clase5_snl_2010

Estabilidad de sistemas autónomosEstabilidad según Lyapunov

Teorema de LyapunovBúsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas

SISTEMAS NO LINEALESESTABILIDAD DE LYAPUNOV

Prof. Virginia Mazzone - Prof. Mariana Suarez

1 Estabilidad de sistemas autónomos2 Estabilidad según Lyapunov3 Teorema de Lyapunov4 Búsqueda de funciones de Lyapunov: formas cuadráticas

Prof. Virginia Mazzone - Mariana Suarez SNL- Clase 5



Estabilidad de sistemas autónomos

Consideremos el sistema invariante en el tiempo,

x = f (x) (1)

donde f : D→ Rn es localmente Lipschitz desde un dominioD⊂ Rn en Rn. Supongamos que x∗ ∈ D es un P.E. de (1).Analizaremos su estabilidad.




Estabilidad de sistemas autónomos (cont.)

NotaTrabajaremos por conveniencia con x∗ = 0. Esto no implicapérdida de generalidad, ya que para los casos en que x∗ 6= 0,puede definirse un cambio de coordenadas como sigue:

y = x− x∗

y = g(y)

Donde g(y) = f (y+ x∗) tiene un P.E. en el origen.




Definiciones de estabilidad

DefiniciónEl punto de equilibrio x∗ = 0 de (1) es

estable, si para cada ε > 0 existe δ = δ (ε) tal que

‖ x(0) ‖< δ ⇒‖ x(t) ‖< ε, ∀t ≥ 0

inestable, si no es estableasintóticamente estable (A.E.), si es estable y δ puedeelegirse tal que

‖ x(0) ‖< δ ⇒ lımt→∞

x(t) = 0




Ejemplo: El péndulo

Ecuaciones de estado:

x1 = x2

x2 =−gl

senx1−km

x2

Puntos de equilibrio:Haciendo x1 = x2 = 0, los PE son

(nπ,0), n = 0,±1,±2, . . .




Ejemplo: El péndulo (cont.)

Análisis de la estabilidad de los P.E.

Sin fricción (k = 0) , (0,0) es un equilibrio estable.Con fricción (k > 0, (0,0) es un equilibrio asintóticamenteestable.(π,0) , punto de ensilladura, es un P.E. inestable.




Ejemplo: El péndulo (cont.)

Análisis de la estabilidad usando conceptos de energíaSea la energía del péndulo E(x) = Ep(x)+Ec(x), con referenciade Ep elegida tal que E(0) = 0.

E(x) =∫ x1

0

gl

senydy+12

x22

=gl(1− cosx1)+

12

x22




Sin fricción (k = 0) ,el sistema es conservativo (sindisipación de energía). Entonces

E(x) = c⇒ dEdt

= 0

Con fricción (k > 0, se disipa energía durante la evolucióndel sistema. Entonces,

dEdt≤ 0

Es decir, la energía decrece hasta llegar a cero. Latrayectoria x(t) tiende a x = 0 cuando t→ ∞.




Estabilidad según Lyapunov

Alexandr Lyapunov, metemático e ingeniero ruso(1857−1918)Teoremas de estabilidad de Lyapunov: dan condicionessuficientes para estabilidad en puntos de equilibrio.Teoremas conversos: establecen que muchas de estascondiciones son también necesarias.





Lyapunov propone otras funciones, además de la energía, quepueden utilizarse para demostrar la estabilidad de un P.E.Sea V : D→ R una función continuamente diferenciable en undominio D⊂ Rn que contiene al origen. La derivada de V a lolargo de las trayectorias de (1) está dada por

V (x) =n

∑i=1

∂V∂xi

xi =n

∑i=1

∂V∂xi

fi(x)

=[

∂V∂x1

,∂V∂x2

, . . .∂V∂xn

]f1(x)f2(x)

...fn(x)

=∂V∂x

f (x)





NotaObservemos que esta derivada puede pensarse como laderivada direccional de V (x) en la dirección del campo f (x), esdecir

V (x) = L fV (x)




Teorema de Lyapunov

TeoremaSea el origen x = 0 un P.E. de (1) y sea D⊂ Rn un dominio quecontiene al origen. Sea V : D→ R una función continuamentediferenciable tal que

V (0) = 0 y V (x) > 0 en D−0V (x)≤ 0 en D

entonces, x = 0 es estable. Más aún, si

V (x) < 0 en D−0

entonces x = 0 es asintóticamente estable (A.E.).




