chƯƠng i giẢi tÍch phỨcfit.lqdtu.edu.vn/files/danhsach/giẢi tÍch phỨc.doc · web...
TRANSCRIPT
CHƯƠNG I GIẢI TÍCH PHỨC
§1. SỐ PHỨC
I. Dạng đại số của số phức được xác định
trong đó : gọi là phần thực của z
gọi là phần ảo của z
Cho hai số phức ta nói và
số phức gọi là số phức liên hợp của
Mặt phẳng phức được thể hiện bởi một hệ trục tọa độ.Trong đó trục 0y được gọi là
trục ảo,còn trục 0x là trục thực .
Khi cho thì tương đương với M(x,y) trên m/p được gọi là tọa vị của M.
Độ dài vectơ được gọi là môdun của số phức và
Góc được gọi là Argumen của z ,còn gọi là argumen
phần chính của z.
được gọi là dạng lượng giác của số phức
Công thức Moavơrơ:
thừa nhận: (công thức ơle)
Ví dụ:
a)
b)
1
c)
d)
e) Với và thì
f) và thì
II. CĂN BẬC n CỦA SỐ PHỨC
W được gọi là căn bậc n của số phức z và viết nếu
gọi số phức
và
VD tính:
§2. HÀM BIẾN PHỨC
Khái niệm:Hàm f(z) xác định trên tập G với mà có duy nhất một giá trị
thì hàm gọi là hàm đơn trị,trái lại hàm được gọi là hàm đa trị.
I. Giới hạn
Lưu ý: thì theo nhiều cách khác nhau
với hàm biểu diễn dưới dạng
II. Đạo hàm của hàm biến phức
và theo nhiều cách khác nhau
ta có với
2
cho và
cho và
và (Đ/k Côsi-Riman)
Nhận xét:
a) nếu hàm số giải tích thì thỏa mãn đ/k Côsi-Riman.
Ngược lại nếu hàm thỏa mãn Côsi-Riman và các hàm cùng các đạo
hàm
riêng liên tục tại một điểm thì tại đó nó có đạo hàm.
b) Quy tắc tính đạo hàm hàm biến phức tương tự như hàm biến thực.
Từ đ/k Côsi-Riman ta thấy và đó là các hàm điều
hòa.
Trong khuôn khổ chương trình ta đi tìm các hàm giải tích mà các hàm thành phần là
các hàm điều hòa.
III. MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN
1) Hàm đơn trị và
2) Hàm đa trị , việc lấy đạo hàm của nó phải thực hiện theo
từng
nhánh
3) Hàm mũ là hàm có phần thực và phần ảo
đó là hàm đơn trị và có các tính chất như hàm mũ thực
4) Hàm lượng giác: ; ; và
3
Lưu ý:
a) Các tính chất hàm lượng giác phức có tính chất như hàm lượng giác thực.
b) và nói chung không bị chặn như trong số thực,chẳng hạn
với
5) Hàm Lôgarit là hàm ngược của hàm và viết .
khai triển ta được với ,còn được
gọi
là nhánh chính của .Các tính chất của tương tự như trong thực.Riêng đạo
hàm
của ta phải thực hiện trên từng nhánh.
6) Hàm lượng giác ngược,đó là các hàm đa trị :
a)
b)
c)
Ví dụ:Tính với nhọn
7) Hàm lũy thừa tổng quát với và viết
cụ thể
§3:TÍCH PHÂN HÀM BIẾN PHỨC
I. Định nghĩa:Cho hàm xác định trên đường ,chia bởi các điểm
chia
theo thứ tự trên cung từ đến lấy bất kỳ điểm
4
nếu tồn tại giới hạn trong đó với
và giới hạn không phụ thuộc vào phép chia và cách chọn thì giới hạn đó gọi là
tích
phân hàm dọc theo cung và viết
Với và trong đó thì
Do đó cách tính và các tính chất của tích phân hàm biến phức hoàn toàn như tích phân
đường loại 2.
Ví dụ: Tính với
Nếu có hàm thỏa mãn thì
II. Định lý Côsi:Nếu hàm giải tích trong miền G có biên L(trơn) thì
III. Công thức tích phân Côsi : Nếu hàm giải tích trong miền G có biên L(trơn)
và
thì
Chứng minh : Ta có
mặt khác do vì liên tục tại , nên
5
tức là
Ví dụ :
a)
b)
IV. Tích phân loại Côsi :Giả sử L là đường cong trơn từng khúc liên tục trên
L,khi đó
thì được gọi là tích phân loại Côsi.
