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Chapter 2. 도함수
Chapter 2. 도함수
이문배
건국대학교 수학과
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Chapter 2. 도함수
Contents
2.1 도함수와 변화율
2.2 함수로서의 도함수
2.3 미분공식
2.4 삼각함수의 도함수
2.5 연쇄법칙
2.6 음함수의 미분
2.9 일차 근사식과 미분
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Chapter 2. 도함수
2.1 도함수와 변화율
Definition
극한값 limh→0
f(a+ h)− f(a)
h가 존재하면 이 극한값을 a에서 함수 f의
도함수라 하고,
f ′(a) = limh→0
f(a+ h)− f(a)
h
(= lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
)로 나타낸다.
Remark점 (a, f(a))에서 y = f(x)의 접선은 (a, f(a))를 지나고, a에서의 도함수 f ′(a)를 기울기로 갖는 직선이다.
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Chapter 2. 도함수
2.1 도함수와 변화율
Example
x = 2에서 f(x) = x3의 도함수를 구하시오.
Remark도함수 f ′(x1)는 x = x1일 때, y = f(x)의 x에 관한 순간변화율이다.
순간변화율 = lim△x→0
△y
△x= lim
x2→x1
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
▶ 속도, 반응률(화학), 한계생산성(경제학)
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Chapter 2. 도함수
2.2 함수로서의 도함수
Definition
극한값 limh→0
f(x+ h)− f(x)
h가 존재하는 x가 주어지면 이 주어진 x에 대해
수 f ′(x)를 지정한다. 따라서 f ′을 f의 도함수라 부르는 새로운 함수로생각할 수 있다. f ′의 정의역은 {x|f ′(x) 가 존재한다. }이고, f의 정의역보다더 작을 수 있다.
다른기호f ′(x) = y′ =
dy
dx=
df
dx=
d
dxf(x) = Df(x) = Dxf(x)
기호 D와 ddx는 미분법의 연산을 나타내므로, 미분연산자라 부른다. 여기서
미분법은 도함수를 계산하는 과정을 의미하는데, 간단히 미분한다고말하기도 한다.
f ′(a) =dy
dx
∣∣∣x=a
=dy
dx
]x=a
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Chapter 2. 도함수
2.2 함수로서의 도함수
Definitionf ′(c)가 존재하면 함수 f는 c에서 미분가능하다고 말한다. 이함수가 개구간(a, b) [또는 (a,∞), (−∞, b) ,(−∞,∞)]안의 모든 점에서 미분가능하면, 함수f는 그 구간에서 미분가능하다고 한다.
Theoremf가 a에서 미분가능하면 f는 a에서 연속이다.
Remark위 정리의 역은 성립하지 않는다.
Example
f(x) = |x|
미분가능하지 않은 경우
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Chapter 2. 도함수
2.2 함수로서의 도함수
고계도함수
일반적으로 n계 도함수는 f (n)으로 나타내고, 이것은 y = f(x)를 n번미분함으로써 얻어진다. y = f(x) 일 때 n계 도함수를 다음과 같이 표시한다 :
y(n) = f (n)(x) =dny
dxn= Dnf(x)
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Chapter 2. 도함수
2.3 미분공식
Theorem만약 n이 양의 정수이면
dxn
dx= nxn−1
이다.
증명.
▶ n = 0, n = 1
▶ n ∈ N
Example
▶ f(x) = x100, y = t4,d
drr3, Duu
6
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Chapter 2. 도함수
2.3 미분공식
Theorem (미분공식표)
dc
dx= 0
dxn
dx= nxn−1(n ∈ N) (cf)′ = cf ′
(f + g)′ = f ′ + g′ (fg)′ = f ′g + fg′(fg
)′=
f ′g − fg′
g2
Theorem만약 n이 양의 정수이면
dx−n
dx= −nx−n−1
이다.
Theorem (6장에서 로그함수를 이용하여 증명)
n을 임의의 실수라 하면dxn
dx= nxn−1
이다.
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Chapter 2. 도함수
2.4 삼각함수의 도함수
Example
limθ→0
sin θ
θ= 1
Theorem (삼각함수의 도함수)
d
dx(sinx) = cosx
d
dx(cscx) = − cscx cotx
d
dx(cosx) = − sinx
d
dx(secx) = secx tanx
d
dx(tanx) = sec2x
d
dx(cotx) = −csc2x
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Chapter 2. 도함수
2.5 연쇄법칙
Theoremf와 g가 모두 미분가능하고 F = f ◦ g는 F (x) = f(g(x))로 정의된합성함수라면, F는 미분가능하고 F ′은 곱
F ′(x) = f ′(g(x))g′(x)
에 의해 주어진다. 이를 Leibniz의 기호로 나타내면 y = f(u)와 u = g(x)가모두 미분가능한 함수일 때
dy
dx=
dy
du
du
dx
이다.
