chƢƠng 1 tÍch phÂn bỘi -...

CHƢƠNG 1

TÍCH PHÂN BỘI

I. Tích phân kép (Tích phân bội 2)

II. Tích phân bội 3.

1. Định nghĩa.

2. Các tính chất.

3. Cách tính tích kép.

4. Ứng dụng của tích phân kép

I. TÍCH PHÂN KÉP

I. TÍCH PHÂN KÉP

1. Đinh nghia tich phân kép.

Cho ( , )z f x y xac đinh trong miên đong , bi

chăn D. Ta chia miên D tuy y thanh n manh

nho Di có diên tich la , 1,iS i n va đương

kinh là di tương ứng. Lây tuy y điêm i iM D .

Ta lập tông

1

( , ).n

n i i ii

I f x y S

đươc goi la tông tich phân cua ham sô ( , )f x y

trong miên D.

I. TÍCH PHÂN KÉP

I. TÍCH PHÂN KÉP

1. Đinh nghia tich phân kép.

Tich phân kép cua ham sô ( , )z f x y theo

miên D là giới hạn cua tông tích phân khi

max 0id va đươc ki hiêu la:

1max 0

( , ) lim ( , ).

i

n

i i inidD

f x y dS f x y S (*)

trong đo, D là miền lấy tích phân, f đươc goi

là hàm dƣới dấu tích phân, dS đươc goi là yếu

tố diện tích.

I. TÍCH PHÂN KÉP

1. Đinh nghia tich phân kép

Chú ý 1.

i) Nếu tích phân bên VT(*) tồn tại, thì ta nói hàm ( , )f x y kha tích trong D .

ii) Nếu ( , )f x y liên tục trong miên đong, bi chăn D thì giới hạn bên VP(*)

tồn tại không phụ thuộc vào cách chia miên D và cách chon điêm Mi.

iii) Nếu ( , )f x y = 1, ( , )x y D thì diên tích cua D cho bởi công thức

D

D

S dS

iv) Nếu ( , )f x y liên tục, không âm ( , )x y D thì thê tích hình trụ xét

ở trên tính cho bởi công thức

( , )D

D

V f x y dS

I. TÍCH PHÂN KÉP

1. Đinh nghia tich phân kép

Chú thích.2.

Do tích phân kép không phụ thuộc vào cách chia

miên D nên ta có thê chia miên D bởi cac đương

thẳng song song với trục Oy (cach đêu nhau 1

khoang x ) va cac đương thẳng song song với

trục Ox (cach đêu nhau 1 đoạn y ). Khi đo

dS dxdy . Nên ta thương dùng ký hiêu:

( , ) ( , )D D

f x y dS f x y dxdy

I. TÍCH PHÂN KÉP

2. Các tính chất của tích phân kép Gia sư ( , )f x y va ( , )g x y kha tich trên D va , . Khi đo

1) Nếu ( , )f x y = 1, ( , )x y D thì diên tích miên D là

D

D

S dS

2) ( , ) ( , )D

f x y g x y dS

( , ) ( , )D D

f x y dS g x y dS

3) Nếu chia D thành các miên D1, D2 không dẫm lên nhau thì

1 2

( , ) ( , ) ( , )D D D

f x y dS f x y dS f x y dS

I. TÍCH PHÂN KÉP

2. Các tính chất của tích phân kép

4) Nếu ( , ) ( , ), ( , )f x y g x y x y D , thì

( , ) ( , )D D

f x y dS g x y dS

5) Nếu ( , ) , ( , )m f x y M x y D va m ,M- const, thì

( , )D D

D

mS f x y dS MS ,

6) Nếu ( , )f x y liên tục trong miên bi chăn, đong D thì trong D

có ít nhât một điêm ( , )x y sao cho

( , ) ( , )D

D

f x y dS f x y S

I. TÍCH PHÂN KÉP

3. Cách tính tích phân kép

3.1. Trong hệ tọa độ Đề Các

Trƣờng hợp 1. Nếu D=[ , ] [ , ]a b c d thì

( , ) ( , ) ( , )b d d b

D a c c a

f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx

Chú ý. Đăc biêt nếu ( , ) ( ) ( )f x y x y thì

( , ) ( ) ( )b d

D a c

f x y dxdy x dx y dy

I. TÍCH PHÂN KÉP



Trƣờng hợp 2. Nếu D = 1 2

{( , ) : , ( ) ( )}x y a x b y x y y x , thì

2

1

( )

