1

Chapter 7Logic Circuits

1. State the advantages of digital technology compared to analog technology.

2. Understand the terminology of digital circuits.

3. Convert numbers between decimal, binary, and

other forms.

5. Understand the binary arithmetic operations used in computers and other digital systems.

6. Interconnect logic gates of various types to implement a given logic function.

7. Use Karnaugh maps to minimize the number of gates needed to implement a logic function.

8. Understand how gates are connected together to form flip-flops and registers.

Advantages of the Digital Approach

Provided that the noise amplitude is not too large, the logic values represented by a digital signal can still be determined after noise is added.

With modern IC technology, it is possible to manufacture exceedingly complex digital circuits economically.

2

DefinitionsPositive versus Negative Logic

Digital Words

In parallel transmission, an n-bit word is transferred on n wires, one wire for each bit, plus a common or ground wire. In serial transmission, the successive bits of the word are transferred one after the other with a single pair of wires.

Binary Numbers1012

10 1021031041072.743

1010123

2 5.1321212021271.1101

3

Gray Code

4

Complement Arithmetic

The one’s complement of a binary number is obtained by replacing 1s by 0s, and vice versa.

0100110110110010 (one’s complement)

The two’s complement of a binary number is obtained by adding 1 to the one’s complement, neglecting the carry (if any) out of the most significant bit.

Complements are useful for representing negative numbers and performing subtraction in computers.

Subtraction Using Two’s-Complement Arithmetic Overflow and Underflow

In performing arithmetic using two’s-complement arithmetic, we must be aware of the possibility of overflow in which the result exceeds the maximum value that can be represented by the word length in use.

AAA

AA 1

00 ABAAB

ABCCABBCA

5

0AA

AA

CBACBACBA

ACABCBA

AA 0

11 A

1 AA

AAA

6

Boolean algebra expressions can be implemented by interconnection of AND gates, OR gates, and inverters.

De Morgan’s LawsCBAABC FEDFED

If the variables in a logic expression are replaced by their inverses, the AND operation is replaced by OR, the OR operation is replaced by AND, and the entire expression is inverted, the resulting logic expression yields the same values as before the changes.

7

NAND, NOR, and XOR Gates

Sum-of-Products Implementation

Product terms that include all of the input variables (or their inverses) are called minterms.

In a sum-of-products expression, we form a product of all the input variables (or their inverses) for each row of the truth table for which the result is logic 1. The output is the sum of these products.

8

Product-of-Sums Implementation

Sum terms that include all of the input variables (or their inverses) are called maxterms.

In a product-of-sums expression, we form a sum of all the input variables (or their inverses) for each row of the truth table for which the result is logic 0. The output is the product of these sums.

9

Many useful combinatorial circuits known as decoders, encoders, or translators are available as integrated circuits.

Karnaugh Maps

10

11

12

13

SAYISAL SİSTEMLER Analog - Sayısal (Dijital) İşaretler:Gerçek dünyada karşılaştığımız bir çok fiziksel büyüklüğün (akım, gerilim,sıcaklık, ışık şiddeti vb.) değeri sürekli bir aralık içinde değişmektedir.Sınırlar arasındaki her türlü olası değeri alabilen bu tür işaretlere analog işaretler denir.İkili (binary) sayısal işaretler ise belli bir anda sadece olasıiki değerdenbirini alabilirler: 0 - 1, yüksek – alçak, doğru –yanlış, açık - kapalı.

SAYISAL SİSTEMLER• Sayısal Sistemlerin Avantajları:• Eskiden analog sistemlerin kullanıldığı bir çok alanda günümüzde daha avantajlı• olduğundan sayısal sistemler kullanılmaktadır.• Örnekler: Fotoğrafçılık, video, ses kayıtları, otomobil motorları, telefon• sistemleri vb.• Sayısal Sistemlerin Avantajları:• • Bir sayısal sisteme belli bir giriş kümesi defalarca uygulandığında hep aynı• çıkış kümesi elde edilir. Burada aynı giriş kümesinin uygulanması demek her• defasında aynı değer dizisinin aynı sırada uygulanması demektir. Analog• sistemler ise çevre koşullarından daha çok etkilenirler.• • Sayısal tasarım (lojik tasarım) dayandığı matematiksel temeller açısından daha• kolaydır. Ayrıca sayısal sistemleri test etmek ve hatalardan arındırmak da• analog sistemlere göre daha kolaydır.• • Esneklik ve programlanabilirlik. Günümüzde sayısal sistemleri programlanabilir• bilgisayarlar şeklinde gerçeklemek mümkündür. Bu sayede aynı tasarım yeni• gereksinimlere göre yeniden programlanarak tekrar kullanılabilmektedir.• • Sayısal verileri bilgisayar ortamında saklamak ve işlemek mümkündür.• • Sayısal sistemler daha hızlı çalışmaktadır.• • Sayısal sistemler küçülmekte ve ucuzlamaktadır.• • Sayısal sistemler gelişmeye devam ediyor.

