chapitre : les puissances 3 · la somme à répétition : devient un produit : 4x2 le produit à...
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Chapitre : Les Puissances 3ème
… /…
Une somme à répétition:
devient un produit :
Un produit à répétition:
devient une puissance :
3+3+3+3+3
5x3
3x3x3x3x3
35
Rappel :
… /…
La somme à répétition : devient un produit :
Le produit à répétition: devient une puissance :
2+2+2+2 4x2
2x2x2x2 24
Autre exemple :
Le produit à répétition: devient une puissance : 4x4 4²
… /…
« Trois exposant cinq »
« Trois fois cinq »
Façon de lire:
3x5 Se lit :
35 Se lit :
24 Se lit : « Deux exposant quatre »
… /…
Comment calculer une puissance ?
24
En rétablissant la multiplication à répétition
= 2x2x2x2 = 4x2x2 = 8x2 = 16
53 = 5x5x5 = 25x5 = 125
15 = 1x1x1x1x1 = 1x1x1x1 = 1x1x1 = 1x1 = 1
… /…
Pièges !
Si on va trop vite… on risque l’accident ! Exemple: Calculer 43 Réponse: 12 (car 4x3=12!!!!!!!) La bonne réponse est: 4x4x4 =16x4 =64
… /…
Pièges encore !
26 12 64 8
110
Combien vaut ?
Combien vaut ?
1 10 11
… /…
Pièges encore avec des décimaux !
Combien vaut 0,23 ?
0,8 0,008 0,08
Combien vaut 2,52 ?
6,25 5 62,5
… /…
Pièges encore à cause des signes !
Combien vaut (-2)3 ?
-6 - 8 8
Combien vaut (-1)4 ?
1 -1 4
… /…
Pièges toujours à cause des parenthèses !
Combien vaut - 22 ?
- 4 4 - (2 2)
Combien vaut - 1 6 ?
1 -1 ( - 1) 6
… /…
La puissance est plus prioritaire que la multiplication !
Combien vaut 2 x 52 ?
100 20 50
Combien vaut -1 x (- 2)3 ?
8 -8 -6
… /…
Incroyable mais vrai !
Parmi les puissances suivantes, quelle est celle dont la valeur est la plus facile à trouver de tête ?
36
46
56
66
106
26
76
86
… /…
Associons à chaque puissance son nom puis sa valeur.
10 3
10 2
10 4
10 5
100
1 000
10 000
100 000
Mille
Cent
Cent mille
Dix mille
… /…
Comment écrire plus vite ?
1 000 000
Dix millions
10 000 000 000
Mille milliards
10 6
10 7
10 10
10 12
… /…
10 n
Règle générale…
Le nombre 1 000….000
n zéros
S’écrit …
… /…
Un compte à rebours intéressant ! 5…4…3…2…1…0…
10 4
10 5
10 3
10 2
10 1
10 0
= 100 000 = 10 000 = 1 000 = 100 = 10 = 1
: 10
: 10 : 10 : 10 : 10
… /…
Le compte à rebours continue ! 2…1…0…-1…-2…-3
10 1
10 2
10 0
10 -1
10 -2
10 -3
= 100 = 10 = 1 = 0,1 = 0,01 = 0,001
: 10
: 10 : 10 : 10 : 10
… /…
Associons à chaque puissance son nom puis sa valeur.
10 -1
10 -2
10 -4
10 -6
0,01
0,1
0,000 1
0,000 001
Dixième
Centième
Millionième
Dix millième
… /…
Comment écrire plus vite ?
0,000 01
Dix millionièmes
0,000 000 000 1
Mille milliardièmes
10 -5
10 -7
10 -10
10 -12
… /…
10 -n
Règle générale…
Le nombre 0,00……00 1
n zéros
S’écrit …
… /…
Associons à chaque puissance son nom puis sa valeur.
10 -1
10 2
10 -4
10 6
100
0,1
0,000 1
1 000 000
Dixième
Centaine
Million
Dix millième
… /…
Associons à chaque nom sa puissance puis sa valeur.
Centaine
Mille
Millième
Centième
100 1 000 0,001 0,01
10 3
10 2
10 -3
10 -2
Cent millième 10 -5 0,000 04 0,000 01
… /…
Associons chaque expression en rouge à sa valeur en bleu.
10 -2 (-10)2 - 10 2
- 10 -2 (-2) 10
2 -10 0,01
100
-100
-0,01
1024
0,0009765625
… /…
Question: 10 2 x 10 3 = 10 ??
Méthode 1:
10 2 = 10 x 10 = 100 10 3 = 10 x 10 x 10 = 1 000 100 x 1 000 = 100 000 100 000 = 10 5
Réponse : 10 2 x 10 3 = 10 5
Tous ces zéros me donnent envie de mordre !
