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CAPITULO III TEXTO GUIA HIDRAULICA I
CINEMATICA DE FLUIDOS
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CINEMATICA DE FLUIDOS
La cinemática de los fluidos es aquella que estudia las formas del movimiento de las
partículas fluidas sin considerar la masa y las fuerzas que actúan durante el movimiento. Para
el estudio de este comportamiento de las partículas fluidas durante su movimiento lo
haremos sobre la base del conocimiento de las magnitudes físicas ya vistas en la física básica
y con los campos respectivos relacionados al movimiento; éstas magnitudes pueden ser
escalares, vectoriales o tensoriales, que forman a su vez campos independientes o
dependientes dentro del flujo. Un campo de flujo viene a ser cualquier región en el espacio
donde hay un fluido en movimiento, con la condición de que el fluido ocupe la región.
Esta parte de la mecánica de los fluidos analiza el movimiento sin tomar en cuenta los
motivos por los que se produjo esté, los términos de las magnitudes físicas para el análisis
son de velocidad, aceleración y desplazamiento.
III.1 OBJETIVOS DEL CAPITULO
En el siguiente capitulo se desarrollara los fundamentos del flujo de fluidos y las
diferentes aplicaciones y restricciones en su estudio, el alumno será capaz de:
i. Definir las relaciones entre los tipos de flujo y el flujo de los
mismos.
ii. Diferenciar las distintas velocidades que pueden alcanzar los
diferentes fluidos.
iii. Definir que es una línea de corriente, el campo de flujo y su
trayectoria.
iv. Poder hallar las diferentes incógnitas a presentarse en problemas
como ser hallar caudales, aceleraciones y deformaciones que se
observan en el flujo de los fluidos.
v. Aplicar y desarrollar las diferentes ecuaciones vistas en el
capitulo.
vi. Deberá también ser capaz de resolver los distintos problemas
propuestos en la sección presentada.
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III.2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE FLUJO DE FLUIDOS
Para entender mejor este movimiento de las partículas (cinemática), se deben tomar en
cuenta varios conceptos, así como los diferentes tipos de flujo como el Flujo Newtoniano y
No-Newtoniano, que son llamados flujos reales e ideales respectivamente. Además de estos
es necesario definir algunos otros que son de importancia para nuestro estudio, de manera de
no extenderse en otro tema que no sea la cinemática de los fluidos presentaremos distintos
conceptos de manera concisa, mucho de estos tipos de flujo se dan en condiciones especiales
como ser en laboratorios de experimentación.
III.2.1 TIPOS DE FLUJO
o Flujo real. Es aquel en que para un pequeño esfuerzo cortante, la partícula
fluida ofrece una resistencia al movimiento, o sea que hay manifestación de la
viscosidad.
o Fuljo ideal. Es el flujo cuya viscosidad es nula; o sea que el fluido carece de
rozamiento.
o Flujo adiabático. Es aquel flujo en el que dentro de los límites de su contorno
no entra, ni sale calor.
o Flujo laminar. Es aquel flujo donde las partículas del fluido se mueven a lo
largo de trayectorias lisas en capas o láminas paralelas (Fig3-1), deslizándose
una capa sobre otra adyacente.
o Flujo turbulento. Es aquel en que las partículas del fluido se mueven siguiendo
trayectorias muy irregulares, originando un intercambio de cantidad de
movimiento de una porción de el fluido a otra (Fig3-1). Es el caso de flujo mas
frecuente en aplicaciones prácticas.
o Flujo transicional de laminar a turbulento. Es el flujo comprendido entre el
flujo laminar y turbulento, realmente es el paso de flujo laminar a flujo
turbulento. (Fig3-1).
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o Flujo permanente o estacionario. Es aquel flujo en que las propiedades del
fluido y las condiciones de movimiento en cualquier punto no cambian con el
tiempo. (Fig3-2). Un flujo es permanente si el campo de velocidades, de
presión, la masa volumétrica y la temperatura en cada punto, no dependen del
tiempo. Las componentes u, v, w son entonces únicamente función de x, y, y
z.
0000
t
T ,
t
P ,
t
ρ,
t
V
o Flujo no permanente. Son flujos en el campo de velocidades, presión, masa
volumétrica, y temperatura varían con el tiempo (Fig3-3).