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Chapter 2. 도함수
2.5 연쇄법칙
Remark
d
dxf︸︷︷︸
외부함수
(g(x))︸ ︷︷ ︸내부함수에서계산됨
= f ′︸︷︷︸외부함수의 도함수
(g(x))︸ ︷︷ ︸내부함수에서계산됨
g′(x)︸ ︷︷ ︸내부함수의 도함수
Example
다음을 미분하여라.
(a) sin(x2) (b) sin2 x
풀이.
Example
다음을 미분하여라.y = (2x+ 1)5(x3 − x+ 1)4
풀이.
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Chapter 2. 도함수
2.5 연쇄법칙
▶ 연쇄법칙의 증명방법▶ 함수 y = f(x) 가 a에서 미분가능하면, 도함수의 정의에 의해
f ′(a) = lim△x→0
△y
△x
가 성립한다. 따라서 다음식을 얻을 수 있다.
△y = f ′(a)△x+ ε△x (△x → 0일 때 ε → 0이다.)
▶ u = g(x)가 a에서 미분가능하고 y = f(x)가 b = g(a)에서 미분가능하면
△u = g′(a)△x+ ε1△x (△x → 0일 때 ε1 → 0이다.)
와
△y = f ′(b)△u+ ε2△u (△u → 0일 때 ε2 → 0이다.)
가 성립한다. 따라서
△y = (f ′(b) + ε2)(g′(a) + ε1)△x ⇒ △y
△x= (f ′(b) + ε2)(g
′(a) + ε1)
이 된다. △x → 0 ⇒ ε1 → 0 & ε2 → 0이므로
dy
dx= lim
△x→0
△y
△x= lim
△x→0(f ′(b) + ε2)(g
′(a) + ε1)
= f ′(b)g′(a) = f ′(g(a))g′(a)
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Chapter 2. 도함수
2.6 음함수의 미분
▶ 함수 f가 식 x2 + y2 = 25에 의하여 정의된 음함수라 하는 것은 f 의정의역 안에 있는 모든 x에 대하여
x2 + (f(x))2 = 25
가 성립함을 뜻한다.
Example (음함수 미분법)
x2 + y2 = 25일 때dy
dx와
dy
dx
∣∣∣(x,y)=(3,4)
를 구하여라.
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Chapter 2. 도함수
2.6 음함수의 미분
Example (음함수 미분법)
(a) x3 + y3 = 6xy일 때dy
dx를 구하여라.
(b) x3 + y3 = 6xy위의 점 (3, 3)에서의 접선의 방정식을 구하여라.
(c) 1사분면에서 곡선 위의 어떤 점에서 접선이 수평인가?
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Chapter 2. 도함수
2.6 음함수의 미분
Example
sin(x+ y) = y2 cosx일 때 y′을 구하여라.
Example
x4 + y4 = 16일 때 y′′을 구하여라.
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Chapter 2. 도함수
2.9 일차 근사식과 미분
x가 a에 가까이 있을 때 y = f(x) 에 대한 근사로서 점 (a, f(a)) 에서의 f의접선을 이용하자.
Definition근사식
f(x) ≈ f(a) + f ′(a)(x–a)
를 f의 a에서의 일차 근사식(또는 선형근사식) 또는 접선 근사식이라 부른다이 접선을 그래프로 갖는 일차 함수
L(x) = f(a) + f ′(a)(x–a)
를 f 의 a에서의 선형화(또는 일차화)라고 부른다.
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Chapter 2. 도함수
2.9 일차 근사식과 미분
Example
a = 1 에서 f(x) =√x+ 3의 선형화를 구하고, 이것을 이용하여
√3.98의
근사값을 구하여라.
풀이.
Definitionf 는 미분가능한 함수이고 y = f(x)라 하자.
▶ dx := △x (x의 미분)
▶ dy := f ′(x)dx (y의 미분)
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Chapter 2. 도함수
2.9 일차 근사식과 미분
Example√3.98의 근사값을 구하여라.
Example
구의 반지름을 측정한 결과 21cm이었다. 그리고 측정할 때 최대오차가0.05cm이다. 반지름의 값으로 이것을 사용한다면 부피를 계산할 때최대오차는 얼마인가?