chapter 2. 시스템의 수학적...

================================================================================

서울산업대학교 기계설계자동화공학부 김정한, www.senslab.co.kr 1

Chapter 2. 시스템의 수학적 모델

2.1 물리 시스템의 미분 방정식differential equation

mx F t (2.1.1)

mx cx kx F t (2.1.2)

V t

R CdV t

dt1L V t dt Is t (2.1.3)

표2.1.1 기본소자의 미분방정식

미분방정식 기호

코일 V t Ldidt

커패시터 i t CdVdt

댐퍼 F cx

스프링 F kx

Is(t)R CL

================================================================================


시스템의 미분 방정식은 각기 다른 시스템 간에도 유사성이 많이 발견된다.

2.2 선형시스템 개요

선형시스템linear system이란 해당 시스템의 수학적 모형이 선형 연산operation을 기본

으로 한 시스템을 말한다. 어떠한 시스템의 모델이 하나의 미분방정식으로 표기될

때, 그 계수coefficient가 상수거나 혹은 독립변수만의 함수라면 그 미분방정식은 선

형이다.

일반적으로 선형시스템은 비선형시스템에 비해서 다루기가 훨씬 쉽고, 대학의 학

부과정에서는 대상시스템을 선형시스템으로 제한하는 경우가 많다. 선형시스템 중

에서도 시간에 따라서 그 계수 등이 변하지 않는 시스템을 선형시불변linear time-

invariant시스템이라 칭하며, 많은 실제적인 경우 선형시불변 시스템으로 근사화가

가능하다.

선형시스템의 가장 큰 특징은 중첩의 원리Principle of superposition와 동질성의 원리

Principle of homogeneity가 잘 적용되는 것인데, 이 두 가지 원리는 선형시스템을 분석

하고 설계할 때 많이 활용되며, 모델링Modeling과 응답해석Response Analysis에 있어서

매우 중요한 역할을 한다.

중첩의 원리는 어떠한 시스템에서 두 개의 서로 다른 입력을 동시에 가했을 때 얻

어지는 출력은, 두 개의 입력을 각각 따로 가했을 때 얻어지는 출력들의 합과 같

다는 것이다. 예를 들어 욕조에 목욕물을 받는 경우, 더운물과 찬물을 동시에 틀어

서 목욕물의 온도를 맞추는 경우와, 더운물과 찬물을 각각 따로 받아서 섞는 경우

에 최종 온도가 같다면, 그 시스템은 중첩의 원리가 적용되는 선형시스템이다. 반

면에 어떠한 이유로 그 결과가 다르다면 그러한 시스템은 비선형Non-linear시스템이

된다.

선형시스템과 비선형시스템의 입력과 출력의 관계를 예를 들어 그래프로 표현하면

다음과 같은 그래프가 된다.

================================================================================


Input

Output

3 5 8

300

500

800

A

B

C

Input

Output

3 5 8

120

280

750

A

B

C

(a) (b)

그림 2.2.1 선형 시스템과 비선형시스템의 입출력 예

선형시스템의 경우, 입력단에서의 합 입력에 대한 출력은 각각의 입력에 대한 출

력의 합과 같다. 그림(a)에서 보듯이 입력 3 대한 출력이 300, 입력 5에 대한 출력

이 500이면 입력8에 대한 출력은 800으로 각각의 출력의 합인 300+500과 같다.

반면 입출력 관계가 (b)와 같은 비선형시스템이면, 입력 3에 대한 출력 120과 입

력 5에 대한 출력 280을 합친 값과 입력 8에 대한 출력 값 750이 일치하지 않는

다.

