chap 4: penerapan ensembel kanonik klasik
TRANSCRIPT
Chap 4:Penerapan
Ensembel Kanonik Klasik
1. Paramagnetism (non fluida)
2. Osilator Harmonik Kuantum (diskrit)
ParamagentismModel lain yang akan ditinjau adalah model dipol magnet yang dapat berputar bebas dibawah pengaruh medan luar ðµ. Energi potensial sebuah dipol magnet dengan momen dipol ð dibawah pengaruh medan eskternal ð©adalah : ðð = âðð. ð©. Misalkan medan luar berarah Z, sehingga :
ðð = âððµ cos ððDengan ðð adalah sudut antara vector momen dipol dengan sumbu Z.
Fungsi partisi kanonik klasik berarti dilakukan integrasi diseluruh kemungkinan orientasi arah dipol, yaitu sudut ruang Ω (ð, ð).
Fungsi Partisi Kanonik 1 DipolDefinisi sudut ruang, tinjau elemen luas ððŽ dipermukan bola berjarisin ð ðð cosð ðð-jari r:
ððŽ = ð2
Sudut ruang ðΩ didefinisikan sebagai : ððŽ = ð2ðΩ, sehingga jelas: ðΩ = sin ð ðð cos ð ðð
Dengan demikian ungkapan fungsi partisi sebuah dipol adalah :
ð1 = න ðâðœðð ðΩ = න
0
2ð
න
0
ð
ðððœðµ ððð ð sin ð ðð cosð ðð
ð1 = 2ðන
0
ð
ðððœðµððð ð sin ð ðð
Fungsi Partisi Kanonik N DipolIntegral terakhir dapat dilakukan dengan mudah melalui subsitusi : ð¥ = cos ð, sehingga:
ð1 = 2ð න
â1
1
ðððœðµð¥ ðð¥ =4ð
ððœðµsinh(ððœðµ)
Misal terdapat N dipol magnet yang tidak saling berinteraksi, maka fungsi partisi sistemnya adalah:
ðð = න ðâðœð1 ðΩ1⊠න ðâðœðð ðΩN = න ðâðœðð ðΩi
ð
Atau ðð = ð1
ð
Momen Dipol Magnet Rata-rataMomen dipol magnet rata-rata:
< ðð§>=0ððð§ ð
ððœðµððð ð sin ð ðð
0
ððððœðµððð ð sin ð ðð
=ð 0
ðcos ð ðððœðµððð ð sin ð ðð
0
ððððœðµððð ð sin ð ðð
Dengan
ð1 = 2ðන
0
ð
ðððœðµððð ð sin ð ðð
Maka:
ðð1ððµ
= 2ðððœà¶±
0
ð
cos ð ðððœðµððð ð sin ð ðð
Momen Dipol Magnet Rata-rataSehingga:
< ðð§ >=1
ðœ
ðð1ððµð1
=1
ðœ
ð lnð1ððµ
< ðð§ >= ð cothððµ
ððâðð
ððµ
Fungsi :
ð ð¥ = coth ð¥ â1
ð¥Dikenal sebagai fungsi Langevin.
Total momen dipol rata-ratanya (dalam arah z) :< ð·ð§ >= ð < ðð§ >
< ð·ð§ >=ðNkT lnð1
ððµ= â
ððŽ
ððµSerupa dengan hubungan P dengan V:
ð = âððŽ
ðð
Hukum Curie untuk ParamagnetMomen dipol magnet total rata-rata
< ð·ð§ >= ðð coth ð¥ â1
ð¥= ððð¿(ð¥)
Dengan ð¥ = ðœððµ =ððµ
ðð. Untuk kasus x kecil (misal T tinggi) maka :
coth ð¥ =1
ð¥+
ð¥
3â
ð¥3
45+â¯
Sehingga:
< ð·ð§ >âðð2ðµ
3ððDefinisi susceptibilitas magnetic:
ðð = limð»â0
ð < ð·ð§ >
ððµ=ð¶
ðð¶ =
ðð2
3ðDikenal sebagai hokum Curie.