( )

( , ) ( , )y xb

D a y x

f x y dxdy dx f x y dy

I. TÍCH PHÂN KÉP



Trƣờng hợp 3. Nếu D = 1 2

{( , ) : , ( ) ( )}x y c y d x y x x y , thì

2

1

( )

( )

( , ) ( , )x yb

D a x y

f x y dxdy dy f x y dx

I. TÍCH PHÂN KÉP

Phương pháp tính:

B1. Vẽ miền lấy tích phân D.

B2. Dựa vào miền D để xác đinh cận.

Nếu miền D phức tạp thì ta chia

miền D thành những miền nhỏ

không có phần trong chung.

B3. Áp dụng công thức Fubini và các

tính chất tích phân để tính.

I. TÍCH PHÂN KÉP

VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tính 2 2(16 2 )D

I x y dxdy , với [0,2] [0,2].D

Ví dụ 2. Tính lnD

xI ydxdy

y, với [0,2] [1, ].D e

Ví dụ 3. Tính

D

I xydxdy ,

với miên D giới hạn bởi 22 , .y x y x

Ví dụ 4. Tính ( )D

I x y dxdy , D là OAB với O(0,0), A(1,1),

B(2,0).

Ví dụ 5. Tính 2| |

D

I y x dxdy , với [ 1,1] [0,1].D

I. TÍCH PHÂN KÉP

VÍ DỤ

Ví dụ 6. Tính 2

1 1

0

x

y

I dy e dx ,

Ví dụ 7. Tính

1 13

0

sin( 1)y

I dy x dx ,

Phương pháp thay đổi thứ tự lấy tích phân

B1. Xac đinh miên D.

B2. Vẽ miên D.

B3. Thay đôi thứ tự (viết kết qua)

I. TÍCH PHÂN KÉP

Ví dụ 8. Thay đổi thứ tự lấy tích phân của các

tích phân sau

a)

21

0 0

( , )y y

dy f x y dx

b)

2

2

2 16

0 8

( , )x

x x

dx f x y dy

c)

2

2

2 43

3 12

( , )y

y

dy f x y dy

I. TÍCH PHÂN KÉP 3. Cách tính tích phân kép

3.2. Đổi biến

Trƣờng hợp 1. Sang toạ độ cong ( , ), ( , )x x u v y y u v (* )

Gia sư rằng:

i) ( , ), ( , )x x u v y y u v là các hàm liên tục va cac đạo hàm riêng liên

tục trong miên đong D’ cua măt phẳng uvO .

ii) Các công thức (*) xac đinh một song ánh từ D lên D’

3i) Đinh thức Jacobi J =

( , )0

( , )

u v

u v

x xD x y

D u v y y trong D’.

Khi đo

'

( , ) ( ( , ), ( , ))D D

f x y dxdy f x u v y u v J dudv

I. TÍCH PHÂN KÉP

VÍ DỤ

Ví dụ 9. Tính 3( )

D

x y dxdy , với D là miên giới hạn bởi

1, 3; 2, 5.x y x y x y x y

Ví dụ 10 . Tính

D

xy dxdy , với D là miên giới hạn bởi

2 2 2 2, 2 , , 3 y x y x x y x y

Ví dụ 11 . Tính arcsinD

x y dxdy ,

với { 0, 1, 1, 1}.D x y x y y y

I. TÍCH PHÂN KÉP Trƣờng hợp 2. Sang toạ độ cực. Xét miên D như hình vẽ.

Vẽ 2 tia OA, OB tiếp xúc với miên D và

, ; ,Ox OA Ox OB .

Khi đo 1 2

,

OM OM OM

M DOx OM

Đăt cos

sin

x r

y r 0 2 .

Đinh thức Jacobi J = r trong D’ , với D’:

1 2( ) ( )r r r

Khi đo '

( , ) ( cos , sin )D D

f x y dxdy f r r rdrd

I. TÍCH PHÂN KÉP

Chú ý 1. Ta chỉ đôi sang hê toa độ cực khi:

- Ham dưới dâu tich phân co chứa 2 2x y , đồng

thơi miên D giới hạn bởi cac đương thẳng đi qua O.