0000
t
T ,
t
P ,
t
ρ,
t
V
o Flujo uniforme. Es aquel en que todas las secciones rectas paralelas del
conducto son idénticas y la velocidad media en cada sección recta es la misma
en un instante dado (Fig3-4). Por esto deberá cumplirse que:
0
s
V
o Flujo variable. Es aquel flujo en que las secciones rectas del contorno son
diferentes y la velocidad media varia en cada sección recta (Fig3-4). Por esto
deberá cumplirse que:
0
s
V
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o Flujo Unidimensional. Es aquel que desprecia las variaciones o cambios de
velocidad, presión, etc., transversales a la dirección principal del flujo.
o Flujo Bidimensional. Este flujo supone que todas las partículas siguen
trayectorias idénticas en planos paralelos; por consiguiente, no hay cambios en
el flujo normal a dichos planos.
o Flujos de revolución. Son enteramente definidos por el estudio de un semi-
plano meridiano limitado en un eje “o”.
III.3 VELOCIDAD
La velocidad “v” se define como un vector zyx VVV ,, . El movimiento de un fluido
puede ser descrito por el vector posición ds, de una partícula, como una función vectorial del
tiempo “t”:
dZkdYjdXitdd ss )( 3.3.1
Donde i, j, k son los vectores unitarios direccionales de los tres ejes ortogonales x, y, z.
A estas variables de la partícula fluida en el instante “t”, con respecto al sistema de ejes
coordenados se les conoce como las variables de Lagrange.
El movimiento del fluido también lo podemos definir por el conocimiento de la curva
que recorre la partícula fluida. En este caso la posición de la partícula se determina por la
longitud del camino recorrido, siguiendo la curva como una función escalar del tiempo. El
vector velocidad será la rapidez temporal del cambio de su posición:
dt
dsV 3.3.2
[m/s]
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Donde ds, representa el vector diferencial de la porción de curva que recorre la
partícula fluida en el dt. La velocidad es entonces como ya se menciono anteriormente un
campo vectorial dentro de un flujo y, al desplazarse en la curva, es un vector tangente en
cada punto a la misma, que generalmente depende de la posición de la partícula fluida y del
tiempo. V= f(x, y, z )
Podemos escribir la velocidad en función de los tres ejes coordenados esto será:
t)z, y, f(x, wque laen w,
t)z, y, f(x, vque laen v,
t)z, y, f(x, u que laen u, :
dt
dZ
dt
dY
dt
dXDonde
kdt
dZj
dt
dYi
dt
dX
dt
dsV
Por lo que reemplazando en la ecuación tendremos:
wkvjuidt
dsV 3.3.3
Esta ecuación nos representa al vector velocidad en función del campo de velocidades
que lo representan u, v, y w que son las componentes de la velocidad en los respectivos ejes
x, y, z respectivamente. Es necesario mostrar también la velocidad en coordenadas
cilíndricas y polares ya que estas se verán mas adelante.
mente.respectiva ,i,i,ison lesdirecciona ejes cuyos,,,
scomponente tres tiene, scilindrica scoordenadaen velocidadLa
zr zθr VVV
;z"" eje el considera se no estasen que diferencia lacon s,cilindrica
coordenas de la asimilar es polares, scoordenadaen velocidadLa
iiiV zr zr VVV
)i()i (V r VVr 3.3.4
[m/s]
[m/s]
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III.4 CAMPOS DE FLUJO
Un campo de flujo es cualquier región en el espacio donde hay un fluido en
movimiento, a condición de que la región o sub-región del flujo este ocupada por el fluido.
Es importante mencionar que en cada punto del campo de fluido es posible determinar o
especificar una serie de magnitudes físicas, ya sean escalares, vectoriales o tensoriales, que
forman a s vez campos independientes o dependientes dentro del flujo.
III.4.1 CAMPO DE ACELERACION
El campo vectorial de las aceleraciones es una consecuencia derivada de las
velocidades, dado que el vector aceleración de una partícula fluida en un punto se define
como la variación temporal de la velocidad en ese punto. Empleando las variables de
Lagrange, tendríamos que la velocidad de una partícula fluida estaría en función de X, Y, Z, t
; es decir (x, y, z, t ) no permanece constante sino que varia en forma continua y dan en cada
instante la posición de la partícula que estudiamos. Dado esto la aceleración de la partícula
será:
:forma siguiente la deexpresar podemos la
n aceleracio la que tenemos t),z, y, f(x,s como pero
)//(2
2
dt
sd
dt
dtdsd
dt
dVa
wdt
dzv
dt
dyu
dt
dx
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
t
Va
:pero
Estas son las componentes de la velocidad en los tres ejes ortogonales x, y, z
respectivamente; por lo que la ecuación anterior podemos escribirla como:
z
Vw
y
Vv
x
Vu
t
Va 3.4.1
Esta ecuación (3.4.5) es la derivada tomada con respecto al tiempo siguiendo el
movimiento del punto, y como podemos apreciar no tiene dirección como en el caso de la
velocidad.
