Chương II

ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐiỂM

I. Các khái niệm:* Lực là một đại lượng đặc trưng cho mức độ tác dụng của các vật xung quanh lên vật mà ta đang xét. Lực được biểu diễn bằng một vectơ và phụ thuộc vào vị trí tác dụng của nó.Trong cơ học người ta chia lực ra làm hai loại: lực gây ra do các vật tiếp xúc trực tiếp với nhau (áp lực, lực ma sát) và lực tác dụng lên vật do trường của các vật khác gây ra.

* Khối lượng: Thực nghiêm cũng chứng tỏ rằng,mỗi vật đều chống lại bất kỳ một cố gắng nào làmthay đổi trạng thái chuyển động của nó, tức làmthay đổi vectơ vận tốc của nó về độ lớn hoặcphương chiều hoặc cả hai. Tính chất bảo tồn trạngthái chuyển động của vật được gọi là quán tính củavật. Đại lượng đặc trưng cho quán tính của vật gọilà khối lượng quán tính ( hay khối lượng) của vật.Vật có khối lượng càng lớn thì quán tính càng lớnnghĩa là càng khó thay đổi trạng thái chuyển động

II. CÁC ĐỊNH LUẬT NEWTON1. ĐL Newton thứ nhất – Hệ qui chiếu quán tính.

Một chất điểm cô lập hoặc tổng các lực tác dụng vào nó bằng không thì chất điểm sẽ đứng yên hoặc chuyển thẳng đều.HQC trong đó ĐL Newton I nghiệm đúng gọi là HQC quán tính. Để giải phần lớn các bài toán kỹ thuật với độ chính xác đủ dùng trong thực tế, ta có thể xem HQC gắn với Trái đất là HQC quán tính.Các hệ QC chuyển động thẳng đều với HQC quán tính cũng là HQC quán tính

2. ĐL Newton thứ hai

: PT cơ bản ĐLH

3 Định luật Newton thứ baNếu vật thứ nhất tác dụng lên vật thứ hai một lực thì đồng thời vật thứ hai cũng tác dụng lên vật thứ nhất một lực : hai lực đó cùng phương ,ngược chiều cùng độ lớn, tức là

amF

12F21F

1221 FF

III. ĐỘNG LƯỢNG CHẤT ĐIỂM1. ĐN: 2. Các định lý và định luật:

a)

b)

c) Nếu thì

Động lượng là đại lượng đặc trưng cho chuyểnđộng về mặt động lực hoc.

vmp

( )d v d mv d pF ma mdt dt dt

2

12 1

t

td p Fdt p p Fdt

0F p const

IV. Các lực 1. Lực liên kết: khi chuyển động của một vật bị

ràng buộc bởi các vật khác, thì các vật này sẽ tác dụng lên vật một lực gọi là lực liên kết.a) Phản lực pháp tuyến và lực ma sát: Phản lực R do B tác dụng lên A được phân thành:

gọi là phản lực pháp tuyếngọi là lực ma sát

R N

msF

F

APA

B

msR N F

N

msF

vuông góc với bề mặt của B và hướng về phía vật A gọi là phản lực pháp tuyến

nằm trong mặt phẳng tiếp xúc giữa các vật, cùng phương và ngược chiều với vận tốc của vật A(hoặc ngược chiều vận tốc tương đối của A đối B, nếu B cũng chuyển động) gọi là lực ma sát trượt hay ma sát động có độ lớn:

Fms = kNk là hệ số ma sát trượt

N

msF

Nếu vật A chịu tác dụng của lực mà không dịch chuyển đối với vật B thì lực ma sát gọi là ma sát tỉnh (nghĩ) Fms0, nó sẽ tự điều chỉnh giá trị để cân bằng với khi F tăng. Tăng dần lực tác dụng đến khi vật A bắt đầu dịch chuyển đối với B, độ lớn của lực ma sát nghĩ tăng từ 0 đến Fmsomax, gọi là lực ma sát nghĩ cực đại. Trong tính toán lấy Fmsomax bằng ma sát trượt kN

F

F

b) Lực căng dây: Lực căng tại một điểm A trên dây là lực tương tác giữa hai nhánh của dây hai bên điểm A. Trong các bài toán thông thường, lực căng có cường độ không đổi dọc theo sợi dây.Lực liên kết do dây tác dụng lên vật gọi là lực căng dây, hướng dọc theo dây đến điểm treo

2. Trọng lực : là lực Trái đất tác dụng vào vật, có phương thẳng đứng, chiều hướng xuống.

P mg

Các bước để giải bài toán bằng phương pháp động lực học.