14

SAYISAL SİSTEMLER SAYISAL SİSTEMLER

• Sayısal Kodlama:• Sayısal sistemler ikili sayısal işaretler üzerinde işlemler yaptıklarından• sadece iki farklı değeri işleyebilirler.• Bu nedenle sayısal devreler yardımıyla üzerinde işlem yapılacak olan• fiziksel büyüklüklere (gerilim, sıcaklık vs.) ve her türlü veriye (harf,• sayı, renk, ses) ikili sayılar karşı düşürülür.• Örneğin 8 basamaklı (8 bitlik “ Binary digit”) bir ikili sayı kullanarak 28• tane (256) farklı “şey” ifade edebiliriz. Bunlar 256 farklı renk, 256• sembol, 0 ile 255 arası tamsayılar, 1 ile 256 arası tamsayılar, -128 ile• +127 arası tamsayılar olabilir.• Bir ikili değerin (Örneğin 10001101) ne anlama geldiğine o değeri• kullanacak olan sistemi (donanım ya da yazılım sistemi olabilir) kişi• belirler. Bu değer bir sayı da olabilir bir renk de.• Özellikle sayıların kodlanması büyük önem taşır. Bu konu mikroişlemci• sistemleri dersinde ele alınacaktır. Bu derste bazı temel kodlama• yöntemlerine ilişkin bilgiler verilecektir.

SAYISAL SİSTEMLER• Sayı sistemleri, tabanlarına göre isimlendirilir. Dijital elektronikte en çok

kullanılan tabanlar onluk (decimal), sekizlik (Octal) ve onaltılık (hexadesimal) tabanlardır.Tabanlar (123)

• Onluk (Desimal) Sayı Sistemi :

Desimal sayı sistemi hepimizin bildiği 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 rakamlarını kullanan bir sistemdir. Sistemin tabanı 10'dur.

• Örnek olarak 231 sayısını ele alalım; • 231 = 2 . 10² + 3. 10¹ + 1. 10º

Yukarıdaki işlemde nokta (.) çarpma işlemi yerine kullanılmıştır. Bundan sonra çarpma işlemi için nokta işaretini kullanacağız.

• İkili (Binary) Sayı Sistemi:

ikili sayı sisteminin tabanı 2'dir. Bu sistemde kullanılan rakamlar sadeec 1 ve 0 'dır. Bu sayı sistemine İngilizce'de ikili sayı anlamına gelen Binary Numbersyani Binary sayı sistemi denilmiştir. Her sayı dijit olarak ifade edilir ve basamaklar 2'nin kuvveti olarak yazılır. Örneğin 4 dijitten (haneden) oluşan yani 4-bitlik bir sayının bit ağırlıkları 2³,2²,2¹,2º 'dır. Bit ağırlıklarının en küçük olduğu dijite en küçük değerlikli sayı (Least significant digit, LSD), bit ağırlığının en büyük olduğu dijite ise en büyük değerlikli sayı (Most significantdigit) denir.

SAYISAL SİSTEMLER• Binary'den desimale çevirme işlemi:

Her bir bit kendi kuvveti ile çarpılır ve hepsi toplanır.Örnek olarak (110) sayısını ele alalım;

• (110) = 1 . 2² + 1. 2¹ + 0. 2º = 4 + 2 +0 = 6

Desimal'den binary'e çevirme işlemi:

Çevirmek istediğimiz sayıyı bölüm ikiden küçük olana kadar 2'ye böleriz. İkiden küçük olan bölüm ile başlayarak sırayla sondan başa doğru kalanları yazarız ve elde ettiğimiz bir ve sıfırlarla oluşmuş sayı binary karşılığıdır.

• Örnek olarak 11 sayısını ele alalım ; • 11 /2 = 5 kalan : 1

5 /2 = 2 kalan : 12 /2 = 1 kalan : 0 sayımız(1011)

Bu kez 15 sayısını ele alalım ; • 15/2 = 7 kalan :1

7/ 2 = 3 kalan :13/ 2 = 1 kalan :1 sayımız(1111)

SAYISAL SİSTEMLER SAYISAL SİSTEMLER

15

Mantık Kapıları

ÇEVİRİCİ (Inverter):

Sembol:

Giris Çikis

Doğruluk Tablosu (Truth Table):

10

01

BA

Örnek:

Y

Verilen girişe göre çıkış sinyalini çiziniz.

Y

VE (AND) KAPISI:

Sembol:

İki veya daha fazla girişli olabilir.

Fonksiyon:

Y = AB

Doğruluk Tablosu (Truth Table):

0001

0101

0011

YBA

2 giriş = 22 = 4 girişlerin değişik kombinezyonu vardır.

n = giriş sayısı , girişlerin değişik kombinezyonu = 2n olur.

Giriş Çıkış

Örnek:

Üç girişli: ABC

Y

23 = 8 değişik kombinezonu vardır.

Doğruluk Tablosu

00000001

01010101

00110011

00001111

YCBA

Fonksiyonu: Y = ABC

16

Dört girişli, 24 = 16 değişik kombinezon.

ABCD

YY = ABCD

0000000000000001

0101010101010101

0011001100110011

0000111100001111

0000000011111111

YDCBA

Örnek:

YBA

Çikis sinyalini çiziniz.

Çözüm:

A

B

Y

VE – DEĞİL KAPISI (Not – AND, NAND GATE):

Sembol:

AB Y

invert (evirme)

Fonksiyon:

invert demektir.Y AB

Örnek:

Üç girişli: ABC

Y

Fonksiyon:

Doğruluk Tablosu:

11111110

00000001

01010101

00110011

00001111

YYCBA

Y ABC

Örnek:

Dört girişli

ABCD

Y

Fonksiyon:

Y ABCD

Örnek:

A

B

Y

Y

NANDY

BA

17

VEYA KAPISI ( OR GATE):

Sembol:

AB Y

AB

B CC D

Y YA

Y = A + B Y = A + B + C Y = A + B + C + D

İkiden fazla girişi olabilir.

