ECUACIONES MAXWELL (~1860)

Las relaciones entre campos elctricos y

magnticos y sus fuentes pueden

establecerse de manera compacta en

cuatro relaciones conocidas como

ecuaciones de Maxwell

0AdE

A

AdEdt

dldB

00

A

AdBdt

dldE

0AdB

Ecuaciones de Maxwell en el vacio(suponemos medio: homogneo: ( = 0 , = 0 en todos puntos); isotrpico ( 0 ,

0 no dependen direccin propagacin), no conductor: J = 0, libre cargas: = 0,

no dispersivo: 0 , 0, , no son funcin frec.)

EN ESTAS ECUACIONES SE RESUMEN LAS BASES

EXPERIMENTALES DEL ELECTROMAGNETISMO

Ley Gauss para campos elctricos

Ley Gauss para campos magnticos

Ley de Ampere Maxwell

Ley de Faraday

( considerando =0)

0AdE

A

AdEdt

dldB

00

A

AdBdt

dldE

0AdB

Ecuaciones de Maxwell en el vacio(sin cargas ni corrientes)

Campos elctricos y magnticos concatenados conllevan al concepto de

campos electromagnticos

Caracterstica ms notable de estas ecuaciones es que un campo magntico

variable induce un campo elctrico en las regiones vecinas y as sucesivamente.

Maxwell reconoci que estas ecuaciones predicen la existencia de

perturbaciones electromagnticas que consisten en campos elctricos y

magnticos que varan en el tiempo y se desplazan se propagan de una regin

a otra, incluso si no hay materia en el espacio intermedio

es evidente una gran simetra entre

campos elctricos y magnticos

LAS EC. QUE RIGEN LOS FENMENOSPTICOS SON LAS EC. MAXWELL

donde es la permitividad, y es la permeabilidad (depende

de las propiedades del medio).

En suma, Maxwell no solo generaliz las ecuaciones preexistentes

sino que mostr que ellas conllevan una idea de propagacin de

estos campos

/

0

BE E

t

EB B

t

0

Ecuaciones de Maxwell admiten soluciones ondulatorios, como

se verificar a continuacin

A partir Teor. div Gauss y Teor. Stokes se obtiene las ec en forma diferencial

OBTENCIN DE LA EC. ONDA A PARTIR DELAS EC. MAXWELL

Tomando de:

Cambiar el orden de diferenciacin :

BE

t

[ ] [ ]B

Et

[ ] [ ]E Bt

Pero:

Substituyendo , se tiene:

EB

t

B

[ ] [ ]E

Et t

2

2[ ]

EE

t

[ ] [ ]E Bt

Asumiendo y son

const. en el tiempo.

(ley Faraday)

(ley Ampere-Maxwell)

OBTENCIN DE LA EC. ONDA A PARTIR DELAS EC. MAXWELL

Considerando,

surge:

Si suponemos cero densidad de carga: = 0

osea cada componente del campo obedece la

ecuacin diferencial de onda a condicin

2

2[ ]

EE

t

22

2( )

EE E

t

0E

22

2

EE

t

2[ ] ( )f f f

00

1v

00

1v

Los campos EM se propagan como ONDAS en el espacio libre.

Velocidad de propagacin:

En el espacio libre la velocidad pronosticada tericamente por Maxwell fue de

aprox. 300 000 km/s. Valor terico coincidi con el calculado experimentalmente

por Fizeau permiti a Maxwell concluir que la luz es una perturbacin

electromagntica en forma de ondas propagadas a travs del campo EM

LA LUZ ES UNA ONDA ELECTROMAGNETICA !!!!

Pero no es la nica!!!!!!!!!!!!!!

Puesto que mFo /1089.8

12

A/Tm o7104

Obtenemos para la velocidad de fase un valor de

c = 2.99108 m/s

Coincida con experimento Fizeau (realizados con una rueda dentada

rotatoria) 315000 Km/s.