선형시스템의 또 하나의 특징은 그 방정식을 행렬matrix연산의 형식으로 묶어서

표현하기 쉽다는 것이다. 예를 들어 다음과 같은 간단한 1차 연립방정식을 생각해

보자. 3x 2y 7 (2.2.1)4x 5y 10 (2.2.2)

두 개의 선형방정식은 다음과 같은 행렬식으로 표현가능하다. 3 24 5

xy

710 (2.2.3)

식(3)과 같이 표기하면 단순하게 역행렬inverse Matrix을 구하여 연산과정을 간단하게

줄이고 수치결과를 얻어내는 것이 쉬워지므로, 상태공간state space등에서의 해석 등

에서도 이러한 행렬 방정식의 형태를 많이 사용한다. 따라서 선형시스템에서는 항

수가 매우 많은 다원 연립방정식도 행렬연산을 사용하여 풀이 소프트웨어를 단순

화 시킬 수 있으며, 크래머의 법칙Cramer's rule이나 오일러 소거법Euler elimination과

같은 다양한 풀이 도구Tool를 활용할 수 있다. 대표적인 비선형 방정식인 y cosθ

와 같은 방정식은 선형화 하지 않으면 행렬식으로 표기하는 것이 어려우며 cos과

θ를 별도 행렬로 분리할 수 없음) 선형화 방법으로는 일반적으로 테일러 시리즈

Taylor series등을 사용하여 동작점operation point에서 선형화하는 방법이 가장 많이 사

================================================================================


용된다.

2.3 중첩의 원리principle of superposition와 동질성의 원리principle of homogeneity

선형시스템은 중첩의 원리와 동질성의 원리를 동시에 만족시킨다.

중첩의 원리principle of superposition

X1의 출력이 Y1이고 X2의 출력이 Y2일 때,

GX1

X2

Y1

Y2

(X1+X2)에 대한 출력은 (Y1+Y2) 이다.

동질성의 원리principle of homogeneity

시스템의 출력을 측정하여 기준입력과 비교하여 이를 보상한다.

X1의 출력이 Y1일 때,

GX1 Y1

a×X1에 대한 출력은 a×Y1 이다.

2.4 비선형시스템 개요

우리 주변에서 볼 수 있는 실제적인 시스템은 엄밀히 말하면 거의 대부분이 비선

형시스템이며, 대부분의 비선형시스템은 수학적인 해를 구하는 것이 매우 힘들다.

하지만 많은 경우에 어떠한 조건을 달아서 이를 선형시스템으로 근사화할 수 있으

며, 다행이도 이러한 선형화된 시스템도 대부분 엔지니어에게 의미 있는 결과를

제공하기 때문에, 선형시스템의 해석과 설계툴design tool은 엔지니어에게 있어서 매

우 중요하다.

다음에 이어지는 챕터chapter에서 언급할 라플라스 변환Laplace transform이나, 보드 선

도Bode Plot등도 다 선형시스템에서 사용 가능한 대표적인 설계 및 해석 도구이다.

나중에 설명될 푸리에 급수Fourier series나 주파수 응답Frequency response등의 개념도

모두 중첩의 원리를 사용한다.

================================================================================


비선형 시스템은 어떠한 초기값이나 동작점operation point을 중심으로 입력단에서

같은 양을 가감하더라도 그 동작점에 위치에 따라 출력 값이 매우 많이 변화하므

로 동작점에 대한 정보와 초기값에 대한 정보가 매우 중요하다.

“북경에서의 한 마리 나비의 날개짓이 뉴욕에서 폭풍우를 불러올 수 있다“라고 하

는 잘 알려진 예시는, 약간 과장되었기는 하지만 비선형 시스템에서의 이러한 입

출력 관계를 잘 나타내 주는 말이다. 몇 년 전 유명해진 카오스chaos이론에는 이러

한 비선형시스템에서의 미소한 초기치의 변화가 가져오는 큰 출력의 변화를 연구

하는 내용도 포함한다.