[m/s2]
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A esta derivada se la conoce como la dedicada total y corresponde a la aceleración de
las partículas fluidas, que puede asumirse como la superposición de dos efectos.
a. En el instante “t”, supuesto el campo permanente. La partícula, bajo estás
circunstancias, cambiará de posición en éste campo permanente. Así su velocidad
sufrirá variaciones en los diversos puntos del campo que, en general, serán
diferentes de un instante a otro. Esta aceleración debida al cambio de posición es
llamada aceleración convectiva o de transporte.
b. Si consideramos, que la aceleración no proviene del cambio de posición ocupada
por la partícula fluida, sino de la variación de la velocidad, en la posición ocupada
por la partícula, por el tiempo, tenemos que la aceleración es la aceleración local y
corresponde al porcentaje local de variación de velocidad debido a la no-
permanencia del flujo.
te.pectivamenx, y,z res
n los ejeseleraciones de la accomponente son las ,a,aDonde a
z
ww
y
wv
x
wu
t
wa
z
vw
y
vv
x
vu
t
va
z
uw
y
uv
x
uu
t
ua
rán:aciones se de acelers al campospondienteares correones escalLas ecuaci
)V(Vt
Va
mo:resarla coa y mplificarlPodemos si
dt
dV
zyx
z
y
x
exp
En ciertos análisis es muy útil emplear el sistema de coordenadas en el que un conjunto
de líneas de corriente formen parte del mismo. Para tal caso podemos partir de la velocidad
V=V (s,t) ; de donde podemos deducir que la aceleración de la partícula fluida vendrá dada
por :
t
V
dt
ds
s
Va
t
V
s
VVa
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Consideremos el caso de flujo permanente, en el que, la configuración de las líneas de
corriente es fija en el tiempo y además, son coincidentes las trayectorias en dos componentes
escalares no nulas, una de ellas tangente a la trayectoria que llamamos aceleración normal.
Por lo tanto la aceleración será:
tn aaa 3.4.2
Donde na es la aceleración normal y ta es la aceleración tangencial; estas pueden
representarse de acuerdo a lo estudiado en la física del cuerpo solidó por:
r
Van
2
3.4.3
s
VVat
3.4.4
III.4.2 CAMPO ROTACIONAL
Esté es otro campo derivado de el de las velocidades, y evalúa la rotación local de una
partícula fluida y se define matemáticamente por el producto vectorial del operador nabla
nabla , por el vector velocidad (V). O sea que : Vrot , que en forma matemática
es el determinante siguiente:
ndodesarrolla
wvu
zyx
kji
Vrot
ky
u
x
vj
x
w
z
ui
z
v
y
wVrot
3.4.5
Que también es función, tanto de posición como de tiempo y es una medida de la
rotación o vorticidad de la partícula dentro del flujo; por ésta razón se le conoce también
como campo vorticoso.
[m/s2]
[m/s2]
[m/s2]
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III.5 TRAYECTORIA
Una trayectoria es aquélla que sigue una partícula de fluido con identidad fija. Esta
puede obtenerse experimentalmente tomando una fotografía con un tiempo de exposición
bastante grande, suficiente para cada partícula pueda recorrer toda la porción de trayectoria
que está en el campo de la cámara fotográfica, y para obtener mejores resultado se emplea
solo una pequeña cantidad de partículas. Es decir entonces que la trayectoria será el
desplazamiento que lleva una partícula del fluido.
Para un flujo permanente, o cuando siendo inestable únicamente la magnitud del vector
velocidad varia con el tiempo, la línea de corriente coincide con la trayectoria.
III.5.1 LINEA DE CORRIENTE
Es una curva que es tangente en cada uno de sus puntos al vector de velocidad en el
interior de un campo de flujo, por lo cual no hay la posibilidad de que dos líneas de corriente
se intercepten, pues ello significaría que en el punto de intersección existieran dos vectores
distintos.
Si consideramos una línea de corriente en la que indicamos el vector velocidad y
tomando en la línea de corriente un vector desplazamiento, tal como ds; Entonces la línea de
corriente matemáticamente la podemos expresar por el producto vectorial entre el vector
velocidad y el vector desplazamiento, ya que V esta en la misma dirección de ds.