Conclusin: la luz misma es una onda electromagntica. Este es un ej.

de una de las primeras unificaciones en fsica de dos ramas de la misma

que, en principio, parecan separadas como son el electromagnetismo y

la ptica y por lo tanto, uno de los mayores triunfos de la fsica del

siglo XIX.

oo

c1

Estas son ecuaciones de ondas tridimensionales viajeras para los

campos E y B con velocidad de fase

22

2

22 ),(),(

t

tx

x

txv

En una dimensin

- Es una onda transversal o longitudinal?

- Cmo viajan los campos E y B?

- Dado que en las ecuaciones de Maxwell

estaban fuertemente acoplados, como se

relacionan entre s?

Cuya solucin largamente conocida es:

)()(),( 21 vtxFvtxFtx

ONDAS LONGITUDINALES VS. TRANSVERSALES

El movimiento es a lo

largo de la direccin de

propagacin (ej. ondas

sonido)

El movimiento es

transversal a la direccin de

la propagacin (ej. ondas

cuerda vibrante)

Transversales:

Longitudinales:

las ondas luminosas son transversales?

Recordemos:

LAS ONDAS LUMINOSAS SON TRANSVERSALES?

Supongamos ondas luminosas son longitudinales, es decir tenemos unaonda se propaga en direccin x, y tenga campo a lo largo de x (no y, z), entonces las derivadas de y , z son :

en un medio libre de cargas

0y yz z

E BE B

y z y z

0 0E B

0 0y yx xz z

E BE BE B

x y z x y z

Sustituyendo

los valores

nulos:

Entonces campos

elctricos y magnticos

resultaran constantes.

y

0 0x xE B

x xand

NO

REPRESENTAN

UNA ONDA

CAMPOS EM

NO SON

LONGITUDINALES

El campo E asociado con la

onda plana es entonces

transversal a la direccin x

Supongamos entonces, sin prdida de generalidad que

jtxEE y ),(

CUL ES LA DIRECCIN DEL CAMPO MAGNTICO?

Supongo una onda que se propaga en la direccin x y tiene un campo elctrico a lo largo de la direccin y

Ex = Ez= 0 y Ey = Ey(x,t)

Usando

ley Faraday:

entonces

la nica componente no nula del campo magntico es z

0,0,yEB

t x

yzEB

t x

, ,y yx xz z

E EE EB E EE

t y z z x x y

En una onda EM los campos E y B son

PERPENDICULARES entre si (z e y) y

ambos se propagan a lo largo de la

direccin x

kx

E

EEE

zyx

kji

y

zyx

E

ktkxEkkx

Eoy

y )(cos

kt

BktkxEk oy

)(cos

Supongamos que el campo E oscila en el plano xy con lo cual la onda

esta linealmente polarizada en ese plano y consideremos una onda

armnica

Ey (x,t) = E0y sen (k x - t)

Por ley Faraday:

El campo B de la onda EM debe estar obligatoriamente en la

direccin de k. La componente z del vector B es la nica posible en

coincidencia con los que obtuvimos antes de forma general

kt

ktkxEk oy B

)(cos

ktkxsenBktkxsenEk

B ozoyz

)()(

oyz0 E

kB oyz0 Ev

1B

Calculemos el campo B:

Integrando:

Los campos E y B estn en FASE

Asimismo, se encuentra la relacin de amplitudes de los campos E y B:

En el vaco v = c

Ey (x,t) = E0y sen (k x - t))( tkxsenBB ozz

Si usamos la ley de Faraday

kx

Ejik

y

E

x

Ej

x

E

z

Ei

z

E

y

EtrE

yxyzxyz 00)()()(),(

kt

Bj

t

Bi

t

B

t

trB zyx),(

Los campos E y B son perpendiculares entre s, y

perpendiculares a la direccin de propagacin!!!!!

])(sen[),( 0 ctxkEtxEy ])(sen[),( 0 ctxkBtxBz

Los campos E y B de la OEM son perpendiculares entre s.

