultă prin scăderea ordonatelor curbei de

împingeri acx din ordonatele curbei de greutăţi gx. pcx = gx – acx

Aspectul general al curbei de încărcare în apă calmă pcx, adică sarcina rezultantă care provoacă încovoierea longitudinală în apă calmă are aspectul din (fig.1.4.1) şi în anumite cazuri de încărcare, cel din (fig. 1.4.2).

Fig.1.4.1 Sarcina rezultantă (Mcx>0)

Fig.1.4.2 Sarcina rezultantă (Mcx<0)

Condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească curba de încărcare în apă calmă pcx sunt

condiţiile de echilibru a navei în apă calmă.: • suma ariilor pozitive trebuie să fie egală cu suma ariilor negative; • momentul ariilor închise de curba pcx faţă de orice punct de pe lungimea navei trebuie să fie egal cu zero.

Convenţia de semne folosită în problemele de rezistenţă generală a corpului navei (fig. 1.4.3).

9

Fig.1.4.3 Convenţia de semne

Se consideră (fig.1.4.3) un element de lungime “dx” dintr-o navă solicitată prin sarcini

normale “px” pe axa ei. Pe intervalul de lungime infinit mică “dx” se admite sarcina “px” uniform distribuită. Detaşând elementul de navă, se aplică în secţiune eforturile T, M, considerate pe ambele secţiuni pozitive. Din cauza variaţiei lor în lungul navei, pe secţiunea din stânga eforturile sunt T, M, iar pe cea din dreapta T+dT, M+dM.

Ecuaţiile de echilibru ale elementului “dx” din (fig.1.4.3) permit stabilirea următoarelor relaţii.

Din ecuaţia de proiecţie pe verticală: T + px ⋅dx – (T + dT) = 0 ⇒ dT = px ⋅dx (1.4.1) sau

∫−

=x

2/Lx dxpT . (1.4.2)

Din ecuaţia de momente faţă de secţiunea din dreapta :

M + T⋅dx + px ⋅(dx)2/2 – (M + dM) = 0 (1.4.3)

Neglijăm infinitul mic de ordin superior px ⋅(dx)2/2 rezultă

dM = T ⋅ dx (1.4.4) sau

∫−

=x

2/L

dxTM . (1.4.5)

Întrucât nava reprezintă o grindă liberă la extremităţi, pentru x = ± L/2 ⇒ T = 0 şi M = 0, motiv pentru care relaţiile (1.4.2) şi (1.4.5) nu conţin constante de integrare.

Conform relaţiilor (1.4.2) şi (1.4.5) forţele tăietoare şi momentele încovoietoare în apă calmă se vor calcula cu relaţiile:

∫−

=x

2/Lcxcx dxpT (1.4.6)

∫−

=x

2/Lcxcx dxTM (1.4.7)

Folosind metoda de integrare a trapezelor, se obţin corespunzător sarcinii rezultante în apă calmă, diagramele forţelor tăietoare şi momentelor încovoietoare cu aspectul prezentat în (fig.1.4.1) şi (1.4.2).

Datorită integrării prin metode aproximative şi a altor aproximaţii pe parcursul calculului, în mod curent, la x = + L/2, curbele Tcx şi Mcx nu se închid, rezultând o forţă tăietoare rest Tr şi un moment de încovoiere rest Mr (fig.1.4.4) şi (1.4.5).

10

Fig.1.4.4 Forţa tăietoare rest

Fig.1.4.5 Momentul încovoietor rest

Atât timp cât rT∆ ≤ 0,002 ⋅Tc(max) şi rM∆ ≤ 0,05 ⋅ M c(max), forţele tăietoare şi

momentele încovoietoare în apă calmă se corectează liniar (fig. 1.4.4) şi (fig. 1.4.5). Corecţiile în corespondenţa fiecărei cuple teoretice vor fi:

Tci = - ∆Tr⋅ ni , i = n,0 (1.4.8)

Mci = - ∆Mr⋅ ni , i = n,0 , (1.4.9)

Momentul de încovoiere în apă calmă la mijlocul lungimii navei poate fi determinat în mod aproximativ cu relaţia:

mLgMc⋅∆⋅

= , [kN/m] (1.4.10)

unde: m, coeficient ce se determină prin interpolare liniară din (Tab.1.4.1) pentru nave de transportat mărfuri uscate şi din (Tab.1.4.2) pentru petroliere;

g = 9,81m/s2, acceleraţia gravitaţională; CB, coeficientul de fineţe bloc.

Tab.1.4.1 CB 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 m 55 61 70 85 110

Tab.1.4.2

L, [m] CB100 140 180 200 250 300

0,75 105 120 140 160 180 200 0,80 75 90 100 110 120 130

11

1.5. Sarcini suplimentare ce acţionează asupra corpului navei la aşezarea statică a navei pe val. Nava pe valuri - curba de greutăţi rămâne neschimbată; - curba împingerilor se modifică. Se măresc diferenţele între ordonatele celor două curbe. Rezultă momente de încovoiere

longitudinală totală pe mare agitată mult mai mari decât în apă calmă. Cele mai mari solicitări apar atunci când mijlocul navei coincide cu creasta sau golul

valului: - dacă momentul de încovoiere în apă calmă rezultă pozitiv (puntea navei supusă la

întindere), cazul cel mai defavorabil este când mijlocul navei se află pe creasta de val; - dacă momentul de încovoiere în apă calmă rezultă negativ (puntea navei supusă la

compresiune), cazul cel mai defavorabil este când mijlocul navei se află pe gol de val. Momentele de încovoiere mari pot să apară şi atunci când se produc abateri de la

prescripţiile de încărcare, ceea ce se poate întâmpla uneori în exploatare. Valul standard sau convenţional, care se ia în considerare la calculul sarcinilor ce

acţionează asupra navei pe mare agitată are profilul trohoidal întrucât se apropie cel mai mult de forma valului ce se formează în realitate din cauza vântului. Ecuaţia trohoidei sub forma parametrică:

ϕ⋅+ϕ⋅πλ

= sin2h

2x

( ϕ−⋅= cos12hy )

] (1.5.1)

unde: λ, lungimea valului; [ π∈ϕ 2,0 ; h = 2⋅r, înălţimea valului. Practic, profilul valului se construieşte ca în (fig.1.5.1), sau folosind ordonatele relative ale

trohoidei (ζ⋅v/r) din (Tab.1.5.1).

Fig.1.5.1 Valul trohoidal

Tab.1.5.1 Nr. cuplei teoretice Creasta valului la cuplul maestru Golul valului la cuplul maestru

10 -1,0 +1,0 9; 11 -0,932 +0,963 8; 12 -0,742 +0,854 7; 13 -0,470 +0,677 6; 14 -0,158 +0,441 5; 15 +0,154 +0,154 4; 16 +0,441 -0,158 3; 17 +0,677 -0,470 2;18 +0,854 -0,742 1; 19 +0,963 -0,932 0; 20 +1,0 -1,0

Lungimea valului “λ” se consideră întotdeauna egală cu lungimea navei “L” (cazul cel mai

defavorabil - Van der Fleet).

12

Înălţimea valului “h” - conform normelor de registru. Ex. G.L : 325,1h λ⋅= , pentru navele cu L ≤ 270m;

h = 8,0m, pentru navele cu L > 270m. (1.5.2) Aşezarea statică a navei pe val ↔ a considera în mod convenţional că nava se deplasează

cu o viteză egală cu viteza de propagare a valului, în sensul propagării valului, căutându-se poziţia de echilibru static a navei pe val.

Echilibrarea asietei navei pe val ↔ determinarea poziţiei axei valului în raport cu linia de plutire în apă calmă, astfel încât volumul carenei şi abscisa centrului de carenă să rămână neschimbate faţă de situaţia rezultată pentru cazul respectiv de încărcare în apă calmă.

Poziţia axei valului în raport cu linia de plutire din apă calmă este materializată prin doi parametrii (fig. 1.5.2):

- ζ0, deplasarea pe verticală a axei valului faţă de linia de plutire în apă calmă, pozitivă la cufundarea navei;

- ψ = 2b/L, unghiul de înclinare longitudinală a axei valului, pozitiv la aprovarea navei. Mersul de calcul:

• se construieşte profilul valului la scara la care este construită diagrama Bonjean; • se suprapune axa valului pe linia de plutire în apă calmă din diagrama Bonjean şi se extrag valorile ariilor imerse At0i; • se deplasează axa valului cu mărimea arbitrară “ε” , în sus pentru gol de val (fig. 1.5.2), în jos pentru creasta de val (fig. 1.5.3) şi se extrag ariile imerse Atεi ; • se determină parametrii de echilibrare ζ0 şi b cu ajutorul condiţiilor de echilibru

( ) ( ) VAAkLnb2AALAL i0titi

n

0ici0tit

n

0ic

0n

0ii0tc =−⋅⋅∆⋅

⋅ε+−⋅∆⋅

ες

+⋅∆ ε=

ε==

∑∑∑ (1.5.3)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Bi0tit2

i

n

0ic

2i0titi

n

0ic

20n

0ii0tic

2 xVAAkLnb2AAkLAkL ⋅=−⋅∆⋅⋅ε

+−⋅∆⋅ες

+⋅∆ ε=

ε==

∑∑∑

unde: ki = i - (n/2), i = n,0 , (n = 20); • prin rezolvarea sistemului, rezultă ζ0 şi b;

Fig.1.5.2 Nava pe gol de val

13

Fig. 1.5.3 Nava pe creastă de val

• cu ajutorul mărimilor ζ0 şi b se trasează pe diagrama Bonjean axa valului pentru poziţia de echilibru a navei pe val; • se suprapune valul peste diagrama Bonjean astfel încât axa lui să coincidă cu axa trasată pe diagrama Bonjean şi se extrag ariile imerse Atvi; • se determină ariile imerse suplimentare Atsvi = A″ti - Atvi ca diferenţă între ariile imerse în apă calmă şi cele pe val; • se determină sarcina suplimentară datorită acţiunii statice a valului: psvi = k ⋅ρ ⋅ g ⋅ Atsvi , i = n,0 , (1.5.4) sau analitic: psvx = k ⋅ ρ ⋅ g ⋅ Atsvx , (1.5.5) [ 2/L,2/Lx −∈ ]

1.6. Forţe tăietoare şi momente încovoietoare verticale datorită acţiunii statice a valului. Însumarea forţelor tăietoare şi momentelor încovoietoare Forţele tăietoare verticale suplimentare se obţin efectuând integrala sarcinii suplimentare:

∫−

=x

2/Lsvxsvx dxpT (1.6.1)

sau

∑=

⋅∆

=i

0isviintsvi p

2LT (1.6.2)

unde , reprezintă suma integrală. ∑=

i

0iint

Momentele încovoietoare suplimentare se obţin integrând o dată forţa tăietoare suplimentară sau de două ori sarcina suplimentară.

∫∫∫−−−

==x

2/Lsvx

x

2/L

x

2/Lsvxsvx dxdxpdxTM (1.6.3)

sau, ( ) ∑ ∑∑

= ==

⋅∆

=⋅∆

=i

0i

i

0isviintint

2i

0isviintsvi p

4LT

2LM (1.6.4)

unde, , reprezintă suma integrală dublă. ∑ ∑= =

i

0i

i

0iintint

14

Forţele tăietoare şi momentele încovoietoare suplimentare totale se obţin prin însumarea celor în apă calmă cu cele de pe val:

svxcxx TTT += , (1.6.5) [ 2/L,2/Lx −∈ ]svxcxx MMM += , [ ]2/L,2/Lx −∈ (1.6.6)

sau,

svicii TTT += , n,0i = (1.6.7)

svicii MMM += , n,0i = (1.6.8)

1.7 Corectarea forţelor tăietoare şi a momentelor încovoietoare prin deplasarea curbei de împingeri În practică se întâmplă destul de des ca din cauza unor erori ale planurilor sau ale

calculelor, centrele de greutate ale curbelor de greutăţi şi de împingeri să nu cadă pe aceeaşi verticală; din acest motiv vor apare la x = + L/2 o forţă tăietoare rest ∆Tr şi un moment de încovoiere rest ∆Mr, care trebuie corectate deoarece la extremităţile navei nu trebuie să existe nici forţe tăietoare şi nici momente de încovoiere. În cazul când:

maxr T02,0T ≤∆ ,

maxr M05,0M ≤∆ , (1.7.1) forţele tăietoare şi momentele încovoietoare pe mare agitată pot fi corectate liniar, aşa cum s-a arătat pentru forţele tăietoare şi momentele încovoietoare în apă calmă. În cazul când ∆Tr şi ∆Mr depăşesc limitele menţionate mai sus, se pot determina corecţiile forţelor tăietoare şi momentelor încovoietoare prin deplasarea curbei de împingeri.

A. Cazul navei în apă calmă şi pe creastă de val Să presupunem că ne aflăm în situaţia:

maxr T02,0T >∆ , (1.7.2)

maxr M05,0M >∆ (1.7.3) motiv pentru care vom apela la metoda deplasării curbei de împingeri (fig.1.7.1). În figură, ax este curba împingerilor înainte de deplasare iar a'x este curba împingerilor după deplasare.

Fig. 1.7.1 Deplasarea curbei împingerilor în cazul A

15

Mărimea ∆ax = ax – a′x reprezintă diferenţa dintre coordonatele celor două curbe ax şi a′x care închid arii egale. Deplasarea pe orizontală a curbei împingerilor în corespondenţa abscisei “x” este ex. Datorită lui ∆ax, va apare o corecţie ∆Tx pentru forţele tăietoare dată de relaţia:

∫−

∆=∆x

2/Lxx dxaT (1.7.4)

Pentru ex < L/30 se poate face aproximaţia:

dxda

ea

x

x =∆ sau

dxdaea xx ⋅=∆ (1.7.5)

Dacă înlocuim pe ex cu o valoare medie constantă “e”, vom putea scrie:

x

x

2/L

x

2/Lxx aedaedx

dxdaeT ⋅==⋅=∆ ∫∫

−−

(1.7.6)

Aproximaţia este admisă pentru e < L/30. Corecţia momentelor de încovoiere rezultă prin integrarea corecţiei forţelor tăietoare:

∫∫−−

==∆x

2/Lx

x

2/Lxx dxaedxTM (1.7.7)

Necunoscuta “e” va rezulta din condiţia ca momentul rest ∆Mx la abscisa x = +L/2 să fie egal cu “-∆Mr”:

r

2/L

2/Lx2/Lxx MgedxaeM ∆−=∆⋅⋅==∆ ∫

−= (1.7.8)

unde ∆ reprezintă deplasamentul navei.

∆⋅∆

−=gM

e r (1.7.9)

Din relaţia (1.7.9) deducem că mărimea “e” reprezintă deplasarea centrului de greutate al ariei limitate de curba de împingeri, astfel ca să se anuleze forţa tăietoare rest şi momentul de încovoiere rest. Se constată deci că nu este necesar a se construi din nou curba de împingeri, deoarece corecţiile pentru forţele tăietoare şi pentru momentele de încovoiere rezultă imediat din relaţiile (1.7.6) şi (1.7.7), cunoscând valoarea lui “e” din (1.7.9) şi ordonatele curbei iniţiale de împingeri “ax”.

B. Cazul navei pe gol de val Metoda de corectare a forţelor tăietoare şi momentelor de încovoiere descrisă mai sus

pentru nava în apă calmă si pe creastă de val nu poate fi aplicată şi în cazul navei pe gol de val, deoarece curba de împingeri “ax” are în acest caz o formă pentru care nu se poate face aproximaţia (1.7.6). Se aproximează corecţia ∆Tx la următoarea formă cosinusoidală:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+⋅=∆

Lx2cos1qTx (1.7.10)

unde: q, factor care se determină din condiţia Mx = - ∆Mr pentru x = + L/2. Pentru corecţiile de momente încovoietoare vom avea:

∫∫−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+==∆

x

2/L

x

2/Lxx dx

Lx2cos1qdxTM (1.7.11)

r

2/L

2/L2/Lxx MLqdx

Lx2cos1qM ∆−=⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+=∆ ∫

−= (1.7.12)

LM

q r∆−= (1.7.13)

16

unde “q” are semnificaţia unei valori medii pentru corecţiile forţelor tăietoare. Corecţiile pentru forţele tăietoare şi pentru momentele încovoietoare vor fi respectiv date de relaţiile (1.7.11) şi (1.7.12), unde “q” este calculat cu relaţia (1.7.13).