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sendsVVxds
Si es muy pequeño: 0sen . Entonces se tiene que: 0Vxds
i j k
Resolviendo este producto vectorial se tendrá que: u v w = 0
dx dy dz
Desarrollando el determinante se tendrá:
0 vdxudykwdxudzjwdyvdzi 3.5.1
Para que se cumpla la ecuación (3.5.1) es necesario, que cada uno de sus sumandos sea
igual a cero, entonces:
dz
w
dy
vwdyvdx 0
dz
w
dx
uwdxudz 0
dy
v
dx
uvdxudy 0
Las ecuaciones tienen un factor común por lo que podemos escribir la siguiente
relación final:
dz
w
dy
v
dx
u 3.5.2
la ecuación (3.5.2) representa la ecuación de las líneas de corriente.
Las líneas de corriente, representan la repartición de velocidad de las diferentes
partículas del fluido en el mismo instante.
III.5.2 TUBOS DE CORRIENTE
Un tubo de corriente esta constituido por una región parcial del flujo fluido delimitada
por una familia de líneas de corriente que lo confinan, es suficientemente pequeña, la
velocidad en el punto medio de una sección cualquiera puede considerarse como la velocidad
media en dicha sección.
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El concepto de tubo de corriente se utilizara para deducir la ecuación de continuidad en
el caso de un flujo incompresible, en régimen permanente y unidimensional (Fig3-5).
Esto implica que la cantidad de masa que pasa por la sección 1debe ser igual a la que
pasa por la sección 2 en un tiempo dt
dVdM 3.5.3
III.6 VOLUMENES DE CONTROL
Este volumen de control, es un volumen fijo en el espacio y de forma y tamaño
invariable con el tiempo, a través del cual fluye materia, este concepto se relaciona con el
sistema en términos de una propiedad general del sistema.
El volumen de control, conocido también como sistema, se refiere a una región de
interés en el espacio a través de cuyas fronteras un fluido entra y sale continuamente, estas
fronteras del volumen de control se llaman superficies de control. La forma y el tamaño de
un volumen de control son arbitrarias, todo se deja en función de la comodidad del
investigador, o la facilidad que está dé a la solución del problema.
III.6.1 ECUACION GENERAL DEL VOLUMEN DE CONTROL
Sin importar su naturaleza, todas las situaciones de flujo están sujetas a las siguientes
relaciones, pueden expresarse en forma analítica:
1.- Las leyes de movimiento de Newton, deben cumplirse para cualquier partícula.
2.- La relación de continuidad, es decir, la ley de conservación de la masa.
3.- La conservación de la masa aplicada a mezclas de componentes dentro del fluido.
4.- La primera y segunda leyes de la termodinámica.
5.- Las condiciones de frontera: declaraciones analíticas como por ejemplo que un fluido real
tiene velocidad cero con respecto a una frontera en la frontera que los fluidos sin fricción no
pueden penetrar una frontera.
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ttiempo tttiempo
tIIdttIIIII
tsistdttsist dddNN
)()(
También pueden entrar otras relaciones y ecuaciones, tales como una ecuación de
estado o la ley de viscosidad de Newton.
En la deducción que sigue el concepto de Volumen de control se relaciona con el
sistema en términos de una propiedad general del sistema. En las secciones subsiguientes se
aplica específicamente para obtener las relaciones de continuidad, energía y momentum
lineal.
Para establecer la relación entre las ecuaciones que se aplican en un sistema y aquellas
que se aplican a un volumen de control, considere algunas situaciones generales de flujo en
las cuales la velocidad de un flujo (Fig3-6), en las cuales la velocidad de un fluido esta dada
con respecto a un sistema coordenado xyz. En el tiempo “t” considérese una cierta masa de
fluido contenida dentro de un sistema, en el cual tiene las fronteras de líneas puntuadas
indicadas. También considérese un volumen de control, fijo con relación a los ejes xyz, que
coincide exactamente con el sistema en el tiempo t. En tt el sistema se ha movido un
poco, debido a que cada partícula de masa se mueve a una velocidad asociada con su
posición.
Sea N la cantidad total de alguna propiedad (por ejemplo, masa, energía o momentum)
dentro del sistema en el tiempo t y sea la cantidad de esta propiedad, por unidad de masa,
a través del fluido. La tasa temporal de incremento de N para el sistema se formula ahora en
términos del volumen de control.