Entropi dan Energi
Entropi diberikan oleh :
ð = âððŽ
ðð= ðð ln
4ð sinh ð¥
ð¥âðððµ
ðð¿(ð¥)
Melalui hubungan ðŽ = ð â ðð maka energi U dapat dihitung:ð = ðŽ + ðð =⺠ð·ð§ > ðµ
Dengan < ð·ð§ >= ðð ð¿(ð¥). Kapasitas kalor bias diperoleh:
ð¶ð» = áðð
ðð ðµ,ð=
ðð
ðð¥
ðð¥
ðð=
ðð
ðµ1 â ð¥2/ sinh2 ð¥
Dapat dibuktikan :
ð â â maka ð â 0 ð¶ð» â 0
Osilator Harmonik Kuantum
⢠Tinjau SEBUAH osilator harmonis versi kuantum dengan energi yang diskrit
ðð = âð ð +1
2ð = 0,1,2,⊠.
⢠Fungsi Rapat keadaan ruang fasa kanonik klasik untuk 1 partikel diberikan oleh :
ð ð, ð = ðâðœð» ð,ðð1 ð,ð
ð1 =1
âන ð3ðð3ð ðâðœð»(ð,ð)
Karena energi osilator harmonis versi kuantum hanya bergantung indeks diskrit dan bukannya koordinat (q,p) maka perlu dilakukan penyesuaian fungsi rapat ruang fasa tsb menjadi:
Probabilitas
ðð =ðâðœðð
Ïð=1 ðâðœðð
=ðâðœðð
ð1⢠Pengertian ðð: probabilitas menemukan 1 osilator harmonis
memiliki status keadaan n dengan energi ðð⢠ð1 adalah fungsi partisi kanonik 1 osilator harmonis⢠Jika system terdiri dari N osilator harmonis yang tidak saling
berinteraksi, maka energi total system :
ðž{ð1, ð2, ⊠} =
ð=1
ððð
⢠Karena tidak saling berinteraksi, maka pada dasarnya setiap osilator harmonis menempati salah satu dari status keadaan kuantum system energi 1 osilator harmonis.
Fungsi Partisi Kanonik (semi kuantum)
Misalkan system N osilator harmonis tsb terbedakan, maka fungsi partisi sistemnya merupakan jumlahan seluruh keadaan yang mungkin dari status keadaan N osilator tsb:
ð ð, ð, ð =
ð1=0
â
ð2
âŠ
ðð
ðâðœÏð=1ð ððð
⢠Fungsi ini bias disederhanakan karena osilator tidak saling berinteraksi, sehingga penjumlahan terhadap masing-masing indeks ðð saling bebas:
ð ð, ð, ð =
ð1=0
â
ðâðœðð1 ⊠.
ðð=0
â
ðâðœððð =
ð=0
â
ðâðœðð
ð
Osilator Harmonik Tak Berinteraksi
Jadi jika ð1 adalah fungsi partisi 1 osilator, maka
ð ð, ð, ð = ð1ð
⢠Berbagai hubungan thermodinamika diperoleh seperti biasa melalui fungsi energi bebas Helmhotz:
ðŽ = âðð lnð ð, ð, ð = âððð lnð1Kita hitung dulu ð1
ð1 =
ð=0
ðâðœðð =
ð=0
ðâðœâð ð+
12 = ðâ
ðœâð2
1
1 â ðâðœâð
ð1 =1
ððœâð2 â ðâ
ðœâð2
=1
2sinh
ðœâð
2
â1
Energi Bebas Helmhotz
Maka :
ðŽ = âððð lnð1 = âððð ln ðâðœâð2
1
1 â ðâðœâð
= ðâð
2+ ðð ln(1 â ðâðœâð)
Atau menggunakan :
ðŽ = ððð ln 2 sinhðœâð
2
Suku âð
2adalah berasal dari zero point energy.
Tekanan, Entropi dan Energi
Berbagai hubungan thermodinamika bias diperoleh:
ð = âððŽ
ðð= 0
Tekanan NOL sebab osilator tidak memiliki energi translasional untuk menimbulkan tekanan. Entropi diperoleh dari:
ð = âððŽ
ðð= 0
ð = ððâð
ðð
1
ððœâð â 1â ln 1 â ðâðœâð
Energi dalam dapat dihitung dari A=U-TS
ð = ðâð1
2+
1
ððœâð â 1
Alternatif : Perhitungan Energi
Energi dalam dapat juga dihitung melalui:
ð = âð lnððððœ
= âðð lnð1ððœ
= ðð
ððœln 2 sinh
ðœâð
2
ð = ð1
sinhðœâð2
âð
2cosh
ðœâð
2
ð = ðâð
2cot
ðœâð
2= ð
âð
2
ððœâð2 + ðâ
ðœâð2
ððœâð2 â ðâ
ðœâð2
Sedikit aljabar .....
