Chương III

ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT ĐiỂM

Nội lực là lực do các phần tử bên trong hệ tác dụnglên nhau. Ngoại lực là lực bên ngoài hệ tác dụng lêncác phần tử bên trong hệ.Theo ĐL Newton III thì tổng các nội lực bằngkhông.Từ đó suy ra tổng momen của các nội lực cũngbằng không.

1

2

3

I. Động lượng hệ chất điểm1. Định nghĩa:

2. Định lý và định luật ĐLHCĐa)

Fi là tổng các ngoại lực tác dụng vào chất điểm iF’i là tổng các nội lực tác dụng vào chất điểm i

i

iii

i vmpP

,;i i

i ii

d p d pdP F Fdt dt dt

,i i i

i i i

d P F F F Fdt

• Vậy:

là tổng các ngoại lực tác dụng vào HCĐ

b)

c) Nếu

d P Fdt

ii

F F

2

112

2

1

2

1

t

t

t

t

p

p

dtFPPdtFPd

0F p const

d) Nếu nhưng hình chiếu của lên một phương nào đó bằng không thì động lượng được bảo toàn theo phương đó .Ví dụ: Fx = 0 thì Px = constVí dụ: Một khẩu đại bác không có bộ phận chống giật, nhả đạn dưới một góc α = 45o so với mặt phẳng nằm ngang. Viên đạn có khối lượng m = 10kg và có vận tốc ban đầu vo = 200m/s. Đại bác có khối lượng M = 500kg. Hỏi vận tốc giật lùi của súng nếu bỏ qua ma sát

0F

F

Giải: Ngoại lực tác dụng lên hệ gồm trọng lực và phản lực của mặt đường có phương thẳng đứng. Nên hình chiếu của chúng lên phương ngang bằng khôngÁp dụng ĐLBTĐL theo phương ngang cho hệ gồm súng và đạn

smM

mvV

MVmv

/5,3cos0cos

Một người có khối lượng m = 60kg đứng trên một con thuyền dài 3m có khối lượng M = 120kg, đang đứng yên trên mặt nước yên lặng. Người đó bắt đầu đi từ mũi thuyền đến chỗ lái thuyền (đuôi thuyền). Hỏi khi người đó đi tới chỗ lái thuyền thì thuyền đã đi được một đoạn bao nhiêu? Bỏ qua sức cản của nước.

Áp dụng ĐLBTĐL cho hệ người và thuyền:

là vận tốc của người đối với bờlà vận tốc của thuyền đối với bờ

Gọi là vận tốc của người so với thuyền thì:

Ta có:

l là chiều dài thuyền, s là đoạn đường thuyền đi được trong thời gian t.

1 2 2 10 mmv M v v vM

1v

2v

'1v

' '1 1 2 1 1 2v v v v v v

'1 2;l sv v

t t

Do đó:

Mà:

'1 1 2

l sv v vt

1 2

1

l s smv Mv m Mt t

mls mm M

II. Khối tâm1.Định nghĩa: Khối tâm G của hệ chất điểm là vị trí

thỏa mãn hệ thức:

Mi là vị trí chất điểm i2. Vị trí khối tâm : đối với điểm O trong HQC nào

đó được xác định bởi vectơ vị trí

0i

ii GMm

OGrG

Ta có:

với

ii

ii

i

iii

iii

ii

ii

m

OMmOG

GMmOMmOGm

GMOMOG

M

rmr

ii

G

;i i i

ir OM M m

Tọa độ khối tâm trong hệ tọa độ Descartes:

Khối tâm của vật rắn: chia VR ra làm các phần tử khối lượng dm VCB coi như chất điểm:

x, y, z là tọa độ của phần tử khối lượng dm

; ;i i i i i i

i i iG G G

m x m y m zx y z

M M M

. . .; ;G G G

dm x dm y dm zx y z

M M M

Lưu ý:* Với các vật đồng chất mà dạng hình học có yếu tố

đối xứng thì khối tâm nằm trên các yếu tố đó.* Trong trọng trường khối tâm trùng với trọng

tâm, tuy nhiên khái niêm khối tâm có ý nghĩa cơ bản hơn trọng tâm bởi vì trong tình trạng không trọng lực trọng tâm không còn nhưng khối tâm vẫn có.

* Trong trọng trường đồng nhất có gia tốc g thế năng của VR bằng thế năng của khối tâm mang tổng khối lượng.