• Chọn chiều chuyển động của các vật (thường chọn chiều chuyển động tự nhiên để gia tốc các vật có cùng dấu)

• Xác định các lực tác dụng vào vật• Thiết lập PT Newton II cho vật• Chiếu PT Newton II lên các trục chọn (thường

lên phương chuyển động và phương thẳng góc với phương chuyển động)

Bài 1: Cho hệ như hình vẽ, khối lượng của hai vật A và B bằng 1kg, α = 300, β = 450, ròng rọc khối lượng không đáng kể. Bỏ qua tất cả các lực ma sát. Tìm gia tốc của hệ và lực căng của sợi dây.

A

B

α β

• Giải:• PT Newton II cho 2 vật:

• Chiếu các PT trên lên phương chuyển động của các vật với chiều dương như hình vẽ, ta được:

• Vì gia tốc của hai vật bằng nhau: aA = aB = a và ròng rọc không khối lượng nên: T1 = T2 = T. Do đó:

A

B

α β

1

2

A A A

B B B

m g T m a

m g T m a

1

2

sinsin

A A A

B A B

m g T m am g T m a

2sin sin 1 /B A

A B

m g m ga m sm m

mA g

mB g

T1 T2

Bài 2: Một vật đặt ở độ cao h trên mặt phẳng nghiêng hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc α. Hỏi:a) Lực ma sát tác dụng vào vật khi nó nằm yên trên mặt phẳng nghiêng.b) Giới hạn của hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng để vật có thể trượt xuống trên mặt phẳng nghiêng đó.c)Khi hệ số ma sát thỏa mãn điều kiện trên thì gia tốc của vật bằng bao nhiêu.d)Vận tốc của vật ở cuối dốc.

PT Newton 2

Chiếu PT trên lên phương chuyển động và phương thẳng góc với phương chuyển động ta được:

a) Khi vật nằm yên:b) Điều kiện để vật trượt xuống là:

mg

N

Fms

α

msmg N F ma

sincos 0 cos

msmg F maN mg N mg

cos ; 0sin cos

msF kN kmg amg kmg k tg

0 sinms msoa F F mg

c) Vật trượt xuống với gia tốc:

d) Chuyển động của vật là chuyển động thẳng thay đổi đều nên:

(sin cos )a g k

2 2 2 (sin cos )sin

2 (sin cos )sin

hv as g k

g k hv

Bài 4: Cho hệ như hình vẽ. Bỏ qua ma sát, khối lượng của ròng rọc và dây. Tìm điều kiện để m1chuyển động đi xuống, với điều kiện đó tìm gia tốc của m1.

1m

2m

PT Newton 2 cho 2 vật

Chiếu lên PCĐ của hai vật:

Do trong cùng khoảng thời gianquãng đường dịch chuyển của m1

gấp đôi m2 nên: a1 = 2a2 . Do đó:

Điều kiện:

Khi đó:

m1 gm2 g

T

2T

1 21 1 2 2; 2m g T m a m g T m a

1 1 1 2 2 2; 2m g T m a m g T m a

21 2 1 1(2 ) (2 )

2mm m g m a

21 10

2ma m

1 21

1 2

2(2 )4m m gam m

TT

Bài 6: Cho hai vật có cùng khối lượng M được nối với nhau bằng một sợi dây nhẹ không dãn vắt qua một ròng rọc không ma sát, khối lượng không đáng kể. Người ta đặt thêm một gia trọng khối lượng m lên một trong hai vật. Tìm áp lực của gia trọng lên vật và lực mà trục ròng rọc phải chịu khi ròng rọc đứng yên.

MM

PT Newton 2 :(M +m)g – T = (M + m)a (1)T – Mg = Ma (2)

PT Newton cho vật m:Chiếu xuống phương thẳng đứng:

Theo ĐL3 Newton: N’ = N

(1) , (2)2

mgaM m

mg N ma

2( )2

Mmgmg N ma N m g aM m

MM

(M+m)gMg

TT

mg

N

Bài 7: Cho một hệ cơ học như hình vẽ, mặt nằm ngang không ma sát, bỏ qua khối lượng của ròng rọc. Tìm các sức căng dây và gia tốc của các vật m1 và m2

m1

m2

PT Newton 2:

Chiếu xuống PCĐ của 2vật, ta được:

Ròng rọc không khối lượng nên: T2 = 2T1

Và a1 = 2a2 nên từ hai PT trên ta suy ra:

m1 g

m1

m2

T2

T2

T1

T1 T1

m2 g

N

1 1 1 1

1 2 1 2

m g N T m a

m g T m a

1 1 1 2 2 2 2;T m a m g T m a

21

1 2

24

m gam m

• Bài 3: Hai vật A và B có khối lượng m1 = m2 = 2kg được đặt trên mặt bàn mằm ngang và nối với nhau bằng một sợi dây mảnh vắt qua ròng rọc cố định như hình vẽ. Hệ số ma sát ở các mặt tiếp xúc k = 0,2; bỏ qua khối lượng và ma sát ở ròng rọc. Tác dụng vào vật A một lực F = 16N, có phương nghiêng góc α = 300 so với phương nằm ngang. Tìm gia tốc của mỗi vật và lực căng sợi dây. Lấy g = 10m/s2.

