chamba paar meto.docx

7/21/2019 chamba paar meto.docx

http://slidepdf.com/reader/full/chamba-paar-metodocx 1/24

CÁLCULO DE RAÍCES DE ECUACIONES

1 MÉTODO DE LA BISECCIÓN:

1 TEORÍA:

En matemáticas, el método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raícesque trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo quetiene la raíz.

PROCEDIMIENTO:

• Elija valores Iniciales para a! y b! de "orma tal que lea "unción cambie designo sobre el intervalo. Esto se puede veri"icar asegurándose de que #

f (a)∗f (b)<0

• $a primera apro%imación a la raíz se determina con la "órmula#

xn=(a+b)/2

• &ealizar las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalo

se encuentra la raíz#f (a)∗f ( xn) ' ( Entonces b= xn

f (a)∗f ( x n)>0 Entonces a= xn

f (a)∗f ( x n)=0 Entonces xn Es la &aíz

• )alcule la nueva apro%imación#

xn+1=(a+b)/2

• Evaluar la apro%imación relativa#

¿( xn+1− xn)/ xn+1∨¿ E

*o. +also- &epetir el paso , / y 0

1í. +2erdadero- Entonces xn+1 Es la &aíz

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_b%C3%BAsqueda_de_ra%C3%ADces

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_b%C3%BAsqueda_de_ra%C3%ADces

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas



ALGORITMO DE LA BISECCION

3.Inicio

4.5Introducir la "uncion en el casillero superior

.56gregar el limite in"erior de la "unción

/.5Establecer el limite superior de la "unción

0.5Introducir la tolerancia de error.

7.56nalizar que el producto del limite superior por el in"erior sea menor a cero.

8.59eterminar si la intervalo es correcto para esa "unción si si esta bien te dara

resultado y si no te marcara error

:.5 da clic en calcular y se Imprimira el resultado

;.5 in

2 9I6<&6=6 9E $>?@#



3 CÓDIGO DE PROGRAMA:

%metodo de la biseccion

xai=input('Ingrese el intervalo inferior: ');

xbi=input('Ingrese el intervalo superior: ');

tol=input('Ingrese el error: ');

syms x;

f=input('Ingrese la funciòn: ');

i=1;

f1=subs(fxxai);

f!=subs(fxxbi);

r(i)=1"";

if f1#f! $ "

xa(i)=xai; f1=subs(fxxa(i));

xb(i)=xbi; f!=subs(fxxb(i));

xc(i)=(xa(i)xb(i))&!; f=subs(fxxc(i));

fprintf('It a c b

*rror aprox +n');

fprintf('%!d +t %11,f +t %11,f +t %11,f

+n'ixa(i)xc(i)xb(i));

-.ile abs(r(i)) /= tol

if f1#f$"

xa(i1)=xa(i);f1=subs(fxxa(i1));

xb(i1)=xc(i);f!=subs(fxxb(i1));

end

if f1#f/ "

xa(i1)=xc(i);f1=subs(fxxa(i1));

xb(i1)=xb(i);f!=subs(fxxb(i1));

end

xc(i1)=(xa(i1)xb(i1))&!; f=subs(fxxc(i1));

r(i1)=abs((xc(i1)0xc(i))&(xc(i1))#1"");

fprintf('%!d +t %11,f +t %11,f +t %11,f +t %,f +n'



i1xa(i1)xc(i1)xb(i1)r(i1));

i=i1;

end

else

fprintf('o existe una ra23 en ese intervalo');

end

4 VENTANA DE DISEÑO Y APLICACIÓN:

Ingrese el intervalo in"erior# (Ingrese el intervalo superior# Ingrese el error# (.((3Ingrese la "unciAn# B%54Ce%p+%-5%D4It. a c b Error apro%3 (.((((((( 3.0(((((( .(((((((4 (.((((((( (.80((((( 3.0(((((( 3((.((( (.((((((( (.80(((( (.80((((( 3((.(((/ (.((((((( (.3:80((( (.80(((( 3((.(((0 (.3:80((( (.4:340(( (.80(((( .7 (.3:80((( (.4/80( (.4:340(( 4(.(((8 (.4/80( (.408:340 (.4:340(( ;.(;3

: (.4/80( (.4/7(;: (.408:340 /.874; (.4/7(;: (.403;03 (.408:340 4.473( (.403;03 (.40/::4: (.408:340 3.3/;33 (.40/::4: (.407/88 (.408:340 (.08334 (.407/88 (.408(:(3 (.408:340 (.4:03 (.408(:(3 (.408//7 (.408:340 (.3/43/ (.408//7 (.40874;/ (.408:340 (.(8330 (.408//7 (.40808: (.40874;/ (.(737 (.408//7 (.408/;43 (.40808: (.(3:38 (.408/;43 (.408030( (.40808: (.((;3: (.408030( (.408047/ (.40808: (.((/

3; (.408047/ (.408043 (.40808: (.((44( (.408047/ (.40804; (.408043 (.((343 (.40804; (.4080(8 (.408043 (.((3