En tt (Fig3-6b) el sistema comprende los volúmenes II y III mientras que en el
tiempo t este ocupa el volumen II (Fig3-6a).
El incremento en la propiedad N en el sistema en el tiempo t esta dado por:
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En donde d es el momento del volumen. Reordenado, después de sumar y restar
dttI
d
En la derecha y luego dividiendo todo por t se llega a:
t
d
t
d
t
ddd
t
NN
dttIdttIII
tIIdttIIIIItsistdttsist
)()(
3.6.1
El término a la izquierda es la tasa temporal promedio de incremento de N dentro del
sistema durante el tiempo t . En el límite, a medida que t se aproxima a cero, éste se
convierte en dN/dt.
Si se toma el limite a medida que t se aproxima a cero en el primer termino del lado
derecho de la ecuación, las primeras dos integrales son la cantidad de N dentro del volumen
de control en tt y la tercera integral es la cantidad de N en el volumen de control en el
tiempo t. El límite es:
vc
dt
Donde se han utilizado derivadas parciales debido a que el tamaño del volumen de
control se mantiene constante a medida que 0t .
El siguiente termino es la tasa temporal del flujo de N hacia fuera del volumen de
control, en el limite y puede escribirse como
coslim0
dAvdAvt
d
idaujo de salarea de fl
ttm
t
3.6.2
Donde dA (Fig3-7) es el vector que representa un elemento de área del área de salida
de flujo.
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Éste tiene una dirección perpendicular al elemento de área superficial del volumen de
control, siendo positivo hacia fuera, y α es el ángulo entre el vector velocidad y el vector de
área elemental.
Similarmente, el último término de la ecuación, el cual es la tasa de flujo de N hacia
adentro del volumen de control, es, en el límite, igual a:
coslim0
dA ηρv dAηρvδt
ηρd
radaujo de entarea de fl
δttm
δt
3.6.3
El signo negativo es necesario debido a que v*dA( ó cos α) es negativo para el flujo de
entrada (Fig3-8). Los dos últimos términos de la ecuación 3.6.1 , dados por las ecuaciones
3.6.2 y 3.6.3, pueden combinarse en un termino único que es una integral sobre toda la
superficie del volumen de control (sc).
scsc
IttIII
t
dAvdAvt
d
t
dtt
coslim0
En donde no exista flujo de entrada o de salida v*dA=0; por consiguiente la ecuación
puede evaluarse sobre toda la superficie de control. Reuniendo y reorganizando los términos
tenemos:
scscdAvd
tdt
dN 3.6.4
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Esta ecuación (3.6.4) establece que la tasa temporal de incremento de N dentro de un
sistema es exactamente igual a la tasa temporal de incremento de la propiedad N dentro del
volumen de control más la tasa neta de flujo de N a través de la frontera del volumen de
control.
Esta ecuación (3.6.4) se usa para convertir de la forma de sistema a la forma de
volumen de control. La forma de sistema, la cual en efecto sigue el movimiento de los
paquetes, se conoce como el método Lagrangiano de análisis; la aproximación de volumen
de control de conoce como el método Euleriano de análisis, ya que se observa desde un
sistema de referencia fijo relativo al volumen de control. Esta ecuación es valida si el
volumen de control, fijo en tamaño y forma, tiene una velocidad de traslación uniforme.
III.7 LA CONSERVACION DE LA MASA-ECUACION DE
CONTINUIDAD
La forma de sistema de la conservación de la masa es:
0dt
dm 3.7.1
La cual establece que la masa (m), dentro del sistema permanece constante en el
tiempo. En la ecuación (3.6.4) sea N=m, entonces η es la masa por unidad de masa de η=1,
por lo tanto
scvcdAvd
t0 3.7.2
La ecuación de conservación de la masa establece que la tasa temporal de cambio de la
masa en el volumen de control, más la tasa neta a la cual la masa sale del volumen de control
a través de su superficie es igual a cero.
Para el desarrollo del subtitulo considérese un tubo cilíndrico (Fig3-9). El flujo entra al
tubo en la sección 1 y sale en la sección 2.