… /…
Question: 10 2 x 10 3 = 10 ??
Méthode 2:
10 2 = 10 x 10 10 3 = 10 x 10 x 10 10 2 x 10 3 = 10 x 10 x 10 x10 x 10 10 x 10 x 10 x10 x 10 = 10 5
Réponse : 10 2 x 10 3 = 10 5
Tous ces dix me
donnent encore
envie de mordre !
… /…
Question: 10 2 x 10 3 = 10 ??
Méthode 3: 2 + 3 = 5
Réponse : 10 2 x 10 3 = 10 5 Enfin quelque chose
d’agréable !
… /…
Question: 10 5 x 10 7 = 10 ??
Méthode 1:10 000 x 10 000 000 = 100 000 000 000 = …
Réponse : 10 5 x 10 7 = 10 12
Méthode2:10x10x10x10x10x10x10x10x10x10x10x10 = …
Méthode3: 5 + 7 = …
… /…
Règle générale… 10 n x 10 p
10 n x 10 p =
n facteurs
10x10x…x10
p facteurs
10x10x…x10 x
10x 10 x …………….x10x10
n+p facteurs
10 n+p
… /…
Utilisons la règle 10 n x 10 p = 10 n+p
104 x 105 = 102 x 106 =
104 x 10 = 103 x 109 x 10 3=
102 x 10 x 10 2 = 1047 x 1051 =
109
108
1015
105
105
1098
Mais où sont les mille
milliards de mille sabords
?
… /…
Question: 10 -3 x 10 -2 = 10 ??
10 -3 = 0,001 10 -2 = 0,01 0,001 x 0,01 = 0,00001 0,00001 = 10 -5
Réponse : 10 -3 x 10 -2 = 10 –5
Ca marche encore avec les exposants négatifs
Tous ces zéros me donnent envie de mordre !
… /…
Utilisons la règle 10nx10p=10 n+p.
10 8 x 10 2 = 10 3 x 10 5 =
10 -4 x 10 = 10 -2 x 10 3=
10 -3 x10 -1 = 10 -21 x 10 -51 =
1010
108
101
10-3
10-4
10-72
Mais où sont les millièmes
?
… /…
Question: 10 5 : 10 3 = 10 ??
Méthode 1:
10 5 = 10x10x10x10x10 = 100 000 10 3 = 10x10x10 =1 000 100 000 : 1 000 = 100 100 = 10 2
Réponse : 10 5 : 10 3 = 10 2
Tous ces zéros me donnent envie de mordre !
… /…
Question: 10 5 : 10 3 = 10 ??
Méthode 2: 10 5 = 10x10x10x10x10 10 3 = 10x10x10
Réponse : 10 5 : 10 3 = 10 2
Tous ces dix me
donnent envie de mordre !
10x10x10x10x10
10x10x10
1
1
1
1
1
1
… /…
Question: 10 5 : 10 3 = 10 ??
Méthode 3: 5-3=2
Réponse : 10 5 : 10 3 = 10 2 Enfin quelque chose
d’agréable !
… /…
Règle générale… 10 n : 10 p
10 n : 10 p = 10 n-p
n facteurs
p facteurs
10x 10 x …x10 10x10….x10
= 10x …x10
n-p facteurs
Nous admettrons que cette règle s’applique aussi aux exposants négatifs.
… /…
Utilisons la règle 10n:10p=10 n-p.
10 8 : 10 2 = 10 3 : 10 5 =
10 -4 : 10 = 10 -2 : 10 3=
10 -3 :10 -1 = 10 -21 : 10 -51 =
106
10-2
10-5
10-5
10-2
1030
Mais où sont les
centièmes ?
… /…
Question: (10 2) 3 = 10 ??
Méthode 1:
10 2 = 10 x 10 = 100 100 3 = 100 x 100 x 100 =1 000 000 1 000 000 = 10 6
Réponse : (10 2) 3 = 10 6
Tous ces zéros me donnent envie de mordre !
Question: (10 2) 3 = 10 ??
Méthode 2:
10 2 = 10 x 10 (10x10)3 = (10x10)x(10x10)x(10x10)
(10x10)x(10x10)x(10x10)=10x10x10x10x10x10
10 x 10 x 10 x10 x 10 x 10 = 10 6
Réponse : (10 2) 3 = 10 6
Tous ces dix me
donnent encore
envie de mordre !
… /…
Question: (10 2) 3 = 10 ??
Méthode 3: 2 x 3 = 6
Réponse : (10 2 ) 3 = 10 6 Enfin quelque chose
d’agréable !
… /…
Règle générale… (10 n ) p
(10 n) p =
Nous admettrons que cette règle s’applique aussi aux exposants négatifs.
10x …x10
n facteurs
10x …x10
n facteurs
10x …x10
n facteurs
10x …x10
n facteurs
p fois
10 nxp
… /…
Utilisons la règle (10n)p=10 nxp.
