circuitos ii 1 2014

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1

ADVERTENCIA

1. Estas diapositivas son una gua de clase (no son un texto) y noreemplazan las referencias indicadas en la gua y/o el programa

del curso.

2. Las diapositivas resumen la presentacin oral realizada por el

docente.

3. Cada seccin, en su desarrollo o al final, menciona las referencias

condensadas en las diapositivas; tambin se incluyen referenciaspara profundizar en el tema.

4. Es responsabilidad del estudiante profundizar los temas vistos enclase, y mencionados en esta gua, utilizando el listado dereferencias.

5. Las dispositivas son para uso acadmico exclusivamente, notienen ningn valor comercial.

6. El programa del curso contiene detalles que complementan esta

gua de clase. 2

1. Circuitos Polifsicos

3

Sistema Monofsico de Tres Conductores

21

0

ZZ

VVV nban

=

==

2

12

1

II

III

II

bB

nN

aA

=

=

=Note que:

4

Sistema Bifsico de Tres Conductores

jVVV

VV

nb

an

==

=

90

0

2

12

1

II

III

II

bB

nN

aA

=

==Note que:

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2/45

5

Tringulo de Potencias

Angulo de potencia:

Factor de potencia:

Potencia promedio (real, activa):

Potencia reactiva:

Potencia aparente:

*.

)cos(

)cos(

IVVIS

tii

tvv

iv

im

vm

==

=

+=

VAVIS

VARVIQ

WVIP

iv

=

=

=

=

sin

cos

cos

22

mm iIv

V ==

6

Ejercicio 1

1. Escriba las ecuaciones de malla.

2. Calcular la potencia de cadaelemento (S = V. I*).

3. Hay balance de potencia?

L1

VVV

jZZZ

R

nban 0120

1052010

1

321

==

+===

=

Repetir lo anterior con las fuentes,

== 90120;0120 nban VV*.IVS=Potencia compleja:

7

Conexin Trifsica: Y Y

=

= =

240

1200

VV

VVVV

cn

bn

an

Corriente de neutro?

=

=

=

240

120

0

II

II

II

cC

bB

aA

8

Conexin Trifsica: Y Y

Diagrama por fase

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3/45

9

Corrientes Lnea y Fase

CNcC

BNbB

ANaA

II

II

II

=

=

=

10

Voltajes Lnea y Fase

= 303 anab VV

cnbnncbnbc

ancnnacnca

bnannbanab

VVVVV

VVVVV

VVVVV

=+=

=+=

=+=

11

Conexin Trifsica: Y -

12

Corrientes Lnea y Fase

= 303 ABaA II

BCCAcC

ABBCbB

CAABaA

III

III

III

=

=

=

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13

Voltajes Lnea y Fase

CAca

BCbc

ABab

VV

VV

VV

=

=

=

14

Transformacin - Y

3

=Z

ZY

15

Potencia Activa Trifsica

cos...33 aAANT IVPP ==

16

Potencia Activa Trifsica

cos...33 ABABT IVPP ==

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17

Ejercicio 2

Hallar el voltaje de lnea en el generador

0

5.0

208

=

=

=

II

R

VV

an

AB

atrasofp

WZP LT

8.0

300)(

=

=

Realizar losclculos por fase

Sugerencia: utilizar la magnitud del voltaje por fase, el factor de potencia,y la potencia activa por fase para hallar la corriente (magnitud y ngulo)

porfase; luego hacer la mallapara calcular Van. 18

Ejercicio 3

Para el sistema trifsico de secuencia positiva, hallar las corrientes delnea y la potencia compleja S en todos los elementos.

=

+=

=

=

=

510

105

10

5.0

0110

3

2

1

jZ

jZ

Z

R

Van

19

Ejercicio 4

Para el circuito mostrado calcular el valor de la capacitancia Cde tal formaque la parte imaginaria de la corriente total Isea cero. En otras palabras, lapotencia reactiva del condensador se cancela con la potencia reactiva de labobina.

L2

Cul sera la utilidad de los condensadores en un sistema de potencia?Cmo cambia la magnitud de la corriente en funcin del condensador?

