clase - recta
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matemática, definición problemas, ejercicios.TRANSCRIPT
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* Matemtica Bsica I Ing. Ricardo Rosas Roque 2010 - II
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* La recta en R2 formas de la ecuacin de una recta.Area de un tringuloPuntos notables de un tringuloPosiciones relativas de dos rectas.
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*Ecuacin vectorial de la recta Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una direccin dada .Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector PX tiene igual direccin que v, luego es igual a v multiplicado por un escalar:
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Ecuacin Vectorial:
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*Ejemplo Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director v = (2, 5). Escribir su ecuacin vectorial
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*Hallar la ecuacin vectorial de la recta R que pasa por A(-3, 1) y B (1, 4).
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*Ecuaciones paramtricas de la recta A partir de la ecuacin vectorial:
Realizando las operaciones indicadas se obtiene:
La igualdad de vectores se desdobla en las dos igualdades escalares
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*Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director v = (2, 5). Escribir sus ecuaciones paramtricas.
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*Obtener el sistema de ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por los puntos A(-2, 3) y B (5, 1)
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*Ecuacin continua de la recta Si de las ecuaciones paramtricas despejamos el parmetro k.
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Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director v = (2, 5). Escribir su ecuacin continua.
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*Ecuacin punto-pendiente de la recta La pendiente de una recta es la tangente del ngulo que forma la recta con la direccin positiva del eje OX.
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Pendiente dado el ngulo
Pendiente dado el vector director de la recta
Pendiente dados dos puntos
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Si el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ngulo.
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*Ecuacin punto-pendientePartiendo de la ecuacin continua la recta
quitando denominadores:
despejando:
Como se obtiene:
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Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director v = (2, 5). Escribir su ecuacin punto pendiente.
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*Ejercicios Hallar la ecuacin de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4, 2).
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Hallar la ecuacin de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinacin de 45.
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*Ecuacin general de la recta Partiendo de la ecuacin continua de la recta
quitando denominadores se obtiene Trasponiendo trminos:
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Haciendo:
Se obtiene: Esta expresin recibe el nombre de ecuacin general o implcita de la recta
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Los componentes del vector director son:
La pendiente de la recta es:
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Hallar la ecuacin de la recta que pasa por A (1, 5) y tiene como vector director igual v = (-2, 1).
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Hallar la ecuacin de la recta que pasa por A (1, 5) y tiene como pendiente m = -2.
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*Ecuacin de la recta en forma explcita Si en la ecuacin general de la recta
despejamos y, se obtienen El coeficiente de la x es la pendiente, m.El trmino independiente, b, se llama ordenada en elorigen de una recta siendo (O, b) el punto de corte con el eje OY
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Hallar la ecuacin en forma explcita de la recta que pasa por A (1, 5) y tiene como pendiente m = -2.
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Hallar la ecuacin de la recta que pasa por A(1, 3) y B(2, -5)
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*Rectas paralelas a los ejes Rectas paralelas al eje OX
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Una recta paralela al eje OX, se expresa mediante la ecuacin: y = b
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*Rectas paralelas al eje OYUna recta paralela al eje OY y que corta al eje OX en el punto (a, O) se expresa mediante la ecuacin: x = a
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*ngulo que forman dos rectas Se pueden obtener a partir de:
Sus vectores directoresSus pendientes
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*Vectores directoresCalcular el ngulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores directores son: u = (2, 1) y v =(2, 3).
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*Sus pendientesCalcula el ngulo que forman las rectas r = x + 3y - 2 = 0 y s = 2x - 3y + 5 = 0
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*Rectas paralelasDos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma pendiente
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*Rectas perpendicularesSi dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo
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*Ejercicio Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r = x + 2y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3, 5).
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*Distancias: Distancia de un punto a una recta La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.d d
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Calcula la distancia del punto P(2, -1) a la recta r de ecuacin 3x + 4y = 0
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*Distancia entre rectas Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta.
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Hallar la distancia entre r = 3x - 4y + 4 = 0 y s = 9x - 12y - 4 = 0
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Escribe de todas las formas posibles la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5). Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (-2, 2). Hallar la ecuacin de la recta r, que pasa por A(1, 5), y es paralela a la recta s = 2x + y + 2 = 0. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A (2, -1) y tiene como vector director v = (1, -4)