İki girişli olduğunda 22 = 4 olur.

Doğruluk Tablosu:

Giriş Çıkış

0111

0101

0011

YBA

Üç girişli olduğunda 23 = 8 olur.

Doğruluk Tablosu:

01111111

01010101

00110011

00001111

YCBA

VEYA - DEĞİL KAPISI (NOT – OR NOR GATE):

Sembol:

NORNOT-OR

evirici(inverter)

A AAB

B CC D

B YY Y

Y = A + B + C Y = A + B + C + DY = A + B

Doğruluk Tablosu:

Giriş Çıkış

1000

0101

0011

YBA

Y A B Örnek:

İki adet su deposunun dolu olup olmadığınıgösterecek ve ayrıca hangisinin boş olduğunu gösterecek bir lojik devre tasarımı yapınız. Her depo için bir algılayıcı kullanınız. Depo dolu iken algılayıcı5v (1) sinyali üretecek, depo boş iken 0v (0) üretecek .

18

Çözüm:

isik yayan diyot(light emitting diode)

limiting resistor(100 - 220)

algilayici(sensor)

R

R

R

L3 LED

L2

L1

ileri etkilemede Diyot çalisir.+ CA

KatotAnot-

LED

Anot voltajı katot voltajından 0,7v (1v) daha fazla olursaDiyot çalışır.

L3; herhangi ve iki depo aynı anda boşalırsa göstergededir.

L1; Depo1 boşaldığı zaman gösterir.

L2; Depo2 boşaldığı zaman gösterir.

Örnek:

Bir uçak pilotuna inişi geçtiği anda eğer herhangibir tekerlek açılmadığı zaman ve hangi tekerleğinaçılmadığını gösterecek bir sayısal devretasarlayınız.

Her tekerlek için ayrı bir anahtar kullanın.Tekerleklerde kullanılan anahtar, tekerlek

kapalı olduğunda 1 (5v) verir, açıldığı zaman 0 (0v) verir.

Çözüm:

sw1 sw2 sw3

sw1: anahtar 1sw2: anahtar 2sw3: anahtar 3

sw1sw2sw3

L3L2

L1L

RR

RR

L; Herhangi bir veya en az bir tekerlek açılmadığı zamangösterir.

L1; 3. tekerlek açılmadığı zaman gösterecek.

L2; 2. tekerlek açılmadığı zaman gösterecek.

L3; 1. terkerlek açılmadığı zaman gösterecek.

ŞARTLI VEYA KAPISI (EXCLUSIVE – OR GATE):

Iki girişli bir elemandır. Genellikle karşılaştırma yapmak içinkullanılır.

Sembol:

AB

Y

Fonksiyon:

Y A B

19

Doğruluk Tablosu:

0110

0101

0011

YBA

Iki girişte aynı ise, çıkış “0” olur.

Örnek:

4 – bitlik iki binari sayısı karşılaştırıp, aynı olupolmadıklarını gösterecek bir sayısal devre tasarlayınız.

Çözüm:A0A1A2A3B0B1B2B3

RRRR

L0L1L2L3

L0, L1, L2 ve L3 ‘ten en az bir tanesi ON olursa iki sayıbirbirine eşit değil demektir.Herhangi bir LED ON olmaz ise sayılar eşit demektir.Lambaları yakmak için, çıkış 0 olur. Bunu göstermek için;

5V

Çıkış 1 olursa göstermesi içi;

5V

1)- “VE” (AND) Fonksiyonu : “VE” foksiyonu bir çarpma fonksiyonudur. Q1=A.B olarak ifade edilir. Birbirlerine seri

olarak bağlanmış A ve B anahtarları AND fonksiyonudur. Bu fonksiyonda, Q lambasının yanabilmesi için her iki anahtarında kapalı olması şarttır. Anahtarlardan herhangi birisinin açık olması durumunda lamba yanmayacaktır.

Doğruluk Tabloları : Lojik fonksiyon her ne olursa olsun uygulamada giriş değişkenlerinin olacağı duruma

göre çıkış değişkenlerinin alacağı durumu gösteren tablolara ihtiyaç duyulur. Bu tablolara doğruluk tablosu denir. Doğruluk tablosu sayesinde hataları görme olanağı ve fonksiyona ait kurallarda görülebilir.

“AND” Doğruluk Tablosu : n: Giriş değişken sayısı 2n : foksiyonun alabileceği değişik durum sayısı Buna göre iki girişli VE fonksiyonu için n:2 olur. 2n Fonksiyonuna göre 22=2.2=4 değişik durum söz konusu olur. Doğruluk tablosunun “B” sütununa yukarıdan aşağıya olmak üzere; (0101) durumları

yazılır. “A” sütununa ise yukarıdan aşağıya olmak üzere; (0011) durumları yazılır. Elektrik Eşdeğeri : Doğruluk Tablosu : Sembolü : A A

Q B B Q

Giriş A B

Çıkış Q

0 0 1 1

0 1 0 1

0 0 0 1

AND &

2)- “VEYA” (OR) Fonksiyonu : “VEYA” fonksiyonu birden fazla anahtarların paralel bağlanması ile elde edilir.

