cinemática (apunte de rafael benguria)

5/9/2018 Cinemática (Apunte de Rafael Benguria) - slidepdf.com

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CINEMATICA

En esta seccion introduciremos las nociones necesarias para describir el movimientode partıculas puntuales. Un objeto es puntual si las dimensiones fısicas de el sonpequenas comparadas con las distancias caracterısticas de su movimiento, o sonpequenas comparadas con la distancia al observador. Por ejemplo si lanzamosuna silla por el aire, y la estamos observando de cerca veremos sus volteretas yevoluciones que hacen parecer su movimiento muy complicado. Sin embargo, siobservamos la silla desde suficiente distancia parecera un punto y su movimientosera muy simple de describir.

Con el objeto de describir el movimiento de una partıcula en el espacio bastaespecificar su posicion en cada instante de tiempo. Llamaremos vector posici´ on

de la partıcula en el instante t al vector que va desde un origen (arbitrario perofijo) hasta la posicion de la partıcula en el instante t. Este vector, que usual-

mente denotaremos por r(t) es una funcion del tiempo. A la curva que describela posicion de la partıcula a medida que el tiempo transcurre la llamaremos latrayectoria de la partıcula . Es el lugar geometrico descrito por el extremo delvector r(t). En la figura 1, la curva C es la trayectoria descrita por una partıcula.Si la partıcula se encuentra en el punto A de la trayectoria en el instante t1, suvector posicion es r(t1). Si en un instante posterior, digamos t2, la partıcula seencuentra en el punto B de la trayectoria, su vector posicion es r(t2).

Fig. 1: Trayectoria, vector posicion

Ciertamente la evolucion de la partıcula en el tiempo no queda determinadacompletamente por su trayectoria C. La partıcula en cuestion puede haberrecorrido la trayectoria de muchas maneras. Si nos referimos a la figura 1,

podrıa haber tardado en ir de A a B diez segundos, o quizas una hora, o podrıahaberse movido lentamente al pasar por A, o quizas muy rapido, y estos hechosno quedan para nada descritos con solo especificar la traza (i.e., la trayectoria)que fue dejando la partıcula en su movimiento. Por otra parte, la funcion r(t)sı contiene toda la informacion sobre el movimiento de ella. A partir de r(t)podemos conocer todos los detalles asociados al movimiento de la partıcula (e.g.,que distancia recorrio en un intervalo de tiempo ∆t, que tan rapido paso porA, cuanto tiempo tardo en ir de A a B, etc.). Por ejemplo, el desplazamiento

efectuado por la partıcula al ir de A a B esta dado por

∆rAB = r(t2)− r(t1). (1)

1



Como el intervalo de tiempo que tarda la partıcula al ir desde la posicion A

a la posicion B es ∆tAB = t2 − t1, es natural definir la velocidad media de lapartıcula entre A y B como el cuociente entre ∆rAB y ∆tAB, es decir

vAB ≡r(t2) − r(t1)

t2 − t1. (2)

Notese que la velocidad media, tal como la hemos definido, es un vector y sudireccion es paralela a la del vector desplazamiento. En la vida cotidiana, sinembargo, casi nunca se usa la velocidad media, tal como la hemos definidoen (2). En nuestro lenguaje comun, al referirnos a una velocidad promediosiempre pensamos en el cuociente entre la distancia recorrida, a lo largo de latrayectoria, y el tiempo que tardamos en recorrer esa distancia. A este cuociente,que es un escalar y no un vector, lo llamaremos la rapidez media . Para ser mas

precisos, fijemos un punto sobre la trayectoria, digamos P (ver la figura 2).Ahora podemos medir la longitud del arco (medido sobre la trayectoria) desdeel punto P y cualquier punto sobre la trayectoria. En particular llamaremoss(t1) a la longitud del arco P A, s(t2) la longitud del arco P B, y en generals(t) la longitud del arco desde el punto P hasta la posicion de la partıcula en elinstante t.

Fig. 2: Rapidez

Entonces, de acuerdo al lenguaje comun, definiremos la rapidez media de lapartıcula entre los puntos A y B como el cuociente

vAB ≡s(t2) − s(t1)

t2 − t1. (3)

En general, no hay ninguna relacion entre la velocidad media y la rapidez me-dia entre A y B, salvo que siempre la magnitud del vector vAB es mayor que elmodulo de la rapidez media vAB (pues la longitud de un arco entre dos puntoses mayor que la longitud de la cuerda entre los mismos puntos). En general,el conocimiento de la velocidad media entre A y B no nos da una informaciondetallada del movimiento de la partıcula entre A y B como mencionamos an-teriormente. Por ejemplo no sabemos que velocidad tenıa la partıcula al pasarpor A o cual era su velocidad al pasar por B. Sin embargo, si el punto B es su-ficientemente cercano al punto A, vAB nos da una muy buena idea de la rapidezcon que la partıcula pasa por A. Ası, conviene definir la rapidez instant´ anea (o

2



simplemente rapidez a secas) en el instante t (i.e., cuando la partıcula pasa por

A) av(t1) = lim

t2→t1

s(t2)− s(t1)

t2 − t1

. (4)

El lado derecho de (4) es justamente la derivada de s con repecto al tiempo ent1. De este modo, la rapidez en A (i.e., en el instante t1) esta dada por

v(t1) =ds

dt(t1). (5)