생활에서 접할 수 있는 비선형시스템의 일례로는, 자동차의 속력이 낮을 때는 공

기저항이 큰 작용을 하지 못하지만, 속력이 200km/h 이상이 되면 대부분의 엔진

출력이 공기저항으로 소비되는 것 등이 좋은 예가 될 것이다. 이렇게 비선형시스

템에서는 동작점이 해당 입력에 대한 출력에 매우 많은 영향을 미치므로 현재 상

태의 동작점과 초기값 둘 다 매우 중요하게 다루어야 한다. 선형시스템에서는 동

작점과 초기값이 시스템의 출력에 미치는 영향이 작으므로, 많은 경우에 동작점을

따로 계산하거나, 초기값을 0으로 가정하여 해석하는 경우가 많다.

또 하나의 간단한 예로 우리 주변에서 볼 수 있는 소형(0.25 Watt) 1kΩ 저항 소자

를 생각해보자. 이론적으로는 오옴의 법칙(V=IR)에 의하여, 저항의 양단에 1V를 걸

면 1mA가 흐르고, 1000V를 걸면 1000mA가 흘러야 정상이지만 1000V와 같은 고

전압을 걸었을 경우에는 전류의 양이 증가함에 따라 물질의 특성이 변화하여 실제

로 1000mA가 흐르지 않고 파괴되거나 오차가 발생하게 된다. 따라서 엄밀하게 이

야기하면 해당저항의 값이 상수 1kΩ이 아닌 전류에 의한 함수로 구성되어야 하나,

일반적으로 사용하는 영역 혹은 정해진 영역에서는 거의 선형적인 특성을 보이므

로, 정해진 일률Watt의 해당 용량 이내에서는 큰 무리 없이 선형 소자로서 사용이

가능하다. 대학의 학부과정의 제어공학에서는 거의 대부분이 선형시스템을 전제로

하며, 본 강좌에서도 선형시스템을 염두에 두어 설명을 진행할 것이다.

2.5 선형근사화

================================================================================


x∆

y∆

y mx c (2.5.1)∆y m∆x (2.5.2)

x

y

y∆0y

2x

0x y x (2.5.3)∆y x ∆x x 2x ∆x ∆x (2.5.4)

0y

2y

0f0yydy

df

=

테일러Tayler의 급수전개를 이용한 근사화

y g x , x , … , x 일 때 고차항을 무시하면,

y g x , x , … , x∂g∂x x x

∂g∂x x x

x x (2.5.5)

example 1) y x 10을 x 5부근에서 선형화 해 보자.

y g 5∂g∂x x 5 35 10 x 5 (2.5.6)

10x 15 (2.5.7)

================================================================================


example 2) 단진자의 방정식을 θ 0부근에서 선형화 해 보자.

θ

T MgLsinθ

T T MgL∂sinθ

∂θ θ θ 0 MgLcos0 θ 0 (2.5.8)

MgLθ (2.5.9)

2.6 라플라스변환Laplace transformation

개요 및 표기

주파수 영역 해석의 출발점이며, 어떠한 주파수 성분을 얼마나 가지고 있는지 추

출할 수 있는 기능이 있음. 라플라스 변환을 이용하면 고차의 미분방정식을 선형

으로 바꾸어 주는 것도 용이하며, 어떠한 장치의 물리적인 모델링과, 입력 신호와,

출력신호를 다같이 동등하게 수학적인 영역에서 다루는 것이 가능해진다.

소문자 s는 Laplace 인자를 표시한다.

라플라스 변환된 함수는 주로 대문자로 표기하며, 라플라스 인자 s를 사용하여 주

파수 영역의 함수라는 것을 나타내준다.

변환과 역변환의 정의

변환transform의 정의:

F s f t e dt (2.6.1)

Inverse Transform:

f t1

2πj F s e dt (2.6.2)

================================================================================


sddt

: Differential operator

1s dt : Integral operator

표 2.6.1 중요한 Laplace 변환쌍

Laplace transform 미분공식 f t s F s s f 0 s f 0 … f 0 (2.6.3)

Example 1) d xdt s X s sx 0 x 0 (2.6.4)

2.7 라플라스변환Laplace transformation의 예제

my cy ky F t (2.7.1)