Ingrese el intervalo in"erior# (Ingrese el intervalo superior# 4Ingrese el error# (.(((3Ingrese la "unciAn# %5(.:5(.4Bsin+%-It. a c b Error apro%3 (.((((((( 3.((((((( 4.(((((((4 (.((((((( (.0(((((( 3.((((((( 3((.((( (.0(((((( (.80((((( 3.((((((( ./ (.80((((( (.:80(((( 3.((((((( 3/.4:70 (.:80(((( (.;80((( 3.((((((( 7.7787 (.;80((( (.;7:80(( 3.((((((( .447

8 (.;80((( (.;0340( (.;7:80(( 3.7;: (.;0340( (.;7(;80 (.;7:80(( (.:3; (.;7(;80 (.;7/:/: (.;7:80(( (./(0

3( (.;7(;80 (.;74:;(7 (.;7/:/: (.4(33 (.;74:;(7 (.;7:784 (.;7/:/: (.3(334 (.;7:784 (.;7/000 (.;7/:/: (.(033 (.;7:784 (.;7/333 (.;7/000 (.(403/ (.;7/333 (.;7/4/ (.;7/000 (.(330 (.;7/4/ (.;7/4;// (.;7/000 (.((737 (.;7/4;// (.;7/40( (.;7/000 (.((38 (.;7/40( (.;7//(4 (.;7/000 (.((4

3: (.;7/40( (.;7/47 (.;7//(4 (.((33; (.;7/47 (.;7/7/ (.;7//(4 (.(((4( (.;7/47 (.;7//0 (.;7/7/ (.(((



43 (.;7/47 (.;7/0 (.;7//0 (.(((

2 MÉTODO DEL PUNTO FIJO:

1 TEORÍA:

9ada la ecuación f ( x)=0 , el método de las apro%imaciones sucesivas

reemplaza esta ecuación por una equivalente, x=g( x ) , de"inida en la

"orma g( x)=f ( x)+ x . Fara encontrar la solución, partimos de un valor inicial

x0 y calculamos una nueva apro%imación x1=g ( x0) . &eemplazamos el

nuevo valor obtenido y repetimos el proceso. Esto da lugar a una sucesión de

valores, { x0, x

1,… , xn} que si converge, tendrá como límite la solución del

problema.En la "igura se representa la interpretación geométrica del método. Fartimos de

un punto inicial %( y calculamos y=g( x 0) . $a intersección de esta solución

con la recta y= x nos dará un nuevo valor x1 más pró%imo a la solución

"inal.

1in embargo, el método puede divergir "ácilmente. Es "ácil comprobar que elmétodo sólo podrá converger si la derivada g ' ( x) es menor en valor

absoluto que la unidad +que es la pendiente de la recta de"inida por y= x .

>n ejemplo de este caso se muestra en la "igura. Esta condición, que a prioripuede considerarse una severa restricción del método, puede obviarse

"ácilmente. Fara ello basta elegir la "unción g( x) del siguiente modo#

g ( x )= x+∝ f ( x )

9e "orma que tomando un valor de ∝ adecuado, siempre podemos Gacer

que g ( x ) cumpla la condición de la derivada.



)@*2E&<E*)I6#

El método de apro%imaciones sucesivas converge si ¿g ' ( x)∨¿1

)onvergencia =onótona 9ivergencia =onótona0<g

' ( x )<1 g ' ( x )>1

2 9I 6 <& 6= 6

9E

$>?@#




%metodo del punto fi4oxm(1)=input('Ingrese el valor inicial: ');

tol=input('Ingrese el porcenta4e de error: ');

syms x;

fg=input('Ingrese la funci5n f(x): ');

f=input(' despe4ada g(f(x)): ');

i=1;

ea(1)=1"";

-.ile abs(ea(i))/=tol

xm(i1) = subs(fxxm(i));

ea(i1) = abs((xm(i1)0xm(i))&xm(i1))#1"";i=i1;

end



fprintf('i xm(i) *rror aprox (i) +n');

for 4=1:i;

fprintf('%!d +t %11,f +t %,f +n'401xm(4)ea(4));

end

4 VENTANA DE DISEÑO Y APLICACIÓN:

Ingrese el valor inicial# (Ingrese el porcentaje de error# (.(((3Ingrese la "unción "+%-# B%54Ce%p+%-5%D4 despejada g+"+%--# +45e%p+%-C%D4-H

i %m+i- Error apro% +i-( (.((((((( 3((.(((3 (. 3((.(((4 (.4:/;;7 ;.87 (.47403( ;.3/:/ (.4074;; 4.//:0 (.408:70/ (.7(7 (.408// (.37/8 (.408004; (.(/: (.40804// (.(33; (.40803: (.((