20

Potencia Instantnea en Sistemas Trifsicos

)2cos1(cos2

cos2

cos2

2tVItVIP

tII

tVV

a

aA

an

+==

=

=

))2402cos(1()120(cos2

)120cos(2)120cos(2

2 +==

==

tVItVIP

tIItVV

b

bB

bn

Carga Resistiva

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21

Potencia Instantnea en Sistemas Trifsicos

))4802cos(1()240(cos2

)240cos(2

)240cos(2

2 +==

=

=

tVItVIP

tII

tVV

c

cC

cn

[ ]

VIP

tttVI

PPPP

T

cbaT

3

)4802cos()2402cos(2cos3

=

+++=

++=

22

Medicin de la Potencia Trifsica

23


24


++= T

cCcnbBbnaAan dtivivivT

P0

3 )(1

++= T

cCcxbBbxaAaxW dtivivivT

P0

)(1

nxcncx

nxbnbx

nxanax

vvv

vvv

vvv

+=

+=

+=

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25


+++++= T

cCnxbBnxaAnx

T

cCcnbBbnaAanW dtivivivT

dtivivivT

P00

)(1

)(1

+++++= T

cCbBaAnx

T

cCcnbBbnaAanW dtiiivT

dtivivivT

P00

)(1

)(1

0=++ cCbBaA iii

++= T

cCcnbBbnaAanW dtivivivT

P0

)(1

26


+= T

bBbcaAacW dtiviv

TP

0)(

1

27

Ejercicio 5

Hallar la corriente de lnea y la potencia total activa consumida por lacarga; utilizar anlisis por fase.

L3

=== 5;10;0208 Yab RjZV

28

REFERENCIAS

1. Alexander, C.K. y Sadiku, M. N. O.: Fundamentos de Circuitos Elctricos,McGraw Hill, Madrid, 2006.

2. Boylestad, R.L.: Anlisis Introductorio de Circuitos, Prentice Hall, 1997.

3. Dorf, R.C. y Svoboda, J.A.: Introduction to Electric Circuits, Wiley, NewJersey, 2006.

4. Hayt, W.H. y Kemmerly, J.E.: Anlisis de Circuitos en Ingeniera,

McGrawHill, 1988.

5. Karris, S.T.: Circuit Analysis I & II, Orchard Publications, Fremont, 2003.

6. Scott, D.E.: Introduccin al Anlisis de Circuitos, McGraw Hill, Madrid,

1989.

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8/45

29

2. Respuesta en Frecuencia

30

Decibeles

31

Ancho de Banda, Octava, Dcada

BW = 2 -1

Octava: 2 = 21

Dcada: 2 = 10132

Diagrama de Bode Asinttico

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9/45

33

Diagrama de Bode Asinttico - Magnitud

Ganancia: dBK10log.20 KsT =)(

34


Cero o Polo en el Origen ssT =)(

35


Cero o Polo Real ssT += 1)(

36


Factor cuadrtico (denominador):

s = j

2

21

1)(

++

=

nn

jj

sT

2

2

21)(

sssT

n

n

++=

2

0

2

0

21)(

sssT

++=

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37


2

21

1)(

++

=

nn

jj

sT

38

Diagrama de Bode Asinttico - Fase

Ganancia PositivaKsT =)(

39


Ganancia Negativa KsT =)(

40


Cero en el Origen ssT =)(

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11/45

41


Cero Real ssT += 1)(

42


Cero Real ssT = 1)(

43


2

21

1)(

++

=

nn

jj

sT

44

Ejemplo 1

)(

)()( 0

jV

jVjT

s

=

mSgfFCkRkRkR mgs 4582.180010 0 =====

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45

Ejemplo 1 Funcin de Transferencia

CjR

Cj

R

R

CjR

Cj

R

V

V

g

g

s

g

g

s

c

1

1

++

+=

00 R

V

Vg

V

V

s

cm

s

=

)104(101.8

1082.555

6

0

+=

xjx

x

V

V

s

46

Ejemplo 1 Bode Asinttico de Magnitud

)104(101.8

1082.555

6

0

+=

xjx

x

V

V

s j

K

x

jV

V

s +=

+=

1

10938.41

185.7

11

0

47

Ejemplo 1 Bode Asinttico de Magnitud

j

K

x

jV

V

s +=

+=

1

10938.41

185.7

11

0

48

Ejemplo 1 Bode Asinttico de Fase

j

K

x

jV

V

s +=

+=

1

10938.41

185.7

11

0

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49

Ejemplo 1 Bode Asinttico de Fase

j

K

x

jV

V

s +=

+=

1

10938.41

185.7

11

0

50

Ejemplo 1 Diagrama de Bode

51

Segundo Orden (0 , , Q)

Relacin entre factor de calidad y

amortiguamiento?

