cinématique du solide f. socheleau. 1 -définition du solide indéformable. soit r un repère de...

Cinématique du solide

F. Socheleau

1 - Définition du solide indéformable.

Soit R un repère de référence d’origine O .

Soit (S) un solide

Soit S un repère lié au solide (S)

Soient A et B deux points quelconque du solide indéformable (S)

)(),( SBA teCAB t

OR

S

S

AB

2 - Champ des vitesses d’un solide.

OR

S

S

AB

2.1 - Torseur distributeur des vitesses.

AB(S/R)Ωdt

ABd

dt

ABd

SR

teCAB 0 dt

ABd

S

avec dans le repère S

0

Rdt

OAdRSAV )/,(

Rdt

OBdRSBV )/,(

Or par définition : car A est fixe / S et O est fixe / R

car B est fixe / S et O est fixe / R

RR

dt

OBAOd

dt

ABd

)/,()/,( RSBVRSAVdt

ABd

R

RRdt

OBd

dt

AOd

RRdt

OBd

dt

OAd

AB(S/R)Ω


OR

S

S

AB


)/,()/,( RSBVRSAVdt

ABd

R

AB(S/R)Ω

AB(S/R)Ω (B,S/R)V (A,S/R)V

(S/R)ΩAB (B,S/R)V (A,S/R)V

On reconnait ici la formule d’un champ de moment d’un torseur entre les points A et B.

Moment en A Moment en B Résultante


OR

S

S

AB


On définit donc un torseur distributeur des vitesses :

S/R)(A,V

(S/R)V(S/R) A

(S/R)Ω

)/,( RSAV est le moment du torseur distributeur des vitesses du solide S dans son mouvement par rapport au repère R au point A. C'est le VECTEUR VITESSE DU POINT A appartenant au solide (S) dans son mouvement par rapport au repère R.

est la résultante du torseur distributeur des vitesses du solide S dans son mouvement par rapport au repère R au point A. C'est le VECTEUR ROTATION du solide (S) dans son mouvement par rapport au repère R.


2.2 - Théorème de l’équiprojectivité des vecteurs vitesses.

)/,( RSBV)/,( RSAV


AB

AB(S/R)ΩAB AB(B,S/R)V AB(A,S/R)V ...

AB(B,S/R)V AB(A,S/R)V ..

(A,S/R)V(B,S/R)V

Soit en multipliant scalairement par

Interprétation : La projection orthogonale de sur (AB), est égale à la projection orthogonale de sur (AB), (même sens et même longueur).

A B

3 - Champ des accélérations d’un solide.

Question : Existe-t-il un torseur des accélérations

????(A,S/R)Γ

(S/R)ΩA(S/R) A

Rdt

(S/R)Ωd (S/R)Ω

Rdt

(A,S/R)Vd(A,S/R)

(S/R)AB(B,S/R)(A,S/R)

Avec

Relation d’un champ de moment de torseur

S/R)(A,V

(S/R)V(S/R) A dt

d



Question : Existe-t-il un torseur des accélérations

????(A,S/R)Γ

(S/R)ΩA(S/R) A

On sait :

RRRRdt

(S/R)ΩdAB(S/R)Ω

dt

ABd

dt

(B,S/R)Vd

dt

(A,S/R)Vd

RSdt

(S/R)ΩdAB(S/R)Ω AB(S/R)Ω

dt

ABd(B,S/R)Γ(A,S/R)Γ

R

dt

(S/R)Ωd AB(S/R)Ω AB(S/R)Ω(B,S/R)Γ(A,S/R)Γ

(S/R)AB(B,S/R)(A,S/R)


R

dt

(S/R)Ωd AB(S/R)Ω AB(S/R)Ω(B,S/R)Γ(A,S/R)Γ

Cette formule est a appliquer que si le point A n’est pas fixe (n’appartient pas) par rapport au solide S.

Si le point A est fixe (appartient) par rapport au solide S, il faut mieux utiliser la définition :

Rdt

(A,S/R)Vd (A,S/R)Γ car A est fixe / S

5 - Composition des torseurs distributeurs des vitesses.

),,;( 11111 ZYXORLe repère lié au solide (S1).

Le repère lié au solide (S2).

Le repère lié au solide (S3).

),,;( 22222 ZYXOR

),,;( 33333 ZYXOR

Liaisons

1R

1O

2R

2O

3R

3O

M

Soit le point M appartenant au solide (S3) donc au repère R3.


5.1 - Composition des vecteurs vitesses.

111

2211

RRRdt

MOd

dt

OOd

dt

MOd

Soit en dérivant, par rapport au temps, dans le repère R1.