Usando el mismo procedimiento podemos definir la velocidad instant´ anea (ovelocidad, a secas), como

v(t1) = limt2→t1

r(t2)− r(t1)

t2 − t1 , (6)

es decir,

v(t1) =dr

dt(t1). (7)

Cuando hacemos tender t2 a t1 (en otras palabras, cuando llevamos al punto

Fig.3: Proceso de lımite

B junto al punto A), la distancia medida sobre el arco AB y sobre la cuerdaAB se asemejan cada vez mas (i.e., |∆rAB| ≈ ∆sAB cuando B → A), de modoque la magnitud del vector vt1 coincide con el modulo de v(t1). De este modo,la rapidez (instantanea) es simplemente la magnitud del vector velocidad (in-tantanea). Por otra parte, es evidente de este proceso de lımite (si la trayectoriaes una curva suave) que la direccion del vector velocidad v(t1) es la direccion dela tangente a la trayectoria en el punto A. Siguiendo un uso habitual, llamare-mos t a la tangente unitaria a la curva. En realidad t es una funcion del arcos (i.e., de la distancia P A medida sobre la trayectoria). En resumen, el vectorvelocidad de la partıcula al pasar por el punto A de la trayectoria esta dado por

v(t1) = v(t1)t. (8)

La ecuacion (8) es una consecuencia directa de la regla de la cadena. En efecto,

v(t1) =dr

dt(t1) =

dr

ds

ds

dt= t(s(t1))v(t1), (9)

3



pues dr/ds es precisamente la tangente unitaria a la curva en el punto A.

Ademas de la posicion y de la velocidad, otra cantidad relevante en la de-scripcion del movimiento es la aceleracion. De hecho la aceleracion juega unpapel crucial en las leyes de Newton que rigen el movimiento de las partıculas.Definiremos aceleraci´ on media entre dos puntos A y B de la trayectoria al cuo-ciente

aAB ≡v(t2)− v(t1)

t2 − t1. (10)

Finalemente, definiremos la aceleraci´ on instant´ anea (o aceleraci´ on , a secas) enel instante t como

a(t) ≡dv

dt(t). (11)

Hasta ahora hemos visto como, a partir del conocimiento de la funci on r(t),podemos obtener distintas propiedades del movimiento de la partıcula talescomo su velocidad, rapidez, aceleracion, velocidades y aceleraciones medias.El problema central de mecanica como veremos en el capıtulo siguiente es elproblema inverso. En efecto, lo que nos interesara mas adelante es como, apartir de la aceleracion (i.e., de la funcion a(t) para t ≥ 0) y del estado inicialde la partıcula (i.e., de su posicion r y velocidad v en t = 0) podemos determinartotalmente la evolucion de la partıcula, i.e., su vector posicion r como funciondel tiempo. Este camino inverso es simple de llevar a cabo, a partir de lasecuaciones (11) y (7), utilizando el Teorema Fundamental del Calculo.

Si integramos la ecuacion (11) entre t = 0 y t = T , y usamos el TeoremaFundamental del Calculo tenemos,

v(T )− v(0) = T 0

a(t) dt. (12)

Llamando a la variable de integracion τ y luego cambiando T por t, podemosarreglar (12) de modo que

v(t) = v(0) +

t0

a(τ ) dτ. (13)

Por lo tanto, si conocemos la velocidad inicial v(0) de la partıcula y su acel-eracion a(τ ) entre 0 y t, por medio de (13) podemos determinar su velocidadentre 0 y t. Ahora podemos hacer un proceso similar, usando (7), para deter-minar r(t) a partir de r(0) y de v(τ ) entre 0 y t. Ası obtendremos

r(t) = r(0) +

t0

v(τ ) dτ. (14)

Las ecuaciones (13) y (14) representan justamente la solucion del problemainverso buscado.

Quizas la aplicacion mas simple de las ecuaciones (13) y (14) consiste enencontrar la trayectoria de una partıcula sometida a aceleracion constante, dig-amos a = g (esta situacion corresponde precisamente a la de una partıculamoviendose en el campo gravitatorio uniforme, cerca de la superficie de la tierra;

4



en este caso g esta dirigido a lo largo de la vertical hacia abajo y su magnitud

esta dada aproximadamente por g = |g| ≈ 9, 81 [m/seg2

]; g se conoce habitual-mente como aceleraci´ on de gravedad ). Haciendo pues a = g (constante) en (13)obtenemos de inmediato

v(t) = v(0) + g t. (15)

Reemplazando esta expresion para v(t) en (14) e integrando, obtenemos

r(t) = r(0) + v(0) t +1

2gt2, (16)

(aquı hemos usado que t0

τ dτ = t2/2). La ecuacion (16) determina entonces laposicion de una partıcula que se mueve ba jo la accion del campo gravitatoriouniforme g una vez conocido su estado inicial r(0) y v(0). Si elegimos el origenO justo en el punto inicial de la trayectoria r(0) tendremos

r(t) = v(0) t +1

2gt2, (17)

y observamos que r(t) es una combinacion lineal de dos vectores constantes v(0)y g. Si estos dos vectores son linealmente independientes, generan un plano. Asıpues la trayectoria de la partıcula, determinada a partir de (17), esta contenidaen el plano generado por v(0) y g. Por otra parte, si v(0) y g son colineales,entonces la partıcula se mueve a lo largo de la lınea generada por g, que pasapor el origen. Retornaremos a este problema mas adelante en este capıtulo,cuando veamos el Lanzamiento de Proyectiles).