라플라스 변환을 구해보자(중력의 영향은 무시).

m s Y s sy 0dydt 0 c sY s y 0 kY s F s (2.7.2)

f(t) F(s)

계단step 함수 1s

e 1s a

sinωt ωs ω

cosωt ss ω

임펄스 δ t 1

================================================================================


여기서 만약 초기 위치와 속도를 모두 0이라 가정하면,

초기 위치 y 0 0

초기 속도 0

ms Y s csY s kY s F s (2.7.3)Y s ms cs k F s (2.7.4)

G sY sF s

1ms cs k (2.7.5)

구해진 전달함수 G(s)는 입력에 대한 출력 반응을 의미한다.

만약 초기 위치가 y 이고, 입력되는 힘이 0이면,

힘 f t 0

초기 위치 y 0 y

m s Y s sy c sY s y kY s 0 (2.7.6)

Y sms c y

ms cs k (2.7.7)

여기서 구해진 식(2.7.7)은, 가해주는 입력이 없고, 초기 위치 값만 주었다가 릴리

즈release하는 경우를 나타내준다. 물리적인 상황으로 예를 들면 탄성과 질량이 있

는 스테인레스 자ruler 등을 구부렸다가 튕겨주는 상황에 대응된다. 반면에 식(2.7.5)

는 스테인레스 자 등을 주기적으로 손가락을 튕겨주거나, 어떠한 지속적인 입력을

주는 상황을 모델링할 수 있다.

일반적으로 식(2.7.5)와 같이 어떠한 모듈의 입력과 출력에서 미분 방정식differential

equation의 영의 초기값zero initial condition의 상태에서의 라플라스 변환값을 전달함수

G(s)라 표기할 수 있으며, 라플라스 변환은 한 마디로 주파수 영역에서의 정현파에

대한 반응 특성을 함수화 한 것이라 생각할 수 있다. 따라서 식(2.7.5)에 입력신호

의 라플라스 변환을 곱하면 바로 출력신호의 라플라스 변환값을 얻을 수 있으며,

이를 전체적으로 역변환을 하면 바로 출력신호의 시간 영역time domain에서의 해를

쉽게 구할 수 있다. 주의해야 할 점은 상기한 라플라스를 이용한 변환-역변환 방

법은 선형시불변linear time-invariant 시스템에서만 적용된다는 것이다.

2.8 라플라스변환Laplace transformation의 물리적 의미

예를 들어, 만약 변환하고자 하는 함수가 회전주파수가 10 rad/s인 다음과 같은 사

인함수를 생각해보자. f t sin 10t (2.7.1)

================================================================================


사인함수의 라플라스 변환은 다음과 같다.

F s10

s 100 (2.7.2)

여기서 라플라스 인자 s 대신 jω를 대입하여, 주파수에 따른 사인함수의 라플라스

변환을 구해보면,

F jω10

ω 100 (2.7.3)

이 된다.

식(2.7.3)에 DC(ω 0)부터 주파수를 변경시키면서 대입할 때 주파수가 기저주파수

10 rad/s부근으로 가면, 식(2.7.3)의 크기Magnitude는 무한대로 가면서 최대가 된다.

라플라스 변환된 함수의 입력으로 저주파부터 고주파까지 진행sweep 하면서 크기

를 측정하여 도시하면, 해당 함수를 구성하고 있는 기본 주파수가 무엇인지를 손

쉽게 알아 낼 수 있다.

어떠한 신호뿐 아니라 구체적인 기구 물 또한 라플라스 변환을 통하면 수학적으로

모델링 될 수 있는데, 여기서 입력 주파수를 변환시키면서 그 출력신호의 크기를

측정하여 도시하면 물리적으로 고유진동수에 해당하는 주파수를 식별할 수 있게

된다(보드 선도Bode plot은 입력 주파수를 스위핑Sweeping 하면서 그때의 크기와 위

상을 도표로 나타낸 것이다).