Nếu hệ S gồm hai hệ S1 và S2 thì:

• G, G1, G2 là khối tâm của S, S1, S2

• m1, m2 là khối lượng của S1, S2

21

2211

mmOGmOGmOG

3) Vận tốc khối tâm

4) Gia tốc khối tâm:MP

M

p

M

vmM

dtrdm

dtrdv

ii

iii

i

ii

GG

MF

dtPd

Mdtvda G

G 1

5) Phương trình chuyển động của khối tâm

Vậy khối tâm của hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng tổng khối lượng của hệ và chịu tác dụng của một lực bằng tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ đặt tại khối tâm.

6) Nếu thì :Khối tâm của hệ hoặc đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều

GaMF

0F constva GG 0

Ví dụ 1: Tại ba đỉnh của một tam giác đều cạnh a có đặt ba chất điểm, khối lượng lần lượt bằng m1, m2, m3. Xác định khối tâm của hệ ba chất điểm đó.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, ta có:

321

2

321

332211

321

32

321

332211

02

30

20

mmm

am

mmmymymymy

mmm

amam

mmmxmxmxmx

G

G

y

x●

●

●m1

m2

m3

O

Ví dụ 2: Xác định vị trí khối tâm của một sợi dây đồng chất, khối lượng m được uốn thành một cung tròn AB tâm O bán kính R với góc mở AÔB = 2αo

Vì sợi dây đối xứng qua đường phân giác của góc AÔB nên khối tâm của nó nằm trên đường phân giác này. Chọn trục Ox trùng với đường phân giác. Tọa độ khối tâm:

oo

o

ooG

o

G

RdRx

Rx

dRR

mdllmdm

xdmm

x

sincos2

cos

..2.

.1

O

R

A

αdα

x

B

Ví dụ 3: Xác định vị trí khối tâm của một hình quạt đồng chất, khối lượng m, bán kính R với góc mở AÔB = 2αo

d rdr

rd

dS rdrd

Vì hình quạt đối xứng qua đường phân giác của góc AÔB nên khối tâm của nó nằm trên đường phân giác này. Chọn trục Ox trùng với đường phân giác. Tọa độ khối tâm:

2

22

0

1 .

; cos.

1 cos

2 sin3

o

o

G

o

R

Go

oo

x dm xmm mdm dS rdrd x rS R

x r dr dR

R

O

A

dαα

R

rdr

x

B

dS

Ví dụ 4: Trên một đĩa tròn đồng chất bán kính R có khoét một lỗ tròn nhỏ bán kính r; tâm của lỗ khoét nằm cách tâm của đĩa một đoạn bằng R/2. Xác định vị trí khối tâm của đĩa trên.

Vì đĩa trên đối xứng qua đường thẳng đi qua OO’ nên khối tâm của nó nằm trên đường này, chọn trục Ox đi qua OO’. Áp dụng công thức:

XG là tọa độ khối tâm của đĩa nguyênXG1 và m1 là tọa độ khối tâm và khối lượng của đĩa bị khoét

21

2211mm

xmxmx GG

G

O O’ x

R

XG2 và m2 là tọa độ khối tâm và khối lượng của đĩa tâm O’ bán kính r

Vì đĩa đồng chất nên khối lượng tỉ lệ với diện tích do đó:

220

1

21

21

211 Rmmx

mm

RmxmG

G

2

)(

22

21

22

2

1

2

RrR

rx

rRr

mm

G

• Cho một sợi dây dài L đặt một phần trên mặt bàn láng nằm ngang. Phần còn lại có chiều dài d rũ xuống cạnh bàn như hình vẽ. Giả sử ta thả dây ở trạng thái nghĩ (coi như không có ma sát). Xác định vận tốc của sợi dây ở thời điểm nó hoàn toàn rời khỏi mặt bàn.