Định lý : Cho liên tục trên L,khi đó giải tích miền D không
chứa L
và
đặc biệt khi L là đường cong kín, từ công thức tích phân cô si ta có
Ví dụ :
a)
6
b)
§4: CHUỖI TAYLOR-LAURENT
I. Chuỗi Taylor:
Mọi hàm giải tích tại z = a luôn biểu diễn dưới dạng
Khai triển Taylor của một số hàm sơ cấp cơ bản tại
a)
b)
c)
Đặc biệt ta có
và (Công thức Euler)
II. Chuỗi Laurent:
1. Định lý và định nghĩa : Hàm giải tích trong miền
;
thì luôn có .Khai triển đó gọi là chuỗi Laurent của
tại tâm trong đó
gọi là phần đều
7
gọi là phần chính
Chứng minh : Theo tích phân Côsi
trong đó và là hai đường tròn tâm ở trong G,sao cho miền giới hạn bởi
và chứa z.
Ta có
với
(1)
Tương tự với (2)
Trong (2) đặt
trong 2 tích phân trên và không phụ thuộc vào đường lấy tích phân .
Nên ta đặt với Đó là điều phải chứng minh.
III. PHÂN LOẠI ĐIỂM BẤT THƯỜNG
1) Không điểm: được gọi là không điểm của nếu .
8
điểm được gọi là không điểm cấp m của nếu: trong
đó và giải tích tại .
2) Định nghĩa: được gọi là điểm bất thường cô lập của hàm nếu trong lân
cận
của chỉ có duy nhất a là điểm bất thường của .
Giả sử là điểm bất thường cô lập của hàm
thì gọi là điểm bất thường bỏ được.
Nếu trong phần chính của khai triển Laurent tại chỉ có hữu hạn số
hạng
tức là trong đó thì
được
gọi là cực điểm cấp m.
Nếu trong phần chính của khai triển Laurent tại có vô số số hạng thì
được gọi là điểm bất thường cốt yếu.
3) Định lý : Cho trong đó nhận là không điểm cấp m và
.Thì nhận là cực điểm cấp m.
§5:THẶNG DƯ VÀ ỨNG DỤNG
I. THẶNG DƯ
1) Định nghĩa 1: Cho là điểm bất thường cô lập của hàm thì
9
không phụ thuộc vào đường lấy tích phân.Nên ta gọi là thặng dư
của
tại .Ký hiệu
2) Định nghĩa 2:ta gọi thặng dư của hàm tại (nếu nó không là giới hạn
của
điểm bất thường cô lập )
tích phân lấy theo lấy theo chiều thuận chiều kim đồng
hồ.
Trong đó miền giới hạn bởi C chứa mọi điểm bất thường của hàm số .
Giả sử có là các điểm bất thường cô lập (kể cả nếu nó không là giới
hạn của điểm bất thường cô lập nào cả).Khi đó
3) Công thức tính : Ta đã có với Khi
trong đó là hệ số trong khai triển Laurent tại
4) Cách tính thặng dư:
a) Thặng dư cực điểm cấp m :
10
b) Cho trong đó nhận là không điểm cấp 1 và
đồng thời giải tích tại thì
c) Đối với điểm bất thường cốt yếu để tìm thặng dư ta phải khai triển
Laurent
qua đó xác định
II. ỨNG DỤNG
1) Tích phân phức trên đường cong kín : Giả sử là các điểm bất
thường của nằm trong miền giới hạn bởi L (trơn),thì
2) Tích phân thực trong đó là phân thức hữu tỷ
Bổ đề : Gọi là nửa đường tròn tâm 0,bán kính R có và thỏa mãn
với thì .
Chứng minh : phương trình :
từ giả thiết ta có .Đó là điều phải chứng minh.
Định lý : Cho với có và
có là các cực điểm ở phía trên 0x và là cực điểm đơn trên
0x11
Khi đó
3) Tích phân dạng và với
Theo công thức ơle,ta có
khi đó
nếu các tích phân hội tụ.
Qua đó và
a) Bổ đề : Gọi là cung tròn có với cố định.Nếu
với cố định,còn giải tích trong nửa mặt phẳng trừ
một
số hữu hạn các điểm bất thường và thì
b) Định lý : Cho với có và có
là các cực điểm ở phía trên 0x và là cực điểm trên 0x.
Khi đó
4) Tích phân dạng
12
Từ và .
Đặt và .Do đó
§6: PHÉP BIẾN ĐỔI Z
I. Định nghĩa và tính chất
1) Định nghĩa:Cho dãy số biến đổi Z của dãy số trên được xác định
nếu chuỗi hội tụ.Ký hiệu và
VÍ DỤ:Tìm biến đổi Z của dãy số:
2) Tính chất: Giả sử và
a) Tuyến tính :
b) Tính trễ :
Vì
c) Nhân với n :
Vì từ
.Đó là điều phải chứng minh.
