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Clase 23 - Programación lineal 1

Gerenciamiento Técnico de Proyectos

Clase Nro 23Programación lineal


Programación Lineal

Los Recursos son limitados Hay un objetivo (función)

Generalmente maximizar el beneficio o minimizar los costos. Este objetivo está sujeto a restricciones relacionadas con los recursos u otros aspectos.

Tanto la función objetivo como las funciones de restricción son Lineales

Los Recursos y los productos son homogéneos

Las variables deben ser divisibles y no negativas


Procedimiento Gráfico

1. Formular el problema en términos

matemáticos

2. Dibujar las ecuaciones de restricción

3. Determinar el área de factibilidad

4. Dibujar la función objetivo

5. Encontrar el punto óptimo


Función Objetivo

Maximizar (o Minimizar) Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn

Cj es una constante que describe la tasa de contribución al costo o beneficio de las unidades producidas (Xj).

Z es el costo o beneficio total de una cantidad dada de unidades a ser producidas


Método Gráfico de PL Ejemplo de Maximización

Una fábrica de muebles debe determinar el mix de modelos de mesas de comedor a ser producido el próximo año. La compañía produce dos líneas de producto la Max y la Multimax. El beneficio promedio es de $400 por cada Max y de $800 por cada Multimax. La fabricación está sujeta a recursos limitados de fabricación y armado. Hay una capacidad máxima de fabricación de 5000 horas por mes (Cada Max requiere 3 horas y cada Multimax requiere 5 horas). Hay un máximo de 3,000 hours de capacidad de armado disponibles por mes (Cada Max requiere 1 hora y cada Multimax requiere 4 horas).

¿Cuántas unidades de cada tipo de mesa deberían producirse cada mes para maximizar el beneficio?


Antes de comenzar

Ya que el beneficio es tanto mayor para la línea Multimax que para la línea Max, ¿porqué no simplemente producir Multimax?


La Función Objetivo

mes cada producidoMultimax de cantidad la=X

mes cada producidoMax de cantidad la=X

Multimaxy Max por producido mensual beneficio el= Z

Donde

X 800 + 400X= ZMaximizar

2

1

21


Restricciones

negativo No 0 X,X

Armado 3,000 4X + X

nFabricació 5,000 5X + 3X

21

21

21

Max (X1)

Mutimax (X2)

Tiempo por unidad

Tiempo por unidad

Tiempo disponible por

mes

3 5 5000 Fabricación

1 4 3000 Armado


Dibujar las restricciones

1,000

2,000

3,000

1,000 2,000 3,000

X2

A B

C0,0

FabX1 X20 1,000

1,666.7 0

AssyX1 X20 750

3,000 0

X1


Dibujar las restricciones

FabX1 X20 1,000

1,666.7 0

AssyX1 X20 750

3,000 01,000

2,000

3,000

1,000 2,000 3,000

X2

X1

A B

C0,0


Determinar la pendiente de la función objetivo

Recordar que , Y = mx + b

En este caso: Y = X2, x = X1, y b = Z

Z = 400X1 + 800X2

800X2 = - 400X1 + Z

X2 = -1/2 X1 + Z/800

Pendiente = -1/2


Encontrar el punto óptimo

1,000

2,000

3,000

1,000 2,000 3,000

X2

X1

A B

C0,0

Z



1,000

2,000

3,000

1,000 2,000 3,000

X2

X1

A B

C0,0

Punto ÓptimoPunto ÓptimoZ



1,000

2,000

3,000

1,000 2,000 3,000

X2

X1

A B

C0,0

Armado 3,000 4X + X


21

21

El punto óptimo se encuentra en la intersección de esta dos líneas:

Max 715 3

5(571)-5000=X

Multimax 571 o 571.43,=X

4,000 7X


Armado 9,000 12X+ 3X

1

2

2

21

21

Podríamos (y deberíamos) resolver el sistema de ecuaciones.


Resolución

$742800=$456800+$286000=Z

(571) 800 + 400(715)=Z

X 800 + 400X=Max Z 21

Producir 715 de Max y 571 de Multimax por mesPara una ganancia de $742800.

Producir 715 de Max y 571 de Multimax por mesPara una ganancia de $742800.


Método Gráfico de PL Ejemplo de Minimización

La fábrica de hormigón elaborado HiTech está desarrollando un plan para comprar cemento para sus operaciones. HiTech recibe cemento de dos fuentes, Industrias Hasbeen y Cementos Gentro en embarques diarios mediante grandes camiones. Cada carga de camión de cemento de Hasbeen carga 1.5 tn de cemento portland normal y 1 ton de cemento ARS a un costo de $15,000. Cada carga de camión de Gentro carga 1 tn de cemento portland normal y 3 tons de cemento ARS a un costo de $18,000.

HiTech necesita al menos 6 tn de cemento portland normal y al menos 10 tn de cemento ARS por dia.

¿Cuántas cargas de camión se requieren de cada proveedor diariamente para un costo mínimo?


Función Objetivo

Minimizar Z = 15,000 X1 + 18,000 X2

Z = costo diario de cementoX1 = cargas de camión de HasbeenX2 = cargas de camión de Gentro


Restricciones

1.5X1 + X2 > 6 (Portland normal--tn)

X1 + 3X2 > 10 (ARS--tn)

X1, X2 > 0 (restricción no negativa)

Hasbeen (X1) Gentro (X2)Tn Tn Min Tn1.5 1 6 PN1 3 10 ARS


Dibujar las Restricciones

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12345678910X2

X1

PNX1 X20 64 0

ARSX1 X20 3.33310 0


PNX1 X20 64 0

ARSX1 X20 3.33310 0

Dibujar las Restricciones

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12345678910X2

X1


Determinar la pendiente de la Función Objetivo

Minimizar Z = 15,000 X1 + 18,000 X2

X2 = -5/6 X1 + Z/18,000



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12345678910X2

X1

Punto ÓptimoPunto Óptimo



El punto óptimo de encuentraEn la intersección de estas dos lineas:

1.5X1 + X2 = 6 (PN--tn)

X1 + 3X2= 10 (ARS--tn)

1.5X1 + X2 = 6 (PN--tn)1.5X1 + 4.5X2 = 15 (ARS--tn)

-3.5X2 = -9, X2 = 2.57 camiones GentroX1 = 10 - 3(2.57) = 2.29 camiones Hasbeen


Resolución

Pedir diariamente 2.29 cargas camiones de Hasbeen y 2.57 Camiones de Gentro. El costo diario será de $80,610.

Minimizar Z = 15,000 X1 + 18,000 X2

Z = 15,000 (2.29) + 18,000(2.57)

Costo diario = $34,350 + $46,260 = $80,610

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