2

1=Q

Un segundo orden puede tener ceros

52

Ejercicio 1

Para el circuito mostrado: (i) calcule la funcin de transferencia; (ii) hallarla frecuencia de resonancia 0; (iii) calcular el factor de calidad Q y elcoeficiente de amortiguamiento ; (iv) hallar la frecuencia max para la cualla amplitud alcanza el mximo valor; (v) d ibujar el diagrama de bodeasinttico para magnitud y fase.

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14/45

53

Sugerencia

Dibujar el circuito en el dominio de la frecuencia compleja s y luego hallarla funcin de transferencia en trminos de s.

54


L4

55

Filtros Pasivos

56

Circuitos Filtros Pasivos

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15/45

57

Filtros Activos Sallen - Key

El denominador define la respuesta de segundo orden del

filtro (Q, 0, ). 58

Ganancia K

59

Ejemplo 2

Para el circuito mostrado. (i) calcule la funcin de transferencia V0(s)/Vi(s);(ii) dibujar los diagramas de Bode de amplitud y fase; (iii) utilizando eldiagrama de Bode hallar las frecuencias para la ganancia de -40 dB; (iv) s ivi(t) = 5 cos(1000t + 10

0), use el diagrama de Bode para ca lcular la salidav0 (t).

Se transforma el circuito al dominio de la frecuenc ia como se muestraen seguida.

60

Ejemplo 2

(i) Por divisin de tensin,

La funcin de transferencia es,

52

0

101000

1000

)(

)()(

++==

ss

s

sV

sVsG

i

)(

1001.010

100)(

40 sV

ss

sVi

++=

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16/45

61

Ejemplo 2 - Diagrama de Bode

http://www.wolframalpha.com

Hz

62

Ejemplo 2 - Diagrama de Nyquist

http://www.wolframalpha.com

63

Ejemplo 2 - Diagrama de Nichols

http://www.wolframalpha.com64

Aplicacin

Audiometra

La respuesta en frecuencia del OD se considera normal, la respuesta OIpresenta problemas. Explicar en palabras lo que sucede con esta persona.

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65

Ejercicio 2

Para el circuito mostrado: (i) calcular la func in de transferencia; (ii) hallarQ, 0 , (comparar con el denominador del segundo orden); (iii) estimar lafrecuencia de corte (- 3 dB); (iv) hallar la fase para esta frecuencia.Recuerde que la funcin de transferencia es una cantidad compleja.

?)(

2

2)(

)(

)(0

=

===

c

c

jsi

jT

jTsV

sV

c

L5

Identificar los prmetrosQ, 0 , usando slo

el denominador de la funcin de transferencia

Note: 20 log (2/2) = - 3 dB

Sugerencia:

66

Resonancia Serie

67

Resonancia Serie

En resonancia,

68

Factor de Calidad en Resonancia Serie

En resonancia:

Por definicin:

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18/45

69

Factor de Calidad en Resonancia Serie

70

Resonancia Paralelo

71

Factor de Calidad en Resonancia Paralelo

En resonancia paralelo,

En resonancia,

Por definicin:

72

Frecuencias de Mitad de Potencia Ancho de Banda

La potencia para 1y 2 es = (2/2)2

1201 == BWLC

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19/45

73

Ejercicio 3

Para un circuito RLC serie en resonancia con Vs = 110 00, R = 1.0 , XL= 10 , L = 0.5 mH. En resonancia calcular I0 , 0 , C , VR0 , lasmagnitudes de VL0 y VC0 . Dibujar el diagrama fasorial para los voltajes.