L-d

d

• Khối lượng phần dây chiều dài d rũ xuống mặt bàn:

• Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng, chọn gốc thế năng ở mặt bàn

' mm dL

2

2

2 2

1'2 2 2

12 2 2( )

d Lm g mv mg

m d Ldg mv mgL

g L dvL

III. Mômen ĐLHCĐ1. ĐN:2. Các định lý và ĐLMMĐLHCĐ:a) (1)

b) (2)

c) Nếu (3)là tổng mômen của các ngoại lực tác dụng

lên hệ chất điểm đối với điểm O.Chiếu (1), (2), (3) lên một trục nào đó đi qua O tađược các ĐLí và ĐLuật tương ứng với trục đó.

i

iLL

d Ld t

M

2 2 2

1 11

2 1

L t t

t tL

d L Mdt L L dt

M

0 L const M

M

;

( ')

' '

'

ii i i

i

i i ii i i i i

i ii i i i

i iii i i

d Ld L L r pdt dtd L d r d pp r r F Fdt dt dt

r F r F

d Ldt

M M

M M M M

IV. Mômen quán tính1.Định nghĩa: mômen quán tính của HCĐ đối với

một trục là đại lượng định nghĩa

là mômen quán tính của chất điểm i đối với trục, ri là khoảng cách từ chất điểm i đến trục

2.Mômen QT của vật rắn đối với một trục

r là khoảng cách từ phần tử khối lượng VCB dm đến trục

i

ii

ii IrmI 2

2iii rmI

VR

rdmI 2.

3.ĐLí Steiner-Huyghen:

I là mômen QT đối với trục bất kỳI0 là MMQT đối với trục đi qua khối tâm của VR và song songvới trục

d là khoảng cách giữa hai trục

d

20 MdII

G

• Xác định momen quán tính của một thanh đồng chất dài l, khối lượng m đối với các trục sau:a) Trục đi qua điểm giữa của thanh và tạo với thanh một góc α.b) Trục đi qua điểm giữa của thanh và thẳng góc với thanhc) Trục vuông góc với thanh và đi qua một đầu thanhd) Trục song song với thanh và cách thanh một đoạn d.

a) Chia thanh thành các phần tử khối lượng dm, chiều dài dx coi như chất điểm

22 2

2

22 2 2 2

2

. .( sin )

1sin sin12

l

l

l

l

mI dm r dx xl

m x dx mll

x dx

r

b)

c)

d)

212 12

I ml

22 2

2

2 2

0

.

13

l

l

l

mI dm x x dxl

m x dx mll

2 2 2.I dm d d dm md

x dx

x dx

d

Ví dụ : Xác định mômen quán tính của:1) Một vành tròn ( hình trụ rỗng) đồng

chất khối lượng m, bán kính R đốivới trục đi qua tâm và thẳng góc vớimặt phẳng của vành.

2) Một đĩa tròn ( hình trụ đặc) đồngchất khối lượng m, bán kính R đốivới trục đi qua tâm và thẳng góc vớimặt phẳng của đĩa.

1)

2

2

2

.I dm R

R dm

I mR

2)

22

23

20 0

2

. ;

12

R

mI dm r dm rdrdR

mI r dr dR

I mR

Ví dụ : Xác định mômen quán tính của:1) Một vành tròn đồng chất khối lượng

m, bán kính R đối với trục đi qua tâmvà nằm trong mặt phẳng của vành.

2) Một đĩa tròn đồng chất khối lượng m, bán kính R đối với trục đi qua tâm vànằm trong mặt phẳng của đĩa.

a)

α

2

2 2

22

222 2

0

.( sin )

. sin2

sin2

1sin2 2

dI dm Rm Rd R

RmR d

mRI dI d mR

b) Chia đĩa thành các vành tròn bán kính r bề dày dr, khối lượng của nó là:

2 2

22m mrdrdm rdrR R

32

2

3 22

0

12

14

R

mr drdI dmrR

mI dI r dr mRR

3)Một đĩa bằng đồng khối lượng riêng ρ có bề dày b, bán kính R.Đĩa bị khoét thủng hai lỗ tròn bán kính R/2 như hình vẽ. Tìm mômen quán tính của đĩa đã bị khoét đối với trục vuông góc với đĩa và đi qua tâm O của đĩa

O

Ta có: Io, I1, I2 lần lượt là MMQT của đĩa khi chưa bị khoét và mỗi phần khoét đối với trục vuông góc với đĩa và đi qua tâm O của đĩa. Ta có:Với

)( 21 IIII o

2

2 2

1 2 1 1

2

2 4

1

12

12 2 2

52 16

o o

o

I m R

R RI I m m

m b R

R bRm b I

4) Tìm mômen quán tính của bản mỏng đồng chất hình chữ nhật khối lượng m, các cạnh là a và b đối với trục vuông góc với mặt bản và đi qua một đỉnh của bản.