Sistemas de Coordenadas

Con el objeto de representar los vectores discutidos en la seccion precedente,en partıcular el vector posicion de la partıcula, es conveniente utilizar algunossistemas de coordenadas. Los mas usuales son los sistemas de coordenadascartesianas, polares, cil ındricas y esfericas, sistemas que discutiremos en detallea continuacion.

Coordenadas Cartesianas

Este es el sistema mas simple de coordenadas. Para representar al vector rutilizamos su proyeccion a lo largo de tres ejes ortogonales, fijos, los que deno-taremos como OX , OY y OZ , respectivamente, tal como se indica en la figura4. Llamaremos ı al vector unitario a lo largo de OX , ˆ al vector unitario a lolargo de OY y k al vector unitario a lo largo de OZ . A la proyeccion de r a lolargo de OX (i.e., a r · ı) la denotaremos por x. A las proyecciones de r a lolargo de OY y OZ las llamaremos y y z respectivamente.

De este modo, podemos representar al vector r (en la base de vectores

ortonormales ı, ˆ , k) por

r = x ı + y ˆ + z k. (18)

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Fig. 4: Coordenadas Cartesianas

Puesto que el vector r es una funcion del tiempo, tambien lo son sus coordenadas

x, y, z. Por otra parte los vectores de la base, ı, ˆ , k, son constantes. Derivandocon respecto al tiempo la expresion (18) para r, obtenemos la correspondienteexpresion para la velocidad en cartesianas. Como los vectores de la base sonconstantes, al derivar (18) obtenemos

v =dx

dtı +

dy

dtˆ +

dz

dtk. (19)

Derivando a su vez (19) con respecto al tiempo, obtenemos la expresion para laaceleracion en cartesianas,

a =

d2x

dt2 ı +

d2y

dt2 ˆ +

d2z

dt2 k. (20)

De ahora en adelante utilizaremos una notacion introducida por Newton paraescribir las diferentes derivadas con respecto al tiempo. Ası pues, denotaremospor

x ≡dx

dt, y ≡

dy

dt, x ≡

d2x

dt2etc., (21)

Con esta notacion podemos escribir

v = xı + yˆ + zk, (22)

ya = xı + yˆ + zk, (23)

repectivamente. Para ilustrar el uso de coordenadas cartesianas volvamos alejemplo de una partıcula moviendose en un campo gravitatorio uniforme quediscutimos en la seccion anterior. Elijamos el origen de coordenadas de modoque coincida con r(0); entonces, la posicion de la partıcula queda determinadapor (17). Ahora elegimos el eje OZ de modo que coincida con la direccion delcampo gravitatorio. De este modo

g = −g k, (24)

en que g denota la aceleracion de gravedad. Consideremos luego el vector v(0).Como hemos dicho antes, si v(0) es colineal con g, el movimiento de la partıcula

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es rectilıneo. En cambio, si v(0) no es colineal con g, siempre podemos escoger

como eje OY a la direccion paralela al vector v(0) − vz(0)ˆk (aquı vz(0) denotala proyeccion de v(0) sobre el eje OZ ). Con esta eleccion tenemos

v(0) = vy(0)ˆ + vz(0)k, (25)

y, reemplazando (24) y (25) en (17) obtenemos

r(t) = y(t)ˆ + z(t)k, (26)

en quey(t) = vy(0) t (27)

y

z(t) = vz(0) t−

1

2 g t2

, (28)

respectivamente.

Coordenadas Polares

En diversas circunstancias, el sistema de coordenadas cartesianos no resulta elmas apropiado. Por ejemplo, al discutir el movimiento de un pendulo simple,o al describir la orbita de un satelite bajo la accion del campo gravitatorioterrestre, las ecuaciones de movimiento en cartesianas son mas bien complicadas.

En esos casos resulta mucho mas adecuado usar coordenadas polares, las queintroducimos a continuacion.

Consideremos una partıcula en movimiento en un plano. Por supuestopodemos representar el movimiento de la partıcula en coordenadas cartesianas(x, y) como se indica en la figura 4. Sin embargo, tambien podemos usar otrosparametros para representar la posicion P de la partıcula.

Fig. 5: Coordenadas Polares

En efecto, podemos determinar completamente la posicion P especificandola distancia de P al origen O y el angulo que forma OP con un eje fijo (porejemplo el eje OX ). Llamemos pues ρ a la distancia de O a P y θ al angulo

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entre OX y OP . Entonces la posicion de P queda especificada completamente

por los valores de ρ y θ. Al par (ρ, θ) los llamaremos coordenadas polares.Aquı ρ es una longitud y es siempre positiva o cero, en cambio θ es un anguloque usualmente tomaremos entre 0 y 2π. Usando la geometrıa del trianguloOQP de la figura, resulta elemental encontrar la relacion entre el par (x, y) decoordenadas cartesianas y el par (ρ, θ) de coordenadas polares. De la figuratenemos

x = ρ cos θ y = ρ senθ. (29)

Usando el Teorema de Pitagoras tambien tenemos

ρ =

x2 + y2, (30)

y, por ultimo, de la geometrıa del triangulo OQP tenemos

tan θ = yx

, (31)

de modo que

θ = arctany

x. (32)

Con el objeto de representar los vectores r, v y a en este sistema de coor-denadas, elegiremos una base apropiada. Llamaremos ρ al vector unitario a lolargo de r (i.e., a la direccion θ = constante, o, en otras palabras, la direccion

de maximo crecimiento de la variable ρ). Por otra parte, llamaremos θ al vectorunitario ortogonal a ρ, dirigido en la direccion de crecimiento del angulo θ (verfigura 6).