Ví dụ :Tìm biến đổi Z của dãy số:13
Ta có với
Qua đó với
II. Phép biến đổi Z ngược : Phần này ta giải quyết bài toán với một hàm
hãy tìm
một dãy số sao cho qua biến đổi Z dãy cho ảnh là .
CHƯƠNG II:CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
§1:PHÉP BIÊN ĐỔI LAPLACE
I. KHÁI NIỆM:
1) Định nghĩa : Hàm số được gọi là hàm gốc nếu thỏa mãn các điều kiện sau
0. Hàm liên tục hay liên tục từng khúc
1. Không tăng nhanh bằng hàm mũ,tức là sao cho
Khi đó được gọi là chỉ số tăng của .
2. với .Điều kiện này thường áp dụng trong thực tế đối với các
hàm có biến là biến thời gian.
VÍ DỤ:
1.
2.
14
Quy ước:Khi là hàm gốc ta chỉ cần ghi là hàm gốc .
2) Định lý: Giả sử là chỉ số tăng của ,với thì tích phân
hội tụ ,hơn nữa
Chứng minh:Ta có với .Tức là tích phân
hội tụ.Mặt khác khi tức là
hay .
Đặt ,khi đó gọi là hàm ảnh của hàm gốc và được gọi là
toán tử Laplace.
Ký hiệu : hoặc
Hơn nữa tức là
II. Các tính chất
1) Tuyến tính:Cho và ; thì
2) Tính đồng dạng : cho thì với
3) Dịch chuyển ảnh : cho thì
15
4) Tính trễ :Cho hàm thì hàm gọi là hàm trễ của với
và khi thì
5) Hàm xung và biểu diễn hàm qua hàm :Hàm xung là hàm có dạng
khi đó ta có
6) Ảnh của hàm tuần hoàn:Cho thì
ta có
VÍ DỤ:Tìm ảnh của hàm
7) Đạo hàm của hàm gốc: cho .Tìm ảnh của hàm
với ta có
với thì
vậy
8) Tích phân hàm gốc : cho .Tìm ảnh của hàm
16
Chứng minh : Giả sử và .Khi đó
nhưng
.Mặt khác ,nên .
9) Đạo hàm hàm ảnh: cho .Tìm gốc của
Chứng minh:Ta đã có nên tiếp tục lấy đạo hàm
theo p
hai vế ta được ,tức là
10) Tích phân hàm ảnh : cho .Tìm gốc của (nếu hội tụ)
Chứng minh: Ta có
11) Tích chập và ảnh của nó : Cho hai hàm và thì
được
gọi là tích chập của hai hàm và .Ký hiệu :
LƯU Ý:
17
Nếu và là hai hàm gốc thì
và
với và thì
Chứng minh:Ta có
đặt thì
.
12) Công thức Duyhammen:Cho và thì
hoặc
13) Điều kiện để một hàm là ảnh của một hàm gốc
Định lý : Giả sử hàm là hàm biến phức thỏa mãn
1. Giải tích trong nửa mặt phẳng
2.
3. hội tụ tuyệt đối với
Khi đó là ảnh của hàm gốc và được xác định
14) Công thức tìm hàm gốc của một phân thức thực sự
18
Cho (tối giản).Giả sử là các cực điểm của thì là
ảnh
của hàm gốc và
III. Ứng dụng giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số:
Cho phương trình
thỏa mãn điều kiện với
Cách giải : Giả sử thay
và .Qua đó ta tính được .Từ đây ta tìm được
Chú ý: Đối với hệ phương trình ta cũng làm tương tự
VÍ DỤ:
a) khi
b) Giải hệ phương trình
với điều kiện
§2:PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER
I. Nhắc lại một số vấn đề về chuỗi Fourier
Cho hàm tuần hoàn chu kỳ thì luôn có
trong đó:
19
với
với
Khi tuần hoàn chu kỳ thì luôn có
ở đó các hệ số được xác định
với
với
Nếu hàm là hàm chẵn thì với
còn khi hàm là hàm lẻ thì với
II. Phép biến đổi Fourier
1) Định lý : Hàm khả tích trên và thỏa mãn điều kiện Đirichlet thì
Ta có là hàm chẵn theo và lẻ theo nên
20
Khi đó và được gọi là công thức tích phân Fourier thực và phức tương ứng,và ta
có
2) Định nghĩa : Ta gọi
a) là biến đổi Fourier của hàm
b) là biến đổi Fourier ngược của hàm
Nếu là hàm chẵn thì
Và gọi là biến đổi Fourier theo cosin
còn gọi là biến đổi Fourier ngược theo cosin
Còn khi là hàm lẻ tương tự ta có
gọi là biến đổi Fourier theo sin
và gọi là biến đổi Fourier ngược theo sin
LƯU Ý :
a) Các định nghĩa trên có ý nghĩa thuần túy toán học.21
b) Nếu hàm là hàm dạng sóng theo biến thời gian t (với tần số f),đặt
thì ta có
c) Trong kỹ thuật thì người ta định nghĩa :
là biến đổi Fourier của hàm
là biến đổi Fourier ngược của hàm
Ký hiệu :
là biến đổi Fourier thuận hoặc
là biến đổi Fourier ngược
d) Hàm Dirac
Đó là hàm chẵn và thỏa mãn
Với mọi hàm liên tục tại 0 luôn có .