2.9 최종값정리final value theorem

최종값정리final value theorem는 라플라스Laplace 변환과, 해당 모듈의 시간영역에서의

출력과의 관계를 연결해 준다.

Final value theorem lim∞

y t lim s · Y s (2.8.1)

시간영역에서의 무한대의 시간에서의 출력값은 라플라스Laplace 변환에 s를 곱하여

s에 0을 대입하면 얻을 수 있다. 식(2.7.7)과 같은 입력신호가 없고, 초기위치만 존

재하는 스프링 댐퍼 시스템의 경우

· 0 (2.8.2)

식(2.7.7)과 같은 경우를 예를 들면, 길쭉한 스테인레스 자를 잡아 당겼다 놓으면,

일정시간 진동 후 위치 값이 0으로 수렴하는 경우를 들 수 있다. 수식적으로 만약

================================================================================


0이 아닌 다른 값 이려면 식(2.8.2)의 분모에 공통 s가 있어야 한다. 이러한 경우를

물리적으로 예를 들면 스테인레스 자가 고정된 지그에 바퀴가 달려 있어서 자의

진동시 전체 지그가 움직이는 것과 같은 경우를 생각하면 된다.

최종값정리는 시간영역time domain과 주파수영역frequency domain을 손쉽게 연결시켜

주는 도구 중 하나이다.

2.10 특성방정식characteristic equation

전달함수의 분모는 그 시스템이 가지는 특징을 잘 표현할 수 있는데, 통상 전달함

수의 분모를 0으로 놓고, 이를 특성방정식이라 하며, 이를 만족시키는 해를 근root

라 한다. 전달함수 식(2.7.5)의 특성방정식은 식(2.9.1)로 표기된다. ms bs k 0 (2.9.1)

식(2.9.1)을 편의상 식 (2.9.2)의 형태로 표기하면, s 2ζω s ω 0 (2.9.2)

여기서,

ωkm , 2ζω

bm (2.9.3)

로 표기될 수 있으며, 여기서 ω 은 고유진동수natural frequency, ζ는 시스템의 댐

핑damping계수라 부른다. 2차 방정식인 특성방정식의 근은 다음과 같다.

s , s ζω ω ζ 1 (2.9.4)

특성방정식의 근을 복소 평면상에 도시하면 그림 2.9.1과 같다.

s1

s2

j

nζω−

21 ζω −n

θζ

ζωζω

θ

=∴

==

−1cos

cosn

n

θ

그림 2.9.1 S평면 상에서 특성 방정식의 근

교과서에 따라 오른쪽과 같이 표현한 곳도 있음, 주의 ( ζω jω 1 ζ )

================================================================================


여기서 댐핑계수damping coefficient 값에 따라,

ζ 1 는 실수 over damped

ζ 1 는 complex 감쇠부족, underdamped

ζ 1 s는 중근 critical damped

와 같이 나눌 수 있다.

2.11 선형시스템의 전달함수

라플라스Laplace 변환을 이용해서 전달함수를 구해보자.

전달함수transfer function : 모든 초기조건이 0일 때의 시스템의 입출력에 대한 라플

라스Laplace 변환이므로,

(그림 2.10.1) 1차 로우패스 필터

v t V t V t (2.10.1)

식(2.10.1)을 I s 를 사용하여 라플라스 변환시키면,

V s R · I s 1Cs · I s (2.10.2)

From KVL

V s R1Cs I s ①

V s1Cs · I s ②

(2.10.3)

과 에서 I(s)를 소거하면

V sV s

1RC · s 1

1τs 1

1τ

1

s 1τ

(2.10.4)

여기서 시정수time constant τ=RC.

선형시스템에서는,

================================================================================


시스템의 출력 = 고유응답(초기조건에 의해서 결정)+입력응답(입력에 의해서 결정)

과 같이 표현될 수 있는데, 라플라스 변환은 미분방정식을 대수적으로 치환하여

줌으로써 이 두 조건에 대하여 편리하게 해를 구할 수 있도록 도와준다.