Momen QT đối với trục đi qua khối tâm và thẳng góc với mặt bảng

dxambdx

abmdm

xdmbdmdI

22 ..121

2 22 2

2 2

2 2

112

112

a a

oa a

m mI dI b dx x dxa a

m a b

MMQT đối với trục đi qua một đỉnh của bảng và thẳng góc với mặt bảng. Áp dụng ĐL Steiner –Huyghen

2222

31

44bambamII o

V. Chuyển động của Vật Rắn:1) Chuyển động tịnh tiến:

Vật rắn chuyển động tịnh tiến khi vectơ nối hai điểm M,N bất kỳ của nó không đổi trong quá trình chuyển động

Lấy đạo hàm hai vế, ta suy ra

M

M MN

N

N

;N M M NV V a a

cOMONcMN

Vậy các chất điểm của VR đều có cùng vectơ vận tốc và gia tốc. Do đó để xác định chuyển động tịnh tiến của VR, ta chỉ cần xác định chuyển động của một điểm trên VR, thường chọn khối tâm.Chú ý: Trong chuyển động tịnh tiến QĐ của các chất điểm của vật rắn có thể là các đường congPhương trình chuyển động tịnh tiến của VR

M là khối luợng của VRlà tổng các ngoại lực tác dụng vào VR

aMF

F

2. Chuyển động quay quanh một trục cố địnhVR (cố thể) chuyển động quay quanh một trục cố định nếu có hai điểm đứng yên. Mọi chất điểm nằm trên đường nối hai điểm này, gọi là trục quay của VR, cũng đứng yên. Các chất điểm không nằm trên trục quay chuyển động tròn có tâm nằm trên trục và bán kính bằng khoảng cách từ chất điểm đến trục quay.Khi VR quay quanh một trục cố định thì:* Trong cùng khoảng thời gian, mọi điểm của VR đều quay được cùng một góc θ.

* Tại cùng một thời điểm, mọi điểm của VR đều có cùng:vận tốc góc :

và gia tốc góc :

dtd

dtd

a)MMĐL của HCĐ quay quanh một trục cố định:Ta đặt trục z trùng với trục quay cố định. Trên trục z ta lấy một điểm O

O

z

ir

i i ip m v

MMĐL của chất điểm i đối với điểm O, theo ĐN là:

MMĐL của HCĐ đối với điểm O:

MMĐL của HCĐ đối với trục z

i i i iL r m v

i

iLL

i

izz LL

Môđun của là

trong đó Ri là khoảng cách từ chất điểm i đến trục quay. Vì nằm trên trục z nên hình chiếu của lên trục z là:

Vậy

nếu cùng chiều với trục z và âm nếu ngược lại

2i i i i i i i i i i i i iL m rv m r R m r I

iL

iL

iL

iiiiz ILL

i

iii

izz ILL

0i i

b)Mômen ĐL của VR quay quanh một trục cố địnhKhi đó mọi chất điểm của VR đều có cùng vận tốc góc nên các đều bằng nhau và bằng nên :

với I là mômen QT của VR đối với trục quay.Vì và cùng phương chiều nên:

i

IILi

iz

L

L I

c) Tác dụng của lực trong chuyển động quay của VR quanh một trục cố định: Giả thiết có một lực tác dụng lên vật rắn, phân tích ra hai thành phần: , ┴ trục ; | | trục.

Lực nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục đi qua M lại được phân tích ra hai thành phần:

F

21 FFF 2F

1F

1F

nt FFF 1

M

O

∆

1F

2F

F

tF

nF

Trong đó ┴ bán kính OM nghĩa là nằm theo tiếp tuyến của vòng tròn tâm O bán kính OM còn

nằm theo bán kính OM. Kết quả ta có: Ta thấy rằng :

- không gây ra chuyển động quay, chỉ có tác dụng làm vật rắn trượt dọc theo truc quay

- không gây ra chuyển động quay, chỉ có tác dụng làm vật rắn dời khỏi trục quay.Vậy trong chuyển động quay của một vật rắn xung quanh một trục chỉ những thành phần lực tiếp tuyến với quỹ đạo của điểm đặt mới có tác dụng thực sự.

tF

nF

2FFFF nt

2F

nF

d) Momen của lực đối với trục quay

nằm trên trụcNên:

2( ) ( ) ( ) ( )O O O Ot nF F F F M M M M

2( ) ( ) ( ) ( )t nF F F F

M M M M

( ) ( )O Ot t tF OM F F M M

( ) . sin( , ) .t t t tF OM F OM F r F

M

( ) 0 ( ) 0O n n nF OM F F M M

2 2 2 2( ) ( ) ( ) 0O OF OM F F F M M M

Vậy

Momen lực là đại lượng đặc trưng cho tác dụng của lực trong chuyển động quay.Momen của lực đối với trục sẽ bằng không khi lực đó bằng không hoặc khi lực đó đồng phẳng với truc ∆.