Aşağıdaki şekilde A, B anahtarları birbirine paralel bağlıdırlar. O halde bu devre bir VEYA fonksiyonudur. Q lambasının yanabilmesi için A veya B anahtarlarından herhangi birisinin kapatılması veya her ikisinin de kapalı olması gerekmektedir. VEYA fonksiyonu matematikte toplama işlemi yapar.

Doğruluk Tablosu : Fonksiyonda iki giriş bulunduğundan n=2 olacaktır. 2n formülünden 22=2.2=4 olur. Elektrik Şeması : Doğruluk Tablosu : Sembolü :

A Q A B B Q

Giriş A B

Çıkış Q

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

OR >1

20

3)- “DEĞİL” (NOT) Fonksiyonu : “DEĞİL” fonksiyonu, girişteki işareti çıkışta tersine çevirmektedir. Örneğin girişten “1”

sinyali uygulandığında çıkış “0” ve girişten “0” sinyali uygulandığında çıkış “1”olur. Başka bir ifadeyle “NOT” fonksiyonu, tersleme özelliğine sahiptir. Uygulamada bu fonksiyona ‘inverter’ denilmektedir.

Elektrik Şeması : Doğruluk Tablosu : Sembolü :

Q

4)- “VEDEĞİL” (NAND) Fonksiyonu :

‘NAND’ kavramı İngilizcede NOT ve AND kelimelerinin birleşmesi ile meydana getirilmiştir.

Pratikte NAND fonksiyonu oluşturabilmek için bir AND fonksiyonu çıkışına ‘NOT’ fonksiyonu ilave etmek yeterlidir. A Q B

NAND fonksiyonu Q = A . B şeklinde ifade edilir. Elektrik Şeması : Doğruluk Tablosu : A B Elektrik eşdeğer devresinde A ve B elemanlarının her ikisinin de açık olması durumunda

Q çıkış elemanı aktif olur. Devredeki R direnci A ve B buton elemanlarının her ikisinin kapalı olması durumunda kısa devre olmasını önlemek için konulmuştur.

Giriş A

Çıkış Q

0 1

1 0

NOT 1

AND &

1

NAND &

Giriş A B

Çıkış Q A.B A.B

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 0

0 1 1 1

5)- “VEYA DEĞİL” (NOR) Fonksiyonu : “NOR” kavramı İngilizcede “OR” ve “NOT” kelimelerinin birleşmesi ile meydana

gelmiştir. Pratikte “NOR” fonksiyonu oluşturabilmek için “OR” fonksiyonunun çıkışına bir “NOT” fonksiyonu ilave edilir. Bu fonksiyon, OR işleminden elde edilen sonucu tersine çevirir.

A A Q Q B B

NOR fonksiyonu Q=A+B şeklinde ifade eldir. Elektrik Şeması : Doğruluk Tablosu :

Q A B

OR >1

1

NOR >1

Giriş A B

Çıkış Q

1 1 0 0

1 0 1 0

0 0 0 1

6)- X-OR (ÖZEL VEYA) Fonksiyonu : Adından da anlaşılabileceği gibi “X-OR” fonksiyonu, “OR” fonksiyonunun özel bir

şeklidir. İki giriş ve bir çıkışa sahip olan bir fonksiyondur. Özel Veya (“X-OR”) fonksiyonunun elektriksel eşdeğeri incelendiğinde, devredeki her

iki anahtarın da özel çift yollu (jocking) kalıcı tip anahtar olduğu görülmektedir. Bu anahtar yapısında hem normalde kapalı kontak grubu, hem de normalde açık kontak grubu olmak üzere iki çeşit kontak bulunur. Anahtara basıldığında normalde kapalı kontak açılıp, normalde açık kontak ise kapanmaktadır.

A veya B Normalde Açık kontak A veya B Normalde Kapalı Kontak Elektriksel Eşdeğer: Sembolü: Doğruluk Tablosu:

A

A B Q B

B A Q=A.B+A.B Lojik Fonksiyon Blok Diyagramı: A A.B B A B A.B

Doğruluk tablosunda Q çıkışının aktif olduğu (lojik 1) durumlar A ve B giriş

elemanlarının ‘1’ ve ‘0’ gibi farklı değerlere sahip olduğu durumlardır. O halde özel veya fonksiyonu girişleri aynı değerlere sahipse çıkış sıfır, farklı değerlere sahipse çıkış aktif (lojik 1) olur.

‘Özel Veya’ fonksiyonu elektrik eşdeğeri incelendiğinde hem seri hem de paralel kontak gruplarının bulunduğu görülür. Bu nedenle bu fonksiyon ‘özelliği olan veya’ anlamında özel veya fonksiyonu olarak isimlendirilmiştir. Özel veya fonksiyonunun pratikte kullanımına en iyi örnek vaviyen tesisler gösterilebilir.

=1

Giriş A B

Çıkış Q

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

AND

&

AND

&

OR

>1

BOOLEAN CEBİR VE SADELEŞTİRME(BOOLEAN ALGEBRA SIMPLIFICATION)

Bollean Cebir Kuralları:

1. Yerdeğiştirme Kural (Commutative Law):

a) A + B = B + A

ABA BY=A+B Y=B+A

b) AB = BA

ABA BY=AB Y=BA

NOT: Kapı girişlerindeki sıra ne olursa olsun işlem aynıdır.

