chúc các em học tốt! trích trong “giải pháp toán học 2014” “ giải pháp toán...

55

Trích trong “Giải pháp toán học 2014”

“ Giải pháp toán học 2014” là một cuốn trong bộ sách ôn thi đại họckhối A, B của Câu lạc bộ thủ khoa 24/7. Được viết dựa trên kinh nghiệmcủa các học sinh giỏi Quốc gia các môn các thủ khoa đại học, bộ sáchhứa hẹn sẽ mang đến cho các em cái nhìn chủ quan nhất, “học sinh” nhấttrong việc tiếp cận các bài tập ở chương trình THPT ôn thi đại học.Cùng với câu lạc bộ thủ khoa 24/7, cánh cửa đại học không còn xa vời!

Mua sách trực tiếp ở Hà Nội tại:

Số 95B ngõ 850, Đường Láng. Liên hệ sđt: 01655270913-gặp anh Trí Kiên.

Hoặc: Số 70,tổ 44, phường Trung Tự, Quận Đống Đa (gần đại học Y Hà Nội). Liên hệ sđt01685301493-gặp anh Thế Kiên.

Đặt sách qua bưu điện (vận chuyển COD) xem thông tin tạihttps://www.facebook.com/groups/luyenthicungthukhoa247/

Chúc các em học tốt!

56

LƯỢNG GIÁCCÁC CÔNG THỨC

1.Hệ thức lượng giác cơ bản

2 2

22

sin cos 1

sintancos 2

1 tan 1cos 2

k

k

22

tan .cot 1

coscotsin

1 cot 1sin

k

k

2.Công thức LƯợNG GIÁC thường gặp

Công thức cộng:

sin sin cos sin cos

cos cos cos sin sin

tan tantan

1 tan tan

a b a b b a

a b a b b a

a ba b

a b

Công thức nhân:

2 2 2 2

3

3

3

2

sin 2 2sin .cos

cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin

cos3 4cos 3cos

sin 3 3sin 4sin

3tan tantan 3 =1 3tan

a a a

a a a a a

a a a

a a a

a aaa

Tích thành tổng: cosa.cosb = 12

[cos(ab)+cos(a+b)]

sina.sinb = 12

[cos(ab)cos(a+b)]

sina.cosb = 12

[sin(ab)+sin(a+b)]

Tổng thành tích: sin sin 2sin cos2 2

a b a ba b

sin sin 2cos sin2 2

a b a ba b

cos cos 2cos cos2 2

a b a ba b

57

cos cos 2sin sin2 2

a b a ba b

sin( )tan tan

cos .cosa b

a ba b

Công thức hạ bậc: cos2a = 12

(1+cos2a)

sin2a = 12

(1cos2a)

Biểu diễn các hàm số lượng giác theo tan2at

2

2 2 22 1- 2sin ; cos ; tan .

1 1 1t t ta a at t t

BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau

a. 3 22

sin costan tan tan 1cosx xx x x

x

b. 1 cot tan 11 cot tan 1

x xx x

c. 2 26 2cos4 cot tan1 cos4

x x xx

d. 3tan sin 1

sin cos (1 cos )x x

x x x

Giải:

a.Ta có:

2 22

sin( 1)costan (tan 1) tan 1 (tan 1)(tan 1)cos

xxVT x x x x x

x

3sin cos

cosx x VP

x

b.Đẳng thức đã cho tương đương với

(1 cot )(tan 1) (tan 1)(1 cot )x x x x

58

tan 1 tan cot cot tan tan cot 1 cotx x x x x x x x

Luôn đúng

c.Ta có:

22

6 2cos44 4(cot tan ) 2 2 21 cos4sin 2 1 cos4

2

xVP x xxx x

= VT

d.Ta có biến đổi sau:

3

1sin( 1)cos 1 cos 1sin cos (1 cos )(1 cos ) cos (1 cos )