Energi
ð¥ + 1/ð¥
ð¥ â 1/ð¥=ð¥2 + 1
ð¥2 â 1= 1 +
2
ð¥2 â 1
Dengan ð¥ = ððœâð
2 , maka :
ððœâð2 + ðâ
ðœâð2
ððœâð2 â ðâ
ðœâð2
= 1 +2
ððœâð â 1
Sehingga:
ð = ðâð
21 +
2
ððœâð â 1= ð
âð
2+
âð
ððœâð â 1
Hasil yang serupa dengan sebelumnya . Suku di dalam (...) adalah energi rata-rata 1 osilator harmonis.
Rata-rata Bilangan Kuantum
< ð > =âð
2+
âð
ððœâð â 1= âð
1
2+< ð >
Dengan
< ð > =1
ððœâð â 1Adalah rata-rata bilangan kuantum n, yaitu tingkat eksitasi rata-rata osilator pada temperature T. Hasil ini akan tetap benar ketika dipakai perumusan mekanika statistika kuantum!Hal lain adalah tidak berlakunya prinsip ekipartisi energi disini (telah diturunkan untuk osilator harmonis klasik U=NkT)
Limit Klasik Energi
Pada suhu tinggi (ðœ â 0), maka :
< ð > =1
ððœâð â 1â
1
1 + ðœâð +12ðœâð 2 +⯠.â1
=1
ðœâð
1
1 +12ðœâð +â¯
â1
ðœâð1 â
1
2ðœâð +â¯
Sehingga energi system :
ð â ðâð1
2+
1
ðœâð1 â
1
2ðœâð +⯠â
ð
ðœ= ððð
Jadi pada suhu tinggi kita berhasil menunjukkan bahwa energi total system kembali ke system klasik.
Perbandingan : Klasik, Planck, Schrodinger
Pada suhu rendah (ðœ â â), terjadi deviasi terbesar dari pendekatan klasik:
< ð > =1
ððœâð â 1â 0
Sehingga energi system :
ð â ðâð1
2+⯠â ð
1
2âð
Jadi pada suhu rendah energi relative konstan thd T nilainya mendekati zero point energy.Planck pertama kali mengajukan model energi diskrit untuk osilator harmonis, tanpa zero point energy:
ðð = âðKurva 1: mekanika kuantumKurva 2: klasikKurva 3: Model Planck asli
Rapat Keadaan dan Degenerasi
Dalam perumusan ensemble kanonik klasik, fungsi rapat keadaan (DOS) diberikan oleh ð(ðž) sbb:
ð ð, ð, ð = න ð ðž ðâðœð»{ð,ð}ð3ððð3ðð
Ketika energi system diskrit, maka ungkapan rapat keadaannya menjadi ðð:
ð ð, ð, ð =
ð
ðððâðœðžð
Dan sekarang ðð dikenal sebagai degenerasi tingkat energi ðžð tersebut.
Energi Total Sistem
Sedangkan ðžð menyatakan energi total system tsb untuk suatu distribusi bilangan kuantum {ðð} di antara N osilator harmonis tsb. Untuk masing-masing bilangan kuantum, maka osilator harmonis terkait akan memiliki energi sebesar:
ððð = âð ðð +1
2ðð = 0,1,2, . .
Sehingga total energi yang terjadi adalah :
ðž{ðð} =
{ðð}
ð_ðð = âð
{ðð}
ðð +1
2
Penjumlahan tsb dilakukan terhadap i=1,2,3,...N. Sehingga suku kedua di atas akan menghasilkan (
ð
2âð)
Energi Total Sistem & Degenerasi
Persoalan diatas dapat ditinjau dari sudut yg berbeda. Selang terkecil nilai-nilai energi total adalah âð, sehingga energi total yang mungkin terjadi bisa dituliskan sebagai :
ðžð = âð
ð=0
ð +ð
2
Suku kedua berasal dari penjumlahan zero point energy tiap osilator. Maka sekarang persoalan menjadi untuk tiap nilai energi ðžð dihasilkan oleh karena ada kuanta energi âð sebanyak n buah, ada berapa cara mendistribusikan kuanta energi tsb di antara N osilator harmonis!