m1

m2

α

N21 là phản lực pháp tuyến vật 2 tác dụng lên vật 1N12 là phản lực pháp tuyến vật 1 tác dụng lên vật 2Fms21 là lực ma sát vật 2 tác dụng lên vật 1Fms12 là lực ma sát vật 1 tác dụng lên vật 2N là phản lực pháp tuyến mặt đường tác dụng lên 2Fms lực ma sát mặt đường tác dụng lên 2

m1

m2

α

Fms

F

m1 g

T

Fms21

N21

TN

m2g

Fms12

N12

Theo ĐL Newton III: N21 = N12 ; Fms21 = Fms12

Hình chiếu PT Newton II của 2 vật lên PCĐ:

Phương thẳng góc với PCĐ:

Từ (1) và (2) ta suy ra

21 1

12 2

cos (1)(2)

ms

ms ms

F T F m aT F F m a

21 1 21 1

12 2 1 2

sin 0 sin0 ( ) sin

F N m g N m g FN N m g N m m g F

21 12

1 2

cos ms ms msF F F Fam m

• Với

21 21 1

1 2

1 2

1 22

( sin )(( ) sin )

cos (3 ) 3 sin

0,66 /10,12

ms

ms

F kN k m g FF kN k m m g F

F k m m g kFam m

m sT N

• Một tấm ván A dài l = 80cm, khối lượng m1 = 1kg, được đặt trên một mặt dốc nghiêng góc α = 30o . Một vật B khối lượng m2 = 100g được đặt trên tấm ván tại điểm cao nhất của tấm ván. Thả cho hai vật A và B cùng chuyển động. Tìm thời gian để vật B rời khỏi A. Khi đó A đã đi được đoạn đường dài bao nhiêu trên mặt dốc?Cho biết HSMS giữa A và mặt dốc là k1 = 0,2; giữa B và A là k2 = 0,1. Lấy g = 10m/s2

N12 phản lực pháp tuyến A tác dụng lên BN21 phản lực pháp tuyến B tác dụng lên A Fms12 lực ma sát A tác dụng lên BFms21 lực ma sát B tác dụng lên AFms lực ma sát dốc nghiêng tác dụng lên AN phản lực pháp tuyến dốc nghiêng tác dụng lên A

N12

m2g

Fms12

N21

Fms21

N

Fms

m1g

Hình chiếu của PT Newton II của A và B• Lên phương chuyển động:

a1 , a2 là gia tốc A và B đối với dốc nghiêng a21 là gia tốc của B đối với A

• Lên phương thẳng góc với phương chuyển động:

Theo ĐL Newton III: N12 = N21 ; Fms12 = Fms21

1 21 1 1

2 12 2 2 2 1 21

sin (1)sin ( ) (2)

ms ms

ms

m g F F m am g F m a m a a

1 21 21 1

2 12 12 2

cos 0 coscos 0 cos

m g N N N N m gm g N N m g

Từ (1) và (2) ta suy ra:

Thời gian để B rời khỏi tấm ván:

Từ (1) suy ra : Tấm ván đã đi được quãng đường:

2 2 1 2121

1 2

2 1 1 2 2 1 2 2

1 2

22 1 2 1 2

1 2

( )

( ) cos ( ) cos

( ) ( ) cos 0,95 /

ms msm F m m Fam m

m k m m g m m k m gm m

m m m g k k m sm m

21

2 1,3lt sa

21 3,184 /a m s 2

1 1,32

a ts s

• Cho hệ thống như hình vẽ. Bỏ qua ma sát, khối lượng của ròng rọc và dây nối không đáng kể. Tính gia tốc của m1 .

m

m1m2

H/c PT Newton 2 của 3 vật lên phương chuyển độngchiều dương như hình vẽ

a, a1 , a2 : gia tốc của m, m1 và m2

Theo phép biến đổi gia tốc :: gia tốc của m1 , m2 đối với m.

Với chiều dương chọn thì:

TT

2T

2Tm

m1m2

m1 g

m2 g

m g

1 1 1

2 2 2

2T mam g T m am g T m a

, ,1 1 2 2;a a a a a a

, ,1 2,a a

, , 1 21 2 2

a aa a a

Thay vào các PT trên ta được:

Giải hệ phương trình trên ta được:

1 1 1

2 2 1

2

(2 )

T mam g T m am g T m a a

1 2 1 21

1 2 1 2

4 ( )4 ( )

m m m m ma gm m m m m

• Cho hệ như hình vẽ, hòn bi 1 có khối lượng bằng n = 1,8 lần khối lượng thanh 2; chiều dài thanh l = 100cm. Khối lượng ròng rọc và của dây nối cũng như lực ma sát đều không đángkể. Người ta đặt hòn bi ở vị trí ngangvới đầu dưới của thanh 2. Sau đó hệ được thả chuyển động . Hỏi sau bao lâu hòn bi ở ngang với đầu trên của thanh?