(그림 2.10.1)과 같은 로우패스lowpass 필터에 스텝입력step input이 가해졌다면 그

때의 출력신호를 한번 구해보자.

계산의 단순화를 위해서 시정수 τ=1 로 놓으면,

G s 1

s 1 (2.10.5)

1s

1s 1 Y s

출력신호 Y s 의 라플라스 변환은 식(2.10.6)과 같다.

Y s1s

1s 1

1s

1s 1 (2.10.6)

라플라스 변환표를 이용하여 식(2.19.6)의 역변환을 구하면, y t 1 e (2.10.7)

식(2.10.7)의 출력은 시간영역time domain에서 도시하면 다음과 같다.

Vcc

Vcc

(그림 2.10.2) 로우패스 필터에 가해진 스텝입력에 대한 이상적인 출력파형

상기의 로우패스 필터와 같은 간단한 회로는 마이컴의 오토리셋에도 많이 사용된

다.

(Example 2.2) 미분방정식의 해(P54) d ydt 4

dydt 3y 2r t (2.10.8)

초기조건 y 0 1,dydt 0 0, r t 1 t 0

================================================================================


여기서 라플라스Laplace 변환을 취하면

s Y s sy 0dydt 0 4 sY s y 0 3Y s 2R s (2.10.9)

R s 1s , y 0 1이므로 표 2.8참조 (2.10.11)

Y s2

s s 4s 3s 4

s 4s 3 (2.10.12)

식 (2.10.12)를 부분분수로 전개하면,

Y s1

s 11 3⁄

s 32 3⁄

S3 2⁄

s 11 2⁄

s 3 (2.10.13)

다시 라플라스 역변환inverse transformation을 수행하면,

y t 1 · e 13 e

23

32 e

12 e (2.10.14)

정상상태 응답 lim∞

y t23 (2.10.15)

2.12 DC 모터motor의 전달함수

DC 모터는 널리 사용되는 대표적인 액추에이터의 일종으로, 전기전자 파트와 기

계 파트가 융합된 대표적인 메카트로닉스 시스템이다. DC 모터의 모델링에 대하여

알아보자.

Actuator: a device that provides the motive power to the process

Field current controlled DC motor(고정자가 coil로, 회전자가 영구자석) T s K I s (2.12.1)

T s T s T S 만약 T s 0일 경우 (2.12.2)T s T s (2.12.3)

T s Js θ s bs · θ s Jθ t bθ t (2.12.4) θ s Js bs (2.12.5)

V s R L s I s Field current controlled motor (2.12.6)

(2.12.1), (2.12.3), (2.12.5)에서 T s , T s 를 소거하면, K I s θ s Js bs (2.12.7)

2.12.6 , 2.12.7 에서 I s 를 소거하면

V s R L sθ sK Js bs (2.12.8)

θ sV s

KR L s Js b s (2.12.9)

================================================================================


Commutation에 의한 Motor의 분류

DC motor Brush를 사용하여 기계적으로 commutation

AC Servo 드라이버에서 전기적으로 commutation

식(2.12.9)를 b · R 로 나누면 θ sV s

K b · R⁄

S LR s 1 J

b s 1 (2.12.10)

K b · R⁄

s τ s 1 τ 1 (2.12.11)

Armature controlled DC motor(회전자가 코일로 이루어짐)

Armature controlled DC motor 의 경우는 회전자가 코일로 이루어져서, 회전에

따른 역기전력(Back emf)가 발생한다. 이를 고려해서 식 (2.12.6)에서 역기전력 항

(K ω)을 추가하면,

V s R L S I S K ω

R L S I S K sθ s (2.12.12)

같은 방법으로 정리하면,

θ sV s

Ks R L · s Js b K K (2.12.13)

2.13 블럭선도 모델

블럭선도는 중요한 변수들의 전달함수를 이용하여 방향성을 가지는 연산블럭으로

구성되는데, 라플라스Laplace 변환과 더불어 쓰기가 용이하다. 라플라스 변환을 이

용하면 몇 개의 미분방정식differential equation을 간단한 하나의 선형대수 방정식으로

표현해 줄 수 있으므로, 라플라스 변환과 블록선도는 시스템의 모델링에 많이 사

용된다.