( ) ( ) .t tF F r F

M M

e)Phương trình cơ bản của VR quay quanh trục cố địnhTa có MMĐL của VR đối với trục quay:

Đây là phương trình cơ bản của VR quay quanh trục cố địnhTrong đó là tổng mômen của các ngoại lực tác dụng lên vật rắn đối với trục quay, I là momen quán tính của VR đối với trục quay.Chú ý: Mômen lực đối với trục có trị đại số

dL dL I I Idt dt

I

M

M

Bài 1: Một đĩa tròn khối lượng m1 = 100kg quay với vận tốc góc ω1 = 10 vòng/phút. Một người khối lượng m2 = 60 kg đứng ở mép đĩa. Hỏi vận tốc góc của đĩa khi người đi vào đứng ở tâm đĩa.

Áp dụng ĐLBTMMĐL đối với trục cho hệ gồm đĩa và người:

phútvòngm

mm

RmRmRm

II

/222

21

21

11

212

22

112

22

1

2211

Bài 2: Một thanh có chiều dài l quay xung quanh một trục nằm ngang đi qua một đầu thanh. Lúc đầu, thanh ở vị trí nằm ngang, sau đó được thả ra. Tìm gia tốc góc của thanh lúc bắt đầu thả rơi và lúc thanh đi qua vị trí thẳng đứng

Phương trình chuyển động quay của thanh

Với

a) Lúc bắt đầu thả rơi

b) Lúc thanh đi qua vị trí thẳng đứng

IM

231 mlI

23 14,7 /2 2l gmg rad s

l M

0 0 M

Bài 3: Một cột đồng có chiều cao h, đang ở vị trí thẳng đứng thì bị đổ xuống. Xác định:a) Vận tốc dài của đỉnh cột khi nó

chạm đấtb) Vị trí của điểm M trên cột sao cho

khi M chạm đất thì vận tốc của nó đúng bằng vận tốc chạm đất của một vật thả rơi tự do từ vị trí M.

a) Áp dụng ĐLBTCN:

smghhvhg

mhIhmg

EE

/2,123

331

21

21

2222

21

b) Gọi x là độ cao của điểm M khi cột ở vị trí thẳng đứngVận tốc chạm đất của vật thả rơi tự do từ vị trí M là:

Theo đầu bài thì :

gxvM 2

hx

hgxgxxvM

32

32

3.Chuyển động song phẳng:Chuyển động song phẳng của vật thể là chuyển động trong đó tất cả các điểm đều di chuyển song song với một mặt phẳng cố định P nào đó. Ta xét tiết diện S của vật bị cắt bởi mặt phẳng Oxy nào đó song song với mặt phẳng P. Vì trong chuyển động song phẳng, tất cả các điểm của vật nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt cắt S đều chuyển động như nhau, nên để xác định chuyển động của toàn vật thể chỉ cần nghiên cứu chuyển động của mặt cắt S của vật thể trên mặt phẳng Oxy.

Giả sử mặt cắt S là tam giác với các đỉnh ban đầu ở vị trí A, B, C trong mặt phẳng Oxy, sau khoảng thời gian ∆t khá bé chúng chiếm các vị trí A’, B’, C’ cũng thuộc mặt phẳng này. Chuyển động của tam giác có thể thực hiện như sau: - Tịnh tiến tam giác từ vị trí ban đầu đến vị trí (I) sao cho A đến trùng với A’, khi đó ABC dời đến A’B”C”.

-Quay tam giác ở vị trí (I) quanh trục qua A’ và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ (Oxy) đến vị trí

(II) sao cho B” đến trùng với B’, khi đó C” đến trùng với C’.

AA’

B

C

B’’

C’’

B’C’

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng:Chuyển dịch bất kỳ của VR từ vị trí này đến vị trí khác trong khoảng thời gian khá bé, có thể thực hiện được nhờ chuyển động tịnh tiến, tương ứng với chuyển dịch của một điểm và sự quay quanh trục đi qua điểm ấy.Điểm được chọn để lấy sự dịch chuyển của nó làm chuyển dịch tịnh tiến gọi là điểm cực.