Fig.1.7.2 Deplasarea curbei de împingeri în cazul B

Corecţiile ce se obţin cu această metodă aproximativă se află între acelea ce s-ar obţine cu

o deplasare orizontală a valului şi cu o schimbare a asietei longitudinale a navei. 1.8 Evaluarea momentelor de încovoiere maxime şi a forţelor tăietoare maxime În prima fază de proiectare a unei nave, momentul de încovoiere maxim se poate determina

în mod aproximativ cu o formulă empirică:

KLTBCgk

KLgM

2B

max⋅⋅⋅⋅⋅ρ⋅

=∆⋅⋅

= [kN⋅m] (1.8.1)

unde: ∆, deplasamentul navei în t; L, B, d, dimensiunile navei în m; CB, coeficientul de fineţe bloc al carenei; ρ, densitatea apei în t/m3; g, acceleraţia gravitaţională în m/s2; k = 1,006÷1,008, coeficient care ţine cont de volumul dezlocuit de învelişul navei; Coeficientul K este adimensional, valoarea lui depinde de tipul navei, modul cum este

încărcată şi de poziţia ei faţă de val. Pentru nave de transportat mărfuri uscate şi nave de pasageri "K" este cuprins între 29 şi 37, iar pentru petroliere 45.

Valoarea maximă a forţelor tăietoare se întâlneşte în secţiunile situate la aproximativ (L/4) de la extremităţile navei şi poate fi evaluată cu formula empirică:

∆⋅⋅= gKT 1max [KN] (1.8.2) Valorile coeficientului adimensional “K1” pentru nave maritime sunt cuprinse în intervalul

1/6 …1/7.

17

1.9 Variaţia momentului încovoietor în cuplul maestru în cazul ambarcării sau debarcării de mase Metoda de faţă este valabilă atâta timp cât masa ambarcată sau debarcată nu depăşeşte 15%

din deplasamentul navei. Notăm cu “M” masa ambarcată (debarcată) şi cu P = g⋅M greutatea acesteia.

A. Masa ambarcată (debarcată) se află de o singură parte a cuplului maestru la distanţa “x” de acesta (fig.1.9.1).

Fig.1.9.1 Masa ambarcată de o singură parte a cuplului maestru

Notaţii:

ℓ’, distanţa de la cuplul maestru la centrul de greutate al suprafeţei plutirii cuprinsă între acesta şi extremitatea pupa; ℓ”, distanţa de la cuplul maestru la centrul de greutate al suprafeţei plutirii cuprinsă între acesta şi extremitatea prova; ℓ1 = (ℓ’ + ℓ”)/2, mărime caracteristică pentru suprafaţa plutirii, rezultată în urma calculului de carene drepte. Mărimea ℓ1 se poate aproxima cu relaţia:

ℓ1 2Lk ⋅= (1.9.1)

unde coeficientul “k” se extrage din (Tab. 1.9.1). Tab. 1.9.1 Cwpv sau Cwpp 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0.95

K 0,333 0,343 0,355 0,370 0,385 0,400 0,415 0,435 0,455 0,475

Notaţii: Cwpv = Cw + 2,23⋅(xf /L), coeficientul de fineţe al suprafeţei plutirii situată în prova cuplului maestru; Cwpp = Cw – 2,23⋅(xf /L), coeficientul de fineţe al suprafeţei plutirii situată în pupa cuplului maestru; Cw, coeficientul de fineţe al suprafeţei plutirii.

Considerăm zona pupa a navei încastrată în cuplul maestru şi scriem variaţia momentului încovoietor în încastrare:

⊗∆M = P⋅x – (P⋅ℓ’)/2 (1.9.2)

Considerăm partea prova a navei încastrată în cuplul maestru şi scriem variaţia momentului în încastrare:

⊗∆M = - (P ⋅ℓ”)/2 (1.9.3) Adunam expresia (1.9.2) cu (1.9.3) şi împărţim la doi. Vom obţine relaţia căutată.

⊗∆M = 2P (x - ℓ1) (1.9.4)

18

B. Masa ambarcată (debarcată) este distribuită de ambele părţi ale cuplului maestru (fig.1.9.2).

Fig.1.9.2 Masa ambarcată de ambele părţi a cuplului maestru

Notaţii: M = m ⋅ L1, masa totală ambarcată (debarcată); m, masa ambarcată (debarcată) raportată la unitatea de lungime (presupunem că este

constantă); L1, lungimea pe care este distribuită masa M; P = g ⋅ M, greutatea totală ambarcată (debarcată); x, distanţa de la cuplul maestru la centrul de greutate al masei M. Greutatea totală “P” o vom împărţi în două părţi; “P1” şi “P2”, astfel încât fiecare din ele să

fie situată de o singură parte a cuplului maestru:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= x

2L

LPP 1

11 (1.9.5)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += x

2L

LPP 1

12 . (1.9.6)

Pentru fiecare din cele două greutăţi, “P1” şi “P2” vom aplica relaţia (1.9.4).

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=∆ ⊗ 1

121

11 x2

L21

2P

x2

L21

2P

M ll . (1.9.7)

După introducerea relaţiilor (1.9.5), (1.9.6) în (1.9.7) şi efectuarea calculelor algebrice corespunzătoare, vom obţine:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅=∆ ⊗ 1

1

21

Lx

4L

2PM l . (1.9.8)

Dacă sarcina “P” nu este distribuită uniform ci după o lege oarecare, ea poate fi despărţită în două sarcini “P1” şi “P2” pentru a putea aplica următoarea relaţie, derivată din (1.9.8)

( ) ( 122

111 x

2P

x2P

M ll −⋅+−⋅=∆ ⊗ ) (1.9.9)

unde: x1, distanţa de la cuplul maestru la centrul de greutate al greutăţii “P1”; x2, distanţa de la cuplul maestru la centrul de greutate al greutăţii “P2”.

19

1.10 Stabilirea celui mai nefavorabil val şi a celei mai periculoase poziţii a navei la aşezarea statică a navei pe val Se consideră o navă (simetrică în raport cu planul cuplului maestru şi cu bordaje verticale

în zona liniei de plutire) în echilibru static pe un val cu profil cosinusoidal, a cărui lungime este diferită de lungimea L a navei (fig. 1.10.1).

Se admit două sisteme de axe de coordonate, unul raportat la nava (Oxyz) şi altul raportat la val (O′ξηζ), şi anume: Oxy, coincide cu planul plutirii în apă calmă; Oxz şi O′ξζ, coincid cu planul diametral; Oyz, coincide cu planul cuplului maestru; O′ηζ, este perpendicular pe O′ξζ şi O′ξη şi trece prin talpa valului; O′ξη, planul median al valului; a, este distanţa dintre proiecţiile orizontale a celor două sisteme de axe de coordonate.

Fig.1.10.1 Poziţia navei pe val

Ordonatele valului sunt caracterizate de relaţia:

λξπ

⋅=ς2cosrv (1.10.1)

unde: r = h/2, amplitudinea valului; ζ0 şi ψ, parametrii de echilibrare statică a navei pe val; ζ0, deplasarea pe verticală a navei, pozitivă la cufundare; ψ, înclinarea longitudinală a navei, pozitivă la aprovare. Prin echilibrarea statică a navei pe val înţelegem determinarea poziţiei relative între axele

O′ξ şi Ox, cu ajutorul celor doi parametri ζ0 şi ψ. Sarcina suplimentară datorită acţiunii statice a valului este dată de expresia,

( ) ( ) ( )[ ]xxbgkxq 0v ⋅ψ+ς−ς⋅⋅⋅ρ⋅= . (1.10.2) Mărimea b(x) este lăţimea suprafeţei de plutire în secţiunea de abscisă “x”. Pentru

simplificarea scrierii, notăm: γ = k⋅ρ⋅g . (1.10.3)

Ţinând cont că ξ = x – a, ordonata valului raportată la sistemul de coordonate Oxyz va fi: ( ) ( )xax2cosrz 0v ⋅ψ+ς−λ−π

⋅= . (1.10.4)

Necunoscutele ζ0 şi ψ se vor determina din condiţiile de echilibru ale navei pe val:

( ) 0dxxq2/L

2/L_

=∫ , . (1.10.5) ( ) 0dxxxq2/L

2/L_

=⋅∫

20

După dezvoltarea funcţiei: ( )λπ

⋅λπ

+λπ

⋅λπ

=λ−π a2sinx2sina2cosx2cosax2cos ,

introducem relaţiile (1.10.2) şi (1.10.4) în (1.10.5):

( ) ( ) ( ) −λπ

⋅λπ

⋅⋅γ+λπ

⋅λπ

⋅⋅γ= ∫∫∫−−

dxx2sinxba2sinrdxx2cosxba2cosrdxxq2/L

2/L

2/L

2/L

2/L

2/L_

( ) ( ) dxxxbdxxb2/L

2/L

2/L

2/L0 ∫∫

−−

⋅ψ⋅γ−ς⋅γ− (1.10.6)

( ) ( ) ( ) −λπ

⋅⋅λπ

⋅⋅γ+λπ

⋅⋅λπ

⋅⋅γ=⋅ ∫∫∫−−

dxx2sinxxba2sinrdxx2cosxxba2cosrdxxxq2/L

2/L

2/L

2/L

2/L

2/L_

( ) ( ) dxxxbdxxxb2/L

2/L

22/L

2/L0 ∫∫

−−

⋅ψ⋅γ−⋅ς⋅γ−

Datorită simetriei navei în raport cu planul cuplului maestru rezultă:

( ) 0dxxxb2/L

2/L

=⋅∫−

(1.10.7a)

( ) 0dxx2sinxb2/L

2/L

=λπ

⋅∫−

(1.10.7b)

( ) 0dxx2cosxxb2/L

2/L

=λπ

⋅⋅∫−

(1.10.7c)

Considerând notaţiile:

( )dxxbA2/L

2/L1w ∫

−

= , aria suprafeţei plutirii, (1.10.8a)

( ) dxxxbI2/L

2/L

2y ∫

−

⋅= , momentul de inerţie al suprafeţei plutirii în raport cu Oy, (1.10.8b)

( ) dxx2cosxbA2/L

2/L1 λ

π⋅= ∫

−

, (1.10.8c)

( ) dxx2cosxxbA2/L

2/L2 λ

π⋅⋅= ∫

−

. (1.10.8d)

Înlocuim relaţiile (1.10.7) şi (1.10.8) în (1.10.6) şi obţinem:

λπ

⋅⋅=ςa2cos

AA

r1w

10 ,

λπ

⋅⋅=ψa2sin

IAr

y

2 . (1.10.9)

Ţinând cont de relaţia (1.10.9) şi ordonând după λπ /a2cos respectiv λπ /a2sin , sarcina suplimentară (1.10.2) devine:

( ) ( ) ( ) =λπ

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

λπ

⋅⋅⋅γ+λπ

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

λπ

⋅⋅⋅γ=a2sin

IA

xx2sinxbrdxa2cosAAx2cosxbrxq

y

2

1w

1

( ) ( )λπ

⋅+λπ

⋅=a2sinxqa2cosxq 21 , unde: (1.10.10)

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

λπ

⋅⋅⋅γ=1w

11 A

Ax2cosxbrxq (1.10.11a)

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

λπ

⋅⋅⋅γ=y

22 I

Axx2sinxbrxq (1.10.11b)

21

Forţele tăietoare suplimentare se vor calcula în modul următor:

( ) ( ) ( ) ( ) =λπ

+λπ

== ∫∫∫−−

dxxqa2sindxxqa2cosdxxqxTx

2/L2

x

2/L1

x

2/L_

( ) ( )λπ

⋅+λπ

⋅=a2sinxTa2cosxT 21 (1.10.12)

unde:

( ) ( ) ( )dxxbAA

rdxx2cosxbrxTx

2/L1w

1x

2/L1 ∫∫

−−

⋅⋅γ−λπ

⋅⋅γ= (1.10.13a)

( ) ( ) ( ) dxxxbIA

rdxx2sinxbrxTx

2/Ly

2x

2/L2 ∫∫

−−

⋅⋅⋅γ−λπ

⋅⋅γ= (1.10.13b)

Momentele încovoietoare suplimentare se vor calcula în următorul mod:

( ) ( ) ( ) ( ) =λπ

+λπ

== ∫∫∫−−−

dxxTa2sindxxTa2cosdxxTxMx

2/L2

x

2/L1

x

2/L

( ) ( )λπ

⋅+λπ

⋅=a2sinxMa2cosxM 21 (1.10.14)

unde:

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫− −− −

⋅⋅γ−λπ

⋅⋅γ=x

2/L

x

2/L1w

1x

2/L

x

2/L1 dxdxxb

AA

rdxdxx2cosxbrxM (1.10.15a)

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫− −− −

⋅⋅⋅γ−λπ

⋅⋅γ=x

2/L

x

2/Ly

2x

2/L

x

2/L2 dxdxxxb

IA

rdxdxx2sinxbrxM . (1.10.15b)

Expresia (1.10.14) se mai poate scrie sub forma:

( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ε−λπ

⋅= xa2cosxMxM Ma (1.10.16)

unde: ( ) ( ) ( )xMxMxM 2

221a += (1.10.17)

este amplitudinea momentului încovoietor în secţiunea de abscisă “x”,

( ) ( )( )xMxM

arctgx1

2M =ε . (1.10.18)

Din (1.10.14) rezultă următoarele: • dacă nava se află cu cuplul maestru pe gol de val (a = 0), atunci: M(x) = M1(x) (1.10.19a) • dacă nava se află cu cuplu maestru pe creastă de val (a = λ/2), atunci: M(x) = - M1(x) (1.10.19b)

Momentul de încovoiere suplimentar (care depinde de “a”) în secţiunea de abscisă “x” devine maxim pentru o valoare a lui “a” care se determină egalând cu zero derivata expresiei (1.10.14) în raport cu “a”:

( ) ( ) ( )xMa2cos2xMa2sin2xxM

21 ⋅λπ

⋅λπ

+⋅λπ

⋅λπ

−=∂

∂ (1.10.20)

de unde deducem: ( )( )xMxMa2tg

1

2=λπ , (1.10.21)

( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡π⋅+⋅

πλ

= kxMxM

arctg2

a1

2 , k = 0, 1 . (1.10.22)

22

Pentru secţiunea maestră (x = 0), unde momentul încovoietor este maxim, relaţia (1.10.22), devine:

( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡π⋅+⋅

πλ

= k0M0M

arctg2

a1

2 (1.10.23)

Momentele M1(0) şi M2 (0) deduse din (1.10.15) se integrează prin părţi:

( ) ( ) ( ) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

λπ

⋅⋅γ= ∫ ∫∫ ∫− −− −

0

2/L

x

2/L1w

10

2/L

x

2/L1 dxdxxb

AA

dxdxx2cosxbr0M

( ) ( ) ( )⎢⎢⎣

⎡+

λπ

⋅⋅−⋅⋅−λπ

⋅⋅⋅⋅γ= ∫ ∫∫−

−−− −

x

2/L

0

2/L

02/L

1w

1x

2/L

0

2/L

dxx2cosxxbdxxbxAAdxx2cosxbxr

( ) ( ) 0dxxbxx2cosAA

rdxxxbAA 0

2/L 1w

10

2/L1w

1 ≠⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ

−⋅γ=⎥⎦

⎤⋅⋅+ ∫∫

−−

(1.10.24)