- Miên lây tich phân D la hình tròn, hình tròn lêch,

giới hạn cua hai hình tròn, hoăc đương cong co chứa

2 2x y .

I. TÍCH PHÂN KÉP

Chú ý 2.

- Với những miên lây tich phân nao ma bạn co thê vẽ

hình đươc thì nên vẽ ra vì như thế sẽ dễ dang xac

đinh cận lây tich phân hơn.

- Trước khi chuyên cận, bạn nên chú ý xem miên D

và hàm lây tích phân có tính chât đôi xứng không?

Điêu này sẽ giúp ta thu hẹp miên lây tích phân:

- Đê xac đinh chính xác cận tích phân, ta phai xét

trong toa độ cực thông thương, không xét trong toa

độ cực mở rộng. Nghĩa la: 0, 0 2r .

I. TÍCH PHÂN KÉP

VÍ DỤ


x y dxdy ,

với 2 2 2 2{ 1, 4, 0, }.D x y x y y y x

Ví dụ 13. Tính 2 24

D

x y dxdy ,

với 2 2{ 4, , 3, }.D x y y x y x y x


D

x y dxdy , 2 2{ 2 , }.D x y x y x


x y dxdy ,2 2 2 2{ 2 , 2 }.D x y x x y y

I. TÍCH PHÂN KÉP


Trƣờng hợp 3. Sang toạ độ cực mở rộng.

Dạng 1. Miên D là hình tròn 2 2 2( ) ( )x a y b R

Đăt cos

sin

x a r

y b r 0 ,0 2r R .

Khi đo, đinh thức Jacobi

cos sin

sin cos

r

r

x x rJ r

y y r

Khi xac đinh cân cua r, ta xem như gôc toa độ trùng với tâm I(a,b).

I. TÍCH PHÂN KÉP


Trƣờng hợp 3. Sang toạ độ cực mở rộng.

Dạng 2. Miên D là hình Elipse 2 2

2 21, 0, 0

x ya b

a b

Đăt

cos

sin

xr

a

yr

b

0 1,0 2r .

Khi đo, đinh thức Jacobi

cos sin

sin cos

r

r

x x a arJ abr

y y b br

I. TÍCH PHÂN KÉP

VÍ DỤ

Ví dụ 16. Tính (2 )D

x y dxdy ,

với 2 2{( 1) ( 2) 4, 1}.D x y x

Ví dụ 17. Tính ( 1)D

x dxdy ,

với 2 2

{ 1, 0, 0}.9 4

x yD x y

Ví dụ 18. Tính

D

x dxdy , với 2 2

{ 1, , 0}.3 1

x yD x y y

I. TÍCH PHÂN KÉP


4.1. Ứng dụng hình học

a) Diện tích miền D. D

D

S dxdy

b) Tính thể tích vật thể

i) Vật thê đươc giới hạn trên bởi ( , )z f x y , giới hạn dưới bởi

miên D và giới hạn xung quanh bởi cac đương thẳng song song với Oz,

tựa trên biên D.

( , )D

D

V f x y dxdy

ii) Vật thê đươc giới hạn trên bởi 1 1

( , )z f x y , giới hạn dưới

bởi 2 2

( , )z f x y và giới hạn xung quanh bởi cac đương thẳng song

song với Oz, tựa trên biên D.

1 2[ ( , ) ( , )]

D

D

V f x y f x y dxdy .

I. TÍCH PHÂN KÉP

VÍ DỤ

Ví dụ 19. Tính diên tích hình phẳng giới hạn bởi cac đương

2 2 2 2, 2 , , 3 y x y x x y x y .

Ví dụ 20: Tính thê tích vật thê V giới hạn bởi: 2 2 2 2 1; và 1.x y x y z z

Ví dụ 21: Tính thê tích vật thê V giới hạn bởi phân hinh tru 2 2 1x y va hai măt phẳng 5 0, 2.x y z z

Ví dụ 22. Tính thê tích vật thê V giới hạn bởi phân hinh tru 2 2 2x y y nằm trong hinh câu 2 2 2 4x y z .