(10 8) 2 = (10 3) 5 =
(10 - 4) -3 = (10 -2) 3=
(10 -3) -1 = (10 -21)-10 =
1016
1015
10-6
1012
103
10210
Mais où sont les
millionièmes ?
… /…
Utilisons les trois règles
10 8 : 10 2 = (10 8) 2 =
10 -4 x 10 3 = 10 8 x 10 2=
(10 -3) -5 = 105 :10-5 =
106
1016
1010
10-1
1015
1010
Mais où sont les dix
milliards ?
… /…
Nous admettrons que les trois règles sont valables sur d’autres nombres que 10.
7 8 : 7 2 = (4 8) 2 =
5 -4 x 5 3 = 3 8 x 3 2=
(8 -3) -5 = 25 :2 -5 =
7 6
416
310
5-1
815
210
Mais où est 0,2 ?
… /…
Inverse puissance opposé...
L’opposé de 10 s’écrit … - 10
Mais où est 0,1 ?
L’inverse de 10 s’écrit … 1
10
Le nombre 1 s’écrit 10 … 100
Le nombre 10 s’écrit 10 … 101
Donc 1/10 = 100/101= 10… 10 -1
… /…
L’inverse de 10 est écrit trois fois sous trois formes différentes. Lesquelles ?
Mais où est l’inverse de
10 ? - 10
1
10
0,1
(-10)1
10 -1
- 10 -1
… /…
Inverse puissance opposé...
Mais où est 0,125 ?
L’inverse de 23 s’écrit … 1
23
Le nombre 1 s’écrit 2 … 2 0
Le nombre 2 3 s’écrit 2 … 2 3
Donc 1/23 = 20/23= 2… 2 -3
… /…
L’inverse de 52 est écrit quatre fois sous quatre formes différentes. Lesquelles ?
Mais où est l’inverse de
52? - 25
1
52
0,04
2-5
5 -2
- 5 -2
1
25
… /…
Règle générale… « L’inverse de truc exposant machin » est « truc exposant opposé de machin »
1 23 = 2-3 1
105 = 10-5
1 46 = 4-6 1
an = a-n
… /…
Soyons fainéant mais intelligent !!! Combien vaut « de tête » 5 8 x 2 8 ?
Pour t’aider … 5 8 = 390 625 et 2 8 = 256 !!! Une autre aide: 5 8 = 5x5x5x5x5x5x5x5
et 2 8 = 2x2x2x2x2x2x2x2
Encore une aide:
( 5x5x5x5x5x5x5x5)x ( 2x2x2x2x2x2x2x2) =
(5x2)x(5x2)x(5x2)x(5x2)x(5x2)x(5x2)x(5x2)x(5x2)
En résumé, au lieu de calculer 5 8 x 2 8 il est plus simple de calculer … ( 5 x 2 ) 8
… /…
Soyons fainéant mais intelligent !!! Combien vaut « de tête » 0,5 4 x 2 4 ? Pour t’aider … 0,5 4 = 0,0625 et 2 4 = 16
Une autre aide: (0,5x0,5x 0,5x 0,5)x(2x2x2x2)=
(0,5x2)x(0,5x2)x(0,5x2)x(0,5x2)
En résumé: plutôt que de calculer 0,5 4 x 2 4
Il est préférable de calculer …. (0,5x2) 4
… /…
Règle générale !!! Au lieu de calculer 7 5 x 2 5
On peut calculer …. (7 x 2) 5
Au lieu de calculer 6 12 x 15 12
On peut calculer …. (6 x 15) 12
Au lieu de calculer a n x b n
On peut calculer …. (a x b) n
Règle générale a n x b n = ( a x b ) n
… /…
Soyons fainéant mais intelligent !!! Combien vaut « de tête » 30 5 : 3 5 ? Pour t’aider … 30 5 = 24 300 000 !!!!!
Une autre aide:
30x30x30x30x30 3x3x3x3x3 = 30
3 x 30
3 x 30
3 x 30
3 x 30
3
En résumé, pour calculer 30 5 : 3 5 il est plus simple de calculer … ( 30:3) 5
… /…
Règle générale !!! Au lieu de calculer 7 5 : 2 5
On peut calculer …. (7 : 2) 5
Au lieu de calculer 6 12 : 15 12
On peut calculer …. (6 : 15) 12
Au lieu de calculer a n : b n
On peut calculer …. (a : b) n
Règle générale a n : b n = ( a : b ) n
= a n
b n ( )n a b
… /…
Utilisation de toutes les règles…
52x5-5
5-3
5-2x5
5-1
32x52
(3x5)2
(54)-2
5-8
1:54
5-4
53:55
5-2
53:23
(5:2)3
… /…
… /…
FIN