No se permite flujo a través de la superficie sólida que describe el tubo. La aplicación
de la conservación de la masa prosigue de la siguiente manera:
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o El volumen de control se define de tal manera que incluya todo el fluido
en el tubo dentro de la pared sólida y desde la sección 1 a la 2. Si es
posible, todas las secciones de entrada y salida deben definirse o
localizarse en regiones donde las líneas de corriente (o tubos) sean
paralelas a la frontera, de tal manera que las velocidades de entrada y
salida sean perpendiculares a las respectivas áreas.
o Si el enunciado del problema lo permite, es mejor suponer flujo
permanente, en cuyo caso la ecuación se reducirá.
sc
dAv0
o Esta ecuación debe aplicarse a cada superficie de control(sc) donde la
masa de fluido, esta entrando o saliendo; entonces tenemos:
2
2221
111 0scsc
dAvdAv
o Si los vectores de velocidad a la entra y a la salida son, en cada entrada
y salida, perpendiculares a sus respectivas áreas, entonces en las salidas
las integrales se evalúan como 222222 dAvdAv y las entradas se
evalúan como 111111 dAvdAv . Tenemos:
2
2221
111scsc
dAvdAv
Nótese que ρ y v todavía son funciones de A1 y A2 y pueden variar
dentro de sus respectivas áreas, esto mas que todo en las velocidades.
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o Si ρ1 y ρ2 no varían en las secciones transversales de entrada y salida,
además conviene evitar velocidades que varíen. Por tanto tomamos la
velocidad promedio espacial para reducir el problema a una
representación unidimensional.
2
2221
111scsc
dAvdAv
2
22221
1111scsc
dAvAVdAvAV
mAVAV 222111 3.7.3
Donde m es la tasa de flujo de masa en Kg/seg. Para el problema de flujo permanente
planteado aquí, la ecuación de continuidad dice que la tasa de flujo de masa es constante.
Si el caudal Q (también conocido como tasa de flujo volumétrico o descarga) se define
como Q=AV, la ecuación puede tomar la forma de:
mQQ 2211 3.7.4
Para flujo incompresible permanente, se presenta como forma útil la ecuación siguiente
2211 VAVAQ 3.7.5
Para flujo con densidad constante, permanente o no permanente, podemos obtener las
ecuaciones para determinar la velocidad, la cual establece que el flujo de volumen neto es
cero. Esto implica que el volumen de control está lleno de líquido en todo momento.
A
QV
dAvsc
0
A
vdAA
V1
3.7.6
Ecuación de
Continuidad
[m3/s]
[m/s]
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122
231
222333111 0
mmm
AVAVAV
EJEMPLO DE APLICACIÓN Por una tubería de 30 cm de diámetro circulan 1800
lt/min, reduciéndose después el diámetro de la tubería a 15 cm. Calcular las
velocidades medias en ambas tuberías.
segmV
m/seg.).π(
.
A en m
/segQ en mV
segmQ
entonces
/seg me Qtenemos qu
/70.1)15.0(
030.0
430300
0300
/030.010*60
1800
:
1800
2
4115
2
412
3
30
33
3
Si existen múltiples entradas y salidas, la ecuación de volumen de control puede
extenderse. Supóngase una intersección T (Fig3-10); se denotan las condiciones en las
entradas (secciones 1 y 3) y en la salida (sección 2). Adicionalmente, suponga que la
densidad en cada sección es constante (aunque no necesariamente igual); que los vectores de
velocidad son perpendiculares a sus respectivas áreas; y que las velocidades promedios en
las secciones transversales, en cada sección, están definidas.
Entonces la ecuación sc
dAv0 se reduce a:
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III.8 MOVIEMIENTO Y DEFORMACION
A medida que un paquete de fluido se mueve de un instante a otro, existen varios tipos
de movimientos y/o deformación de la forma del paquete. Aquí se hará una pequeña
introducción geométrica a estos procesos, relacionando los campos de velocidad con el
movimiento y la deformación resultantes. Se debe notar que todas las formas de estos
movimientos pueden ocurrir simultáneamente, pero para una mejor comprensión se
analizaran en forma separada y en dos dimensiones.
III.8.1 TRASLACION
(Fig3-12) simplemente significa tomar el paquete y moverlo una distancia durante un
periodo de tiempo corto dt. No se permite ni rotación del paquete ni ninguna deformación.
La deformación será medida por el grado a que el ángulo entre cualquier par de líneas, que
originalmente eran ortogonales entre sí, se deforme durante un tiempo dt. Para el caso de la
traslación, el ángulo de 90º entre cualquier par de líneas ortogonales que definen cualquier
plano en el paquete debe permanecer constante.
La traslación pura, sin ninguna deformación o rotación, puede ocurrir en un campo de
velocidad muy especial; esto quiere decir que el flujo debe ser uniforme espacialmente y no
puede contener gradientes espaciales.