3( (.40804;; (.((333 (.4080(/ (.(((34 (.4080( (.(((

Ingrese el valor inicial# (

Ingrese el porcentaje de error# (.(((3Ingrese la "unción "+%-# %5(.:5(.4Bsin+%-despejada g+"+%--# (.:C(.4Bsin+%-

i %m+i- Error apro% +i-( (.((((((( 3((.(((3 (.:(((((( 3((.(((4 (.;//834 30.4(8 (.;73;4(3 3.;3:/ (.;7/(0: (.4440 (.;7/(40 (.(407 (.;7/( (.((

8 (.;7/0 (.(((: (.;7/: (.(((



3 MÉTODO DE NETON RAP!SON:

1 TEORÍA:

Este método parte de una apro%imación inicial x0 y obtiene una apro%imación

mejor, x1 , dada por la "órmula#

x1= x

0−

f ( x0)f ' ( x

0)

Este método está de"inido por el denominador f ’ ( xi) Gace que

geométricamente se base en una apro%imación a una recta tangente a la curva



y=f ( x) trazada en el punto correspondiente a la apro%imación presente, esto

puede observarse en la "igura#

3.5Inicio

4.5Introducir la "uncion deseada en el casillero superior

.56gregar el valor inicial del intervalo

/.5Establecer el error de tolerancia

0.51eleccionar el método deceado +*eton5&apsGon ó *eton5&apsGon

mejorado-

7.59endiendo de el que se Galla elegido, el programa tendrá la tarea de calcularla raíz de la "unción y gra"icarla

8.5Farar los calculos una ves que el error apro%imado sea menor al del requisito

3(.5in



2 DIAGRAMA DE FLUJO CON LA DERIVADA:




%metodo de ne-to raps.on

clc

disp('*67809<8')

x"=input('Ingrese el valor inicial: ');

tol=input('Ingrese el porcenta4e de error: ');f=input('Ingrese la funci5n: ');

i=1;



xm(i)=x";

syms x;

f1=subs(fxxm(i));

3=diff(f);

d=subs(3xxm(i)); ea(1)=1"";

-.ile abs(ea(i))/=tol;

xm(i1)=xm(i)0f1&d; f1=subs(fxxm(i1)); d=subs(3xxm(i1));

ea(i1)=abs((xm(i1)0xm(i))&xm(i1)#1"");

i=i1;

end

fprintf('i xm(i) *rror aprox (i) +n');

for 4=1:i;

fprintf('%!d +t %11,f +t %,f +n'401xm(4)ea(4));end

4 2E*J6*6 9E 9I1EK@ L 6F$I)6)IM*#

Ingrese el valor inicial# 4Ingrese el porcentaje de error# (.(((3Ingrese la "unción# B%54Ce%p+%-5%D4i %m+i- Error apro% +i-( 4.((((((( 3((.(((3 (.://:4/ 38.3344 (.40/43;; 43.8;4

(.40804; 3.4:0/ (.4080( (.(((0 (.4080( (.(((

Ingrese el valor inicial# (

Ingrese el porcentaje de error# (.((((3Ingrese la "unción# %5(.:5(.4Bsin+%-i %m+i- Error apro% +i-



( (.((((((( 3((.(((3 3.((((((( 3((.(((4 (.;7//0( .7:7 (.;7/; (.(34/ (.;7/; (.(((

4 MÉTODO DE LA SECANTE:

1 TEORÍA:

El principal inconveniente del método de *eton estriba en que requiereconocer el valor de la primera derivada de la "unción en el punto. 1in embargo,

la "orma "uncional de f ( x) di"iculta en ocasiones el cálculo de la derivada. En

estos casos es más útil emplear el método de la secante.El método de la secante parte de dos puntos +y no sólo uno como el método de*eton- y estima la tangente +es decir, la pendiente de la recta- por unaapro%imación de acuerdo con la e%presión#

x

f ( x i−1 )−f (¿¿ i)

x i+1= x i−f ( xi)( x i−1− xi)

¿

En general, el método de la secante presenta las mismas ventajas y limitacionesque el método de *eton5&apGson e%plicado anteriormente.



2 DIAGRAMA DE FLUJO:




%metodo de la secante

xm(1)=input('Ingrese el intervalo inferior: ');

xm(!)=input('Ingrese el intervalo superior: ');

tol=input('Ingrese el porcenta4e de error: ');

syms x;

f=input('Ingrese la funciòn: ');

f1=subs(fxxm(1));

f!=subs(fxxm(!));



(.43733( 48.484 / (.408330 30.;/( 0 (.40804:7 (.373 7 (.4080( (.((3 8 (.4080( (.(((

Ingrese el intervalo in"erior# (Ingrese el intervalo superior# 4Ingrese el porcentaje de error# (.(((3

Ingrese la "unciAn# %5(.:5(.4Bsin+%-i %m+i- Error apro% +i-3 4.((((((( 3((.((( 4 (.::((4(( 5348.47: (.;07((; 8.;03 / (.;7/;8; (.:7: 0 (.;7/: 5(.((8 7 (.;7/; (.(((

chamba paar meto.docx

Documents