Fig. 6: Base del sistema de coordenadas polares

Fig. 6: Base del sistema de coordenadas polares

La base de vectores ρ, θ varıa en el tiempo, junto con el movimiento delpunto P . En cambio la base de vectores ı, ˆ esta fija. Con el objeto de calcularla dependencia temporal de ρ y θ en el tiempo, conviene representar los vectoresmoviles ρ y θ en la base ı, ˆ . De la figura 6 tenemos

ρ = cos θ ı + senθ ˆ (33)

8



yˆθ = −senθ ı + cos θ ˆ . (34)

Es evidente de la figura 5, ası como tambien de las ecuaciones (33) y (34), que

los vectores ρ y θ solamente varıan si varıa el angulo θ. Derivando (33) conrepecto a θ vemos que

dρ

dθ= −senθı + cos θˆ = θ. (35)

Por otra parte, diferenciando (34) con respecto a θ obtenemos

dθ

dθ= − cos θı − senθˆ = −ρ. (36)

Que la derivada de ρ sea proporcional a θ es una consecuencia del hecho que ρ esunitario. En efecto, derivando la igualdad ρ · ρ = 1 con respecto a θ, obtenemosde inmediato que ρ ·dρ/θ = 0, es decir dρ/dθ es ortogonal a ρ. Como estamos enun espacio de dos dimensiones, esto a su vez implica que dρ/dθ debe ser paralelo

a θ.Con estos preliminares podemos ahora obtener las expresiones para los vec-

tores posicion, velocidad y aceleracion en coordenadas polares. De la figura ??,obtenemos de inmediato

OP ≡ r = ρρ. (37)

Para obtener la velocidad derivamos (37) con respecto al tiempo. De este modo,usando la regla de Leibniz, tenemos

v = dρdt

ρ + ρ dρdt

. (38)

Hemos visto anteriormente que ρ varıa solo si θ varıa. Ası pues, usando la reglade la cadena y (35) obtenemos

dρ

dt=

dρ

dθ

dθ

dt=

dθ

dtθ. (39)

Para referencia futura es conveniente calcular dθ/dt. Procediendo en formaanaloga a la maera que obtuvimos (39), se tiene

dθ

dt

=dθ

dθ

dθ

dt

= −dθ

dt

θ. (40)

Reemplazando (39) en (38) y utilizando la notacion de Newton para denotar lasderivadas temporales, finalmente obtenemos,

v = ρρ + ρθθ. (41)

Una vez obtenida la velocidad es simple obtener la aceleraci on iterando el pro-cedimiento anterior. De hecho, derivando (41) con respecto al tiempo, y uti-lizando la regla de Leibniz, se tiene

a = ρρ + ρdρ

dt+ ρθθ + ρθθ + ρθ

dθ

dt. (42)

9



Finalmente, reemplazando las expresiones para dρ/dt y dθ/dt obtenidas en (39)

y (40) respectivamente, obtenemos finalmente la expresion para la aceleracionen coordenadas polares

a =

ρ− ρθ2

ρ +

2 ρθ + ρθ

θ. (43)

Para ilustrar el uso de las coordenadas polares, consideremos el movimientode una partıcula en un circunferencia con rapidez constante, i.e., el movimiento

circular uniforme. Consideremos pues una circunferencia de radio R sobre lacual se mueve una partıcula con rapidez constante v0. Con el objeto de describirel movimiento de la partıcula elijamos un sistema de coordenadas polares conorigen en el centro de la circunferencia (ver figura ??).

Movimiento Circular Uniforme

Dada esta eleccion de coordenadas, ρ = R es constante y por lo tanto ρ =ρ = 0. Reemplzando estos valores en (41) tenemos

v = Rθθ. (44)

Como la partıcula esta obligada a moverse en la circunferencia, solo tiene com-ponente tangencial de la velocidad (i.e., solo la componente a lo largo de θ desu velocidad es no nula). Ademas, de (44) tenemos

v0 = θR, (45)

de modo que la velocidad angular ω ≡ θ de la partıcula es constante y esta dadapor ω = v0/R. Ya que ω = θ es constante para este movimiento, entonces θ = 0.

Reemplazando ρ = R, ρ = ρ = 0, y θ = 0 en (43) se tiene,

a = −Rω2ρ = −v20

Rρ. (46)

Entonces, para el movimiento circular uniforme la aceleracion de la partıcula escentrıpeta (i.e., es radial y dirigida hacia el centro de la circunferencia). Nota:La expresion (46) para la aceleracion de una partıcula en movimiento circularuniforme fue obtenida por primera vez por Christian Huygens (1629–1695) (e.g.,ver por ejemplo [2], que es una excelente referencia para distintos temas de lahistoria de la mecanica; ver tambien [3]).