74

Ejercicio 4

Para el circuito RLC: (i) calcular la funcin de transferencia Vo(s)/Vi(s);(ii) hallar la frecuencia de corte (- 3 dB); (iii) calcular la fase para estafrecuencia; (iv) hallar la frecuencia de resonancia; (v ) hallar Q, ;(vi) Dibujar la magnitud de la respuesta en frecuencia, indicando las dosfrecuencias.

2

2)(

)(

)(0 ==

=

c

jsi

jTsV

sV

c

L6

2

002

2

0

2

00

2

2

0

2)(

++=

++=

s

Q

sss

sTEl denominador

determina los modos de

la respuesta.

Frecuencia de corte

75

Videos

En el sitio YouTube buscar el canal de Diligent, Inc.

Estudiar los videos:

1. Introduction to Frequency Response

2. Practical Filters

3. Bode Plots

76

REFERENCIAS

1. Alexander, C.K. y Sadiku, M. N. O.: Fundamentos de Circuitos Elctricos,McGrawHill, Madrid, 2006.

2. Dorf, R.C. y Svoboda, J.A.: Introduction to Electric Circuits, Wiley, NewJersey, 2006.

3. Hayt, W.H. y Kemmerly, J.E.: Anlisis de Circuitos en Ingeniera,McGrawHill, 1988.


5. Kuo, F.: Network Analysis and Synthesis, John Wiley & Sons, New York,

1966.

6. Salcedo, L. y Basto, J.: Notas de Clase para el Curso de Seales ySistemas II con Aplicaciones en Scilab, Trabajo de Grado, Departamentode Ingeniera Elctrica y Electrnica, Universidad Nacional de Colombia,

Bogot, 2011.

7. Yang, Y. y Fernndez, A.: Notas de Clase, www.ee.ucl.ac.uk, 2000.

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20/45

77

3. Circuitos Acoplados

Magnticamente

78

Ley de Faraday

79

Bobinas Acopladas Mutuamente

80


)()()(

)()()(

2212

2111

sIsLssMIsV

ssMIsIsLsV

+=

+=

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21/45

81

Ejemplo 1

)()(

)()()(

222

111

sIRsV

sIRsVsV i

=

=

)()()(

)()()(

2212

2111

sIsLssMIsV

ssMIsIsLsV

=

=

)()()(0

)()()()(

2221

2111

sIRsLssMI

ssMIsIsLRsVi

=

+=

82


83

Energa

La prueba para amboscasos se deja al lector

84

Coeficiente de Acoplamiento

En la ltima ecuacin podemos completar el cuadrado,

Para que la energa sea positiva .

El cociente se denomina coeficiente de acoplamiento,

Fsicamente k es una medida de la proximidad de las bobinasprimaria y secundaria, 0 k 1.

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22/45

85

Ejercicio 1

1. Para el circuito mostrado, M = 40 mH, L1 = L2 = 50 mH.

Hallar los voltajes inducidos si: (a) i1 = 10 mA, i2 = 15 mA; (b) i1 = 10 mA,i2 = 15 sin 377t mA; (c) i1 = 10 cos377t mA, i2 = 15 sin(377t + 60

o ) mA;

86

Ejercicio 2

2. Hallar la magnitud de V2/ V1.

87

Ejercicio 3

Hallar: (a) voltajes para cada inductancia; (b) energa total almacenada enel sistema. La resistencia de cada bobina es despreciable.

L7

=

0..

......

.0.

......

..0

..0

21

21

2221

1112

NkNN

kNkk

Nk

Nk

MMM

MMM

MMM

MMM

M

=

N

k

L

L

L

L

L

.0.00

......

0..00

......

0.0.0

0.0.0

2

1

M es simtrica

Calcular la energa mnima en el sistema88

Ejercicio 3

=

NNNkNN

kNkkkk

Nk

Nk

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

L

..

......

..

......

..

..

21

21

222221

111211

LIIW T

21=

=

N

k

I

I

I

I

I

.

.