x xVT VPx x x x x x

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

1. 2 2 2sin cos cos 1 tan sin 1 cota a a a a a

2. . 2 2 2 2tan sin tan .sina a a a

3.3 3sin cos 1 sin .cos

sin cos

4.2 2sin cos tan 1

1 2sin .cos tan 1

5. 4 4 6 6 2 2sin cos sin cos sin .cosa a a a a a

6. 4 4 6 63 cos sin 2 cos sin 1a a a a

7. . sin 1 cos 21 cos sin sin

a aa a a

8. . 1 os 1 cos 2cot 01 cos 1 os 2

c a a a aa c a

9. . 2 2 2 2ot os ot . osc a c a c a c a

10. 3 3 sin 4cos .sin sin .cos4

aa a a a

11.3 3sin cos sin 21

sin cos 2a a aa a

59

12.21 2sin1tan 2

os2 1 sin 2aa

c a a

13. cos sin cos sin 2 tan 2cos sin cos sin

a a a a aa a a a

14. 2sin 21 11 tan 1 tan

cos cos osaa a

a a c a

15. 2sin 2 2sin tansin 2 2sin 2

a a aa a

16. 21 sin 2sin2 4aa

17. 0 0sin 3 4sin .sin(60 ).sin(60 )a a a a

18. 0 0os3 4 os . os(60 ). os(60 )c a c a c a c a

19. 0 0tan3 tan . tan(60 ). tan(60 )a a a a

20. sin .sin( ) sin .sin( ) sin .sin( ) 0a b c b c a c a b

21. os(a+b).sin(a-b)+cos( ).sin( ) os( ).sin( ) 0c b c b c c c a c a

22. 0 0 1sin 2sin 15 os 152 2 2a aa c

Phương trình lượng giác cơ bản

* sinu=sinv2

2

u v k

u v k

* cosu=cosvu=v+k2

* tanu=tanv u=v+k * cotu=cotv u=v+k

Zk .

I. Một số phương trình lượng giác thường gặp

1.Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

a.Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình

này ta dùng các công thức lượng giác để đưa phương trình về phương trình lượng

giác cơ bản.

b.Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có

dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0,

a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số lượng giác..

60


Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau

a. 22sin 3sin 5 0x x

b. 22cos 2 3cos2 1 0x x

c. 4 2tan 2 tan 1 0x x

d. 2cot 2cot 3 0x x

Giải:

a.Giải phương trình bậc 2 ta được

sin 125sin 1( ) 2

2

xx k

x L

b.Giải phương trình bậc 2 ta được

cos2 12

1cos22 3

x kx

x x k

c.Phương trình đã cho tương đương với:

2 2 tan 1 4(tan 1) 0tan 1

4

x kxx

x x k

d.Giải phương trình bậc 2 ta được:

cot 14

cot 3 tan( 3)

x kx

x x a c k

61


23. 1sin2

x

24. 2sin 3x

25. 3cos2

x

26. 3sin 22

x

27. 3cos 23 2

x

28. 3sin 23 2

x

29. 0 1sin 2 502

x

30. tan 3x

31. 3tan 33

x

32. 3cot 33

x

33. 2 1tan3

x

34. 2 tan .sin tan 0x x x

35. 2 tan cotcos

x xx

36. 26cos 5sin 7 0x x

37. cos2 5sin 3 0x x

38. cos2 cos 1 0x x

39. 26sin 3 cos12 14x x

40. 4 24sin 12cos 7x x

41. 22cos 3cos2 4x x

42. 25sin 2cos2 2x x

43. sin 2 sin 0x x

44.5sin os2 2 0x c x

45. sin cos 12x x

46. 2tan 2 34

x

47. 7 tan 4cot 12x x

2.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 2 2a b c .

Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt tanba

, ta được:

sinx+tancosx= cosca

sinxcos +sin cosx= cosca

sin(x+ )= cosca

sinñaët

.

Cách 2: Chia hai vế phương trình cho 2 2a b , ta được:

2 2 2 2 2 2sin cosa b cx x

a b a b a b

56

Đặt:2 2 2 2

cos ; sina ba b a b

. Khi đó phương trình tương đương:

2 2cos sin sin cos cx x

a b

hay

2 2sin sincx

a b

ñaët.

Cách 3: Đặt tan2xt .


Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau :

a.cos7 3sin 7 2x x b.3sin cos 1x x

c.sin 3 2 os3x c x d.sin 5cos 1x x

Giải:

a.Ta có

2cos7 3sin 7 2 sin(7 )6 2

x x x

5 284 711 284 7

kx

kx

b.Phương trình đã cho tương đương với :

2sin(3 ) 14 4 3

kx x

c.Ta thấy 2x k khôn g phải là nghiệm của phương trình

Ta có: cos 0 22x x k . Đặt tan

2xt

Phương trình đã cho tương đương với :2

22 2

6 1 1 2 6 01 1

t t t tt t

56

tan 00 23 tan 3

2

xt

t x

2 tan 3 2

x k

x a c k

d.Ta thấy 2x k khôn g phải là nghiệm của phương trình

Ta có: cos 0 22x x k . Đặt tan

2xt

Phương trình đã cho tương đương với :2

2 2

2

5(1 )2 11 1

3 2 0

212

2 22 tan( ) 23 3

ttt t

t t

x kt

t x a c k


48. 4sin 3cos 5x x

49. 3 cos sin 2x x

50. 6sin cos2

x x

51. os3 sin 3 1c x x

52. os5 sin5 1c x x

53. 92 3sin 3cos2

x x

54. 3sin 2 2cos2 3x x

55. 2sin 2 3cos2 13sin 4x x x

56. sin 4 3 cos4 3x x

57. 0 0os 2 15 sin 2 15 1c x x

58. 2sin 9cos 85x x

59. 2 sin 2 3cos2 4x x

60. 0 05cos 2 18 12sin 2 18 13x x

61. 5 22cos 3cos6 3 2

x x

62. 22sin 3sin 2 3x x

56

63. 22sin 2 3sin 4 3x x

64. sin8 os6 3 sin 6 os8x c x x c x

65. 3 18cossin cos

xx x

66. cos 3sin 2cos3

x x x

67. 3 22sin sin4 4 2

x x

68. 3cos2 sin 2 2sin 2 2 26

x x x

69. 512cos 5sin 8 012cos 5sin 14

x xx x

70. 14sin 3cos 4 1 tancos

x x xx

3.Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:

Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).

Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với2

x k .

+ Giả sử cosx 0: chia hai vế phương trình cho cos 2x ta được:

atan2x + btanx + c = 0.

Chú ý: 22

1 tan 1cos 2

x x kx

Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc.


71. 2 2sin 10sin .cos 21cos 0x x x x

72. 2 2sin 2sin .cos 3cos 0x x x x

73. 2 26sin sin .cos cos 2x x x x

74. 2sin 2 2sin 2cos2x x x

75. 2 22sin 2 3sin 2 .cos2 cos 2 2x x x x

76. 2cos 3sin .cos 1 0x x x

77. 2 2cos sin 3sin 2 1x x x

57

78. 2 2 54 3sin .cos 4 os 2sin2

x x c x x

79. 1 4cos 6sinsin

x xx

80. 6 6sin os 3sin .cos 0x c x x x

81. 3 33sin 4 os 3sinx c x x

82. 2 0 0 0 23sin 180 2sin 90 . os 90 5sin 270 0x x c x x

83. 2 2 32sin 1 3 os 4 2 3sin 2 02 2 2

x c x x

84. 34sin cos 4sin cos 2sin os 12 2

x x x x x c x

85. 2 2 92sin 5 3 1 sin 2 3sin 02 2

x x x

86. 2 23sin 3 3 sin .cos 3 os 0x x x c x

87. 2 2 2 233sin . os 3sin . os sin . os sin . os2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x x x x x x x xc c c c

4.Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:

Dạng: a(sinx cosx) + bsinxcosx = c.

Cách Giải: Đặt t = sinx cosx. Điều kiện t 2 .


88. 3 sin cos sin 2 3 0x x x

89. sin cos 4sin .cos 1 0x x x x

90. 2sin 2 3 3 sin cos 8 0x x x

91. 2 sin cos 3sin 2 2x x x

92. 1 2 sin cos sin 2 1 2 0x x x

93. 2 sin4x 3sin2x cos2x 3 0

94. sin 2 4 cos sin 4 0x x x

95. 5sin 2 12 sin cos 12 0x x x

58

96. 1 2 1 sin cos sin 2x x x

97. sin 2 2sin 14

x x

98. 3 32 sin os sin 2 sin cos 2x c x x x x

99. 101 1cos sincos sin 3

x xx x

100. 3 34 sin os 3sin 2 4 sin cos 0x c x x x x

101. 3 sin .cossin cos

x xx x

102. 92cos 4 10cos 2 6 02 4

x x

103. 3 3sin 2 os2 sin 2 os 2 1x c x x c x

104. 33sin 2 4sin 2 2 3 sin 3 os3 6 1 0x x x c x

59

II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

Do khuôn khổ bài viết có hạn nên một số Bài chỉ được nêu ra những mấu

chốt để giải bài toán, phần còn lại xin dành cho bạn đọc.

1. Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.

Bài 1: Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).

Giải:

Phương trình (1) tương đương với:

1 cos2 1 cos6 1 cos4 1 cos82 2 2 2

x x x x

cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0

2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0

2cos5x(cos3x+cosx) = 0

4cos5x.cos2x.cosx = 0

510 52cos5 0

cos2 0 2 , ( , , )2 4 2

cos 0

2 2

kxx kx

lx x k x k l n

xx k x n

Bài 2: Giải phương trình : cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2).

Giải:

Ta có (2) cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x)

cos2x(sin6x–cos6x) = 0

cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0

cos2x = 0

2 ,( )2 4 2

kx k x k

60

Bài 3: Giải phương trình: 6 3 48 2 cos 2 2 sin sin 3 6 2 cos 1 0x x x x (3).