( ) ( ) ( ) =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−

λπ

⋅⋅γ= ∫ ∫∫ ∫− −− −

0

2/L

x

2/Ly

20

2/L

x

2/L2 dxxxb

IAdxdxx2sinxbr0M

( ) ( ) ( )

( ) 02I

IA

2Adxxxb

IA

dxx2sinxxbdxxxbxIAdxx2sinxbxr

y

y

222

y

2

0

2/L

0

2/L

x

2/L

x

2/Ly

2

=⋅+−=⎥⎥⎦

⎤⋅⋅+

+λπ

⋅⋅−⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅−

λπ

⋅⋅⋅γ=

∫

∫∫ ∫−

−− − (1.10.25)

Înlocuim (1.10.24) şi (1.10.25) în (1.10.23) şi obţinem valorile lui “a” pentru care momentul în planul cuplului maestru ia valorile maxime:

[ ⇒π⋅+⋅πλ

= k0arctg2

a ] a = 0 sau a = λ/2. (1.10.26)

Din relaţia (1.10.26) se observă că cele mai nefavorabile poziţii ale navei faţă de val sunt două: nava cu cuplul maestru pe gol de val (a = 0) şi nava cu cuplul maestru pe creastă de val (a = λ/2). Să examinăm acum care este lungimea de val pentru care momentul de încovoiere suplimentar la cuplul maestru, în cazul aşezării statice a navei simetrice, pe gol sau creastă de val este maxim. Conform (1.10.19): M(0) = ± M1(0) (1.10.27)

În vederea examinării mai sus menţionate, Van der Fleet a studiat expresia (1.10.24) acceptând o navă simetrică, cu linia de plutire parabolică, reprezentată prin funcţia:

( )( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

− ww C1/C

Lx2

1Bxb , (1.10.28) [ 2/L,2/Lx −∈ ]

în care “B” este lăţimea navei la x = 0 şi Cw este coeficientul de fineţe al suprafeţei plutirii. A calculat valorile lui M1(0) din (1.10.24) pentru diferite valori ale lui Cw, a lui λ şi diferite rapoarte L/B. Concluziile la care a ajuns sunt următoarele: • momentul de încovoiere suplimentar maxim la cuplul maestru al navelor cu coeficienţi de fineţe ai suprafeţelor de plutire normali, are loc în cazul când lungimea valului este puţin mai mare decât lungimea navei. Întrucât acest moment de încovoiere diferă numai cu 1% de acela ce se obţine când lungimea valului este egală cu lungimea navei, pentru calculul momentului de încovoiere la cuplul maestru se poate considera λ = L; • pentru lungimi de val mai mici decât lungimea navei, momentul de încovoiere suplimentar la cuplul maestru scade considerabil.

23

V. V. Ekimov a studiat o navă simetrică cu contururi parabolice şi o navă nesimetrică a cărei linie de plutire are părţile din prova şi din pupa tot parabolice, dar cu coeficienţi de fineţe diferiţi.

Pentru nava simetrică, amplitudinea momentului de încovoiere suplimentar în orice secţiune este dată de expresia (1.10.17), care poate fi pusă sub forma:

( ) ( ) ( )xKxMxM 1a ⋅= , (1.10.29) în care:

( ) ( )( )

2

1

2

xMxM1xK ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= . (1.10.30)

După cum s-a menţionat mai înainte, M1(x) reprezintă momentul de încovoiere suplimentar în secţiunea de abscisă “x” la aşezarea statică a navei pe creastă sau pe gol de val. Funcţia K(x) reprezintă factorul de rectificare care ia în consideraţie poziţia cea mai nefavorabilă a navei pe val.

Ekimov a stabilit că pentru lungimea valului egală cu lungimea navei, funcţia K(x), în mod practic nu depinde de Cw şi că valoarea ei poate fi determinată în mod aproximativ cu formula:

( )2

Lx40,11xK ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+= . (1.10.31)

Pentru nava nesimetrică, dar tot cu contururi parabolice ale părţii din prova şi din pupa, concluziile la care a ajuns Ekimov sunt următoarele: • punctul zero al funcţiei M2 este deplasat de la cuplul maestru, spre extremitatea cu forme mai ascuţite a liniei de plutire (de obicei spre prova), însă această deplasare nu este mare; • factorul de rectificare K(x) poate fi determinat în mod aproximativ cu formula:

( )2

xpv

wppwpv

C3CC

Lx40,11xK ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⋅+= . (1.10.32)

Valorile pentru Cwpv şi Cwpp sunt calculate în paragraful 1.9.1. Valorile lui K(x) date de formula (1.10.32) se referă la nave cu bordajele verticale. Pentru nave reale (ale căror bordaje nu sunt verticale) se recomandă pentru calculul aproximativ al factorului de rectificare K(x) formula:

( )2

xpp

wppwpv

C3CC

Lx21xK ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⋅+= (1.10.33)

Când x = L/2 şi Cwpv = Cwpp, formula de mai sus ne dă valoarea limită K(x) = 1,5. 1.11. Forţe tăietoare şi momente încovoietoare verticale şi orizontale, momente de torsiune, la aşezarea statică a navei pe val, pe un drum înclinat faţă de direcţia de propagare a valurilor

1.11.1.Forţe tăietoare şi momente încovoietoare verticale la aşezarea statică a navei pe val, pe un drum înclinat faţă de direcţia de propagare a valurilor

Considerăm o navă de lungime L, simetrică în raport cu planul cuplului maestru şi cu bordaje verticale, în echilibru pe un val cosinusoidal de lungime L, planul diametral al navei este înclinat cu un unghi µ faţă de val (fig. 1.11.1).

Păstrăm notaţiile şi sistemele de axe de coordonate din paragraful 1.10. Alte notaţii: µ, unghiul dintre planul diametral al navei şi direcţia de propagare a valurilor;

µλ=λ cos1 , lungimea aparentă a valului.

24

Fig.1.11.1 Poziţia navei faţă de val Ţinând cont că în acest caz,

( ) µ⋅−µ⋅−=ξ sinycosax , (1.11.1)

ordonatele valului, λξπ

⋅=ς2cosrv , devin:

( ) ( )λ

µπ⋅

λ−π

⋅+λ

µπ⋅

λ−π

⋅=ςsiny2sinax2sinrsiny2cosax2cosr

11v . (1.11.2)

Ordonatele valului raportate la sistemul de axe de coordonate Oxyz vor fi date de: yxz 0vv ⋅θ−⋅ψ−ς−ς= , (1.11.3)

unde θ reprezintă unghiul de înclinare transversal al navei, considerat pozitiv la înclinarea în tribord. Presiunea suplimentară dată de val, raportată la unitatea de suprafaţă a ariei plutirii se determină cu relaţia: ( ) ( yxzy,xp 0vv )⋅θ−⋅ψ−ς−ς⋅γ=⋅γ= . (1.11.4)

Sarcina suplimentară verticală raportată la unitatea de lungime a navei devine:

( ) ( )( )

( )

dyy,xpxq2/xb

2/xbv ∫

−

= . (1.11.5)

Înlocuind (1.11.2) şi (1.11.4) în (1.11.5) obţinem:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

−λ

µπλ−π

⋅⋅γ+λ

µπλ−π

⋅⋅γ= ∫∫−−

dysiny2sinax2sinrdysinx2cosax2cosrxq2/xb

2/xb1

2/xb

2/xb1v

( )( )

( )

( )

( )

dyydyx2/xb

2/xb

2/xb

2/xb0 ∫∫

−−

θ⋅γ−⋅ψ+ς⋅γ− . (1.11.6)

Ţinând cont că nava este simetrică şi efectuând integrarea, relaţia (1.11.6) devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ψ+ς−

λ−π

⋅⋅ε⋅⋅γ= xax2cosrxxbxq 01

v ) (1.11.7)

unde:

25

( ) ( )( )x

xsinxββ

=ε (1.11.8)

şi

( ) ( )λ

µ⋅⋅π=β

sinxbx . (1.11.9)

Parametrii ζ0 şi ψ, de echilibrare statică a navei pe val, se determină ca în paragraful precedent 1.10, cu menţiunea că ε(x) intră sub semnul integrală.

Forţele tăietoare şi momentele încovoietoare verticale la µ ≠ 0 se vor putea aprecia cu relaţiile:

( ) ( )∫−

=x

2/Lvv dxxqxT , (1.11.10)

( ) ( )∫−

=x

2/Lvv dxxTxM . (1.11.11)

Comparând expresia (1.11.7) cu expresia (1.10.2) din paragraful precedent, deducem că situaţia navei în echilibru cu planul diametral oblic faţă de un val de lungime λ corespunde cu situaţia aceleaşi nave în echilibru cu planul diametral perpendicular pe un val de lungime λ1, val a cărui ecuaţie trebuie scrisă sub forma:

( ) ( )1

vax2cosrx

λ−π

⋅⋅ε=ς . (1.11.12)

Relaţia (1.11.12) de mai sus se deosebeşte de relaţia (1.10.1) din paragraful precedent numai prin faptul că λ este înlocuit prin λ1 iar “r” prin “ε(x)⋅r”. În consecinţă, cu aceste înlocuiri, formulele deduse în paragraful precedent pentru nava în echilibru cu planul diametral perpendicular pe val rămân valabile şi pentru nava în echilibru cu planul diametral oblic faţă de val. Întrucât influenţa lăţimii navei asupra mărimii momentului de încovoiere nu este prea mare, pentru aprecierea acestei influenţe, în toate cazurile se poate folosi: ( ) ( ) .ct0x =ε=ε (1.11.13)

Întrucât aşezarea oblică a navei pe val se reduce la o aşezare cu planul diametral perpendicular pe val cu lungimea λ1, influenţa celor mai nefavorabile poziţii ale navei pe valul λ1 = L, asupra momentelor de încovoiere, poate fi apreciată servindu-se de relaţia (1.10.32) sau (1.10.33) din paragraful precedent.

1.11.2 Forţe tăietoare şi momente încovoietoare orizontale la aşezarea statică a navei pe val, pe un drum înclinat faţă de direcţia de propagare a valurilor

Considerăm o secţiune transversală de abscisă “x” prin navă şi val, în cazul µ ≠ 0 (fig.

1.11.2). Ordonata valului în tribord, raportată la linia de plină încărcare (CWL), este caracterizată de relaţia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxsinx2sinrxcosx2cosrzxz 011

2/xbyv1v ⋅ψ+ς−β⋅λπ

⋅+β⋅λπ

⋅===

. (1.11.14)

În expresia (1.11.14) am considerat a = 0, nava simetrică în raport cu planul Oyz şi θ = 0. Ordonata valului în babord raportată la CWL este obţinută cu relaţia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxsinx2sinrxcosx2cosrzxz 011

2/xbyv2v ⋅ψ+ς−β⋅λπ

⋅−β⋅λπ

⋅==−=

. (1.11.15)

Diferenţa dintre cele două ordonate:

( ) ( ) ( ) ( )xsinx2sinr2xzxzxz1

1v2v β⋅λπ

⋅−=−= . (1.11.16)

26

Fig. 1.11.2 Sarcina orizontală

Sarcina orizontală necorectată, raportată la unitatea de lungime de navă, va fi:

( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++⋅⋅γ=+−+⋅γ= xz

21xzdxzxzdxzd

21xq 1v

21v

22v0H . (1.11.17)

Înlocuind (1.11.14) şi (1.11.15) în (1.11.17), obţinem:

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ψ+ς−β⋅

λπ

⋅+⋅β⋅λπ

⋅⋅γ−= xxcosx2cosrdxsinx2sinr2xq 011

0H . (1.11.18)

Sarcina determinată cu relaţia (1.11.18) va căuta să rotească nava în jurul unui ax vertical, ceea ce nu se întâmplă, întrucât intervine rezistenţa la înaintare a apei. Aceasta din urmă nu este cunoscută, dar pentru nevoile practice, vom accepta pentru rezistenţa la înaintare ce se opune rotirii navei o variaţie liniară. În acest caz, sarcina orizontală corectată va avea forma:

( ) ( )Lx2qqxqxq 210HH ⋅++= . (1.11.19)

Factorii q1 şi q2 se determină din condiţiile de echilibru pe orizontală:

( )∫−

=2/L

2/LH 0dxxq , (1.11.20)

( )∫−

=⋅2/L

2/LH 0dxxxq . (1.11.21)

Înlocuind (1.11.19) în (1.11.20) şi (1.11.21), obţinem:

( )∫−

=−=2/L

2/L0H1 0dxxq

L1q , (1.11.22)

( )∫−

=⋅−=2/L

2/L0H22 0dxxxq

L6q . (1.11.23)

Forţele tăietoare şi momentele încovoietoare orizontale se vor determina cu relaţiile:

( ) ( )∫−

==x

2/LHH 0dxxqxT , (1.11.24)

( ) ( )∫−

==x

2/LHH 0dxxTxM . (1.11.25)

27

1.11.3 Momente de torsiune la aşezarea statică a navei pe val, pe un drum înclinat faţă de direcţia de propagare a valurilor

1.11.3.1 Momente de torsiune date de sarcina orizontală qH(x)

Sarcina torsională se calculează cu relaţia: ( ) ( )xqexm HTH ⋅= , (1.11.26)

unde ”e”, este distanţa de la centrul de răsucire “R” a secţiunii transversale rezistente la torsiune şi punctul de aplicaţie al sarcinii orizontale qH(x). Când datele exacte lipsesc, pentru nevoile practice, putem admite: e ≈ 0,5⋅ B, (1.11.27) considerând punctul de aplicare a sarcinii orizontale qH(x) la 0.6⋅d faţă de învelişul fundului.

Momentul de torsiune se calculează cu:

( ) ( ) ( ) ( )xTedxxqedxxmxM H

x

2/LH

x

2/LTHTH ⋅=== ∫∫

−−

. (1.11.28)

1.11.3.2 Momente de torsiune date de presiunea pe direcţie verticală

Sarcina torsională se calculează cu relaţia:

( ) ( ) dyyy,xpxm2/L

2/LTV ∫

−

⋅= . (1.11.29)

Înlocuim (1.11.4) în (1.11.29):

( ) ( )( )

( )

+λ

µπ⋅

λ−π

⋅⋅γ= ∫−

dysiny2cosyax2cosrxm2/xb

2/xb1TV

( )( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

dyydyyxdysiny2sinyax2sinr2/xb

2/xb

22/xb

2/xb0

2/xb

2/xb1∫∫∫

−−−

θ⋅λ−⋅ψ+ςγ−λ

µπ⋅

λ−π

⋅⋅γ+ . (1.11.30)

După rezolvarea integralelor obţinem:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

12xbax2sinxcosxxsin

xxbr

21xm

3

12

2

TV ⋅θ⋅γ−λ−π

⋅β⋅β−β⋅β⋅⋅γ= . (1.11.31)

Dacă a ≠ 0, atunci θ se determină din condiţia de echilibru:

( ) 0dxxm2/L

2/LTV =∫

−

. (1.11.32)

Înlocuim (1.11.31) în (1.11.32) şi obţinem: ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

∫− λ

−π⋅β⋅β−β⋅

β⋅=θ

2/L

2/L 12

2

x

dxax2sinxcosxxsinxxb

I2r , (1.11.33)

unde Ix reprezintă momentul de inerţie al suprafeţei plutirii în raport cu axa “x”.

( )∫

−

=2/L

2/L

3

x dx12

xbI .

Dacă a = 0 şi nava este simetrică în raport cu planul Oyz (se poate demonstra că acesta este cazul când momentul de torsiune la cuplul maestru este maxim), atunci θ = 0. În acest caz momentul de torsiune dat de presiunea verticală va fi egal cu:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

∫∫−− λ

−π⋅β⋅β−β⋅

β⋅⋅γ==

x

2/L 12

2x

2/LTVTV dxax2sinxcosxxsin

xxbr

21dxxmxM .