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Coordenadas Cilındricas

Consideremos una partıcula P que se mueve en el espacio. En lugar de repre-sentar la posicion de P en coordenadas cartesianas como lo hicimos mas arriba,podemos proyectar su movimiento a lo largo de un eje (llamemos OZ a esteeje) y sobre el plano perpendicular a OZ , digamos el plano XY , y utilizarcoordenadas polares sobre este plano.

En la figura ?? el punto P se mueve en el espacio, Q representa su proyeccionen el plano XY , z mide la altura de P sobre el plano (i.e., la coordenada a lolargo del eje OZ ). Para describir la posicion de Q sobre el plano XY utilizamoscoordenadas polares. Elegimos como eje polar a un eje fijos sobre el plano,que llamaremos OX . A la distancia del origen de coordenadas O al punto Qla llamremos ρ, en tanto que al angulo entre OQ y OX lo llamaremos θ. La

posicion de P queda completamente determinada al especificar los valores deρ, θ y z. A este conjunto de parmetros los llamaremos coordenadas cilındricas.La coordenada z varıa entre −∞ y +∞, la coordenada ρ entre 0 e ∞ y θentre 0 y 2π. En la figura ?? tambien hemos representado la base de vectoresortonormales ρ, θ y k, dirigidos a lo largo de las direcciones de crecimiento deρ, θ y z respectivamente. Los vectores ρ y θ yacen sobre el plano XY en tantoque k es perpendicular al plano.

Coordenadas Cilındricas

Una vez introducidas las coordenadas cilındricas procedemos como en loscasos anteriores a encontrar las expresiones para los vectores posicion, velocidady aceleracion de P enestas coordenadas. Del triangulo OQP de la figura ??

tenemos de inmediator = ρ ρ + z k. (47)

Derivando r con respecto al tiempo, utilizando (39), (40) (o mejor aun directa-mente (41) para expresar la derivada de OQ con respecto al tiempo) obtenemos

v = ρ ρ + ρ θ θ + zk. (48)

Aquı hemos usado que el vector k, como en el caso de las coordenadas carte-sianas, es constante.

Finalmente, derivando (48) con respecto al tiempo y utilizando (43), obten-emos

a =

ρ − ρ θ2

ρ +

2 ρ θ + ρ θ

θ + z k. (49)

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Ejemplo: Como aplicacion del uso de las coordenadas cilındricas encontraremos

la posicion, velocidad y aceleracion de una partıcula que se mueve con rapidezuniforme, v0, a lo largo de una helice. La helice es la curva que se obtiene altrazar una recta sobre el plano y luego enrollar el plano alrededor de un cilindro,tal como se indica en la figura ??. Alternativamente es la curva que describe lapunta de la helice de un avion que se mueve a velocidad constante.

Movimiento a lo largo de una helice

De esta definicion la ecuacion de la helice en coordenadas cilındricas quedadada por

ρ = R z =b

2πθ, (50)

en que R es el radio de la helice y b el paso de la helice, es decir cuando aumentaz al girar una vuelta (i.e., al avanzar θ en 2π). Notese para la helice z es

multivaluada, y por lo tanto tenemos que tomar θ variando entre −∞ y +∞para especificar completamente la posicion de un punto sobre la helice.

Derivando (50) con respecto al tiempo obtenemos de inmediato

ρ = ρ = 0, z =b

2πθ, y z =

b

2πθ. (51)

Substituyendo los valores dados por (50) y (51) en (47) y (48) encontramos

r = R ρ +b

2πθ k, (52)

v =

R θ +

b

2πk

θ, (53)

respectivamente. Notese que la componente radial de la velocidad es nula comoera de esperar pues la partıcula se mueve sobre la superficie del cilindro de radioR (la velocidad es tangencial a la superficie del cilindro).

Como la magnitud de v es constante, e igual a v0, en este ejemplo, de (53)obtenemos

θ =v0

R2 + (b/(2π))2. (54)

Notese que en este caso la velocidad angular, θ, es constante y por lo tantoθ = 0. Finalmente usando (50), (51), y (54) en (49) obtenemos

a = −Rθ2 ρ = −v20

R

R2 + (b/(2π))2ρ. (55)

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Notese que si hacemos b = 0 en (53), (54), y (55), reobtenemos las expre-

siones correspondientes del movimiento circular uniforme que habıamos obtenidoen la seccion anterior. Esto era de esperarse, pues si el paso de la helice es nulo,el movimiento sobre la helice se reduce al movimiento sobre un c ırculo.