Giải:

Ta có:

3 3 3

2 2

2

(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0

2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2

(1 cos2 )(cos2 cos4 ) (1 cos2 )(cos2 cos4 ) 2

2(cos2 cos2 cos4 ) 2

2cos2 (1 cos4 )2

2cos2 .cos 24

2cos22 8

x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

x x x

x x

x x

x x

, ( )k k

Bài 4: Giải phương trình:

cos2 1 sin 2 2 sin cosx x x x (1)

Giải:

(1) 22 2cos sin cos sin 2 cos sinx x x x x x

Xét cos sin 0x x là nghiệm 14

tgx x k (k )

Xét

cos sin >0 cos sin >0

2cos sin 0 cos sin 0

x x x x

x x x x

Với điều kiện (2) thì 1 cos sin cos sin 2x x x x

2 22cos 2 cos sin 4x x x

2 2cos sin 2 cosx x x

22 2cos sin 2 cosx x x

2cos 4cos 5 0x x

cos 1 1,1 2 ,x x k k Thử lại với điều kiện (2): Do cos 1 sin 0x x thoả (2).

61

Kết luận:4

x k ; 2x k với k .

Nhận xét:

Hãy thử quan sát xem tại sao ta phải xét 2 trường hợp riêng là:

cos sin 0x x và cos sin >0x x mà không gộp điều kiện lại là: cos sin 0x x .

Nếu ta đặt: cos sina x x và cos sinb x x thì điề kiện của bài toán khi ta chỉ

xét 1 trường hợp là:0 0

0 0

a a

ab b

Phép biến đổi này hoàn toàn sai vì nếu 0a thì < 0b ta vẫn có hệ

0

0

a

ab

được thoả mãn. Do đó ta cần phải thật cẩn thận trong phương trình dạng

này.

Bài 5: Giải phương trình :

a. (sin sin 3 ) sin 2 (cos cos3 ) cos2x x x x x x

b. 3 3 24sin 3cos 3sin sin cos 0x x x x x

c. 2 2 2 2tan cot 2 cot 3 tan cot 2 cot 3x x x x x x

d.2 2(1 cos ) (1 cos ) 2 21tan sin (1 sin ) tan

4(1 sin ) 2x x

x x x xx

Giải:

a.Bằng các phép biến đổi đơn giản ta đưa được về phương trình tích :

(2cos 1)(sin 2 cos2 ) 0x x x

Từ đây dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình là

2 23

8 2

x k

x k

b.Phương trình đã cho tương đương với :

2(4sin 3)(sin cos ) 0x x x

Việc còn lại khá dễ dàng để tìm ra nghiệm là

62

3

4

x k

x k

c.ĐKXĐ:sin 2 0

sin 3 0

x

x

Rút gọn phương trình đã cho ta được :

cos3 (sin cos ) 0x x x

Từ đây tìm được nghiệm của phương trình là :

6 3

4

kx

x k

d.ĐKXĐ:

sin 1x

Biến đổi đơn giản ta được phương trình tư ơng đương

2(1 sin )(1 2sin ) 0x x

Đến đây dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình :

4 2kx

2. Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số :


63cos 4sin 63cos 4sin 1

x xx x

Giải:

Đặt 3cos 4sin 1u x x phương trình đã cho trở thành:

161 66

uu

uu

3cos 4sin 1 1 1

3cos 4sin 1 6 2

x x

x x

63

Giải 3 314 4

tgx x arctg k , k

Giải 2 3cos 4sin 5x x

Gọi 0,2 với 4

3tg ta có:

5cos cos 13

x , vì 3cos5

2 ,x l l

Vậy phương trình có các họ nghiệm: 34

x arctg k ; 2x l với ,k l

Nhận xét: thật ra ở phương trình (2) ta có thể giải cách khác hay hơn, ngắn gọn

hơn. Đó là cách dùng bất đẳng thức B.C.S

Bài 7: Giải phương trình: sin cos 4sin 2 1 1x x x

Giải:

Đặt 22sin cos 0 sin cos 1 sin 2t x x t x x x 2sin 1x t

Khi đó 21 4 3 0t t

1>0 sin 2 02

kt x x

Nhận xét: qua bài toán này ta thấy có vẻ như việc đặt ẩn phụ hay không không

quan trọng lắm. Chẳng qua việc đặt ẩn phụ làm cho bài toán trở nên gọn hơn mà

thôi. Thế nhưng ở 2 bài toán sau thì khác.

Bài 8: Giải phương trình: sin 22xx tg

Giải:

Nhận xét: Nếu thay x bởi x , x , x thì phương trình không thay đổi.

Điều kiện: 22 2x k x k

Đặt2xt tg . Phương trình trở thành:

2 2

12 21 2 0

tt tt t t

64

1 1 22 2 4 2x xt tg k x k k

Bài 9: Giải phương trình lượng giác: 8 8 17sin cos32

x x (4)

Giải:

Ta có (4)

4 44 21 cos2 1 cos2 17 171 (cos 2 6cos 2 1)

2 2 32 8 32x x x x

Đặt cos22x = t, với t[0; 1], ta có 2 2

1217 136 1 6 0

134 42

tt t t t

t

Vì t[0;1], nên 2 cos4 11 1 1cos 22 2 2 2

xt x

cos4x = 0 4 ,( )2 8 4

x k x k k

Bài 10: Giải phương trình lương giác : 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5)

Giải:

Ta có (5) 2(1 cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0

(1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) 1] = 0

(1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0

3. Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng

cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.