Ambos son perpendiculares a la direccin de propagacin de la onda (onda transversal

Las magnitudes de E y B estn en fase y se relacionan por la expresin

Las nicas componentes no constantes son Ey y Bz

cBE

EN RESUMEN EN LAS ONDAS ELECTROMAGNTICAS

Ondas Transversales.

E y B son perpendiculares.

E y B oscilan en fase.

E x B en la direccin de propagacin. E B k

instantnea de la onda

en un momento

Frecuencia (f) es el nmero de oscilaciones

por segundo

Longitud de onda ( ) es la distancia entre dos

puntos en la misma posicion de la onda

Frecuencia =c/ donde c es la velocidad de

luz

Caractersticas de las ondas EM

Energia es determinada por la frecuencia de

oscilacin

Long. onda ms corta mayor frec.

mayor energia

LAS ONDAS ELECTROMAGNTICAS CUBREN UN AMPLIO

ESPECTRO DE LONGITUDES DE ONDA (FRECUENCIAS)

10-1

100

101

102

103

104

infrarojo Rayos XUV

visible

Longitud de onda (nm)

microondas

radio

10-1

100

101

102

103

104

105106

Rayos gamma

Las longitudes de onda de las transiciones son algo arbitrarias

Rayos Gamma Rayos XVisibleMicroondas IR

Percibimos el color como resultado del predominio de determinadas

longitudes de onda de la luz.

El ojo responde a la luz visible con eficiencias diferentes en todo el espectro

visible (se vera en el Modulo II cuando estudiemos Fotometra).

Optica ser de inters el espectro visible

Ondas de radiofrecuencia

Las generadas por Hertz con 1 m. [1 km, 0.3 m]

f [1 Hz,109 Hz]Ondas emitidas por los circuitos elctricos (50 Hz).

No existe lmite terico a estas ondas.

Microondas

Intervalo de variacin[30 cm, 1 mm]

f [109 Hz, 3.1011 Hz]

Utilidad en radioastronoma y en la comunicacin de vehculos espaciales.

Las frecuencias de los microondas coinciden con la frecuencianatural de las molculas de agua (base de los hornos

microondas).

Una breve descripcin del espectro

electromagntico

Infrarrojo

f [3.1011 Hz, 4.1014 Hz]

Detectadas por Sir William Herschel en 1800

Subintervalos

IR cercano: 780 nm-3000 nm

IR intermedio: 3000 nm-6000 nm

IR lejano: 6000 nm-15000 nm

IR extremo: 15000 nm-1 mmCualquier molcula por encima de cero absoluto radiar en el IR (por

agitacin trmica).

Los cuerpos calientes radan IR en un espectro continuo (ej un radiador).

Aprox. la mitad de la energa electromagntica del Sol es IR.

El cuerpo humano tambin rada IR (emisin se utiliza para visin nocturna).Existen misiles que siguen el calor y que son guiados por IR.

La luz Sensibilidad del ojo humano: 400 nm-700 nm.

Newton fue el primero en reconocer que la luz blanca es mezcla de todos los colores del espectro visible.

El color no es una prop. de la luz en s misma, sino unamanifestacin de nuestro sistema de percepcin (luz no es amarilla,

la vemos amarilla, ya que con distintas mezclas de distintas long. de

onda podemos obtener la misma respuesta a nuestro ojo).

Ultravioleta

Descubiertos por Ritter sobre 1800: f [109 Hz, 3.1011 Hz]

Los rayos UV del Sol ionizan los tomos de la atmfera superior y as se crea la ionosfera. El ozono absorbe estos rayos

en la atmsfera.Para < 290 nm los UV son germicidas.

Los seres humanos no ven muy bien los UV porque los absorbe la crnea y el cristalino.

Rayos X

Descubiertos por Retgen (1845-1923):

f [2.4 1016 Hz, 5.1019 Hz]Se utilizan en medicina para radiodiagnstico.