Coordenadas Esfericas

Consideremos una partıcula P que se mueve en el espacio. En lugar de repre-sentar la posicion de P en coordenadas cartesianas como lo hicimos mas arriba,podemos usar coordenadas esfericas. En la figura 10 el punto P se mueve en elespacio, Q representa su proyeccion en el plano XY , R representa su proyeccion

en el plano XZ . Llamaremos r a la distancia OP , i.e., al largo del vector r. Asımismo llamaremos θ al angulo entre OP (vector posicion) y el eje z. Finalmentellamaremos ϕ al angulo entre OQ y el eje x. A este conjunto de parmetros(r,θ,ϕ) lo llamaremos coordenadas esfericas. Aquı, la coordenada r es no neg-ativa (i.e., r ≥ 0), en tanto que 0 ≤ θ ≤ π, y 0 ≤ ϕ ≤ 2 π. En la figura 10

tambien hemos representado la base de vectores ortonormales r, θ y varphi, di-rigidos a lo largo de las direcciones de crecimiento de r, θ y ϕ respectivamente.Los vectores r y θ yacen en el plano (vertical) que contiene al eje z y a la rectaP Q, en tanto que ϕ yace en el plano XY .

r^

θ^

ϕ

r

xy

z

O

Q

R

S

P

ϕ

θ

Coordenadas Esfericas

Descomponiendo r, θ y ϕ, obtenemos las relaciones siguientes:

r = senθ (cos ϕ ı + senϕ ˆ ) + cos θ k, (56)

θ = cos θ (cos ϕ ı + senϕ ˆ ) − senθ k, (57)

y,ϕ = −senϕ ı + cos ϕ ˆ . (58)

Derivando estas expresiones es simple obtener,

∂ r

∂θ= θ,

∂ r

∂ϕ= senθ ϕ, (59)

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∂ θ

∂θ

= −r,∂ θ

∂ϕ

= cos θ ϕ, (60)

y∂ ϕ

∂ϕ= −senθr − cos θ θ. (61)

Tal como lo hicimos en el caso de las coordenadas polares, ahora encon-traremos las expresiones para el vector posicion, la velocidad y la aceleracion encoordenadas esfericas, usando las expresiones (59), (60), y (61). De la definicionde r y de r (ver tambien la figura 10) tenemos que,

r = r r. (62)

Derivando (62) con respecto al tiempo y usando la regla de la cadena tenemos,

v = drdt

= rr + r(θθ + senθφ ϕ). (63)

Para obtener el termino entre parentesis en la ultima ecuacion usamos la reglade la cadena para obtener,

dr

dt=

∂ r

∂θθ +

∂ r

∂ϕϕ,

y luego (59) para obtener finalmente

dr

dt= θθ + senθϕ ϕ.

Derivando luego (63) y procediendo de un modo analogo, uno finalmente en-cuentra,

a =r − rθ2 − rsen2θϕ2

r

+

2rθ + rθ − senθ cos θϕ2

θ

+

2rsenθϕ + rsenθϕ + 2r cos θθϕ

ϕ. (64)

Antes de cerrar este capıtulo deseamos discutir dos problemas tıpicos. El

primero es el lanzamiento de proyectiles y el segundo los problemas de perse-cucion.

Lanzamiento de Proyectiles

El lanzamiento de proyectiles fue analizado correctamente por primera vez porGalileo Galilei (1564–1642). El problema, por supuesto, es encontrar la trayec-toria de una partıcula que es arro jada con rapidez inicial v0 formando unangulo

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θ con la horizontal, en presencia de un campo gravitacional uniforme g dirigido

a lo largo de la vertical, hacia abajo (ver figura ).Como hemos visto anteriormente, la ecuacion que gobierna el movimientodel proyectil es la ecuacion (17). Hemos visto que el movimiento de tal proyectilocurre en un plano. Si elegimos las coordenadas cartesianas (y, z) para describirel movimiento del proyectil en el plano, entonces la evoluci on de las coordenadasy(t) y z(t) del proyectil esta dada por (25) y (26) respectivamente. En terminosde la rapidez inicial v0 y del angulo de tiro θ, tenemos vy(0) = v0 cos θ y vz(0) =v0senθ. Reemplazando estas expresiones en (25) y (26) respectivamente, elmovimiento del proyectil esta dado en forma parametrica (i.e., en la formay = y(t), z = z(t) con el tiempo como parametro) por

y(t) = v0 cos θ t, (65)

yz(t) = v0senθ t−

1

2g t2. (66)

Recordemos que hemos elegido el origen de coordenadas de modo que coincide justo con el punto de lanzamiento y hemos establecido t = 0 como el instanteen que se arroja el proyectil.

Si despejamos el tiempo t de (65) en terminos de y, y lo remmplazamos en(66) obtenemos

z = tan θ y −1

2

g

v20

cos θ2y2. (67)

(67) corresponde a la ecuacion de una parabola en el plano (y, z), invertida, ycon eje de simetrıa el eje z. Completando el cuadrado en (??) podemos escribir

la ecuacion de la parabola como

z = −1

2

g

v20

cos θ2

y −

v20

sin θ cos θ

g

2

+1

2

v20

gsin2 θ. (68)

De (68) vemos que la altura maxima que alcanza el proyectil es

h = h(v0, θ) =1

2

v20

gsin2 θ, (69)

altura que ocurre cuando el proyectil se encuentra a una distancia horizontal d =d(v0, θ) =≡ v2

0sin θ cos θ/g desde el punto de lanzamiento. En otras palabras,

el vertice de la parabola se encuentra en el punto (d, h) del plano. Quizas la

propiedad mas importante en el lanzamiento de proyectiles es el rango, i.e., aque distancia desde el punto de lanzamiento se encuentra el proyectil cuandotoca tierra (cuando z = 0 nuevamente). El rango R = R(v0, θ) es facil deobtener a partir de (??). Haciendo z = 0 en (67) obtenemos dos soluciones paray, digamos y = 0 e y = R en que

R(v0, θ) =v20g

2 sin θ cos θ =v20g

sin2 θ. (70)