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III.8.2 DILATACION
(Fig3-13) se refiere al estiramiento o encogimiento del paquete, inducido por un
gradiente espacial en el campo de velocidad. No se permite deformación; en lugar de esto,
únicamente se permite una extensión o compresión lineal de los ejes ortogonales que definen
el plano. El campo de velocidad que acompaña este cambio, nuevamente es restringido. Por
ejemplo en la figura el cambio de forma en la configuración de líneas punteadas conserva el
ángulo de 90º entre todos los ejes ortogonales, pero el campo de velocidad se restringe a
cambios únicamente en la dirección de los ejes. Por lo tanto para la figura en la dirección x,
únicamente u puede variar, no v; mientras que en la dirección y únicamente v puede variar y
no u. Si el cambio de forma da como resultado un cambio de volumen es una cuestión
extremadamente importante.
De la figura 3-13, el volumen original es de dxdy. En la forma reordenada, los
cambios incrementales en longitud durante el periodo de tiempo dt se encuentran mediante
una expansión de series de Taylor, esta es correcta hasta el primer orden; por consiguiente, el
volumen en un tiempo dt posterior es:
dydt
y
vdydxdt
x
udxdtt 3.8.1
Después de multiplicar los términos, y dejando de lado los términos de segundo orden
y órdenes superiores, la tasa temporal de cambio relativo del volumen R , se puede
encontrar en términos de la velocidad como:
y
v
x
u
dt
d
dt
dRt
tdtt
en tres dimensiones tendremos:
vz
w
y
v
x
u
dt
d R
3.8.2
Por consiguiente, la dilatación de volumen puede relacionarse directamente con la
estructura espacial de los gradientes de velocidad.
CAPITULO III TEXTO GUIA HIDRAULICA I
CINEMATICA DE FLUIDOS
125
y
u
dt
d
os:to tendremPor lo
dydtx
vdd
22
22
tan
tan
III.8.3ROTACION
(fig3-14) se define como la velocidad angular promedio de dos elementos que
originalmente se encontraban haciendo ángulos rectos entre sí. Tal como se puede ver en la
figura, debe haber gradientes en el campo de velocidad o esfuerzos cortantes, para sostener
la rotación sobre el periodo dt. Teniendo en cuenta el elemento dx, y para ángulos pequeños,
x
v
dt
d
os:to tendremPor lo
dxdxdtx
vdd
11
11
tan
/tan
Para el elemento vertical dy:
El promedio de estos dos es la velocidad angular del paquete alrededor del eje z
)(2
1
2
121
y
u
x
vz
la rotación alrededor de los otros dos ejes se define como:
z
v
y
w
x
w
x
u
x
y
2
1
2
1
la velocidad angular es una cantidad vectorial denotada:
kji zyx 3.8.3
Rotacion en funcion de los
tres ejes
CAPITULO III TEXTO GUIA HIDRAULICA I
CINEMATICA DE FLUIDOS
126
El flujo irrotacional ocurre cuando los gradientes cruzados de la velocidad (o esfuerzo
cortante) son cero o en el caso poco probable de que se cancelen entre sí. En la Fig3-15, se
puede apreciar el esquema de un paquete de fluidos viajando a lo largo de una línea de
corriente en un vertedero gradual. Los paquetes en la Fig3-15a se están moviendo en un
flujo irrotacional y no existe rotación de ningún par de ejes ortogonales incluidos en el
paquete. En la Fig3-15b se muestra una analogía con el flujo rotacional.
III.8.4 DEFORMACION LINEAL
(Fig3-16) este caso se da cuando x
Vx
y
y
Vy
no son nulos, además 0
x
Vy
y
Vx,
por lo que el rectángulo sufrirá una deformación lineal δ y su forma se ampliara o reducirá,
pero este seguirá siendo un rectángulo.
III.8.5 DEFORMACION ANGULAR
O tasa de deformación, se define como el promedio de la diferencia en las velocidades
angulares de dos elementos originalmente perpendiculares.