(1.11.34)

28

1.11.3.3 Momentul de torsiune rezultant Momentul de torsiune rezultant se calculează cu relaţia:

( ) ( ) ( )xMxMxM 2TV

2THT += . (1.11.35)

Majoritatea autorilor recomandă pentru calculul momentului de torsiune să se ia λ1 = L şi µ = 45°.

În realitate, la deplasările oblice ale navei faţă de val, fenomenul torsiunii corpului are un caracter dinamic.

1.12 Liniile de influenţă ale forţelor tăietoare şi momentelor încovoietoare în apă calmă În construcţia de nave există în momentul de faţă o preocupare constantă a proiectanţilor şi

constructorilor de a realiza nave cât mai uşoare. Acest lucru se obţine prin micşorarea grosimilor tablelor şi profilelor cât mai mult posibil. În aceste condiţii distribuţia încărcăturii la bordul navei capătă o importanţă deosebită. În timpul exploatării navei, datorită unei succesiuni necorespunzătoare a operaţiilor de încărcare/descărcare se poate ajunge la forţe tăietoare şi momente încovoietoare în apă calmă care să compromită robusteţea generală a navei. Liniile de influenţă ale forţelor tăietoare şi momentelor încovoietoare în apă calmă ( MT , )ηη conţin informaţiile pentru comandant.

Se consideră linia de plutire 0-0 corespunzătoare situaţiei de încărcare de la care plecăm şi masa ambarcată, pe care o considerăm uniform distribuită pe lungimea de sprijin (xGδ pv - xpp).

Datorită ambarcării lui δG creşte pescajul şi nava se înclină longitudinal. Considerăm într-o primă fază că forţa δG acţionează în punctul F, centrul de greutate al suprafeţei plutirii iar nava pluteşte pe linia de apă 1’-1’. Ecuaţia momentelor statice faţă de planul cuplului maestru ale volumelor se scrie sub forma: ( ) F0B0B0 xvxVxvV ⋅+⋅=⋅+ (1.12.1) unde:

V0 - volumul iniţial al carenei; v - creşterea volumului carenei datorită greutăţii δG; xB - abscisa centrului de carenă după ambarcarea lui δG; xB0 - abscisa iniţială a centrului de carenă; xF - abscisa centrului de greutate a plutirii.

Fig.1.12.1 Poziţia de echilibru a navei cu greutatea suplimentară δG

29

Variaţia abscisei centrului de carenă se notează δxB şi se calculează cu relaţia:

( ) ( ) ( ) ( 0BF0BF0

0BF0

0BBB xxG

GxxvV

vxxvV

vxxx −⋅δ+∆

)δ=−⋅

+⋅ρ⋅ρ

=−⋅+

=−=δ .(1.12.2)

Ecuaţia momentelor statice a maselor faţă de cuplul maestru se scrie sub forma: ( ) GxxG 0GG δ⋅ξ+⋅∆=⋅δ+∆ (1.12.3) unde: ∆, deplasamentul navei;

ξ, abscisa punctului de aplicaţie a lui δ; xG0, abscisa iniţială a centrului de greutate a navei; xG, abscisa centrului de greutate după ambarcarea lui . Variaţia abscisei centrului de greutate este

( )0BF0GGG xxG

Gxxx −⋅δ+∆

δ=−=δ . (1.12.4)

Am considerat iniţial nava pe carenă dreaptă ceea ce implică xG0 = xB0 şi ρV = ∆ . (1.12.5)

Impunem condiţia ca şi după ambarcare lui δG nava să rămână pe carenă dreaptă: ⇒δ=δ⇒δ+=δ+⇒= BGB0BG0GBG xxxxxxxx

( ) ( ) F0BF0G xxxG

GxG

G=ξ⇒−⋅

δ+∆δ

=−ξ⋅δ+∆

δ⇒ , (1.12.6)

ceea ce justifică faptul că dacă δG este aplicată iniţial în F (pe aceiaşi verticală) atunci nava execută doar o imersare suplimentară pe verticală, δd1.

Punctul de aplicaţie a lui δG este Fx≠ξ . Prin deplasarea longitudinală a lui δG din xF în ξ se produce o înclinare longitudinală a navei (în jurul lui F) de unghi ψ. Nava pluteşte pe linia de apă 1-1.

În concluzie se poate spune că prin ambarcarea masei δG are loc o deplasare verticală a corpului navei δd1 = ct. şi o înclinare longitudinală ψ. Variaţia deplasării δd2 este liniară în raport cu x, între pupa şi prova se obţine o diferenţă de pescaj “t”

ψ⋅=δ tgxd 2 . (1.12.7) Pentru efectuarea analizei se determină liniile de influenţă pe trei zone:

I. 0 ≤ x ≤ xppp zona dinaintea masei δG, II. xpp ≤ x ≤ xpv zona pe lungimea de distribuţie a lui δG, III. xpv ≤ x ≤ L zona după masa δG.

Pentru determinarea variaţiei eforturilor se utilizează metoda suprapunerii efectelor. 1) δT1, δM1, variaţia forţei tăietoare respectiv a momentului încovoietor datorită modificării curbei de greutăţi (δG); 2) δT2, δM2, variaţia forţei tăietoare respectiv a momentului încovoietor datorită creşterii pescajului cu mărimea δd1 (are loc o modificare a împingerii când nava trece de pe plutirea 0-0 pe 1’-1’); 3) δT3, δM3, variaţia forţei tăietoare respectiv a momentului încovoietor datorită înclinării longitudinale ψ (are loc o modificare a împingerii când nava trece de pe plutirea 1’-1’ pe 1-1).

Valorile finale vor fi şi ∑δ=δ3

1iTT ∑δ=δ

3

1iMM .

Se definesc coeficienţii adimensionali ai liniilor de influenţă: ( ) ( )xGxT Tη⋅δ=δ

( ) ( )x4LGxM Mη⋅⋅δ=δ (1.12.8)

Se consideră convenţia de semne din rezistenţa generală a corpului navei, dT/dx = p şi dM/dx = T.

Se consideră grupa 1 (Fig.1.12.2)(datorită modificării curbei de greutăţi δG)

30

Fig.1.12.2 Grupa 1

Pe fiecare din cele trei zone variaţia forţei tăietoare şi a coeficientului de influenţă este dată

de relaţia (1.12.9). I. 00T

1T1 =η⇒=δ

II. ( ) ( ) ( )pppv

ppTpp

pppv1 xx

xxxxx

xxGxT

1 −

−=η⇒−⋅

−δ

=δ (1.12.9)

( ) ( ) 0xxxx

GxT pvpppppv

pp1 =−⋅−δ

=δ şi ( ) ( ) Gxxxx

GxT pppvpppv

pv1 δ=−⋅−δ

=δ

III. 1.ctGT1T1 =η⇒=δ=δ

Pe fiecare din cele trei zone variaţia momentului încovoietor şi a coeficientului de influenţă

este dată de relaţia (1.12.10). I. 00M

1M1 =η⇒=δ

II. ( ) ( ) ( ) ( )( ) L

4xx2

xxx

2xx

xxGxM

pppv

2pp

M

2pp

pppv1 1

⋅−

−=η⇒

−⋅

−δ

=δ

( ) 0xM pp1 =δ şi ( ) ( )2

xxG

2xx

xxGxM pppv

2pppv

pppvpv1

−⋅δ=

−⋅

−δ

=δ

( ) ( ξ−⋅δ=δ⇒+

=−

+=ξ pvpv1pppvpppv

pp xGxM2

xx2

xxx ) (1.12.10)

III. ( ) ( ) ( ) 1L4xxGxM

1M1 =⋅η⇒ξ−⋅δ=δ

Se consideră grupa 2 (Fig.1.12.3) (datorită imersării cu δd1 )

Fig.1.12.3 Grupa 2

În prima etapă trebuie să determinăm variaţia pescajului δd1 în ipoteza bordurilor verticale:

31

WL11WL Agk

GddAgk

Gv⋅⋅ρ⋅

δ=δ⇒δ⋅=

⋅ρ⋅δ

= . (1.12.11)

Sarcina corespunzătoare creşterii pescajului este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ε⋅δ

−=ε⇒⋅⋅ρ⋅

δ⋅ε⋅⋅ρ⋅−=δ⋅ε⋅⋅ρ⋅−=ε b

AGp

AgkGbgkdbgkp

WLWL1 . (1.12.12)

Forţa tăietoare se calculează cu relaţia (1.4.1)

( ) ( ) εε=⇒= ∫ dpxTpdxdT x

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) εε⋅−=η⇒εε⋅δ

−=εε=δ ∫∫∫ dbA

1xdbA

GdpxTx

0WLT

x

0WL

x

02 2

. (1.12.13)

Momentul încovoietor se calculează cu relaţia (1.4.4)

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ⇒εε⋅ε−⋅=⋅−⋅=⋅−⋅==⇒=x

0

x

0

x

0

x

0

x

0

dpxTxdxxpxxTxdxdxdTxTxdxTMT

dxdM

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫ εε⋅ε−=εε⋅ε−εε⋅=x

0

x

0

x

0

dpxdpdpxxM

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ εε⋅ε−⋅⋅

−=η⇒εε⋅ε−⋅δ

−=εε⋅ε−=δx

0WLM

x

0WL

x

02 dbx

AL4xdbx

AGdpxxM

2

(1.12.14)

Se consideră grupa 3 (Fig.1.12.4) (datorită înclinării longitudinale ψ ) • momentul de înclinare: ( )Fi xGM −ξ⋅δ= • momentul de redresare: ( ) ( ) ψ⋅⋅δ+∆⋅≈ψ⋅⋅δ+∆⋅= RGgsinHGgMi unde:

R - raza metacentrică longitudinală, If - momentul de inerţie al plutirii, H - înălţimea metacentrică longitudinală, g - acceleraţia gravitaţională, V - volumul carenei.

Fig.1.12.4 Grupa 3

( ) ψ⋅⋅⋅ρ⋅=ψ⋅δ+∆

⋅ρ⋅⋅δ+∆⋅=⇒δ+∆

⋅ρ⋅== ff

rff Igk

GIkGgM

GIk

VIR

( ) ( )ψ≈

⋅⋅ρ⋅−ξ⋅δ

=ψ⇒ψ⋅⋅⋅ρ⋅=−ξ⋅δ⇒= tgIgkxGIgkxGMM

f

FfFri

32

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ψ⋅=

⋅⋅ρ⋅−⋅−ξ⋅δ

=δ⇒ψ⋅−≈δ tgLt;Igk

xxxGxdxxxdf

FF2F2 ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⇒

⋅⋅ρ⋅−ε⋅−ξ⋅δ

⋅ε⋅⋅ρ⋅−=εδ⋅ε⋅⋅ρ⋅−=εf

FF2 Igk

xxGbgkdbgkp

( ) ( ) ( ) ( )Ff

F xbI

xGp −ε⋅ε⋅−ξ⋅δ

−=ε

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ε−ε⋅ε⋅−ξ⋅δ

−=εε=δx

0F

f

Fx

o3 dxb

IxG

dpxT (1.12.15)

( ) ( ) ( ) ( )∫ ε−ε⋅ε⋅−ξ

−=η⇒x

0F

f

FT dxb

Ixx

3 (1.12.16)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ εε−⋅−ε⋅ε⋅−ξ⋅δ

−=εε−⋅ε=δx

0F

f

Fx

o3 dxxb

IxG

dxpxM (1.12.17)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ εε−⋅−ε⋅ε⋅⋅−ξ

−=η⇒x

0F

f

FM dxxb

ILx4

x3

(1.12.18)

Avem acum pe fiecare zonă (I, II, III), coeficienţii liniilor de influenţă, folosind relaţiile (1.12.9), ( 1.12.10), (1.12.13), (1.12.14), (1.12.16) şi (1.12.18).

III,II,I321 TTTT η+η+η=η 1.12.19)

III,II,I321 MMMM η+η+η=η 1.12.20)

Mărimile xF, If, AWL se obţin din diagrama de carene drepte, iar lăţimea b(x) din planul de forme.

Toate integralele se rezolvă numeric prin metoda trapezelor şi apoi se trasează graficele ηT(x), ηM(x) pentru mai multe pescaje dm. Aceste curbe însoţesc diagrama de carene drepte.

33

CAP. 2 DISTRIBUŢIA TENSIUNILOR NORMALE ŞI TANGENŢIALE ÎN GRINDA NAVĂ

2.1. Clasificarea elementelor de structură ale corpului La încovoierea longitudinală totală, în secţiunile transversale ale corpului apar tensiunile

normale al căror moment faţă de axa neutră echilibrează momentul de încovoiere exterior. Elementele de structură în care apar aceste tensiuni sunt denumite elemente longitudinale de structură şi sunt constituite din: • învelişul fundului, al dublului fund, al bordajelor şi al punţilor; • suportul central (carlinga centrală), suporţi laterali (carlingile laterale), stringheri de bordaj şi curenţii de punte (în anumite condiţii); • longitudinalele fundului, ale dublului fund, ale bordajelor şi ale punţilor (în anumite condiţii); • învelişul şi stringherii pereţilor longitudinali.

În unele elemente longitudinale de structură (cum ar fi învelişul fundului, al dublului fund, al bordajelor şi al punţilor), apar tensiuni şi la încovoierea elementelor transversale de structură. Astfel de elemente îndeplinesc atât funcţiile elementelor longitudinale cât şi pe acelea ale elementelor transversale de structură, noi le vom considera însă ca făcând parte din grupa elementelor longitudinale. În secţiunile transversale ale unor elemente longitudinale de structură, o dată cu tensiunile normale provocate de încovoierea longitudinală totală, apar şi alte tensiuni normale datorită unor sarcini locale. Tensiunile normale totale la care sunt supuse elementele longitudinale de structură se vor obţine însumând toate tensiunile normale care acţionează în acelaşi timp asupra lor. În funcţie de numărul tensiunilor normale care acţionează asupra elementelor longitudinale de structură, acestea se împart în patru categorii: • din prima categorie fac parte acele elemente în care apar tensiuni normale datorită numai încovoierii longitudinale totale a corpului, cum ar fi spre exemplu învelişul şi elementele longitudinale de structură ale punţilor care nu suportă sarcini permanente; • din a doua categorie fac parte acele elemente longitudinale de structură în care apar şi se însumează două tensiuni normale, spre exemplu învelişul şi longitudinalele dublului fund în care apar tensiuni normale datorită încovoierii longitudinale totale şi datorită încovoierii longitudinale locale a suportului central (carlingii centrale) sau a suporţilor laterali (carlingilor laterale) din ale căror platbande fac parte; • în a treia categorie se încadrează acele elemente longitudinale de structură, în care apar şi se însumează trei tensiuni normale, spre exemplu longitudinalele de fund în care apar tensiunile normale datorită încovoierii longitudinale totale, datorită încovoierii locale a suportului central (carlingii centrale) sau a suporţilor laterali (carlingilor laterale) din ale căror platbande fac parte, precum şi datorită încovoierii longitudinalelor pe porţiunile dintre varange sub efectul presiunii apei exterioare; • în a patra categorie se încadrează acele elemente longitudinale de structură în care apar şi se însumează patru tensiuni normale, spre exemplu învelişul fundului în cazul când există longitudinale de fund; în acest caz în învelişul fundului apar tensiuni normale datorită încovoierii longitudinale totale, datorită încovoierii suportului central (carlingii centrale) sau a suporţilor laterali (carlingilor laterale) pentru care învelişul fundului constituie platbande, datorită încovoierii longitudinalelor pe porţiunile dintre varange şi în sfârşit, datorită încovoierii învelişului ca placă supusă presiunii apei exterioare.

În cazul când nu există longitudinale de fund, atunci învelişul fundului face parte din categoria a treia.