Existen microscopios de RX.

Rayos Radiaciones electromagnticas con la longitud de onda ms corta.

Son emitidas por partculas que estn sujetas a transiciones dentro del ncleo atmico.

Es muy difcil observar fenmenos ondulatorios en esta parte del espectro electromagntico.

Ondas electromagnticas transportan energa y cantidad de movimiento:

luz estrella, radio, TV, comunicaciones.

La energa fluye en la direccin de propagacin de la onda.

La energa transportada se describe por laintensidad, es decir, la energa que por unidad de

tiempo y unidad de rea incide sobre una superficieperpendicular al rea de propagacin.

Densidad energa campo elctrico es:

Densidad energa campo magntico es

Usando B = E/c, y , que implican

tenemos:

densidades de energa elctrica y magntica iguales

La densidad total de energa que fluye

en forma de onda EM es debido por

igual a campos elctricos y magnticos

ONDA EM EXISTE EN ALGUNA ZONA DEL ESPACIO POR LO CUAL ES NATURAL

CONSIDERAR LA ENERGA RADIANTE POR UNIDAD DE VOLUMEN O DENS. ENERGIA.

2

2

1

2

1 1

2

E

B

U E

U B

2 21 1 1

2 2B EU E E U

2

E BU U U E

1c B E

El vector de Poynting que apunta en la direccin de propagacin de laenerga es, BE

S

De este modo la intensidad es el valor medio

VECTOR DE POYNTING : S = C2 E E X B

Como energa fluye en la direccin de propagacin definimos un vector:

S variable en el tiempo muy rpido (frec. pticas del orden 1015 Hz)

valor instantneo poco prctico, sugiere promediado

VECTOR DE POYNTING : S = C2 E X B

S : Potencia por unidad de rea

que cruza una superficie cuya normal

es paralela a S.

Justificacin:

Energa que atraviesa la zona A en tiempo t

= U V = U A c t

As, la energa x unid tiempo x unid superficie

U V / ( A t ) = U A c t / (A t ) = U c = c E2 = c2 E B

La direccin vector S es igual a la de E x B quecoincide con la direccin de propagacin de la onda, entonces en medios istropos energafluye en la direccin propagacin E B k

A

c t

U = densidad

energa

Como energa fluye en la direccin de propagacin definimos un vector:

onda EM que viaja con

veloc. c a travs rea A durante intervalo Dt

La energa promedio de una

onda luminosa por unidad de rea

es la INTENSIDAD.

Considerando una onda luminosa armnica, el vector de Poynting, resulta

Promedio cos2 es 1/2

2S c E B

2 2

0 0( , ) cos ( )S r t c E B k r t

/ 2

/ 2

1( , ) ( , ') '

t T

t T

S r t S r t dtT

amplitudes

2

0 0

( , ) ( , )

(1/ 2)

I r t S r t

c E B

modulo vector

E B k

S variable en el tiempo muy rpido (frec. pticas del orden 1015 Hz)

valor instantneo poco prctico, sugiere promediado

El vector de Poynting apunta en la direccin de

propagacin de la OEM

SSBE

I promedio`0

maxmax

2

1

Campo magntico

Campo elctrico

Direccin de

propagacin

La intensidad (I) es el valor promedio de la magnitud de S.

INTENSIDAD

Dado campos elctrico y magntico son perpendiculares y B0 = E0 / c,

210 02

I c E B

0

2

12 ~

I c E

resulta:

Operativamente usamos la potencia por unid. area (A) (densidad de energa (U) por unidad de tiempo (Dt) P = U/ Dt) .

I = U / (A t)

I = P / A

El efecto neto de introducir un dielctrico istropo y

homogneo en una regin del espacio libre es cambiar la

permitividad e y la permeabilidad m y consecuentemente

la velocidad

Operativamente no se trabaja con la velocidad de la

onda sino con un parmetro que la representa y es el

ndice de refraccin n :

n = c / v

00

1v