Rapat Keadaan dan Degenerasi
Persoalan menghitung degenerasi ini dapat dirumuskan sbb: âDiberikan n buah bola identik (indistuishable) untuk di distribusikan kepada N buah kotak (distinguishable), satu kotak boleh tidak berisi atau berisi sampai semua bola. Carilah semua kombinasi berbeda untuk mendistribusikan hal tsbâ
1 2 3 n
Kotak ke 1 2 3 4 5 6=N
Partisi ke 1 2 3 4 5
Rapat Keadaan dan Degenerasi
Persoalan tsb dapat dipandang sebagai kita memiliki n buah obyek dan (N-1) partisi (ekivalen dengan N buah kotak!). Berapa banyak cara berbeda mendistribusi n buah indistinguishable obyek tsb dan (N-1) partisi. Berarti total cara mendistribusikannya ada sebanya (n+N-1)!. Akan tetapi karena baik obyek maupun partisi masing-masing identic (indistinguishable), maka permutasi diantara masing-masing jenis obyek tsb tidak menghasilkan keadaan/konfigurasi baru! Sehingga banyak cara mendistribusikannya menjadi :
ðð =ð + ð â 1 !
ð! ð â 1 !=
ð + ð â 1ð
Terakhir digunakan notasi kombinasi!
1 2 3 n
Kotak ke 1 2 3 4 5 6=N
Partisi ke 1 2 3 4 5
Degenerasi & Banyak Keadaan
Degenerasi ini terkait dengan jumlah status keadaan microstate Ω ðžð, ð yg memiliki energi tertentu (mikrokanonik), jadi
Ω ðžð, ð = ðð =ð + ð â 1
ðMengetahui ini maka dapat dihitung entropi dari system ini :
ð = ð lnΩ ðžð, ðð = ð ln ð + ð â 1 ! â ln ð! â ln ð â 1 !
Dengan bantuan aproksimasi Stirling untuk N,n besar, maka :ð â ð ð + ð ln ð + ð â ðð ln ð â ðð lnð
Selanjutnya ungkapan energi total masuk melalui substitusi variable n:
ð =ðž
âðâð
2
Entropi & EnergiAkan diperoleh ungkapan entropi S sebagai fungsi energi total system E:
ð = ððž
âð+ð
2ln
ðž
âð+ð
2â ð
ðž
âðâð
2ln
ðž
âðâð
2â ðð lnð
Seperti biasa hubungan thermodinamika dapat dicari melalui entropi, misalnya:
1
ð=
ðð
ððžð,ð
=ð
âðln
ðž +ð2âð
ðž âð2âð
Atau:
ðž =ð
2âð
exp{ðœâð} + 1
exp{ðœâð} â 1Buktikan bahwa hasil ini ekivalen dengan yang sebelumnya diturunkan!
Gas dengan derajat kebebasan dalam
⢠Dalam model gas ideal, massa dianggap titik saja. Padahal pada kenyataannya terdiri dari molekul yang memiliki gerak internal selain translasi molekul, seperti vibrasi atom-atomnya ataupun rotasi.
⢠Misalkan Hamiltonian sebuah molekul terdiri atas sbb:
⢠ð» = ð»ð¡ðððð ð, ð + ð»ððð¡ ðð , ð¿ð + ð»ð£ðð(ðð , ðð)
⢠Suku ð»ð¡ðððð : translasi pusat massa molekul⢠Suku ð»ððð¡ : rotasi molekul yg merupakan fungsi sudut-
sudut Euler (ð = (ð, ð, ð)⢠Suku ð»ð£ðð bergantung pada posisi relative thd PM dan
kecepatan getar dalam koordinat normal.