Pentru a verifica rezistenţa elementelor longitudinale de structură este necesar deci să se determine pentru fiecare element în parte nu numai tensiunile normale datorită încovoierii longitudinale totale, ci toate tensiunile normale care acţionează pe direcţia longitudinală provocate de sarcinile locale şi să se însumeze aceste tensiuni ţinând seama de valoarea lor maximă (la

34

mijlocul deschiderii sau lângă reazeme) şi de sensul lor. Tensiunile însumate trebuie calculate pentru poziţia navei pe creastă de val şi pe gol de val.

2.2. Determinarea tensiunilor datorate încovoierii longitudinale totale în prima aproximaţie. Grinda echivalentă Corpul navei reprezintă o grindă complexă cu pereţi subţiri, întrucât grosimile învelişurilor

sunt foarte mici în raport cu dimensiunile navei. În secţiunea transversală a corpului rezistentă la încovoierea longitudinală totală, trebuie să fie incluse toate acele elemente longitudinale de structură care se extind pe o porţiune destul de mare din lungimea navei. Astfel, după normele de rezistenţă în vigoare, în secţiunea rezistentă se includ toate elementele longitudinale de structură ale corpului a căror lungime este mai mare decât înălţimea de construcţie, precum şi elementele longitudinale ale suprastructurilor şi ale rufurilor, dacă lungimea lor este mai mare de 0,15L şi de şase ori înălţimea suprastructurii sau a rufului. Rufurile se introduc în calcul numai în cazul când se sprijină pe cel puţin trei pereţi transversali.

Osatura transversală a corpului nu participă în mod direct la rezistenţa longitudinală totală, ea asigură însă stabilitatea învelişurilor prin mărirea tensiunilor critice de flambaj, contribuind prin aceasta în mod indirect la rezistenţa longitudinală a navei.

Osatura longitudinală, pe lângă faptul că participă în mod direct la asigurarea rezistenţei longitudinale totale, contribuie şi indirect la mărirea tensiunilor critice de flambaj a învelişurilor.

Dacă concentrăm lângă planul diametral suprafeţele secţiunilor transversale ale tuturor elementelor longitudinale care participă la asigurarea rezistenţei longitudinale totale a corpului păstrând mărimea şi poziţia pe înălţime a suprafeţelor, obţinem o grindă plină, denumită grinda echivalentă (fig. 2.2.1).

Determinarea tensiunilor ce se produc în secţiunile rezistente ale unei grinzi pline supusă la încovoiere, se face aplicând formula lui Navier:

ii1 zI

M⋅=σ (2.2.1)

unde: M, momentul de încovoiere care acţionează în secţiunea transversală considerată; I, momentul de inerţie în raport cu axa neutră a secţiunii transversale considerate; σ1i, tensiunea normală în fibrele situate la distanţa zi de axa neutră. În cazul grinzilor cu pereţi subţiri, cum este corpul navei, determinarea tensiunilor

provocate de încovoierea longitudinală totală este mai complicată deoarece sub acţiunea tensiunilor de compresiune provocate de încovoierea longitudinală totală, tablele ce formează învelişurile îşi pot pierde stabilitatea iar elementele longitudinale de structură asupra cărora acţionează şi sarcini normale, precum şi acele elemente care au o curbură iniţială, nu participă la încovoierea longitudinală totală în aceeaşi măsură ca celelalte elemente de structură.

Din motivele arătate mai sus, determinarea tensiunilor provocate de încovoierea totală a corpului se face prin metoda aproximărilor succesive. În prima aproximaţie se consideră că toate elementele de structură incluse în grinda echivalentă preiau în aceeaşi măsură atât tensiunile de întindere cât şi acelea de compresiune. În acest caz, tensiunile în fiecare element de structură inclus în grinda echivalentă se vor determina aplicând relaţia (2.2.1). După cum se ştie, în valoare absolută tensiunile normale maxime apar în elementele longitudinale de structură cele mai îndepărtate de axa neutră. In ceea ce priveşte semnele, tensiunile normale de întindere se consideră pozitive în timp ce cele de compresiune se consideră negative.

35

Fig.2.2.1 Grinda echivalentă

36

Folosind notaţiile din (fig. 2.2.1), modulul de rezistenţă pentru muchia superioară a grinzii

echivalente, adică pentru puntea superioară, va fi dat de relaţia:

pp z

IW = , (2.2.2)

iar pentru muchia inferioară a grinzii echivalente, adică pentru fund

ff z

IW = . (2.2.3)

Valoarea absolută a tensiunilor normale maxime în secţiunea transversală considerată se vor calcula cu relaţiile:

pp1 W

M=σ şi

ff1 W

M=σ . (2.2.4)

Calculul rezistenţei longitudinale totale a corpului se face pentru cel puţin trei secţiuni transversale şi anume pentru acelea în care este posibilă apariţia celor mai mari tensiuni normale, aceste secţiuni se aleg de obicei astfel: una către mijlocul lungimii navei în dreptul celor mai mari deschideri în punţi, alta la capătul unei suprastructuri şi a treia în regiunea de trecere de la structura cu osatură de tip longitudinal la structura cu osatură de tip transversal.

Calculul momentelor de inerţie ale secţiunilor se face în modul indicat în (Tab. 2.2.1), în care:

bi [cm], lăţimea elementului longitudinal de structură; hi [cm], înălţimea elementului; fi [cm2], aria secţiunii transversale a elementului; n [buc], numărul elementelor identice aflate la aceeaşi cotă;

ii fnF ⋅= [cm2], aria totală a elementelor identice aflate la aceeaşi cotă; di [m], distanţa de la centrul de greutate al secţiunii elementului până la axa de referinţă

OO, care se alege de obicei la 0,5D deasupra liniei de bază (pozitivă deasupra liniei de referinţă OO);

Ii [cm2m2], momentul de inerţie propriu al elementului faţă de axa ce trece prin centrul de greutate al secţiunii sale şi este paralelă cu axa de referinţă.

Momentele de inerţie proprii Ii pentru tablele dispuse orizontal se neglijează deoarece sunt foarte mici în comparaţie cu cele ale tablelor dispuse vertical sau cu produsul . 2

ii dF ⋅Distanţa dintre axa de referinţă OO şi axa neutră rezultă din raportul:

AB

FdFi

ei

i =⋅

=∑∑ . (2.2.5)

Momentul de inerţie total al unei jumătăţi de secţiune (calculele se fac pentru o jumătate de secţiune şi apoi se dublează) întrucât secţiunea transversală rezistentă este simetrică faţă de planul diametral este dat de relaţia:

∑ ∑ ∑⋅−+⋅= i2

i2ii FeIdFI

21 . (2.2.6)

Momentul de inerţie total al întregii secţiuni este: ( )AeDC2I 2 ⋅−+= . (2.2.7)

Completarea coloanelor 11, 12, 13 din (Tab.2.2.1) se face în felul următor : • în coloana 11 se trec tensiunile normale pentru cazul aşezării statice a navei pe creastă de val; • în coloana 12 se trec tensiunile normale pentru cazul aşezării statice a navei pe gol de val; • în coloana 13 se trec tensiunile normale critice, în vederea calculului în a doua aproximaţie.

37

Tab. 2.2.1 Denumirea elementelor longitudinale

ib ih

if

n

iF

di

ii dF

2ii dF

iI

)cv(i1σ

)gv(i1σ

σki

de structură cm cm cm2 buc. cm2 m cm2m cm2cm2 cm2m2 N/mm2 N/mm2 N/mm2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1. 2. 3. …

∑ × × × × A × B C D × × ×

La verificarea rezistenţei secţiunilor de la extremităţile navei, momentul de încovoiere trebuie să fie determinat prin înmulţirea momentului obţinut la aşezarea statică pe val cu coeficientul K(x) determinat cu relaţia (1.10.33).

Dacă nava dispune de o suprastructură lungă, construită din aliaje uşoare, pentru determinarea momentului de inerţie al secţiunii transversale rezistente este necesară reducerea tuturor elementelor grinzii echivalente la un singur modul de elasticitate şi anume la acela al materialului care predomină (în cazul de faţă, oţelul); acesta revine la introducerea în calcul a secţiunilor transversale ale elementelor de structură din aliajele uşoare cu coeficientul de reducţie:

Ol

a

EE

=φ , (2.2.8)

în care Ea este modulul de elasticitate normal al aliajului uşor, iar EOl al oţelului. După efectuarea calculelor, determinăm tensiunile normale în elementele suprastructurii reduse la modulul de elasticitate al oţelului (σOl). Tensiunile în suprastructura din aliajele uşoare vor fi:

Ol

aOla E

E⋅σ=σ . (2.2.9)

2.3. Determinarea tensiunilor tangenţiale Tensiunile tangenţiale provocate de forţele tăietoare ce apar la încovoierea longitudinală

totală a corpului se determină cu formula lui Juravski:

i

ii1 tI

ST⋅⋅

=τ (2.3.1)

unde: τ1i, tensiunea tangenţială pentru fibrele situate la distanţa “zi” de axa neutră a secţiunii transversale considerate a corpului navei;

T, forţa tăietoare în secţiunea transversală considerată; Si, momentul static în raport cu axa neutră al părţii din secţiunea rezistentă situată în afara

liniei dusă paralel cu axa neutră şi la distanţa “zi” de ea; I, momentul de inerţie al secţiunii transversale a corpului navei; ti, suma lăţimilor tuturor elementelor rezistente de structură situate în dreptul liniei dusă

paralel cu axa neutră a secţiunii şi la distanţa “zi” de aceasta. Tensiunea tangenţială maximă apare în corespondenţa axei neutre şi se determină cu

relaţia:

nn

maxmax1 tI

ST⋅⋅

=τ (2.3.2)

unde: Smax, momentul static maxim, adică momentul static în raport cu axa neutră al părţii din secţiunea rezistentă situată de o singură parte a acesteia; bnn, lăţimea grinzii echivalente în corespondenţa axei neutre.

38

Determinarea tensiunilor tangenţiale se face în secţiunile situate aproximativ la 0,25L de la extremităţile navei, acolo unde forţele tăietoare sunt maxime. Tensiunile tangenţiale nu lucrează numai în planul secţiunii transversale, ci şi pe direcţia perpendiculară faţă de acesta, adică în secţiunile orizontale ale corpului navei. De aici rezultă că forţa longitudinală (forţa de alunecare) raportată la unitatea de lungime la care trebuie efectuată verificarea cordoanelor de sudură este:

max1max tq τ⋅= (2.3.3) unde: τ1max, tensiunea tangenţială maximă în dreptul axei neutre a secţiunii în care forţa

tăietoare este maximă; t, grosimea tablei învelişului acolo unde apare “τ1max ”; qmax , mai poartă denumirea de flux tangenţial maxim, el se utilizează la verificarea rezistenţei cordoanelor verticale şi orizontale de sudură. 2.4 Influenţa pereţilor longitudinali şi a bordajului dublu asupra tensiunilor tangenţiale Corpul navei se tratează drept o grindă cu pereţi subţiri.

2.4.1 Corpul navei ca o bară cu pereţi subţiri având profil închis o singură dată Se consideră că forţa tăietoare rezultantă “T” acţionează după planul diametral al navei

(adică după axa de simetrie a profilului), astfel încât să nu avem răsucire. Pentru a determina fluxul tangenţial q = τ ⋅ t (τ = tensiunea tangenţială, t = grosimea tablei) vom tăia profilul astfel încât să obţinem un profil deschis (fig. 2.4.1). În profilul deschis va apare un flux tangenţial “q0” care se determină cu formula lui Juravski:

yy

0 STIST

q ⋅=⋅

= (2.4.1)

unde: I, momentul de inerţie al secţiunii transversale a corpului navei;

∫ ∫ ⋅== dstzdAzSy , variaţia momentului static în raport cu axa y, s, coordonata curbilinie cu originea în tăietură;

ITT = . (2.4.2)

Fig. 2.4.1 Profil închis o singură dată

La s = 0 (în tăietură) obţinem q = 0, ceea ce aparţine realităţii. În momentul efectuării

tăieturii, cele două muchii ale acesteia se vor deplasa relativ după direcţia “x” cu mărimea “δ”. Deplasarea “δ” nu există în realitate şi atunci trebuie să introducem pe cele două muchii ale tăieturii fluxul tangenţial “q” astfel încât fluxul real să devină:

qqq 0 += . (2.4.3)

39

Fluxul tangenţial “ q ”, care este constant pe contur, se va determina din condiţia:

∫ =γ=δ 0dsc , (2.4.4)

tGq

G ⋅=

τ=γ , (2.4.5)

unde: γ, alunecarea specifică; G, modulul de elasticitate transversal. Înlocuim (2.4.3) în (2.4.5) şi obţinem:

∫∫ =⋅

⋅+⋅

0tG

dsqdstG

qc

0c . (2.4.6)

Pentru G = constant, vom avea:

∫

∫=

tds

dst

q

qc

0c

(2.4.7)

2.4.2 Corpul navei ca o bară cu pereţi subţiri având profil închis de mai multe ori

În fiecare celulă efectuăm câte o tăietură, astfel încât profilul închis de mai multe ori să devină deschis, apoi calculăm fluxul tangenţial “q0” cu formula (2.4.1). În continuare, vom pune condiţia deplasării nule a muchiilor tăieturilor din fiecare celulă. Pentru celula ”j“ condiţia de mai sus, ţinând cont de influenţa fluxurilor tangenţiale din celulele vecine, apare sub forma:

∫∫ ∑∫ =⋅

⋅−⋅

⋅+⋅ =

0tG

dsqtG

dsqdstG

qk,cj

k

1kkcjj

0cj (2.4.8)

sau (pentru G = constant):

∫ ∫∫ ∑ −=⋅−⋅=

dst

qt

dsqt

dsq 0cjk,cj

k

1kkcjj (2.4.9)

unde prin “k” am înţeles toate celulele vecine (adiacente) cu celula “j”, kj q,q sunt constante pe conturul celulei respective, dar diferite de la o celulă la alta.

Fig.2.4.2 Profil închis de mai multe ori tip petrolier

Scriind condiţia (2.4.9) pentru fiecare din cele “n” celule, obţinem un sistem liniar de “n”

necunoscute, în care necunoscutele sunt fluxurile tangenţiale “qj”. După rezolvarea sistemului de ecuaţii, mai sus menţionat, determinăm rezultanta:

kj0 qqqq −+= . (2.4.10)

40

Fig.3.4.3 Profil închis de mai multe ori tip port-container

2.5. Determinarea tensiunilor normale provenite din încovoierea longitudinală totală în a doua aproximaţie

2.5.1 Metoda coeficienţilor de reducere În a doua aproximaţie, spre deosebire de cele acceptate în paragraful 2.2 vom ţine cont că o

parte din elementele de structură incluse în grinda echivalentă nu sunt în măsură să primească tensiunile de compresiune determinate în prima aproximaţie, caz în care celelalte elemente de structură ale grinzii echivalente vor trebui să suporte tensiuni mai mari decât acelea determinate în prima aproximaţie. În acest scop, toate elementele de structură care compun grinda echivalentă se împart în două grupe, rigide şi elastice. Acest lucru se realizează foarte simplu folosind coloanele (11), (12) şi (13) din (Tab. 2.2.1). În grupa elementelor rigide vom introduce toate elementele longitudinale de structură ale căror tensiuni critice de flambaj (σki) sunt mai mari (sau egale) decât tensiunile normale de compresiune determinate în prima aproximaţie (σ1i). În grupa elementelor elastice vom introduce toate elementele longitudinale de structură a căror tensiuni critice de flambaj sunt mai mici decât tensiunile normale de compresiune determinate în prima aproximaţie.

