PROGRAMACIÓN LINEAL

¿De dónde proviene el término Programación

Lineal?La programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.

¿Para que sirve la programación lineal?

Lenguaje de ProgramaciónFunción

Objetivo

Restricciones

Soluciones Factibles

Solución Óptima

Es la función por maximizar o minimizarSon las limitaciones existentes sobre las variables. Constituyen un sistema de desigualdades.Son las infinitas soluciones para el sistema de restricciones.

Es una de las soluciones factibles que le da valor máximo o mínimo a la función objetivo.

... Recordemos un poco …

¿Cuál de los siguientes regiones

coloreadas en el gráfico corresponde a

la desigualdad y ≤ x + 3?

¿Cuál es la opción correcta?

Región Celeste

Región Violeta

MUY BIEN!!!

Si elegiste la región celeste ya estás en condiciones de comenzar a ver de qué se trata la programación lineal …

SITUACIÓN INICIALUn fabricante produce dos tipos de corbatas, Old Smokey y Blaze Away. Para su producción, las corbatas requieren del uso de dos máquinas de coser A y B. El número de horas necesarias para ambas esta indicado en la siguiente tabla:

Máquina A

Máquina B

Old Smokey 2 h 4 h

Blaze Away 4 h 2 h

Si cada máquina puede utilizarse 24 horas por día y las utilidades en los modelos son de $4 y $6 respectivamente. ¿Cuántas corbatas de cada tipo deben producirse por día para obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima?

Planteo del problemaFunción Objetivo

Restricciones

4 6Z x y

2 4 244 2 24

00

x yx y

xy

Es la función de utilidades que debo maximizar

Limitaciones horarias de las máquinas A y B

Condiciones de no negatividad

Pasos a seguir para encontrar la cantidad de artículos que deben venderse, de ambos modelos, para que la utilidad sea máxima:

1. Graficar las desigualdades que indican las restricciones del problema en el plano cartesiano.

2. Indicar la intersección de dichas regiones, o sea, la solución al sistema de inecuaciones planteado (Región factible).

3. Encontrar en el interior de esa región, cuál es el punto para en el cual la función de utilidades (Función objetivo) es máxima.

¿Cómo encontramos la región de soluciones factibles?

A continuación graficaremos paso a paso las restricciones del problema.

Para ello vamos a hacer uso de Geogebra (siga paso a paso la guía).

Condición de no negatividad: 0, 0x y

Región excluida

Solución

Recta incluida en la solución

Fig. 1

Primera Restricción:

Recta incluida de la solución

Fig. 2

2x + 4y ≤ 24

Segunda Restricción:4 2 24x y

Región factible

Para encontrar la solución óptima, identificamos los puntos que limitan a la región factible)y los reemplazamos en la función de utilidad máxima.

Función de utilidad máxima:Z=4x+6y

A(0;6) Reemplazando en “Z” Z= 4x0+6x6 =36B(6;0) Reemplazando en “Z” Z= 4x6+6x0 = 24C(4;4) Reemplazando en “Z” Z= 4x4+6x4 = 40

¿En qué punto que limita a la región factible la utilidad es máxima?

A

B Ninguno de los anteriores

C

MUY BIEN!!!

Si elegiste el punto C, estas en lo correcto ya que cuando se reemplaza el valor de sus coordenadas en la función de utilidad, esta es máxima.

Interpretemos el resultado …¿Cuál de las siguientes conclusiones sería la correcta?

Cuando se produzcan 40 unidades de cada producto la utilidad será máxima y será de $4 por unidad.

Cuando se produzcan 4 unidades de corbatas Old Smokey y 4 unidades de corbatas Blaze Away la utilidad será máxima y será de $40.

Cuando se produzcan 40 unidades de cada marca a un precio unitario de $4 la utilidad será máxima.

MUY BIEN!!!

Las ganancias serán máximas y serán de $40 cuando se produzcan 4 corbatas Old Smokey y 4 corbatas Blaze

Away.

FIN