I. TÍCH PHÂN KÉP


4.1. Ứng dụng hình học

c) Diện tích mặt cong

Măt cong S trơn, co phương trình ( , )z f x y . Hình chiếu vuông

góc cua S trên Oxy la D. Khi đo diên tích măt S đươc tính theo công

thức:

2 21 x y

D

S z z dxdy

VÍ DỤ

Ví dụ 23. Tính diên tích phần măt 2 24 z x y nằm trong hình trụ

2 2 2x y .

Ví dụ 24. Tính diên tích cua phần hình trụ 2 2 2 x y a bi cắtt bởi

hình trụ 2 2 2x z a .

I. TÍCH PHÂN KÉP


4.2. Ứng dụng cơ học

a) Tính khối lƣợng của một bản phẳng không đồng chất. Cho một

ban phẳng chiếm miên D trong Oxy . Hàm khôi lương riêng ( , )x y .

Khôi lương m cua ban phẳng cho bởi công thức:

( , )D

m x y dxdy

b) Trọng tâm của bản phẳng. Cho một ban phẳng chiếm miên D trong

Oxy . Hàm khôi lương riêng là ( , )x y . Goi ( , )G G

G x y là trong tâm cua

ban phẳng. Khi đo

( , ) ( , )

; ( , ) ( , )

D DG G

D D

x x y dxdy y x y dxdy

x yx y dxdy x y dxdy

1. Định nghĩa tích phân bội 3.

2. Các tính chất tích phân bội 3.

3. Cách tính tích phân bội 3.

4. Ứng dụng tích phân bội 3.

II. TÍCH PHÂN BỘI BA

I. TÍCH PHÂN BỘI BA

1) Đinh nghia tich phân bội ba

Cho ham sô ( , , )f x y z xac đinh trong một

miên đong , bi chăn 3V . Chia miên V tuy y

thanh n m iên nho iV va thê tich cua chung la

iV

(i = 1,…,n) va đương kinh cua miên la di. Lây tuy y

một điêm ( , , )i i i iM

iV . Lập tông

1

( , , ).n

n i i i ii

I f V

Tông trên đươc goi la tông tich phân cua ham sô

( , , )f x y z theo miên V .



Tich phân bội ba cua ham sô ( , , )f x y z theo

miên V là giới hạn cua tông tích phân khi

max 0id va đươc ki hiêu la:

max 01

( , , ) lim ( , , ).i

n

i i i idiV

f x y z dV f V

trong đo, V là miền lấy tích phân, ( , , )f x y z đươc

goi là hàm dưới dấu tích phân, dV đươc goi là yếu

tố thể tích.



Chú ý.

i) Nếu ham ( , , )f x y z kha tich trên miên V , thì

tích phân bên vế trái tồn tại.

ii) Nếu ( , , )f x y z liên tục trong miên bi chăn, đong

V thì giới hạn bên VP tồn tại và không phu thuôc

vao cach chia miên V va cach chon điêm i iM V

iii) Nếu ( , , )f x y z liên tục trong miên bi chăn, đong

V thì nó kha tích trong miên ây.



Chú ý.

iv) Tích phân bội ba không phụ thuộc vào cách chia miên V và cách

chon điêm Mi nên có thê chia V bởi các măt phẳng song song với các

măt phẳng toạ độ. Khi đo dV dxdydz , nên

( , , ) ( , , )V V

f x y z dV f x y z dxdydz

v) Nếu ( , , )f x y z liên tục, không âm ( , , )x y z V là hàm khôi lương

riêng cua vật thê V , thì khôi lương m cua V cho bởi công thức:

( , , )V

m f x y z dV

vi) Nếu ( , , )f x y z =1, ( , , )x y z V thì thê tích cua V cho bởi công

thức

V

V dV


2. Các tính chất của tích phân bội ba

Tương tự các tính chât cua tích phân kép.


3) Cách tính tích phân bội ba


a) Nêu [ , ] [ , ] [ , ]V a b c d m n thì

( , , ) ( , , )b d h

V a c g

f x y z dxdydz dx dy f x y z dz

b) Nếu

1 2

1 2

{( , ) : , ( ) ( ),

( , ) ( , )}

V x y a x b y x y y x

z x y z z x y

thì

2 2

1 1

( ) ( , )

( ) ( , )

( , , ) ( , , )y x z x yb

V a y x z x y

f x y z dxdydz dx dy f x y z dz


VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tính ( )V

x y z dxdydz ,

với V = [0,1] [0,2] [0,3] .