Tensiunile de compresiune, care se stabilesc în elementele elastice de structură, după pierderea stabilităţii lor, nu pot fi mai mari decât tensiunile unitare critice de flambaj (σki) respective. În cazul când tensiunile de compresiune depăşesc tensiunile critice de flambaj, elementele elastice de structură se deformează fără schimbarea tensiunilor. Rezultă că după depăşirea tensiunilor critice de flambaj, elementele elastice de structură nu mai urmează legea lui Hooke, (σ = ε ⋅ E) pe când cele rigide se supun acestei legi.

În a doua aproximaţie, elementele rigide de structură se includ în grinda echivalentă cu întreaga lor secţiune (l⋅Fi), pe când cele elastice cu o arie fictivă redusă (φ i⋅Fi), situată la aceeaşi distanţă de axa neutră şi care primesc aceeaşi sarcină ca şi elementele elastice pe care le înlocuiesc. Mărimea φ i poartă denumirea de coeficient de reducere şi variază între 0 şi 1. El se determină după cum urmează: • pentru elementele care participă numai la încovoierea longitudinală totală a corpului navei (tablele punţilor care nu susţin mărfuri şi tablele bordajelor situate deasupra liniei de plutire de plină încărcare);

i1

kii σ

σ=φ (2.5.1)

unde: σki, este tensiunea critică de flambaj pentru elementul elastic “i” din grinda echivalentă (poate fi determinată conform metodologiei RNR privind “Verificarea stabilităţii la compresiune a elementelor de structură ale corpului navei”);

σ1i, este tensiunea normală în prima aproximaţie.

41

• pentru elementele supuse numai la tensiuni axiale, dar cu curbură iniţială:

i1

kii σ

σ⋅β=φ (2.5.1a)

unde β este factor ce depinde de raza de curbură şi săgeata maximă. • pentru elementele care participă la încovoierea totală precum şi la încovoierea locală a osaturii longitudinale, ca fâşie adiţională (tablele învelişului de fund şi dublu fund):

i1

i2kii σ

σ±σ=φ (2.5.2)

unde σ2i este tensiunea datorită încovoierii planşeului sub efectul sarcini normale şi avem „+” când σ2i este de întindere şi „-“ când σ2i este de compresiune.

Dacă valoarea coeficientului de reducere, calculată cu relaţia (2.5.1), rezultă supraunitară ( iφ > 1), se va lua iφ = 1. • pentru elementele cu curbură iniţială, supuse la sarcini normale:

i1

eqii σ

σ=φ (2.5.3)

unde σeqi, tensiunea critică echivalentă a elementului “i” (poate fi determinată conform metodologiei RNR, mai sus menţionată).

Efectiv, calculul în a doua aproximaţie constă în corectarea coloanelor (6), (8) şi (9) din (Tab. 2.2.1) (cu consecinţele corespunzătoare) în următorul mod: • se continuă (Tab. 2.2.1) numai cu elementele elastice; • în coloana (6) se introduc elementele elastice cu ariile negative, ( ) ii F1 ⋅−φ sau dacă în prima aproximaţie s-a acceptat anticipat, pentru unele elemente aria înmulţită cu coeficientul de reducere

, atunci, ( ) ; 0φ i0i F⋅φ−φ• se operează calculele corespunzătoare din coloanele (8) şi (9); • se efectuează sumele elementelor noi introduse ∆A, ∆B şi ∆C, cu ajutorul cărora corectăm vechile sume calculate în prima aproximaţie, A1 = A + ∆A ; B1 = B + ∆B ; C1 = C + ∆C ; D1 = D + ∆D , (2.5.4) şi se determină noua poziţie a axei neutre:

1

11 A

Be = ; (2.5.5)

• se determină momentul de inerţie al grinzii echivalente în a doua aproximaţie; ( )1

21111 AeDC2I ⋅−+= ; (2.5.6)

• se determină noile tensiuni normale cu ajutorul formulei lui Navier. Dacă diferenţa dintre tensiunile determinate în prima aproximaţie şi cele determinate în

aproximaţia a doua nu depăşeşte 5%, atunci se consideră că rezultatele obţinute în a doua aproximaţie sunt aproape de realitate şi în consecinţă acceptabile. În caz contrar, calculele pot fi continuate până când diferenţa dintre tensiunile obţinute la ultima şi penultima aproximaţie nu vor depăşi 5%. Necesitatea executării calculelor în a treia aproximaţie ne dovedeşte că stabilitatea învelişurilor navei este insuficient asigurată. Din acest motiv, de obicei se modifică rigiditatea acestor învelişuri şi nu se recurge la a treia aproximaţie.

Calculul grinzii echivalente şi a tensiunilor în a doua aproximaţie se face separat pentru nava pe creastă de val şi pentru nava pe gol de val.

Studiile asupra deformaţiilor plăcilor după pierderea stabilităţii lor au arătat că valoarea lăţimii reduse a plăcilor, se determină în felul următor: • pentru plăcile comprimate paralel cu laturile scurte ale conturului de reazem (fig.2.5.1):

( ) a44,0a44,0bbr +φ⋅−= (2.5.7) sau

42

( ) b1ba5,0br ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ φ−⋅+φ≈ ; (2.5.8)

Fig.2.5.1 Placa comprimată paralel cu laturile scurte

• pentru plăcile comprimate paralel cu laturile lungi ale conturului de reazem (fig.2.5.2):

( b56,044,0br ⋅φ+= ) (2.5.9) sau

( ) b15,0br ⋅φ+≈ (2.5.10) În expresiile de mai sus, pentru simplificare, am înlocuit coeficienţii 0,44 şi 0,56 cu 0,5.

Fig.2.5.2 Placa comprimată paralel cu laturile lungi

2.5.2 Metoda lăţimilor efective la flambaj ale fâşiilor adiţionale din tablă

În acest caz, în grinda echivalentă din a doua aproximaţie, pentru tablele comprimate care şi-au pierdut stabilitatea (fapt care rezultă din ultimele coloane ale (Tab. 2.2.1) se vor introduce numai lăţimile efective la flambaj corespunzătoare (oferite de literatura de specialitate).

Calculele se fac tot prin aproximări succesive, separat pentru nava pe creastă de val şi pentru nava pe gol de val. Pentru realizarea celor de mai sus, trebuie să definim lăţimea efectivă la flambaj (fig. 2.5.3).

Plăcile întărite cu nervuri, solicitate la compresiune de o sarcină egală cu sarcina critică nu-şi pierd încă stabilitatea aşa cum se întâmplă cu grinzile comprimate. Porţiunile de plăci din vecinătatea nervurilor opun o rezistenţă la deformare mai mare decât porţiunile situate la mijlocul distanţei dintre nervuri. Din această cauză, tensiunile din placă sunt maxime în dreptul nervurilor şi minime la mijlocul distanţei dintre nervuri. În mod aproximativ putem admite că la atingerea sarcinii critice, tensiunile la care este supusă placa de lăţime “b” sunt preluate numai de două fâşii de lăţime “be/2” situate în vecinătatea nervurilor. Referindu-ne la (fig. 2.5.3) putem scrie:

ei

2/b

2/bmy bbdy ⋅σ=⋅σ=σ∫

−

(2.5.11)

de unde

∫−

σ⋅σ

=σ⋅σ

=2/b

2/by

ii

me dy1b

b (2.5.12)

43

în care: σy, variaţia tensiunii de compresiune pe lăţimea “b” (reală) a plăcii; σm, tensiunea medie pe lăţimea plăcii; σi, tensiunea normală (maximă) în dreptul inimii nervurii de rigidizare; be, lăţimea fâşiei efective la flambaj.

Fig. 2.5.3 Lăţimea efectivă la flambaj

În general, literatura de specialitate oferă mărimea lăţimii fâşiei efective de flambaj sub

forma: ( kie ,b/afb σ= ) (2.5.13)

unde “σki” trebuie să corespundă cazului de drept.

2.6 Stabilitatea planşeelor ortotrope Metoda energetică prezentată în acest paragraf permite determinarea tensiunii critice din

condiţia de minim a energiei potenţiale a sistemului. Vom considera în cele ce urmează doar cazul planşeului ortotrop simplu rezemat pe toate laturile. Metoda se aplică asemănător şi pentru alte condiţii de rezemare.

2.6.1 Stabilitatea în domeniul elastic

La stabilitatea planşeului (fig.3.6.1) participă următoarele elemente:

1. Placa, prin rigiditatea ei, ( )2

3

112tEDµ−

⋅= ;

2. Longitudinalele, prin Ax, aria secţiunii transversale fără fâşia de tablă adiţională, momentul de inerţie Ix cu fâşia adiţională şi constanta torsională ITx.

3. Traversele, prin Ay, aria secţiunii transversale fără fâşia de tablă adiţională, momentul de inerţie Iy cu fâşia de tablă adiţională şi constanta torsională ITy.

44

∑=

⋅=n

1i

3iiT tb

31I

Fig.2.6.1 Planşeu simplu rezemat pe toate laturile

Notăm: t, grosimea învelişului; µ, coeficientul lui Poisson; E, modulul de elasticitate;

y

xx a

IED ⋅= , rigiditatea uniformizată a longitudinalelor;

x

yy a

IED

⋅= , rigiditatea uniformizată a traverselor;

y

Tx'Tx a

IGI ⋅= , constanta torsională uniformizată a longitudinalelor;

x

y'Ty a

IGI

⋅= , constanta torsională uniformizată a traverselor.

Admitem săgeata plăcii de forma:

( )ll

ynsinxmsinwy,xwm

1i

n

1jmn

π⋅

π⋅= ∑∑

= =

. (2.6.1)

Preluăm rezultatul de la plăcile izotrope n = 1, ca cel mai defavorabil caz, şi avem:

( ) ∑=

π⋅⋅

π=

m

1im

xmsinwbysiny,xw

l. (2.6.2)

Vom căuta să determinăm necunoscuta wm din condiţia ca derivata energiei potenţiale a sistemului să fie nulă.

ei LL −=Π (2.6.3) unde: Π, energia potenţială a sistemului;

Li, energia internă de deformaţie a sistemului; Le, lucrul mecanic al forţelor exterioare ce acţionează asupra sistemului.

0w m

=∂Π∂ sau

m

e

m

i

wL

wL

∂∂

=∂∂ . (2.6.4)

Prin analogie cu flambajul barelor, ( ) dydxx

y,xwaAt

21L

2

0

b

0y

xxe ∫ ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∂∂

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅σ=

l

(2.6.5)

45

unde: my

x tAAt =+ , grosimea medie (uniformizată) a învelişului şi longitudinalelor.

iTyiTxitiipi LLLLLL ++++= l (2.6.6) unde:

( ) ( ) dydxy

y,xwx

y,xwD21L

2

0

b

02

2

2

2

ip ∫ ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+

∂∂

⋅=l

, energia internă de deformaţie aferentă

încovoierii învelişului, ( ) dydxx

y,xwD21L

2

0

b

02

2

xi ∫ ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂⋅=l

l , energia internă de deformaţie aferentă încovoierii

longitudinalelor, ( ) dydxy

y,xwD21L

2

0

b

02

2

yit ∫ ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂⋅=l

, energia internă de deformaţie aferentă încovoierii

traverselor, ( ) dydx

yxy,xwI

21L

2

0

b

0

2'TxiTx ∫ ∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂⋅=l

, energia internă de deformaţie aferentă torsiunii

longitudinalelor, ( ) dydx

yxy,xwI

21L

2

0

b

0

2'TyiTy ∫ ∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂⋅=l

, energia internă de deformaţie aferentă torsiunii

traverselor. Să examinăm lucrul mecanic exterior

( ) ∑ π⋅⋅⋅

π⋅

π=

∂∂

mm

xmcoswmbysin

xy,xw

ll

dybysindxxmcoswmt

21L

b

0

2

0

2

mm

2

mxe ∫∫ ∑π

⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π⋅⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π⋅σ=

l

ll (2.6.7)

∑ ⋅⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π⋅σ=

m

2m

22

mxe wm4bt

21L l

l (2.6.8)

m

2

mxm

e w4bmt

wL

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⋅σ=∂∂ l

l (2.6.9)

În acelaşi mod vom proceda şi cu energiile interne de deformaţie.

( ) ∑ π⋅⋅⋅

π⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π−=

∂∂

mm

22

2

2 xmsinwmbysin

xy,xw

ll

( ) ∑ π⋅⋅

π⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π−=

∂∂

mm

2

2

2 xmsinwbysin

byy,xw

l

( ) ∑ π⋅⋅⋅

π⋅

π=

∂∂∂

mm

22 xmcoswmbycos

byxy,xw

ll

a) Energia internă de deformaţie pentru placă:

46

(2.6.10)

(2.6.11) b1) Energia internă de deformaţie pentru încovoierea longitudinalelor:

(2.6.12)

(2.6.13)

(2.6.14) b2) Energia internă de deformaţie pentru răsucirea longitudinalelor:

(2.6.15)

(2.6.16)

(2.6.17) c1) Energia internă de deformaţie pentru încovoierea traverselor:

(2.6.18)

(2.6.19)

(2.6.20) c2) Energia internă de deformaţie pentru răsucirea traverselor:

(2.6.21)

47

(2.6.22)

Pe baza relaţiei (2.6.4) avem: m

i

m

e

wL

wL

∂∂

=∂∂

(2.6.23)

Simplificând prin mw4b⋅

l , împărţind la 2m⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ πl

obţinem:

Se determină acum “m” din condiţia ca tensiunea σx să fie minimă.

(2.6.24) Din expresia (2.6.24) rezultă:

(2.6.24a) Înlocuim expresia lui m din relaţia (2.6.24a) în relaţia mx t⋅σ şi obţinem:

(2.6.25)

Mărimea D2

II 'Ty

'Tx + , pentru profile deschise este foarte mică şi se neglijează.

Din relaţia (2.6.25) ţinând cont de aproximarea de mai sus:

(2.6.26)

48

Cazuri particulare 1

0 Reţele de bare (fig.2.6.2)

Rigiditatea plăcii este nulă .

D = 0

yx

2

mki DD

bt2

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π⋅=τ 1

b⟩

l (2.6.27)

Relaţia poate fi utilizată pentru plăci ortotrope la care D << Dx şi D << Dy.

20 Placă cu nervuri numai pe direcţia y ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⟩ 1

bl (fig.2.6.3)

Fig.2.6.2 Reţea de bare Fig.2.6.3 Placă cu nervuri pe direcţia y

În produsul σx⋅tm introducem condiţiile (2.6.28) şi obţinem tensiunea critică (2.6.29). Dx = 0, tm ≡ t (pentru că Ax = 0) 2.6.28)

(2.6.29)

30 Placă cu nervuri numai în direcţia “x”

a) 1b⟩

l (fig.2.6.4)

În produsul σx⋅tm considerăm rigiditate Dy nulă şi obţinem tensiunea critică. Dy= 0 (2.6.30)

(2.6.31)

b) 1b⟨

l (fig.2.6.5)

Se introduce condiţia (2.6.30) în expresia lui m (2.6.24) şi se obţine:

1

DD1

1b

mx

⟨+

⋅=l , deci m = 1 (2.6.32)

Înlocuim m = 1 în produsul σx⋅tm şi obţinem:

(2.6.33)

49

Mărimea 2

2

2

b1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+l , este neglijabilă în comparaţie cu raportul cu Dx/D.

(2.6.34)

Fig.2.6.4 Placă cu (l/b)>1 Fig. 2.6.5 Placă cu (l/b)<1

40 Placa izotropă

a) 1b⟩

l (fig.2.6.6)

În expresia tensiunii critice (2.6.31) considerăm rigiditate Dx nulă şi obţinem expresia tensiunii critice pentru placa izotropă.

Fig. 2.6.6 Placă izotropă (l/b)>1 Fig. 2.6.7 Placă izotropă (l/b)<1

Dx = 0, tm ≡ t (2.6.35)

(2.6.36)

b) 1b⟨

l (fig.2.6.7)

În expresia (2.6.33) considerăm rigiditatea Dx nulă şi obţinem tensiunea critică. Dx = 0 şi tm ≡ t (2.6.37)

(2.6.38) 2.6.2 Stabilitatea în domeniul plastic Pentru calculul stabilităţii în domeniul plastic se consideră variaţia tensiunii după parabola

lui Johnson-Ostenfeld (2.6.39).