2. Birleşme Kuralı (Associative Law):

a) A + (B + C) = (A + B) + C

b) A(BC) = (AB)C

B

A

ABC A(BC) (AB)C

C

21

3. Dağılım Kuralı (Distribute Law):

A(B + C) = AB + AC

A

BA

C

A(B+C) BA

AB+AC

C

Temel Cebir Kuralları:

1. A + 0 = A

Sıfır ile OR yapmak 0 değişken kendisini verir.

2. A + 1 = 1 A = 0 0 + 1 = 1A = 1 1 + 1 = 1

Bir sayıyı 1 ile OR yapmak her zaman 1’i verir.

3. A . 0 = 0

Sıfır ve AND yapmak her zaman sıfır verir.

4. A . 1 = A eğer A = 0 0 . 1 = 0A = 1 1 . 1 = 1

5. A + A = A eğer A = 0 0 + 0 = 0A = 1 1 + 1 = 1

Kendisi ile OR yapmak yine kendisini verir.

Değerli ile OR yapmak her zaman 1 verir.

7. A . A = A A = 1 1 . 1 =1A = 0 0 . 0 = 0

6. A + A = 1 A = 0 A = 1 0 + 1 = 1 A = 1 A = 0 1 + 0 = 1

Değili ile AND yapmak her zaman “0” verir.

9.A A A

İki defa değil yapmak kendisini verir.

10. A + A . B = A

Isbat:A parantezine alınırsa,A (1 + B) = A . 1 = A

8. A . A = 0A = 0 A = 1 0 . 1 = 0

A = 1 A = 0 1 . 0 = 0

A = A

11.

12. (A + B) . (A + C) = A + BC

A + A . B = A + Bİsbat:A yerine A + AB koyunuz.

A yerine A . A ve fazladan bir terimi yazınız.AA = 0 olduğundan ve 0 + A fonksiyonu değiştirmediğinden

’I ilave etmek fonksiyonu değiştirmez.

= 1 . (A + B) =A + B

( A + A B ) + A B

AA

AAAA + AA + AB + AB= (A + A) (A + B)

De Morgan Kuralları:

1. AB = A + B

BB

AA

AB A+B

2. A + B = A . B

BB

AA

A+B AB

22

Örnek:

De Morgan kurallarını uygulayınız.

1) Y ABCD ABCD

BCA

DY

2)K L

( A + BC) + ( D(E + F))

(A + B) + C = (A + B) C

= A . B .C

K . L = (A + BC) (D(E + F))

= (A + BC) (D(E + F))

= (A + BC) (D + E + F)

= AD + AE + AF +BCD + BCF + BCF

3)

Boolean Cebir Kurallarına Göre MantıkDevrelerinin Analizi:

CD

A

B

CD B+CDA(B+CD)

Doğruluk Tablosu:

0000000000011111

0101010101010101

0011001100110011

0000111100001111

0000000011111111

A(B + CD)DCBA

Boolean Cebir’i Kullanarak Basitleme:

Örnek1:

AB + A(B + C) + B(B + C)

= AB + AB + AC + BB + BC= AB + AC + B + BC= AB + AC + B + BC= AB + AC + B AC + B

C

AB A

BC

AC

Örnek2:

İlk devre, sadeleştirilmiş devreye göre;

•Daha az karmaşıktır.•Daha az malzeme kullanılır.•Daha kolay kurulur.•Daha ucuzdur.•Daha hızlıdır.

= BC(A + A ) + A BC + A BC + ABC

= BC + A B (C + C) + ABC

= BC + A B + ABC

= BC + B(A + AC)

= BC + B(A + C)

= BC + BA + BC

ABC + ABC + ABC + ABC + ABC

23

Örnek3:

AND NOR NORAND ANDOR

A

A

B

B

B

C

1INVERTER1 2 girisli NOR3 2 girisli AND1 3 girisli OR6 gate

AB + A(B + C) + B(B + C)(1 ) 0

AB ABC BBC

AB C

AB

AB + A(B + C) + B(B + C)

Fonksiyonlar, toplamların çarpımı (product of sums (POS)) veya çarpımların toplamı (sum of products(SOP)) şeklinde bulunabilir.

1. Toplamların Çarpımı (Product of Sums, POS) Formu:

Y = (A + B + C) (A + B) (A + C) ==> POS

2. Çarpımların Toplamı (Sum of Products, SOP) Formu:

Y = ABC + AB + AC ==> SOP

FONKSİYONLARIN STANDART FORMLARI

Herhangi bir fonksiyonun, standart formunda tüm değişkenler, her terimde kendisi veya değili olarak bulunmalıdır.

Örnek: Y = AB + ABC

A, B, C fonksiyon değişkenleri

1) Terimlerdeki eksik değişkenler ile (kendisi + değili) ilgiliterimler çarpılmalıdır.

2) Daha sonra parantezlerde ortadan kaldırılmalıdır.

Terim1:AB “C” eksik

AB (C + C) = (AB . 1 = AB)

Terim2:

üç değişkende mevcutturABC

s

s

Y = AB(C + C) + ABC

Y = ABC + ABC + ABC = Y

Örnek:

Y = (A + B + C) (B + C + D) (A + B + C + D) ; standart POS şeklinde ifadeediniz.