Bài 11: Giải phương trình: | sin | cosx x (6).

Giải:

Điều kiện: x ≥ 0

65

Do | sin | 0,x nên | sin | 0 1x , mà |cosx| ≤ 1.

Do đó

2 2 2 0| sin | 0 ,( )(6)0| cos | 1 ,( )

k nx x k k x k k nxx x n n x n x n

(Vì k, n Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.


a. 13 14sin os 1x c x

b. 5 5sin cos 1x x

Giải:

a.Phương trình đã cho tương đương với13 14 2 2sin cos sin cosx x x x 2 11 2 12sin (sin 1) cos (cos 1) 0x x x x

Mặt khác:

2 11

2

2 12

2

sin 1sin (sin 1) 0

sin 0

cos 1cos (cos 1) 0

cos 0

xx x

x

xx x

x

2 11 2 12sin (sin 1) cos (cos 1) 0x x x x

Từ đây giải trường hợp dấu ‘=’ xảy ra, ta dễ dàng tìm được nghiệm của phương

trình là 22

x k

x k

b.

Cách giải hoàn toàn tương tự phần a5 5 2 2sin cos sin cosx x x x 2 3 2 3sin (sin 1) cos (cos 1) 0x x x x

Nghiệm của phương trình

66

222

x k

x k

Ta hoàn toàn có thể mở rộng bài toán với các giải hoàn toàn tương tự

sin cos 1a bx x với a,b lớn hơn 2


a. 2 24cos 3tan 4 3 cos 2 3 tan 4 0x x x x

b.10 10 6 6

2 2sin cos sin cos

4 4cos 2 sin 2x x x x

x x

c. 5 7 3 51cos sin (cos sin )sin 2 cos sin2

x x x x x x x

Giải:

a. Phương trình đã cho tương đương với2 2(2cos 3) ( 3 tan 1) 0x x

Từ đây có thể dễ dàng giải được bài toán

b.Biến đổi đơn giản ta đưa được về phương trình đơn giản sau10 10sin cos 1x x

Phương trình này có cách giải tương tự Bài ở trên

c.Phương trình đã cho tương đương với4 6(cos sin )(cos sin 1) 0x x x x

Đến đây bạn đọc tự giải

Bài 14: Giải phương trình

a. 28cos4 cos 2 1 cos3 1 0x x x

b. 2(cos2 cos4 ) 6 2sin 3x x x

c. 2sin sin sin cos 1x x x x

Giải:

a. Phương trình đã cho tương đương với

67

2(2cos4 1) 1 cos3 0x x

Từ đây dùng tính chất cơ bản của BĐT ta dễ dàng giải được phương trình

b. Phương trình đã cho tương đương với

2 24sin 3 sin 6 2sin 3x x x

Ta có đánh giá sau

6 2sin 3 4

2 24sin 3 sin 4

x

x x

Từ đây dễ dàng giải được phương trình

c.Phương trình đã cho tương đương với :

( sin cos )( sin cos 1) 0x x x x

Đến đây bạn đọc giải tiếp


a. cos2 3sin 2 3sin cos 0x x x x

b. 3cos2 cos 2 04xx

c. 2cos 2 sin10 3 2 2cos28 sinx x x x

Giải:

a. Bằng biến đổi cơ bản ta đưa phương trình về dạng

sin(2 ) sin( ) 26 6

x x

Mặt khác ta lại có

sin(2 ) 16 sin(2 ) sin( ) 2

6 6sin( ) 16

xx x

x

Từ đây dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình là

23

x k

b. Cách giải tương tự phần a ta được nghiệm là : 8x k

68

c. Ta có phương trình đã cho tương đương với

2(cos cos28 sin ) 3 2 2 sin10x x x x

Theo BĐT bunhiacopxki ta lại có

22(cos cos28 sin ) 2 1 cos 28 2 2VT x x x x

Kết hợp với

3 2 2 2 2VP

Từ đây ta có đánh giá để tìm được nghiệm của phương trình là

24

x k

4. Sử dụng tính chất hàm số.


32009 3cos 2009 4cos3 3 3cos3 0x x x x x

Giải:

Phương trình đã cho tương đương với

32009 3cos 2009 4cos 33 3(2009 3cos ) 3 3(2009 4cos )x x x xx x x x

Xét ( ) 3 3 ,tf t t t R có '( ) 3 ln 3 3 0tf t

Suy ra: 32009 3cos 2009 4cosx x x x

Từ đây ta dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình là6 3

x k

Bài 16: Giải phương trình:2

1 cos2x x .