50

Fig. 2.6.8 Tensiunea critică în domeniul plastic

(2.6.39) unde:

;

, I, momentul de inerţie; A, aria.

Parametrii a, b, c se determină din următoarele condiţii: 1) În vârful parabolei (tensiunea critică este egală cu limita de curgere;

)0(CKR =λσ=σ (2.6.40) 2) Panta tangentei în acest punct este nulă (tangenta e orizontală);

3) 0b,a0cbd

dc

KR =σ=⇒=λ+=λσ (2.6.41)

4) În punctul de contact al parabolei Johnson-Ostenfeld cu hiperbola lui Euler tensiunea este jumătate din limita de curgere.

(2.6.42) 5) În punctul de contact, tangenta la parabolă coincide cu tangenta la hiperbolă;

(2.6.43) Din condiţia (2.6.43)

(2.6.44) Introducând valorile parametrilor a, b, c în expresia tensiunii (2.6.39) se obţine:

(2.6.45)

51

Aplicaţii I. Să se determine momentul de inerţie necesar traverselor întărite, astfel încât întregul planşeu de punte să nu-şi piardă stabilitatea înaintea zonei dintre două traverse succesive.

Fig. 2.6.9 Planşeu de punte

ax = 2,84m; ay = 0,84m; b = 5,04m; t = 12mm; Ix = 1085cm4; Ax = 20,1cm

2

1) 2

yKE at

D4⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π⋅=σ

( )[ ] [ ]

( ) [ ]mmN10726,33,0112

mm12mm/N1006,2112

tED 2

3325

2

3

⋅⋅=−

⋅⋅=

µ−⋅

=

[ ]22

3

7

KE mm/N1521084,012

1026,34=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅π

⋅⋅⋅

=σ

( ) [ ]2ccKE mm/N235,2/1 =σσ>σ

[ ]2

KE

ccKR mm/N144

15223525,0123525,01 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

⋅−⋅σ=σ

2) 1b

a x <

x

2

xmKE D

at1

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π⋅=σ

[ ]mm4,141084,0101,2012

aAtt 3

2

y

xm =

⋅⋅

+=+=

[ ] [ ][ ] [ ]mmN10266mm1084,0

mm101085mm/N1006,2a

IED 73

4425

y

xx ⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅

=⋅

=

[ ]22

3

7

KE mm/N2261084,24,14

10266=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅π

⋅⋅

=σ

( ) cKE 2/1 σ>σ

[ ]2

KE

ccKR mm/N174

22623525,0123525,01 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

⋅−⋅σ=σ

52

3) Deoarece D<<Dx, D<<Dy, pentru întreg planşeul de punte vom folosi relaţia de la reţelele de bare, pe care o vom egala cu relaţia folosită la punctul 2).

x

2

xmyx

2

m

Dat

1DDbt

2⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π⋅=⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π⋅

Împărţim relaţia de mai sus la produsul (m

2

x tD π

⋅ ) şi obţinem:

4

x

xy2

xx

y2 a

b4

DD

a1

DD

b2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⇒=⋅

4

x

xxy

4

x

x

x

y

ab

E4aDI

ab

4D

aIE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

⋅

[ ] [ ][ ] [ ]4

4

25

37

y cm909384,204,5

mm/N1006,24mm1084,2mmN10266I =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

II. Să se studieze stabilitatea punţii din figura construită în sistem transversal de osatură.

Fig. 2.6.10 Planşeu de punte în sistem transversal de osatură

b = 4,95m; t = 16,5mm; ax = 0,71m; Iy = 4297cm4.

La demonstrarea formulelor am considerat simplă rezemare pe contur. În cazul sistemului

transversal, traversele sunt încastrate elastic deoarece au rigidităţi apropiate (comparabile) cu cele ale coastelor, motiv pentru care se va calcula un moment de inerţie fictiv echivalent.

Fig. 2.6.11 Săgeata grinzii funcţie de ε

53

Mărimea lui Ie se va determina din egalitatea:

y

4

y

4

IEbq

3845

IEbq

38435

⋅⋅

⋅=⋅⋅

⋅ε−

ye I35

5I ⋅ε−

=

În cazul nostru 32

=ε , [ ]4ye cm7162I

35I =⋅=

1) 1b <l 2

2

2x

2

yKE b

a1

atD

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π⋅=σ

( )[ ] [ ]

( ) [ ]mmN1047,83,0112

mm5,16mm/N1006,2112

tED 72

3325

2

3

⋅⋅=−

⋅⋅=

µ−⋅

=

[ ] c2

2

2

22

3

7

KE 21mm/N7,104

95,471,01

1071,05,161047,8

σ⋅<=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅π

⋅⋅

=σ

2) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π⋅=σ

DD

11bt

D2 y2

KE

[ ] [ ][ ] [ ]mmN102078mm1071,0

mm1071625mm/N1006,2a

IED 7

3

4425

x

eyx ⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅

=⋅

=

[ ] c2

2

3

7

KE 21mm/N69

47,8207811

1095,45,161047,82

σ⋅<=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅π

⋅⋅⋅

=σ

Mărimea tensiunii critice este prea mică, înseamnă că întregul planşeu îşi pierde stabilitatea

înainte ca placa izotropă să-şi piardă stabilitatea ceea ce nu este permis. Normele de rezistenţă permit şi următoarea interpretare:

( )b

aab xcxKEKE

⋅σ+−⋅σ=σ

( ) [ ]2KE mm/N9,92

95,471,023571,095,469

=⋅+−⋅

=σ

Şi în această interpretare planşeul nu este suficient de stabil. Ne propunem să găsim un moment de inerţie Iy corespunzător.

Fig. 2.6.12 Variaţia lui σKE

54

[ ]2KE mm/N7,104≥σ

x

xcKEKE ab

ab−

⋅σ−⋅σ≥σ

71,095,471,023595,47,104

KE −⋅−⋅

=σ

2

KEy b

D2t

DD

11 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛π

⋅⋅σ=++

54,363D

D106,1911095,4

1047,825,169,82

DD

1 y23

7y =+⇒=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π⋅

⋅⋅⋅

⋅=+

[ ]mmN10307054,3621047,8D 77y ⋅⋅=⋅⋅=

[ ]455

73yx

e mm1010581006,2

1030701071,0EDa

I ⋅=⋅

⋅⋅⋅=

⋅=

Ie = 10580 cm4

[ ]4ey cm6348I

53I =⋅=

2.7 Determinarea momentelor de încovoiere limită pentru secţiunile transversale ale corpului navei. Momentele de încovoiere limită se determină pentru a aprecia capacitatea corpurilor de

nave de a suporta suprasarcini ocazionale. Momentul de încovoiere limită (Mlim) este acela care provoacă în fibrele cele mai îndepărtate de axa neutră tensiuni egale cu limita de curgere.

Valoarea momentului limită se determină cu relaţia: Mlim = σc · Wlim (2.7.1) unde:

Wlim, modulul de rezistenţă limită al secţiunii rezistente corespunzător cazului când în fibrele extreme acţionează tensiuni egale cu limita de curgere;

σc = Reh, limita de curgere. Modulul de rezistenţă Wlim şi momentul de încovoiere limită Mlim se calculează în

următoarele ipoteze: • când în tablele punţii superioare de rezistenţă acţionează tensiuni de compresiune egale cu limita de curgere (fig. 2.7.1); • când în tablele fundului acţionează tensiuni de compresiune egale cu σ1f (fig. 2.7.1): σ1f = σc · (zf / zp) (2.7.2) unde:

zp, distanţa de la axa neutră la tablele extreme ale punţii superioare de rezistenţă; zf, distanţa de la axa neutră la tablele fundului. În cazul cu totul şi cu totul particular în care zf > zp, se procedează invers:

σ1f = σc (2.7.3) σ1p = σc · (zp / zf) (2.7.4) σ1i = σc · (zi / zf) (2.7.5)

Determinarea momentului limită se reduce la determinarea modulului de rezistenţă Wlim.

55

Fig.2.7.1 Tensiunea în punte este egală cu σc

Calculul modulului de rezistenţă limită Wlim se face prin metoda coeficienţilor de reducere

(vezi paragraful 3.5), considerând că în prima aproximaţie tensiunile normale în elementele longitudinale ce compun grinda echivalentă sunt egale cu: σ1i = σc · (zi / zp) (2.7.6) unde zi, distanţa de la axa neutră la elementul i. În cazul când modulul de rezistenţă Wlim rezultă mai mic decât 0,9Wmin (modulul de rezistenţă minim determinat în prima aproximaţie) poate fi necesară încă o aproximaţie pentru calculul lui Wlim. Calculul modulului de rezistenţă limită în a doua aproximaţie se face pornind de la rezultatele obţinute în prima aproximaţie.

Modulul de rezistenţă Wlim, pentru toate secţiunile corpului nu trebuie să fie mai mic de 0,75Wmin. Cu ajutorul lui Wlim se determină momentul limită Mlim. Raportul K dintre momentul limită Mlim şi momentul de încovoiere Ms, rezultat la aşezarea statică a navei pe val, se compară cu un raport admisibil Ka prescris de normele de rezistenţă:

as

lim KM

MK ≥= (2.7.7)

unde: Ka = 1,7 pentru nave de transportat mărfuri uscate; Ka = 1,8 pentru petroliere. O valoare prea mare a raportului K în raport cu Ka reprezintă o dovadă de

supradimensionare a structurii corpului navei.

2.8 Factorii care au influenţă asupra grinzii echivalente 2.8.1 Influenţa distribuţiei pe înălţime a ariei secţiunii grinzii echivalente

La încovoierea longitudinală totală în plan vertical, cea mai bună folosire a materialului din care se construieşte corpul unei nave se obţine atunci când majoritatea elementelor longitudinale de structură pot fi incluse în grinda echivalentă şi când repartizarea pe înălţime a ariei secţiunii grinzii echivalente este astfel făcută încât cea mai mare parte din aria secţiunii să se găsească cât mai departe de axa neutră.

Modulul de rezistenţă minim al unui profil este dat de relaţia:

dAz

zzz

dAz

zIW

A

2

maxmax

max

A

2

max∫

∫⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=== (2.8.1)

56

unde: A, aria secţiunii transversale a profilului; I, momentul de inerţie axial raportat la axa neutră al secţiunii transversale a profilului; zmax, distanţa de la axa neutră a secţiunii la fibra cea mai îndepărtată. Modulul de rezistenţă conform (2.8.1) devine maxim când z = zmax , atunci când profilul se

reduce la două platbande egale, situate la distanţa h = 2 ⋅ zmax una faţă de alta, aria secţiunii fiecărei platbande fiind A/2.

Modulul de rezistenţă a unui astfel de profil, denumit “profil ideal” este:

Ah21AzW max ⋅⋅=⋅= (2.8.2)

Pentru a vedea cât de raţional a fost utilizat materialul în secţiunea navei considerăm coeficientul η din relaţia:

AD21W ⋅⋅η⋅= (2.8.3)

unde D este înălţimea grinzii echivalente. Coeficientul η, denumit coeficient de utilizare, poate fi folosit la compararea unor grinzi

echivalente care au aceeaşi înălţime şi aceeaşi arie totală. Cu cât valoarea coeficientu-lui de utilizare η se va apropia mai mult de 1 (unu), cu atât va fi mai raţională folosirea materialului ce compune grinda echivalentă.

2.8.2 Influenţa oţelului de înaltă rezistenţă

La încovoierea longitudinală a corpului navei, elementele de structură cele mai solicitate sunt învelişurile fundului şi punţii superioare de rezistenţă. Cu scopul de a nu se produce în aceste învelişuri tensiuni prea mari, se tinde spre o mărire a grosimii tablelor ce formează învelişurile. Prin mărirea grosimii tablelor punţii superioare şi a fundului însă, tensiunile din ele scad foarte puţin chiar şi atunci când mărirea grosimii lor este destul de însemnată. Aceasta se întâmplă deoarece scăderea tensiunilor are loc în toate elementele longitudinale de structură şi nu numai în acelea îngroşate.

O altă soluţie este de a întrebuinţa pentru elementele de structură mult solicitate oţel de înaltă rezistenţă în locul oţelului obişnuit pentru construcţii de nave comerciale. Întrucât modulul de elasticitate E al oţelului de înaltă rezistenţă este în mod practic egal cu acel al oţelului obişnuit şi întrucât momentele de inerţie şi modulele de rezistenţă nu depind de caracteristicile fizice şi mecanice ale materialului ci numai de suprafaţa secţiunii sale transversale, rezultă că, prin introducerea în structura corpului a unor elemente din oţel de înaltă rezistenţă nu se schimbă nici secţiunea, nici momentul de inerţie şi nici modulul de rezistenţă al grinzii echivalente. În schimb, elementele de structură din oţel de înaltă rezistenţă pot rezista la tensiuni mult mai mari decât elementele din oţel obişnuit care au aceleaşi dimensiuni.

În cazul folosirii la construcţia corpului navei a ambelor oţeluri, (oţelul obişnuit şi de înaltă rezistenţă) este de remarcat că, în zonele de trecere de la elemente de structură de oţel de înaltă rezistenţă la acelea din oţel obişnuit gradul de folosire al celor două materiale va fi diferit.

Folosirea oţelurilor de înaltă rezistenţă ne dă posibilitatea de a micşora atât grosimea tablelor învelişului exterior şi al punţilor cât şi dimensiunile grinzilor care formează osatura longitudinală, ceea ce conduce la o reducere importantă a greutăţii corpului navei.

Micşorarea grosimii învelişurilor şi a dimensiunilor grinzilor longitudinale nu poate fi însă extinsă dincolo de anumite limite, impuse de diferite particularităţi în exploatarea navei, de necesitatea asigurării unei exploatări pe o durată de timp mai lungă, de diferiţi factori tehnologici etc. Prin luarea în considerare a tuturor acestor factori, se ajunge la concluzia că, fără a ţine seama de condiţiile de rezistenţă, rigiditate şi stabilitate, grosimile elementelor de structură incluse în grinda echivalentă nu pot fi totuşi inferioare unor anumite grosimi minime.

57

Dacă rezistenţa la coroziune a oţelurilor de înaltă rezistenţă nu este în mod practic mai mare decât aceea a oţelului obişnuit, atunci grosimile minime admisibile sunt aceleaşi pentru ambele oţeluri.

Grosimile minime sunt prescrise de registrele de clasificaţie. Condiţia de a nu depăşi grosimile minime ne arată că folosirea oţelurilor de înaltă rezistenţă nu este întotdeauna raţională.

Într-adevăr să presupunem că pentru un anumit oţel, grosimile stabilite prin calcul, astfel ca să fie îndeplinite condiţiile de rezistenţă, de stabilitate şi de rigiditate sunt în mod practic egale cu acelea minime admisibile, în acest caz nu este raţional a folosi un oţel cu limita de curgere mai înaltă.

Ţinând seama de consideraţiile făcute mai sus, se ajunge la concluzia că folosirea oţelurilor de înaltă rezistenţă este raţională pentru navele comerciale cu lungimi mari (petroliere şi nave de pasageri de dimensiuni mari) şi în special pentru învelişul fundului şi al punţilor unor astfel de nave.

2.8.3 Influenţa deschiderilor din tablele învelişurilor

Deschiderile din tablele învelişului exterior şi al punţilor provoacă o slăbire a rezistenţei şi o concentrare de tensiuni.

Prezenţa deschiderilor din punţi cu o lăţime mai mare de 20% din lăţimea punţii este luată în considerare la determinarea modulului de rezistenţă al grinzii echivalente.