Notese que R = 2 d, lo que era de esperar pues el eje de simetrıa de la parabolaes la recta z = d. Tanto el rango, R, como la altura maxima que alcanza elproyectil, h, son funciones de los datos del lanzamiento v0 y θ. En particular,

15



ambos son proporcionales a v20

/g que es la unica expresion con dimensiones de

longitud que podemos construir a partir de v0 y g.Para una rapidez inicial v0 dada, si consideramos el rango como funcion delangulo de lanzamiento, θ, este es maximo cuando el angulo de lanzamiento esπ/4 (i.e., 45◦). Ademas, como la funcion seno satisface sin α = sin(π − α), elrango correspondiente a un angulo θ es igual al rango correspondiente a π/2− θ(en otras palabras, la funcion R(v0, θ) es simetrica con respecto a 45◦).

Problemas de Persecucion: La Dama y el Perrito

Los problemas de persecuci´ on son un tema clasico de la cinematica. Tradicional-

mente llevaban el rotulo del mercante y el pirata (ver [?]). Las herramientasde calculo que se usan en este tipo de problemas son un poco mas sofisticadasque la del resto del capıtulo, de modo que esta seccion se puede saltar en unaprimera lectura y retornar a ella mas adelante.

Considere dos puntos (la dama y su perrito); el primero, Q(la dama), semueve en lınea recta con velocidad constante v y el segundo, P (el perrito), de-scribe una curva con rapidez constante u de modo que en todo instante se dirigehacia su amo (la dama). El objeto es determinar la ecuacion de la trayectoriade P , en los distintos casos (u < v, u = v, y u > v). Existen muchas variantesde este tipo de problemas. El lector interesado puede consultar [?].

Con el objeto de encontrar la trayectoria del perrito, elegiremos coordenadascartesianas. Elegimos el eje OX de modo que coincida con la trayectoria de ladama. Denotaremos por C a la trayectoria del perrito. El perrito recorre C conrapidez constante u, de modo que en todo instante t, la recta tangente a C enel punto P intersecat al eje OX justo en Q, i.e., en la posicion de la dama en elinstante t. Si consideramos la trayectoria de la dama como todo el eje OX , edsclaro que sobre la curva C debe haber un punto A tal que la tangente a C en Aes perpendicular al eje OX . Elegiremos justamente la tangente a C en A comoel eje OY . Llamemos x e y a las coordenadas del perrito P en un instante dado(i.e., P = (x, y). Como P y Q recorren sus respectivas trayectorias con rapidezconstante, debemos tener

AP

u=

OQ

v, (71)

ya que A, O y P , Q son dos pares de posiciones simultaneas del perrito y de ladama. Por definicion de la tangente a C en el punto P tenemos que

M Q

M P = −

dx

dy, (72)

en que el punto M es la proyeccion de P sobre el eje OX . El signo menosse ha introducido en (72) para tomar en cuenta que la curva C tiene pendientenegativa en P . Ahora, AP = s es el arco descrito por el perrito sobre C (medidoa partir del punto A), en tanto que OQ = OM + M Q. Pero, por construccion,OM = x y M P = y, de modo que podemos reescribir (71, usando (72, como

v

us = e s = x− y

dx

dy, (73)

16



en que hemos definido e ≡ v/u.

Por otra parte, a lo largo de la curva C, el elemento de arcoesta dado (usando el Teorema de Pitagoras) por

ds =

dx2 + dy2, (74)

de donde sigue

ds

dy= −

1 +

dx

dy

2

, (75)

en que el signo menos proviene del hecho que s aumenta cuando y disminuye.Derivando la ecuacion (73) con repecto a y, usando (75), obtenemos

e

1 +dx

dy2

= yd2x

dy2 , (76)

la cual es una ecuacion diferencial de primer orden para f = dx/dy que se puederesolver mediante separacion de variables. En efecto, la ecuacion (76) se puedeescribir como

df 1 + f 2

= edy

y, (77)

cuya integral essinh−1 f = log ye + c, (78)

en que c es una constante de integracion. Sin embargo, f = dx/dy = 0 paray = OA ≡ a, lo cual determina la constante de integracion. Tenemos entonces

sinh−1 f = log(y

a)e (79)

de modo que, usando la definicion de la funcion senh(x), (i.e., sinh x = (exp x−exp(−x))/2), obtenemos

f =dx

dy=

1

2

(

y

a

e

−a

y

e

. (80)

Para determinar si el perrito alcanza a la dama, debemos ver si la curva Cintercepta al eje OX .

References[1] Benguria, R.D. y Depassier, M.C., Problemas Resueltos de Mecanica

Clasica, Ediciones Universidad Catolica de Chile, Santiago de Chile, 1995.

[2] Dugas, Rene, A history of mechanics, Dover, NY, 1988.

[3] http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Huygens.html

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EJERCICIOS

1. Una partıcula viaja a lo largo de la curva de lafigura desde A a B en un segundo. Si se demoratres segundos para ir de A hasta C , determine lavelocidad media cuando va de B a C . ¿Cual es larapidez media al ir de B a A ?

2. Una partıcula se mueve a lo largo de una trayectoria parabolica definida por la ecuacion y = cx2,con una rapidez constante v0. Encuentre expresiones para la velocidad v y la aceleracion a de lapartıcula, cuando esta se encuentra el la posicion (x0, y0).