2

1

H/c PT Newton II của 2 vật lên phươngthẳng đứng, chiều dương hướng lên:

Với T1 = 2T2 ; a2 = 2arr = - 2a1

Gọi a12 là gia tốc của 1 đối 2, ta có: mg

Mg

2

1

T1

T21 1 2 2;T mg ma T Mg Ma

2 1 2 1

1

2 ; 22

4

T mg ma T Mg MaM ma g

m M

1 12 2 12 1 2 1

12

3

2 2 ( 4 ) 2 ( 4) 1,43(2 ) 3(2 )

a a a a a a a

l l m M l nt sa M m g n g

Một chất điểm có khối lượng m = 0,2kg chuyển động trên mặt phẳng xOy, chịu tác dụng của một lực F luôn luôn song song với phương Oy, có hình chiếu Fy = 0,2cos5t. Vận tốc đầu của chất điểm có phương vuông góc với lực tác dụng hướng theo chiều dương Ox, có độ lớn vo = 1m/s. Chất điểm bắt đầu chuyển động từ gốc tọa độ O. Viết phương trình quỹ đạo của chất điểm.

Giải:

0 0

0 0

2

0,2 cos5 cos50,2

1cos5 s in55

1 1sin 5 (1 cos5 )5 25

2 sin 2,525

y

y

yy y y

v t

y y

t

FF ma a t t

m

dv tdt v t

dy tdt y t

t

0 02

0 0

0,08sin 2,5

x x x ox t

o o

F a v v

dx v dt x v t t

y t

V. Nguyên lý tương đối Galilée – Phép biến đổi Galilée

1.KG và TG theo cơ học cổ điểna)Thời gian có tính tuyệt đối không phụ thuộc HQCb)Vị trí KG có tính tương đối phụ thuộc HQC c)Khoảng KG có tính tuyệt đối, không phụ thuộc HQC

2. Nguyên lý tương đối Galilée :Các định luật cơ học đều giống nhau trong các hệ qui chiếu quán tính.

3. Phép biến đổi GaliléeGiả sử hệ qui chiếu quán tính K’ chuyển động tương đối trong hệ qui chiếu quán tính K với vận tốc không đổi như hình vẽ. Ta chọn t =0 vào lúc hai điểm gốc O và O’ của hai hệ tọa độ trùng nhau.Ta có ; t’ = t (1)(1) là phép biến đổi Galilée dưới dạng vectơ

tVrr '

V

O O’

y

x

z

y’

x’

z’

r r’

Chiếu (1) xuống các trục tọa độ ta được phép biến đổi Galilée dưới dạng tọa độ:

x’ = x – Vt ; y’ = y ; z’ = z ; t’ = tLấy đạo hàm (1) theo thời gian ta được phép biến đổi vận tốc

Lấy đạo hàm biểu thức trên một lần nữa, ta thu được:

Nghĩa là PT Newton II cũng thỏa mãn trong hệ K’. Vậy nếu K là HQC quán tính thì K’ cũng là HQC quán tính.

Vvv '

' 'a a m a F

VI. Hệ qui chiếu bất quán tính-Lực quán tính1. Hệ qui chiếu bất quán tính là HQC chuyển động

có gia tốc đối với HQC quán tính.2. Lực quán tính:

a) Trường hợp K’ chuyển động tịnh tiến với gia tốc đối với HQCQT K Theo phép biến đổi gia tốc:Nhân hai vế với m:Mà ; là tổng các lực tác dụng vào chất điểm trong hệ KDo đó

A

Aaa 'Amamam '

Fam F

' ' ( ) qtF ma mA ma F mA F F

qtF mA

b)Trường hợp K’ chuyển động quay với gia tốc góc đối với HQCQT K.

* Nếu chất điểm đứng yên trong hệ K’là lực (quán tính) ly tâm

O là tâm QĐ, M là vị trí chất điểm* Nếu chất điểm chuyển động trong hệ K’ với vận tốc thì ngoài lực ly tâm chất điểm còn chịu tác dụng của lực (quán tính) Coriolis

Lực Coriolis triệt tiêu nếu v’ = 0 hoặc song song với

2ltF m R

R OM

'v

2 ( ' )cF m v

'v

Chú ý: các định luật Newton chỉđúng trong các hệ qui chiếu quántính. Nếu dùng HQC không quántính thì ngoài các lực tác dụngvào chất điểm trong HQC quántính ta phải thêm vào lực quántính (Fqt , Flt , Fcor ).