Khi đó và với
VÍ DỤ:
a) Tìm hàm chẵn thỏa mãn
22
Qua đó tính tích phân
Chứng minh:Ta có
.
Từ
Với thì
b) Tìm hàm lẻ thỏa mãn
Do hàm lẻ nên
và
c) Từ biến đổi Fourier của với .Tính
23
Chứng minh:Thác triển hàm thành hàm lẻ,khi đó biến đổi Fourier là
Ta có là biến đổi Fourier ngược của nên
3) Các tính chất (trong kỹ thuật):
a) Tuyến tính : Cho và với ; = cosnt thì
b) Đồng dạng : Cho thì
Từ
Khi ta có kết quả
Tổng hợp ta có
c) Trễ : Cho thì
d) Dịch chuyển ảnh : Cho thì
24
e) Điều chế:Cho thì
f) Đạo hàm của hàm gốc: Cho thì
Chứng minh: với thì tức là
với thì tức là .Qua đó ta
được diều phải chứng minh.
g) Đạo hàm hàm ảnh : Cho thì
Vì tức là hay
h) Tích chập: Cho và thì
Chứng minh: Ta có
III. Biến đổi Fourier hữu hạn
Cho dãy số . Biến đổi Fourier hữu hạn của nó được xác định
25
(khi chuỗi vế phải hội tụ)
kí hiệu: =
Và công thức biến đổi ngược là
Nếu đặt thì từ ta có
Điều kiện đủ để dãy tín hiệu rời rạc có biến đổi Fourier hữu hạn là:
(tức là chuỗi hội tụ)
Tính chất: Cho = và =
1) Tuyến tính: = +
2) Trễ : =
3) Dịch chuyển ảnh: =
IV. Biến đổi Fourier rời rạc:
Khi các hàm số biểu diễn cho các tín hiệu thì biến đổi Fourier của chúng được gọi là
biểu diễn phổ.Việc tính toán biến đổi Fourier dựa vào máy tính phải được rời rạc hóa
bằng cách chọn một số hữu hạn các giá trị mẫu theo thời gian và phổ cũng nhận được
tại một số hữu hạn các tần có số.
1) Định nghĩa: Cho dãy số xác định với
26
Chuỗi Fourier rời rạc của dãy được xác định ở đó .
Đặt .Khi đó và
a) và .Chứng tỏ tuần hoàn chu kỳ N
b) nếu và khi ( )
Vì khi thì và nên .
Còn khi thì nên
2) Định nghĩa:Biến đổi Fourier rời rạc của dãy tín hiệu tuần hoàn chu kỳ N được
xác định :
với
Từ định nghĩa ta thấy
a) .Chứng tỏ là hàm tuần hoàn chu kỳ N
b) Biến đổi Fourier rời rạc của dãy tín hiệu là kết quả một chu kỳ của
chuỗi Fourier rời rạc.
27
3) Định lý:Với mọi dãy tín hiệu x(n) tuần hoàn chu kỳ N,thì
được gọi là biến đổi Fourier ngược của dãy tín hiệu x(n) tuần
hoàn chu kỳ N.
Chứng minh:
Thật vậy:
do .
VD:Cho dãy tín hiệu x(n) tuần hoàn chu kỳ N chẵn thỏa mãn
CMR biến đổi Fourier rời rạc của dãy x(n) thỏa mãn
Chứng minh:Ta có
.Từ đó
V. QUAN HỆ GIỮA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ FOURIER
Định lý : Giả sử hàm là hàm biến phức thỏa mãn
28
1. Giải tích trong nửa mặt phẳng
2.
3. hội tụ tuyệt đối với
Khi đó là ảnh của hàm gốc và được xác định
Cho một hàm thỏa mãn các điều kiện của một hàm gốc trong phép biến đổi
Laplace,
để có ảnh Fourier thì khả tích trên .Tức
Ta đã có .Do chọn , nên
đặt thì ở đó , hay ta viết lại
Đặc biệt khi : .
Như vậy :với thì với .
Ví dụ: Tìm biến đổi Fourier của hàm
Chứng minh:
29
Theo Laplace: với thì
Mặt khác
30