MOOO MO 2211

MO)/R(RΩdt

MOd)/R,R(OV)/R(M,RV

R

2122

12213

2

)/R(RΩMO)/R(M,RV)/R,R(OV)/R(M,RV 1222312213

)/R(RΩMO)/R,R(OV)/R(M,RV)/R(M,RV 1221222313

)/R(M,RV)/R(M,RV)/R(M,RV 122313

Liaisons

1R

1O

2R

2O

3R

3O

M



)/R(M,RV)/R(M,RV)/R(M,RV 122313

Vitesse absolue Vitesse d’entrainementVitesse relative

La vitesse relative se calcule par dérivation vectorielle ou par cinématique du solide

2

223

Rdt

MOd)/R(M,RV

)/( 23323323 RRMO)/R,R(OV)/R(M,RV

car M est fixe / R3 et O2 est fixe / R2

La vitesse d’entrainement se calcule uniquement par cinématique du solide

1

112

Rdt

MOd)/R(M,RV

)/( 12212212 RRMO)/R,R(OV)/R(M,RV

M est fixe / R3 et O1 est fixe / R1

)/R(M,RV)/R(M,RV)/R(M,RV 122313

Interprétation :

1R

1O

2R

2O

3R

3O

M 1R

1O

2R

2O

3R

3O

M

1R

1O

2R

2O

3R

3O

M

Mouvement 2/1 Mouvement 3/2

3R

3O

M

Liaison encastrement

Liaison encastrement

Position à l’instant : t0

Position à l’instant : t1

Liaison encastrement Liaison

encastrement

Mouvement 2/1 Mouvement 3/2




5.2 - Composition des vecteurs rotations.

)/R(P,RV)/R(P,RV)/R(P,RV 122313

)/(

)/()/(

1212

23231313

RRPM)/R(M,RV

RRPM)/R(M,RVRRPM)/R(M,RV

)/()/()/( 122313 RRPMRRPMRRPM

)/()/()/( 122313 RRRRPMRRPM

)/()/()/( 122313 RRRRRR


5.3 - Composition des torseurs distributeur des vitesses.

)/R(M,RV)/R(M,RV)/R(M,RV 122313

)/()/()/( 122313 RRRRRR

)/R(M,RV

)/R(RΩ)/RV(R M

13

1313Or

Résultante

Moment

MMM )/RV(R)/RV(R)/RV(R 122313

Généralisation :

MMnnMnnMn )/RV(R)/RV(R)/RV(R)/RV(R 122111 ....


5.3 - Composition des torseurs distributeur des vitesses.

MMM )/RV(R)/RV(R)/RV(R 122313 Conséquence :

MM

MMMM

)/RV(R)/RV(R

)/RV(R)/RV(R)/RV(R)/RV(R

2113

12232313

MMM )/RV(R)/RV(R)/RV(R 211323

MM )/RV(R)/RV(R 2112

MMM )/RV(R)/RV(R 21120

)/R(M,RV)/R(M,RV 2112

)/()/( 2112 RRRR

6 - Composition des vecteurs accélérations.

)/R(M,RV)/R(M,RV)/R(M,RV 122313

Vitesse absolue Vitesse d’entrainementVitesse relative

Rappel (§5.1)

)/R(RΩMO)/R,R(OV)/R(M,RV)/R(M,RV 1221222313

Liaisons

1R

1O

2R

2O

3R

3O

M


)/R(RΩMO)/R,R(OV)/R(M,RV)/R(M,RV 1221222313 Soit en dérivant, par rapport au temps, dans le repère R1.

)/R(M,RΓdt

)/R(M,RVd

R

1313

1

car M est fixe / R3

)/R(M,RV)/R(RΩ dt

)/R(M,RVd

dt

)/R(M,RVd

RR

23122323

21

)/R(M,RV)/R(RΩ )/R(M,R dt

)/R(M,RVd

R

23122323

1

(formule de dérivation vectorielle)

car M est fixe / R3



)/R,R(OΓdt

)/R,R(OVd

R

122122

1

car O2 est fixe / R2

111

12212

2122

RRRdt

)/R(RΩdMO)/R(RΩ

dt

MOd

dt

)/R(RΩMOd

12

12212212

2

RRdt

)/R(RΩdMO)/R(RΩMO)/R(RΩ

dt

MOd

12

1221221212

2

RRdt

)/R(RΩdMO)/R(RΩMO)/R(RΩ)/R(RΩ

dt

MOd

(formule de dérivation vectorielle)



12

1221221212

2

RRdt

)/R(RΩdMO)/R(RΩMO)/R(RΩ)/R(RΩ

dt

MOd

)/RR(MV 23, car M est fixe / R3 et O2 est fixe / R2

1

122122121223,

Rdt

)/R(RΩdMO)/R(RΩMO)/R(RΩ)/R(RΩ)/RR(MV

1

122122122312 ,

Rdt

)/R(RΩdMO)/R(RΩMO)/R(RΩ)/RR(MV)/R(RΩ



)/R(M,RΓ 13)/R(M,RV)/R(RΩ )/R(M,R 231223

)/R,R(OΓ 122

1

122122122312 ,

Rdt

)/R(RΩdMO)/R(RΩMO)/R(RΩ)/RR(MV)/R(RΩ

)/R(M,RΓ 13 )/R(M,R 23 )/R(M,RV)/R(RΩ 2312.2

1

12212212122 ,

Rdt

)/R(RΩdMO)/R(RΩMO)/R(RΩ)/RR(O

)/R(M,RΓ)/R(M,RV)/R(RΩ.)/R(M,RΓ )/R(M,RΓ 1223122313 2


)/R(M,RV)/R(RΩ.)/R(M,RΓ)/R(M,RΓ )/R(M,RΓ 2312122313 2

Accélération absolue

Accélération d’entrainement

Accélération relative

Accélération de Coriolis

• L’accélération relative se calcule par dérivation vectorielle

2

2323

Rdt

)/R(M,RVd)/R(M,R car M est fixe / R3

• L’accélération d’entrainement se calcule par le champs des accélérations d’un solide :