Bài 1: Đặt một vật A khối lượng m = 500g tại đỉnh B của một nêm có mặt BC dài l = 1,5m và nghiêng góc α =300 so với phương ngang. Thả cho A trượt xuống. Tính thời gian để vật A trượt tới C trong các trường hợp:

1) Nêm đứng yên 2) Nêm được kéo với gia tốc a0 = 2m/s2

a) theo phương thẳng đứng đi lên, đi xuốngb) theo phương ngang sang trái, sang phảic) theo phương song song với BC và đi xuốngCho biết hệ số ma sát giữa A và mặt nêm k = 0,2. Lấy g = 10m/s2

PT Newton 2 trong hệ QC gắn với nêm:1) Nêm đứng yên:

Chiếu lên phương chuyển động :msmg N F ma

2

sin ; cos

(sin cos ) 3, 27 /

2 0,96

ms msmg F ma F kN mga g k m s

lt sa

mg

NFms

2)

a) Chiếu lên phương mặt nêm và phương thẳnggóc với mặt nêm :

'ms qtmg N F F ma

2

sin sin '

cos cos 0

; cos ( )

' ( )(sin cos ) 3,92 /

2 0,87'

qt ms

qt

qt o ms o

o

mg F F maN mg FF ma F kN km g a

a g a k m s

lt sa

mg Fqt

NFms

ao

Các câu khác làm tương tự:a) đi xuống: a’ = 2,62m/s2 ; t = 0,98sb) Sang trái a’ = 5,2m/s2 ; t = 0,76s

Sang phải a’ = 1,36m/s2 ; t = 1,47sc) a’ = 1,27m/s2 ; t = 1,53s

Bài 2: Trên một đĩa nằm ngang đang quay, người ta đặt một vật có khối lượng m = 1kg cách trục quay r =50cm. Hệ số ma sát giữa vật và đĩa k =0,25. Hỏi:a)Lực ma sát phải có độ lớn bằng bao nhiêu để vật được giữ trên đĩa nếu đĩa quay với vận tốc n = 12vòng/phút.b)Với vận tốc góc nào thì vật bắt đầu trượt khỏi đĩa.

Chọn HQC gắn với đĩaa)Vật nằm yên trên đĩa khi :

b)Vật bắt đầu trượt khỏi đĩa khi:

Mà :

2 2 24 0,79ms ltF F m r m n r N

kmgkNFms

sradrkgrmFms /2,22

Bài 3: Một máy bay nhào lộn vạch một nữa đường tròn thẳng đứng bán kính R =500m với vận tốc không đổi v =360km/h. Tính trọng lượng của người lái khối lượng m = 70kg tại điểm cao nhất, điểm thấp nhất và điểm giữa của đường bay.

Vì chuyển động của người lái là chuyển động tròn đều nên:

Chiếu lên trục hướng tâm, ta được:-Tại điểm cao nhất :

Trọng lượng người lái là lực mà người lái tác dụng vào ghế ngồi , theo ĐL Newton III N’ = N

namamNgm

gRvmN

RvmmaNmg n

2

2

mg

N

- Tại điểm thấp nhất:

- Tại điểm giữa:

gRvmN

RvmNmg

2

2

namamRgm 2

22( ) mvR mg

R

mg

N

mg

man

R

Cho hệ như hình vẽ. Hệ số ma sát giữa vật m và mặt phẳng thẳngđứng BC là k = 0,1. Cho g = 10m/s2. Để m không trượt xuống theo mặt BC, cần cho khối ABCD chuyển động sang phải theo phương ngang với gia tốc bằng bao nhiêu?

A

C

B

D

m

Chọn HQC gắn với khối ABCD,PT Newton II cho vật:

Chiếu lên phương thẳng đứng ta được

'amFFNgm qtms

'maFmg ms

A

C

B

D

mg

N

msF

qtF

Chiếu lên phương ngang ta được:

oqtqt maFNFN 0 Để cho vật không trượt xuống theo mặt BC thì

2/100

0'

smkga

kmamgkNFa

o

oms

Treo vật vào trần thang máy như hình vẽ. Thang máy gia tốc về phía trên 4m/s2 . Mỗi sợi dây có khối lượng 1kg. Xác định sức căng dây ở các điểm A, B, C, D.

A

B

C

D

10kg

10kg

PT Newton 2 trong hệ qui chiếu gắn với thang máy

Chiếu xuống trục thẳng đứng chiều dương hướng xuống:

Tại A: Tại B:Tại C:Tại D:

0qtT M g F

0qt qtT Mg F T Mg F

22 88 304qt AM kg F N T N 21 84 290qt BM kg F N T N 11 44 152qt CM kg F N T N 10 40 138qt DM kg F N T N

VII. Cơ năng của chất điểm1. Công và công suất:

Công của lực trên độ chuyển dời vô cùng bélà:

α là góc hợp bởi và , Fs là hình chiếu của lênphương của .Công có thể dương, âm hoặc bằngkhông.Công của lực thực hiện trên toàn bộ quỹ đạo từvị trí 1 đến vị trí 2

F

ds

. . .cos sdA F ds F ds F ds

F

ds

F

ds

F

2

1

. sdFA

Trường hợp nếu quỹ đạo là đường thẳng và không đổi thì:

Trong hệ tọa độ Descartes:

Công suất:

F

cos..sFA

kdzjdyidxrdsd ...