Çözüm: A, B, C, D değişkenler

T1 (A + B + C) "D" eksik

T2 (B + C + D) "A" eksikT1 = A + B + C (A + B + C + D) . (A + B + C + D)

T2 = B + C + D (B + C + D + A) . (B + C + D + A)

T3 = A + B + C + D standarttır.

sY = (A + B +C + D) . (A + B + C + D) . (A + B + C +D)

= (A + B + C + D) . (A + B + C + D)

Örnek:

Y = AB + C , SOP formundaki Y’yi satndart forumdayazınız.

Çözüm:

T1 = AB C eksiktir.

AB (C + C)

T2 = C AB eksiktir.

C (A + A) (B + B)

s

s

Y = AB (C + C) + C (A + A) (B + B)

Y = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC

24

POS – SOP Dönüşümü:

(A + B) (A + B + C) POS

Parantezler direk olarak çarpılır.

POS SOP paranteleri direk olarak çarpıp açınız.

(A + B) (A + B + C) = AA + AB + AC + AB + BB + BC

= AB + AC + AB + BC

SOP – POS Dönüşümü:

Örnek:

Y = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C

A, B, C n = 3 = 23 = 8 kombinezonu vardır. (değiline 0, kendisine 1 yaz)

ABC (A + B + C)

ABC (A + B + C)

ABC (A + B + C)

111011101001110010100000CBA

Y = (A + B + C) . (A + B + C) . (A + B + C)

Karno Haritaları

• Boolean matematiğinde yapılan sadeleştirmeleri karno haritasında daha kolay ve daha güvenilir yapmak mümkün. Karno haritası, sadeleştirme ve dijital devre tasarımında kullanılmaktadır. Değişken sayısına göre karno haritasıdüzenlenir. Örneğin 2 değişken (A B), 5 değişken (A B C D E) gibi. Karno haritası en fazla 6 değişkenli eşitlikleri sadeleştirmede kullanılır. Aşağıda değişken sayısına göre karnodüzenleme anlatılmıştır.

• Değişken Sayısına Göre Karno Hazırlama :• Karno haritasında kaç kutu olacağını 2n (2 üzeri

n) formülü ile bulabilirsiniz. N değişken adedini belirtir.Aşağıdaki tabloda değişkenin değili olan yerlere 0 , değişkenin kendisi olan yerlere de 1 konur.

• a) 2 Değişkenli karno haritası :• (A , B) yani 22 = 4 kutu

• b) 3 Değişkenli karno haritası :• (A , B , C) 23 = 8 kutu

• c) 4 Değişkenli karno haritası :• (A , B , C , D) 24 = 16 kutu

• Tablodan Karno Haritasına Geçiş :• Aşağıda görülen tablolarda tasarlanacak lojik devrenin giriş ve çıkış

durumları görülmektedir. Çıkış durumları tasarımcının isteğine bağlıdır. Çıkışlar, "girişler ... iken çıkışlar ... olsun" şeklinde tasarlanır. Daha sonra tablodaki çıkış değerleri karno haritasına aktarılır. Karno haritasındaki kutuların sağ alt köşesindeki mavi renkte yazılmış olan numaralar kutu numaralarıdır. Bu numaralar tabloda da görülmektedir ve çıkış değerleri karnoya bu numaralara göre yerleştirilir. Birde daha önceki konuda yani "Karno HaritasıDüzenleme" konusunda görüldüğü gibi, yerleştirme, değişkenlerin durumuna göre de yapılmaktadır. Değişkenin değili (A') gösterilen yerlere değişkenin 0 olduğu, değişkenin kendisi (A) gösterilen yerlere de değişkenin 1 olduğu durumlardaki çıkış değerleri yazılır.

25

• Yukarıdaki tablodaki çıkış değerleri karno haritasına, tabloda görülen kutu numaralarına göre yerleştirilmiştir. Karno haritasındaki kutuların sağ alt köşelerindeki mavi renk numaralar, kutu numaralarıdır. Aslında tablodan karno haritasına geçiş yapılırken A ve B değişkenlerinin göz önüne alınması gerekmektedir. Yani A ve B değişkenlerinin 0 olduğu durumdaki çıkış değeri karnodada A ve B değişkenlerinin 0 olduğu kutuya yazılmalıdır. Bu kutu da, görüldüğü gibi 0 nolu kutudur. Daha fazla değişkenli karnolarda da bu kural geçerlidir. Bu kural ayrıca daha kolaylık sağlar.

• Karno haritasında sadeleştirme yapılırken karno içerisindeki 1 lergruplandırılırlar. 0 lar ise dikkate alınmazlar. Bu 1 'leri gruplandırmanın bir çok yöntemi vardır. Ayrıca gruplandırmada en doğru olan , en sade olan gruplandırmadır. Şimdi bunları inceleyelim.

• Aşağıda karno gruplandırma ve bu grupların tanımı bulunmaktadır. En doğru gruplandırma en sade olanıdır. Grupların tanımları çıkarılırken, grubun kapsadığı kutularda değişiklik göstermeyen değişkenler alınır. Değişiklik gösteren değişkenler etkisiz sayılır. Alınan değişken 0 ise tanıma değişkenin değili, 1 ise de değişkenin kendisi yazılır. Örneğin yan tarafta doğru olan karnoda üstteki yatay grubu ele alalım. Grup iki kutu kapsıyor. Bu kutular A 'nın ve B 'nin 0 olduğu (A'.B') kutudur. Diğer kapsadığı kutu ise A 'nın 1, B 'nin ise 0 olduğu (A.B') kutudur. İki tanımı ele aldığımızda (A'.B') -(A.B') A değişkeninin değiştiğini B değişkeninin ise sabit kaldığınıgörüyoruz. Bu durumda A değişkeni etkisizdir. Yani A, 0 'da 1 'de olsa çıkışıetkilemez. Tanım olarak B' 'li alıyoruz.