Ví dụ 2. Tính

V

xdxdydz ,

với { 1, 0, 0, 0}V x y z x y z .

Ví dụ 3. Tính 2

V

x dxdydz ,

với 2{ 1, , 0}V y z y x z .

Ví dụ 4. Tính ( )V

x z dxdydz ,

với 2 2 2 2{ 1, 2 , 0}V x y z x y z .


3) Cách tính tích phân bội ba

3.2. Đổi biến

a) Công thức đôi biến tông quát

( , , ), ( , , ), ( , , )x x u v w y y u v w z z u v w

thì

'

( , , ) ( , , )V V

f x y z dxdydz F u v w J dudvdw

trong đo

( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , ))F u v w f x u v w y u v w z u v w

và

( , , ) 0

( , , )

u v w

u v w

u v w

x x x

D x y zJ y y y

D u v w

z z z


b) sang toạ độ trụ

Công thưc đôi biên

Đăt

cos , 0,

sin , [0,2 ]

,

x r r

y r

z z

Ta có

r z

r z

r z

x x x

J y y y r

z z z

thì

'

( cos , sin , )V V

fdV f r r z rd drdz


VÍ DỤ


V

z x y dxdydz , với V là khôi hình trụ giới hạn

bởi 0z , 1z và 2 2 2 .x y y


V

x y dxdydz , với V là khôi hình trụ giới hạn

bởi 4z , 2 21z x y và 2 2 1.x y

Vi dụ 7. Tính

V

zdxdydz trong đo V đươc giới hạn bởi các măt

2 2 = z x y và 1z .

Vi dụ 8. Tính 2 2( )V

x z dxdydz trong đo V đươc giới hạn bởi

các măt 2 2 2x z y và 2y .


c) sang toạ độ cầu

Công thưc đôi biên

cos sin , 0,

sin sin , [0,2 ],

cos , [0, ].

x r r

y r

z r

Ta co

2

sin

r

r

r

x x x

J y y y r

z z z

Thì 2

'

( , , ) sinV V

f dxdydz F r r d d dr

Trong đo ( , , ) ( cos sin , sin sin , cos )F r f r r r


VÍ DỤ

Ví dụ 9. Tính 2 2( )V

x y dxdydz ,

với 2 2 2 2{ , 0}V x y z R z

Ví dụ 10. Tính 2 2 2

V

x y z dxdydz ,

với 2 2 2{ }V x y z z

Ví dụ 11. Tính 2 2 2

V

x y z dxdydz ,

với 2 2 2 2 2{ , }V x y z x y z z


VÍ DỤ

Vi dụ 12. Tính ( )V

y z dxdydz ,

với 2 2 2{ 0, 2 }V z x y z y

Vi dụ 13. Tính

V

z dxdydz ,

với 2 2 2{ 1, 2 }V z x y z z

Vi dụ 14. Tính 2 2

1

V

dxdydzx y

,

với 2 2 2 2 2{ 0, 1, 4}V z x y x y z


4. Ứng dụng của tích phân bội 3

i) Thê tích cua vật thê V cho bởi công thức

V

V dV

Chú ý. Ta có thê sư dụng tich phân kép đê tính thê tích vật V. Như

trong một sô trương hơp ta sư dụng tích phân bội ba tinh nhanh hơn, vì

tích phân bội ba co cach đôi biến sang toa độ trụ hoăc toa độ cầu.

ii) Nếu ( , , )f x y z là hàm khôi lương riêng cua vật thê V , thì khôi lương

cua vật thê đươc cho bởi công thức:

( , , )V

m f x y z dV


VÍ DỤ Vi dụ 15. Tính thê tích vật thê

2 2 2 2 2 2 2 2{ 1, 4, }V x y z x y z z x y

ĐS: (14 7 2)3

Vi dụ 16. Tính thê tích vật thê 2 2{ 2 , 3, 3}V x y x x z x z

ĐS: 4

Vi dụ 17. Tính thê tích vật thê 2 2 2 2 2 2{ 4, 4 }V x y z x y z z

ĐS: 10

3

Hết chƣơng 1

chƢƠng 1 tÍch phÂn bỘi -...

Documents