2

1

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23/45

89

Energa Campo Magntico N Bobinas

Para N bobinas, rgidas y estacionarias, con corrientes ij(t) y flujos totalesj(t), a travs de cada bobina, la energa total almacenada en el campomagntico sigue la expresin,

=

=N

j

jjIW12

1

=

=N

k

kjkj IL1

Expresando los flujos en trminos de auto inductancias e inductancias

mutuas,

Reemplazando,

= =

=N

j

N

k

kjjk IILW1 12

1

90

Energa Campo Magntico N Bobinas

L7

En el caso de dos bobinas y un flujo externo para todo el sistema,

])()[(2

122221211212111 IILILIILILW +++++=

)(2

1

2

1

])()2[(2

1

212112

2

222

2

111

22221212111

IIIILILILW

IILIILILW

++++=

++++=

[ ]

=

+=

2

1

2221

1211;

2

1

I

III

LL

LLIIW TT

Las inductancias mutuas son simtricas

91

Circuitos con Transformadores Lineales

92

Impedancia Reflejada

Hallar Zi,

Ecuaciones de malla en el dominio de la frecuencia,

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24/45

93


Despejando el voltaje de entrada,

La impedancia de entrada,

94

El Transformador Ideal - Resumen

95

El Transformador Ideal

2222

1111

icN

icN

=

=

222222

111111

iLN

iLN

==

==

2

2

1

2

2

1

2

2

22

2

11

aN

N

L

L

cNLcNL

==

==

(1) (2)

(3)

96


En el transformador ideal jL2 >> ZL, por lo tanto,

Adicionalmente en el transformador ideal k = 1, entonces,

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25/45

97


Combinando las relaciones de corriente y nmero de espiras se tiene,

La impedancia reflejada del transformador lineal es,

Aplicando las condiciones del transformador ideal se tiene

Los voltajes se relacionan,

Combinando las relaciones de corriente y voltaje, 98


La impedancia reflejada del transformador lineal es,

L

ii

zLj

MLj

I

Vz

++==

2

22

1

1

22

212 )()( MzLjLjzLjz LLi ++=+

22

121

2

2 )( MzLjLLzLjz LLi ++=+

LLi zLjzLjz 12 )( =+

2

2

1

2

1

2

1

)( a

z

L

zL

Lj

zLj

zLj

zLjz LLL

L

Li ===+

=

99

Frmulas del Transformador Ideal

100

Ejercicio 4 Transformador Lineal

1. Hallar la respuesta total de i2 para t > 0. Las condiciones iniciales soncero.

En el dominio de Laplace para t >0,

El operadors est en laimpedancia de loselementos

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26/45

101

Ejercicio 5 Transformador Ideal

2. El amplificador mostrado tiene una impedancia interna de 100 k y laimpedancia del altavoz es 10 . Calcular el radio de espiras de ltransformador.

L8 102

REFERENCIAS



3. Dorf, R.C. y Svoboda, J.A.: Introduction to Electric Circuits, Wiley, New

Jersey, 2006.



6. Scott, D.E.: Introduccin al Anlisis de Circuitos, McGrawHill, Madrid,1989.

103

4. Redes de Dos Puertos

104

Definicin

Parmetros {y, z, h, g, t} : {v1 , v2}, {i1 , i2}

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27/45

105

Mtodos de Solucin

Para calcular los parmetros {y, z, h, g, t} hay dos mtodos:

1. Por definicin:(i) abrir el circuito o hacer corto circuito donde se

requiera; (ii) aplicar una fuente de prueba voltaje o corriente de unvoltio o un amperio; (iii) calcular los restantes voltajes o corrientes;(iv) aplicar la definicin para hallar los parmetros.

2. Escribir ecuaciones de mallas o ecuaciones de nodos y luegorealizar algebra para organizar las variables segn la definicin delos parmetros requeridos.

106

Parmetros y

Una red de dos puertos se puede describir por,

En teora de redes, los coeficientes y se denominan parmetros y.

Estos se pueden calcular as:

1. admitancia de entrada en corto circuito

2. admitancia de transferencia en corto circuito

3. admitancia de salida en corto circuito

4. admitancia de transferencia en corto circuito

107

Parmetros z


En teora de redes, los coeficientes z se denominan parmetros z.

Estos se pueden calcular as:

1. impedancia de entrada en circuito abierto

2. impedancia de transferencia en circuito abierto

3. impedancia de salida en circuito abierto

4. impedancia de transferencia en circuito abierto

108

Ejercicio 1

Para el circuito mostrado, calcular los parmetros {y, z}.