• Karnoda çapraz gruplama yapılamaz. Gruplama yapılırken birbirine yakın olan tüm 1 'ler gruba dahil edilmelidir. Ayrıca bir gruba dahil olan 1, diğer gruba da uyum sağlıyorsa o gruba da alınmalıdır. Bir grupta ne kadar çok 1 olursa o kadar sade bir tanım elde edilir. Birde aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi en dış kısımda bulunan 1 'ler gruba alınabilirler. Karno haritasını bir kağıt gibi düşünürsek, üst veya yan kenarlarını uç uca getirdiğimizde bu 1 'lerin bir grup oluşturabildiğini görürüz.

• Şimdide bu grupların okunuşunu bulalım. İlk önce kırmızı oklarla belirtilen grubu ele alalım. Bu grubun kapsadığı kutular, dikey olarak A ile B 'nin 0 olduğu ve A 'nın 1, B 'nin ise 0 olduğu kutulardır. Yatay olarak ise C 'nin 0, D 'nin 1 olduğu ve C ile D 'nin 1 olduğu kutulardır. Bunları düzene soktuğumuzda, dikey (A'.B') -(A.B'), yatay (C'.D) - (C.D) olduğunu görürüz. Bu tanımlardan değişmeyenleri alırsak sonuç, (B'.D) olur. Şimdide yeşil oklarla belirtilen grubu ele alalım. Grup dikeyde A 'nın 0 B 'nin 1 olduğu ve A ile B 'nin 1 olduğu kutuları kapsıyor. Yatayda da C ile D 'nin 0 olduğu ve C 'nin 1 D 'nin ise 0 olduğu kutuları kapsıyor. Dikey (A'.B) - (A.B), Yatay (C'.D') - (C.D'). Sonuç olarak tanım (B.D') olur. Bu iki sonucunda Veya 'sını alırsak karnonun en sadeleştirilmiş hali Q = (B'.D) + (B.D') olur.

KARNAUGH HARİTALARI KULLANARAK SADELEŞTİRME

KARNAUGH Haritaları:

2 Değişkenli Fonksiyonların Haritaları:

n = 2 22 = 4 değişik kombinezon haritada 4 değişik yer vardır.

11AB

10AB

01AB

00AB

0 1

0

1

BA

Örnek:

Y = AB + AB fonksiyonunu K-MAP (Karnaugh Mapping) haritalarına yerleştiriniz.

Çözüm:

Değişkenler A, B 2 değişken 4 değişik durumu vardır.

1

1

BA

0

1

0 1

Örnek:

AB BA Y K-MAP üzerinde gösteriniz

Çözüm:

Y standart forumdadır.

1

1B

A0

1

0 1

26

Örnek:

AB B Y Y’yi standart hale getiriniz.

Çözüm:

BABAAB

BA AB BA

BA )A (A B Ys

1

11B

A

0

1

0 1

2 değişkenli bir fonksiyon haritalandırılırken;

•2 değişkenli terimler haritada bir bölgede olur.•1 değişkenli terimler haritede iki bölgede olur.•Verilen fonksiyon olarak haritalandırılabileceği gibiönce standart hale getirerek de haritalandırılabilir.

3 Değişkenli Fonksiyonların Haritaları:3 değişken 23 = 8 değişik kombinezon haritada 8 değişik bölge vardır.

110111ABC

101100

010011001000

BCA

0

1

00 01 11 10

CBA CBA BCA CBA

CBA CBA CAB

Örnek:

CBA CBA ABC Y 3 değişkenli A, B, C standarttır.

Çözüm:

1

11BC

A

0

1

00 01 11 10

Örnek:

CBA A Y K-MAP üzerinde gösteriniz.

Çözüm:

CBA CBA CBA CAB ABC

CBA )C (C . )B A(B Y :1.yol s

1111

1

BCA

0

1

00 01 11 10

CBA A Y:2.yol

1111

1BC

A

0

1

00 01 11 10

Örnek: B Y K-MAP üzerinde gösteriniz.

Çözüm: Değili olduğunda “0” olan yerlerdir.

11

11BC

A

0

1

00 01 11 10

4 Değişkenli Fonksiyonların Haritaları:

n = 4 24 = 16 değişik kombinezon 16 değişik bölgevardır.

1010101110011000

1110111111011100

0110011101010100

0010001100010000

CDAB

00

01

11

10

00 01 11 10

Y = (1, 3, 5, 7) = ?

= ABCD + ABCD + ABCD +ABCD

27

Örnek:

Y = ABCD + ABCD + ABCD Y standarttır.

Çözüm:

1

11

CDAB

00

01

11

10

00 01 11 10

NOT: 3 değişkenli bir fonksiyonu;3 değişkenli terimler 1 bölge2 değişkenli terimler 2 bölge1 değişkenli terimler 4 bölge

Örnek:

Y = ABCD + ABCD + ABCD standarttır.