Teorema de Lyapunov- Demostración

Parte I: V (x)≤ 0→ el P.E. es estableDado ε > 0, elijamos r ∈ (0,ε] tal que

Br = x ∈ Rn |‖ x ‖≤ r ⊂ D

Sea α = mın‖x‖=r V (x) . Entonces α > 0 por hipótesis.Tomemos β ∈ (0,α) y sea

Ωβ = x ∈ Br |V (x)≤ β

⇒Ωβ está en el interior de Br, y tiene la propiedad de que todatrayectoria que comienza en Ωβ en t = 0 permanecerá enΩβ ∀t ≥ 0




Teorema de Lyapunov- Demostración




Teorema de Lyapunov- Demostración (cont.)

Ωβ es compacto→ tiene sol. única ∀t ≥ 0 cuando x(0) ∈Ωβ

V continua, V (0) = 0 →∃δ > 0 tal que

‖ x ‖≥ δ ⇒V (x) > β

Entonces Bδ ⊂Ωβ ⊂ Br, y

x(0) ∈ Bδ ⇒ x(0) ∈Ωβ ⇒ x(t) ∈Ωβ ⇒ x(t) ∈ Br ∀t ≥ 0

Por lo tanto,

‖ x(0) ‖< δ ⇒‖ x(t) ‖< r ≤ c, ∀t ≥ 0

→ el P.E. en x = 0 es estable





Parte II: V (x) < 0→ el P.E. es asintóticamente estable

Supongamos ahora que

V (x) < 0 en D−0

Como V continua, V (0) = 0, para probar E.A. debe mostrarseque

V (x(t))→ 0 cuando t→ ∞

V (x(t)) monotónicamente decreciente y acotada inferiormentepor cero, entonces

V (x(t))→ c≥ 0 cuando t→ ∞





Veamos que c=0 por contradicción. Sup. que c > 0.Porcontinuidad de V (x), existe d > 0 tal que Bd ∈Ωc.V (x(t))→ c > 0 implica que x(t) permanece fuera de la bola Bdpara todo t ≥ 0.Sea −γ = maxd≤‖x‖≤r V (x)Por hipótesis −γ < 0 . Integrando V (x) tenemos que

V (x(t)) = V (x(0))+∫ t

0V (x(τ))dτ ≤V (x(0))− γt

El miembro derecho se hace negativo luego de un cierto t →se contradice la suposición c>0.




Búsqueda de funciones de Lyapunov

Formas cuadráticas

V (x) = xT Px =n

∑i=1

n

∑j=1

Pi jxix j

con P matriz simétrica real.V (x) es definida positiva⇔ todos los autovalores de Pson positivos. Entonces P es definida positiva y se escribeP > 0

V (x) es semidefinida positiva⇔ todos los autovalores deP son no negativos. Entonces P es semidefinida positiva yse escribe P≥ 0




Búsqueda de funciones de Lyapunov (cont.)

Proposición: Sea A matriz simétrica y real, entonces A esdefinida positiva sii todos los autovalores de A sonestrictamente positivos.

xT Ax > 0 ∀x 6= 0 ⇔ λ (A) > 0





Demostración: Sea A definida positiva y λi ∈R autovalor de A.Sea xi el autovector correspondiente, con ‖ xi ‖= 1.

Axi = λixi y xTi Axi > 0 por hipótesis

EntoncesxT

i Axi = xTi λixi = λixT

i xi = λi⇒ λi > 0





Probemos ahora la recíproca. Sean λi > 0 los autovalores de A.A simétrica real→ existe una base de autovectoresortonormales de A.Entonces,

x = c1x1 + c2x2 + c3x3 + . . .+ cnxn

Ax = c1Ax1 + c2Ax2 + c3Ax3 + . . .+ cnAxn

= c1λ1x1 + c2λ2x2 + c3λ3x3 + . . .+ cnλnxn

xT Ax =(c1xT

1 + c2xT2 + c3xT

3 + . . .+ cnxTn)

(c1λ1x1 + c2λ2x2 + c3λ3x3 + . . .+ cnλnxn)

= c21λ1 + c2

2λ2 + c23λ3 + . . .+ c2

nλn > 0 si x 6= 0




Ejemplo

Sea V (x) = ax21 +2x1x3 +ax2

2 +4x2x3 +ax23.

Decidir para qué valores de a es definida positiva V (x) .


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