L9

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28/45

109

Parmetros h


Los parmetros h representan una impedancia, una ganancia devoltaje, una ganancia de corriente, y una admitancia. Estos sepueden calcular as:

1. impedancia de entrada

2. ganancia de voltaje

3. ganancia de corriente

4. Admitancia de salida 110

Parmetros g


Los parmetros g se utilizan en amplificadores paralelo serie. Estosse pueden calcular as:

1. admitancia de entrada

2. ganancia de voltaje

3. ganancia de corriente

4. Impedancia de salida

111

Parmetros t

Una red de dos puertos se puede describir con los parmetros de

transmisin [t],

02

1

02

1

22 ==

==VI

I

VB

V

VA

02

1

02

1

22 ==

==VI

I

ID

V

IC

112

Red Recproca - Red Simtrica

Si cualquiera de las siguientes relaciones existe en una red de dospuertos,

Si adems existe una de estas relaciones,

Una red se dice recproca si el voltajeen el puerto 2 debido a la corrienteen el puerto 1 es igual al voltaje en elpuerto 1 cuando se aplica la mismacorriente al puerto 2.

Una red es simtrica si la impedanc ia deentrada es igual a la impedancia de

salida. A menudo, pero nonecesariamente, las redes recprocas

tambin son fsicamente simtricas.

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29/45

113

Redes Recprocas

114

Redes Simtricas

115

Ejercicio 2

(a) Hallar los parmetros [y] para la red mostrada; usar la tabla para hallar losparmetros [t] correspondientes.

(b) Hallar los parmetros [h] para la red mostrada,

116

Resumen

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30/45

117L10

118

Interconexin de Redes - Serie

119

Interconexin de Redes - Paralelo

120

Interconexin de Redes - Cascada

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31/45

121

Ejercicio 3

Hallar los parmetros [z] para el circuito,

Dibujar el circuito en el dominio de Laplace 122

Ejercicio 4

Hallar los parmetros [y] para el circuito,

Dibujar el circuito en el dominio de Laplace

123

Ejercicio 5

Hallar los parmetros [t] para la red mostrada,

L11124

REFERENCIAS



3. Dorf, R.C. y Svoboda, J.A.: Introduction to Electric Circuits, Wiley, New

Jersey, 2006.



6. Kuo, F.: Network Analysis and Synthesis, John Wiley & Sons, New York,1966.

7. Scott, D.E.: Introduccin al Anlisis de Circuitos, McGrawHill, Madrid,

1989.

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32/45

125

5. Circuitos no Lineales

126

Motivacin

Circuito tpico de una lmpara fluorescente compacta y su corriente,

127

Motivacin

Voltaje y corriente para lmparas compactas fluorescentes como funcinde la potencia,

128

Motivacin

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33/45

129

MotivacinCFL de 15 W

028.0;035.0;)( 2

==+= babvavvi 130

Smbolos de Elementos No lineales

131

Circuito con Elemento no Lineal

132

Caracterstica del Elemento no Lineal

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34/45

133

Mtodo Analtico

134

Mtodo Grfico

135

Mtodo Grfico

136

Mtodo Grfico

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35/45

137

Ejemplo 1

138

Ejemplo 1Distorsin c

ausada por el

elemento no lineal.

139

Ejemplo 1Sin distorsin

140

Ejercicio 1

Hallar el punto de operacin (i, v ) para el circuito mostrado por losmtodos analtico y grfico,

2iv=

L12

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36/45

141

Memristor

L. Chua

142

Memristor

143

Memristor de Dixido de Titanio

Williams, S., IEEE Spectrum, Dec., 2008.

144

Operacin del Memristor

Williams, S., IEEE Spectrum, Dec., 2008.

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37/45

145

Simulacin del Memristor

Williams, S., IEEE Spectrum, Dec., 2008. 146

Considere de nuevo el modelo matemtico del memristor propuesto por losingenieros de HP,

ixv

ix

).(

.