Giải:

Đặt2

( ) cos2xf x x . Dễ thấy ( )f x f x , x , do đó f(x) là hàm số chẵn vì

vậy trước hết ta chỉ xét với x ≥ 0.

69

Ta có: ’ , ” 1 0f x sinx x f x cosx ’f x là hàm đồng biến, do đó

’ ’ 0 ,f x f với 0x f x đồng biến với 0x .

Mặt khác ta thấy 0 0f , do đó 0x là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài 17: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng

0;2 thoả mãn phương trình :

22sin cos 2

nn nx x

.

Giải:

Đặt n nf x sin x cos x , ta có: 1 1’ . – .n nf x ncosx sin x nsinx cos x .

= 2 2. –n nnsinx cosx sin x cos x

Lập bảng biến thiên của f x trên khoảng 0;2 , ta có 2

2 24

n

minf x f

Vậy x =4 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

70

BÀI TẬP CÓ ĐÁP SỐ, HƯỚNG DẪN GIẢI

Giải các phương trình sau:

1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng)

ĐS: 2 ; 22

x k x n

2. tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)

HD: Chia hai vế cho sin2x

ĐS: ; 24 3

x k x n

3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)

ĐS: 7; ; .4 4 12 12

x k x n x m

4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:2

x k .

5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội)

ĐS: 2 ; 2 ; 2 ;2

x k x n x l với 1sin4

.

6. sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS:4

x k .

7. sin 3 sin 2 .sin4 4

x x x ; (Học Viện BCVT) ĐS:4 2

x k

8. sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x

HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x ĐS:12

x k .

9.

71 1 4sin3sin 4sin2

xx x

ĐS:

4

858

x k

x k

x k

10. 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3sin cosx x x x x x

HD: Chia hai vế cho cos3x

71

ĐS: x =3

k ,4

x k

11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx

HD: Đưa về cung x đặt thừa số

ĐS: 2 2 ( )4 3

x k x k k

12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).

Giải:

(1) 2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx.

2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.

2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0.

Đặt t cosx , ĐK 1t , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0.

=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2.

112 cos2sin 2

tx

t x

loai

13. 2sinx+cotx=2sin2x+1.

HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1 –2cosx)sin2x–sinx+cosx=0.

Đặt t=sinx, ĐK 1t .

2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … =(4cosx–1)2.

14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.

HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0.

(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0.

(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0.

Đặt thừa số, giải tiếp …

15. Giải phương trình lượng giác : 2 cos sin1

tan cot 2 cot 1x x

x x x

Giải:

Điều kiện: cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0

cot 1

x x x x x

x

72

Từ (1) ta có: 2 cos sin cos .sin 21 2 sin

sin cos2 cos cos1cos sin 2 sin

x x x x xx x x xx x x

2sin .cos 2 sinx x x

2

42cos2 2

4

x kx k

x k

So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là

24

x k k

16. Giải phương trình: 4 4sin cos 1 tan cotsin 2 2x x x x

x

Giải:

4 4sin cos 1 tan cotsin 2 2x x x x

x (1)

Điều kiện: sin 2 0x

211 sin 2

sin cos12(1)sin 2 2 cos sin

xx x

x x x

2

2

11 sin 21 12 1 sin 2 1 sin 2 0

sin 2 sin 2 2

xx x

x x

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

17. Giải phương trình: 2 22sin 2sin tan4

x x x .

Giải:

Pt 2 22sin 2sin tan4

x x x

(cosx 0) 21 cos 2 cos 2sin .cos sin2

x x x x x

(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 sin2x = 1 hoặc tanx = 1.

73

18. Giải phương trình:

3sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3cos sinx 3 3 0x x c x c x x .

Giải:3sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos2 8( 3.cos sin ) 3 3 0

2 3 22sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0

x x x x x x

x x x x x x x x

22cos ( 3cos sin ) 6.cos ( 3cos sin ) 8( 3cos sin ) 0x x x x x x x x

2( 3cos sin )( 2cos 6cos 8) 0

tan 33cos sin 0

cos 12cos 3cos 4 0 cos 4 ( ai)

x x x x

xx x

xx x x

lo

3 ,2

x kk

x k

19. Giải phương trình: cosx=8sin3 6x

Giải:

cosx=8sin3 6x cosx = 3

3sin cosx x

3 2 2 33 3sin 9sin cos 3 3sin cos cos cos 0x x x x x x x (3)

Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm

(3) 3 23 3 tan 8 tan 3 3 tan 0x x x

tan 0x x k

20. Giải phương trình lượng giác : 2 cos sin1

tan cot 2 cot 1x x

x x x

Giải:

Điều kiện: cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0

cot 1

x x x x x

x

74

Từ (1) ta có: 2 cos sin cos .sin 21 2 sin

sin cos2 cos cos1cos sin 2 sin

x x x x xx x x xx x x

2sin .cos 2 sinx x x

2

42cos2 2

4

x kx k

x k

So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là

24

x k k

20. Giải phương trình: cos2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x

Giải:

Phương trình (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0

cos sin 1

cos sin 5 ( cos sin 2)

x x

x x loai vi x x

222 sin 1 sin sin ( )

4 4 4 2

x kx x k Z

x k

21. Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0

Giải:

3sin cos 2cos3 0x x x

sin3 sinx + cos

3 cosx = – cos3x.

cos cos33

x x cos cos( 3 )3

x x

3 2 ( )

3

kxk

x k

x =3 2

k (kZ)

22. Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 28

Giải:

75

Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 28

cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx –

sin3x) = 2 3 28

2 2 2 3 2cos 3 sin 3 3 cos3 cos sin 3 sin2

x x x x x x

2cos4 ,2 16 2

x x k k Z

23. Giải phương trình: 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8

Giải:

Phương trình đã cho tương đương với:

9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8⇔ 6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0⇔ 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0⇔ (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0

76


Giải các phương trình lượng giác sau

1. 2 24cos 3tan 4 3 cos 2 3 tan 4 0x x x x

2. 2 2os3 2 os 3 2 1 sin 2c x c x x

3. 2 2 sin 1 0x x xy .

4. 2os4 os2 5 sin 3c x c x x

5. 15 24cos sin 1x x .

6. 2 2tan tan cot 1x y x y .

7. sin 2sin 2 sin 3 2 2x x x .

8. 2 2 9sin sin sin4

x y x y .

9. 2 2 21sin sin 3 sin .sin 34

x x x x

10. 2 22 2

2 21 1 1cos sin 12 sin

cos sin 2x x y

x x

11. 1 1 2cos sin 2 sin 4x x x

12.3 3sin cos cos2

2cos sinx x xx x

13.tan2x = 1 cos1 sin

xx

14. 2cos3x + cos2x + sinx = 0

15. cotx – 1 = 2 1cos2 sin sin21 tan 2x x xx

16.cotx – tanx +4sin2x = 2sin2x

17. 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan2x

18. (2cosx – 1)(2sinx +cosx) = sin2x – sinx

77

19. 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx

20. cos3 sin 35 sin cos2 31 2sin 2

x xx xx

21. cos2x +cosx (2tan2x – 1) = 2

22. 3 – tanx(tanx +2sinx) + 6cosx = 0

23.4 4sin cos 1 1cot25sin2 2 8sin2x x x

x x

24. tan4x + 1 =2(2 sin 2 )s in3

4cos

x x

x

25. tanx +cosx – cos2 x = sinx(1+tanx.tan2x )

26.2cos (cos 1)

2(1 sin )sin cos

x xx

x x

27. cotx = tanx + 2cos4sin2

xx

28. cos2x +2sinx – 1 – 2sinxcos2x = 0

29. 35sin 5cos .sin2 2x xx

78

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013

KHỐI A

1.Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2) của phương trình:

cos3 sin 35 sin cos2 31 2sin 2

x xx xx

(Khối A_2002).

ĐS: 5;3 3

x x .

2.Giải phương trình: 2cos2 1cot 1 sin sin 21 tan 2

xx x xx

(Khối A_2003)

ĐS: 4

x k k

3.Giải phương trình: 2 2cos 3 cos2 cos 0x x x

(Khối A_2005)

ĐS: 2

kx k

4.Giải phương trình: 6 62 cos sin sin cos

02 2sin

x x x x

x

(Khối A_2006)

ĐS: 5 24

x k k

5.Giải phương trình: 2 21 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x

(Khối A_2007)

ĐS: , 2 , 24 2

x k x k x k k

79

6.

71 1 4sin3sin 4sin2

xx x

(Khối A_2008)

ĐS: 5, , ,4 8 8

x k x k x k k

7.Giải phương trình:

1 2sin cos

31 2sin 1 sin

x x

x x

. (Khối A_2009)

ĐS: 2 ,18 3

x k k


(1 sin cos 2 ) sin( )14 cos

1 tan 2

x x x

xx

(Khối A_2010)

Điều kiện: cos 0;1 tan 0x x

Khi đó, phương trình đã cho tương đương với :

2 sin( )(1 sin cos2 ) (1 tan )cos4

sin cos(sin cos )(1 sin cos 2 ) cos sin cos 2 0cos

2 12 sin sin 1 0 sin 1( );sin2

72 ; 26 6

x x x x x

x xx x x x x x xx

x x x loai x

x k x k


2

1 sin 2 cos 2 2 sin sin 21 cot

x x x xx

(Khối A_2011)

Giải:


cos (cos sin 2) 0x x x

80

ĐS: ; 22 4

x k x k

10.Giải phương trình: 3 sin 2 cos 2 2cos 1x x x

(Khối A_2012)