Çözüm:

1

1

1

CDAB

00

01

11

10

00 01 11 10

Örnek:

Y = ABC + ABCDStandart degil Standart

Çözüm: sY (A, B, C, D) = ABC (D + D) + ABCD

= ABCD + ABCD + ABCD

1

11

CDAB

00

01

11

10

00 01 11 10

1.yol:

Önce Y standart hale getirilir sonra tek tek terimler haritayaişlenir.

2.yol: Direk olarak haritaya işlenir.

Y = ABC + ABCDA = 1B = 1 “D” dikkate alınmaz.C = 0

1100 1101 yerlerine istenen şartlar sağlanır. Bu iki yerin ikisine birden “1” yerleştirilir.

Örnek:

Y (A, B, C, D) = AB + (ABCD)Çözüm:

s1.yol: Y (A, B, C, D) = AB + (C + C) . (D + D) + ABCD

= AB (CD + CD + CD + CD) + ABCD

= ABCD + ABCD + ABCD + ABCD

2.yol: Y (A, B, C, D) = AB + (ABCD)

A = 1 olan yerler, C & D dikkate alınmaz.B = 0

Sonuç:

4 değişkenli fonksiyonda üç değişken terimler, haritada ikiyer tutar.

1000

1001

1011

1010

yerlerindeA = 1 şartı sağlanır. 4 yere birden yazılır.

B = 0

28

Örnek:

Y (A, B, C, D) = A + ABCDÇözüm:

A = 0 yerlerine 1 yazınız.

s(1) Y (A, B, C, D) = A (B + B) (C + C) (D + D) + ABCD

= A (BCD + BCD + BCD + BCD) ABCD

= ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD

(2) Y (A, B, C, D) = A + ABCD

A = 0 olan tüm yerler. B, C, D dikkate alnmaz.

NOT: 4 değişkenli bir fonksiyonda 1 değişkenli terimler haritada 8 yer alır.

Örnek:

Y (A, B, C, D) = B + ABC + AC + ABCD , K-MAP üzerinde gösteriniz.

Çözüm:

1111

1111

1111

CDAB

00

01

11

10

00 01 11 10

1. Terim: B B = 0 olan tüm yerler.

000000010011 yerlerine B = 00010 tümüne “1” yazılır. 1000 (8 yer)100110111010

2. Terim: ABC A = 1, B = 1, C = 1 yerleri

1111 yerlerinde tümüne “1” yazılır.1110

3. Terim: AC A = 0, C = 0 yerleri

0000 yerlerinde0001 A = 0 şartı sağlanır. Tümüne “1” yazılır.0100 C = 00101

4 yer, ancak ikisi daha önce kullanıldığı için geri kalan ikisine“1” yazılır.

4. Terim: ABCD

1 1 1 0

Standarttır.

1 yer; daha önce 1110 yeri kullanıldığıiçin yine aynı yere “1” koymaya gerek yoktur.

K – MAP SADELEŞTİRME

K – MAP kullanarak sadeleştirmede dikkat edilecek kurallar.

1. 2n kadar 1 aynı gruba dahil edilebilir.2n = 2, 4, 8, 16,…

2. Maximum sayıda 1’in aynı gruba dahil edilmesine dikkat edilmelidir.

3. Yatay ve dikey komşu olan “1” ler aynı grupta yer alabilir.

4. Ortak elemanlı gruplar olabilir.

5. K – MAP bükülüp döndürülerek komşuluklar yaratılır.

6. Bir grubun ismi; o grupta DEĞİŞMEYEN değişkenlerden oluşur.

7. Tüm “1” ler herhangi bir grupta yer almalıdır.

2 Değişkenli K – MAP Sadeleştirme:

Örnek: Y (A, B) = AB + AB + AB Y fonksiyonunu K – MAP kullanarak sadeleştiriniz.

Çözüm:

AB11

1

B

A

0

1

0 1

AB AB

AB grup1 = A

Grup2=B

Grup yaptıktan sonra; grupismlerini yazarken “AB” diyeyazılır ve gruplara bakarız, harfleri aynı olan değişkenlerialırız ve ismi onun adı olur.

29

3 Değişkenli K – MAP Sadeleştirme:

Örnek:Y (A, B, C) = ABC + ABC + ABC + ABC Y’yi K – MAP kullanarak sadeleştiriniz.

Çözüm:

ABC1

ABC1

ABC1

ABC1

00 01 11 10

0

1

BA

3D→3D haritada

Ys (A, B, C) = BC + AC + ABC

Örnek:

Y (A, B, C) = AB + C , Y’yi K – MAP kullanaraksadeleştiriniz.

Çözüm:

111

11

00 01 11 10

0

1

BA Verilen Y

sadeleştirilmişdurumdadır.Ys (A, B, C) = C + AB

AB

C

Örnek:

Y (A, B, C) = ABC + ABC + ABC + ABC

Çözüm:

11

11

00 01 11 10

0

1

BA

Ys = C

4 Değişkenli K – MAP Sadeleştirme:

Örnek:

Y(A,B,C,D) = Σ(1,3,5,8,9,11,15) , Y’yi K – MAP kullanaraksadeleştiriniz.

Çözüm:

111

1

11

Y(ABCD) = (1,3,5,8,9,11,15)=ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD +ABCD

Ys(A,B,C,D) = ACD + ABC + BD

Örnek:

Y (A, B, C, D) = ABCD + ABD + BC + D

, Y’yi sadeleştiriniz.

Çözüm:

11

1111

111

111

Ys (A,B,C,D) = D + BC + AB + ABC