CAPITULO III TEXTO GUIA HIDRAULICA I
CINEMATICA DE FLUIDOS
127
Nuevamente gradientes de velocidad o esfuerzos cortantes, deben estar presentes
(Fig3-17). Para la figura, la deformación previa se mantiene, y para el campo de velocidad
indicado en el esquema,
y
u
dt
d
dty
udydydt
y
udd
22
22
/tan
el signo negativo, ocurre como resultado de la rotación en el sentido de las agujas del reloj,
la cual es negativa. Una deducción similar para Ө1 arroja:
x
v
dt
d
1
1
3.8.4
III.9 VORTICIDAD
El termino de vorticidad esta ligado a otro termino denominado circulación Г, esta se
define como: Si en un campo de flujo bidimensional cualquiera se traza una superficie de
control, también cualquiera y cerrada, la circulación será la integral de la componente de la
velocidad tangente a la superficie, realizada sobre toda la superficie:
dlvd )cos( dlvdlv
)cos(
Donde α es el ángulo que forma el vector velocidad con la superficie de control, dl es
el vector elemental de longitud, tangente a la curva.
Aplicando el concepto de superficie de control tenemos:
dxdyx
v
y
vd
yx
3.9.1
de la ecuación (3.9.1) concluimos que la vorticidad es la circulación diferencial por unidad
de área encerrada por la superficie de control.
CAPITULO III TEXTO GUIA HIDRAULICA I
CINEMATICA DE FLUIDOS
128
III.10 FUNCION DE CORRIENTE
La figura 3-18 muestra un campo de flujo bidimensional y permanente. La primera
línea de corriente por el origen o, también incluimos las líneas de corriente MM’ y NN’
separadas entre si una distancia dn.
Denominamos ψ al gasto entre líneas de corriente desde “o” a MM’, el gasto entre
MM’ y NN’ se denominan dψ. Por lo tanto el gasto entre o y NN’ es ψ+ dψ.
Para analizar este hecho se utiliza un volumen de control triangular de catetos dx y dy e
hipotenusa dn, donde el gasto que ingresa debe ser igual al que sale:
dxVyVxdyd )(
El diferencial total de gasto dψ es:
dyy
dxx
d
Por comparación podemos determinar:
Vyy
Vxx
cdxVyVxdy )( 3.10.1
donde, esta ultima expresión es denominada Función de Corriente.
La función de corriente es la expresión matemática de una línea de corriente. Si el flujo
es permanente una función de corriente expresara matemáticamente a una familia de líneas
de corriente.
CAPITULO III TEXTO GUIA HIDRAULICA I
CINEMATICA DE FLUIDOS
129
Por otro lado Vx y Vy, reemplazamos en la ecuación de la continuidad bidimensional
vista anteriormente,
xyyx
tieneSe
y
Vy
x
Vx
22
:
0
De la misma manera reemplazamos Vx y Vy en la ecuación de Verticidad también vista
anteriormente,
y
Vx
x
Vy
2
2
2
2
yx
Para flujo irrotacional debe cumplirse:
02
2
2
2
yx
3.10.2
Esta ecuación es denominada Ecuación de La Place.
III.11 FLUJO POTENCIAL PLANO
El caso mas sencillo de flujo potencial es el bidimensional, esto es, cuando el
movimiento de un fluido se produce paralelamente a un plano, de manera que la tercera
dimensión no entra en ninguna ecuación. Por una parte, al ser plano el movimiento se puede
definir una función de corriente que describe las líneas de corriente, y por otra parte, al ser
flujo potencial, la velocidad está determinada por el potencial Ф(x,y,z,t).
El flujo puede entonces ser descrito por dos familias de curvas, las líneas de corriente y
las líneas equipotenciales. Estas curvas se cortan ortogonalmente en todo punto, ya que la
velocidad es tangente a las líneas de corriente y perpendicular a las líneas equipotenciales.
CAPITULO III TEXTO GUIA HIDRAULICA I
CINEMATICA DE FLUIDOS
130
La Fig3-19, representa gráficamente las líneas de corriente y las equipotenciales, en las
que el elemento arco ds de las líneas equipotenciales podemos definirlo como:
0)()(
dy
ydx
x
Donde obtenemos:
dx
dy
y
x
3.11.1
El elemento arco s de las líneas de corriente podemos definirlas como:
y
y
x
x 3.11.2
Igualando estas dos ecuaciones tendremos:
dx
y
dy
x
3.11.3
Para ψ constante, d ψ=0 tendremos:
0 VxdyVydx
Vx
Vy
dx
dy 3.11.4
Para Ф constante, dФ=0 será:
0VxdxVydy
Vy
Vx
dx
dy 3.11.5
Lo que nos da el significado de la ortogonalidad de las dos curvas, que cuando las
graficamos nos da una malla por lo que se le conoce como malla de corriente.