Deschiderile din punţi a căror lăţime nu depăşeşte 20% din lăţimea punţii nu sunt luate în considerare la determinarea modulului de rezistenţă, în cazul când slăbirea provocată de aceste deschideri nu a fost compensată, atunci tensiunile determinate prin calcul fără a ţine seama de prezenţa deschiderilor se înmulţesc cu raportul dintre aria brută şi aria netă a secţiunii punţii.

Deschiderile din tablele corpului a căror lăţime este mai mare de 20s (s fiind grosimea tablei), trebuie compensată. Pentru micşorarea concentrărilor de tensiuni, colţurile deschiderilor se rotunjesc cu o rază de curbură egală cu cel puţin 10% din lăţimea lor.

2.8.4 Influenţa suprastructurilor

Suprastructurile (castelele centrale) lungi pot influenţa pozitiv dar şi negativ rezistenţa generală a corpului navei.

Considerăm o navă fără castel central. Tensiunea normală în punte într-o secţiune din zona centrală va fi:

pp1 zI

M⋅=σ (2.8.4)

unde M, momentul de încovoiere din secţiunea considerată; I, momentul de inerţie axial în raport cu axa neutră; zp, distanţa de la axa neutră la punte. Considerăm aceeaşi navă cu suprastructura lungă. Tensiunea normală în puntea

suprastructurii, în aceeaşi secţiune transversală, va fi:

( hzIM

p1

s1 +⋅=σ )

)

(2.8.5)

unde h, înălţimea suprastructurii;

( 2sps1 zzfII +⋅+≈ , momentul de inerţie axial al grinzii echivalente care a inclus

suprastructura, în raport cu axa neutră; fs, aria secţiunii transversale a suprastructurii; zs, distanţa de la puntea navei la axa neutră proprie a suprastructurii. După efectuarea simplificărilor, raportul dintre cele două tensiuni rezultă:

58

( )

p

2sp

s

s1

p1

zh1

zzIf

1

+

+⋅+=

σ

σ (2.8.6)

a) Dacă ( )p

2sp

s

zhzz

If

>+⋅ spunem că suprastructura are influenţă pozitivă asupra

rezistenţei generale.

b) Dacă ( )p

2sp

s

zhzz

If

<+⋅ spunem că suprastructura are o influenţă negativă asupra

rezistenţei generale. În acest caz trebuie luate măsuri astfel încât suprastructura să nu participe la rezistenţa

generală (să nu facă parte din grinda echivalentă). O măsură ar fi scurtarea rufurilor la o lungime mai mică decât limita impusă de normele de rezistenţă; o altă măsură ar consta în fracţionarea lungimii rufurilor prin introducerea elementelor de dilatare sau alunecare în puntea şi bordajele rufurilor.

2.8.5 Concentrări locale de tensiuni provocate de încovoierea longitudinală totală a corpului navei

În zonele unde continuitatea unor anumite elemente longitudinale din structură este întreruptă, tensiunile ce erau suportate de elementele întrerupte trebuie preluate de elementele longitudinale de structură rămase continue în zona respectivă. Din această cauză, în zonele unde există discontinuitate de structură pot să apară considerabile concentrări locale de tensiuni.

Astfel de concentrări de tensiune apar în colţurile deschiderilor în punţi, la extremităţile suprastructurilor, la extremităţile pereţilor longitudinali şi osaturii longitudinale întărite (curenţi, carlingi, suporţi), la trecerea de la sistemul longitudinal la cel transversal de osatură etc.

În vederea determinării concentrărilor de tensiuni, provocate de discontinuitatea de structură, este necesar a se lua măsuri constructive, astfel încât trecerea de la o secţiune rezistentă mare la alta mai mică să nu se facă brusc, ci treptat. Astfel de măsuri le găsim în majoritatea cazurilor în prescripţiile registrelor de clasificaţie.

59

CAP. 3 LINIA ELASTICĂ A CORPULUI NAVEI

3.1. Linia elastică a corpului navei datorită încovoierii longitudinale Linia elastică a corpului navei provocată numai de variaţia momentelor de încovoiere se

determină plecând de la ecuaţia diferenţială a deformaţiilor generale:

( ) ( ) ( )xMxd

xwdxIE 2m

2

=⋅ (3.1.1)

Pentru a putea integra ecuaţia diferenţială (3.1.1) avem nevoie de variaţia momentelor de încovoiere verticale M(x) şi de variaţia momentului de inerţie pe lungimea navei I(x). Pentru acesta din urmă, se calculează momentul de inerţie în cinci secţiuni, mai întâi în cuplul maestru, apoi în câte două secţiuni spre prova şi spre pupa faţă de aceasta. Prin cele cinci puncte obţinute se trasează curba de variaţie a momentelor de inerţie. Deoarece modul de variaţie al momentelor de inerţie pentru secţiunile de la extremităţi are o importanţă mică, valorile acestora se iau aşa cum rezultă din prelungirea curbei ce trece prin cele cinci puncte mai sus menţionate.

Variaţia momentului de inerţie pe lungimea navei se poate aprecia şi cu ajutorul următoarelor relaţii:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=

Lx1

Lx4IxI 0 (3.1.2)

sau

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⋅=

Lx1

L3x8

31IxI 0 (3.1.3)

unde I0 este momentul de inerţie al secţiunii rezistente de la mijlocul navei. Integrând de două ori relaţiile (3.1.1), obţinem linia elastică a corpului navei provocată

numai de momentele încovoietoare verticale:

( ) ( )( ) m

x

0

x

0m DxCxdxd

xIxM

E1xw ++= ∫ ∫ (3.1.4)

Vom raporta săgeţile wm(x) la o axă care trece prin extremităţile navei. În acest caz, condiţiile limită sunt: • x = 0, wm(0) = 0 • x = L, wm(L) = 0 (3.1.5) şi constantele de integrare devin: Dm = 0

( )( ) xdxdxIxM

LE1C

L

0

x

0∫ ∫⋅

−= (3.1.6)

În concluzie, variaţia liniei elastice a corpului wm(x), raportată la o axă aleasă astfel încât să rezulte săgeţi nule la extremităţi, va avea forma:

( ) ( )( )

( )( ) xdxdxIxM

LExxdxd

xIxM

E1xw

L

0

x

0

x

0

x

0m ∫ ∫∫ ∫ ⋅

−= (3.1.7)

3.2. Influenţa forţelor tăietoare

Influenţa forţelor tăietoare asupra liniei elastice este semnificativă la navele maritime cu

rapoarte L/D cuprinse între 10 şi 14. La navele cu rapoarte (L/D) > 14, deformaţiile produse de forţele tăietoare sunt foarte mici şi nu prezintă importanţă.

60

Fig. 3.2.1 Alunecarea secţiunilor

Din (fig. 3.2.1) rezultă că între alunecarea dwt (produsă de forţa tăietoare) şi alunecarea specifică γ, există relaţia:

( ) xdxwd t ⋅γ−= (3.2.1) Pe de altă parte, alunecarea specifică rezultă din relaţia:

Gmτ=γ (3.2.2)

unde: τm, tensiunea tangenţială medie din secţiunea considerată; G, modulul de elasticitate transversal. Valoarea lui τm este dată de expresia:

( ) ( )( )xAxTxk

fm ⋅=τ (3.2.3)

unde: T(x), forţa tăietoare în secţiunea considerată; Af(x), aria rezistentă la forfecare; k(x), (coeficientul de formă) ţine seama de distribuţia neuniformă în secţiune a tensiunilor tangenţiale. Înlocuim relaţiile (3.2.3) şi (3.1.10) în relaţia (3.2.1):

( ) ( ) ( )( ) xdxA

xTGxkxwd

ft ⋅−= (3.2.4)

şi prin integrare obţinem:

( ) ( ) ( )( ) t

f

x

0t Dxd

xAxTxk

G1xw +⋅−= ∫ (3.2.5)

Pentru determinarea constantei de integrare Dt, vom pune condiţiile (3.1.5). Linia elastică rezultantă are ecuaţia:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( tmf

x

0

x

0

x

0tm DDxCxd

xAxTxk

G1xdxd

xIxM

E1xwxwxw ++⋅+⋅−=+= ∫∫ ∫ ) (3.2.6)

După punerea condiţiilor limită (3.1.5) obţinem: Dm + Dt = 0 (3.2.7)

( )( ) ( ) ( )

( ) xdxA

xTxkLG

1xdxdxIxM

LE1C

f

L

0

L

0

x

0

⋅⋅

+⋅

−= ∫∫ ∫ (3.2.8)

61

În final, linia elastică a corpului navei va avea forma:

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−⋅+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∫∫∫ ∫∫ ∫ xd

xAxTxkxd

xAxTxk

G1xdxd

xIxM

Lxxdxd

xIxM

E1xw

f

x

0f

L

0

L

0

x

0

x

0

x

0

(3.2.9)

Determinarea valorii lui k(x) se face egalând lucrul mecanic de deformaţie al tensiunilor tangenţiale care acţionează asupra elementului de grindă cu lucrul mecanic corespunzător al forţei tăietoare:

( ) ( ) ∫ γ⋅τ=⋅V

t Vd21xwdxT

21 (3.2.10)

unde: ( )( ) G

,txI

SxT y τ=γ

⋅

⋅=τ (3.2.11)

xdsdtxdAdVd ⋅⋅=⋅= Introducem (3.2.11) şi (3.2.4) în (3.2.1) şi obţinem

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ∫ ⋅⋅=⋅⋅⋅ sdt

tS

xdxIxT

G21xd

xAxTxk

G1xT

21

2

2y

2

2

f

,

sau după simplificare

( ) ( )( ) ∫ ⋅= sd

tS

xIxAxk

2y

2f (3.2.12)

unde: t, grosimea în secţiunea considerată a unuia din elementele rezistente de structură. Valoarea lui k (x) este întotdeauna mai mare decât unitatea şi variază de-a lungul navei. Linia elastică a corpului navei se determină în următoarele scopuri:

• în vederea aprecierii rezistenţei longitudinale totale prin compararea săgeţii maxime efective cu săgeata admisibilă;

• în vederea montării şi centrării corecte a liniei de arbori sau a unor maşini şi instalaţii de la bordul navei.

3.3. Influenţa liniei elastice a corpului navei asupra solicitărilor generale în apă calmă

În cele analizate până în prezent, nava a fost considerată un corp solid, adică am neglijat

deformaţiile ei generale în raport cu dimensiunile ei. În realitate deformaţia generală elastică a corpului conduce la o redistribuire a forţelor de împingere.

La navele maritime această influenţă este mică şi neînsemnată. Nu se poate afirma acelaşi lucru la navele destinate navigaţiei interioare, la care redistribuirea forţelor de împingere trebuie luată în considerare la calculul forţelor tăietoare şi momentelor încovoietoare verticale.

Ariile imerse calculate ţinându-se cont de deformaţia în plan vertical a navei: ( ) ( ) ( ) ( )xwxbxAxA t1t ⋅+= (3.3.1)

unde: At(x), ariile imerse calculate prin considerarea navei drept corp solid (nedeformabil); b(x), lăţimea navei la plutirea în apă calmă; w(x), linia elastică a corpului navei, pozitivă la încovoierea în contraarc. Sarcina rezultantă în apă calmă:

( ) ( ) ( ) ( )[ xwxbxAgkxgp tcx ⋅+⋅⋅ρ⋅−= ] (3.3.2) Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a corpului navei ajunge la forma:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ xwxbxAgkxgxwxIE t"" ⋅+⋅⋅ρ⋅−=⋅⋅ ] (3.3.3)

sau

62

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xAgkxgxwxbgkxwxIE t"" ⋅⋅ρ⋅−=⋅⋅⋅ρ⋅+⋅⋅

Ecuaţia (3.3.3) poate fi comparată cu ecuaţia diferenţială a grinzilor complexe pe mediu elastic continuu cu rigiditate variabilă: ( ) ( )xbgkxK ⋅⋅ρ⋅= (3.3.4)

Pentru rezolvarea ecuaţiei diferenţiale (3.3.3) se poate apela la una din metodele numerice de calcul cunoscute. Totuşi, pentru aprecierea aproximativă a influenţei liniei elastice asupra forţelor tăietoare şi momentelor încovoietoare verticale se poate folosi şi o metodă energetică.

Considerăm originea axelor de coordonate la extremitatea pupa şi admitem linia elastică a corpului navei sub forma:

( )L

xsina5,0Lxxw 111

⋅π⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅β+α= (3.3.5)

unde α1, β1 şi a1 sunt parametrii necunoscuţi care se determină prin metoda Ritz. Energia potenţială de deformaţie totală a sistemului navă plus mediu elastic are expresia:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∫∫ ⋅+⋅⋅=L

0

2L

0

2" xdxwxK21xdxwxIE

21V (3.3.6)

Lucrul mecanic al forţelor exterioare are expresia:

( ) ( )[ ] ( )∫ ⋅⋅⋅ρ⋅−=L

0te xdxwxAgkxgL (3.3.7)

După introducerea lui w(x) sub forma (3.3.5) în relaţiile (3.3.6) şi (3.3.7), se aplică metoda Ritz: ( ) ( ) ( ) 0

aVL;0VL;0VL

1

e

1

e

1

e =δ−δ

=βδ−δ

=αδ−δ (3.3.8)

Se obţine un sistem de ecuaţii algebrice liniar din care rezultă parametrii α1, β1 şi a1. Cunoscând linia elastică w(x) se pot determina forţele tăietoare şi momentele încovoietoare

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )∫∫ ⋅⋅ρ⋅−=⋅⋅⋅ρ⋅−⋅⋅ρ⋅−=x

00

x

0t xdxwxbgkxTxdxwxbgkxAgkxgxT

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫ ∫ ⋅⋅ρ⋅−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅ρ⋅−=

x

0

x

00

x

0

x

0

x

00 xdxdxwxbgkxMxdxdxwxbgkxdxTxM

unde T0(x) şi M0(x) sunt forţele tăietoare şi momentele încovoietoare verticale determinate în ipoteza corpului navei nedeformabil.

63

Bibliografia de elaborare a cursului 1. Popovici, O., Chirică, I., Ioan, A., “Calculul şi construcţia navei”, Universitatea din Galaţi,

1984 2. Popovici, O., Ioan, A., Domnişoru, L., “Construcţia, amenajarea şi exploatarea navei”,

Universitatea “Dunărea de Jos”, Galaţi, 1991 3. Popovici, O., Domnişoru, L., “Metode moderne de calcul în construcţia navei”, Editura

Evrica, 2001 4. Popovici, O., “Ghid practic pentru construcţii navale - Volumul I”, Editura Evrica, 2001 5. Găvan, E., Popovici, O., Domnişoru, L., “Ghid practic pentru construcţii navale - Volumul

II”, Editura Evrica, 2003 6. Popovici, O., Domnişoru, L., Găvan, E., “Reguli pentru construcţia corpului navelor

maritime” (traducere Germanischer Lloyd – Klassifikations und Bauvorschiriften), Universitatea ”Dunărea de Jos” din Galaţi, 2004

7. Domnişoru, L., Găvan, E., Popovici, O., “Analiza structurilor navale prin metoda elementului finit”, Editura Didactică şi Pedagogică R.A. Bucureşti, 2005

8. Germanischer Lloyd AG, “Rules und Guidelines”, 2002 9. IACS, “Common Structural Rules for Bulk Carriers”, 2006 10. IACS, “Common Structural Rules for Double Hull Oil Tankers”, 2006 11. Autodesk, Inc., “AutoCad 2004”

Bibliografia minimală de studiu pentru studenţi 1. Popovici, O., Domnişoru, L., “Metode moderne de calcul în construcţia navei”, Editura

Evrica, 2001 (cap.1, 3, 4) 2. Popovici, O., Ioan, A., Domnişoru, L., “Construcţia, amenajarea şi exploatarea navei”,

Universitatea “Dunărea de Jos”, Galaţi, 1991 (cap.6,7,8)

64