. . .x y zF F i F j F k

x y zdA F dx F dy F dz

vFdtrdF

dtdAP ..

2. Động năng chất điểma) Định nghĩa:

b) ĐL biến thiên ĐN:

212

K m v

2 2 22

12 11 1 1

2 22 1 2 1

. .

1 12 2

d vA F d s ma d s m d s mvd vdt

mv mv K K

3. Trường thế: Một chất điểm được gọi là chuyển động trong một trường lực nếu tại mỗi vị trí của chất điểm đều xuất hiện một lực tác dụng lên chất điểm ấy, nếu công của lực thực hiện trong sự di chuyển một chất điểm giữa hai điểm bất kỳ của trường không phụ thuộc dạng đường đi mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và cuối của quãng đường đi đó thì gọi là lực thế và trường lực gọi là trường thế.

F

F

F

Nếu là lực thế thì:

Hay:

Hoặc dưới dạng vi phân:

F

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 2 1

0

0a b a b

a b

Fd s Fd s Fd s Fd s

Fd s Fd s

0sdF

0Frot

2a

1 b

4.Thế năng: a) ĐN:TN của chất điểm trong trường lực thế là một hàm U phụ thuộc vị trí chất điểm sao cho

A12 = U1 – U2 (1)b) Liên hệ giữa lực và thế năng

Từ (1) ta suy ra dA = -dU

Fs là hình chiếu của lên phương của

. .s

s

F ds dU F ds dUdUFds

F

d s

Trong hệ tọa độ Descartes:

là toán tử gradian trong hệ tọa độ Descartes.

Vậy trong trường hợp tổng quát:

Trường hợp chỉ phụ thuộc một tọa độ, ví dụ x thì:

x y zF F i F j F k

U U Ui j k i j k Udx dy dz dx dy dz

i j kdx dy dz

F U gradU

F

dUFdx

Bài 1: Một hạt chuyển động theo một quỹ đạo nào đó trong mặt phẳng xy từ điểm 1 có bán kính vectơ đến điểm 2 có bán kính vectơ

. Hạt đó chuyển động dưới tác dụng của lực . Tính công thực hiện bởi lực F.

)(21 mjir

2 2 3 ( )r i j m

3 4 ( )F i j N

Jjiji

rrFrdFAr

r

17203)5)(43(

)( 122

1

12

Bài 2:Có hai trường lực dừng:1)

2)

a, b là các hằng số. Xét xem các trường lực đó có tính chất thế hay không?

iayF

jbyiaxF

1)

Vì tích phân trên phụ thuộc đường đi nên F không phải là lực thế.

b)

Vậy F là lực thế.

2 2 2

11 1

. .( )r r x

xr r

F d r ayi dxi dy j dzk aydx

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2 2 22 1 2 1

. ( ).( )

1 1( ) ( )2 2

r r

r r

x y

x y

F dr axi by j dxi dy j dzk

axdx bydy a x x b y y

Bài 3: Một đầu máy xe lửa khối lượng m mở máy chạy từ nhà ga sao cho tốc độ của nó cho bởi qui luật , với A là hằng số, s là quãng đường đi được. Tính công tổng cộng của tất cả các lực tác dụng lên đầu máy thực hiện trong t giây đầu kể từ lúc mở máy.

v A s

Áp dụng ĐLBTĐN:

2 212 2 1

0 0

2 2

4 212

1 12 2

124

18

t s

A K K mv mA s

ds ds dsv A s Adtdt dt s

At s s A t

A mA t

Bài 4: Động năng của một hạt chuyển động trên đường tròn bán kính R, phụ thuộc quãng đường đi theo qui luật K = As2 , A là hằng số. Tính lực tác dụng lên hạt theo s

Ta có:

2

2 2

22 2

2

12

2. 2 .

2 2

2 1

t

t

n

t n

dK dvK mv mv mvadt dt

dK dK ds AsAs v adt ds dt m

v K AsaR mR mR

sF ma m a a AsR

Bài 5: Một viên đạn khối lượng m = 10g đang bay với vận tốc v = 100m/s thì gặp một bản gỗ dày và cắm sâu vào bản gỗ một đoạn s = 4cm. Tìm:a) Lực cản trung bình của bản gỗ lên

viên đạn.b) Vận tốc viên đạn sau khi ra khỏi bản gỗ chỉ dày d = 2cm.

a) Áp dụng ĐLBTĐN:

Ns

mvF

sFmv

sFmvmv

c

c

c

12502

.210

.21

21

2

2

21

22

b)

smvm

dFv

dFmvmv

dFmvmv

c

c

c

/70.2

.21

21

.21

21

22

222

21

22

Bài 6:Một vật có khối lượng m = 2(kg) chịu tác dụng lực của một lực bảo toàn (lực thế)

, x tính bằng m. Cho U = 0 khi x = 1m.a) Tính thế năng liên kết với lực này.b) Tính độ biến đổi của thế năng và động năng khi vật đi từ x = 2m đến x = 3m.