3. Imagine un rıo con orillas paralelas entre las cualeshay una distancia ℓ. La velocidad de la corriente esuniforme a todo el ancho del rıo, e igual a u. ¿ Conque velocidad mınima, constante respecto del agua,debera navegar un bote para que, partiendo desdeel punto A vaya a parar a un punto B en la orillaopuesta que se encuentra a una distancia s corriente

aba jo? ¿ A que distancia mınima sera llevado el botecorriente abajo durante el cruce del r ıo, si la rapidezdel bote con respecto al agua es v.

4. Dos trenes, uno de los cuales lleva una velocidad de 100 [km/hr] y el otro una velocidad de 120[km/hr], se dirigen uno hacia el otro en la misma vıa recta. Cuando los trenes estan a una distanciade 3.200[m], ambos maquinistas ven simultaneamente al tren que se les acerca y aplican los frenos.Si los frenos retardan a ambos trenes a razon de 0, 915[m/seg2], diga si los trenes chocaran.

5. Una partıcula se mueve en una espiral plana r = A exp(kθ), tal que la rapidez se mantieneconstante e igual a v0. Determine:i) v en funcion de r y θ;ii) a en funcion de r y θ;iii) demuestre que en todo instante la aceleracion es perpendicular a la velocidad; yiv) encuentre el angulo θ y la velocidad angular θ en funcion del tiempo.

6. El mecanismo que se muestra en la figura adjuntatransforma un movimiento de rotacion en otro lineal.El vastago A, fijo en la barra OA se encuentra a 8[cm]de O y desliza en la ranura a medida que el brazo OAgira a una tasa constante de 3 radianes por segundo,

18



en el sentido indicado. Como consecuencia de este

movimiento la barra B se mueve verticalmente. De-scriba el movimiento de B y en particular determinesu aceleracion cuando θ = 30◦.

7. Un camarografo de TV filma desde el punto A elauto de carrera B que se desplaza en un tramo curvo(ver figura) con una rapidez constante de 20 [m/seg].Determine, para la posicion indicada en la figura, lavelocidad angular del camarografo de modo que en lafilmacion el auto aparezca en el centro de la pantalla.

8. El piloto de un avion que transporta un paquetede correo a un lugar remoto desea soltarlo en el mo-mento justo para que alcance el punto A. ¿ Queangulo θ con la horizontal debera formar la visualal blanco en el instante del lanzamiento? El avionvuela horizontalmente a una altura de 152 [m] conuna velocidad de 193 [km/h].

9. Desde la superficie terrestre es necesario dar con una piedra en un blanco situado a una alturah y a una distancia s por la horizontal. ¿ Cual es la velocidad inicial mınima que debe tener lapiedra para dar en el blanco? Desprecie la resistencia del aire.

10. Un punto se mueve sobre un camino circular en el plano xy, con coordenadas dadas porx = r cos(αt2/2), y = rsen(αt2/2), donde r y α son constantes. Interprete el significado de r y αy determine las componentes x e y de la aceleracion del punto cuando (a) t = 0 y (b) αt2 = π.

11. El movimiento del rodillo A, en la ranura circu-lar fija, esta gobernado por el brazo OA, cuya partesuperior desliza libremente en la inferior para aco-modarse a la variacion de la distancia de A a O al

variar θ. Si el brazo tiene una velocidad angularconstante, en sentido antihorario, θ = K durante unintervalo de su movimiento, determine la aceleraciona del punto A para cualquier posicion en dicho inter-valo.

θΟ

Α

Β

12. La velocidad de salida de un fusil de largo al-cance, situado en A, es u = 360 [m/s]. Determi-nar los dos angulos de elevacion θ que permitiran alproyectil alcanzar el blanco B de la montana.

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13. Se lanza una pelota desde el punto A de la figura

con un angulo de 45◦

con respecto a la horizontal ycon una rapidez de 20 [m/seg]. Encuentre la distan-cia horizontal recorrida por la pelota en su trayecto-ria hasta C .

14. Un carro rueda de manera uniforme, con rapidezv0 por un camino con el pavimento mojado. ¿ Cuales la altura maxima que pueden alcanzar las gotas deagua que se desprenden de la corona de las ruedas?En la figura, el angulo ϕ determina la posicion decualquiera de los puntos del borde de la rueda en losque se produce el desprendimiento de la gota.

15. Una pelota de basketball lanzada al canasto comienza a caer verticalmente desde este, sinvelocidad inicial. En el mismo instante, desde un punto situado a una distancia ℓ del canasto, setira una pelota de tenis contra la pelota de basketball. ¿ Con que velocidad inicial debe ser lanzadala pelota de tenis para que choque con la de basketball a una distancia h del cesto?

16. Un esquiador deja una rampa de salto conuna rapidez de 10 [m/s], formando un angulode 15◦ hacia arriba de la horizontal, como seindica en la figura. La inclinacion de la laderade la montana es de 50◦ y la resistencia del aire

es despreciable. Encuentre: a) la distancia ala que cae el esquiador a lo largo de la laderade la montana, y b) las componentes de lavelocidad justo en el instante en el que cae enla ladera.

150

500

10 m/s

rb 2006

d

20

cinemática (apunte de rafael benguria)

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