Giải:


cos ( 3sin cos 1) 0x x x

ĐS: 2; 2 ; 22 3

x k x k x k


1 tan 2 2 sin( )4

x x (Khối A_2013)

Giải:


(s inx cos )(2cos 1) 0x x

ĐS: ; 24 3

x k x k

KHỐI B

12.Giải phương trình 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x

(Khối B_2002)

ĐS: ; ,9 2

x k x k k

13.Giải phương trình: 2cot tan 4sin 2sin 2

x x xx

(Khối B_2003)

ĐS: ,3

x k k

14.Giải phương trình: 25sin 2 3 1 sin tanx x x (Khối B_2004)

ĐS: 52 ; 2 ,6 6

x k x k k

81

15.Giải phương trình: 1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x (Khối B_2005)

ĐS: 2 23

x k k

16.Giải phương trình: cot sin 1 tan tan 42xx x x (Khối B_2006)

ĐS: 5; ,12 12

x k x k k

17.Giải phương trình: 22sin 2 sin 7 1 sinx x x (Khối B_2007)

ĐS: 2 5 2; ,18 3 18 3

x k x k k

18.Giải phương trình: 3 3 2 2sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x

(Khối B_2008)

ĐS: ; ,4 2 3

x k x k k

19.Giải phương trình: 3sin cos sin 2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x

(Khối B_2009)

ĐS: 2 , 2 ,42 7 6

kx x k k

20.Giải phương trình: (sin2 cos2 )cos 2cos sin 0x x x x x

(Khối B_2010)

Giải:


cos2 (sinx cos 2) 0x x

ĐS: 24

x k

21.Giải phương trình: sin 2 cos sin cos cos2 sin cosx x x x x x x

(Khối B_2011)

Giải:

82


(s inx 1)(cos cos2 ) 0x x

ĐS: 2 ; 22 3

x k x k


2(cos 3sin )cos cos 3sin 1x x x x x

(Khối B_2012)

Giải:

Phương trình đã cho tương đương với :

os(2 ) os( )3 3

c x c x

ĐS: 2 22 ;3 3

x k x k

22.Giải phương trình: 2sin5 2cos 1x x

(Khối B_2013)

Giải:


5 os2sin x c x

ĐS: 2 ; 26 14

x k x k

KHỐI D

23.Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0

(Khối D_2002)

ĐS: 3 5 7; ; ;2 2 2 2

x x x x

83

24. 2 2 2sin tan cos 02 4 2x xx (Khối D_2003)

ĐS: 2 , ,4

x k x k k

25.Giải phương trình 2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x

(Khối D_2004)

ĐS: 2 , ,3 4

x k x k k


4 4 3cos sin cos sin 3 04 4 2

x x x x

(Khối D_2005)

ĐS: ,4

x k k

27.Giải phương trình: cos3x+cos2xcosx1=0

(Khối D_2006)

ĐS: 2 2 ,3

x k k

28.Giải phương trình 2

sin cos 3cos 22 2x x x

(Khối D_2007)

ĐS: 2 , 2 ,2 6

x k x k k

29.Giải phương trình sin 3 3 cos3 2sin 2x x x (CĐ_A_B_D_2008)

ĐS: 4 22 , ,3 15 5

x k x k k

30.Giải phương trình: 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx

(Khối D_2008)

ĐS: 2 2 , ,3 4

x k x k k

31.Giải phương trình: (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009)

ĐS: 5, ,12 12

x k x k k

84

32.Giải phương trình 3 cos5 2sin 3 cos2 sin 0x x x x

(Khối D_2009)

Giải:


3cos (sin5 sin ) sin 0x x x x

3 cos sin5 0x x

ĐS: , ,18 3 6 2

x k x k k

33.Giải phương trình: sin 2 cos2 3sin cos 1 0x x x x

(Khối D_2010)

Giải:


(2sinx 1)(cos sinx+2)=0x

ĐS: 52 ; 2

6 6

x k x k


sin 2 2cos sin 1 0tan 3

x x xx

(Khối D_2011)

Giải:

ĐK: tan 3 0x ; cos 0x


(2cos 1)(sin 1) 0x x

ĐS: 23

x k

35.Giải hệ phương trình:

85

sin 3 cos3 sin cos 2 cos2x x x x x

(Khối D_2012)

Giải:


2sin cos2 2cos cos2 2 os2x x x x c x

2 os2 (sin cos 2) 0c x x x

ĐS: 7; 2 ; 24 2 12 12kx x k x k

36.Giải phương trình: sin 3 os2 sin x 0x c x

(Khối D_2013)

Giải:

2sin cos2 os2 0x x c x

cos (2sin 1) 0x x

cos2 0x hoặc 1sin2

x

ĐS: 7; 2 ; 24 2 6 6x k x k x k

chúc các em học tốt! trích trong “giải pháp toán học 2014” “ giải pháp toán...

Documents