(2 8 ) ( )F x i N

1) Ta có:

2)

2

0 1

(2 8 )

(2 8 ) 4 2 2

x x

U x

dUF dU F dx x dxdx

dU x dx x x

2 212 1 2 (4.2 2.2 2) (4.3 2.3 2)

18A U U

J

7. Định luật bảo toàn cơ năng trong trường lực thếTheo ĐLBTĐN: A12 = K2 - K1

Theo ĐNTN : A12 = U1 - U2

Nên K2 – K1 = U1 –U2 K1 + U1 = K2 + UVậy E1 = E2

Với E = K + U là cơ năng của chất điểm Chú ý: Nếu ngoài các lực thế, chất điểm còn chịu tác dụng của các lực không phải là lực thế (ví dụ lực ma sát,…) thì cơ năng chất điểm không được bảo toàn .

VIII. Trường hấp dẫn1.ĐL Newton về lực hấp dẫn vũ trụ

Lực hấp dẫn giữa hai chất điểm khối lượng m1 và m2 ở khoảng cách r là lực hút có chiều hướng vào nhau và có độ lớn:

G = 6,67.10-11 (N.m2/kg2) là hằng số hấp dẫnĐể giải thích lực hấp dẫn, người ta cho rằng xung quanh một vật có khối lượng, tồn tại một trường hấp dẫn.

221

rmmGF

2. Thế năng trong trường hấp dẫnLực hấp dẫn giữa hai chất điểm m1 , m2 cách nhau một khoảng r là:

Giả sử lực này làm thay đổi từ đến . Công của lực F là:

Vì công này chỉ phụ thuộc vị trí đầu và cuối nên lực hấp dẫn là lực thế.Vậy trường hấp dẫn là trường thế.

1 22 .m m rF G

r r

2 2

1 1

12 1 2 1 222 1

1 1.r r

r r

drA F dr Gm m Gm mr r r

r

1r

2r

Mà trong trường thế thì : A12 = U1 – U2

Vậy : là thế năng hấp dẫn

Nếu qui ước U = 0 khi thì const = 0

Lúc đó :

1 2m mU G constr

r

1 2m mU Gr

3. Công của trọng lực và thế năng trong trường hấp dẫn của Trái đất:Giả sử chất điểm khối lượng m, chuyển động trong trường hấp dẫn của QĐ từ độ cao h1 đến độ cao h2 so với mặt đất. Công của trọng lực là:

M và R là khối lượng và bán kính Trái đấtNếu h1 và h2 rất nhỏ so với R thì

122 12 1 (1 ) (1 )

GMm GMm GMm GMmA h hR h R h R RR R

2 112 1 221 1 ( )h hGMm GMm GMmA h h

R R R R R

là gia tốc trọng trường trên mặt đất

Vậy A12 = mg( h1 –h2 )Suy ra thế năng ở độ cao h là :

U = mghh là độ cao tính từ một mốc tùy ý

2

Mg GR

Ví dụ 1: một vật khối lượng m = 10kg trượt không vận tốc đầu từ đỉnh một mặt phẳng nghiêng cao 20m xuống. Khi tới chân dốc vật có vận tốc 15m/s. Tính công của lực ma sát.Giải:Áp dụng ĐLBTĐN:

2 2

2 2

1 12 2

1 1 8352 2

o ms

ms o

mv mv mgh A

A mv mv mgh J

Ví dụ 2: Một vật khối lượng m lăn theo một đường rãnh như hình vẽ. Hỏi độ cao h tối thiểu phải bằng bao nhiêu để vật đi hết đường rãnh nếu vận tốc của vật ở A bằng không.

A

B

M

C

O h

Giả sử vật lăn đến điểm M . Pt Newton 2 cho vật tại M:

Chiếu xuống phương OM (chiều + hướng đến O)

mg N ma

2

2

2

cos( )

cos

cos

vmg N mR

vmg N mR

vN mg mR

Áp dụng ĐLBTCN tại vị trí ban đầu và tại M:

N có giá trị lớn nhất ở điểm B và giảm khi vật lăn lên cao. Giá trị cực tiểu của N ứng với (điểm cao nhất C):

Nếu vật còn ở trên rãnh tại điểm C thì nó sẽ đi hết đường rãnh

2

2

1 (1 cos )2

2 2 (1 cos )

3 cos 2 ( 1)

mgh mv mgR

mv mgh mgRhN mg mgR

min (2 5)hN mgR

Cho Nmin = 0 ta được:

min 2,5h R

Bài 1: Rãnh trượt gồm hai cung tròn AB và BD bán kính R nằm trên mặt phẳng thẳng đứng sao cho tiếp tuyến BE tại điểm tiếp giáp có phương nằm ngang. Bỏ qua lực ma sát, hãy xác định độ cao h (so với đường BE) cần phải đặt viên bi (xem như chất điểm) sao cho nó có thể lăn tới điểm M1 nằm bên dưới đường BE một khoảng cách cũng bằng h.