1

1212

Rdt

)/R(M,RVd)/R(M,R M est fixe / R3

1R

1221221212212

dt

)/R(Rd MO )/R(RMO)/R(R )/R,R(O)/R(M,R

• L’accélération de Coriolis : V.2

7 - Pivotement, roulement, glissement entre 2 solides.

Soit (S1) un solide.

I

1S

2S 12n

Soit (S2) un solide en contact avec (S1).

Soit I le point de contact entre (S1) et (S2).

Remarque : I point de contact n’appartient ni a (S1) et ni a (S2).

I n’est pas fixe / à (S1).

I n’est pas fixe / à (S2).

Les surfaces extérieures de (S1) et de (S2) sont régulières, c'est à dire qu'il existe un plan tangent commun () à (S1) et

(S2) en I.

12nSoit , le vecteur unitaire normal au plan tangent commun () en I, orienté de (S1) vers (S2) . 112 n


Problème : détermination du torseur distributeur des vitesses du solide (S2) dans

son mouvement par rapport au solide (S1) au point I .

)/S(I,SV

)/S(SΩ)/SV(S I

12

1212


7.1 - Vecteur pivotement, vecteur roulement.

)/S(SΩ)/S(SΩ)/S(SΩ RP 121212

Vecteur roulementVecteur pivotement

Vecteur de rotation

Il est porté selon la normale au plan

tangent () orienté de (S1) vers (S2).

12121212 n.)/S(SΩ.n )/S(SΩP

Il est dans le plan tangent ().

)/S(SΩ)/S(SΩ)/S(SΩ PR 121212

12121212 n)/S(SΩn)/S(SΩR


I

1S

2S 12n

7.1 - Vecteur pivotement, vecteur roulement.

)/S(SΩ)/S(SΩ)/S(SΩ RP 121212

)/S(SΩ 12)/S(SΩP 12

)/S(SΩR 12


I

1S

2S 12n

7.2 - Vecteur glissement.

)/SS(IV)/S(SGI 1212 ,

)/SS(IV 12,

)(

I

1S

2S 12n

)/SS(IV 12,

Cas du glissement Cas de la rupture de contact

Composante normale au contact RUPTURE


7.2 - Vecteur glissement.

Conséquence :

Comme I point de contact n’appartient ni a (S1) et ni a (S2),

)/S(I,SV 12

OI

pour calculer, il ne faudra jamais dériver un quelconque

vecteur position , mais utiliser :

)/SS(MV 12,• Si un vecteur vitesse en un point M du mouvement S2/S1 est connu

)/S(SΩIM)/S(M,SV)/S(I,SV 121212

• Par loi composition en faisant intervenir un solide ou repère R

/R)(I,SV/R)(I,SV)/S(I,SV 1212

/R)(SΩIP/R)(P,SV 11

/R)(SΩIM/R)(M,SV 22 Le choix de R doit être judicieux pour minimiser les calculs.


7.4 - Axe instantané de rotation (A.I.R.).

01212 )/S(I,SV)/S(SGI

I

I

)/S(SΩ )/SV(S

0

1212

)/S(SΩ

)/S(SΩ u

12

12

* Si

est un glisseur

Posons

L’axe instantané de rotation est l’axe central du torseur

),()( 12 uI

M)/S(SΩ 12

I

)/SS(MV 12,


7.5 - Axoïdes du mouvement.

PAR DÉFINITION : Les axoïdes du mouvement de (S2)/(S1) sont les deux surfaces engendrées par l'axe instantané de rotation (AIR : 12) au cours

du temps, d'une part sur le solide (S2), d'autre par sur le solide (S1). Ces axoïdes sont dites "surfaces réglées" car elles sont générées par le déplacement relatif d'une droite : l'AIR.

La surface obtenue sur le solide (S1) est appelée axoïde base

(ou base du mouvement de (S2)/(S1)).

La surface obtenue sur le solide (S2) est appelée axoïde roulante

(ou roulante du mouvement de (S2)/(S1)).

La roulante roule sur la base au niveau de l'axe instantané de rotation (12) car l'A.I.R. est l'ensemble des points de vitesse nulle.


7.5 - Axoïdes du mouvement.

Exemple : Roulante = cylindre

Base = cylindre

1S

2S

I

0, 12 )/SS(IV Assuré par l’obstacle des dents

I

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