시스템의 모델링: 동적 시스템 → 연립미분방정식 → Laplace 변환 → 전달함수

V s θ s

∙ 여러 개가 입출력이 있는 경우 (다변수 입출력 시스템) Y S G S R S G S R S (2.13.1)

·

================================================================================


Y S G S R S G S R S (2.13.2)

(그림 2.13.1) 다변수 입출력 시스템

Y SY S G S G S

G S G SR SR S (2.13.3)

(2.13.4)

2.14 블럭선도의 등가

※ 많은 실제적인 시스템이 다음과 같은 방식으로 표현 될 수 있으며, 표기의 편의

상 G(s)를 G로 표기하기도 한다.

e x x · H (2.14.1)

systemR1(s)

R2(s)

Y1(s)

Y2(s)

Input output

· ·

★아주 중요

================================================================================


x e · G (2.14.2)

(2.14.1)과 (2.14.2)에서 e를 소거하면, x x x H G (2.14.3)x 1 HG x G (2.14.4)

xx

G1 HG (2.14.5)

GHG

+1

(그림 2.14.2) 축약된 피드백 시스템 블록선도

2.15 신호흐름선도signal flow graph

시스템의 상호관계가 복잡할 때 많이 사용하며, 노드는 신호를 표현하며, 화살표는

전달함수를 표현한다.

(그림 2.15.1) 신호흐름도 기본 예제

신호흐름선도의 기본 요소로는 node, branch, path, loop이 있다. 다음의 (그림

2.15.1)은 식(2.15.1)과 식(2.15.2)를 표기한 것이다.

y s G s R s G s R s (2.15.1)

y s G s R s G s R s (2.15.2)

R1

R2

y1(s)

y2

G11

G21

G12

G22

node branch

(그림 2.15.1) 신호흐름도의 예

※ 모든 branch는 노드를 출발하여 노드로 향하며, 단방향이다.

================================================================================


용어 설명

(A) Branch: 입출력의 관계를 표시한 단방향 직선. 블록선도에서 전달함수와 유사

한 역할

(B) Node: 입출력 포인트, 교차점을 나타낸다. Branch의 시작과 끝에는 항상 Node

가 존재한다.

(C) Path: Branch 혹은 일련의 Branch틀을 나타낸다.

(D) Loop: Closed Path, 하나의 Node에서 시작하여, 다시 그 노드로 돌아오는 닫혀

진 Path, Loop에서는 같은 Node를 두번 만나면 안된다.

(E) Nontouching: 두 개의 Loop가 서로 공유되는 node가 없을 때

2.16 신호흐름선도signal flow graph 예제

다음의 연립 대수방정식을 논의하자.

a x a x r x (2.16.1)

a x a x r x (2.16.2)

(그림2.16.1) 예제의 신호흐름선도

식(2.16.1) 과 식(2.16.2)를 정리하면, x 1 a x a r (2.16.3)x a x a r (2.16.4)1 a a

a 1 axx

rr (2.16.5)

식(2.16.5)를 만족시키는 해는 cramer의 법칙을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있

다.

x1 a r a r

1 a 1 a a a1 a

∆ ra∆ r (2.16.6)

================================================================================


x1 a r a r

1 a 1 a a a1 a

∆ ra∆ r (2.16.7)

where ∆ 1 a 1 a a a 1 a a a a a a (2.16.8)

※ Cramer’s Rule bb

c cc c

xx

xx

c cc c

bb (2.16.9)

c cc c

1c c c c

c cc c (2.16.10)

where,

x 1∆ c b c b (2.16.11)

x 1∆ c b c b (2.16.12)

chapter 2. 시스템의 수학적...

Documents