PT Newton 2 cho viên bi tại M1

amNgm

A

B

D

E

o

o

h

h

●R

M1

mg

N

Chiếu lên trục hướng tâm:

Vì tại M1 viên bi rời khỏi cung BD nên N = 0,do đó:

Áp dụng ĐLBTCN ta được:

RmvmaNmg n

2cos

Rmvmg

2cos

RhR

hRRRh

Rmgmvhmg

2,021cos

212

cos21

212 2

Bài 2: Ở đầu một sợi dây OA, dài l có treo một vật nặng (hình vẽ). Hỏi tại điểm thấp nhất A phải truyền cho vật một vận tốc bé nhất bằng bao nhiêu để vật có thể quay tròn trong mặt phẳng thẳng đứng.

O

A

Sức căng T cực tiểu khi vật lên đến điểm cao nhấtPT Newton II tại điểm cao nhất B

Áp dụng ĐLBT cơ năng

Điều kiện

O

A

B

mg

T

2

minBvmg T ml

2 2

2min

1 1 22 2

1 1 22 2

A B

A

mv mv mgl

mv mgl lT mgl

2min

min

1 50 52 25

AT mv mgl v gl

v gl

IX. Momen động lượng và momen lực1. ĐN: * Momen ĐL của chất điểm đối với điểm O

* Momen của lực đối với điểm O

là động lượng của chất điểmlà vectơ vị trí của chất điểm

L r p

F

r F M

p mv

r

có:* điểm đặt tại O * phương thẳng góc với và * chiều xác định bằng qui tắc vặn nút chai* độ lớn L = r.p.sinα , α là góc nhỏ hơn giữa hai

vectơ và các định tương tự

L

r

p

r

M

O

●

L

r

p

p m v

2. Các định lý và định luật

a)

b)

c) Nếu = 0 thì , mômen động lượng của chất điểm được bảo toàn.* Hình chiếu của lên một trục đi qua O là momen động lượng và momen lực đối với trục đó.

dL dr d pp r r Fdt dt dt

M

2 2 2

2 11 1 1

L t t

L t t

d L Mdt d L Mdt L L dt

M

M L const

,L

M

X. Chuyển động của chất điểm trong THD1. Khảo sát chuyển động của một chất điểm khối

lượng m trong THD của một chất điểm khối lượng M đặt cố định tại O. Chọn O làm gốc tọa độ. Áp dụng định lý momen động lượng đối với chất điểm m:

F

d Ld t

M

O

p mv

L

Mà

Vì luôn vuông góc với , vậy quỹ đạo của chất điểm phải nằm trong mặt phẳng đi qua O và vuông góc với .

0 L const M

p mv

L

L

2. Chuyển động trong trường hấp dẫn của QĐa) Vận tốc vũ trụ cấp một v1 : là vận tốc của một vệ

tinh chuyển động tròn đều quanh Trái Đất. Nếum là khối lượng của vệ tinh, r là bán kính quỹđạo của nó thì:

M, m là khối lượng của Trái Đất và của vệ tinhSuy ra

2

2

rMmG

rmv

rGMv

Khi nói vận tốc vũ trụ thứ nhất, người ta thường hiểu ngầm là vệ tinh bay ở độ cao thấp, r xấp xỉ bằng bán kính R của Trái Đất. Vậy:

Một vật chỉ có thể trở thành vệ tinh nhân tạo chuyển động tròn nếu nó được truyền vận tốc có độ lớn bằng v1 và có phương song song với mặt đất

skmR

GMv /8,71

b). Vận tốc vũ trụ cấp II v2 : Đó là vận tốc tối thiểu cần truyền cho một vật để nó bay ngày càng xa QĐất. Áp dụng ĐLBTCN cho vật:

Vì

Vậy :

GMmmv

RMmGmv

22

22

2

02

mv 2

22

mv Mm GMG vR R

skmvv /2,112 12

Ví dụ: Chất điểm có khối lượng m được ném lên từ điểm O trên mặt đấtvới vận tốc ban đầu vo theo hướngnghiêng góc với mặt phẳng nằmngang. Xác định tại 1 thời điểm t và đốivới O:

a) Momen ngoại lực tác dụng lên chấtđiểm;

b)Momen động lượng của chất điểm.Bỏ qua sức cản không khí

Ta có:a)

b)

212cos

o o

o

r F gt v t mg mtv g

mtv g

M

M

2

2 2 2

2

12

1 12 2

1 cos2

o o

o o o

o

L r p m gt v t gt v

m t g v t v g mt v g

L mgt v