+=

=& Modelo HP del memristorx: variable de estado

v: voltaje; i: corriente

Los valores tpicos para los parmetros del modelo HP son,

1121410

10

100

100

=

=

=

=

Vsm

nmD

R

R

R

v

ON

OFF

ON

OFF

OFFON

ONv

R

D

RR

D

R

=

=

=

R: resistencia en estados ON y OFF

D: tamao del memristor

v : movilidad tomos oxgeno


147


Williams, S., IEEE Spectrum,Dec., 2008.

148

Ejemplo 2

El modelo matemtico del memristor propuesto por los ingenieros de HPobedece las ecuaciones,

ixv

ix

).(

.

+=

=&Modelo HP del memristor

x: variable de estado

v: voltaje; i: corriente

Memristencia

Deducir las relaciones,

qmmqM

iqMv

10)(

).(

+=

=

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38/45

149

Ejemplo 2

Reemplazando en la relacin voltaje corriente,

iqv )..( +=

Finalmente,

Escribiendo de nuevo,

iqMv ).(=

=

=

+=

0

1

10 .)(

m

m

qmmqM

Integrando la ecuacin de estado,qx .=

150

Solucin ED del Memristor

De la primera ecuacin,

qx .=

Reemplazando en la segunda ecuacin,

dt

dqqv )...( +=

El voltaje aplicado es,

tAv sin.=

ixv

ix

).(

.

+=

=&

Ecuacin memristor

151

Solucin ED del Memristor

Multiplicado por los diferenciales,

Integrando,

Evaluando la condicin inicial q(0) = 0,

dqqdttA )...(.sin. +=

La solucin de la ecuacin cuadrtica produce el resultado q(t); lacorriente se obtiene al derivar la carga i = dq/dt.

CqqtA

++= ..2

.cos

2

qqtA

..

2

.)cos1( 2

+=

152

Ejercicio 2

(a) Repetir el procedimiento anterior para el sigu iente elemento,

ixv

ix

..

.

=

=&

(b) Hallar la corriente i, recuerde que la corriente es la derivada de lacarga. El voltaje de entrada es e l mismo anterior.

Formula

tba

tbtbadt

d

cos2

sincos +

=+

L13

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39/45

153

Funcin Descriptiva

154

Definicin

La Funcin Descriptiva reemplaza elementos no lineales por ganancias

lineales; es un intento por extender el concepto de funcin detransferencia a los sistemas no lineales.

Considere un elemento no lineal {real, impar, esttico} y(x) con entrada,

sinsin atav ==

La funcin descriptiva se define como,

=

0

.sin)sin(.

2)( day

aa

155

Ejemplo 3

156

Ejemplo 3

Finalmente,

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40/45

157

Ejercicio 3

Para la caracterstica IV mostrada probar que la funcin descriptivaobedece las relaciones,

158

Preparacin Examen

Para la caracterstica IV del memristor hallar la funcin descriptiva.

159

Preparacin Examen

Considere el ciclo de histresis, entre flujo ligado sinusoidal (entrada) ycorriente de excitacin (salida), para un transformador monofsico. Hallarla funcin descriptiva.

160L14

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41/45

161

6. Sntesis de Circuitos

Notas de Clase

www.ee.ucl.ac.uk

Dr. Yang Yang

Dr. Anbal Fernndez 162

Anlisis - Sntesis

Anlisis: Se conoce la entrada u(t) y el circuito, hallar la salida.

Sntesis: La entrada u(t) y la salida y(t) se conocen, hallar el circuito.

163

Condiciones para Realizabilidad

1. K real y positiva.

2. | n m | 1

3. Polos y ceros deben ser reales o en parejas complejos conjugados.

4. Polos y ceros a la izquierda del plano complejo.

5. Polos y ceros en el eje imaginario en pares complejos conjugados yno repetidos.

6. Re [ Z(j) ] 0,

Similar para Y(s)

Red de un Puerto

164

Ejercicio 1

(a) Verificar las condiciones de realizabilidad (1 - 5) para Z(s),

ss

sssY

9

462)(

3

2

++

=

(b) Verificar las condiciones de realizabilidad (1 - 5) para Y(s),

(c) Verificar las condiciones de realizabilidad (6) para Z(s),

2353)(

2 ++ += ssssz

22)).(( bajbajba +=+Recuerde:

1234

391312)(

23

23

+++

+++=

sss

ssssZ

L15

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42/45

165

Sntesis Cauer

La sntesis de Z(s) inicia con elemento serie, la sntesis de Y(s) iniciacon elemento en paralelo. 166

Ejemplo 1

1234

343

1234

391312)(

23

2

23

23

++++

+=++++++

=sss

ss

sss

ssssY

ss

ss

ss

ssssZ

34

12

34

1234)(

22

23

++

+=+

+++=

122

12

34)(

2

++=

++

=s

ss

s

sssY

ss

ssZ

12

12)( +=

+=

ssY =)(

Dada Y(s), aplicar el mtodo de Cauer.

167

Ejemplo 1

Recuerde lo siguiente para una bobina y un condensador,

sCsZ

sLsZ

1)(

)(

=

=

sCsY

sLsY

=

=

)(

1)(

Donde s es el operador de Laplace. 168

Circuitos con Resistencia

42

12

2

7)(

+=

ssY

84

12

2

1)(

+=

s

ssY

Dividiendo,

Restando la admitancia de 1/2 :

ss

ssZ

3

2

3

1

12

84)( +=

+=Se invierte y divide,

Residuo Negativo

Hallar el circuito Cauer para Y(s),

42

27)(

++

=s

ssY

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43/45

169

Circuitos con Resistencia

2

3)( s

sY =

Finalmente,

170

Restando Resistencia

La solucin consiste en restar una resistencia/conductancia,

En el denominador, el factor constantese hace cero para evitar que aparezcaun signo negativo en la divisin.

42

)42()27(

42

27)(

++

=++

=s

kskk

s

ssY

)42()27(

42)(

ksk

ssZ

++

=

s

ssZ

6

42)(

+=

2

1=k

171

Restando Inductancia o Capacitancia

ss

sssY

5

18153)(

2

2

+++

=

Hallar el circuito para la admitancia,

En este caso aparece un e lemento proporcional a s2, lo cual no esposible con elementos pasivos.

- Verificar con el proceso Cauer -

172

Restando Inductancia o Capacitancia

sss

kskssss

s

k

ss

sssY

)5(

518153

5

18153)(

2

223

2

2

+++

=+

++=

La solucin consiste en restar una inductancia/capacitancia,

)5(

)518()15(3)(

2

2

ss

kskssY

+++

=

5

180518

)518()15(3

)5()(

2

2

==

++

+=

kk

ksks

sssZ El ltimo trmino se hace

cero para evitar queaparezca con signo negativoen la divisin.

5/25/2018 Circuitos II 1 2014

44/45

173

Filtros - Secciones de Primer Orden

174

Amplificador Operacional Ideal

Propiedades:

1. Impedancia de entrada infinita.

2. Impedancia de salida cero.

3. Ganancia infinita.

4. Ancho de banda infinito.

5. Si V1 = 0 entonces V2 = 0.

175

Filtros - Secciones de Segundo Orden

176

Ejercicio 2

L16

ss

sssYa

2

34)()(

3

24

+++

=

3

42

2

43)()(

ss

sssYb

+++

=

Dibujar los circuitos para las admitancias dadas, dibujar los elementosR, L, C.

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45/45

177

REFERENCIAS

1. Kuo, F.: Network Analysis and Synthesis, John Wiley & Sons, New York,1966.

2. Navas, F.: Anlisis Avanzado de Circuitos Elctricos, Facultad deIngeniera, Universidad de los Andes, Vol. 1 & 2, 2006.

3. Salcedo, L. y Basto, J.: Notas de Clase para el Curso de Seales ySistemas II con Aplicaciones en Scilab, Trabajo de Grado, Departamento

de Ingeniera Elctrica y Electrnica, Universidad Nacional de Colombia,Bogot, 2011.

4. Scott, D.E.: Introduccin al Anlisis de Circuitos, McGrawHill, Madrid,

1989.

5. Van Valkenburg, M.E.: Introduction to Modern Network Synthesis, JohnWiley & Sons, New York, 1960.

6. Van Valkenburg, M.E.: Analog Filter Design, Oxford University Press, New

York, 1982.

circuitos ii 1 2014

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