• Xác định vân tốc của các điểm của vât rắn:Ký hiệu A là cực, vị trí của điểm M thuộc VR:

Lấy đạo hàm theo thời gian:

Trường hợp VR có một điểm cố định thì chuyển động tức thời của VR là chuyển động quay quanh trục, trục tức thời luôn đi qua điểm cố định.

AMOAOM

( ) ( ) ( )

M A

d OM d OA d AMdt dt dtv v AM

• Ttrường hợp chuyển động của VR là chuyển động lăn không trượtKhi VR chuyển động lăn không trượt, mặt cắt S của VR là hình tròn thẳng góc với trục quay. Nếu chuyển động củaVR là chuyển động lăn không trượt của một vật thể ví dụ hình trụ trên bề mặt của một vật thể cố định khác thì:Điểm tiếp xúc A có vận tốc tức thời bằng 0 ( VA = 0 vì các tiếp điểm của hai vật khi không trượt lên nhau phải có cùng vận tốc, mà vật thứ hai là cố định)

Trong chuyển động lăn không trượt, lực ma sát không sinh công

Nếu chọn khối tâm G của VR làm điểm cực thì phương trình động lực học miêu tả chuyển động lăn không trượt của VR là:

* PTCĐTT của khối tâm G :

* PTCĐ quay quanh trục đi qua G

là tổng các ngoại lực tác dụng lên VR.là tổng momen của các ngoại lực đối với trục

I là momen quán tính của VR đối với trục

GaMF

IMF

M

Vận tốc và gia tốc khối tâm trong chuyển động lăn không trượt.

• VG = Rω• aG = Rβ

ω và β là vận tốc và gia tốc góc của VR

G

A

M

N

P

VI. Động năng của HCĐ1.Động năng của HCĐ:

2.ĐN của VR CĐ tịnh tiến: trong chuyển động tịnh tiến vận tốc của các chất điểm đều bằng nhau nên

là khối lượng của VR

212 i i

iK mv

2 2 21 1 12 2 2i i

i iK m v m v Mv

i

imM

3) ĐN của VR quay quanh trục cố định:

22

2 2 2

1 12 2

1 12 2

i i i ii

i ii

K m v m R

m R I

4) ĐN của VR lăn không trượt:

là ĐN chuyển động tịnh tiến của khối tâm

là ĐN chuyển động quay quanh trục qua khối tâm

2 21 12 2GK M v I

2

21

GMv

2

21

I

VII. Công và công suất của VR quay quanh trục cố địnhXét trường hợp một VR quay xung quanh một trục cố định dưới tác dụng của lực tiếp tuyến Ft. Công vi phân của lực tiếp tuyến là: dA = Ft .dsTrong đó ds = rdα , dα là góc quay ứng với chuyển dời ds.Vậy :

Công suất:

Tổng quát:

tdA rF d d M

MdtdM

dtdAP

.P M

Bài 1: Trên một hình trụ đặc đồng chất có khối lượng M và bán kính R người ta quấnmột sợi chỉ mảnh. Một đầu sợi chỉ cóbuộc một vật có khối lượng m.

Tại lúc t = 0 hệ bắt đầu chuyển động.Bỏ qua sự ma sát ở trục hình trụ, tìm sự phụthuộc theo thời gian của:a) Vận tốc góc của hình trụ;b) Động năng của toàn hệ.

M

m

a) PT Newton 2 cho vật:

Chiếu lên phương chuyển động:mg – T = ma (1)

PT chuyển động quay của ròng rọc:

Từ (1) và (2) suy ra:

amTgm

21 1 (2)2 2

IaTR MR T MaR

MT

T

mg

2

mga Mm

Vận tốc của vật tại thời điểm t:

b) Động năng của hệ tại thời điểm t:

2

;

2MmR

mgtRv

Mm

mgtatv

2

)(21

221

21

21

21

21

21

22

2

22222

Mm

mgtvMm

RvMRmvImvW

Bài 2: Một quả cầu đồng chất có khối lượng m và bán kính R lăn không trượt trên một mặt phẳng nghiêng tạo thành một góc α với mặt phẳng nằm ngang. Tìm:a) giá trị của hệ số ma sát sao cho sự trượt không xảy rab) động năng của quả cầu sau t giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động.