Komponen Fungsi Partisi Kanonik
⢠Ketiga Hamiltonian tsb saling bebas, sehingga fungsi partisi kanonik 1 partikelnya dapat dinyatakan sbg:
ð1 = ðð¡ðððð ðððð¡ðð£ðð
ðð¡ðððð =1
â3න ð3ðð3ð ð âðœð»ð¡ðððð
ðððð¡ =1
â3න ð3ðð3ðð ð
âðœð»ððð¡
ðð£ðð =1
âðන ðððððð ð âðœð»ð£ðð
Translasi Pusat Massa
⢠Fungsi partisi kanonik untuk gerak translasi pusat massa sudah dipecahkan untuk gas ideal monoatomic:
ð»ð¡ðððð =ð 2
2ð
ðð¡ðððð =1
â3න ð3ðð3ð ðâ
ðœð2
2ð =ð
ð3
ð = â/ 2ðððð
Rotasi
⢠Hamiltonian planar rotator
ð»ððð¡ =ðð2
2ðŒ1+ðð2
2ðŒ3+
ðð â ðð cos ð2
2ðŒ1 sin2 ð
Sudut-sudut tsb memiliki nilai sbb: ð â 0, ð , ð â0,2ð , ð â 0,2ð
Fungsi partisi kanoniknya adalah:
ðððð¡
=1
â3න න ðððððð ðððððððð exp âðœ
ðð2
2ðŒ1+ðð2
2ðŒ3+
ðð â ðð cos ð2
2ðŒ1 sin2 ð
Integrand tidak bergantung ð dan ð, sehingga:ðððð¡
=2ð 2
â3න න ðð ðððððððð exp âðœ
ðð2
2ðŒ1+ðð2
2ðŒ3+
ðð â ðð cos ð2
2ðŒ1 sin2 ð
Fungsi Partisi Kanonik Rotasiðððð¡
=2ð 2
â3න
ââ
â
ððððâðœ
ðð2
2ðŒ1 න ðð ðððððð exp âðœðð2
2ðŒ3+
ðð â ðð cos ð2
2ðŒ1 sin2 ð
Integral thd ðð menghasilkan : 2ðŒ1ððð,
ðððð¡
=2ð 2
â32ðŒ1ððð න ðð න ððð ð
âðœðð2
2ðŒ3 න
ââ
â
ððð exp âðœðð â ðð cos ð
2
2ðŒ1 sin2 ð
Integral thd ððð adalah gaussian integral juga dengan pusat tergeser,
hasilnnya :
2ððŒ1ðð sin ð
ðððð¡ =2ð 2
â32ðŒ1ððð 2ððŒ1ððන
0
ð
ðð sin ð න
ââ
â
ððð ðâðœ
ðð2
2ðŒ3
Fungsi Energi Bebas HelmhotzSelanjutnya integral thd ðð kembali bertipe gaussian, sehingga:
ðððð¡ =ð
â32ðŒððð 2ððŒ1ðð 2ððŒ3ðð
Fungsi partisi vibrasi telah dilakukan seperti pada osilator harmonis. Jadi secara umum untuk N molekul yang tak terbedakan maka fungsi partisi kanoniknya dapat dituliskan sbg:
ð ð, ð, ð =1
ð!ð1
ð =1
ð!ðð¡ðððð ð ðððð¡
ð ðð£ððð
Fungsi energi bebas Helmhotz: untuk N >>1ðŽ ð, ð, ð = âðð lnð ð, ð, ð
ðŽ ð, ð, ð
= âððð lnðð¡ðððð ð
+ 1 â ððð lnðððð¡ âððð lnðð£ðð
ðŽ ð, ð, ð = ðŽð¡ðððð + ðŽððð¡ + ðŽð£ðð
Kasus Diatomik
Dalam hal ini momen inersia ðŒ3 â 0, tapi kita tak bias langsung memasukkan hal tsb di Hamiltonian. Dalam perumusan
Dalam hal ini momen inersia ðŒ3 â 0, tapi kita tak bias langsung memasukkan hal tsb di Hamiltonian. Dalam perumusan Hamiltoniannya derajat kebebasan yang terkait ðŒ3 yaitu terkait variable sudut ð mesti dihilangkan, sehingga hasil Hamiltonian diatomic berbentuk:
ð»ððð¡ =ðð2
2ðŒ1+
ðð2
2ðŒ1 sin2 ð
Kasus Diatomik
ðððð¡ =1
â2න ðððð ðððððð exp âðœ
ðð2
2ðŒ1+
ðð2
2ðŒ1 sin2 ð
ðððð¡ =2ð
â22ððŒ1ðð න න ðð ððð exp âðœ
ðð2
2ðŒ1 sin2 ð
ðððð¡ =2ð
â22ððŒ1ðð 2ððŒ1ðð න
0
ð
ðð sin ð
ðððð¡ =2ðŒ1ðð
â2