PT chuyển động tịnh tiến của khối tâm:

Chiếu lên phương chuyển động của khối tâm:

PT chuyển động quay quanh trục qua KT:

amFNgm ms

maFmg ms sin

22.525

ms

ms

IaR F mRR

F ma

M

mg

Fms

N

Điều kiện để vật không trượt:

b) Động năng của vật sau t giây:

sin72sin

75 gFga ms

tgkkmggkNFms 72cossin

72

222

22

22222

sin145sin

75

107

52

21

21

21

21

tmgWgtatv

mvRvmRmvImvW

đ

đ

Bài 3: Từ đỉnh một mặt phẳng nghiêng cao h, người ta cho một đĩa tròn lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng đó. Tìm vận tốc dài của đĩa ở cuối mặt phẳng nghiêng

Cách 1:

Chiếu lên phương chuyển động của khối tâm:(2)

PT chuyển động quay quanh trục qua KT:

msmg N F ma

maFmg ms sin

21 1 (2)2 2ms ms

IaRF mR F maR

M

ghvhgasv

ga

34

sin.sin

3222

sin32

2

Cách 2:Áp dụng ĐLBTCN:

22 2 2 2

2

2

1 1 1 1 12 2 2 2 23 44 3

vmgh mv I mv mRR

mv v gh

mg

Fms

N

VII. Va chạmKhảo sát bài toán va chạm của hai quả cầu nhỏ chuyển động trên đường thẳng nối liền hai tâm của chúng ( va chạm xuyên tâm)Khối lượng của hai quả cầu lần lượt là m1 và m2.

Trước va chạm chúng có vectơ vận tốc là và (cùng phương).

Sau va chạm, chúng có vectơ vận tốc là và (cùng phương như ban đầu). Giả thiết hệ (m1 + m2) cô lập.

1v2v

'1v

'2v

Động lượng của hệ được bảo toàn nên

Chiếu lên phương chuyển động ta được(1)

Ta xét hai trường hợp:1.Va chạm đàn hồi: Động năng của hệ (m1 và m2)

trước và sau va chạm được bảo toàn. Do đó:

(2)

22112211 '' vmvmvmvm

'22

'112211 vmvmvmvm

2'22

2'11

222

211 2

121

21

21 vmvmvmvm

Giải hệ PT (1) và (2) ta được:

21

22121'1

2)(mm

vmvmmv

21

11212'2

2)(mm

vmvmmv

2.Va chạm mềm: Sau va chạm hai quả cầu dính vào nhau chuyển động cùng vận tốc . Vậy (1) trở thành:

Trong va chạm mềm động năng không được bảo toàn mà bị giảm đi. Có một phần động năng biến thành nhiệt.

vvv '2

'1

21

2211

212211 )(

mmvmvmv

vmmvmvm

Ví dụ 1: Hai quả cầu được treo ở đầu hai sợi dâysong song dài bằng nhau. Hai đầu kia của các sợidây được buộc vào một cái giá sao cho các quảcầu tiếp xúc với nhau và tâm của chúng cùngnằm trên một đường nằm ngang. Khối lượng củacác quả cầu lần lượt bằng 200g và 100g. Quả cầuthứ nhất được nâng lên độ cao h = 4,5cm rồi thảxuống. Hỏi sau va chạm, các quả cầu được nânglên độ cao bao nhiêu nếu:

a) Va chạm là hoàn toàn đàn hồi;b) Va chạm là mềm.

Vận tốc quả cầu 1 ngay trước va chạm:

a) Va chạm là hoàn toàn đàn hồiVận tốc của quả cầu 1 ngay sau va chạm

Vận tốc của quả cầu 2 ngay sau va chạm

21 1 1

1 22

m v mgh v gh

' 1 2 1 2 21 1

1 2

( ) 2 1 1 23 3

m m v m vv v ghm m

' 2 1 1 12 1

1 2

( ) 2 4 4 23 3

m m m vv v ghm m

Áp dụng ĐLBTCN cho quả cầu 1 và 2

b) Va chạm mềm:Vận tốc của (m1 + m2) ngay sau va chạm:

Áp dụng ĐLBTCN cho m1 + m2

,2,2 1

1 1 1 1 1

,2,2 2

1 2 1 2 2

1 0,52 2 91 16 82 2 9

v hm v m gh h cmg

v hm v m gh h cmg

1 1

1 2

2 23

m vV ghm m

22

1 2 1 21 4( ) ( ) 22 2 9

V hm m V m m gH H cmg